【步步高 学案导学设计】高中数学 2.3.1-2.3.2等比数列的概念、等比数列的通项公式(一)

《等比数列的概念》导学案一、学习目标1、理解等比数列的定义，能够根据定义判断一个数列是否为等比数列。

2、掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决相关问题。

3、了解等比数列的性质，能灵活运用性质简化运算。

二、学习重难点1、重点（1）等比数列的定义和通项公式。

（2）等比数列性质的应用。

2、难点（1）等比数列通项公式的推导。

（2）灵活运用等比数列的定义、通项公式和性质解决问题。

三、知识回顾1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。

2、数列的通项公式：如果数列\（＼｛a_n\｝＼）的第\（n\）项\（a_n\）与\（n\）之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的通项公式。

四、新课导入观察以下几个数列：（1）＼（1\），＼（2\），＼（4\），＼（8\），＼（16\），＼（＼cdots\）（2）＼（5\），＼（25\），＼（125\），＼（625\），＼（＼cdots\）（3）＼（＼frac{1}｛2}＼），＼（＼frac{1}｛4}＼），＼（＼frac{1}｛8}＼），＼（＼frac{1}｛16}＼），＼（＼cdots\）思考：这些数列有什么共同特点？五、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母\（q\）表示（＼（q\neq 0\））。

数学表达式：＼（＼frac{a_{n+1}｝｛a_n} ＝ q\）（＼（n\in N^＼），＼（q\）为常数）例如，在数列（1）中，＼（＼frac{2}｛1} ＝ 2\），＼（＼frac{4}｛2} ＝ 2\），＼（＼frac{8}｛4} ＝ 2\），＼（＼cdots\），公比\（q ＝ 2\）。

六、等比数列的通项公式若等比数列\（＼｛a_n\｝＼）的首项为\（a_1\），公比为\（q\），则其通项公式为：＼（a_n ＝ a_1q^｛n-1}＼）推导过程：＼＼begin{align}a_2 ＆＝ a_1q\＼a_3 ＆＝ a_2q ＝ a_1q^2\＼a_4 ＆＝ a_3q ＝ a_1q^3\＼＆＼cdots\＼a_n ＆＝ a_{n-1}q ＝ a_1q^｛n-1}＼end{align}＼七、等比数列通项公式的应用例 1：在等比数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 2\），＼（q ＝3\），求\（a_5\）。

§2.3.1等比数列的概念 第 1 5 课时一、学习目标（1）明确等比数列的定义，初步掌握等比数列的通项公式；（2）会解决知道n q a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题；（3）培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识。

二、学法指导1．等比数列必须是从第2项起，每一项与它前一项的比是同一个常数。

若从第3或第4项起，每一项与它前一项的比是同一个常数，则不能断定这个数列是等比数列。

2．类比思想的应用三、课前预习1．如果一个数列从 起，每一项与它前一项的 等于 ，那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示。

2．思考等比数列与等差数列的联系与区别课堂探究等比数列的概念☆问题情境：（1）“一尺之锤，日取其半，万世不竭。

”（2）“细胞分裂”探究：1．什么是等比数列？探究：2．等比数列的通项公式：若等比数列}{n a 的首项为1a ，公比是q ，则11-=n n q a a （推导） 注：（1）一个等比数列可以由首项和公比来唯一确定。

)0(≠q（2）在n q a a n ,,,1四个基本量中，“知三求一”数学运用：例1：判断下列数列是否为等比数列：（1）1，1，1，1； （2）0，1，2，4，8；（3）11111,,,,24816-- .例2：求出下列等比数列中的未知项：（1）8,,2a （2）.21,,,4c b -例3：（1）在等比数列{}n a 中，是否有211n n n a a a -+=⋅（2n ≥）？ （2）在数列{}n a 中，对于任意的正整数n （2n ≥），都有211n n n a a a -+=⋅，那么数列{}n a 一定是等比数列吗？．例4：在等比数列{}n a 中，（1）已知13a =，2q =-，求6a ；（2）已知320a =，6160a =，求n a ．（3）983是等比数列Λ,3,3,3,121147中的第几项？四、巩固训练（一）当堂练习（47页书后练习）（二）（补充选做）1、等比数列}{n a 中，8,1842==a a ，则________1=a ，公比.________=q2、将100,50,20加上相同的常数，使它们成等比数列，则其公比为_________________五、反思总结。

2．3.1 等比数列的概念学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一 等比数列的概念思考 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点． ①1,2,4,8,16，…； ②1，12，14，18，116，…；③1,1,1,1，…； ④－1,1，－1,1，….梳理 等比数列的概念和特点．(1)定义：如果一个数列从第________项起，每一项与它的________一项的________都等于____________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q 表示(q ≠0)． (2)递推公式形式的定义：a n a n －1＝q (n >1)(或a n ＋1a n＝q ，n ∈N *)． (3)等比数列各项均________为0.知识点二 等比中项的概念思考 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？梳理 等差中项与等比中项的异同，对比如下表：类型一等比数列的判定例1 判断下列数列是不是等比数列．(1)0,1,2,4；(2)1,1,1,1；(3)0.1,0.01,0.001,0.000 1；(4)3，－33，9，－9 3.反思与感悟(1)等比数列任一项均不为0.(2)等比数列的公比可以是任意非零常数．跟踪训练1 根据下列条件，写出等比数列的前4项．(1)a1＝1，q＝2；(2)a1＝－1，q＝2；(3)a1＝1，q＝－2；(4)a1＝－1，q＝－2.类型二证明等比数列例2 已知数列{a n}满足a1＝78，且a n＋1＝12a n＋13，n∈N*.求证：{a n －23}是等比数列．反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)． 跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)证明：数列{a n }是等比数列．1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3＝________.2．若等比数列的首项为4，公比为2，则这个数列的第6项为________． 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则公比q ＝________. 4．45和80的等比中项为________．1．等比数列的判断或证明 (1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．2．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．答案精析问题导学 知识点一思考 从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数． 梳理(1)二 前 比 同一个 公比 (3)不能 知识点二思考 设这个数为G .则G 2＝8G，G 2＝16，G ＝±4.所以这样的数有2个．题型探究例1 解 (1)10无意义，不是等比数列．(2)每项与前一项的比均为1，是等比数列．(3)0.010.1＝0.1，0.0010.01＝0.1，0.000 10.001＝0.1，是等比数列．(4)－333＝－3，9－33＝－3，－939＝－3，是等比数列．跟踪训练1 解 (1)a 1＝1，a 2＝a 1×2＝2，a 3＝a 2×2＝4，a 4＝a 3×2＝8. (2)a 1＝－1，a 2＝a 1×2＝－2，a 3＝a 2×2＝－4，a 4＝a 3×2＝－8. (3)a 1＝1，a 2＝a 1×(－2)＝－2，a 3＝a 2×(－2)＝4，a 4＝a 3×(－2)＝－8. (4)a 1＝－1，a 2＝a 1×(－2)＝2，a 3＝a 2×(－2)＝－4，a 4＝a 3×(－2)＝8. 例2 证明 ∵a n ＋1＝12a n ＋13.∴a n ＋1－23＝12a n ＋13－23＝12a n －13＝12(a n －23)，∵a 1－23＝78－23＝524≠0，∴a n ＋1－23a n －23＝12，n ∈N *，∴{a n －23}是公比为12的等比数列．跟踪训练2 (1)解 ∵a 1＝S 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，∴a 2＝14.(2)证明 ∵S n ＝13(a n －1)，∴S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减得，a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．当堂训练1．32 2.128 3.2 4.－60或60。

第2课时 等比数列的性质如果数列{a n }是等比数列，则a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，故q ≠1时点(n ，a n )均在函数y＝a 1qx －1的图象上．思考1：我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .等比数列也有类似变形吗？[提示] 在等比数列中，由通项公式a n ＝a 1q n －1，得a n a m ＝a 1q n －1a 1qm －1＝q n －m，所以a n ＝a m qn －m(n ，m ∈N *)．思考2：我们知道等差数列的通项公式可以变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其单调性由公差的正负确定．等比数列的通项公式是否也可做类似变形？[提示] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 则a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n ，其形式类似于指数型函数，但q 可以为负值．由于a n ＋1－a n ＝a 1qn－a 1qn －1＝a 1qn －1(q －1)，所以{a n }的单调性由a 1，q ，q －1的正负共同决定．2．等比数列的性质(1)如果m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l . (2)如果m ＋n ＝2k ，则有a m ·a n ＝a 2k .(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n ，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·a n＝a2·a n－1＝a k·a n－k＋1＝….1．对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是( )A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列[答案] D2．等比数列{a n}中，a1＝3，q＝2，则a4＝______，a n＝______.24 3×2n－1[a4＝a1q3＝3×23＝24，a n＝a1q n－1＝3×2n－1.]3．在等比数列{a n}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________.9[因为a7＝a5q2，所以q2＝3 2 .所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×94＝9.]4．在等比数列{a n}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________．25[因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25.]等比数列的性质【例1】n(1)若a3a5a7a9a11＝243，求a29a11的值；(2)若a n>0，且a3a6＝32，求log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值．思路探究：利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则a m·a n ＝a p·a q＝a2k求解．[解](1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a57＝243＝35，∴a7＝3.又a29a11＝a7·a11a11＝a7，∴a29a11＝3.(2)log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2a1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便.提醒：在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3·a 9＝4，a 6·a 10＋a 3·a 5＝41，求a 4＋a 8的值；(2)在等比数列{a n }中，a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根，求a 7. [解] (1)∵{a n }为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4， ∴a 3·a 9＝a 4·a 8＝4，a 6·a 10＝a 28，a 3·a 5＝a 24， ∴a 6·a 10＋a 3·a 5＝a 28＋a 24＝41，又a 4·a 8＝4， ∴(a 4＋a 8)2＝41＋2×4＝49，且a n >0， ∴a 4＋a 8＝7.(2)∴a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.又∵a 27＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.等比数列的实际应用【例2】 的速度贬值． (1)用一个式子表示第n (n ∈N *)时这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？思路探究：根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决． [解] (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a 1，a 2，a 3，…，a n ， 由题意，得a 1＝13.5，a 2＝13.5(1－10%)，a 3＝13.5(1－10%)2，…，由等比数列定义，知数列{a n }是等比数列，首项a 1＝13.5，公比q ＝(1－10%)＝0.9， ∴a n ＝a 1·qn －1＝13.5×(0.9)n －1.所以n 年后车的价值为a n ＝13.5×(0.9)n －1万元．(2)由(1)得a 5＝a 1·q 4＝13.5×0.94≈8.86(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.86万元． 解等比数列应用题的一般步骤2．某市2018年建成共有产权住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2018年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?[解] (1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知，{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ≥4 750，得n 2＋9n －190≥0， 令f (n )＝n 2＋9n －190，当f (n )＝0时，n 1＝－19，n 2＝10， 由二次函数的图象得n ≤－19或n ≥10时，f (n )≥0，而n 是正整数．所以n ≥10.故到2027年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知， {b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08， 则b n ＝400×1.08n －1，由题意可知a n >0.85b n ，即250＋(n －1)×50>400×1.08n －1×0.85，满足不等式的最小正整数n ＝6.故到2023年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.灵活设项求解等比数列[1．若三个数成等比数列，如何设这三个数使计算较为方便？[提示] 设等比中项为a ，公比为q ，则这三个数分别为aq，a ，aq ，这样计算较为方便． 2．若四个数成等比数列，如何设这四个数使计算较为方便？ [提示] 设这四个数分别为a q 3，a q，aq ，aq 3计算较为方便．【例3】 有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数又成等差数列，四个数的和为21，求这四个数．[解] 设这四个数为a q ，a ，aq ，b ，由题意a q·a ·aq ＝a 3＝216，解得a ＝6，则这四个数为6q，6,6q ，b ，由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ 12q ＝6＋b ，6q ＋6＋6q ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝23，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，b ＝0.故这四个数为9,6,4,2，或12,6,3,0.1．(变条件)若将本例的条件改为“前三个数的积为－8，后三个数的积为－80”其他条件不变，试求这四个数．[解] 由题意设此四个数分别为b q，b ，bq ，a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝－8，2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.所以这四个数分别为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.2．(变条件)本例四个数满足的条件改为“前三个成等差，后三个成等比，中间两个数之积为16，首尾两个数之积为－128”，求这四个数．[解] 设这四个数分别为2a q －a ，aq，a ，aq ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2q＝16，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a q －a ·aq ＝－128，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，q ＝4.因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.灵活设项求解等比数列问题，要注意题中的隐含条件，及时取舍，做到既快又准确. 1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.1．判断正误(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (2)当a 1>0且q >1时{a n }为递增数列，故(2)错．2．在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015等于( )A ．3或－1B ．9或1C ．1D ．9D [由3a 1，12a 3,2a 2成等差数列可得a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ，∵a 1≠0，∴q2－2q －3＝0.解得q ＝3或q ＝－1(舍)． ∴a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015＝a 2 016(1－q )a 2 014(1－q )＝a 2 016a 2 014＝q 2＝9.]3．在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．8 [设插入的3个数依次为a ，b ，c ，即12，a ，b ，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b 2＝ac ＝12×8＝4，因为a 2＝12b >0，∴b ＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc ＝4×2＝8.]4．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q .[解] (1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6，∴a 1a 3＝36. 又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72， ∴q 4＝4，∴q ＝± 2.。

第二章 数列2.4等比数列一、学习目标1.理解等比数列的定义，会用定义判断等比数列2.掌握等比数列的通项公式并能应用3.掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题4.能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列中的计算问题【重点、难点】重点：等比数列的概念以及通项公式难点：等比数列通项公式以及等比中项的认识和应用，等比数列的性质二、学习过程【导入新课】1．等比数列的定义定义：从第 项起，每一项与它的 的比等于 ，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示。

2.等比数列的通项公式a n =_______ 。

3.等比中项若______成等比数列,称G 为a,b 的等比中项且4. 等比数列项的运算性质 数列{a n }是等比数列 ，若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *) 则a n a m =____【典型例题】例1.(1)等比数列1,5,25,125，…的通项公式为_______.(2)等比数列 …的公比为________. (3)在等比数列{a n }中，已知a n =4n －3，则a 1=________，q=________.(4)3与6的等比中项为________.例2.在等比数列{a n }中，(1)若a 4＝27，q ＝－3，求a 7.(2)若a 2＝18，a 4＝8，求a 1和q.(3)若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a 3.例3.等比数列的性质(1)等比数列{a n }中，a 4=3,a 6=12,a 2·a 8=______.(2)等比数列{a n }中，a 5a 7a 9=27，则a 7=_______.【变式拓展】 1.已知{a n }是等比数列，a 2=2,a 5=14，则公比q=( ) A.-12 B.-2 C.2 D.122.在等比数列{a n }中，已知a 1=1，a 4=8，则a 6=( )A.16B.16或-16C.32D.32或-323.若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( ) A. 3B. 4C. 5D. 6111,,,10100 1 000－－－三、总结反思1.推导等比数列通项公式的常见方法(1)迭代法：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由等比数列的定义得，a n =a n －1q=a n －2q 2=a n －3q 3=…=a 2q n －2=a 1q n －1.(2)归纳法：a 2=a 1q ，a 3=a 2q=a 1q 2，a 4=a 3q=a 1q 3，…，a n =a n －1q=a 1q n －1.(3)累乘法：=q ·q ·q ·…·q ，即 故a n =a 1q n －1 2.理解等比数列通项公式应注意的三点(1)由等比数列的首项和公比可以写出其通项公式.(2)根据等比数列的通项公式，已知四个量a 1,n,q,a n 中的三个，就可以求出第四个.(3)由等比数列的通项公式可验证某数是否为等比数列的项.四、随堂检测1.已知a 是1，2的等差中项,b 是－1，－16的等比中项，则ab=( )A.6B.-6C.±6D.±122.1的等比中项是( )A.±2B.2C.-2D.43.在等比数列{a n }中，若a n =2n ，则a 7与a 9的等比中项为（ ）A.a 8B.-a 8C.±a 8D.前3个选项都不对4.设a 1=2，数列{a n +1}是以3为公比的等比数列，则a 4=__________.5.已知数列{a n }的通项公式a n =2n －6(n ∈N *).(1)求a 2，a 5.(2)若a 2 ，a 5分别是等比数列{b n }的第1项和第2项，求数列{b n }的通项公式b n .6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =n a 13-(n ∈N *). (1)求a 1,a 2.(2)求证：数列{a n }是等比数列.324n 123n 1a a a a a a a a ⋯－n 1n 1a q a =－，。

2.4 等比数列(一)课时目标1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用．3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式：a n ＝a 1q n －1.3．等比中项的定义如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab .一、选择题1．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于() A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1± 2.∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2.∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( ) A.53 B.43 C.32 D.12答案 A解析 设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25，∴这三个数45,75,125，公比q 为7545＝53. 6．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于( ) A.5－12 B.5＋12 C.12D ．不确定 答案 A解析 a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，∴q 3－2q 2＋1＝0，∴(q －1)(q 2－q －1)＝0 (q ≠1)，∴q 2－q －1＝0，∴q ＝5＋12 (q ＝1－52<0舍) ∴a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝5－12. 二、填空题7．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4·(32)n －1 解析 由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32， ∴a n ＝4·(32)n －1. 8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3. ∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝(12＋32)×32＝18. 9．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 答案 5解析 设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4， 得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．答案 5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12. 较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12. 三、解答题11．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式． 解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3q ＝2q ， ∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18， ∴a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29， ∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ； 当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)， 即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14. (2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)， 得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． 能力提升13．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.答案 －9解析 由题意知等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9.14．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1，(1)求证：数列{a n＋1}是等比数列；(2)求a n的表达式．(1)证明∵a n＋1＝2a n＋1，∴a n＋1＋1＝2(a n＋1)，∴a n＋1＋1a n＋1＝2.∴{a n＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.(2)解由(1)知{a n＋1}是等比数列．公比为2，首项a1＋1＝2.∴a n＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n.∴a n＝2n－1.。