高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)

高考数学三角函数单选题专题复习题1．如图，阴影部分的月牙形边缘都是圆弧，两段圆弧分别是ABC △的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若2π3ACB ∠=，1AC BC ==，则该月牙形的面积为（）A.3π424+ B.3π424- C.1π424+ D.33π48-2．已知11sin 22M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎩⎭，πππ,,0,463N ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A.π,06⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B.π,04⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C.ππ,0,63⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D.ππ,,046⎧⎫--⎨⎬⎩⎭3．某海湾的海潮高低水位之差可达到15米，在该海湾某一固定点，大海水深d （单位：m ）与午夜后的时间t （单位：h ）之间的关系为()104co πs 3d t t =+，则下午5点时刻该固定点的水位变化的速度为（）A.3B.6πC.6π-D.π-4．已知π,(0,2αβ∈，且cossin22tan cos sin 22ββαββ+=-，则2αβ-=（）A.π8B.π4C.π2D.π5．函数cos y x =和sin y x =在下列哪个区间上都是单调递减的（）A.π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦6．若角α的终边在直线y x =上，则角α的取值集合为（）A.{}36045,k k αα=⋅︒+︒∈Z ∣ B.{}360135,k k αα=⋅︒+︒∈Z ∣C.{}180135,k k αα=⋅︒-︒∈Z ∣ D.{}18045,k k αα=⋅︒-︒∈Z ∣7．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象与直线y =的相邻两个交点的距离分别为π4和3π4，若π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 解析式为（）A.()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()π2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．函数π32cos 23y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A.()2πππ,π36k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z B.()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C.()π4π2π,2π33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D.()ππ2π,2π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 9．把函数()y f x =的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标缩短到原来的12倍，再把纵坐标伸长到原来的32倍，所得图象的解析式是π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式是（）A.()2cos f x x =-B.()2sin f x x =C.()2cos f x x= D.()2sin f x x=-10．已知4πtan 3a =，2πsin 3b =，17πcos 4c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.a c b>> B.a b c >> C.b c a>> D.a c b>>11．下列是函数()πtan 214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心的是（）A.π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭B.π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,1 D.π,18⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知π3sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πcos 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）A.35-B.45C.35-D.45-13．若tan 2α=,则cos 21sin 2αα=+（）A.34B.12C.13-D.35-14．若()sin 20α-︒=,则()sin 250α+︒=（）A.18B.18-C.78-D.7815．设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点.则a =（）A.-1B.12C.1D.216．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是（）A.4π B.2π C.34π D.π17．某著名的公式是i e cos x x isinx =+,则3i e 在复平面内的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限18．若函数()2sin f x x =存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 满足120πn x x x n ≤<<⋅⋅⋅<≤，n +∉N ，且()()()()()()122312024m m f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=，()2,m m +≥∈N ，则满足条件的实数m 的最小值为（）A.506B.507C.508D.50919．已知函数π()sin()(0,06,||2f x A x b A ωϕωϕ=++>≤≤<的部分图象如图所示，则()f x =（）A.π2sin(316x ++ B.π3sin(3)6x + C.π2sin(16x ++ D.π2sin(5)13x ++20．已知函数π1()sin(262f x x =--的定义域为[,]()m n m n <，值域为3[,0]2-，则n m-的取值范围是（）A.π[,π]3B.π2π[,33C.[π2,2π3D.π[,π]2参考答案题号12345678910答案A A A C A C D B C B 题号11121314151617181920答案DACDDABBAB。

4 2 ) 三角函数1.已知函数 f (x ) = 4 c os x s in(x +（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期；) -1.6（Ⅱ）求 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值.6 42、已知函数 f (x ) = sin(2x + ) 3+ sin(2x - 3 + 2 cos 2 x - 1, x ∈ R .（Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期；（Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值.4 43、已知函数 f (x ) = tan(2x +),4（Ⅰ）求 f (x ) 的定义域与最小正周期；⎛ ⎫（II ）设∈ 0, ⎪ ，若 f ( ) = 2 cos 2, 求的大小⎝ ⎭4、已知函数 f (x ) =(sin x - cos x ) sin 2x.sin x（1） 求 f (x ) 的定义域及最小正周期；（2） 求 f (x ) 的单调递减区间.5、 设函数 f (x ) = cos(2x + + sin 2x .24（I ）求函数 f (x ) 的最小正周期；（ II ） 设 函 数 1g (x ) 对 任 意 x ∈ R ， 有g (x + 2 = g (x ) ， 且 当x ∈[0, ] 时 ， 2g (x ) = - f (x ) ，求函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式.22 ) )3 + = 6、函数 f (x ) = A sin(x -称轴之间的距离为 ，2) +1（A > 0,> 0 ）的最大值为 3， 其图像相邻两条对 6（1）求函数 f (x ) 的解析式；（2）设∈(0, ) ，则 f ( ) = 2 ，求的值.2 27、设 f ( x ) = 4cos( ωx -π)sin ωx + cos 2ωx ，其中> 0.6（Ⅰ）求函数 y = f ( x ) 的值域（Ⅱ）若 y = f ( x ) 在区间⎡- 3π ,π⎤上为增函数，求 的最大值.⎣⎢ 2 2 ⎥⎦8、函数 f (x ) = 6 cos 2x + 23 cos x - 3(> 0) 在一个周期内的图象如图所示， A 为 图象的最高点， B 、C 为图象与 x 轴的交点，且∆ABC 为正三角形.（Ⅰ）求的值及函数 f (x ) 的值域；8 3 （Ⅱ）若 f (x 0 ) 5，且 x 0 ∈(- 10 2, ) ，求 f (x 0 1) 的值.3 39、已知 a , b , c 分别为∆ABC 三个内角 A , B , C 的对边， a cos C + 3a sin C - b - c = 0（1）求 A ；（2）若 a = 2 ， ∆ABC 的面积为 ；求b , c .10、在 ∆ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 cos A cos C ．＝ 2，sin B ＝ 53(Ⅰ)求 tan C 的值； (Ⅱ)若 a ＝ 2 ，求∆ ABC 的面积．3 2 2 ) max+ = - (x )答案1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】（Ⅰ）因为 f (x ) = 4 cos x sin(x + 1) -1 = 4 cos x ( sin x + cos x ) -1622= 3 sin 2x + 2 cos 2 x -1 = 3 sin 2x + cos 2x = 2 s in(2x +，所以 f (x ) 的最小正周期为.62（Ⅱ）因为- ≤ x ≤ 6 4 ，所以- ≤ 2x + ≤ 6 6 3 .于是，当2x + = 6 2 ，即 x =6时， f (x ) 取得最大值 2；当2x + = - 6 6 ，即 x = - 时， f (x ) 取得最小值－1.62、【解析】 （1）2f (x )= sin (2x + )+sin(2x - )+2cos x -1 = 2 s in 2x cos + cos 2x = 2 sin(2x + )3 3 3 42函数 f (x ) 的最小正周期为T = =23 （2） - ≤ x ≤ ⇒ - ≤ 2x + ≤ ⇒ - ≤ sin(2x +4 4 4 4 4 2 4) ≤ 1 ⇔ -1 ≤ f (x ) ≤当 2x + = (x = ) 时 ， 4 2 8 f (x )min = -1f (x ) = ， 当 2x = - 时 ， 4 4 4【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 y =A sin (x +) 的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.3、【思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质；2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值.k【精讲精析】（I）【解析】由2x +≠ + k , k ∈ Z ， 得 x ≠ + , k ∈ Z . 4 2 8 2k为 .2所以 f (x ) 的定义域为{x ∈ R | x ≠ + 8 2, k ∈ Z } ， f (x ) 的最小正周期（II）【解析】由 f ( ) = 2 cos 2, 得tan(+2) = 2 cos 2,42) ) )1 sin(+ 4 = 2(cos2 - s in 2 ), cos(+整理得4 sin + coscos - sin= 2(cos + sin )(cos - sin ). 21 1 因为∈(0, ) ，所以sin + cos ≠ 0.因此(cos - s in ) 4= ,即sin 2= .2 2由∈(0, ) ，得2∈(0, ) .所以2= ,即= .4 2 6 124、解（1）： sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ k(k ∈ Z ) 得：函数 f (x ) 的定义域为{x x ≠ k , k ∈ Z }f (x ) =(sin x - cos x ) sin 2x= (sin x - cos x ) ⨯ 2 cos xsin x= sin 2x - (1+ cos 2x ) = 2 sin(2x --14 2得： f (x ) 的最小正周期为T = = ；2（2）函数 y = sin x 的单调递增区间为[2k - , 2k + 2 2](k ∈ Z )3则2k - ≤ 2x - ≤ 2k + ⇔ k - ≤ x ≤ k +2 4 2 8 8得： f (x ) 的单调递增区间为[k - , k ),(k , k + 3](k ∈ Z )8 85、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力.【 解 析 】1 1f (x ) = cos(2x + + sin 2 x = 1 cos 2x - 1 sin 2x + 1 (1- cos 2x )2 4 2 2 2= - sin 2x ， 2 22（I ）函数 f (x ) 的最小正周期T = =21 1（II ）当 x ∈[0, ] 时， g (x ) = - f (x ) = sin 2x2 当 x ∈[-2 21 1 sin 2x 当 x ∈[-, - ) 时， (x +) ∈[0, )2 2 g (x ) = g (x +) = sin 2(x +) = 2 2sin 2x⎧- 1 sin 2x (x ≤ 0) - ≤ ⎪ 22 得函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式为 g (x ) = ⎨ .⎪ sin 2x (-≤ x <⎩⎪ 2 22 ) ) , 0] 时， (x + ) ∈[0, ] g (x ) = g (x + ) = 1 sin 2(x + ) = - 1 2 2 2 2 2 2 23 ⎢ ⎥ 6、【解析】（1）∵函数 f ( x ) 的最大值是 3，∴ A +1 = 3，即 A = 2 .∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，∴最小正周期T =，∴= 2 .2故函数 f ( x ) 的解析式为 f (x ) = 2 s in(2x -) +1.61（2）∵ f ( ) = 2 s in(- 2) +1 = 2 ，即sin(- 6 ) = ，6 2∵ 0 << ，∴ - <- < ，∴- = ，故= .2 6 63 6 6 3⎛ 3 1⎫ 7、解：（1） f ( x ) = 4 2 cos x + 2 sin x ⎪⎪s in x + cos 2x ⎝ ⎭= 2 3 sin x cos x + 2 sin 2 x + cos 2 x - sin 2 x =3 sin 2x +1因-1 ≤ sin 2x ≤ 1，所以函数 y = f ( x ) 的值域为⎡1- 3,1+ 3⎤⎣⎦⎡ ⎤（2）因 y = sin x 在每个闭区间 ⎢⎣2k - 2 , 2k + 2 ⎥⎦ (k ∈ Z ) 上为增函数，故 f ( x ) = 3 sin 2x +1 (> 0) 在每个闭区间⎡ k - 4 , k + ⎤(k ∈ Z ) 上 4为增函数.⎡ 3 ⎤⎡ kk ⎤⎣⎦依题意知⎢- , ⎥ ⊆ ⎢ -, + ⎥ 对某个 k ∈ Z 成立，此时必有 k = 0 ，于是 ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 4 4⎦⎧- 3≥ -⎪ 2 41 1⎨⎪ ≤⎩ 2 4，解得≤ ，故的最大值为 . 6 6 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想. [解析]（Ⅰ）由已知可得： f (x ) = 6 cos2x+ 23 cos x - 3(> 0)=3cosωx+ 3 sin x = 2 3 s in(x + )3又由于正三角形 ABC 的高为 2 ，则 BC=42 所以，函数 f (x )的周期T = 4 ⨯ 2 = 8，即= 8，得= 4所以，函数 f (x )的值域为[-2 3,2 3] .......................... 6 分 （Ⅱ）因为 f (x 0 ) =853，由（Ⅰ）有1 - ( 4)2 57 6 53 1 c os 2A5 561f (x ) = x 08 3x 0 42 3sin( 4 + ) =3 ， 即sin( 54 + ) = 35 由 x 0∈（- 10 2x 0 + ∈ (-，），得( ) , )3 34 3 2 2所以，即 x 0 3 cos( 4 + ) = =3 5 故 f (x + 1) = x 0= x 0 + + 02 3sin( = 4 x 0 + + ) 2 4 33sin[( ) ] 4 3 4x 0 2 3[sin( 4 + ) cos 3 4 + cos( 4 + ) s in3 4 = 2 3( 4⨯ 2 + 3 ⨯ 2 )5 2 5 2=12 分9..解：（1）由正弦定理得：a cos C + 3a sin C -b -c = 0 ⇔ sin A c os C - 3 sin A sin C = sin B + sin C⇔ sin A cos C + 3 sin A sin C = sin(a + C ) + sin C⇔ 3 sin A - cos A = 1 ⇔ sin( A - 30︒ ) = 12⇔ A - 30︒ = 30︒ ⇔ A = 60︒（2） S = bc sin A = ⇔ bc = 4 ， 2a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A ⇔ b + c = 410. 本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ)∵cos A 2 0，∴sin A ＝ ，＝ ＞33又2 sin C ．35 cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝5 cos C ＋3整理得：tan C ＝ 5 ．(Ⅱ) 由图辅助三角形知： sin C ＝． 又由正弦定理知：a sin A c ，sin C故c 3 ． (1)b 2c 2 a 2 2对角 A 运用余弦定理：cos A ＝2bc ． (2) 3 解(1) (2)得： b 3 or b ＝ 3 (舍去)． ∴∆ ABC 的面积为：S ＝ 5． 3 2。

三角函数综合练习题考查单调性，单调区间，最大最小值，周期，零点，对称性，对称中心一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.已知函数f(x)=cosxsin(x−π3)+√34(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的最大值和最小值．2.已知函数f(x)=cos(2x+π3)．(1)求函数y=f(x)的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间[−π12,π2]上的最大值和最小值．3.设函数f(x)=cosx⋅sin(x+π3)−√3cos2x+√34．(1)求f(x)的最小正周期和对称中心；(2)当x∈[0,π3]时，求函数f(x)的最值．4.已知函数f(x)=cos2x−sin2x−2√3sinxcosx(x∈R)．(2)求f(x)的最小正周期及单调递减区间．5.已知函数f(x)=cos(2x−π3)+2sin(x−π4)sin(x+π4)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若将函数f(x)图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在区间[−π12,π]上的值域．6.已知函数f(x)=2sinx⋅sin(π2−x)+√3(cos2x−sin2x)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求方程f(x)=2的解构成的集合．7.已知函数f(x)=2sin2x+2√3sinxcosx．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若x∈[0,5π12]，求函数f(x)的值域．8.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点P(−5π12,0)，且图象上与P点最近的一个最低点坐标为(−π6,−2)．(1)求函数的解析式；(2)若将此函数的图象向左平移π6个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)在[−π6,π3]上的值域．9.已知f(x)=2sin(2x+π3)．(1)求f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时，x值的集合．(2)求f(x)的单调递增区间．10.已知函数f(x)=cosx(2sinx+√3cosx)−√3sin2x．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)若当x∈[0,π2]时，关于x的不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．11.已知函数f(x)=2sin(2x−π6).(1)求函数f(x)的对称轴；(2)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的最大值与最小值．12.已知函数f(x)=4sinxcos(x−π3)−√3．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)若方程f(x)=m在(π2,5π3)有两个不同的实根，求m的取值范围．13.已知向量a⃗=(3sinx,cos2x)，b⃗ =(cosx,12)，x∈R，设函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值．14.已知函数f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)的最小正周期为π，ω为正实数．(1)求ω的值；(2)求函数f(x)的单调递减区间及对称轴方程．15.已知向量m⃗⃗⃗ =(cosx,−1)，n⃗=(√3sinx,cos2x)，设函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+1．(1)求函数y=f(x)的单调递减区间，并说明由函数y=sinx的图象如何变换可得到函数y=f(x)的图象．(2)若x∈[0,π2]，f(x)=56，求cos2x的值．16.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x．(I)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)在[0,π2]上的单调递增区间．17.已知向量a⃗=(√3sinx,cosx)，b⃗ =(−cosx,cosx)，c⃗=(2,1)．(Ⅰ)若a⃗//c⃗，求a⃗⋅b⃗ 的值；(Ⅱ)若x∈[0,π2]，求f(x)=a⃗⋅b⃗ 的值域．18.已知函数f(x)=2asinωxcosωx+2√3cos2ωx−√3(a>0,ω>0)的最大值为2，且最小正周期为π．(1)求函数f(x)的对称轴方程；(2)若f(α)=43,求sin(4α+π6)的值．19.设函数f(x)=sinx+√3cosx(x∈R)．(1)求函数f(x)的最值和最小正周期；(2)将函数f(x)的图像先保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将图像向π20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，其中A>0，ω>0，−π2<φ<π2，x∈R其部分图象如图所示．(1)求函数y=f(x)的解析式与单调增区间；(2)当x∈[0,π]时，求函数y=f(x)的最大值与最小值及此时相应x的值．21.已知函数f(x)=2sinx(√3cosx+sinx)−1．(I)求f(x)的单调递增区间；(II)若f(α2)=25，求sin(2α+π6)的值．22.已知函数f(x)=12cos2x+√32sinxcosx+1．(1)求函数f(x)的最小正周期和其图象对称中心的坐标；(2)求函数f(x)在[π12,π4]上的值域．23.已知f(x)=sin(2x+π6)+3cos(2x−π3).(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)若f(α2)=45，α∈(0,π)，试求cosα的值．24.已知函数f(x)=cos2x+2√3sinxcosx−sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π3,π3]上的最大值和最小值．25.已知函数f(x)=(cosx+√3sinx)⋅sin(π2−x)+12．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)求函数f(x)在区间[712π,56π]上的最小值以及取得该最小值时x的值．26.已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)的图像关于直线x=π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π．(1)求ω和φ的值；(2)若f(α2)=√34(π6<α<2π3)，求sin (α+π3)的值．27.已知函数f(x)=cos2x+√3sinxcosx−12(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)讨论f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性；28.已知函数f(x)=2cosx(λsinx−cosx)+sin2x+1(λ<0)，且f(x)的最小值为−2．(1)求实数λ的值及函数f(x)的单调递减区间;(2)当x∈[−π12,π2]时，若函数g(x)=f(x)−k有且仅有一个零点，求实数k的取值范围．29. 已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如下图所示．(Ⅰ)求f (x )的解析式及对称中心坐标；(Ⅱ)先将f (x )的图像纵坐标缩短到原来的12倍，在向右平移π6个单位，最后将图像向上平移1个单位后得到g (x )的图像，求函数y =g (x )在x ∈[π12,3π4]在上的单调减区间和最值．)(x∈R)．30.已知函数f(x)=2sinxsin(x+π2(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)求f(x)的最小正周期；)为偶函数，求φ的值．(Ⅲ)若y=f(x+φ)(0<φ<π2答案和解析1.【答案】解：(1)因为f(x)=cosxsin(x−π3)+√34，=12sinxcosx−√32cos2x+√34=14sin2x+√34(1−2cos2x)，=14sin2x−√34cos2x，=12sin(2x−π3)所以最小正周期为：T=π；由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，即单调递增区间是：[−π12+kπ,5π12+kπ]，k∈Z，(2)因为x∈[−π4,π4]，所以2x−π3∈[−5π6,π6]，因此sin(2x−π3)∈[−1,12]，当2x−π3=−π2即x=−π12时，取最小值−12；当2x−π3=π6即x=π4时，取最大值14；【解析】(1)先利用和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式即可求解；(2)结合正弦函数的性质即可直接求解．本题主要和差角公式，辅助角公式在三角化简求值中的应用2.【答案】解：(1)函数f(x)=cos(2x+π3)．由2x+π3=kπ得x=kπ2−π6，即函数的对称轴方程为x=kπ2−π6，k∈Z，(2)当−π12≤x≤π2时，−π6≤2x≤π，π6≤2x+π3≤4π3，所以当2x+π3=π，即x=π3时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(x)=cosπ=−1，当2x+π3=π6，即x=−π12时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(x)=cosπ6=√32．【解析】(1)直接利用余弦型函数的性质和整体思想求出函数的对称轴方程．(2)利用整体思想，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，再求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3.【答案】解：(1)f(x)=cosx⋅sin(x+π3)−√3cos2x+√34=cosx(12sinx+√32cosx)−√3cos2x+√34=14sin2x−√34cos2x=12sin(2x−π3)，∴f(x)的最小正周期是2π2=π，令2x−π3=kπ，k∈Z，解得x=12kπ+π6，k∈Z，可得对称中心为(12kπ+π6,0)，k∈Z．(2)当x∈[0,π3]时，2x−π3∈[−π3,π3]，可得sin(2x−π3)∈[−√32,√32]，可得函数f(x)=12sin(2x−π3)∈[−√34,√34]，即函数f(x)的最小值为−√34，最大值为√34．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f(x)=12sin(2x−π3)，利用三角函数周期公式可求f(x)的最小正周期，利用正弦函数的性质可求其对称中心．(2)由已知可求范围2x−π3∈[−π3,π3]，进而根据正弦函数的性质即可求其最值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．4.【答案】解：(1)f(x)=cos2x−sin2x−2√3sinxcosx=cos2x−√3sin2x=2cos(2x+π3)，则f(π6)=2cos2π3=2×(−12)=−1．(2)f(x)的最小正周期T=2π2=π，令2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，k∈Z，得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，即f(x)的单调递减区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k∈Z．【解析】(1)利用辅助角公式进行化简，然后代入求值即可．(2)结合三角函数的周期公式，以及单调递减区间的性质建立不等式进行求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，然后结合三角函数的性质是解决本题的关键．难度不大．5.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=cos(2x−π3)+2sin(x−π4)sin(x+π4)=cos(2x−π3)+sin(2x−π2)=12cos2x+√32sin2x−cos2x=sin(2x−π6)，故它的最小正周期为2π2=π．(Ⅱ)若将函数f(x)的图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=sin(x−π6)的图象．在区间[−π12,π]上，x−π6∈[−π4,5π6]，故g(x)在区间[−π12,π]上的值域为[−√22,1]．【解析】(Ⅰ)由题意利用三角恒等变换花简f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．(Ⅱ)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．6.【答案】解：(Ⅰ)∵函数f(x)=2sinx⋅sin(π2−x)+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，故f(x)的最小正周期为2π2=π．(Ⅱ)方程f(x)=2，即sin(2x+π3)=1，2x+π3=2kπ+π2，即x=kπ+π12，k∈Z．故方程f(x)=2的解构成的集合为{x|x═kπ+π12,k∈Z}．【解析】(Ⅰ)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．(Ⅱ)根据方程f(x)=2，可得2x+π3=2kπ+π2，由此求得x的取值集合．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，解三角方程，属于中档题．7.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=2sin2x+2√3sinxcosx=1−cos2x+√3sin2x=2sin(2x−π6)+1，∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．(Ⅱ)∵x∈[0,5π12]，∴2x−π6∈[−π6,2π3]，∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，∴f(x)=2sin(2x−π6)+1∈[0,3]，即函数f(x)的值域为[0,3]．【解析】(Ⅰ)利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f(x)的最小正周期．(Ⅱ)利用正弦函数的定义域和值域，即可求解．本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．8.【答案】解：(1)由题可知，A=2，|−5π12+π6|=14T，∴最小正周期T=π，∴ω=2πT=2，∵函数f(x)过点(−π6,−2)，∴−2=2sin[2×(−π6)+φ]，∴φ=−π6+2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，∴φ=−π6，∴函数的解析式y=2sin(2x−π6).(2)g(x)=2sin[2(x+π6)−π6]+2=2sin(2x+π6)+2，∵x∈[−π6,π3]，∴2x+π6∈[−π6,5π6]，∴sin(2x+π6)∈[−12,1]，g(x)∈[1,4]．故g(x)在[−π6,π3]上的值域为[1,4]．【解析】(1)由题可知，A=2，|−5π12+π6|=14T，再结合ω=2πT可求得ω的值，然后将点(−π6,−2)代入函数f(x)的解析式中，并利用|φ|<π2，可求出φ的值，故而得解．(2)根据函数图象的变换法则可得g(x)=2sin(2x+π6)+2，然后根据x∈[−π6,π3]，求出2x+π6的取值范围，再结合正弦函数的图象即可得解．本题考查正弦型函数解析式的求法、正弦函数的图象变换与性质，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9.【答案】解：(1)f(x)max=2，当f(x)=2时，有sim(2x+π3)=1∴2x+π3=2kπ+π2(k∈z)，解得x=kπ+π12，∴f(x)取最大值时x值的集合为{x|x=kπ+π12,k∈z}．(2)由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12∴f(x)的单调递增区间为：[kπ−5π12,kπ+π12],k∈z．【解析】(1)由正弦函数的有界性得出函数的最值，再整体代换解出x的值，写成集合形式；(2)将2x+π3整体代入正弦函数的单调递增区间，解出x的范围写成区间形式．本题考查复合三角函数的单调性与三角函数的最值，考查正弦函数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．10.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=2sinxcosx+√3cos2x−√3sin2x=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以函数f(x)的最小正周期T=π，因为函数y=sinx的的单调递减区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2],k∈Z，所以2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间是[kπ+π12,kπ+7π12],(k∈Z)．(Ⅱ)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max．由(Ⅰ)可知f(x)=2sin(2x+π3)，当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，故当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)取得最大值，最大值为2．所以m≤2.故实数m的取值范围是(−∞,2]．【解析】(Ⅰ)先将函数f(x)进行化简，然后根据三角函数的图象和性质即可求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)转化为m≤f(x)max.结合变量的范围求出其最大值即可求解结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角化简公式将函数化简是解决本题的关键．11.【答案】解：(1)函数f(x)=2sin(2x−π6).令2x−π6=kπ+π2(k∈Z)，解得x=kπ2+π3(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为：x=kπ2+π3(k∈Z)．(2)由于x∈[0,π2]，所以2x−π6∈[−π6,5π6]，故sin(2x−π6)∈[−12,1]．则：−1≤f(x)≤2．故：当x=0时，函数的最小值为−1．当x=π3时，函数的最大值为2．【解析】(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程．(2)利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=4sinxcos(x −π3)−√3，=4sinx(12cosx +√32sinx)−√3=2sinxcosx +2√3sin 2x −√3，=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)， 所以f(x)的最小正周期T =2π2=π，由−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ,k ∈Z 得 −π12+kπ≤x ≤5π12+kπ,k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间是[−π12+kπ,5π12+kπ],k ∈Z ， (Ⅱ)令t =2x −π3，因为x ∈(π2,5π3)，所以t ∈(2π3,3π)， 即方程2sint =m 在t ∈(2π3,3π)有两个不同的实根，由函数y =2sint 的图象可知，当m ∈(−2,0]∪[√3,2)时满足题意，所以m 的取值范围为(−2,0]∪[√3,2)．【解析】(I)先结合和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；(II)由已知可转化为函数图象的交点，结合正弦函数的性质可求．本题主要考出来和差角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，体现了转化思想的应用，属于中档试题．13.【答案】解：(1)∵a ⃗ =(3sinx,cos2x)，b ⃗ =(cosx,12)，x ∈R ， ∴函数f(x)=a⃗ ⋅b ⃗ =(3sinx,cos2x)⋅(cosx,12)=3sinxcosx +12cos2x =32sin2x +12cos2x =√102sin(2x +φ)(tanφ=13，取φ为锐角)．∴函数f(x)的最小正周期为2π2=π；(2)由(1)得f(x)=√102sin(2x +φ)(tanφ=13，取φ为锐角)．∵x ∈[0,π2]，∴2x +φ∈[φ,π+φ]．则当2x +φ=π+φ时，f(x)取得最小值为√102sin(π+φ)=−√102sinφ=−√102×√1010=−12；当2x +φ=π2时，f(x)取得最大值为√102sin π2=√102．∴函数f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值分别为√102，−12．【解析】(Ⅰ)利用平面向量的数量积的坐标运算可得f(x)的解析式，利用周期公式求周期；(Ⅱ)由x 的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值．本题考查平面向量数量积的坐标运算，训练了三角函数最值的求法，是中档题． 14.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sinωx(sinωx +cosωx)=sin 2ωx +sinωxcosωx =1−cos2ωx2+12sin2ωx=√22sin(2ωx −π4)+12 的最小正周期为2π2ω=π，∴ω=1，f(x)=√22sin(2x −π4)+12．(2)对于函数f(x)=√22sin(2x −π4)+12，令2kπ+π2≤2x −π4≤2kπ+3π2，求得kπ+3π8≤x ≤π+7π8，可得函数的减区间为[kπ+3π8,π+7π8]，k ∈Z ．令2x −π4=kπ+π2，求得x =kπ2+3π8，可得函数的图象的对称轴方程为x =kπ2+3π8，k ∈Z ．【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求出ω的值．(2)由题意利用正弦函数的单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性、以及它的图象的对称性，属于中档题．15.【答案】解：(1)由题可知，f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +1=√3sinxcosx −cos 2x +1 =√32sin2x −12cos2x +12=sin(2x −π6)+12．令π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ，则π3+kπ≤x ≤5π6+kπ,k ∈Z ，∴y =f(x)的单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ],k ∈Z ．由y =sinx 变换成y =f(x)的过程如下所示：y =sinx 的图象纵坐标不变，横坐标先向右平移π6个单位，再缩小为原来的12，然后横坐标不变，纵坐标向上平移12个单位．(2)令f(x)=sin(2x −π6)+12=56，则sin(2x −π6)=13， ∵x ∈[0,π2]，∴2x −π6∈[−π6,5π6]，∴cos(2x −π6)=±2√23， 而cos2x =cos[(2x −π6)+π6]=√32cos(2x −π6)−12sin(2x −π6)，∴当cos(2x −π6)=2√23时，cos2x =√32×2√23−12×13=2√6−16； 当cos(2x −π6)=−2√23时，cos2x =√32×(−2√23)−12×13=−2√6−16， 综上，cos2x 的值为2√6−16或−2√6−16．【解析】(1)结合平面向量数量积的坐标运算和二倍角公式、辅助角公式可将函数f(x)化简为f(x)=sin(2x−π6)+12，再利用正弦函数的单调性即可求得f(x)的单调递减区间；结合三角函数的平移变换与伸缩变换法则即可得解．(2)由题可知，sin(2x−π6)=13，由于x∈[0,π2]，所以2x−π6∈[−π6,5π6]，利用平方关系可求得cos(2x−π6)=±2√23，然后结合拼凑角的方法可知cos2x=cos[(2x−π6)+π6]，利用余弦的两角和公式展开后，代入数据进行运算即可得解．本题主要考查三角恒等变换与三角函数图象的综合，还涉及平面向量数量积的坐标运算，熟练运用二倍角公式、辅助角公式等基本公式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】解：f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1．(I)f(x)的最小正周期T=2π2=π．(Ⅱ)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k∈Z，∵x∈[0,π2]，∴k=0，f(x)在[0,π2]上的单调递增区间为[0,π8]．【解析】利用平方关系、辅助角公式将函数化简为f(x)=√2sin(2x+π4)+1．(I)根据正弦函数的周期性即可得解；(Ⅱ)根据正弦函数的单调性即可得解，需要注意限定了区间[0,π2].本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)由a⃗//c⃗可得，√3sinx=2cosx，∴tanx=2√33，∴a⃗⋅b⃗ =−√3sinxcosx+cos2x=−√3sinxcosx+cos2xcos2x+sin2x =−√3tanx+1tan2x+1=−173=−37．(Ⅱ)函数f(x)=a⃗⋅b⃗ =−√3sinxcosx+cos2x=−√32sin2x+1+cos2x2=−sin (2x−π6)+12，∵x∈[0,π2]，，∴sin (2x−π6)∈[−12,1]，∴−sin (2x−π6)+12∈[−12,1]，即f(x)的值域为[−12,1]．【解析】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，函数y= Asin(ωx+φ)的图象与性质，平面向量共线的充要条件，属于中档题．(Ⅰ)由a⃗//c⃗求得tanx=2√33，再利用同角三角函数的基本关系以及两个向量的数量积公式求出a⃗⋅b⃗ 的值．(Ⅱ)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换求出函数f(x)=a⃗⋅b⃗ =−sin (2x−π6)+12，再由x的范围，求出f(x)的值域．18.【答案】解：，其中tanφ=√3a．∵f(x)的最小正周期为T=π，∴2ω=2πT=2，即ω=1．又∵f(x)的最大值为2，∴√a2+3=2，即a=±1，∵a>0，∴a=1．所以不妨取φ=π3，因此，(1)令2x+π3=π2+kπ，(k∈Z)．对称轴方程为x=π12+kπ2，(k∈Z)．(2)由f(α)=43，得，即，则．【解析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，辅助角公式和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．(1)根据条件函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简，即可求a和ω的值，即可求出函数的解析式和对称轴方程；(2)根据f(α)=43，利用余弦函数的倍角公式进行化简即可求sin(4α+π6)的值．19.【答案】解：(1)由辅助角公式得：f(x)=sinx+√3cosx=2sin (x+π3)，当sin (x+π3)=±1，故最大值为2，最小值为−2．最小正周期为T=2π|ω|=2π．，令2kπ+π2⩽x2+π4⩽2kπ+3π2(k ∈Z)，则4kπ+π2⩽x ⩽4kπ+5π2(k ∈Z)，即单调递减区间为：[4kπ+π2,4kπ+5π2](k ∈Z)．【解析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，是基础题． (1)先由辅助角公式化简f(x)，由三角函数性质可得最值和最小正周期；； (2)由三角函数图象变换得g(x)=2sin(x2+π4)，令2kπ+π2⩽x2+π4⩽2kπ+3π2(k ∈Z)，可得g(x)的单调递减区间．20.【答案】解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)，其中A >0，ω>0，−π2<φ<π2，x ∈R 其部分图象，可得A =2，14⋅2πω=5π6−π3，∴ω=1． 再根据五点法作图，可得1×π3+φ=π2，求得φ=π6， ∴函数f(x)=2sin(x +π6). (2)当x ∈[0,π]时，x +π6∈[π6,7π6]，故当x +π6=π2时，即x =π3时，函数f(x)取得最大值为2； 当x +π6=7π6时，即x =π时，函数f(x)取得最小值为−1．【解析】(1)由题意利用由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．(2)根据函数的解析式、正弦函数的最值，求出函数y =f(x)的最大值与最小值及此时相应x 的值．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的最值，属于中档题． 21.【答案】解：(I)f(x)=2√3sin xcos x +2sin 2x −1=√3sin2x −cos2x=2(√32sin2x −12cos2x)=2sin(2x −π6)，令−π2+2kπ⩽2x −π6⩽π2+2kπ，k ∈Z ，解得−π6+kπ⩽x ⩽π3+kπ,k ∈Z ， 故所求单调增区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k ∈Z)；(Ⅱ)由题意得：f(α2)=25，得sin(α−π6)=15，所以sin(2α+π6)=sin[2(α−π6)+π2]=cos2(α−π6)=1−2sin2(α−π)=2325．【解析】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式，函数的单调性以及函数求值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(I)利用二倍角公式、两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数f(x)的单调递增区间；(II)由(I)可得sin(α−π6)=15，由角之间的关系、诱导公式、二倍角余弦公式的变形求出答案．22.【答案】解：函数f(x)=12cos2x+√32sinxcosx+1，化简可得：f(x)=1+cos2x4+√34sin2x+1=12sin(2x+π6)+54．(1)∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．令2x+π6=kπ,k∈Z，可得，对称中心的坐标：x=kπ2−π12,k∈Z．∴函数f(x)的对称中心(kπ2−π12,54),k∈Z．(2)∵π12≤x≤π4，∴π3≤2x+π6≤2π3∴√32≤sin(2x+π6)≤1，∴5+√34≤12sin(2x+π6)+54≤74，故得函数f(x)在[π12,π4]上的值域是[5+√34,74]．【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．(1)利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质可求对称中心的坐标；(2)x∈[π12,π4]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得到f(x)的取值范围．23.【答案】解：f(x)=√32sin2x+12cos2x+32cos2x+3√32sin2x =2√3sin2x+2cos2x=4sin(2x+π6).(1)f(x)的最小正周期T=2π2=π，由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z.(2)由f(α2)=4sin(α+π6)=45知sin(α+π6)=15，因为α∈(0,π)，所以α+π6∈(π6,7π6)，又sin(α+π6)=15，所以α+π6∈(5π6,π)，所以cos(α+π6)=−2√65，则cosα=cos(α+π6−π6)=−2√65×√32+15×12=1−6√210．【解析】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质，属于中档题．化简得到f(x)=4sin(2x+π6).(1)根据周期公式求得周期，再解不等式得到单调递减区间；(2)运用同角三角函数关系以及两角和差的三角函数公式计算即可得到答案．24.【答案】解：(1)∵f(x)=cos2x+2√3sinxcosx−sin2x=cos2x+√3sin2x= 2sin(2x+π6)，∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．(2)∵x∈[−π3,π3 ]，∴2x+π6∈[−π2,5π6]，∴sin(2x+π6)∈[−1,1]，f(x)=2sin(2x+π6)∈[−2,2]，∴f(x)在区间[−π3,π3]上的最大值为2，最小值为−2．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可得f(x)，由周期公式可得；(2)由x的范围逐步可得f(x)的范围，进而利用正弦函数的图象和性质可得最值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，涉及函数的周期的求解，属于基础题．25.【答案】解：(1)因为函数f(x)=(cosx+√3sinx)⋅sin(π2−x)+12=(cosx+√3sinx)⋅cosx+1 2=cos2x+√3sinxcosx+1 2=1+cos2x2+√32sin2x+12=sin(2x+π6)+1；∴函数f(x)最小正周期是T=π；当2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，即kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，函数f(x)单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；(2)x∈[712π,56π]⇒4π3≤2x+π6≤11π6；所以当2x+π6=32π时，即x=23π时，f(x)取得最小值0．【解析】(1)函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f(x)的最小正周期，根据正弦函数的单调性即可确定出f(x)的单调递增区间；(2)由x∈[712π,56π]可得：43π≤2x+π6≤116π，所以当2x+π6=32π时，即x=23π时，f(x)取得最小值0．本题主要考查了三角函数的图象和性质，以及三角函数求最值，是中档题．26.【答案】解：(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T=π，从而ω=2πT=2，又因f(x)的图象关于直线x=π3对称，所以2×π3+φ=kπ+π2,k∈Z，因为−π2≤φ≤π2，得k=0，所以φ=−π6;(2)由(1)得f(α2)=√3sin(α−π6)=√34，所以sin(α−π6)=14，由，得，所以，因此sin(α+π3)=sin(α−π6+π2)=cos(α−π6)=√154．【解析】本题考查正弦型函数的图象性，考查诱导公式，属于中档题．(1)由函数图象上相邻两个最高点的距离为π求出周期，再利用公式T=2πω求出ω的值，然后由图象关于x=π3对称，求出φ;(2)由(1)及已知求出sin(α−π6)=14，利用同角关系式求出cos(α−π6)=√154，然后由sin(α+π3)=cos(α−π6)求解即可．27.【答案】解：(1)f(x)=12+12cos2x+√32sin2x−12=sin(2x+π6)，∴T=π；(2)依题意，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z；设A=[−π4,π4],B=[−π3+kπ,π6+kπ]，易知A∩B=[−π4,π6]，∴当x∈[−π4,π4]时，f(x)在区间[−π4,π6]上单调递增，区间(π6,π4]上单调递减．【解析】(1)化简可得f(x)=sin(2x+π6)，进而求得最小正周期；(2)先求得f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z，进而求得f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性．本题考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象及性质，考查运算化简能力，属于基础题．28.【答案】解：(1)由题意知，f(x)=2cosx(λsinx−cosx)+sin2x+1=(λ+1)sin2x−2cos2x+1=(λ+1)sin2x−cos2x=√(λ+1)2+1sin(2x−φ)，其中tanφ=1λ+1，由f(x)的最小值为−2，得−√(λ+1)2+1=−2，解得λ=√3−1或λ=−√3−1，∵λ<0，∴λ=−√3−1，∴f(x)=−√3sin2x−cos2x=−2sin(2x+π6 ).令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z.(2)∵g(x)=f(x)−k=−2sin(2x+π6)−k在[−π12,π2]上有且仅有一个零点，∴当x∈[−π12,π2]时，y=−k2与y=sin(2x+π6)的图象有且仅有一个交点．当x∈[−π12,π2]时，2x+π6∈[0,7π6]，令t=2x+π6，ℎ(t)=sint，t∈[0,7π6]，则y=−k2与ℎ(t)=sint，t∈[0,7π6]的图象有且仅有一个交点，数形结合可知当−k2∈[−12,0)或−k2=1时符合要求，即k∈(0,1]或k=−2时符合要求，故实数k的取值范围为{k|0<k≤1或k=−2}．【解析】本题主要考查二倍角公式、三角恒等变换、三角函数的图象与性质、函数的零点等知识，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．(1)先根据二倍角公式及辅助角公式将函数f(x)化为Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数，且A≠0，ω≠0)的形式，再根据函数f(x)的最小值求实数λ的值，最后根据正弦函数的单调性求函数f(x)的单调递减区间;(2)将g(x)在[−π12,π2]上有且仅有一个零点等价转化为当看答案x∈[−π12,π2]时，y=−k2与y=sin(2x+π6)的图象有且仅有一个交点，然后数形结合即可求解．29.【答案】解：(Ⅰ)由所给图像知：A=2,B=−1,T2=πω=7π−π12⇒ω=2，∴f(x)=2cos (2x+φ)−1，把点(π12,1)代入得：cos (π6+φ)=1，即π6+φ=2kπ,k∈Z，又∵|φ|<π2，∴φ=−π6，∴f(x)=2cos (2x−π6)−1；由图可知(π3,−1)是其中一对称中心，故所求对称中心坐标为：(π3+kπ2,−1),k∈Z．(Ⅱ)易知g(x)=12f(x−π6)+1=12{2cos [2(x−π6)−π6]−1}+1．化简得g(x)=sin (2x)+12，当x∈[π12,3π4]时，由−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ，k∈Z得增区间是：[π12,π4]，由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ，k∈Z得减区间是：[π4,3π4]，故所求求区间为：[π4,3π4]，．当x=π12时，g(x)的值：sin(2×π12)+12=1，当x=π4时，g(x)的值32，当x=3π4时，g(x)的值：sin(2×3π4)+12=−12．故所求最大值为：32;最小值为−12．【解析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质和余弦函数的图象与性质，是中档题．(Ⅰ)由图象可得A，B，周期T可得ω，代入点(π12,1)可得φ，即可得出f(x)的解析式，由图可知(π3,−1)是其中一对称中心，可得对称中心坐标；(Ⅱ)由三角函数图象变换可得g(x)=sin (2x)+12，由三角函数性质可得单调减区间和最值．30.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=2sinxsin(x+π2)，得f(0)=2sin0sinπ2=0；(Ⅱ)∵f(x)=2sinxsin(x+π2)=2sinxcosx=sin2x，∴f(x)的最小正周期为π；(Ⅲ)∵y=f(x+φ)=sin(2x+2φ)为偶函数，，∵0<φ<π2，∴φ=π4．【解析】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，是基础题．(Ⅰ)直接在函数解析式中取x=0求解；(Ⅱ)利用诱导公式及倍角公式变形，再由周期公式求周期；(Ⅲ)由y=f(x+φ)=sin(2x+2φ)为偶函数，可得，再结合φ的范围求解．。

课时规范训练[A级基础演练]1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π12 B.π6C.π4D．π3解析：选D.在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.2．(2022·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝() A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.3．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或150°解析：选A.在△ABC中，ABsin C＝BCsin A，∴2sin C＝2sin 45°，∴sin C＝12，又AB＜BC，∴∠C＜∠A，故∠C＝30°.4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．5．(2022·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝()A.3π4B．π3C.π4D．π6解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝π4.6．(2022·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝．解析：∵a＝3c，∴sin A＝3sin C，∵∠A＝2π3，∴sin A＝32，∴sin C＝12，又∠C必为锐角，∴∠C＝π6，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝π6，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴bc＝1.答案：17．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为．解析：由S△ABC＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.答案：78．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B＝() A.π6B．π4C.π3 D ．3π4解析：选C.依据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a＝sin Asin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.9．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值． 解：(1)证明：∵三角形的三边a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝22.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B 2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)由于S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. [B 级 力量突破]1．(2021·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3 B ．π3 C.3π4D ．5π6解析：选A.由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b . 又由于b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.由于C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.2．(2021·北京东城一模)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B ．13或37 C.37D ．13解析：选D.由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC ＝32，由于△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.3．(2021·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，假如sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D.由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2， 即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， ∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A ＝A ，A >B ，A >C ， 即3A >A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3. 因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.4．(2021·云南第一次检测)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于 ． 解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.答案：16 25．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过 分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开头时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)． 答案：4036．(2021·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解：(1)由题意知，f (x )＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3()1＋sin 2x ＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由f (A )＝3＋1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π3. 又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3. 由A ＝π3，a ＝3.得|BC→|＝|AC →－AB →|＝a ＝3，① 又BC 边上的中线长为3，知|AB →＋AC →|＝6.②联立①②，解得AB →·AC→＝274，即|AB →|·|AC →|·cos π3＝274， ∴|AB →|·|AC →|＝272. ∴△ABC 的面积为S ＝12|AB →|·|AC →|·sin π3＝2738.。

2021年高考数学一轮复习《三角函数》精选练习一、选择题1.若函数f(x)=ax ＋b 的零点是2，那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是( )A ．0，2B ．0，0.5C ．0，-0.5D ．2，-0.52.若函数f(x)=ax ＋1在区间(-1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(-∞，1)C ．(-∞，-1)∪(1，＋∞)D ．(-1，1) 3.函数f(x)=3x＋x 2-2的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 4.函数f(x)=e x ＋2x-3的零点所在的一个区间为( )A ．(-1，0)B ．0，0.5 C.0.5，1 D ．1，1.5 5.函数f(x)=3x |ln x|－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 6.下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( )A ．y=log 0.5xB ．y=2x－1 C ．y=x 2－0.5 D ．y=－x 37.一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 8.点P(cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9.-510°是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.某扇形的面积为1cm 2，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（ ）A.2°B.2C.4°D.4 11.如果弓形的弧所对的圆心角为3π，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是（ ） A.(344-9π)cm 2 B.(344-3π)cm 2 C.(348-3π)cm 2 D.(328-3π)cm 212.已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M(－3，4)，则cos 2θ－sin 2θ＋tanθ的值为( )A ．－12175 B.12175 C ．－7975 D.797513.已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 214.已知tan(α-π)=0.75，且α∈[23,2ππ]，则sin(2πα+)=( ) A.0.8 B.-0.8 C.0.6 D.-0.6 15.计算：0190sin 160sin 2350cos --=( )16.若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是（ ） A.3/5 B.-3/5 C.4/5 D.-4/517.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点P(3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2 019π2=( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.4518.已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3=0垂直，则)222017cos(απ-的值为( ) A.0.8 B.－0.8 C.2 D.-0.5 19.)2cos()2sin(21++-ππ等于（ ）A.sin2－cos2B.cos2－sin2C.±(sin2－cos2)D.sin2+cos220.已知函数f(x)=asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)=3，则f(2018)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3 21.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋17π12等于( ) A.13 B.223 C ．－13 D ．－223 22.log 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4的值为( )A ．－1B ．－12 C.12 D.2223.将函数f(x)=sin 2x 图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象．若g(x)在区间[0，a]上单调递增，则a 的最大值为( ) A.π8 B.π4 C.π6 D.π224.关于函数y=tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数 B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π25.若函数y=3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，则|φ|的最小值为( )A.π6 B ．π4 C.π3 D ．π226.已知函数f(x)=cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数； ②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=2π3；③函数f(x)图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kx ＋π6，k π＋2π3，k ∈Z.则正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 27.函数y=sin x ＋cos x 的最小值和最小正周期分别是( )A.-2，2πB.-2,2πC.-2，πD.-2，π 28.y=|cos x|的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π29.设函数f(x)=3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2) 30.已知函数f(x)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( ) A ．函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到D ．函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到31.已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6 D.π632.将函数y=f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则下面对函数y=g(x)的叙述正确的是( )A ．函数g(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．函数g(x)的周期为πC ．函数g(x)的一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D ．函数g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增33.已知函数f(x)=2sin(ωx＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f(0)=1，|MN|=52，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是( )A ．g(x)=2cos π3xB ．g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π3C ．g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π3 D ．g(x)=－2cos π3x34.已知函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y=f(x)的图象向右平移16个单位长度得到y=g(x)的图象，则函数y=g(x)图象的一条对称轴方程是( )A ．x=56B ．x=13C ．x=12 D ．x=0二、填空题35.函数f(x)=3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n∈N)内，则n=________． 36.已知α是第二象限角，则α3是第________象限角.37.已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan = ． 38.已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直，其中θ∈(20π，)，则cos θ=________．39.已知θ是第三象限角，且sinθ-2cosθ=-25，则sinθ＋cosθ=________.40.已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f(x)=____________.答案解析41.答案为：C ； 42.答案为：C ；解析：由题意知，f(-1)f(1)<0，即(1-a)(1＋a)<0，解得a<-1或a>1. 43.答案为：C ；解析：函数f(x)=3x＋x 2-2的零点个数即为函数y=3x与函数y=2-x 2的图象的交点个数， 由图象易知交点个数为2，则f(x)=3x＋x 2-2的零点个数为2，故选C. 44.答案为：C ； 45.答案为：B ；解析：选B.函数f(x)=3x|ln x|－1的零点即3x|ln x|－1=0的解，即|ln x|=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的解， 作出函数g(x)=|ln x|和函数h(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，由图象可知，两函数图象有两个公共点， 故函数f(x)=3x|ln x|－1有2个零点．46.答案为：B ；解析：选B.函数y=log 12x 在定义域上单调递减，y=x 2－12在(－1，1)上不是单调函数，y=－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y=2x－1， 当x=0∈(－1，1)时，y=0且y=2x－1在R 上单调递增．故选B. 47.答案为：C ； 48.答案为：C ；49.[答案] C [解析] -510°=-720°＋210°，∴-510°角与210°角终边相同，故选C. 50.B 51.C 52.答案为：A解析：由已知得|OM|=5，因而cosθ=－35，sinθ=45，tanθ=－43，则cos 2θ－sin 2θ＋tanθ=925－1625－43=－12175.故选A.53.答案为：D ； 54.B. 55.D. 56.C57.答案为：C ；解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sin α=45，cos α=35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2=sin ( α－2 020π2＋π2 )=sin ( α＋π2 )=cos α=35.故选C. 58.A ． 59.A60.答案为：C ；解析：∵f(4)=asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)=asinα＋bcosβ=3，∴f(2018)=asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)=asinα＋bcosβ=3.故选C. 61.答案为：A ；解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋17π12=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=13.故选A. 62.答案为：B ；解析：log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4=log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4=log 222=－12.故选B.63.答案为：D ；f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到g(x)=sin [ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ]=-cos 2x 的图象．根据余弦函数的图象可知，当0≤2x≤π，即0≤x≤π2时，g(x)单调递增，故a 的最大值为π2. 64.答案为：C ；函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3=kπ2，k ∈Z ，得x=kπ4＋π6，k ∈Z.当k=0时，x=π6，所以它的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．65.答案为：A.解析：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ=3cos(2π3＋φ＋2π)=3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ=0，∴2π3＋φ=kπ＋π2，k ∈Z ，∴φ=k π－π6，k ∈Z. 取k=0，得|φ|的最小值为π6. 66.答案为：C.解析：f(x)=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x=cos 2xcos π3－sin 2xsin π3－cos 2x=－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，不是奇函数，故①错误；当x=2π3时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3=－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6=1，故②正确；当x=5π12时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12=－sin π=0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3. 67.A68.答案为：D ；将y=cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y=|cos x|的图象(如图)．故选D.69.答案为：C ；由题意f(x)=3sin ωx＋cos ωx=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π6(ω>0)．令ωx＋π6=π2＋kπ，k ∈Z ， 得x=π3ω＋kπω，k ∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，∴π6<π3ω＋kπω<π3，k ∈Z ，∴3k ＋1<ω<6k＋2，k ∈Z. 又∵f(x)的最小正周期大于π，∴2πω>π，解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)．故选C.70.答案为:A;解析：因为f(x)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到，故选A.71.答案为:B;解析：由题意，得T 2=π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6=π2，所以T=π，由T=2πω，得ω=2，由图可知A=1，所以f(x)=sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ=0，－π2<φ<π2，所以φ=π3.72.答案为：C.解析：将函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，可得函数y=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象，故g(x)的周期为2π4=π2，排除A ，B.令x=－π12，求得g(x)=0，可得g(x)的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0，故C 满足条件． 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π3，函数g(x)没有单调性，故排除D.73.答案为:A ；解析：设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|=52，得T 4=32，则T=6，ω=π3.又由f(0)=1，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π得sin φ=12，φ=5π6.所以f(x)=2sin ( π3x ＋5π6 ).则g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3x －1＋5π6=2cos π3x.故选A.74.答案为:B ；解析：函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3的最大值为2，由172－42=1可得函数f(x)的周期T=2×1=2，所以ω=π，因此f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx＋π3.将y=f(x)的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16＋π3=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx＋π6，当x=13时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6=2， 为函数的最大值，故直线x=13为函数y=g(x)图象的一条对称轴．故选B.75.答案为：2；解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)=－1＋ln 2＜0，f(3)=2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n=2.76.[答案] 一或第二或第四 [解析] 将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从x 轴右上方开始在每一等份中依次标数字1、2、3、4，如图所示.∵α第二象限角，∴图中标有数字2的位置即为α3角的终边所在位置，故α3是第一或第二或四象限角. 77.答案为：0.2; 78.答案：55. 79.答案为：-3125；解析：观察得sinθ=45，cosθ=35满足方程，但此时θ是第一象限角，不合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧sinθ－2cosθ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得5cos 2θ-85cosθ-2125=0，解得cosθ=35或-725.因为θ是第三象限角，所以cosθ=-725，从而sinθ=-2425，所以si nθ＋cosθ=-3125.80.答案为：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6； 解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2=22，ω>0，所以ω=π2，所以f(x)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ.因为该函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，所以sin(π＋φ)=－12，即sin φ=12. 因为－π2≤φ≤π2，所以φ=π6，所以f(x)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6.。

课时规范训练[A 级 基础演练]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选C.∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 3．(2022·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.32πD ．2π解析：选B.法一：由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.法二：由题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.4．(2022·高考全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：选B.法一：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )得，∴x ＝π6＋k 2π.(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． 法二：∵y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位后为x ＝π4－π12＋k 2π＝π6＋k2π，故选B.5．(2021·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋ф)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为 ． 解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．由于|φ|<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32. 答案：－326．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝ ．解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x <2π得－π3≤x －π3<5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6.答案：5π67．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ．解析：分析三角函数图象，依据最小值求k ，再求最大值．依据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.答案：88．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为 ．解析：利用正弦函数的对称性求周期． ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.答案：π9．(2022·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由于f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8k ∈Z .10．已知函数y ＝f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋a (x ∈R )，其中a 为常数． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期；(2)假如y ＝f (x )的最小值为0，求a 的值，并求此时f (x )的最大值及图象的对称轴方程． 解：(1)y ＝f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，所以函数的最小正周期T ＝π.(2)f (x )的最小值为0，所以－2＋a ＋1＝0，故a ＝1，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2的最大值等于4.当2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )时函数有最大值或最小值， 故函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． [B 级 力量突破]1．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上是增函数”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析：选C.对于A ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的最小正周期为4π，故排解A ；对于B ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的最小正周期为4π，故排解B ；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3时，2x ＋π3∈(0，π)，此时y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3单调递减，故排解D.选C.2．函数f (x )＝|sin x |＋2|cos x |的值域为( ) A ．[1， 5 ] B ．[1，2] C ．[2， 5 ]D ．[5，3]解析：选A.∵f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＋2|cos(x ＋π)|＝|－sin x |＋2|－cos x |＝|sin x |＋2|cos x |， ∴f (x )为偶函数，f (x )为周期函数，其中的一个周期为π，故只需考虑f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域即可．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5sin(x ＋α)，其中cos α＝15，sin α＝25，∴f (x )max＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝5，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时， f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x ＋β)，其中cos β＝15， sin β＝－25，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝5，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴f (x )的值域为[1， 5 ]．3．(2021·江西南昌一模)如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )解析：选C.如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N ，又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称，所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ，所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B ，2x 1－x M ＋x N ＝2x B ， 得x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T2， x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x M －x N |＝T2(常数)，其中，T 为f (x )的周期，选C.4．设函数f (x )＝|cos x |＋|sin x |，下列四个结论正确的是 ．①f (x )是奇函数；②f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称；③当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]；④当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增．解析：对于①，f (－x )＝|cos(－x )|＋|sin(－x )|＝|cos x |＋|sin x |，∴f (－x )＝f (x )是偶函数，①不正确；对于②，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，②正确；对于③④，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )是以π2为周期的函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝|sin x |＋|cos x |＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值域是[1，2]，故当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2>1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③.答案：②③5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω>0)，依据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象， 依据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，由于m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z .结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.。

专题4.1 角与弧度制、三角函数的概念【考试要求】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．【知识梳理】1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝l r (弧长用l 表示) 角度与弧度的换算1°＝π180 rad ；1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π° 弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.【微点提醒】1.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.3.象限角的集合4.轴线角的集合【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( )(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)锐角的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.(3)顺时针旋转得到的角是负角.(4)终边相同的角不一定相等.【教材衍化】2.(必修4P12例2改编)已知角α的终边过点P (8m ，3)，且cos α＝－45，则m 的值为()A.－12B.12C.－32D.32【答案】 A【解析】 由题意得m <0且8m(8m )2＋32＝－45，解得m ＝－12. 3.(必修4P4例1改编)在－720°～0°X 围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.【答案】 {－675°，－315°}【解析】 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ).解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.【真题体验】4.(2019·某某模拟)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 D【解析】 由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，故cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.【答案】 3【解析】 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，所以α＝ 3.6.(2019·某某模拟)已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α<0，则tan α＝________.【答案】 －1【解析】 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－x x＝－1.【考点聚焦】 考点一 角的概念及其集合表示 【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.【答案】 (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π 【解析】 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角. (2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.【规律方法】 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k π＋α(0≤α<2π)(k ∈Z )的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的X 围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.【答案】 (1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z 【解析】 (1)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . (2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π， 所以，所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z . 考点二 弧度制及其应用【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 【答案】见解析【解析】由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2). 【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.【答案】见解析【解析】l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm 2). 【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】见解析【解析】由已知得，l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R (0<R <10).所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25， 所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【规律方法】1.应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.【训练2】 (一题多解)(2019·某某质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米【答案】 B【解析】 法一 如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt△AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，得弦AB ＝2AD ＝4 3. 所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米). 法二 由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin ∠AOB＝12×4×4×sin 2π3＝4 3. 故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－43≈9(平方米). 考点三 三角函数的概念【例3】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( ) A.－32B.－12C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12， 则sin(π＋α)＝－sin α＝－12. (2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.【规律方法】 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.【训练3】 (1)(2019·某某一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A.－2425B.－725C.0D.2425(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________. 【答案】 (1)A (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 【解析】 (1)由三角函数的定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－2425. (2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的X 围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .【反思与感悟】1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP |＝r 一定是正值.2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.【易错防X 】1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等.3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 C【解析】 －3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2k π＋45°(k ∈Z ) B.k ·360°＋94π(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z ) D.k π＋5π4(k ∈Z ) 【答案】 C【解析】 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ，易知D 错误，C 正确.3.(2019·某某区模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( ) A.27 B.127C.9 D.19【答案】 B【解析】 ∵tan 7π3＝3m m＝m －16＝3，∴m －1＝33＝27， ∴m ＝127，故选B.4.已知点M 在角θ终边的反向延长线上，且|OM |＝2，则点M 的坐标为( )A.(2cos θ，2sin θ)B.(－2cos θ，2sin θ)C.(－2cos θ，－2sin θ)D.(2cos θ，－2sin θ)【答案】 C【解析】 由题意知，M 的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ).5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 B【解析】 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角.6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝() A.－45B.－35C.35D.45【答案】 B【解析】 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A.－255 B.－55C.55D.255【答案】 A【解析】 由三角函数定义，cos α＝25＝255，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255.8.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6【答案】 D【解析】 由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 二、填空题9.(2019·某某徐汇区调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于________. 【答案】 3【解析】 由题意知m >0且sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3. 10.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 【答案】 π3【解析】 设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.11.(2019·某某调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.【答案】 －43【解析】 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 12.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值X 围是________.【答案】 (－2，3]【解析】 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【答案】 A【解析】 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.14.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D.1 【答案】 B 【解析】 由题意可知tan α＝b －a 2－1＝b －a ， 又cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（b －a ）21＋（b －a ）2＝23， ∴5(b －a )2＝1，得(b －a )2＝15，则|b －a |＝55. 15.函数y ＝2sin x －1的定义域为________.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )【解析】 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12. 由三角函数线画出x 满足条件的终边X 围(如图阴影所示).∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ).16.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2的终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号. 【答案】见解析【解析】(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由(1)知2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 故k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2的终边在第二、四象限. (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0， 所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0， sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号. 综上，tan α2sin α2cos α2取正号. 【新高考创新预测】17.(多填题)某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d (单位：cm)表示成t (单位：s)的函数，则d ＝________(其中t ∈[0，60])；d 的最大值为________cm.【答案】 10sin πt 6010 【解析】 根据题意，得∠AOB ＝t 60×2π＝πt 30，故d ＝2×5sin ∠AOB 2＝10sin πt 60(t ∈[0，60]).∵t ∈[0，60]，∴πt 60∈[0，π]，当t ＝30时，d 最大为10 cm.。

2025届新高考一轮复习特训 三角函数一、选择题1．函数()sin 2f x =到()g x 的图象,则()g x =( )A.cos 4xB.cos x- C.cos 4x- D.sin x-2．已知()1sin ,tan 5tan 2αβαβ+==,则()sin αβ-=( )3．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ω的取值范围是( )A.5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.511,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()1,2P -,则cos 2α=( )355．与1990-︒终边相同的最小正角是( )A.80︒B.150︒C.170︒D.290︒6．已知tan α==( )7．下列区间中，函数π()7sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是( )A.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B.π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．记函数π()sin (0)4f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭πT <<，且()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )D.3二、多项选择题9．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]y x =被称为高斯函数；例如[]2.13-=-，[]2.12=，已知()sin sin f x x =+()()x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是( )A.函数()g x 是偶函数B.函数()g x 是周期函数C.函数()g x 的图像关于直线x =()g x x =只有1个实数根10．已知()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则( )A.()()πf x f x += B.()f x 的图象关于直线x =C.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增11．已知函数ππ()sin(3)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x =A.函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B.函数()f x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增)()12x f x -=-D.函数()f x 的图象关于5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称三、填空题12．若tan θ==____________.13．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边AC ，BC ，点E 在以AC 为直径的半圆上，延长AE ，BC 交于点D .若5AB =，sin CAB ∠=DCE ∠=ABE 的面积是______.14．如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是__________.四、解答题15．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h （单位：cm ）由关系式πsin 4h A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，其中0A >，0ω>，[0,)t ∈+∞.在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，且最高点与最低点间的距离为10cm .（1）求小球相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）和时间t （单位：s ）之间的函数关系式；（2）小球在0t s 内经过最高点的次数恰为50次，求0t 的取值范围.16．已知α=(1)写出与角α终边相同的角的集合;(2)写出在()4π,2π-内与角α终边相同的角.17．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||πϕ<）图象的最高点为π,16⎛⎫⎪⎝⎭，距离该最高点最近的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式及单调递减区间；（2）若函数()(0)2a g x f x a ⎛⎫=>⎪⎝⎭，()g x 的图象关于直线x =()g x 在π0,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的值.18．已知函数（1）化简；（2）若的值.19．如图，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥.cos αβ的值.()f x =()f x ()0f x =00π2π2cos(2)63x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭参考答案1．答案：A解析：()sin 2f x=ππsin 2sin 2cos 242y x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象,再把横坐标缩短为原来的一半,得到()cos 4g x x =的图象故选：A.2．答案：A解析：因为()sin sincos +cos sin αβαβαβ+===cos 5cos sin αβαβ=,所以11sin cos cos sin 6cos sin ,cos sin ,sin cos 212αβαβαβαβαβ+====所以()5141sin sin cos cos sin .1212123αβαβαβ-=-=-==故选：A.3．答案：A解析：因为2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ωω⎡+∈+⎢⎣π[2π,3π)3+∈，所以5,42ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.4．答案：D解析：因为角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()1,2P -,所以cos α==所以2cos 22cos 1αα=-=故选：D.5．答案：C解析：因为199********-=-⨯-︒︒︒，199********-=-⨯+︒︒︒，所以与1990-︒终边相同的最小正角是170︒.故选C.6．答案：B,故选：B.7．答案：A解析：方法一：令πππ2π2π262k x k -+-≤+≤，k ∈Z ，得π2π2π2π33k x k -+≤≤+，k ∈Z .取0k =，则π3x -≤≤ππ2π0,,233⎫⎡⎤-⎪⎢⎥⎭⎣⎦Ü，所以区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的单调递增区间.方法二：当π02x <<时，，所以在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故A 正πx <<π6x <-<()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；当πx <<π6x <-<()f x 在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；当3π2π2x <<π6x <-<()f x 在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.8．答案：A T <<2ππω<<，解得23ω<<.因为()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以2b =，且，即，所以，又π4π4+=，解得ω=5π()sin 224f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以π5ππ3πsin 2sin 2122242f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.9．答案：AD解析：选项A ，函数()f x 的定义域为R ，2tan 313tan 2αα+==-πππ663x -<-<()f x 3ππsin 224b ω⎛⎫++= ⎪⎝⎭3ππsin 024ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭3πππ()24k k ω+=∈Z 2ω<<3ππ24ω<+<因为()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，当0πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，当π2πx <≤时，()sin sin 0f x x x =-=，当2π3πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，…因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象如下图所示由()()g x f x =⎡⎤⎣⎦可知，在0x ≥内，当2πx k =+∈Z 时，()2g x =，当π2π2π6k x k +≤≤+2πx k ≠+∈Z 时，()1g x =，当2π2πk x k ≤<5ππ2π2π6k x k +<≤+，k ∈Z 时，()0g x =，因为()()()()g x f x f x g x -=-==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()g x 为偶函数，则函数()g x 的图象如下图所示显然()g x 不是周期函数，故选项A 正确，B 错误，C 错误;()g x x =，当()0g x =时，0x =方程有一个实数根，当()1g x =时，x =π212⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，方程没有实数根，当()2g x =时，πx =，此时()π02g =≠，方程没有实数根，()g x x =只有1个实数根，故D 正确；故选：AD.10．答案：AD解析：对于A,函数()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==,()()πf x f x +=,A正确;对于B,由πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 的图象不关于直线x =对于C,由πππ2π32066332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得函数()f x 的图象不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称,C 错误;对于D,当5ππ,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,πππ2,322x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,而正弦函数sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,因此函数()f x 在区间5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,D 正确.故选：AD.11．答案：ACD解析： 函数ππ()sin(3)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x =ππ3π42k ϕ∴⨯+=+,k ∈Z ,ππ4k ϕ∴=-+,k ∈Z因为ππ22ϕ-<<,所以ϕ=π()sin(3)4f x x =-．函数πππ()sin 3sin 312124f x x x ⎡⎤⎛⎫+=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数,故A 正确;当[,123ππx ∈,π3π0,434x ⎡-∈⎤⎢⎥⎣⎦,函数()f x 没有单调性,故B 错误;若12|()()|2f x f x -=,因为[]()1,1f x ∈-,所以()()1211f x f x =⎧⎪⎨=-⎪⎩或()()1211f x f x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,则12|x x -2π3=5π5ππsin 3sin 012124f π⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以函数()f x 图象关于5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,故D 正确故选：ACD ．.解析：由题意得：DCE ACE ∠+∠=π2CAE ACE +∠=所以DCE CAE ∠=∠，故sin sin DCE CAE ∠=∠=cos CAE ∠==因为sin CAB ∠=45CAB ∠=故()sin sin sin cos cos sin EAB CAE CAB CAE CAB CAE CAB∠=∠+∠=∠∠+∠∠343455=⨯=因为5AB =，ACB ∠=CAB ∠=3BC =，4AC =又因为AEC ∠=CAE ∠=，所以cos 4AE AC CAE =∠==的cos 11cos sin cos tan 131cos cos θθθθθθθ====+++所以ABE △的面积是11sin 522S AB AE EAB =⋅⋅∠=⨯=14．答案：36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z 解析：终边落在阴影部分第二象限最左边的角为360120k ⋅︒+︒,k ∈Z ,终边落在阴影部分第四象限最左边的角为,k ∈Z .所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是.故答案为：36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z .15．答案：（1）π5sin π([0,))4h t t ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭（2）1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：（1）由题意得1052A ==.因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，所以最小正周期为2s ，即2T ==π=，所以π5sin π([0,))4h t t ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，当t =最高点.因为小球在0s t 0149504T tT +≤<+.因为2T =，所以01984t ≤<所以0t 的取值范围为1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16．答案：(1)π2π,3k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z (2)36045k ⋅︒-︒36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z解析：(1)与角α终边相同的角的集合为π2π,3k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .(2)令π4π2π2π3k -<+<,得136k -<<又k ∈Z ,2k ∴=-,-1,0,∴在()4π,2π-内与角α终边相同的角是17．答案：（1）π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z（2）a =5=解析：（1）由题意解题思路知A =5ππ126=-=所以πT =，2π2πω==，所以()sin(2)f x x ϕ=+.将π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()sin(2)f x x ϕ=+，得πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π2π2k ϕ+=+，k ∈Z ，即π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，又||πϕ<，所以ϕ=π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.π3π2π22π62k x k +≤+≤+，k ∈Z 2πππ3k x k +≤≤+，k ∈Z ，即()f x 的单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z .（2）由（1）可得π()sin (0)6g x ax a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由()g x 的图象关于直线x =πππ62k =+，k ∈Z ，即51544a k =+，k ∈Z ，当π0,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππππ,66156a ax ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由()g x 在[π0,15ππ62+≤，即5a ≤.又0a >且51544a k =+，k ∈Z ，所以a =5=.18．答案：（1）π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）35-解析：（1）ππππcos 2cos 2π2tan 22333()ππtan 2πsin π233x x x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππsin 2cos 2tan 2π333cos 2ππ3tan 2sin 233x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为()00πcos 23f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以000ππππsin 2sin 2cos(2)6323x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0002πππcos 2cos 2πcos 2333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故00π2π33sin 2cos 2631010x x ⎛⎫⎛⎫-+-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．答案：（1）1-（2）3225-解析：（1）由题意得π2βα=+sin sin cos cos αβαβ=πsin sin sin cos 21πcos sin cos cos 2αααααααα⎛⎫+⎪⎝⎭==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.35α=，sin α=则πcos cos sin 2βαα⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭所以442sin cos 255αβ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭。

第五章三角函数第1节任意角、弧度制、任意角的三角函数一、选择题1.给出下列四个命题:①-是第二象限角;②是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有( C )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:-是第三象限角,故①错误.=π+,从而是第三象限角,②正确.-400°=-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°+45°,从而④正确.选C.2.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边所在象限是( B )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:由题意知tan α<0,cos α<0,所以α是第二象限角.选B.3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α∈(0,π)的弧度数为( C )(A)(B)(C) (D)2解析:设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,所以α==,选C.4.设集合M={x|x=²180°+45°,k∈Z},N={x|x=²180°+45°,k∈Z},那么( B )(A)M=N (B)M⊆N(C)N⊆M (D)M∩N=∅解析:由于M={x|x=²180°+45°,k∈Z}={…,-45°,45°,135°, 225°,…},N={x|x=²180°+45°,k∈Z}={…,-45°,0°,45°,90°,135°, 180°,225°,…},显然有M⊆N,故选B.5.给出下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形半径的大小无关;④若sin α=sin β,则α与β的终边相同;⑤若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( A )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:举反例:第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin =sin ,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cos θ=-1时既不是第二象限角,也不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.选A.6.设θ是第三象限角,且|cos |=-cos ,则是( B )(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角解析:由θ是第三象限角,知为第二或第四象限角,因为|cos |=-cos ,所以cos ≤0,综上知为第二象限角.选B.二、填空题7.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为.解析:设扇形的半径为R,则αR2=2,所以R2=1,所以R=1,所以扇形的周长为2R+α²R=2+4=6.答案:68.若α角与角终边相同,则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是.解析:由题意,得α=+2kπ(k∈Z),=+(k∈Z).又∈[0,2π],所以k=0,1,2,3,=,,,.答案:,,,9.已知集合E={θ|cos θ<sin θ,0≤θ≤2π},F={θ|tan θ<sin θ},那么E∩F= .解析:由单位圆的正、余弦线,容易得E={θ|<θ<π},又由F可知θ应在第二、四象限,所以E∩F={θ|<θ<π}.答案:{θ|<θ<π}10.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为.解析:由已知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.答案:-111.满足cos α≤-的角α的集合为.解析:作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z}.答案:{α|2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z}三、解答题12.已知角α的终边经过点P(-,y),且sin α=y(y≠0),判断角α所在的象限,并求cos α,tan α的值.解:因为r=|OP|==,所以sin α==y.因为y≠0,所以9+3y2=16,解得y=±,所以角α在第二或第三象限.当角α在第二象限时,y=,cos α==-,tan α=-;当角α在第三象限时,y=-,cos α=-,tan α=.13.一个扇形OAB的面积是1 cm2,它的周长是4 cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.解:设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,则解得所以圆心角α==2(rad).如图,过O作OH⊥弦AB于H,则∠AOH=1 rad.所以AH=1²sin 1=sin 1(cm),所以AB=2sin 1(cm).所以圆心角的弧度数为2 rad,弦长AB为2sin 1 cm.14.求函数y=lg(2sin x-1)+的定义域.解:要使原函数有意义,必须有即如图,在单位圆中作出相应的三角函数线,由图可知,原函数的定义域为[2kπ+,2kπ+)(k∈Z).第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式一、选择题1.已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是( C )(A){1,-1,2,-2} (B){-1,1}(C){2,-2} (D){1,-1,0,2,-2}解析:当k为偶数时,A=+=2;k为奇数时,A=-=-2.故选C.2.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为( B )(A)- (B)- (C)(D)解析:sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=2sin2α-1=-.3.等于( A )(A)sin 2-cos 2(B)sin 2+cos 2(C)±(sin 2-cos 2)(D)cos 2-sin 2解析:===|sin 2-cos2|=sin 2-cos 2.4.若函数f(x)=则f(-)的值为( A )(A)(B)- (C)(D)-解析:由已知得f(-)=f(-)+1=f()+2=-cos +2=.5.已知=1,则sin2θ+3sin θcos θ+2cos2θ的值是( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)6解析:由已知得=1,即tan θ=1,于是sin2θ+3sin θcos θ+2cos2θ===3.6.若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为( B )(A)1+ (B)1-(C)1± (D)-1-解析:由题意知sin θ+cos θ=-,sin θ²cos θ=.又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以=1+,解得m=1±.又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,所以m=1-.二、填空题7.若=2,则sin(θ-5π)sin(-θ)= .解析:由=2,得sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ),两边平方得1+2sin θcos θ=4(1-2sin θcos θ),故sin θcos θ=, 所以sin(θ-5π)sin(-θ)=sin θcos θ=.答案:8.已知cos(-α)=,则sin(α-)= .解析:sin(α-)=-sin[+(-α)]=-cos(-α)=-.答案:-9.已知cos 31°=a,则sin 239°²tan 149°= .解析:sin 239°²tan149°=sin(180°+59°)²tan(180°-31°)=-sin 59°²(-tan 31°)=cos 31°²=sin 31°==.答案:10.若x∈(0,),则2tan x+tan(-x)的最小值为 .解析:因为x∈(0,),所以tan x>0.所以2tan x+tan(-x)=2tan x+≥2,所以2tan x+tan(-x)的最小值为2.答案:211.已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ-)= .解析:由题意,得cos(θ+)=,所以tan(θ+)=.所以tan(θ-)=tan(θ+-)=-=-.答案:-12.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则 f (2 017)的值为.解析:因为f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asin α+bcos β=3,所以f(2 017)=asin(2 017π+α)+bcos(2 017π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asin α-bcos β=-3.答案:-3三、解答题13.已知sin(3π+θ)=,求+的值.解:因为sin(3π+θ)=-sin θ=,所以sin θ=-.所以原式=+=+=+====18.14.已知0<α<,若cos α-sin α=-,试求的值. 解:因为cos α-sin α=-,所以1-2sin α²cos α=.所以2sin α²cos α=,所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=.因为0<α<,所以sin α+cos α=.由cos α-sin α=-,sin α+cos α=得sin α=,cos α=,所以tan α=2,所以==-.15.是否存在α∈(-,),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos(-β),cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.解:假设存在α,β使得等式成立,即有由诱导公式可得③2+④2得sin2α+3cos2α=2,所以cos2α=.又因为α∈(-,),所以α=或α=-.将α=代入④得cos β=.又β∈(0,π),所以β=,代入③可知符合.将α=-代入④得cos β=.又β∈(0,π),所以β=,代入③可知不符合.综上可知,存在α=,β=满足条件.第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1.化简的结果是( C )(A)tan (B)tan 2x (C)-tan x (D)解析:原式===-tan x,故选C.2.在△ABC中,2cos Bsin A=sin C,则△ABC的形状一定是( D )(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形解析:由条件得2cos Bsin A=sin(A+B),即2cos Bsin A=sin Acos B+cos Asin B,得sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.因为角A,B是三角形的内角,所以A-B=0,△ABC是等腰三角形,故选D.3.函数f(x)=sin x-cos(x+)的值域为( B )(A)[-2,2] (B)[-,](C)[-1,1] (D)[-,]解析:因为f(x)=sin x-cos(x+)=sin x-(cos xcos -sin xsin)=sin x-cos x=sin(x-),所以值域为[-,],故选B.4.已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,若α,β∈(-,),则α+β等于( D )(A) (B)或-(C)-或 (D)-解析:由韦达定理得tan α+tan β=-3<0,tan α²tan β=4>0,故tan α<0,tan β<0,所以α,β∈(-,0),故α+β∈(-π,0).又tan(α+β)==,所以α+β=-.故选D.5.已知sin(α+)+cos α=-,则cos(-α)等于( C )(A)-(B)(C)- (D)解析:由sin(α+)+cos α=-,展开化简可得sin(α+)=-,所以cos(-α)=cos[-(+α)]=sin(+α)=-.6.在三角函数中,如果角α与角β可能相等,我们称这两个角是“亲情角”.已知tan(β-)=2,下列选项中,哪个角α与已知的角β互为亲情角( C )(A)tan α=3 (B)tan α=(C)tan2(α+)=(D)cos α=解析:由条件得=2,解得tan β=-3,由于A,B,D三个选项的tan α≠-3,所以均不符合.对于选项C,由tan2(α+)=()2=,解得tan α=-3或tan α=-,故选C.二、填空题7.计算cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α) = .解析:原式=cos [(α-35°)-(25°+α)]=cos 60°=.答案:8.已知tan(+θ)=3,则sin 2θ-2cos2θ= .解析:由tan(+θ)=3,求得tan θ=,而sin 2θ-2cos2θ===-.答案:-9.已知sin(x+)=,则sin(x-)+sin2(-x)的值是.解析:因为sin(x-)=-sin(x+)=-,sin2(-x)=cos2(+x)=1-sin2(+x)=,所以原式=-+=.答案:10.在△ABC中,若cos A=,sin B=,则cos C= .解析:因为cos A=,则sin A=,且45°<A<60°.又因为sin B=,sin B<,则0°<B<30°或150°<B<180°(舍去),所以cos B=,从而有cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-.答案:-11.已知cos(α-β)=,则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2的值为.解析:(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=2+2(cos αcos β+sin αsin β)=2+2cos(α-β)=.答案:12.设a,b,∈R,c∈[0,2π),若对任意实数x都有2sin(3x-)=asin(bx+c),则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为.解析:因为2sin(3x-)=asin(bx+c),所以a=±2,b=±3.当a,b确定时,c唯一.若a=2,b=3,则c=;若a=2,b=-3,则c=;若a=-2,b=-3,则c=;若a=-2,b=3,则c=,故共有四组.答案:4三、解答题13.已知cos(α-β)=-,cos β=,α∈(,π),β∈(0,),求cos(α-2β)的值.解:由条件得α-β∈(0,π),sin(α-β)=,sin β=,所以cos(α-2β)=cos [(α-β)-β]=.14.设函数f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-),其中0<ω<3,已知f()=0,(1)求ω的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[-,]上的最小值.解:(1)因为f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-)=sin ωxcos -cos ωxsin -cos ωx=sin ωx-cos ωx=sin(ωx-),由题设f()=0,得-=kπ,k∈Z,故ω=6k+2,考虑到0<ω<3,故有ω=2.(2)由上可知f(x)=sin(2x-),所以g(x)=sin(x+-)=sin(x-).因为x∈[-,],所以x-∈[-,],当x-=-,即x=-时,g(x)取最小值是-.15.已知函数f(x)=2sin(x-).(1)求f(x)的单调区间;(2)设α,β∈[0,],f((3α-)=-,f(3β+π)=,求cos(α+β)的值.解:(1)由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+6kπ≤x≤+6kπ,k∈Z,即得单调递增区间是[-+6kπ,+6kπ],k∈Z.同理可求单调递减区间是[+6kπ,+6kπ],k∈Z.(2)因为得即因为α,β∈[0,],解得从而有cos(α+β)=-.第4节二倍角公式一、选择题1.化简²的结果为( B )(A)tan α (B)tan 2α(C)1 (D)解析:原式=²==tan 2α,故选B.2.若设a=cos 6°-sin 6°,b=,c=,则有( C )(A)c<b<a (B)a<b<c(C)a<c<b (D)b<c<a解析:经计算得a=sin 24°,b=tan 26°,c=sin 25°,所以a<c<b,故选C.3.已知sin α+cos α=,则sin2(-α)等于( B )(A) (B) (C)(D)解析:由sin α+cos α=,两边平方得1+sin 2α=,解得sin 2α=-,所以sin2(-α)===,故选B.4.函数f(x)=cos 2x+6cos(-x)的最大值为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:因为f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2(sin x-)2+,当sin x=1时,f(x)取最大值为5,故选B.5.设α为锐角,且cos(α+)=,则sin(2α+)的值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:因为α为锐角,且cos(α+)=,得sin(α+)=,所以sin[2(α+)]=,cos[2(α+)]=,从而有sin(2α+)=sin [2(α+)-]=³-³=,故选A.6.已知不等式f(x)=3sin cos +cos2-+m≤0对于任意的-≤x≤恒成立,则实数m的取值范围是( C )(A)[,+∞) (B)(-∞,)(C)(-∞,-] (D)[-,]解析:因为f(x)=sin +cos +m=(sin +cos )+m=sin(+)+m.因为-≤x≤,则-≤+≤,所以-≤sin(+)≤,即f(x)的最大值是²+m=+m≤0,解得m≤-,故选C.二、填空题7.已知角α终边过点P(3,4),则cos 2α= .解析:因为角α终边过点P(3,4),所以cos α=,sin α=,cos 2α=-.答案:-8.某会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,弦图是四个全等的直角三角形与一个小正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos 2θ的值等于.解析:设直角三角形的两直角边长分别为a,b,则4³(ab)+1=25,得ab=12.又因为a2+b2=25,联立方程组可解得或所以cos θ=,从而有cos 2θ=2cos2θ-1=.答案:9.若=2 018,则+tan 2α= .解析:+tan 2α=+=+====2 018.答案:2 01810.已知4cos Acos B=,4sin Asin B=,则(1-cos 4A)(1-cos 4B) = .解析:由条件得4cos Acos B²4sin Asin B=²,即sin 2Asin 2B=,所以原式=2sin22A²2sin22B=4(sin 2Asin 2B)2=4()2=3.答案:311.设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则cos A+2cos 的最大值是.解析:因为cos A+2cos =cos A+2sin=-2sin2+2sin +1=-2+,所以当sin =,即A=时,cos A+2cos 的最大值是.答案:三、解答题12.已知f(x)=sin x+2sin(+)cos(+).(1)若f(α)=,α∈(-,0),求α的值;(2)若sin =,x0∈(,π),求f(x0)的值.解:(1)由条件可得f(x)=sin x+cos x=sin(x+).因为f(α)=,α∈(-,0),所以sin(α+)=.则α+=,解得α=-.(2)因为sin =,x0∈(,π),得sin x0=,cos x0=-,所以f(x0)=.13.已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x)-1.(1)求f()的值;(2)若f(x0)=,x0∈[0,],求sin 2x0的值.解:(1)因为f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),所以f()=2.(2)由上可知,f(x0)=2sin(2x0+)=,所以sin(2x0+)=.由x0∈[0,],得2x0+∈[,].由0<sin(2x0+)=<,知2x0+∈(,π),从而有cos(2x0+)=-, 所以sin 2x0=sin[(2x0+)-]=²-(-)²=.14.已知函数f(x)=sin 2xsin ϕ+cos2xcos ϕ-sin(+ϕ)(0<ϕ<π),其图象过点(,).(1)求ϕ的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.解:(1)由条件得f(x)=sin 2xsin ϕ+cos ϕ-cos ϕ=sin 2xsin ϕ+cos 2xcos ϕ=cos(2x-ϕ).又函数图象过点(,),得=cos(2²-ϕ),-ϕ=2kπ,ϕ=-2kπ,k∈Z.又因为0<ϕ<π,解得ϕ=.(2)由上可知f(x)=cos(2x-),将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,即g(x)=f(2x)=cos(4x-).因为x∈[0,],所以4x-∈[-,],有cos(4x-)∈[-,1],所以函数g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值分别为和-.第5节三角函数的化简与求值一、选择题1.计算等于( D )(A)-(B)- (C) (D)解析:原式====,故选D.2.式子tan 11°+tan 19°+tan 11°tan 19°的值是( D )(A) (B) (C)0 (D)1解析:因为tan(11°+19°)==,所以tan 11°+tan 19°=(1-tan 11°tan 19°),即tan 11°+tan 19°=1-tan 11°tan 19°,从而有tan 11°+tan 19°+tan 11°tan 19°=1,故选D.3.若sin(-α)=,则cos(+2α)等于( A )(A)- (B)- (C)(D)解析:观察发现+2α=2(+α),而(+α)+(-α)=,则有cos(+α)=sin(-α)=,所以cos(+2α)=2cos2(+α)-1=2³-1=-,故选A.4.设M=sin 100°-cos 100°,N=(cos 46°cos 78°+cos 44°²cos 12°),P=,Q=,则M,N,P,Q的大小关系是( C )(A)M>N>P>Q (B)P>M>N>Q(C)N>M>Q>P (D)Q>P>M>N解析:因为M=sin(100°-45°)=sin 55°,N=(cos 46°sin 12°+sin 46°cos 12°)=sin 58°,P==tan(45°-10°)=tan 35°,Q==tan 45°=1,所以N=sin 58°>sin 55°=M>sin 45°=1=Q.=tan 45°>tan 35°=P,即有N>M>Q>P,故选C.5.设△ABC的三内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B, cos A),若m²n=1+cos(A+B),则角C等于( C )(A) (B) (C) (D)解析:因为m²n=1+cos(A+B),所以sin Acos B+cos Asin B=1+cos(A+B),即sin(A+B)=1+cos(A+B).又因为A+B+C=π,得sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,因此有sin C=1-cos C,即sin C+cos C=1,从而有sin(C+)=.考虑到0<C<π,得C+=,所以C=,故选C.6.若0≤A,B≤,且A+B=,则cos2A+cos2B的最小值和最大值分别为( C )(A), (B),(C), (D),解析:因为A+B=,所以cos2A+cos2B=+=1+(cos 2A+cos 2B)=1+[cos 2A+cos(-2A)]=1+(cos 2A+coscos 2A+sin sin 2A)=1+(cos 2A-sin 2A)=1+cos(2A+).又因为0≤A,B≤,且A+B=,得≤A≤,≤2A+≤,则-1≤cos(2A+)≤-,从而有≤cos2A+cos2B≤,故有最大值为,最小值为,故选C.二、填空题7.定义运算a⊕b=ab2+a2b,则sin 15°⊕cos 15°= .解析:依题意得sin 15°⊕cos 15°=sin15°cos215°+sin215°²cos 15°=sin 15°cos 15°(sin 15°+cos 15°)=sin30°²sin(15°+45°)=.答案:8.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin 2α的值是.解析:由已知<β<α<,可知π<α+β<,0<α-β<.又因为cos(α-β)=,sin(α+β)=-,得sin(α-β)=,cos(α+β)=-,所以sin 2α=sin [(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-³+(-)³=-.答案:-9.已知sin(x+20°)=cos(x+10°)+cos(x-10°),则tan x的值是.解析:由条件可化为sin xcos 20°+cos xsin 20°=2cos xcos 10°,两边同除以cos x,得tan x=====.答案:10.已知α=,则+++的值是.解析:法一因为===tan 4α-tan 3α,同理可得=tan 3α-tan 2α,=tan 2α-tan α,所以原式=tan 4α=tan =.法二原式=sin α²+sinα²=+=sin 2α²=sin 2α²=tan 4α=tan =.答案:11.如果cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ),θ∈[0,2π),那么θ的取值范围是.解析:原不等式等价于sin3θ+sin5θ>cos3θ+cos5θ.又因为f(x)=x3+x5是(-∞,+∞)上的增函数,所以sin θ>cos θ.又因为θ∈[0,2π),所以θ的取值范围是(,).答案:(,)12.函数f(x)=4cos2cos(-x)-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.解析:因为f(x)=2(1+cos x)sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|,所以函数f(x)的零点个数转化为函数y=sin 2x与y=|ln(x+1)|图象的交点的个数.由图象可得交点有2个,故f(x)的零点也有2个.答案:2三、解答题13.已知函数f(x)=sin xsin(x+).(1)求f(x)的最小正周期;(2)当x∈[0,]时,求f(x)的取值范围.解:(1)由题意得f(x)=sin2x+sin xcos x=²+sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+,所以最小正周期为T=π.(2)由0≤x≤,得-≤sin(2x-)≤1,所以f(x)的取值范围是[0,].14.已知tan(π+α)=-,tan(α+β)=.(1)求tan(α+β)的值;(2)求tan β的值.解:(1)因为tan(π+α)=-,所以tan α=-,从而有tan(α+β)====.(2)tan β=tan [(α+β)-α]===.15.如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan =;(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan +tan +tan +tan的值.(1)证明:tan ===.(2)解:由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.由(1),有tan +tan +tan +tan=+++=+.连接BD(图略),在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB²ADcos A,在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC²CDcos C,所以AB2+AD2-2AB²ADcos A=BC2+CD2+2BC²CDcos A. 则cos A===.于是sin A===.连接AC,同理可得cos B===,于是sin B===.所以tan +tan +tan +tan=+=+=.第6节三角函数的图象与性质一、选择题1.函数y=tan(-x)的定义域为( A )(A){x|x≠kπ-,k∈Z} (B){x|x≠2kπ-,k∈Z}(C){x|x≠kπ+,k∈Z} (D){x|x≠2kπ+,k∈Z}解析:令-x≠kπ+,k∈Z,所以x≠--kπ,即x≠kπ-,k∈Z.2.(2016²山东卷)函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是( B )(A)(B)π (C) (D)2π解析:f(x)=3sin xcos x-sin2x+cos2x-sin xcos x=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+).最小正周期T==π,故选B.3.(2017²全国Ⅲ卷)设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是( D )(A)f(x)的一个周期为-2π(B)y=f(x)的图象关于直线x=对称(C)f(x+π)的一个零点为x=(D)f(x)在(,π)单调递减解析:f(x)=cos(x+)中,x∈(,π),x+∈(,),则f(x)=cos(x+)不是单调函数.故选D.4.如果函数y=3cos(2x+ϕ)的图象关于点(,0)对称,那么|ϕ|的最小值为( A )(A) (B) (C) (D)解析:由题意得3cos(2³+ϕ)=3cos(+ϕ+2π)=3cos(+ϕ)=0,所以+ϕ=kπ+,k∈Z,所以ϕ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|ϕ|的最小值为.5.(2016²浙江卷)设函数f(x)=sin 2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( B )(A)与b有关,且与c有关(B)与b有关,但与c无关(C)与b无关,且与c无关(D)与b无关,但与c有关解析:f(x)=sin2x+bsin x+c=+bsin x+c=-+bsin x+c+,其中当b=0时,f(x)=-+c+,此时周期是π;当b≠0时,周期为2π,而c不影响周期.故选B.6.(2016²全国Ⅰ卷)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( C )(A)[-1,1] (B)[-1,](C)[-,] (D)[-1,-]解析:f′(x)=1-cos 2x+acos x=1-²(2cos2x-1)+acos x=-cos2x+acos x+,f(x)在R上单调递增,则f′(x)≥0在R上恒成立.令cos x=t,t∈[-1,1],则-t2+at+≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t2-3at-5,则解得-≤a≤,故选C.二、填空题7.已知a>0,函数f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,当x∈[0,]时,-5≤f(x)≤1,则常数a= ;设g(x)=f(x+),则g(x)的单调增区间为 .解析:因为x∈[0,],所以2x+∈[,],所以sin(2x+)∈[-,1],所以-2asin(2x+)∈[-2a,a].所以f(x)∈[b,3a+b].又因为—5≤f(x)≤1,所以b=-5,3a+b=1,解得a=2,b=-5.所以f(x)=-4sin(2x+)-1,g(x)=f(x+)=-4sin(2x+)-1=4sin(2x+)-1,当-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z时,g(x)单调递增,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以g(x)的单调增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.答案:2 [-+kπ,+kπ](k∈Z)8.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.解析:f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ωx+),因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω²ω+=2kπ+,k ∈Z,所以ω2=2kπ+,k∈Z.又2[ω-(-ω)]≤,即ω2≤,所以ω2=,所以ω=.答案:9.已知函数f(x)=3sin(ωx-)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+ )+1的图象的对称轴完全相同,若x∈[0,],则f(x)的取值范围是. 解析:因为f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同,所以f(x)与g(x)的最小正周期相等,因为ω>0,所以ω=2,所以f(x)=3sin(2x-),因为0≤x≤,所以-≤2x-≤,所以-≤sin(2x-)≤1,所以-≤3sin(2x-)≤3,即f(x)的取值范围是[-,3].答案:[-,3]10.(2017²嘉兴模拟)已知函数f(x)=3sin(3x+ϕ),x∈[0,π],则y=f(x)的图象与直线y=2的交点个数最多有个.解析:令f(x)=3sin(3x+ϕ)=2,得sin(3x+ϕ)=∈[-1,1],又x∈[0,π],所以3x+ϕ∈[ϕ,3π+ϕ];根据正弦函数的图象与性质,可得该方程在正弦函数一个半周期上最多有4个解,即函数y=f(x)的图象与直线y=2的交点最多有4个.答案:411.下列四个函数:①y=sin |x|,②y=cos |x|,③y=|tan x|,④y=-ln|sin x|,以π为周期,在(0,)上单调递减且为偶函数的是___ .(只填序号)解析:①y=sin |x|在(0,)上单调递增,故①错误;②y=cos |x|=cos x 周期为T=2π,故②错误;③y=|tan x|在(0,)上单调递增,故③错误;④ln|sin(x+π)|=ln|sin x|,周期为π,当x∈(0,)时,y=-ln|sin x|=-ln(sin x)在(0,)上单调递减,y=-ln|sin x|为偶函数,故④正确.答案:④12.已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是.解析:T=≥2(π-)=π,所以0<ω≤2,由<x<π得ω+<ωx+<πω+,由题意知(ω+,πω+)⊆[+2kπ,+2kπ],k∈Z,所以即所以≤ω≤.答案:[,]三、解答题13.(2017²北京卷)已知函数f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈[-,]时,f(x)≥-.(1)解:f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明:因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,所以sin(2x+)≥sin(-)=-,所以当x∈[-,]时,f(x)≥-.14.求函数y=cos2x+sin x(|x|≤)的最大值与最小值.解:令t=sin x,因为|x|≤,所以t∈[-,].所以y=-t2+t+1=-(t-)2+,所以当t=时,y max=,当t=-时,y min=.所以函数y=cos2x+sin x(|x|≤)的最大值为,最小值为. 15.(2017²浙江协作体)已知0≤ϕ<π,函数f(x)=cos(2x+ϕ)+sin2x.(1)若ϕ=,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)的最大值是,求ϕ的值.解:(1)由题意f(x)=cos 2x-sin 2x+=cos(2x+)+,由2kπ-π≤2x+≤2kπ,得kπ-≤x≤kπ-.所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ-],k∈Z.(2)由题意f(x)=(cos ϕ-)cos 2x-sin ϕsin 2x+,由于函数f(x)的最大值为,即+=1,从而cos ϕ=0,又0≤ϕ<π,故ϕ=.第7节函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象与性质一、选择题1.为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点( A )(A)向左平行移动1个单位长度(B)向右平行移动1个单位长度(C)向左平行移动π个单位长度(D)向右平行移动π个单位长度2.(2016²全国Ⅰ卷)将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( D )(A)y=2sin(2x+) (B)y=2sin(2x+)(C)y=2sin(2x-) (D)y=2sin(2x-)解析:因为T==π,=,所以y=2sin(2x+)y=2sin[2(x-)+],所以y=2sin(2x-).故选D.3.函数y=sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位,得到的图象恰好关于x=对称,则φ的最小值为( A )(A)π(B)π(C)π(D)以上都不对解析:y=sin 2x的图象向右平移φ个单位得到y=sin 2(x-φ)的图象,又关于x=对称,则2(-φ)=kπ+(k∈Z),2φ=-kπ-(k∈Z),即φ=--,取k=-1,得φ=π.4.设a∈R,b∈[0,2π],若对任意实数x都有sin(3x-)=sin(ax+b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由已知,3x-=ax+b+2kπ或3x-+ax+b=π+2kπ,k∈Z,所以或k∈Z,所以或满足条件的有序实数对(a,b)的对数为2.5.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有=.则φ等于( D )(A) (B)(C)(D)解析:由已知得g(x)=sin(2x-2φ),满足|f(x1)-g(x2)|=2,不妨设此时y=f(x)和y=g(x)分别取得最大值与最小值,又|x1-x2|min=,令2x1=,2x2-2φ=-,此时|x1-x2|=-φ=,又0<φ<,故φ=.故选D.6.已知函数f(x)=Asin(x-),g(x)=k(x-3).已知当A=1时,函数h(x)=f(x)-g(x)所有零点和为9.则当A=2时,函数h(x)=f(x)-g(x)所有零点和为( A )(A)15 (B)12(C)9 (D)与k的取值有关解析:如图,函数y=f(x)与y=g(x)图象均过的点(3,0),且均关于点(3,0)对称.所以h(x)零点关于x=3“对称”,因为当A=1时,h(x)所有零点和为9,所以此时,函数y=f(x)与y=g(x)图象有三个公共点,此时,f(6)<g(6),得k>.当A=2时,f(6)>g(6)且g(9)=6k>2=f max(x),所以h(x)有5个零点x1,x2,x3,x4,x5,且x1+x5=x2+x4=6,x3=3.所以x1+x2+x3+x4+x5=15.故选A.7.(2016²全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为( B )(A)11 (B)9 (C)7 (D)5解析:因为f(x)=sin(ωx+φ)的一个零点为x=-,x=为y=f(x)图象的对称轴,所以²k=(k为奇数).又T=,所以ω=k(k为奇数).又函数f(x)在(,)上单调,所以≤³,即ω≤12.若ω=11,又|φ|≤,则φ=-,此时,f(x)=sin(11-x-),f(x)在(,)上单调递增,在(,)上单调递减,不满足条件.若ω=9,又|φ|≤,则φ=,此时f(x)=sin(9x+),满足f(x)在(,)上单调的条件.故选B.二、填空题8.(2017²温州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,将f(x)的图象向左平移个单位,得到g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为 .解析:由题意得=-=,所以T=π,所以ω=2,又因为2³+φ=π,所以φ=,所以f(x)=sin(2x+).因为g(x)的图象是由f(x)的图象向左平移个单位得到,所以g(x)=sin [2(x+)+]=sin(2x+).答案:g(x)=sin(2x+)9.(2016²全国Ⅲ卷)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.解析:y=sin x-cos x=2sin(x-),y=sin x+cos x=2sin(x+),y=2sin(x+)的图象至少向右平移个单位长度得到y=2sin(x+-)=2sin(x-)的图象.答案:10.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为.解析:将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2sin [2(x+)]=2sin(2x+)的图象.由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即平移后图象的对称轴为x=+(k∈Z).答案:x=+(k∈Z)11.(2016²浙江卷)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .解析:2cos2x+sin 2x=sin(2x+)+1,所以A=,b=1.答案: 112.(2016²江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.解析:联立两曲线方程,得两曲线交点个数即为方程组解的个数,也就是方程sin 2x=cos x解的个数.方程可化为2sin xcos x=cos x,即cos x(2sin x-1)=0,所以cos x=0或sin x=.①当cos x=0时,x=kπ+,k∈Z,因为x∈[0,3π],所以x=,π,π,共3个;②当sin x=时,因为x∈[0,3π],所以x=,π,π,π,共4个.综上,方程组在[0,3π]上有7个解,故两曲线在[0,3π]上有7个交点.答案:7三、解答题13.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,M 为最高点,该图象与y轴交于点F(0,),与x轴交于点B,C,且△MBC 的面积为π.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若f(α-)=,求cos 2α的值.解:(1)因为S△MBC=³2³BC=BC=π,所以周期T=2π=,ω=1,由f(0)=2sin φ=,得sin φ=,因为0<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin(x+).(2)由f(α-)=2sin α=,得sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=.14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的最小正周期为π,且x=为f(x)图象的一条对称轴.(1)求ω和φ的值;(2)设函数g(x)=f(x)+f(x-),求g(x)的单调递减区间.解:(1)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的最小正周期为π, 所以T==π,ω=2,又x=为f(x)图象的一条对称轴,所以2³+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ+,k∈Z,又|φ|≤,所以φ=.(2)由(1)知,f(x)=sin(2x+),所以g(x)=f(x)+f(x-)=sin(2x+)+sin 2x=sin 2x+cos 2x+sin 2x =sin(2x+),令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以g(x)的单调递减区间是[+kπ,+kπ],k∈Z.15.函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<)的部分图象如图所示.(1)求φ及图中x0的值;(2)设g(x)=f(x)+f(x+),求函数g(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.解:(1)由题图得f(0)=,所以cos φ=,因为0<φ<,故φ=.法一由于f(x)的最小正周期T==2,由题图可知1<x0<2,故<πx0+<,由f(x0)=得cos(πx0+)=,所以πx0+=,x0=.法二求离原点最近的正的最小值点,令πx+=π+2kπ,得x=+2k,k∈Z,令k=0得x=,所以=,x0=.(2)因为f(x+)=cos [π(x+)+]=cos(πx+)=-sin πx,所以g(x)=f(x)+f(x+)=cos(πx+)-sin πx=cos πxcos -sin πxsin -sin πx=cos πx-sin πx=sin(-πx)=-sin(πx-).当x∈[-,]时,πx∈[-,],(πx-)∈[-,], 所以sin(πx-)∈[-1,],-sin (πx-)∈[-,],当πx-=-,即x=-时,g(x)取得最大值;当πx-=,即x=时,g(x)取得最小值-.易错点训练:忽视函数值造成范围扩大一、选择题1.的值是( A )(A)sin 40° (B)cos 40° (C)cos 130°(D)±cos 50°解析:因为==-cos 130°=sin 40°,故选A.2.已知sin α=2sin β,tan α=3tan β,则cos α的值是( D )(A) (B)-(C)± (D)±或±1解析:由条件tan α=3tan β,得=.又因为sin α=2sin β,所以=.当sin β=0时,sin α=0,显然成立,故有cos α=±1;当sin β≠0时,3cos α=2cos β,从而有(sin α)2+(3cos α)2=4,解得cos2α=,所以cos α=±,故选D.3.在△ABC中,若sin A=,cos B=,则cos C的值是( B )(A) (B)(C)或 (D)以上都不对解析:因为cos B=,所以sin B=.又因为sin A=<=sin B,若A 为钝角,则sin(π-A)<sin B,得π-A<B,π<A+B矛盾.因此A肯定是锐角,所以cos A=,从而有cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=,故选B.4.已知3sin2x+2sin2y=2sin x,则sin2x+sin2y的最值情况是( D )(A)最大值为,最小值为-(B)最大值为,最小值为0(C)最大值为,最小值为-(D)最大值为,最小值为0解析:由0≤sin2y=(2sin x-3sin2x)≤1,可解得0≤sin x≤,则sin2x+sin2y=sin2x+(2sin x-3sin2x)=-sin2x+sin x=-(sin x-1)2+,所以sin2x+sin2y的最大值为,最小值为0.5.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根为tan α,tan β,且α,β∈（-,）,则tan 的值是( A )(A)-2 (B)(C)-2或(D)2或-解析:由韦达定理可知tan α,tan β同为负值,可得α,β∈(-,0),所以∈(-,0).又因为所以tan(α+β)===.又因为tan(α+β)==,解得tan =-2或,取tan =-2.二、填空题6.已知sin θ+cos θ=,其中θ∈(0,π),则tan θ的值是.。

一诊复习（5）：三角函数与解三角形一、单选题1．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知3a b ，π3B C +=，则C =（ ） A ．π12B ．π8C ．π6D ．π42．已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则()f x 的最大值为（ ）． A．3B ．3C ．2+D ．23．已知关于x 的函数()322253sin x tx x x t f x x t ++++=+在[]2022,2022-上的最大值为M ，最小值N ，且2022+=M N ，则实数t 的值是（ ）A ．674B ．1011C ．2022D ．40444．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；①对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”．若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（ ） A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>在区间π2π[,]43-上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A ．803⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．1823⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．823⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 6．已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．()4sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()f x 图象的一条对称轴的方程为5π9x =-C ．()f x 在区间29π17π,3636⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()2f x ≥的解集为()2π2π2π,393k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 7．ABC 中，39A B C ==，cos cos cos cos cos cos A B B C C A ++=（ ）A ．14B ．14-C ．13D ．13-8．已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，当0x ≥时，()2sin ,01213,122xx x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()20,R f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．34,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．74,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．7734,,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．324,1,27⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题 9．已知cos α=，()cos αβ+=0αβπ<<<，则（ ）A．tan 2α= B．tan 2α=C ．3πβ=D ．23πβ=10．ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的是（ ） A ．ABC 中一定有cos cos a B b A c +=B ．若P 点是ABC 所在平面内的一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC 的重心 C ．将直角三角形的三边分别增加同样的长度，得到的新三角形是钝角三角形D ．若O 点是ABC 所在平面内的一点，且|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 是直角三角形 11．ABC 的内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，则下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若ABC 为钝角三角形，则222a b c +> C ．若30,4,3A b a ===，则ABC 有两解D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 12．已知函数()()()sin cos cos sin f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的一个周期为2π B ．函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f xD ．函数()f x 图象关于直线πx =对称三、解答题13．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c sin cos 2A a B b c -=-. (1)求内角A ；(2)若ABC 为锐角三角形且a =ABC 周长L 的取值范围.14．某农户有一个三角形地块ABC ，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域ABD （点D 在BC 上）用来养一些家禽，经专业测量得到13,cos 3AB B ==.(1)若cos ADC ∠=AD 的长；(2)若sin 2,sin BADBD DC CAD ∠∠==ADC △的周长.15．已知函数2()cos 2cos 1(R)f x x x x x =+-∈. π⎡⎤(2)若()065f x =，0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.16．在ABC 中，设角A B C ､､所对的边分别为a b c ､､，且()cos 4cos 0a B b c A +-=. (1)求cos A ；(2)若2,1BD DC AD ==，求2c b +的最大值.17．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其面积为S ，且()()sin sin sin 6a b c a A B C S +-++= (1)求角A 的大小；(2)若3,a BA AC A ∠=⋅=-的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长.参考答案：1．C【分析】由正弦定理得sin A B =，再由角2π3A =求得π6B =，从而可得选项.【详解】因为在ABC 中，π3B C +=，所以2π3A =，所以sin A =因为3ab ，所以由正弦定理得sin A B =B =，所以1sin 2B =,因为π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π6B =，又因π3B C +=所以π6C =故选：C ． 2．A【分析】利用同角三角函数关系式整理函数解析式，换元，根据辅助角公式，整理可得二次函数，可得答案.【详解】()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++()2sin cos sin cos 12x x x x =+++-+，令sin cos 4t x x x x x π⎫⎛⎫⎡=+=+∈⎪ ⎪⎣⎪⎝⎭⎭， 即()()2213124f xg t t t t ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭，由t ⎡∈⎣，则()max 213g t g===+故选：A. 3．B【分析】化简函数3253sin ()x x xf x t x t++=++，构造奇函数()3253sin x x x g x x t ++=+，利用奇函数的性质得解. 【详解】()()23322322253sin 53sin 53sin t x t x x x x tx x x t x x x f x t x t x t x t++++++++++===++++，[]2022,2022x -∈，①令()3253sin x x xg x x t++=+，[]2022,2022x -∈，则()()f x g x t =+，()g x 定义域关于原点对称，且()33225()3()sin()53sin ()()x x x x x xg x g x x t x t-+-+-----===--++， 所以()g x 为奇函数，①()()max min 0g x g x +=（奇函数的性质），①()()max min max min ()()2022M N f x f x g x t g x t +=+=+++=， ①22022t =，即1011t =. 故选：B 4．A【分析】先判断出函数()y f x =是R 上的增函数，把()()2sin cos 0f f αα-+>转化为sin cos αα<，即可求出锐角α的取值范围.【详解】由()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，知：函数()y f x =是R 上的增函数.由()()110f x f x ++-=，即()() 11f x f x +=--，所以由题设：()()2sin cos f f αα->-， ①()()()()() cos 11cos 11cos f f f ααα-=---=+-，即有()() 2sin 2cos f f αα->-. ①函数()y f x =是R 上的增函数. ①2sin 2cos αα->-，即sin cos αα<，①α为锐角﹐则cos 0α>，①0tan 1α<<，则α的取值范围是0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A 5．B【分析】根据正弦函数的单调递增区间，确定函数()f x 的单调增区间，根据函数()f x 在区间π2π[,]43-上单调递增，建立不等式，即可求解. 【详解】()f x 在区间π2π[,]43-上单调递增， 所以πππ2ππ46636x ωωω-+≤+≤+ 由函数解析式知: ()f x 在ππ2π,2π()22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增，则有πππ2π,4622πππ2π,3620k k k k k ωωω⎧-+≥-+∈⎪⎪⎪+≤+∈⎨⎪>⎪⎪∈⎩Z Z Z ，解得8831320k k k ωωω⎧≤-⎪⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎪∈⎩Z，所以当 0k =时，有102ω<≤，。

第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式[基础题组练]1．(2019·合肥市第一次质量检测)已知cos α－sin α＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝( ) A ．－2425B ．－45C.2425D.45解析：选 C.由cos α－sin α＝15，得1－sin 2α＝125，所以sin 2α＝2425，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2＝sin 2α＝2425，故选C.2．(2019·福州模拟)已知cos 2α＋3cos α＝1，则cos α＝( ) A.32B ．－32C.12D ．－12解析：选C.由题意，得2cos 2α＋3cos α－2＝0，所以(cos α＋2)(2cos α－1)＝0， 解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)，故选C.3．(2019·陕西榆林模拟)已知cos θsin θ＝3cos(2π＋θ)，|θ|<π2，则sin 2θ＝( )A.829 B.223 C.429D.229解析：选C.因为cos θsin θ＝3cos(2π＋θ)，所以cos θsin θ＝3cos θ.又|θ|<π2，故sin θ＝13，cos θ＝223， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×13×223＝429，故选C.4．(2019·四川成都第七中学一诊)已知tan α＝m 3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A.由题意，tan α＝m3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2m ，则m3＋11－m 3＝2m ，所以m ＝－6或1，故选A.5．(2019·武汉模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝14，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A.34B ．－34 C.14D ．±34解析：选A.因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝14，所以cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×14＝34.故选A.6．(2019·北京丰台二中期中)若sin 2α＝a ，cos 2α＝b ，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α有意义，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A.1＋a ＋b1－a ＋bB.a ＋1－ba －1＋bC.1＋abD.b1－a解析：选C.因为sin 2α＝a ，cos 2α＝b ，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝sin α＋cos αcos α－sin α＝（sin α＋cos α）2cos 2α－sin 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝1＋ab，故选C. 7.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2解析：选C.原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2（cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°）－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.8．sin 10°sin 50°sin 70°＝________．解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20° ＝sin 10°cos 10°cos 20°cos 40°cos 10°＝18sin 80°cos 10°＝18.答案：189．(2019·郑州市第二次质量预测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝435，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝________．解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝435可得cos αcos π3＋sin αsin π3＋cos α＝435，即32cos α＋32sin α＝435， 3⎝⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＝435， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝45， 故cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝45.答案：4510．(2019·山东淄博模拟)若α为第一象限角，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos(π＋α)，则2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4的值为________．解析：由sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos(π＋α)，得2sin αcos α＝cos 2α.因为α为第一象限角，所以tan α＝12，所以2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4 ＝cos 2α＋sin 2α＝cos 2α－sin 2α＋2sin αcos α ＝1－tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝1－14＋2×121＋14＝75.答案：7511．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又因为tan(α－β)＝－13<0，所以－π2<α－β<0.利用同角三角函数的基本关系可得sin 2(α－β)＋cos 2(α－β)＝1，且sin （α－β）cos （α－β）＝－13， 解得sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.因为α为锐角，sin α＝35，所以cos α＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. 12．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－12×12－(－32)×32＝12.(2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，所以cos 2α＝－32.所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.[综合题组练]1．(创新型)(2019·湖北重点高中联考协作体模拟)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n2cos 227°－1＝( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°. 所以m n2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1＝4sin 18°cos 18°2cos 227°－1＝2sin 36°cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2.故选C.2．(应用型)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1， 又α，β∈[0，π]，所以α－β＝π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π，所以sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.因为π2≤α≤π，所以3π4≤α＋π4≤5π4，所以－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即取值范围为[－1，1]． 答案：[－1，1]3．(创新型)已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝________． 解析：由sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°可得，m ＝2cos 140°－sin 10°cos 10°＝－2cos 40°－sin 10°cos 10°＝－2cos （30°＋10°）－sin 10°cos 10°＝－3cos 10°cos 10°＝－ 3.答案：－ 34．(应用型)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于点M ，已知S △OAM ＝55，点B 的纵坐标是210.(1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值． 解：(1)由题意，OA ＝OM ＝1， 因为S △OAM ＝55，α为锐角， 所以sin α＝255，cos α＝55.又点B 的纵坐标是210.所以sin β＝210，cos β＝－7210， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210＋255×210＝－1010. (2)因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35，sin 2α＝2sin α·cos α＝2×255×55＝45，所以2α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.因为sin(2α－β)＝sin 2α·cos β－cos 2α·sin β＝－22， 所以2α－β＝－π4.。