广东省华南师范大学附属中学2018届高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

2018届华师附中高三综合测试（三）数学（理）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内．2．选择题每小题选出答案后．用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分 选择题（40分）一、选择题（本大题共8小题．每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若{1,2,3,4,5},{0,2,3}P Q ==，且定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则Q P -=A ．PB ．QC ．{1,4,5}D ．{0}2．己知1(1)23,()62f x x f m -=+=，则m 等于A ．14B ．14-C ．32D ．32-3．在ABC 中，90,(,1),(2,3)A AB k AC ∠===，则k 的值是A ．5B ．5-C ．32D ．32-4．cos()4y x π=-是（ ）上的增函数A ．[,0]π-B ．3[,]44ππ-C ．[,]22ππ-D ．5[,]44ππ5．等比数列{}n a 中，0n a >且5681a a =，则3132310log log log a a a +++的值是A ．20B ．10C ． 5D ．406．点(4,)t 到直线431x y -=的距离不大于3，则t 的取值范围是A ．13133t ≤≤B ．100t <<C ．100t ≤≤D ．0t <或10t >7．曲线1[2,2])y x =+∈-与直线(2)4y k x =-+两个公共点时，实效k 的取值范围是A ．5(0,)12B ．13(,)34C ．5(,)12+∞ D ．53(,]1248．已知点1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若2ABF 为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．C ．（1，2）D ．(1,1第二部分 非选择题（110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若(,)2παπ∈，且4sin 5α=，则sin()42παα--= ． 10．已知ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且1AB =，4BC =，则边BC 上的中线AD 的长为 ．11．从圆22(1)(1)1x y -+-=外一点(2,3)P 向这个圆引切线，则切线长为 ．12．函数2,01()2,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于 ．13．已知数列1121{},1,n n n n a a a a a a --==+++，则该数列的前8项和为 ．14．在ABC 中,7,cos 18AB BC B ==-．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102020,410a S ==， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若115n S =，求以n ．16．（本题满分12分）已知圆22:46120C x y x y +--+=的圆心在点C ， 点(3,5)A ，求； （1）过点A 的圆的切线方程；（2）O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求AOC 的面积S ． 17．（本题满分14分）设平面上向量13(cos ,sin )(02),(,),2a b a αααπ=≤<=-与b 不共线， （1）证明向量a b +与a b -垂直（2b +与3a b -的模相等，求角α．18．（本题满分14分）设函数322324y x ax a x b =--+有正的极大值和负的极小值，其差为4，（1）求实数a 的值； （2）求b 的取值范围．19．（本题满分14分）设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12．记点P 的轨迹为曲线C （1）求点P 的轨迹方程；（2）设圆M 过(1,0)A ，且圆心M 在P 的轨迹上，EF 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时弦长||EF 是否为定值?请说明理由． 20．（本小题满分14分）已知函数2()f x x x =+及两个正整数数列{},{}n n a b ，若113,()n n a a f a +'==，对任意n N *∈恒成立，且121,b b λ==，且当2n ≥时，有221111n n n n b b b b +--<<+；又数列{}n c 满足：2(1)21n n n n b c n b a λλ+-=+-（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）证明存在k N *∈，使得11n k n kC C c c ++≤对任意n N *∈均成立．2018届华师附中高三综合测试（三）理数参考答案一、选择题： 1—4DBDB 5—8ACDD 二、填空题： 91011．2 12．5613．128 14．38三、解答题15．解：（1）101920a a d =+=（2分）20101110()410S a a =+=（3分）得111021a a d ==+ （4分）11,11d a ∴== （5分）10n a n ∴=+（6分）（2）1()(21)15522n n n a a nS n +==+= （8分）得：22ln 3100n +-=（10分） 10n = （12分）16．解：（1）22:(2)(3)1C x y -+-=（1分）当切线的斜率不存在时，对直线3,(2,3)x C =到直线的距离为1，满足条件（3分） 当k 存在时，设直线5(3)y k x -=-，即53y kx k =+-，|2|11k -+=+得34k =（5分） ∴得直线方程3x =或31144y x =+ （6分） （2）||AO =（7分） :530l x y -=（8分）d =（10分）11||22S a AO == （12分）17．解：（1）131(cos ,sin )(cos ,sin 22a b a b αααα+=-++-=+（2分） 2213()()cos sin 044a b a b αα+⋅-=-+-=（4分） ()()a b a b ∴+⊥-（6分）（2）由题意：22)(3)a b a b +=-（8分得：0a b ⋅=13cos sin 022αα∴-+=，得tan α=又02απ≤≤（12分） 得6πα=或76π（14分） 18．解：（1）22()3624f x x ax a '=-- 令()0f x '=得22280x ax a --=124,2x a x a ==-（2分）3(4)80f a b a =-，3(2)28f a b a -=+，33|80(28)|4b a b a ∴--+= （4分）得13a =±（6分）（2）当1a =时，得：(2)0,(4)0f a f a -><，33280800a b a b ⎧+>⎪∴⎨-+<⎪⎩ （8分）又13a =得：28802727b -<<（9分）同理当13a =-时，得：(2)0,(4)0f a f a -<>，于是2727b -<< （12分） 当13a = 得：28802727b -<<；13a =-时，得80282727b -<<（14分）（结论2分）19．解：（1）依题意，P 到1(,0)2F 距离等于P 到直线12x =-的距离，曲线C 是以原点为顶点，1(,0)2F 为焦点的抛物线 （2分） 1P = 曲线C 方程是22y x =（4分）（2）设圆心(,)M a b ，因为圆M 过(1,0)A 故设圆的方程2222()()(1)x a y b a b -+-=-+（7分）令0x =得：22210y by a -+-=设圆与y 轴的两交点为12(0,),(0,)y y ，则12122,21y y b y y a +=⋅=-（10分）2222121212()()4(2)4(21)484y y y y y y b a b a -=+-⋅=--=-+(,)M a b 在抛物线22y x =上，22b a = 212()4y y -= 12||2y y -=（13分）所以，当M 运动时，弦长||EF 为定值2（14分）20．解：（1）由221111n n n n b b b b -+-<<+．因为{}n b 是正整数列，所以211n n nb b b -+=．于是{}n b 是等比数列，又121,b b λ==，所以1n n b λ-=（2分）2()f x x x =+，所以'()21f x x =+，于是：112112(1)n n n n a a a a ++=+⇒+=+ 说明{1}n a +是以2为公比的等比数列．1111111(1)2()112n n n n n a a a a --∴+=+⋅⇒=⋅++13a =，于是111(31)221n n n n a a -++=+⋅⇒=-（5分）（2）由2(1)21n n n n b c n b a λλ+-=+-得：1(1)(1)2n n n c n b a λ=-++． 由1n n b λ-=及121n n a +=-得：(1)2n n n c n λ=-+（6分）设224123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+-②当1λ≠时，①式减去②式，得 212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---于是，21121222(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---（8分）这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+-- （9分）当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-（10分）（3）证明：通过分析，推测数列1n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21c c 最大，下面证明： 21214,22n n c c n c c λ++<=≥③ （11分）由0λ>知0n c >要使③式成立，只要212(4)(2)n n c c n λ+<+≥，因为222(4)(4)(1)(1)24(1)42n n n nn c n n λλλλλλ+=+-++>⋅-+⨯121214(1)2222,2n n n n n n n c n λλ+++++=-+≥+=≥． 所以③式成立．因此，存在1k =，使得1121n k n k c c c c c c ++≤=对任意n N *∈均成立. （14分）。

华南师大附中2018届高三综合测试（一） 理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知2{|21|3},{|6}A x x B x x x =+>=+-≤0，则A B =（ ）A ．(3,2](1,)--+∞B ．(3,2][1,2)--C ．[3,2)(1,2]--D ．(,3](1,2]-∞-1．答案：C解析：{|21|3}{|213213}(,2)(1,),A x x x x x =+>=+>+<-=-∞-+∞或2{|6}{|(3)(2)0}[3,2][3,2)(1,2]B x x x x x x A B =+-=+-=-∴=--，≤0≤2．设,a b R ∈且0ab ≠，则a b >是11a b<的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件2．答案：C解析：当a b >时，如1,1a b ==-，此时11a b<不成立； 反过来，当11a b <时，如1,1a b =-=，此时a b >不成立，故a b >是11a b<的既不充分也不必要条件．3．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图像大致是（ ）3．答案：D解析：2()1log f x x =+过点(1,1)单调递增，1()2x g x -+=过点(0,2)单调递减．4．设命题:p x R ∀∈，使得20x ≥，则p ⌝为（ ） A ．x R ∃∈，使得20x < B ．x R ∃∈，使得20x ≤ C ．x R ∀∈，使得20x < D ．x R ∀∈，使得20x ≤4．答案：A解析：,()x D p x ∀∈的否命题是：00,()x D p x ∃∈⌝5．把sin 2y x =的图像向左平移3π个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为（ ） A ．sin()3y x π=+B ．2sin()3y x π=+C ．sin(4)3y x π=+D ．2sin(4)3y x π=+ 5．答案：B解析：把sin 2y x =的图像向左平移3π个单位，得到2sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到122sin 2sin 233y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦6．设0.33log 3,2,log sin 6a b c ππ===，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6．答案：C解析：0.30331log 3(0,1),221,log sinlog 062a b c ππ=∈=>===<，故b a c >>． 7．函数()2ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．答案：C解析：由()2ln 0f x x x =--=，可得2ln x x -=，在同一坐标系中作出2y x =-和ln y x =的图像，由图可知有两个交点，所以()f x 有两个零点．8．已知函数()f x 的定义域为[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是（ ）A ．[0,1]B ．(0,1)C ．[0,1)D ．(0,1]8．答案：B解析：由121110ln(1)0x x x --⎧⎪->⎨⎪-≠⎩≤≤，解得01x <<9．给出下列命题：① 正切函数图像的对称中心是唯一的； ② 若函数()f x 的图像关于直线2x π=对称，则这样的函数()f x 是不唯一的；③ 若12,x x 是第一象限角，且12x x >，则12sin sin x x >； ④ 若()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期是T ，则()02Tf -=． 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．49．答案：B解析：①正切函数图像的对称中心是,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭，有无数个，错误； ②举例说明：2sin ,sin ,,,22y x y x y x y x ππ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭这些函数的图像都关于直线2x π=对称，不唯一，正确；③举例说明：12132,663x x ππππ=+==，此时12121sin ,sin sin sin 22x x x x ==<， ④若()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期是T ，则()()22()()22T T f f T T f f ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得()02Tf -=，正确．10．函数()f x 是定义域为R 的非常值函数，且对任意x R ∈，有(4)(4)f x f x +=-，(1)(1)f x f x +=-，则()f x 是（ ）A ．奇函数但非偶函数B ．偶函数但非奇函数C ．奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数10．答案：B解析：由(4)(4)f x f x +=-可知函数()f x 的一条对称轴为4x =，由(1)(1)f x f x +=-可知()f x 的周期2T =，所以0x =即y 轴也是函数()f x 的对称轴，所以函数()f x 是偶函数，又因为()f x 为非常值函数，所以()f x 不是奇函数． 11．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数” ．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“一阶比增函数”组成的集合记为2Ω．若函数32()2f x x hx hx =--，且12(),()f x f x ∈Ω∉Ω，则实数h 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．[0,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞11．答案：C解析：由题意可知，2()(2)222()0f x x hx h x h x h x '⎛⎫'=--=-=- ⎪⎝⎭≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立，所以0h ≤；22()210f x h h x h x x x ''⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥对(0,)x ∈+∞不恒成立，即2h x -≥不恒成立，所以0h <；综上可知，实数h 的取值范围是(,0)-∞．12．已知定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有2()()2f x xf x '+<成立，则使得22()4(2)4x f x f x -<-成立的x 的取值范围为（ ） A ．{|0,2}x x ≠± B ．(2,0)(0,2)- C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,2)(0,2)-∞-12．答案：C解析：设22()()4(2)4g x x f x f x =--+，则()g x 为偶函数，(2)0g =，(2)0g -=，且2()2()()2g x xf x x f x x ''=+-[2()()2]x f x xf x '=+-，由题意可知2()()20f x xf x '+-<，所以当0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0x <时， ()0g x '>，()g x 单调递增．结合图像可知，()0g x <的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．2lg 2+= ．13．答案：2512lg 22lg 22lg 22lg52(lg 2lg5)2lg(25)2lg1021log 102=+=+=+=⨯==14．已知函数ln y x x =，则这个函数在点1x =处的切线方程是 ． 14．答案：1y x =- 解析：1ln ln 1y x x x x'=+⋅=+，当1x =时，0,1y y '==，即切点为(1,0)，切线斜率1k =， 所以切线方程为1y x =- 15．由,,0,cos 33x x y y x ππ=-===四条曲线所围成的封闭图形的面积为 ．15解析：2()363f x x ax '=-+，由题意可知，()f x '在区间(2,3)上至少有一个零点， 则236360a ∆=->，解得1a >或1a <-，对称轴0,1x a a =>∴>，若()f x '在区间(2,3)上只有一个零点，则(2)(3)(1512)(3018)0f f a a ''⋅=--< 解得5543a <<；若()f x '在区间(2,3)上有两个零点，则23(2)15120(3)30180a f a f a <<⎧⎪'=->⎨⎪'=->⎩，无解；综上可知，实数a 的取值范围是5543⎛⎫⎪⎝⎭，三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数2()22cos 1,f x x x x R --∈． （1）求函数()f x 的最小正周期和最小值；（2）在ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()0c f C =，sin 2sin B A =，求,a b 的值．17．解：（1）2()22cos 12(1cos2)1f x x x x x =--=-+-2cos 222sin(2)26x x x π=--=--…………………………………………（4分）所以函数()f x 的最小正周期是22T ππ==，最小值为4-．………………………（5分） （2）因为()2sin(2)206f C C π=--=，所以sin(2)16C π-=，又(0,)C π∈， 所以112,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以2,623C C πππ-=∴=………………………（8分） 因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，由余弦定理得，22222222cos 423c a b ab C a a a a =+-=+-=…………………（10分）又c =1,2a b == ………………（12分） 18．（本小题满分12分）已知函数()()xf x x k e =-． （1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．18．（1）()(1)xf x x k e '=-+ …………………………………………（1分） 令()0f x '=，得1x k =- …………………………………………（2分）当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：………………（5分）所以()f x 的单调递减区间是(,1)k -∞-，单调递增区间是(1,)k -+∞…………（6分） （2）当10k -≤，即1k ≤时，函数()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)f k =-； …………………………………………（8分） 当01k <<，即12k <<时，由（1）知()f x 在[0,1)k -上单调递减，在(1,1]k -上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为1(1)k f k e --=-；………………………（10分） 当11k -≥，即2k ≥时，函数()f x 在[0,1]上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f k e =-．1min,1(),12(1),2k k k f x e k k e k --⎧⎪∴=-<<⎨⎪-⎩≤≥ ………………………（12分） 19．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =，EF G 、、分别为AD ，PA ，BC 中点． （1）求证：平面//BEF 平面PDQ ； （2）求二面角E BF Q --的余弦值．19．解：（1）因为E F 、分别为AD AP 、的中点，所以EF 是APD △的中位线，//EF PD ∴，又因为EF ⊄平面PDQ ，PD ⊂平面PDQ ，所以//EF 平面PDQ ；…………………………（2分）BD因为BQ ED ，所以四边形BQDE 是平行四边形，所以//BE DQ ，又因为BE ⊄平面PDQ ，DQ ⊂平面PDQ ，所以//BE 平面PDQ ； ………………………（4分）而BE EF ⊂、平面BEF ，且B EE F E =，所以平面//BEF 平面PDQ ．………（6分）（2）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则1(0,1,0),(1,0,0),0,0,,(1,1,0)2E B F Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以 1(1,1,0),1,0,,(0,1,0)2BE BF BQ ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，设平面BEF 的法向量为111(,,)m x y z =，则11110102m BE x y m BF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11x =，则111,2y z ==，(1,1,2)m =，………（8分） 设平面BFQ 的法向量222(,,)n x y z =，则2221020n BF x z n BQ y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取21x =，则22,(1,0,2)z n ==，………………………（10分）cos ,5m n m n m n⋅∴===⨯⋅ 所以二面角E BF Q -- ………………………（12分）20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>上一点0(,4)M x 到焦点的距离054MF x =．（1）求E 的方程；（2）过F 的直线l 与E 相交于,A B 两点，AB 的垂直平分线l '与E 相交于,C D 两点，若0AC AD ⋅=，求直线l 的方程．20．解：（1）由抛物线的定义，得02p MF x =+，又054MF x =，00524p x x ∴+=，即 02,(2,4)x p M p =∴， …………………………………………………（2分）将(2,4)M p 代入22(0)y px p =>，得2416p =，解得：2p =（负值舍去），故E 的方程为24y x = …………………………………………………（4分） （2）由题意可知，直线l 的斜率存在，且不等于0，故可设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 并整理得：2222(24)0k x k x k -++=．其判别式22421(24)416(1)0k k k ∆=+-=+>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212122244,()2k x x y y k x x k k k++=∴+=+-=， AB ∴的中点P 的坐标为221222224(1),,2k k AB x x kk k ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，…………（6分） 又l '的斜率为1k -，其方程为22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，即223x ky k =-++， 由22234x ky k y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理，得2224430y ky k ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，2222222=161631630k k k k ⎛⎫⎛⎫∆++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设3344(,),(,)C x y D x y ，则3434224,43y y k y y k ⎛⎫+=-=-+⎪⎝⎭， 422343422224464()2346k k x x k y y k k k k ++⎛⎫∴+=-+++=++= ⎪⎝⎭CD ∴的中点Q 的坐标为422232,2k k k k ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，34CD y∴=-==，…………………（8分）PQ==0,AC AD AC AD⋅=∴⊥，即1,2AC AD AQ CD⊥∴=，又222222111,244AB PQ AQ AB PQ CD⎛⎫+=∴+=⎪⎝⎭，即2222214(1)144kk⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，化简，得210k-=，解得：1k=±…………………（11分）解法二：由0AC AD⋅=，得31413141()()()()0x x x x y y y y--+--=，22113434113434()()0x x x x x x y y y y y y-+++-++=．222423434343434222 46422,3,4,4316y yk kx x x x y y k y yk k k++⎛⎫⎛⎫+===++=-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，242211112224642234(1)(4)430k kx x x k x kk k k++⎛⎫⎛⎫∴-⋅++-----+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2211242421430x x k k k⎛⎫∴-++--= ⎪⎝⎭， 由对称性有0BC BD ⋅=，同理可得2222242421430x x k k k⎛⎫-++--= ⎪⎝⎭， 即12,x x 是方程22242421430x x k k k ⎛⎫-++--= ⎪⎝⎭的两根，所以2124443x x k k =--，又因为212441,431x x k k=∴--=，解得：1k =±， 故所求直线方程为(1)y x =±-，即10x y --=或10x y +-=21．（本小题满分12分）设函数2()ln f x x bx a x =+-．（1）若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是函数()f x 的两个不同零点，且 0(,1),x n n n N ∈+∈，求n ；（2）若对任意[2,1]b ∈--，都存在(1,)x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围．21．解：（1）()2,2a f x x b x x '=-+=是函数()f x 的极值点，(2)402a f b '∴=-+=． 因为1是函数()f x 的零点，所以(1)10f b =+=， 由40210a b b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩，解得：6,1a b ==- …………………（2分） 22626(23)(2)()6ln ,()210x x x x f x x x x f x x x x x x --+-'∴=--∴=--==>，， 由()0f x '>，可得2x >；由()0f x '<，可得02x <<，所以()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增． …………………（4分） 故函数()f x 至多有两个零点，其中01(0,2),(2,)x ∈∈+∞，因为(2)(1)0,(3)6(1ln 3)0,(4)6(2ln 4)f f f f <==-<=->，所以0(3,4)x ∈，故3n = …………………（6分）（2）令2()ln ,[2,1]g b xb x a x b =+-∈--，则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[2,1]b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立，则max ()(1)g b g =-= 2ln 0x x a x --<在(1,)e 上有解，令2()ln h x x x a x =--，只需存在0(1,)x e ∈使得0()0h x <即可， 由于22()21a x x a h x x x x--'=--=，令2()2,(1,),()410,x x x a x e x x ϕϕ'=--∈=-> ()x ϕ∴在(1,)e 上单调递增，()(1)1x a ϕϕ>=- …………………（9分） ①当10a -≥，即1a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，()h x 在(1,)e 上单调递增， ()(1)0h x h ∴>=，不符合题意；②当10a -<，即1a >时，2(1)10,()2a e e e a ϕϕ=-<=--若221a e e ->≥，则()0e ϕ<，所以在(1,)e 上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立， ()h x ∴在(1,)e 上单调递减，所以存在0(1,)x e ∈，使得0()(1)0h x h <=，符合题意． 若221e e a ->>，则()0e ϕ>，∴在(1,)e 上一定存在实数m ，使得()0m ϕ=，∴在(1,)m 上()0x ϕ<恒成立，()0h x '<恒成立，()h x ∴在(1,)m 上单调递减，所以存在 0(1,)x m ∈，使得0()(1)0h x h <=，符合题意．综上所述，当1a >时，对任意[2,1]b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立（12分） 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请将相应题号框涂黑．22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设直线l 的极坐标方程为2sin()3πρθ+=0(0)y x -=≥与圆C 的交点为O P 、，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．22．解：因为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，消参得：22(1)1x y -+=， ………………………（2分）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，得22(cos 1)(sin )1ρθρθ-+=，所以圆C 的极坐标方程为 2cos ρθ= ………………………（5分）（20(0)y x -=≥的极坐标方程是3πθ=，设点11(,)P ρθ，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩， ………………………（7分） 设点22(,)Q ρθ，则有2222sin()33πρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2233ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，………………（9分） 由于12θθ=，所以122PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为2 ……………（10分）23．（本小题满分10分）已知函数()2132f x x x =++-，且不等式()5f x ≤的解集为 43,,55a b x x a b R ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭≤≤． （1）求a ，b 的值；（2）对任意实数x ，都有235x a x b m m -++-+≥成立，求实数m 的最大值．23．解：（1）()5f x ≤，即21325x x ++-≤，等价于 1221325x x x ⎧-⎪⎨⎪---+⎩≤≤或122321325x x x ⎧-<<⎪⎨⎪+-+⎩≤或2321325x x x ⎧⎪⎨⎪++-⎩≥≤， 解得4152x --≤≤或1223x -<<或2635x ≤≤， 可知原不等式的解集为46,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以1,2a b ==…………………………（5分） （2） 由（1）知，1,2a b ==，所以12123x a x b x x x x -++=-++---=≥…………………………（7分）故22353,320m m m m -+-+≤≤，所以12m ≤≤，即实数m 的最大值为2 ………………………………（10分）。

届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案高考数学知识覆盖面广，我们可以通过多做数学模拟试卷来扩展知识面!以下是店铺为你整理的2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷，希望能帮到你。

2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。

广东省广州市华南师范大学附属中学2018届高三综合测试（二）理科数学试卷 第Ⅰ卷(共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}1|{<=x x A ，}13|{<=xx B ，则（ )A ．}0|{<=x xB A B ．R B A =C ．}1|{>=x x B AD ．∅=B A2．=++i i13（）A ．i 21+B ．i 21-C ．i +2D ．i -2 3．已知点)3,1(A ，)33,1(-=B ,则直线AB 的倾斜角是（）A ．060B ．030C ．0120 D ．01504．设R ∈θ,则“12|12|ππθ<-”是“21sin <θ”的（)A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．即不充分也不必要条件D ．充要条件5．为了得到函数)521sin(3π-=x 的图象，只要把xy 21sin 3=上所有点( ）A ．向右平移5π个单位长度B ．向左平移5π个单位长度 C ．向右平移52π个单位长度D ．向左平移52π个单位长度6．设1>k ,则关于y x ,的方程1)1(222-=+-k y x k 所表示的曲线是( ）A ．长轴在x 轴上的椭圆B ．长轴在y 轴上的椭圆C ．实轴在在x 轴上的双曲线D ．实轴在在y 轴上的双曲线7．若2-=x 是函数12)1()(--+=x e ax x x f 的极值点，则)(x f 的极小值为（）A ．1-B ．32--e C ．35-e D ．18．已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=320)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是（ ) A ．65π=x B ．127π=x C ．3π=x D ．6π=x9．若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是( ） A ．]221,221[+- B ．]3,221[-C ．]221,1[+-D ．]3,221[-10．已知奇函数)(x f 在R 上是增函数，)()(x xf x g =。

广东省华南师范大学附属中学2018-2019学年高三综合测试（一）（第一次月考）理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集{}|2U x N x =∈≥，集合{}2|5A x N x =∈≥，则U C A =（ ）A ．∅B ．{}2C ．{}5D ．{}2,5【答案】B考点：1、二次不等式；2、集合的基本运算.2.“()0,10x x x ∀>->”的否定是（ ）A ．()0,10x x x ∀>-≤B ．0,01x x ∀<≤≤C ．()0,10x x x ∃>-≤D ．0,01x x ∃>≤≤【答案】D【解析】试题分析：原的否定为0,01x x ∃>≤≤，故选D.考点：的否定.3.设248log 3,log 6,log 9a b c ===，则下列关系中正确的是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】 试题分析：248lg3lg 2lg32lg3log 3,log 6,log 9lg 22lg 23lg 2a b c +======⇒ 2lg3lg3lg3lg 2lg32lg 22lg 22lg 2a b ++==>=⇒3lg 23lg 3lg 33lg 34lg 36lg 26lg 26lg 2b c ++=>==⇒a b c >>,故选A.考点：1、对数的大小比较；2、对数的基本运算.4.设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 试题分析：2121012x x x +->⇔<-或x>,故“12x >”是“2210x x +->”的充分不必要条件，故选A.考点：充要条件.KS5U 5.已知()()1,41,42x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()2log 3f =（ ）A ．112B ．124C ．14D ．12【答案】B考点：分段函数.6.由曲线y =2y x =-+及x 轴所围成图形的面积是（ ） A ．103 B ．4 C ．76 D ．6【答案】C【解析】试题分析：32122201121237(2)|(2)|(2)32326x dx x x x +-+=+-+=+-=⎰⎰，故选C. 考点：定积分公式.7.已知函数()()20.5log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．(],4-∞ B ．[)4,+∞ C ．[]4,4-D ．(]4,4-【答案】C考点：复合函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查复合函数的单调性，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将转化为函数23t x ax a =-+在[)2,+∞单调递增，然后结合二次函数的图象可得2223022a a a ⎧-+≥⎪⎨≤⎪⎩，从而解得44a -≤≤．数形结合思想和转化化归思想是本题的解题关键，可以化繁为简.8.函数()21log f x x =+与()12x g x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 试题分析：由(0)2g =排除B,D ，由(1)1f =排除A,故选C.考点：函数的图象.9.已知()1f x +在偶函数，且()f x 在[)1,+∞单调递减，若()20f =，则()0f x >的解集为（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,2D ．()0,2【答案】D【解析】试题分析：取特殊函数2()2f x x x =-⇒()0f x >的解集为()0,2，故选D. 考点：函数的性质.10.已知函数()sin f x x x =g ，则()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、的大小关系为（ ） A ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫>->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】A考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查数的奇偶性、函数的单调性.，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将转化即: ()1f -=(1),(),33f f f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，然后作图，观察图像并结合单调性可得()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．善于应用数形结合思想和转化化归思想是，方能轻松解题.KS5U 11.下列中是假的是（ ）A ．m R ∃∈，使()()2431m m f x m x -+=-g 是幂函数，且在()0,+∞上递减B ．函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，则60a a ≤-≥或 C ．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的弃要条件是1a ≤D ．函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图像关于直线x a =对称【答案】D【解析】试题分析：选项A 中12()m f x x -=⇒=在()0,+∞上递减成立，故为真；选项B 中函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为21(1)4R t x a x a ⇒=++-+ 与x 至少有一个交点221(1)4()604a a a a ⇒∆=+--+=+≥⇒60a a ≤-≥或，故为真；①当0a =时，显然成立．②当0a ≠时，显然方程无零根．若方程有一正一负根，则440010a a a∆=->⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩；若方程有两负根，则440100120a a aa⎧⎪∆=-≥⎪⎪>⇒<≤⎨⎪⎪-<⎪⎩．综上，若方程至少有一个负根，则1a ≤．反之，若1a ≤，则方程至少有一个负根，因此为真．排除A 、B 、C ，故选D.考点：的真假.12.已知函数()f x 是定义在R 上的以4为周期的函数，当(]1,3x ∈-时，()(]()(]1,112,1,3x f x t x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩g，其中0t >．若函数()15f x y x =-的零点个数是5，则t 的取值范围为（ ）A ．2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞【答案】B考点：1、函数的周期性；2、分段函数；3、函数的零点；4、函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查函数的周期性、分段函数、函数的零点和函数的图象与性质，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用数形结合思想和转化化归思想将转化为函数()f x 的图象与直线15y x =有5个交点，然后作图，观察图象可得2655x <<．数形结合思想和转化化归思想是本题的解题关键，可以四两拨千斤.KS5U第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.函数()2log 1y x =-的定义域为____________． 【答案】()2,+∞【解析】试题分析：由已知可得(1)2390102log 0x x x x -⎧-≥⎪->⇒>⎨⎪≠⎩，故定义域为()2,+∞.考点：函数的定义域.14.已知集合{}{}|10,1,1A x ax B =+==-，若A B A =I ，则实数a 的所有可能取值的集合为____________．【答案】{}1,0,1-考点：集合基本运算.【方法点晴】本题主要考查集合基本运算，其中涉及分类讨论思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于中等难题. 首先将A B A =I 转化为A B ⊆，然后对0a =与0a ≠进行分类讨论，从而求得实数a 的所有可能取值的集合为{}1,0,1-.分类讨论思想和转化化归思想是本题的解题关键.15.若25a b m ==，且112a b+=，则m =__________．【解析】试题分析：2525log ,log a b m a m b m ==⇒==⇒211log 2log 5log 10210m m m m a b+=+==⇒=m ⇒=．考点：指数式与对数式的综合运算.16.过函数()32325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是 __________． 【答案】30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U 考点：1、函数的导数；2、切线的斜率与倾斜角.【方法点晴】本题主要考查函数的导数、切线的斜率与倾斜角，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，综合性较强，属于较难题型. 首先函数()f x 图象上一个动点的切线斜率转化为函数的导数，并求出()'1,f x ≥-再结合直线斜率图象，逆推出切线倾斜角的范围是30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U ，数形结合思想和转化化归思想是本题的解题关键. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知集合{}{}2|3327,|log 1x A x B x x =≤≤=>．（1）分别求(),R A B C B A I U ；（2）已知集合{}|1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值集合．【答案】（1）{}|23A B x x =<≤I ，{}|3R C B A x x =≤U ．（2）3a ≤．【解析】试题分析：（1）由3327x ≤≤ ⇒13x ≤≤⇒{}|13A x x =≤≤，再2log 1x >⇒2x >⇒{}|2B x x =>⇒{}{}|23;|2R A B x x C B x x =<≤=≤I ⇒{}|3R C B A x x =≤U ；（2）由（1）知{}|13A x x =≤≤，再分情况讨论 C 为空集与非空集合，从而求出3a ≤．试题解析：（1）∵3327x ≤≤，即13333x ≤≤，∴13x ≤≤，∴{}|13A x x =≤≤，．．．．．．．．．．．2分 ∵2log 1x >，即22log log 2x >，∴2x >，∴{}|2B x x =>，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ∴{}{}|23;|2R A B x x C B x x =<≤=≤I ，∴{}|3R C B A x x =≤U ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知{}|13A x x =≤≤，当C 为空集时，1a ≤，当C 为非集合时，可得13a <≤，综上所述3a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：1、不等式；2、集合的基本运算.KS5U18.（本小题满分12分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0;:a q >实数x 满足23x <≤．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,3；（2）(]1,2．试题解析：（1）对:p 由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<， 因为0a >，所以3a x a <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分当1a =时，解得13x <<，即p 为真时，实数x 的取值范围是13x <<．又q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分若p q ∧为真，则p 真且q 零点，所以实数x 的取值范围是()2,3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）p 是q 的必要不充分条件 ，即q p ⇒，且p q ≠，设(){}(){}|,|A x p x B x q x ==，则B A ≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又(]()2,3,,3B A a a ==；所以有233a a≤⎧⎨≤⎩解得12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是(]1,2．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：简易逻辑.19.（本小题满分12分）函数()()01x x f x ka a a a -=->≠且是定义在实数集R 上的奇函数．（1）若()10f >，试求不等式()()2240f x x f x ++->的解集；（2）若()312f =且()()222x xg x a a m f x -=+-g 在[)1,+∞上的最小值为-2，求m 的值． 【答案】（1）{}|14x x x ><-或；（2）2m =．试题解析：（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =，∴10k -=，∴1k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∵()10f >，∴10a a->，又0a >且1a ≠，∴1a >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 易知()f x 在R 上单调递增，原不等式化为：()()224f x x f x +>-， ∴1x >或4x <-，∴不等式的解集为{}|14x x x ><-或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分考点：函数的性质.20.（本小题满分12分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为12l l 、，山区边界曲线为C ．计划修建的公路为l ，如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l 、的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l 、的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l 、所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．假设曲线C 符合函数2a y x b=+（其中,a b 为常数）模型． （1）求,a b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ．①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．【答案】（1）10000a b =⎧⎨=⎩；（2）①()[]5,20f t t =∈；②当t =路l的长度最短，最短长度为【解析】试题分析：（1）由题意得,M N 分别为 ()()5,40,20,2.5⇒2a y x b =+⇒4025 2.5400a b a b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩⇒ 10000a b =⎧⎨=⎩；（2）①由（1）知()21000520y x x =≤≤⇒P 21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求导得32000y x '=-⇒ l ；()2310002000y x t t t -=--⇒233000,0,0,2t A B t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒()[]5,20f t t =∈；②设()624410g t t t ⨯=+⇒()6516102g t t t ⨯'=-，令()0g t '=⇒t =可得：当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =，此时()min f t =（2）①由（1）知，()21000520y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别交于,A B 点，32000y x '=-， 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得233000,0,0,2t A B t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故()[]5,20f t t ==∈．．．．．．．．．．．．．．．8分②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t ⨯'=-，令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()t ∈时，()()0,g t g t '>是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =，此时()min f t =答：当t =l 的长度最短，最短长度为．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：导数及其应用.KS5U21.（本小题满分12分）已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：①对任意的实数,x y 都有：()()()1f x y f x f y +=+-；②当0x >时，()1f x >．（1）求()0f ；（2）求证：()f x 在R 上为增函数；（3）若()67,3f a =≤-，关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()01f =；（2）证明见解析；（3）(]5,3--．（3）由已知条件有：()()()22221f ax f x x f ax x x -+-=-+-+⇒()2213f ax x x -+-+<⇒()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦，又()()()11f n nf n =--⇒()12f =⇒()()2121f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦⇒()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可．然后对12a +取值进行分类讨论可得：实数a 的取值范围是(]5,3--．（3）由已知条件有：()()()22221f ax f x xf ax x x -+-=-+-+， 故原不等式可化为：()2213f ax x x -+-+<，即()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦，而当*n N ∈时，()()()()()()()()()1112212331311f n f n f f n f f n f nf n =-+-=-+-=-+-==--L ，所以()()6615f f =-，所以()12f =，故不等式可化为()()2121f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦，由（2）可知()f x 在R 上为增函数，所以()2121x a x -++-<，即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立， 令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可． ①当112a +<-，即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增， 则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-，所以53a -<<-， ②当112a +≥-即3a ≥-时，有()()2min 111130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g解得11a -<<，而13-<-，所以31a -≤<，综上，实数a 的取值范围是(]5,3--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：导数及其应用．【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.22.（本小题满分12分）已知函数()ln x m f x e x +=-．（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性；（2）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围（其中常数a 满足ln 1a a =）．【答案】（1）1m =-，()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增；（2）[)ln ,a a --+∞．试题解析：（1）()()1,0x mf x e x x+'=->，因为1x =是函数()f x 的极值点， 所以()1110m f e +'=-=，所以1m =-，所以()11x f x e x-'=-．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 当01x <<时，1101,1x e x-<<-<-，所以()0f x '<， 当1x >时，111,10x e x ->-<-<，所以()0f x '>， 所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）()()1,0x m f x e x x +'=->，设()1x m g x e x +=-，则()210x m g x e x+'=+>， 所以()g x 在()0,+∞单调递增，即()f x '在()0,+∞单调递增．由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()0f x '=在()0,+∞的唯一零点， 所以00001,ln x m e x m x x +=+=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由于00x x <<时，()()00f x f x ''<=；当0x x >时，()()00f x f x ''>=，所以函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 且函数()f x 在0x x =处取得最小值，所以()()000001ln x m f x f x e x x m x +≥=-=++，因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥． 又因为ln 1a a =，故可解得0x a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以00,ln ln x a x a -≥--≥-，所以00ln ln m x x a a =--≥--，即m 的取值范围是[)ln ,a a --+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：导数及其应用．KS5U【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决.。

华南师大附中2018届高三综合测试（三）数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号等填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．回答第Ⅱ卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答卷上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数3sin 3cos i z +=（i 为虚数单位），则z 为（***）A.4B.3C.2D.12．已知集合A ＝{－1，0}，B ＝{0，1}，则集合＝（***）A ．φB ．{0}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1}3．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的（***）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-，则21cos sin 22αα+的值是（***）A ．35B ．－35C ．－3D ．35．如图，将绘有函数5())(0)6f x x πωω=+>部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角, 若A 、B ，则f (－1)＝（***）A ．－1B ．1C ．－32 D ．326．3OA =，2OB =，()(21)BC m n OA n m OB =-+--，若OA 与OB 的夹角为60°，且OC AB ⊥，则实数mn 的值为（***） A.87B. 43C.65D.167. 已知a >0，x , y 满足约束条件()⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥331x a y y x x ，若z =2x +y 的最小值为1，则a =（***）A.21B.31C.1D.28．120|4|x dx -=⎰（***）A ．7B ．223C ．113D ．4 9. 已知双曲线E ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF |=3|F Q|，若|OP |=b ，则E 的离心率为（***） ABC.2D.10．如图是函数()2f x x ax b =++的部分图象，则函数()()ln g x x f x '=+的零点所在的区间是（***）A ．11(,)42 B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)11．函数()222x f x e x =-的图象大致为（***）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，给出下列命题：①当0x >时，()(1)xf x e x -=--；②函数()f x 有2个零点； ③()0f x <的解集为()(),10,1-∞-U ，④12,x x R ∀∈，都有12()()2f x f x -<．其中正确命题的个数是（***） A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线()33x f x e x =-在点(0,(0))f 处的切线方程是 *** .14. 在ABC ∆中，,,a b c 为,,A B C ∠∠∠的对边，,,a b c 成等比数列，33,cos 4a c B +==，则AB BC ⋅= *** .15. 已知函数2log ,02()2,22x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨+≥⎪⎩，若0＜a ＜b ＜c ，满足()()()f a f b f c ==，则()ab f c 的取值范围为 *** .16. 设有两个命题：p :关于x 的不等式1>x a （0>a ,且1≠a ）的解集是{}0<x x ；q :函数()a x ax y +-=2lg 的定义域为R .如果q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围是 *** .三、解答题：本大题共7小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22(n n a S n =+∈N *)． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 18. （本小题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数。

广东省华南师大附中2018—2018学年第一学期期末高三水平测试数学试题（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题木指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

参考公式：锥体的体积公式,31Sh V =其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.柱体的体积公式Sh V =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知等差数列{a n }是单调数列，且a 1,a 3,a 4,成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则3523S S S S --的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．不能确定2．如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，主视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（ ）A ．334 B ．354 C ．324 D ．不确定3．已知两向量b a ,的夹角为60°，且,2||2||==b a 在△ABC 中，b a AB -=，,a CA =则A 的值为（ ）A ．120°B ．30°C ．150°D ．60°4．右图是某公交线路收支差额y 与乘客量x 之间的关系图（收支差额=车票收入+财政补贴-支出费用；假设财政 补贴和支出费用与乘客量无关），在这次公交、地铁票 价听证会上，有市民代表提出“增加财政补贴，票价实 行8折优惠”的建议.则下列四个图像反映了市民代表 建议的是 （ ）A ．B ．C ．D ．5．设集合},,,)1ln()(|{},11|{为增函数函数A x ax x x f a B x x A ∈-+==<<-=则=⋂B A （ ） A ．{5.01|≤<-x x } B ．{11|<<-x x }C ．{15.0|<≤x x }D ．空集 6．定义x ⊙,3y y x -=则a ⊙(a ⊙a)等于 （ ）A ．-aB ．a3C ．aD ．a3-7．已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足)1()1(x f x f -=+，则“)(x f 为偶函数”是“2为函数)(x f 的一个周期”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是 （ ） A ．215+ B ．2 C ．215+或2 D ．不存在第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13—15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．已知A （2，1），B （—2，3），以AB 为直径的圆的方程为______________. 10．如图所示，墙上挂有一块边长为2的正方形木板，上面画有振幅为1的正弦曲线半个周期的图案（阴影部分）．某人向此板投镖，假设每次都能击中木板并且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是_________.11．观察：①tan10°·tan20°+tan20°·tan60°+tan60°·tan10°=1；②tan15°·tan25°+tan25°·tan50°+tan50°·tan15°=1；③tan13°·tan27°+tan27°·tan50°+tan50°·tan13°=1．已知以上三式成立且还有不少类似的等式成立，请你再写出一个这样的式子：______________． 12．有一地球同步卫星A 与地面四个科研机构B 、C 、D 、E ，它们两两之间可以相互接发信息，由于功 率有限，卫星及每个科研机构都不能同时向两处 发送信息（例如A 不能同时给B 、C 发信息，它 可先发给B ，再发给C ），它们彼此之间一次接发 信息的所需时间如右图所示．则一个信息由卫星 发出到四个科研机构都接到该信息时所需的最短 时间为________．13（选做题）．在极坐标系中，以ρcos θ+1=0为准线，（1，0）为焦点的抛物线的极坐标方程为_______________．14（选做题）．不等式5|33||||12|<-++++x a x x 的解集非空，则a 的取值范围为___________． 15（选做题）．在圆内接△ABC 中，AB=AC=35，Q 为圆上一点，AQ 和BC 的延长线交于点P （如 图），且AQ ：QP=1：2，则AP=_________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出相应文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知：函数m xx x f +-=2sin 2)sin(3)(2ωω的周期为π3，且当],0[π∈x 时，函数)(xf的最小值为0．（1）求函数)(x f 的表达式；（2）在△ABC 中，若.sin ),cos(cos sin 2,1)(2的值求且A C A B B C f -+==17．（12分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是31，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． （1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．18．（14分）如图，已知几何体ABC-DEF 中，△ABC 及△DEF 都是边长为2的等边三角形，四边形ABEF为矩形，且CD=AF+2，CD ∥AF ，O 为AB 中点． （1）求证：AB ⊥平面DCO ．（2）若M 为CD 中点，AF=x ，则当x 取何值时，使AM 与平面ABEF 所成角为45°？试求相应的x值．（3）求该几何体在（2）的条件下的体积．19．（14分）已知函数23)(nx mx x f +=（m 、n ∈R ，m ≠0）的图像在（2，)2(f ）处的切线与x 轴平行．（1）求n ，m 的关系式并求)(x f 的单调减区间；（2）证明：对任意实数,1021<<<x x 关于x 的方程： ),(0)()()(211212x x x x x f x f x f 在=---恒有实数解．（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数)(x f 是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且在区间（a,b ）内导数都存在，则在（a,b ）内至少存在一点x 0，使得.)()()('0ab a f b f x f --=如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明： 当b a <<0时，aab a b b a b -<<-ln （可不用证明函数的连续性和可导性）20．（14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足114,2+==n n n a a S a （1）求;,,432a a a （2）求;n a（3）若,2)(2211n n n nn n n b a C a C a C =+++ 求证：nb b b 147222221-≤++ .21．（14分）椭圆G ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0，33）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．广东省华南师大附中2018—2018学年第一学期期末高三水平测试数学试题（理科）参考答案1．B 2．A 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．B 9．5)2(22=-+y x 10．π111．612．tan5°·tan 20°+ tan 20°·tan 60°+ tan 60°·tan 5°=1 13．θθρcos 4sin 2= 14．13<<-a 15．15 16．（1）截：m x m x x x f +-+=+-+=1)6sin(21)cos()sin(3)(πωωω3分 依题意函数)(x f 的周期为π3，4分 即m x x f +-+==∴=1)632sin(2)(,32,32πωπωπ5分1)632sin(21656326],,0[≤+≤∴≤+≤∴∈πππππx x x)(x f ∴的最小值为m,0=∴m6分即1)632sin(2)(-+=πx x f7分（2）1)632sin(11)632sin(2)(=+∴=-+=ππC C C f 而∠C ∈(0，π), ∴∠C=2π9分在Rt △ABC 中，)cos(cos sin 2,22C A B B B A -+==+π251sin 0sin sin cos 22±-==--∴A A A A 解得11分.215sin ,1sin 0-=∴<<A A 12分17．（1）记“该生考上大学”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则 5415)32()32)(31()(+=C A P2分 243131])32()32)(31([1)(5415=+⋅-=∴C A P4分 答：该生考上大学的概率为2431315分（2）参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5，6分,91)31()2(2===ξP274313231)3(12=⋅⋅⋅==C P ξ27431)32(31)4(213=⋅⋅⋅==C P ξ 8148)32()32(31)5(4314=+⋅⋅==C P ξ 10分故ξ的分布列为：81815274273912=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE12分18．解：（1）因为△ABC 为等边三角形， O 为AB 的中点，故AB ⊥CO ，1分 又CD ∥AF ，在矩行ABEF 中AB ⊥AF ， 所以AB ⊥CD ，2分由CD ∩CO=C ，证得AB ⊥平面DCO 4分（2）设I 为EF 中点，连接OI ，依题意，四边形OIDC 为等腰梯形 5分在梯形OIDC 中过O 作OH ⊥CD 垂足为H ，过M 作MG ∥OG ，则MG ⊥OI ，由（1）可知：面OIDC⊥面ABEF因为OIDC ∩面ABEF=OI ，所以MG ⊥面ABEF 6分连接AC ，则∠MAG 等于直线AM 与平面ABEF 所成角7分因为在正三角形ABC 中，AO=1，CO=3，在等腰梯形OIDC 中，CH=1，OG=0.5x ；所以在直角三角形OCH 中，213=-=OH ，即;2=MG在直角三角形AOG 中，241422+=+=x x AG8分由2,1422tan 2=∴=+==∠x x AGMGMAG10分（3）连接AH 、BH ，由（1）（2）可知，该几何体的体积等于两个以三角形ABH 为底面，CH 为高的三棱锥的体积与一个以三角形ABH 为底面，AF 为高的三棱柱的体积之和12分Θ△ABH=2,1,221===⋅AF OH OH AB 14分3282212312=⨯+⨯⨯⨯=∴-DEF ABC V 解二：建坐标系（略）19．解：（1）因为nx mx x f 23)('2+= 1分 由已知m n n m f 303,0)2('-==+=即所以2分即.0)2(0)(',63)('2>->-=x mx x f mx mx x f 知由 当);2,0()(,200的减区间为或时得x f x x m ><> 3分当);,2(),0,()(,200+∞-∞<<<的减区间为时得x f x m 4分综上所述：当);2,0()(,0的减区间为时x f m >当);,2(),0,()(,0+∞-∞<的减区间为时x f m5分（2）)33()()(212122211212x x x x x x m x x x f x f --++=--Θ6分0)()()('1212=---∴x x x f x f x f可化为,03363212122212=++----x x x x x x x x 令2121222123363)(x x x x x x x x x h ++----=7分则)32)(()(21211-+-=x x x x x h ，)32)(()(21122-+-=x x x x x h ， 即)32)(32()()()(212122121-+-+-=x x x x x x x h x h 又因为,1021<<<x x所以0)32(,0)32(2121<-+<-+x x x x ，即0)()(21<x h x h 8分故0)(=x h 在区间),(21x x 内必有解，即关于x 的方程),(0)()()('211212x x x x x f x f x f 在=---恒有实数解9分（3）令),,(,ln )(b a x x x g ∈= 10分则)(x g 符合拉格朗日中值定理的条件，即存在),,(0b a x ∈使a b ab a b a g b g x g --=--=ln ln )()()('0 11分因为0),1,1()('0),,(,1)('>-∈<<∈=a b ab x g b a b a x x x g 可知由12分即,1lnln ln )()()('10a a b a b a b a b a b a g b g x g b <-=--=--=< a a b a b b a b -<<-∴ln14分20．解：（1）8,6,4432===a a a3分 （2）由已知：当n>1时，,411=--+n n a a 5分 当n 为偶数时，,24)15.0(2n n a a n =⨯-⨯+= 6分当n 为奇数时，,24]1)1(5.0[1n n a a n =⨯-+⨯+= 7分（此处等价于证出数列为等差）故n a n 2=对任意正整数n 都成立，即n a n 2= 8分（3）nb b n nC k C a C n n n n k n kn k kn 1,222,22111=∴=∴==Θ--- 11分 所以222222211312111nb b b n ++++=+++ nn n )1(1321411131211222-++⨯++≤++++=.1471113121411n nn -=--++-++=14分21．解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心1分故该椭圆中,22c b a ==即椭圆方程可为22222b y x =+ 3分 设H （x,y ）为椭圆上一点，则b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222 4分 若30<<b ，则2||,HN b y 时-=有最大值962++b b 5分 由25350962±-==++b b b 得（舍去） 6分 若182||,3,322+-=≥b HN y b 有最大值时当 7分 由165018222==+b b 得∴所求椭圆方程为1163222=+y x 8分（2）设),(),,(),,(002211y x Q y x F y x E ，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116321163222222121y x y x 两式相减得0200=+kyx ……③又直线PQ ⊥直线m ∴直线PQ 方程为331+=x k y将点Q （00,y x ）代入上式得，33100+-=x k y ……④ 11分由③④得Q （33,332-k ）12分 而Q 点必在椭圆内部11632220<+∴y x ，由此得29400294,0,2472<<<<-∴≠<k k k k 或又故当)294,0()0,294(⋃-∈k 时，E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称 14分。

2017届高三上华附、省实、广雅、深中四校联考高三年级数学（理科）第一卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集{}2|230A x x x =∈+-N ≤，{}|B y y A =⊆，则集合B 中元素的个数为（）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】全集{}{}2|2300,1A x x x =∈+-=N ≤，{}|B y y A =⊆中的元素为集合A 的子集， 故集合B 中元素的个数为224=．故选C ．2．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(34i)12i z-=+ （其中i 为虚数单位），则复数z 在坐标平面内对应的点在（）．A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】B 【解析】∵(34i)12i -=+， ∴(34i)(34i)(12i)(3+4i)z+-=+ ， ∴5510i z =-+ ， ∴12i z =-+ ．则复数12i z =--在坐标平面内对应的点(1,2)--在第三象限．故选B ．3．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且939S S =，则{}n a 的通项公式可能是（）．A ．42n a n =-B ．41n a n =-C ．41n a n =+D ．42n a n =+【答案】A【解析】由已知，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d 。

∵939S S =， ∴11983299322a d a d ⨯⨯⎛⎫+=⨯+ ⎪⎝⎭， 化简得：12d a =，观察四个选择支：对于A ，42n a n =-的首项12a =，公差214d a a =-=，满足12d a =；对于B ，41n a n =-的首项13a =，公差214d a a =-=，不满足12d a =；对于C ，41n a n =+的首项15a =，公差214d a a =-=，不满足12d a =；对于D ，42n a n =+的首项16a =，公差214d a a =-=，不满足12d a =．故选A ．4．已知函数2()log f x x =，若在[1,8]上任取一个实数0x ，则不等式01()2f x ≤≤成立的概率是（）．A ．14B ．13C ．27D ．12【答案】C 【解析】∵01()2f x ≤≤，2()log f x x =，∴201log 2x ≤≤，∴024x ≤≤， ∴所求概率为422817-=-． 故选C ．5．下列命题中假命题的是（）．A ．0x ∃∈R ，0ln 0x <B ．(,0)x ∀∈-∞，e 1x x >+C ．0x ∀>，53x x >D ．0(0,)x ∃∈+∞，00sin x x <【答案】D 【解析】对于A ，比如01e x =时，1ln 1e=-，是真命题； 对于B ，令()e 1x f x x =--，()e 10x f x '=-<，()f x 递减，∴()(0)0f x f >=，是真命题；对于C ，函数(1)x y a a =>时是增函数，是真命题；对于D ，令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥，()g x 递增，∴()(0)0g x g >=，是假命题．故选D ．6．某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的3N =，则输出的i 等于（）．A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】执行循环体，满足条件n 是奇数，10n =，2i =，不满足条件1n =，执行循环体，不满足条件n 是奇数，5n =，3i =，不满足条件1n =，执行循环体，满足条件n 是奇数，16n =，4i =，不满足条件1n =，执行循环体，不满足条件n 是奇数，8n =，5i =，不满足条件1n =，执行循环体，不满足条件n 是奇数，4n =，6i =，不满足条件1n =，执行循环体，不满足条件n 是奇数，2n =，7i =，不满足条件1n =，执行循环体，不满足条件n 是奇数，1n =，8i =，满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为8．故选C ．7．函数2()(1)|log |1f x x x =+-的零点个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】∵函数的定义域为{}|0x x >，∴由()0f x =，得21log 1x x =+， 在坐标系中分别作出函数2log y x =，11y x =+的图象如图： 由图象可知两个函数只有2个交点，∴函数2()(1)|log |1f x x x =+-的零点个数为2个．故选B ．8．函数π()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）． A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[1,2] D ．(0,2]【答案】A 【解析】由πππ2π2π242k x k ω-+-+≤≤，得π2π3π2π44k k x ωωωω-++≤≤，k ∈Z ， 取0k =，得π3π4x ωω-≤≤， ∵函数π()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴3ππ42ω≥，即32ω≤． 又0ω>， ∴ω的取值范围是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 故选A ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（）．A ．203B ．403C ．20D ．40【答案】B 【解析】本题考查三视图，锥体的体积公式，着重考查学生的运算求解能力以及空间想象能力． 作出该四棱锥的直观图，如图中A BCDE -所示， 观察可知，该四棱锥的体积14041033V =⨯⨯=．10．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为俯视图正视图侧视图DAB C E4:π，即:4:πV V =牟球．也导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即318V r V =-牟方盖差，从而计算出34π3V r =球．记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正，则（）．【注意有文字】 A ．V V >正方盖差B ．V V =正方盖差C ．V V <正方盖差D ．以上三种情况都有可能【答案】A 【解析】解：由题意，331188V r V r =-=-牟方盖差所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为13V r =⨯⨯正∴V V >正方盖差．【注意有文字】故选A ．11．已知ABC △是边长为2的正三角形，点P 为ABC △内一点，且230PA PB PC ++= ，则PA PB ⋅ 等于（）．A ．29- B ．19- C ．29 D ．89【答案】A 【解析】 ∵ABC △是边长为2的正三角形，且230PA PB PC ++= ，∴2()PA PC PB PC +=-+ ，如图：设G 为BC 的中点，F 为AC 的中点，APCD 、BECP 为平行四边形， 则有22()PF PG =- ，即2PF PG =- ，∴F 、P 、G 共线，且2PF PG =，GF 为三角形ABC 的中位线．以BC 所在的直线为x 轴，以AG 所在的直线为y 轴，建立坐标系，则点A 、点(1,0)B -，(1,0)C ，故AC的中点12F ⎛ ⎝⎭，由题意可得，11113326GP GF ⎛⎛=== ⎝⎭⎝⎭， 点P的坐标为16⎛ ⎝⎭，∴16PA ⎛=- ⎝⎭，7,6PB ⎛=- ⎝⎭，∴172669PA PB ⎛⎛⎫⋅=-⨯-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭．12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)F c -作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2OE OF OP =+ ，则双曲线的离心率为（）． ABCD【答案】A【解析】∵||OF c =，||OE a =，OE EF ⊥，∴||EF b =， ∵1()2OE OF OP =+ ， ∴E 为PF 的中点，||||OP OF c ==，||2PF b =，设(,0)F c '为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO 为三角形PFF '的中位线，则||2||2PF OE a '==，可令P 的坐标为(,)m n ，则有24n cm =，由抛物线的定义可得||2PF m c a '=+=，2m a c =-，24(2)n c a c =-，又||OP c =，即有22(2)4(2)c a c c a c =-+-，化简可得，220c ac a --=， 由于c e a=，则有210e e --=， 由于1e >，解得，e =故选A ．第二卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知1a x -=⎰，则6π122a x x ⎡⎤⎛⎫+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦展开式中的常数项为__________． 【答案】160-【解析】111πarcsin 122a x x -===-⎰， ∴66π11222a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 其展开式的通项公式为66621661C (2)(1)2C rr r r r r r r T x x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令620r -=，解得3r =；∴展开式中常数项为3336(1)2C 160-⋅⋅=-．14．双曲线2222:1(0,0)y y T a b a b-=>>的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则它的实轴长等于__________．【答案】8 【解析】双曲线2222:1(0,0)y y T a b a b-=>>的焦距为10，可得5c =， 焦点到渐近线的距离为3，可得3b =，它的实轴长：28a =．故答案为：8．15．若π02sin cos x x y x⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤，2z x y =+，则z 的取值范围是__________．【答案】π0,6⎡+⎢⎣ 【解析】作出可行域如图所示，可得直线:2l z x y =+与y 轴交于点0,2z ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 观察图象，可得直线:2l z x y =+经过原点时，z 达到最小值0，y=0x+22直线:2l z x y =+与曲线πcos 02y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤相切于点A 时，z 达到最大值． ∵由1sin 2y x '=-=-得π6x =，∴代入函数表达式，可得π6A ⎛ ⎝⎭，由此可得max ππ266z =+=+． 综上所述，可得z的取值范围为π0,6⎡+⎢⎣．故答案为：π0,6⎡⎢⎣．16．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，D 是AC 上一点，E 是BC 上一点，若12AB BD =，14CE EB =，120BDE ∠=︒，3CD =，则BC =__________．【解析】如图，经E 点作EF AC ⊥于F 点，设AB x =，则由题意可得，2BD x =，AD =，3AC =，222(3)BC x =+，∵CEF ABC △∽△， ∴13EF EC AB BC ==，即有13EF x =， ∵120BDE ∠=︒，12AB BD =， ∴30EDF ∠=︒， ∴223ED EF x ==， ∴EDB △中，由余弦定理知：2222cos120BE DE BD ED BD =+-⨯⨯︒D ABC EF EC BA D222421424932x x x x ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭ 249BC =224[(3)]9x =+整理可得：2339x --=，∴可解得：x（舍去），∴222(3)39BC x =+=，可解得：BC ．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程） 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 、{}n b 中，{}n a 为公比0q >的等比数列，n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和且420S =，8340S =，11b =，1n n b qT +=．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）求数列{}n nb 的前n 项和n H ．【答案】见解析．【解析】（1）818484414(1)111(1)11a q S q q q a q S qq---===+---， ∴434011720q +==． ∴416q =，又0q >，∴2q =，4141(1)15201a q S a q-===-， ∴143a =， 故11412233n n n a -+=⋅=⋅． （2）11b =，12n n n b qT T +==，①1n =：11b =．②2n ≥：112n n T b +=， 112n n T b -=，∴111122n n n n n b T T b b -+=-=-， ∴13122n n b b +=， ∴13n nb b +=， 又11b =，∴13n n b -=，令13n n n c nb n -==⋅，∴01113233n n H n -=⋅+⋅++⋅ ，12313233n n H n =⋅+⋅++⋅ ，∴01212133333n n n H n --=⋅++++-⋅13313nn n -=-⋅- 3132n n n -=-⋅， ∴31311324224n n n n n H n -⎛⎫=⋅-=-+ ⎪⎝⎭．18．（本小题满分12分）连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为1a ，若存在正整数k ，使126k a a a +++= ，则称k 为你的幸运数字．（1）求你的幸运数字为3的概率．（2）若1k =，则你的得分为6分；若2k =，则你的得分为4分；若3k =，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分ξ的分布列和数字期望．【答案】（1）5108． （2）ξ的分布列见解析，8954E ξ=． 【解析】试题分析：（1）若幸运数字为3，则它包含事件1A ，2A ，3A ，其中1A ：三次恰好均为2；2A ：三次中恰好1，2，3各一次；3A ：三次中有两次均为1，一次为4，又1A ，2A ，3A 为互斥事件，由独立重复试验原理知：3231112123332231111115()()()()C C C C C 666666108P A P A P A P A ⎛⎫⎛⎫=++=+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由已知得ξ的可能取值为6，4，2，0，由互斥及独立重复试验知1(6)6P ξ==， 22122111115(4)C C 6666636P ξ⎛⎫==+⋅⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭， 3231112332131111115(2)C C C C C 666666108P ξ⎛⎫⎛⎫==+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 15535(0)163610854P ξ==---=，所以列出分布列，求期望即可．试题解析：（1）设“连续抛掷k 次骰子的和为6”为事件A ，则它包含事件1A ，2A ，3A ， 其中1:A 三次恰好均为2；2:A 三次中恰好1，2，3各一次；3:A 三次中有两次均为1，一次为4，1A ，2A 为互斥事件，则3k =的概率：3231112123332231111115()()()()C C C C C 666666108P A P A P A P A ⎛⎫⎛⎫=++=+⋅⋅⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由已知得ξ的可能取值为6，4，2，0，1(6)6P ξ==， 22122111115(4)C C 6666636P ξ⎛⎫==+⋅⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭， 3231112332131111115(2)C C C C C 666666108P ξ⎛⎫⎛⎫==+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 15535(0)163610854P ξ==---=． ∴ξ的分布列为：∴155642063610810854E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分） 在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AD BC =，60ABC ∠=︒，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90︒，得到梯形ABC D ''（如图）．（1）求证：AC ⊥平面ABC '．（2）求证：C N '∥平面ADD '．（3）求二面角A C N C '--的余弦值．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵12AD BC =，N 是BC 的中点， D'NC B A C'D∴AD NC =，又AD BC ∥，∴四边形ANCD 是平行四边形，∴AN DC =，又∵等腰梯形，∴AN AB =，又60ABC ∠=︒，∴ABN △是等边三角形， ∴12AN BN BC ==， ∴ABC △是直角三角形，且90BAC ∠=︒，∴AC AB ⊥，∵平面C BA '⊥平面ABC ，∴AC ⊥平面ABC '．（2）证明：∵AD BC ∥，AD BC ''∥，AD AD A '= ，BC BC B '= ，∴平面ADD '∥平面BCC '，∴C N '∥平面ADD '．（3）∵AC ⊥平面ABC '，同理AC '⊥平面ABC ，建立如图所示坐标系，设1AB =，则(1,0,0)B，C，C '，12N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则(BC '=-，(0,CC '= ．设平面C NC '的法向量为(,,)n x y z = ，则00n CC n BC ⎧'⋅=⎪⎨⎪'⋅=⎩，即00x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩， 令1z =，则x =1y =，得n = ．∵AC '⊥平面ABC ，∴平面平面ABC ．又BD AN ⊥，平面C AN ' 平面ABC AN =，∴BD ⊥平面C AN '，设BD 与AN 交于点O ，O 则为AN的中点14O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．所以平面C AN '的法向量3,4OB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．∴cos ||||n OB n OB θ⋅= 由图形可知二面角A C N C '--为钝角．所以二面角A C N C '--的余弦值为20．（本小题满分12分）设抛物线2:4C y x =，过定点(,0)m 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连结A 及抛物线顶点O 的直线与准线交于点B '，直线BO 与准线交于点A '，且AA '与BB '均平行于x 轴． （1）求m 的值．（2）求四边形ABB A ''面积的最小值．【答案】见解析．【解析】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线l 方程：x ty m =+，并与抛物线方程联立，消去x 整理得：2440y ty m --=，∴121244y y t y y m+=⎧⎨=-⎩， 依题意A '，O ，B 三点共线，∴AO BO k k =，即122214y y y =-，∴124y y =-，∴1m =.（2）依题意1(1,)A y '-，2(1,)B y '-，1()2ABB A S AA BB h ''''=+四边形【注意有文字】 221212111||244y y y y ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭22121224y y ⎛+=+ ⎝28(t =+8≥，当0t =时等号成立，此时:1AB l x =．21．设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图像与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，且12x x <（其中e 为自然对数的底数）．（1）求a 的取值范围．（2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）．【答案】见解析．【解析】（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾． 所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；于是当ln x a =时，()f x 取得极小值．因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(,0)A x ，212(,0)()B x x x <， 所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．此时，存在1ln a <，(1)e 0f =>；存在3ln ln a a >，332(3ln )3ln 30f a a a a a a a a =-+>-+>， 又由()f x 在(,ln )a -∞及(ln ,)a +∞上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围．（2）因为1212e 0e 0x x ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减得2121e e x x a x x -=-． 记21(0)2x x s s -=>，则121221212221e e e e [2(e e )22x x x x x x s s x x f s x x s ++-+-⎛⎫'=-=-- ⎪-⎝⎭， 记()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数， 则有()(0)0g s g <=，而122e 02x x s+>，所以1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +所以0f '<．22．（本小题满分12分） 已知曲线C的参数方程为x t y t⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l 的极坐标方程．（2）过点14M ⎛- ⎝⎭任作一条直线交曲线C 于A ，B 两点，求||AB 的最小值．【答案】见解析．【解析】（1）曲线C 的普通方程为222x y +=， ∴曲线C 的圆心为(0,0)O ．设(1,1)P ，则1PO k =，∴切线l 的斜率为1-．∴直线l 的方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=．∴直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=．（2）∵2211244⎛⎫-+=< ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴M 在圆C 内部．∴当AB OM ⊥时，||AB 最小．∵1||2OM =，∴||AB =∴||AB23．设函数4()||(0)f x x x a a a=-++>． （1）证明：()4f x ≥．（2）若(2)5f <，求a 的取值范围．【答案】见解析．【解析】证明：（1）444||4x x a x a x a a a a-++++-=+≥≥， 综上所述，()4f x ≥．（2）（ⅰ）当2a =时，42|2|5a a -++<显然满足； （ⅱ）当02a <≤时，45a a⇒+<，即2540a a -+<， 14a ⇒<<，联立求解得12a <≤．（ⅲ）当2a >时，240a a ⇒--<，a ⇒<<，联立求解得2a <<，综上所述，a 的取值范围为1a <．。

华南师大附中2018—2018学年度高三综合测试（1）数学试题（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答 题卡的密封线内.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 334R V π=球P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k其中R 表示球的半径次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(第一部分（选择题 共40分）一、（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 设=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=))21((1|| 111|| 2|1|)(2f f x x x x x f ，则 （ ）A ．21B ．134 C ．59-D ．41252．已知2)(xx e e x f --=，则下列判断中正确的是（ ）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数3．若函数)(x f y =的反函数)(1x f y --=的图象与y 轴交于点P （0，2），则方程0)(=x f 的根是（ ） A ．x =4 B ．x =3 C ．x =2 D ．x =1 4．下列关系中，成立的是（ ）A ．10log )51(4log 3103>>B ．4log )51(10log 3031>>C ．0313)51(10log 4log >>D ．0331)51(4log 10log >>5．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ）A ．)5.60(5060≤≤+=t t t xB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<≤≤=5.65.3 ,501505.35.2,1505.20,60t t t t t xC ．⎩⎨⎧>-≤≤=5.3 ,501505.20,60t t t t xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤=5.65.3 ),5.3(501505.35.2,1505.20,60t t t t t x6．若函数],[)(b a x f y 在区间=上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数0)(),(=∈c f b a c 使得B ．若)()(b f a f <0，存在且只存在一个实数0)(),(=∈c f b a c 使得C ．若)()(b f a f >0，有可能存在实数0)(),(=∈c f b a c 使得D ．若)()(b f a f <0，有可能不存在实数0)(),(=∈c f b a c 使得7．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象 （ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度8．设b>0，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列之一，则a 的值为 （ ）A ．1B ．－1C ．251--D ．251+-第二部分（非选择题 110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．函数),2[54)(2+∞-+-=在区间mx x x f 上是增函数，在区间]2,(--∞上是减函数，则 )1(f 等于10．若集合B A x xy y B x x y y A ⋂≤<-==≤≤-==，则}10,12|{},11,|{31等于 11．函数2231x x y -+=单调减区间是 ；值域是12．对任意)}(1,1max{)( , ,},max{,R x x x x f ba b ba ab a R b a ∈++-=⎩⎨⎧<≥=∈，则函数，记的最小值是13．已知两变量x ，y 之间的关系为x y x y lg lg )lg(-=-，则以x 的自变量的函数y 的最小值为14．已知集合M 是满足下列条件的函数)(x f 的全体； ①当),0[+∞∈x 时，函数值为非负实数；②对于任意的s 、t ∈),0[+∞，都有)()()(t s f t f s f +≤+在三个函数中，)1ln()(12)(,)(321+=-==x x f x f x x f x ，属于集合M 的是 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分12分）已知全集U=R ，集合}.02|{},,116|{2<--=∈≥+=m x x x B R x x x A （Ⅰ）当m=3时，求A B C U ⋂；（Ⅱ）若}41|{<<-=⋂x x B A ，求实数m 的值. 16．（本小题满分12分）已知函数).,1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f （Ⅰ）当,21时=a 求函数)(x f 的最小值； （Ⅱ）若对任意),1[+∞∈x ，都有)(x f >0恒成立，试求实数a 的取值范围.17．（本小题满分14分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.18元，但实际出厂单价不能低于51元.（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（Ⅱ）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P=)(x f 的表达式； （Ⅲ）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）18．（本小题满分14分）设函数y=)(x f 是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x 、y ，都有)()()(y f x f xy f +=；②当x >1时，)(x f <0；③1)3(-=f . （Ⅰ）求)91()1(f f 、的值；（Ⅱ）如果不等式2)2()(<-+x f x f 成立，求x 的取值范围；（Ⅲ）如果存在正数k ，使不等式2)2()(<-+x f kx f 有解，求正数k 的取值范围. 19．（本小题满分14分）P ：函数),0()1(log +∞+=在x y a 内单调递减； Q ：曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于不同的两点. 如果P 与Q 有且只有一个正确，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分） 已知函数)0(|11|)(>-=x xx f ，. （Ⅰ）当1)()(0>=<<ab b f a f b a ，求证，且；（Ⅱ）是否存在实数)(,b a b a <使得函数y=)(x f 的定义域、值域都是[a ，b]，若存在，则求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1.B2.A3.C4.A5.D6.C7.D8.B 二、填空题9．25 10．[－1，1] 11．),21[ ];1,1(+∞- 12．1 13．4 14．)(),(21x f x f 三、解答题 15．解：∵516101116≤<-⇔⎩⎨⎧≤+>+⇔≥+x x x x ∴}51|{≤<-=x x A（Ⅰ）当m=3时，}31|{<<-=x x B ， 则}31|{≥-≤=x x x B C U 或 ∴}53|{≤≤=⋂x x B C A U（Ⅱ）由024}41|{2<--=<<-=⋂m x x x x x B A 是方程可知的根， ∴有04242=-⨯-m 成立， 解得m=8 此时}42|{<<-=x x B ，符合题意 16．（Ⅰ）解：当221)(21++==xx x f a 时， 设21212122112121212)(2121)()(1x x x x x x x x x x x f x f x x -⋅-=--+=-≥>，则， ∵0212,0 121212121>->-∴≥>x x x x x x x x ，，∴)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-，即 ∴),1[)(+∞在区间x f 上为增函数， ∴),1[)(+∞在区间x f 上的最小值为.27)1(=f（Ⅱ）解法一：在区间02)(),1[2>++=+∞xax x x f 上恒成立 02),1[2>+++∞⇔a x x 上在区间恒成立.设),1[ ,22+∞∈++=x a x x y ∴当x =1时，a y +=3min ，当且仅当30)(03min ->>>+=a x f a y 恒成立，故时，函数 解法二 ),1[2)(+∞∈++=x x a x x f ，，当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正；当a <0时，函数)(x f 的递增，故当x =1时，a x f +=3)(min ， 当且仅当a x f +=3)(min >0时，函数)(x f >0恒成立，故a >－317．解：（Ⅰ）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则55002.051601000=-+=x ， 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元，（Ⅱ）当时，当时，550100601000≤<=≤<x P x ， 5062)100(02.060xx P -=--= 当,51550=≥P x 时，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<=)550(51).)(550100(5062)1000(60)(x N x x x x x f P（Ⅲ）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则 ).( )500100(5022)1000(20)40(2N x x x x x x x P L ∈⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<=-= 当x =500时，L=6000；当x=1000时，L=11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元； 如果订购1000个，利润是11000元.18．解：（Ⅰ）令x =y=1易得0)1(=f .而211)3()3()9(-=--=+=f f f ，且.2)91(0)1()91()9(===+f f f f ，得（Ⅱ）由条件①及（Ⅰ）的结果得：,20)91()]2([<<<-x f x x f 其中由函数)(x f 在R 上的递减性，可得：⎪⎩⎪⎨⎧<<>-20,91)2(x x x 由此解得x 的范围是3221,3221(+-） （Ⅲ）同上理，不等式2091)2(2)2()(<<>-<-+x x kx x f kx f 且可化为， 可得 )2(91x x k ->，此不等式有解等价于k>[)2(91x x -]min∵911)]2([max >=-k x x ，故即为所求范围. 19．解：当0<a <1时，函数),0()1(log +∞+=在内x y a 单调递减；当a >1时，函数),0()1(log +∞+=在内x y a 不是单调递减.曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于两点等价于.252104)32(2><>--a a a 或，即 情形（1）：P 正确，且Q 不正确.即函数),0()1(log +∞+=在内x y a 单调递减，曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于两点，因此)1,21[]]25,1()1,21[[)1,0(∈⋃⋂∈a a ，即 情形（2）：P 不正确，且Q 正确.即函数),0()1(log +∞+=在内x y a 不是单调递减，曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于两点，因此).,25()],25()21,0[(),1(+∞∈+∞⋃⋂+∞∈a a ，即综上，a 取值范围是).,25()1,21[+∞⋃20．（Ⅰ）解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤<-=-=1 ,1110 ,11|11|)(x xx x x x f故]1,0()(在x f 上是减函数，而在),1(+∞上是增函数， 由,211111110)()(0=+-=-<<<=<<ba b a b a b f a f b a ，即，和得，且 而.112112>>+=ab abb a ，所以 （Ⅱ）不存在这样的实数a ，b.假设存这样的实数a ，b 使得函数)(x f y =的定义域、值域是都是 [a ，b]①当0<a <b<1时，函数]1,0(11)(在-=x x f 上是减函数，则⎩⎨⎧==ab f b a f )()(，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-a bb a 1111， 解得a =b 与0<a <b<1矛盾，故此时不存在满足条件的实数a ，b. ②当1<a <b 时，函数),1(11)(+∞-=在x x f 上是增函数，则⎩⎨⎧==b b f a a f )()(， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-b ba a 1111， 此时实数a ，b 为方程012=+-x x 的两根，但方程012=+-x x 无实根，因此不存在满足条件的实数a ，b.③当0<a <1<b ，此时显然有],[0)1(],[1b a f b a ∉=∈，而（这是因为a >0）， 故此时不存在满足条件的实数a ，b.综合①②③可得满足条件的实数是不存在的.。

绝密★启用前华南师范大学附属中学2018届高三上学期第一次月考文科数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填在答题卷上． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．3．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题0:p x ∈R ，01x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∈R ，1x ≤B ．x ∀∈R ，1x ≤C ．x ∀∈R ，1x <D ．x ∈R ，1x <2．设集合{}220M x x x =-≥，N x y ⎧⎫==⎨⎩，则M N 等于（ ）A ．(]1,0-B ．[]1,0-C ．[)0,1D ．[]0,13．已知命题:0p a b >>，命题:q a b a b +<+，则命题p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在一次马拉松决定中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．130 0 3 4 5 6 6 8 8 81 1 12 2 23 34 45 5 514150 1 2 2 3 3 3若将运动员按成绩由好到差编为130~号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[]130,151上的运动员人数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．已知()2tan π3α-=-，则()()()cos 3sin πcos π9sin αααα-++-+的值为（ ）A ．37-B ．15-C ．15D ．376．函数()()π2sin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()17π012f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A．2+B．2C．1+D．1 7．函数331x x y =-的图像大致是（ ）8．设曲线11x y x +=-在点()2,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12B ．12- C ．2- D ．29．某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高。

广东省广州市2018届高三数学上学期第一次月考试题理（扫描版）
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。