2019-2020学年高中数学苏教版必修4模块综合测评 Word版含解析

学业分层测评(三)任意角的三角函数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α终边在第________象限．【解析】由sin α＝35＞0得，角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－45＜0得，角α的终边在第二或第三象限，故角α的终边在第二象限．【答案】二2．若角α的终边落在y＝－x上，则tan α的值为________．【解析】设P(a，－a)是角α上任意一点，若a>0，P点在第四象限，tan α＝－aa＝－1，若a<0，P点在第二象限，tan α＝－aa＝－1.【答案】－13．有三个结论：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等；③π4与5π4的余弦线相等．其中正确的是________．【解析】在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线，余弦线，分析可知①正确，②正确，③错误．【答案】①②4．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C＜0，则△ABC是________三角形．【解析】∵A，B，C是△ABC的内角，∴sin A＞0.∵sin A·cos B·tan C＜0，∴cos B·tan C＜0，∴cos B和tan C中必有一个小于0，即B，C中必有一个钝角，故△ABC是钝角三角形．【答案】钝角5．(2016·扬州高一检测)如果α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于________．【解析】∵P(1，－3)，∴r＝错误!＝2，∴sin α＝－32.【答案】 －326．(2016·南通高一检测)在(0,2π)内，使sin α＞cos α成立的α的取值范围是________．【解析】 如图所示，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4时，恒有MP ＞OM ，而当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，2π时，则是MP ＜OM . 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 7．若α为第二象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝________.【解析】 由已知sin α>0，cos α<0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－错误!＝1＋1＝2.【答案】 28．(2016·无锡高一检测)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则α的取值范围是________．【解析】 因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上． 因为α的终边过点(3a －9，a ＋2)，所以⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3. 【答案】 (－2,3]二、解答题9．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)错误!(θ为第二象限角). 【导学号：06460008】【解】 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°＜0，cos 265°＜0，∴sin 340°cos 265°＞0.(2)∵θ为第二象限角，∴0＜sin θ＜1＜π2，－π2＜－1＜cos θ＜0，∴sin(cos θ)＜0，cos(sin θ)＞0，∴错误!＜0.10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 【解】 (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α＜0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角．由lg cos α有意义可知cos α＞0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角．综上可知角α是第四象限的角．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1， 解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m ＜0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM|＝－451＝－45.[能力提升]1．(2016·南京高一检测)若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．(填序号)①sin α2；②cos α2；③tan α2；④cos 2α.【解析】 由α为第四象限角，得2k π＋3π2＜α＜2k π＋2π(k ∈Z )，故k π＋3π4＜α2＜k π＋π(k∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2nπ＋3π4，2nπ＋π， 此时，α2是第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2nπ＋7π4，2nπ＋2π，此时，α2是第四象限角．故无论α2落在第二还是第四象限，tan α2＜0恒成立．又4k π＋3π＜2α＜4k π＋4π，(k ∈Z )．故cos 2α有可能为正也有可能为负．【答案】 ③2．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sinα<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．【解析】 由题意得⎩⎨⎧ n ＝3m ＜0，m2＋n2＝10，∴⎩⎨⎧ m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 【答案】 23．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．【解析】 设Q (cos α，sin α)，由2π3＝α·1可知α＝2π3，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 4．已知：cos α＜0，tan α＜0.(1)求角α的集合； (2)试判断角α2是第几象限角；(3)试判断sin α2，cos α2，tan α2的符号． 【解】 (1)因为cos α＜0，所以角α的终边位于第二或第三象限或x 轴负半轴上．因为tan α＜0，所以角α的终边位于第二或第四象限，所以角α的终边只能位于第二象限．故角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k ∈Z . (2)因为π2＋2k π＜α＜π＋2k π(k ∈Z )，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π(k ∈Z )．当k＝2n(n∈Z)时，π4＋2nπ＜α2＜π2＋2nπ(n∈Z)．所以α2是第一象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)，5π4＋2nπ＜α2＜3π2＋2nπ(n∈Z)，所以α2是第三象限角．(3)当α2为第一象限角时，sin α2＞0，cosα2＞0，tanα2＞0.当α2为第三象限角时，sin α2＜0，cosα2＜0，tanα2＞0.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块检测（苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分150分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为 ．2．化简：sin 13cos 17sin 17cos 13︒︒+︒︒= ．3.已知(,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，则x = .4.已知tan 2α=，则sin 2cos cos sin αααα+-= ．5.若1sin cos 3αα+=，则sin 2α= . 6.已知扇形的半径为8 cm ，圆心角为45°，则扇形的面积是 cm 2．7.已知4sin 5θ=，且cos(π)0θ->，则πcos 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ = ． 8.要得到2πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，需要将函数y = sin 2x 的图象 .9．若ππ0,022αβ<<<<，且72cos 10α=，tan β=34，则αβ+= ． 10.函数sin y x =的定义域是 .11.已知,a b 满足：3,2,+4===a b a b ，则-a b = .12.设02πθ<≤，已知两个向量1(cos ,sin ),OP θθ=uuu r 2(2sin ,2cos )OP θθ=+-uuu r ，则向量12P P uuu r长度的最大值是 .13.已知四边形ABCD 为平行四边形，(1,2),(0,A B -0),(1,7)C ，则D 点坐标为 . 14.给出下列四个命题： ①函数π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是5π12x =； ②函数tan y x =的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③正弦函数在第一象限为增函数； ④若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12πx x k -=， 其中k ∈Z .以上正确的有 .（请把正确命题的序号填在横线上）二、解答题（共90分）15.（14分）（1）已知1cos 3α=，求cos(2π)sin(π)πsin tan(3π)2αααα-+⎛⎫++ ⎪⎝⎭··的值；（2）已知tan 2α=，求2sin sin cos ααα+的值．16.（14分）已知53cos(),sin 135αββ+=-=，,αβ均为锐角.（1）求cos(2)αβ+的值；（2）求sin α的值．17.（14分）已知(1,2),(3,2)==-a b .（1）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 垂直？（2）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 平行？平行时它们是同向还是反向？18．（16分）函数π()sin()0,0,2f x A x A ωαω⎛=+>>- ⎝π2α⎫<<⎪⎭的最小正周期是π，且当π6x =时()f x 取得最大值3．（1）求()f x 的解析式及单调增区间．（2）若0[02π)x ∈，，且03()2f x =，求0x ．（3）将函数()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位长度后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =是偶函数，求m 的最小值．19.（16分）已知(3sin ,cos ),(cos ,x m x x =+=a b cos )m x -+且()f x =g a b .（1）求函数()f x 的解析式；（2）当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是-4，求此时函数()f x 的最大值，并求出相应的x 的值．20.（16分）某港口的水深y (米)是时间t（024t ≤≤，单位：小时）的函数，下表是每天时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，()y f t =可近似的看成是函数y =sin A t b ω+.（1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式.（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？模块检测（苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3. 4. 5． 6． 7. 8. 9． 10． 11. 12. 13． 14．三、解答题15.16.17.18.19.20.模块检测（苏教版必修4）答案一、填空题1.πv 解析：∵ 函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴ 2ω=，∴ 2π π2T ==．2.12 解析：1sin 13cos 17cos 13sin 17sin 302+==. 3.-1 解析：∵ (,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，∴ 330x =+=g a b .解得1x =-.4.-4 解析：由tan 2α=，得sin 2cos tan 2224cos sin 1tan 12αααααα+++===----．5.89- 解析：由1sin cos 3αα+=，得112sin cos 9αα+=，∴ 82sin cos 9αα=-，∴ 8sin 29α=-.6.8π 解析：∵ 在扇形中，半径8 cm r =，圆心角α=45°=π4，∴ 弧长π82π(cm)4l =⨯=，∴ 扇形的面积2112π88π(cm )22S lr ==⨯⨯=．7.34310-- 解析：∵ 4sin 5θ=，且cos(π)cos 0θθ-=>-，∴ 3cos 5θ=-．∴ πππ3143343cos cos cos sin sin 333525210θθθ--⎛⎫+==-⨯-⨯= ⎪⎝⎭-.8.向右平移π3个单位 解析：将函数sin 2y x =的图象向右平移π3个单位，可得到πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即2πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 9.π4 解析：由条件可得22sin 1cos 10αα=-=，∴ 1tan 7α=．∴ tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-·.由0παβ<+<，得π4αβ+=. 10.[2π,2ππ],k k k +∈Z 解析：由题意得sin 0x ≥，∴ 2π2ππ,k x k k +∈Z ≤≤，故函数的定义域为[2π,k2ππ],k k +∈Z .11.10 解析：∵ 3,2==a b ，∴ 229,4==a b .又+4=a b ，∴ 22216++=g a b a b ，∴ 23=g a b ， ∴ 222210+-==-g a b a b a b ，∴ 10-=a b .12.32 解析：由向量的减法知1221(2sin cos 2cos sin )PP OP OP θθθθ=-=+---，uuu r uuu r uuu r， ∴ 2212(2sin cos )(2cos sin )PP θθθθ=+-+--uuu r2244(sin cos )(sin cos )44(sin cos )(sin cos )θθθθθθθθ=+-+-+-+++108cos θ=-.∵ 02πθ<≤，∴ 1cos 1θ-≤≤，则当cos 1θ=-时，向量12P P uuu r的长度有最大值是32.13.（0,9） 解析：设(,)D x y ，则BA CD =uu r uu u r .又(1,2),(1,7)BA CD x y =-=--uu r uu u r ，∴ 11,7 2.x y -=-⎧⎨-=⎩解得0,9.x y =⎧⎨=⎩∴ (0,9)D . 14.①② 解析：把5π12x =代入函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2y =，为最大值，故①正确．结合函数tan y x =的图象可得点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数tan y x =的图象的一个对称中心，故②正确． ③正弦函数在第一象限为增函数，不正确，如39060>，都是第一象限角，但sin 390sin 60< ．若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有12ππ22π244x k x -=+-，或12ππ22ππ244x k x ⎛⎫-=+-- ⎪⎝⎭，k ∈Z ， ∴ 12πx x k -=或123ππ+4x x k +=，k ∈Z ，故④不正确．二、解答题15.解：（1）cos(2π)sin(π)cos sin πcos tan sin tan(3π)2αααααααα-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭g g g g =cos α=13． （2）因为tan 2α=， 所以2sin sin cos ααα+ =222sin sin cos sin cos ααααα++=22tan tan tan 1ααα++=222221++ =65. 16.解：（1）由题意知124sin(),cos 135αββ+==，∴ 5412356cos(2)cos[()]cos()cos sin()sin 13513565αβαββαββαββ+=++=++=-⨯-⨯=--． （2）1245363sin sin[()]sin()cos cos()sin =13513565ααββαββαββ⎛⎫=+=+-+=⨯--⨯ ⎪⎝⎭-．17.解：(1,2)+(3,2)(3,22)k k k k +==-+-a b ，3(1,2)3(3,2)(10,4)---=-a b =. （1）由()(3)k +⊥-a b a b ，得()(3)10(3)4(22)2380,k k k k +-=-+=-=-g a b a b 解得19k =.（2）由()(3)k +-a b a b ∥，得4(3)10(22)k k --=+,解得13k =-.此时1041,(10,4)333k ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭a b ，所以它们方向相反．18.解：（1）由题意知2π3,πA ω==.∴ 2ω=.∴ ππ3sin 2366f α⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴ ππ22π62k α⨯+=+()k ∈Z . 又ππ22α-<<，∴ π6α=.∴ π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π262k x k -++≤≤()k ∈Z ，得ππππ36k x k -+≤≤()k ∈Z ，∴()f x 的单调增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）∵ 00π3()3sin 262f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即0π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ 0ππ22π66x k +=+或0π5π22π()66x k k +=+∈Z .∴ 0πx k =或0ππ()3x k k =+∈Z .又0[02πx ∈，），∴ 0π4π0,π,,33x =. （3）由条件可得ππ()3sin 2()3sin 2266g x x m x m ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又()g x 是偶函数，∴ ()g x 的图象关于y 轴对称，∴ 当0x =时，()g x 取最大值或最小值，即π3sin 2+36m ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，∴ ππππ2π(),()6226k m k k m k -+=+∈=--∈Z Z . 又0m >，∴ m 的最小值是π3.19.解：（1）()(3sin ,cos )(cos ,cos )f x x m x x m x ==+-+g g a b ，即22()3sin cos cos f x x x x m =+-． （2）∵ 223sin 21cos 2π1()sin 22262x x f x m x m +⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭，又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴ ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴ π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴ 211422m -+-=-， ∴ 24m =，∴ max 15()1422f x =+-=-，此时ππ262x +=，π6x =．20.解：（1）由题意知13713710,322b A +-====，周期为12，因此2ππ12,6T ωω===，故π()3sin 10(024)6f t t t =+≤≤.（2）要想船舶安全，必须深度()11.5f t ≥，即π3sin 1011.56t +≥，∴ π1sin 62t ≥，故ππ5π2π2π,666k t k k ++∈Z ≤≤.解得121512,k t k k ++∈Z ≤≤. 又024t ≤≤，当0k =时，15t ≤≤； 当1k =时，13t ≤≤17，故船舶安全进出港的时间段为（1：00∼5：00），（13：00∼17：00）．。

模块综合评价(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图所示，已知AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，那么下列比例式成立的是( )A.＝OA ′OA OC OC ′B.＝A ′B ′AB B ′C ′BCC.＝A ′C ′AC OC OC ′D.＝AB A ′B ′OC CC ′解析：因为AB ∥A ′B ′，所以＝.同理＝.OA ′OA OB ′OB OC ′OC OB ′OB 所以＝，所以A 不成立．OA ′OA OC ′OC ＝＝，所以＝，A ′B ′AB OB ′OB B ′C ′BC A ′B ′AB B ′C ′BC 所以B 成立．由于＝.所以AC ∥A ′C ′.OA ′OA OC ′OC 所以＝，所以C 不成立．A ′C ′AC OC ′OC ＝＝，所以D 不成立．ABA ′B ′OBOB ′OCOC ′答案：B2．在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高线，AC ∶BC ＝3∶1，则S △ABC ∶S △ACD 为( )A ．4∶3B ．9∶1C ．10∶1D ．10∶9解析：因为AC ∶BC ＝3∶1，所以S △ACD ∶S △CBD ＝9∶1，所以S △ABC ∶S △ACD ＝10∶9.答案：D3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，BF ⊥CE 于F ，那么S △BFC ∶S 正方形ABCD ＝( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶6解析：因为S △BEC ∶S 正方形ABCD ＝1∶4，又S △BEF ∶S △BCF ＝(BE ∶BC )2＝1∶4，所以S △BFC ∶S 正方形ABCD ＝1∶5.答案：C4.如图所示，在△ABC中，EE1∥FF1∥MM1∥BC，若AE＝EF＝FM＝MB，则∶∶∶为( )A．1∶2∶3∶4B．2∶3∶4∶5C．1∶3∶5∶7D．3∶5∶7∶9解析：因为∶＝1∶4，所以∶＝1∶3，又因为∶＝1∶9，所以∶＝1∶5，又因为∶S△ABC＝1∶16，所以∶＝1∶7.答案：C5．如图所示，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠BOC＝( )A．150° B．130° C．120° D．60°解析：由条件可知，∠AOB＝60°，所以∠BOC ＝120°.答案：C6．圆内接四边形ABCD 中，∠A ，∠B ，∠C 的度数比是2∶3∶6，则∠D ＝( )A ．67.5°B ．135°C ．112.5°D ．110°解析：因为∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°，∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶6，所以∠B ∶∠D ＝3∶5，所以∠D 的度数为×180°＝112.5°.58答案：C7.如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AC ∶BC ＝1∶，则AD 的值是( )2A ．6 cm B ．3 cm 2C ．18 cmD ．3 cm6解析：因为AC ∶BC ＝1∶，AC 2＝AD ·AB ，2BC 2＝BD ·AB ，所以AD ∶DB ＝1∶2，所以可设AD ＝t ，DB ＝2t ，又因为CD 2＝AD ·DB ，所以36＝t ·2t ，所以2t 2＝36，所以t ＝3(cm)，2即AD ＝3 cm.2答案：B8.如图所示，用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( )A.12B.33C.32D ．非上述结论解析：用平面截圆柱，椭圆截线的短轴长为圆柱截面圆的直径，且椭圆所在平面与底面成30°角，则离心率e ＝cos 60°＝.12答案：A9.如图所示，AB ，AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD .如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°解析：如图所示，连接OC.由AB 为切线，有OB ⊥AB .因为OB ＝BD ，所以∠AOB ＝∠D ，∠OAB ＝∠DAB ，而∠CAO ＝∠OAB ，所以∠OAB ＝∠CAD ＝×78°＝26°.1313所以∠AOD ＝∠ADO ＝64°.答案：B10.如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD ＝( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°解析：因为AB 是⊙O 的直径，所以的度数是180°，ACB︵因为BC ＝CD ＝DA ，所以＝＝，BC︵ CD ︵ DA ︵ 所以∠BCD ＝(180°＋60°)＝120°.12答案：C11.如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径r ＝，AC ＝2，则cos B 的值是( )32A.B.3253C.D.5223解析：cos B ＝cos D ，又因为AD 为直径，所以cos D ＝＝DCAD ＝.32－22353答案：B12．如图所示，AB ＝，BC ＝2，CD ＝1，∠ABC ＝45°，则2四边形ABCD 的面积为( )A.B.C.D.3＋333＋2243＋2223＋34解析：如图所示，连接AC ，OD ，则△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝，S △ABC ＝××＝1.又因为OD ＝OC ＝CD ，21222所以△OCD 为等边三角形，所以∠OCD ＝60°，所以∠ACD ＝60°－45°＝15°，S △ADC ＝·AC ·DC sin 15°＝，123－14因此四边形ABCD 的面积为.3＋34答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图所示，点E 、F 分别在AD 、BC 上，已知CD ＝2，EF ＝3，AB ＝5，若EF ∥CD ∥AB ，则等于________．CFFB 解析：如图所示，过点C 作CH ∥DA 交EF 于点G ，交AB 于点H ，则EG ＝AH ＝DC ＝2，GF ＝1，BH ＝3.因为GF ∥HB ，所以＝＝，CFCB GFHB 13所以＝.CFFB 12答案：1214.如图所示，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ，则tan 2＝__．θ2解析：设半径为r ，则AD ＝r ，32BD ＝r ，由CD 2＝AD ·BD 得CD ＝r ，从而θ＝，故tan 2＝1232π3θ2.13答案：1315.如图所示，PA 与圆O 相切于点A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点．已知∠BPA ＝30°，AD ＝2，PC ＝1，则圆O的半径等于________．解析：因为PA为切线，所以AE垂直于PA，又因为∠BPA＝30°，且AD＝2，所以PD＝4，由切割线定理得PA2＝PC·PB，所以(2)2＝1×PB⇒PB＝12，3所以CD＝3，BD＝8，所以CD·DB＝AD·DE⇒3×8＝2×DE，所以DE＝12，所以圆的直径为14，所以圆的半径为7.答案：716．如图所示，AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于3点M.若OC＝，OM＝1，则MN的长为________．答案：1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E，求证：AE·BF＝2DE·AF.证明：如图所示，过D 作DG ∥AB ，交CF 于点G ，所以△AEF ∽△DEG ，△CDG ∽△CBF，所以＝，＝.AE AF DE DG DG BF CD CB 因为D 为BC 的中点，CD ＝CB ，12＝，DG ＝BF ，＝，DG BF 1212AE AF 2DE BF 即AE ·BF ＝2DE ·AF18.(本小题满分12分)如图所示，⊙O 与⊙O ′相交于A 、B 两点，过A 引直线CD ，EF 分别交两圆于点C 、D 、E 、F ，EC 与DF 的延长线相交于点P ，求证：∠P ＋∠CBD ＝180°.证明：如图所示，连接AB ，因为∠E 与∠CBA 是圆O 中所AC ︵ 对的圆周角，所以∠E ＝∠CBA .又四边形ABDF内接于⊙O′，所以∠PFA＝∠ABD，所以∠E＋∠PFE＝∠CBA＋∠ABD＝∠CBD.又因为∠E＋∠P＋∠PFE＝180°，所以∠P＋∠CBD＝180°.19.(本小题满分12分)如图所示，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明：(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.20.(本小题满分12分)如图所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：如图所示，连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以＝.BC OD AC AD 又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .21．(本小题满分12分)如图所示，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC.证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝.π2又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝.π2从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .类似可证Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.22.(本小题满分12分)如图所示，直线PQ与⊙O切于点A，AB 是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连接CB，并延长与直线PQ相交于Q点．(1)求证：QC·AC＝QC2－QA2；(2)若AQ＝6，AC＝5，求弦AB的长．(1)证明：因为PQ与⊙O相切于点A，所以∠PAC＝∠CBA，因为∠PAC＝∠BAC，所以∠BAC＝∠CBA，所以AC＝BC.由割线定理得：QA2＝QB·QC＝(QC－BC)QC，所以QC·BC＝QC2－QA2，所以QC·AC＝QC2－QA2.(2)解：由AC＝BC＝5，AQ＝6及(1)知，QC＝9，由∠QAB ＝∠ACQ 知△QAB ∽△QCA ，所以＝，AB AC QA QC 所以AB ＝.103。

阶段质量检测(二) 平面向量[考试时间：90分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．AB ＋AC －BC ＋BA 化简后等于________．2．已知向量a ＝(1,3x )，b ＝(－1,9)，若a 与b 共线，则实数x 的值为________．3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________．5．如图，M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，且MN MN ―→＝λ(AC －AB )成立，则λ＝________.6．若|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－3，则|a ＋b |等于________．7．已知向量OB ＝(2,0)，OC ＝(2,2)，CA ＝(－1，－3)，则OA 和OB 的夹角为________．8．在梯形ABCD 中，AB ＝2DC ，AC 与BD 相交于O 点．若AB ＝a ，AD ＝b ，则OC ＝________.9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________.10．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数k 的值为________．11．下列5个说法：①共线的单位向量是相等向量；②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a |，|b |，|c |为边一定能构成三角形；③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |；④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .其中正确的是________．12．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝________.13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ―→·CB ―→的值为__________；DE ·DC 的最大值为________．14．(上海高考)已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1，a 2，a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1，c 2，c 3.若i ，j ，k ，l ∈{1,2,3}且i ≠j ，k ≠l ，则()ai ＋aj ·()ck ＋cl 的最小值是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在四边形ABCD (A 、B 、C 、D 顺时针排列)中，AB ＝(6,1)，CD ＝(－2，－3)，若有BC ∥DA ，又有AC ⊥BD ，求BC 的坐标．16．(本小题满分14分)已知|OA |＝1，|OB |＝3，OA ·OB ＝0，点C 在∠AOB 的内部，且∠AOC＝30°，若OC ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，求m n的值．17.(本小题满分14分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且(a ＋2b )·(2a －b )＝0，求a 与b 的夹角θ.18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. (1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)(0＜α＜π)． (1)若|OA ＋OC |＝7(O 为坐标原点)，求OB 与OC 的夹角；(2)若AC ⊥BC ，求tan α的值．20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC .答 案1．解析：原式＝(AB ＋BA )＋(AC －BC )＝(AB －AB )＋(AC ＋CB )＝0＋AB ＝AB .答案：AB2．解析：∵a 与b 共线，∴9＋3x ＝0，∴x ＝－3.答案：－33．解析：(m ＋n )⊥(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－(2λ＋6)＝0，所以λ＝－3.答案：－34．解析：AB ＝(3，－4)，所以|AB |＝5，这样同方向的单位向量是15AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 5．解析：∵M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，∴MN BC ＝13，即MN ＝13BC . 又MN ＝λ(AC －AB )＝λBC ，∴λ＝13. 答案：136．解析：∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4－6＋36＝34，∴|a ＋b |＝34. 答案：347．解析：由题意，得OA ＝OC ＋CA ＝(1，－1)，则|OA |＝2，|OB |＝2，OA ·OB ＝2， ∴cos 〈OA ，OB 〉＝OA ·OB |OA ||OB |＝22. 又0≤〈OA ，OB 〉≤π，∴〈OA ，OB 〉＝π4. 答案：π48．解析：依题意得AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，OC AO ＝DC AB ＝12，OC ＝13AC ，又AC ＝AD ＋DC ＝b ＋12a ， 因此OC ＝13b ＋16a . 答案：13b ＋16a 9．解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2AP 2＋2AP ·PO ＝2×32＋0＝18. 答案：1810．解析：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 2＝k ＋(1－2k )cos 2π3－2＝2k －52. 又a·b ＝0，∴2k －52＝0，∴k ＝54. 答案：5411．解析：共线也有可能反向，故①不正确；若|a |＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确．答案：③⑤12．解析：cos θ＝a·b |a||b|＝－3－32×2＝－32， ∴sin θ＝12. ∴|a ×b |＝2×2×12＝2. 答案：213．解析：法一：以AB ，AD 为基向量，设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，则DE ＝AE －AD ＝λAB －AD ，CB ＝－AD ， 所以DE ·CB ＝λAB －AD·－AD ) ＝－λAB ·AD ＋AD 2,＝－λ×0＋1＝1.又DC ＝AB ，所以DE ·DC ＝λAB －AD ·AB ＝λAB 2－AD ·AB ,＝λ×1－0＝λ≤1，,即DE ·DC 的最大值为1.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，,令E 点坐标为t ，00≤t ≤1可得DE ·CB ＝t ，－1·0，－1＝1，, DE ·DC ＝t ，－1·1，0＝t ≤1，,∴DE ·CB ＝1，DE ·DC 最大值为1.答案：1 114．解析：根据对称性，当向量()ai ＋aj 与()ck ＋cl 互为相反向量，且它们的模最大时，()ai ＋aj ·()ck ＋cl 最小．这时a i ＝AC ，a j ＝AD ，c k ＝CA ，c l ＝CB ，()ai ＋aj ·()ck ＋cl ＝－||ai ＋aj 2＝－5.答案：－515．解：设BC ＝(x ，y )，则AC ＝AB ＋BC ＝(6＋x,1＋y )，AD ＝AC ＋CD ＝(4＋x ，y －2)，DA ＝－AD ＝(－x －4,2－y )，BD ＝BC ＋CD ＝(x －2，y －3)．又BC ∥DA 及AC ⊥BD ，∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，①(6＋x )(x －2)＋(1＋y )(y －3)＝0.②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.∴BC ＝(－6,3)或(2，－1)．16．解：∵OA ·OB ＝0，∴OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，又∵∠AOC ＝30°，且点C 在∠AOB 内部，∴∠BOC ＝60°.∴OA ·OC ＝OA ·(m OA ＋n OB )＝m＝|OA ||OC |·cos∠AOC ＝32|OC |， OB ·OC ＝OB ·(m OA ＋n OB )＝3n ＝|OB ||OC |·cos∠BOC ＝32|OC |. ∴m ＝3n ，即m n＝3. 17解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x2＋y2＝25，即x 2＋y 2＝20.①∵c ∥a ，a ＝(1,2)，∴2x －y ＝0，即y ＝2x .②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－4.∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.③∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入③式，得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a·b |a||b|＝－525×52＝－1.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.18．解：(1)证明：a ·b ＝(3，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝32－32＝0，∴a ⊥b . (2)假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)， 故存在非零实数k ，t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)． 19．解：(1)∵OA ＋OC ＝(2＋cos α，sin α)，|OA ＋OC |＝7，∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7，∴cos α＝12. 又α∈(0，π)，∴α＝π3， 即∠AOC ＝π3，又易知∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝π2，∴OB 与OC 的夹角为π6. (2)AC ＝(cos α－2，sin α)，BC ＝(cos α，sin α－2)， 由AC ⊥BC ，知AC ·BC ＝0，可得cos α＋sin α＝12.① ∴(cos α＋sin α)2＝14，∴2sin αcos α＝－34， ∵α∈(0，π)，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin α cos α＝74， cos α－sin α＜0，∴cos α－sin α＝－72.② 由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋74， 从而tan α＝－4＋73. 20．解：(1)因为AB ＝(n －8，t )，且AB ⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB |＝5|OA |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8.所以OB ＝(24,8)或(－8，－8)．(2)因为AC ＝(k sin θ－8，t )，AC 与a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16.又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k ， 当k >4时，1>4k>0， 所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k； 由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，故OC ＝(4,8)， 所以OA ·OC ＝8×4＋8×0＝32.。

章末综合测评(二) 平面向量(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．已知作用在点A (1,1)的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是________．【解析】 ∵F ＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)． 【答案】 (9,1)2.BA →－BC →＋AB →＋AC →＝________.【解析】 原式＝CA →＋AC →＋AB →＝0＋AB →＝AB →. 【答案】 AB →3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，若c ＝λa ＋μb ，则λ，μ的值分别是________．【解析】 ∵c ＝λa ＋μb ， ∴(－1,2)＝(λ，λ)＋(μ，－μ)， ∴⎩⎨⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32.【答案】 12，－324．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与向量AB →同向的单位向量的坐标是________． 【解析】 AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，∴e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455．(2016·镇江高一检测)已知向量a ＝(3x,1)，b ＝(2，－5)，若a ∥b ，则x ＝________. 【解析】 ∵a ∥b ，∴－15x ＝2，x ＝－215. 【答案】 －2156．若|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝－1，则|a －b |＝________. 【解析】 ∵|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝－1∴|a －b |＝a2－2a·b ＋b2＝1＋2＋4＝7. 【答案】77．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a·b ＝5，则向量b ＝________. 【解析】 设b ＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x2＋y2＝1，4x －3y ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝－35，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－358．(2016·扬州高一检测)下列5个说法： ①共线的单位向量是相等向量；②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形； ③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |； ④(a·b )c ＝c (b·c )；⑤(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .其中正确的是________．【解析】 共线也有可能反向，故①不正确；若|a |＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确．【答案】 ③⑤ 9．(2016·南京高一检测)已知a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，且2a －b 与b 垂直，则|a |等于________．【解析】 2a －b ＝(3，n )，∵(2a －b )·b ＝0，∴n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |2＝1＋n 2＝4，∴|a |＝2.【答案】 210．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．【解析】 ∵a ∥b ，∴2×(－2)－(－1)x ＝0，解得x ＝4， ∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4，∴MN →＝(y －x ，x －y )＝(－8,8)，∴|MN →|＝8 2.【答案】 8 211．(2016·泰州高一检测)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是________．(1)|b |＝1；(2)a ⊥b ；(3)a·b ＝1；(4)(4a ＋b )⊥BC →. 【解析】 如图△ABC 是边长为2的等边三角形．由已知b ＝AC →－2a ＝AC →－AB →＝BC →，显然(1)(2)(3)错，(4a ＋b )·BC →＝2AB →·BC →＋|BC →|2＝2×2×2×cos 23π＋22＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →. 【答案】 (4) 12．如图1，非零向量OA→＝a ，OB→＝b ，且BC⊥OA ，C 为垂足，若OC→＝λa ，则λ＝________.图1【解析】 BC →＝OC →－OB →＝λa －b ，∵BC →⊥OA →，∴a ·(λa －b )＝0，则λ＝a·b|a|2. 【答案】 a·b |a|213．已知向量a ＝(6,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．【解析】 ∵a ＋2b ＝(－2,3)，在l 上任取一点P (x ，y )，则有AP →⊥(a ＋2b )， ∴AP →·(a ＋2b )＝0，∴(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0， ∴2x －3y －9＝0. 【答案】 2x －3y －9＝014．已知OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，O 为坐标原点，在x 轴上求一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为________．【解析】 设P (x,0)，∴AP →·BP →＝(x －2，－2)·(x －4，－1)＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，AP →·BP →有最小值，∴P (3,0)．【答案】 (3,0)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ， (1)如图①，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图②，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.图2【解】 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b . DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )， ∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a ) ＝14a ＋34b . 16．(本小题满分14分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.【解】 (1)若a ⊥b ，则a·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0. 整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝错误!＝2错误!. 17．(本小题满分14分)(2016·无锡高一检测)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－t OC →)·OC →＝0，求t 的值．【解】 (1)由题设，知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210. (2)由题设，知OC →＝(－2，－1)，AB →－t OC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－t OC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.18．(本小题满分16分)设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【解】 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， 得错误!＜0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0.整理得：2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 2＜0.(*) ∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°. ∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1 ∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7＜0. 解得：－7＜t ＜－12.当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时， 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)． 对比系数得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ7＝λtλ＜0，∴⎩⎨⎧λ＝－14t ＝－142∴所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 19．(本小题满分16分)设作用于同一点O 的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，若|F 1|＝1，|F 2|＝2，F 1与F 2的夹角为23π，如图3所示．求：(1)F 3的大小； (2)∠F 3OF 2的大小．【解】 (1)F 1、F 2、F 3三个力处于平衡状态， 故F 1＋F 2＋F 3＝0. 即F 3＝－(F 1＋F 2)． ∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝错误! ＝F21＋F22＋2F1·F2 ＝1＋4＋2×1×2cos 23π＝ 3.(2)如图所示，以F 2所在直线为x 轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系，将向量F 1，F 3正交分解，设∠MOF 3＝θ，由受力平衡知⎩⎪⎨⎪⎧ |F3|·cos θ＋|F1|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－23π＝|－F2|，|F 3|·sin θ＝|－F1|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π2，即⎩⎪⎨⎪⎧ |F3|·cos θ＝|－F2|－|F1|·cos π3，|F3|sin θ＝|－F1|cos π6.将数值代入得⎩⎪⎨⎪⎧3cos θ＝2－12，3sin θ＝32，∴θ＝π6.于是得∠F 3OF 2＝π－π6＝56π.20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k ＞4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →. 【解】 (1)因为AB →＝(n －8，t )，且AB →⊥a ， 所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB →|＝5|OA →|，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. 则n ＝24或－8，所以OB →＝(24,8)或(－8，－8)．(2)因为AC →＝(k sin θ－8，t )，AC →与a 共线， 所以t ＝－2k sin θ＋16. 又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k ，当k ＞4时，1＞4k ＞0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k ； 由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6， 故OC →＝(4,8)，所以OA →·OC →＝8×4＋8×0＝32.。

模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．sin 2010°＝________.2．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝________.3．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ(θ为锐角)，且a ∥b ，则tan θ＝________.4．已知向量a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则实数k ＝________.5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →＝________.6．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α＝________.7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为____________．8．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a ·b ＝________.9．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.10．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影为________． 11．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是________．12．已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)＝________.13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f (x )＝________.14．已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin 2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的最大值．16．(14分)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .17．(14分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．18．(16分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．19．(16分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1π4＋x π4－x .(1)求f (－1112π)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．20．(16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.模块综合检测(A)1．－12解析 sin 2010°＝sin (5×360°＋210°)＝sin 210°＝sin (180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.2．－1213解析 ∵cos 2A ＋sin 2A ＝1，且sin A cos A ＝－512，∴cos 2A ＋(－512cos A)2＝1且cos A<0，解得cos A ＝－1213.3．1解析 ∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0.∴cos 2θ＝12，∵θ为锐角，∴cos θ＝22， ∴θ＝π4，∴tan θ＝1.4．3解析 ∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )．∴b ＝(a ＋b )－a ＝(1，k )－(2,1)＝(－1，k －1)． ∵a ⊥b .∴a ·b ＝－2＋k －1＝0 ∴k ＝3. 5．16解析 AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝AC →2＋0＝16.6．－25解析 ∵sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2－2＋1＝－25. 7．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －34π解析 由图可知，A ＝4，且⎩⎪⎨⎪⎧6ω＋φ＝0，－2ω＋φ＝－π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝π8φ＝－34π.∴y ＝4sin(π8x －3π4)．8. 3解析 由cos 30°＝a ·b|a ||b |得32＝a ·b 2cos 15°·4sin 15°＝a ·b 4sin 30° ∴a ·b ＝ 3. 9.23解析 由于AD →＝2DB →， 得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.10.2105解析 AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)．∴AB →在CD →上的投影|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝－＋2×3－2＋32＝410＝2105. 11．7，－5解析 ∵β＝π－2α，∴y ＝cos(π－2α)－6sin α＝－cos 2α－6sin α＝2sin 2α－1－6sin α＝2sin 2α－6sin α－1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin α－322－112，当sin α＝1时，y min ＝－5；当sin α＝－1时，y max ＝7.12．－14解析 a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14.13．sin(πx 2＋π6)解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得T22＋＋2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin(πx 2＋φ)，又函数图象过点(2，－12)，故f (x )＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin(πx2＋π6)．14.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12 解析建立如图所示的直角坐标系． ∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连结CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB →的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB . ∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，但∠COB ＝π4.∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12. 15．解 (1)∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－32，2cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013. (2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin(2x ＋π4)． ∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴－22≤f (x )≤12， ∴f (x )max ＝12.16．(1)解 因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin α·cos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝β＋cos β2＋4cos β－4sin β2＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .17．解 (1)∵a ·b ＝0，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， ∴cos φ＝sin φ.∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.18．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1. 19．解 (1)f (x )＝＋cos 2x 2－2cos 2x －1π4＋x π4－x＝cos 22x π4＋x π4＋x ＝2cos 22xπ2＋2x＝2cos 22x cos 2x＝2cos 2x ，∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)．∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.20．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β) ＝1＋1－2cos(α－β)，|a －b |2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×(－513)＝3365.。

章末综合测评(三) 三角恒等变换(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，则cos 2α＝________. 【解析】 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，所以cos 2α＝2cos 2 α－1＝－725. 【答案】 －7252．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝________.【解析】 ∵sin αsin β＝1，∴sin α＝－1，sin β＝－1或sin α＝1，sin β＝1.由sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝0.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1.【答案】 13．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝________.【解析】 原式＝－sin 17°cos 47°＋cos 17°sin 47°＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12【答案】 124．化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos2αcos 2α＝________.【解析】 原式＝2sin 2α2cos2α·cos2αcos 2α＝tan 2α. 【答案】 tan 2α5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________. 【解析】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， ∴cos α＝－255，∴tan α＝－12，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－43.【答案】 －436．(2016·南通高一检测)化简：cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π8－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π8＝________. 【解析】 原式＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π42－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π42＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12错误! ＝22cos x .【答案】 22cos x7．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.【解析】 已知等式两边平方得sin α＝45，450°＜α＜540°，∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝2.【答案】 28．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为________．【解析】 tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°)＝3－3tan 19°tan 41°∴原式＝3－3tan 19°tan 41°＋3tan 19°tan 41°＝ 3. 【答案】 39．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 a ＝2sin 59°，b ＝2sin 61°，c ＝2sin 60°，所以a ＜c ＜b .【答案】 a ＜c ＜b10．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向________平移________个单位．【解析】 y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4 ＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 故将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象．【答案】 右 π1211．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －32图象的对称轴方程为________． 【解析】 ∵y ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ∴由2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝kπ2＋π12(k ∈Z )．【答案】 x ＝kπ2＋π12，k ∈Z12．(2016·苏州高一检测)已知点P sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值为________． 【解析】 由题意知，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34 π在第四象限，且落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝tan θ＋tan π31－tan θtan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3. 【答案】 2－ 313．设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β的值为________．【解析】 由tan α2＝12，得sin α＝2tan α21＋tan2 α2＝11＋14＝45，∵α∈(0，π)，∴cos α＝35，由sin(α＋β)＝513<sin α，α，β∈(0，π)，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos(α＋β)＝－1213. cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665.【答案】 －166514．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＋a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值为2，则常数a 的值为________．【解析】 f (x )＝2sin x cos π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a ，又－π3≤x ＋π6≤2π3， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴a ＋2＝2，则a ＝0. 【答案】 0二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知sin α＝cos 2α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin 2α. 【解】 ∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0，∴sin α＝－1或sin α＝12.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝12，α＝π6. ∴cos α＝32.∴sin 2α＝2×12×32＝32.16．(本小题满分14分)求1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°1tan 5°－tan 5°的值． 【解】 原式＝2cos210°2sin 20°－2sin 10°·1－tan25°2tan 5°＝cos210°2sin 10°cos 10°－2sin 10°·cos 10°sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝错误!＝错误!.17．(本小题满分14分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－45，求sin α的值．【解】 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝513.(2)由0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，可知cos β＝35，且0＜α－β＜π，∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213.∴sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝1213×35＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝1665.18．(本小题满分16分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－277，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝12且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 求：(1)cos α＋β2；(2)tan(α＋β)． 【解】 (1)∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝217， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝32. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β2 ＝32×⎝⎛⎭⎪⎫－277＋217×12 ＝－2114.(2)又α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，且cos α＋β2＜0，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＜0，∴tan α＋β2＝－533.∴tan(α＋β)＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β21－tan2α＋β2＝5311. 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值．(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解】 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)∵0＜α＜π2，sin α＝22，∴α＝π4.从而f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－3π8，kπ＋π8，k ∈Z . 20．(本小题满分16分)如图1，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y ＞x ＞0.图1(1)将十字形的面积表示成θ的函数；(2)求十字形的最大面积．【解】 (1)设S 为十字形面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜θ＜π2. (2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin 2θ－12cos 2θ－12 ＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫255sin 2θ－55cos 2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12(设φ为锐角且tan φ＝12)当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．即当θ＝π4＋φ2时，十字形取得最大面积52－12.。

(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1.设平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，则a －2b ＝________． 解析：∵a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)， ∴a －2b ＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)． 答案：(7，3)2.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|BC →|，那么四边形ABCD 为________．解析：由AB →＝DC →可得四边形ABCD 是平行四边形，由|AB →|＝|BC →|得四边形ABCD 的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形．答案：菱形3.已知A (4，1)，B (1，－12)，C (x ，－32)，若A 、B 、C 共线，则x 等于________．解析：∵AB →＝(－3，－32)，BC →＝(x －1，－1)，又∵AB →∥BC →，∴(－3)·(－1)－(－32)·(x －1)＝0得－32(x －1)＝3，解得x ＝－1.答案：－14.有下列命题：①AB →＋BC →＋AC →＝0；②(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ；③若AB→的起点为A (2，1)，终点为B (－2，4)，则BA →与x 轴正向夹角的余弦值是45.其中正确命题的序号是________．解析：∵AB →＋BC →＋AC →＝2AC →，∴①错；②是数量积的分配律，正确；在③中，BA →＝(4，－3)与x 轴正向夹角的余弦值是45，故③正确．答案：②③5.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________．解析：∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为垂心． 答案：垂心6.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b 且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为________． 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，又∵(2a ＋3b )⊥(k a －4b )， ∴(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，得2k a 2－12b 2＝0，又a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，解得k ＝6. 答案：67.已知a ＝(3，4)，b ⊥a ，且b 的起点为(1，2)，终点为(x ，3x )，则b 等于________． 解析：b ＝(x －1，3x －2)，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， 即3(x －1)＋4(3x －2)＝0，解得x ＝1115，所以b 等于(－415，15)．答案：(－415，15)8.等边△ABC 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于________．解析：由已知|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝cos 120°＋cos 120°＋cos 120°＝－32.答案：－329.若向量a 、b 、c 是单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，得7c ＝－3a －λb ， ∴(7c )2＝(－3a －λb )2＝9a 2＋6λa ·b ＋λ2b 2， ∴λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝5或－8. 答案：－8或510.在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交CD 于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝________．解析：如图．∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13.∴DF ＝13AB ＝13DC .∴CF ＝23DC .∴AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋23(CO →＋OD →)＝a ＋23⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＝23a ＋13b . 答案：23a ＋13b11. 已知a 、b 、a －b 的模分别为2，3，7，则a 与b 的夹角为________． 解析：∵(a －b )2＝7，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝7，∴a ·b ＝3；∴cos θ＝a·b |a||b|＝12，又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.答案：π312.已知向量a 、b 的夹角为π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b ||a －b |的值是________．解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos π3＝2×1×12＝1，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×1＋12＝7， |a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×1＋1＝3，∴|a ＋b |2|a －b |2＝3×7＝21， ∴|a ＋b ||a －b |＝21. 答案：2113.已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，c ⊥d ，则m 的值为________． 解析：a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3， ∵c ⊥d ，∴c ·d ＝0，即(3a ＋5b )(m a －b )＝0，∴3m a 2＋(5m －3)a ·b －5b 2＝0，∴27m ＋3(5m －3)－20＝0，解得m ＝2942.答案：294214.在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BD ＝3DC ，若P 是AD 边上一动点且AD ＝2，则PA →·(PB→＋3PC →)的最小值为________．解析：因为PB →＝PD →＋DB →，PC →＝PD →＋DC →，且DB →＝－3DC →，所以PB →＋3PC →＝PD →＋DB →＋3(PD →＋DC →)＝4PD →.设|PA →|＝x (0≤x ≤2)，故PA →·(PB →＋3PC →)＝PA →·4PD →＝－4x (2－x )≥－4，所以当x ＝1时，PA →·(PB →＋3PC →)的最小值为－4. 答案：－4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 是DC 、BA 的中点，设AD→＝a ，AB →＝b ，试以a 、b 为基底表示BC →、MN →.解：∵AB ∥CD 且AB ＝2CD ， ∴DC →＝12AB →＝12b ；又AD →＝a ，∴AC →＝AD →＋DC →＝a ＋12b ；又BC →＝AC →－AB →，∴BC →＝a ＋12b －b ＝a －12b ；过D 作DE ∥MN ，则E 为AN 中点，∴AE →＝14b ；∴MN →＝DE →＝AE →－AD →＝14b －a .16.(本小题满分14分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°.求(1)(2a －b )·(a ＋3b )；(2)|a －b |.解：a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝2×3×(－12)＝－3，(1)(2a －b )(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝8－15－27＝－34. (2)|a －b |＝（a －b ）2＝a2－2a·b ＋b2＝4＋6＋9＝19.17.(本小题满分14分)已知：在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB 上的中线CD ＝m ，求证：a 2＋b 2＝12c 2＋2m 2.证明：∵BC →＝BD →＋DC →，AC →＝AD →＋DC →，两式平方相加可得a 2＋b 2＝12c 2＋2m 2＋2(BD →·DC →＋AD →·DC →)，∵BD →·DC →＋AD →·DC →＝|BD →||DC →|·cos ∠ADC ＋|AD →||DC →|cos ∠CDB ＝0，∴a 2＋b 2＝12c 2＋2m 2.18.(本小题满分16分)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(m ，2)，它们的夹角为θ，当m 取何值时，θ为(1)直角；(2)锐角；(3)钝角？解：由a ＝(2，1)，b ＝(m ，2)得 |a |＝5，|b |＝m2＋4，a ·b ＝2m ＋2.(1)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0⇔2m ＋2＝0⇔m ＝－1.(2)θ为锐角⇔⎩⎪⎨⎪⎧x1x2＋y1y2＞0，x1x2＋y1y2≠ x21＋y 21·x 2＋y 2⇔⎩⎨⎧2m ＋2＞0，2m ＋2≠5·m2＋4⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，（m －4）2≠0⇔m ＞－1且m ≠4.(3)θ为钝角⇔⎩⎪⎨⎪⎧x1x2＋y1y2＜0，x1x2＋y1y2≠－x21＋y 21·x 2＋y 2⇔⎩⎨⎧2m ＋2＜0，2m ＋2≠－5·m2＋4⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，（m －4）2≠0⇔m ＜－1.故当m ＝－1时，θ为直角．当m ＞－1且m ≠4时，θ为锐角． 当m ＜－1时，θ为钝角．19.(本小题满分16分)设OA →＝(2，5)，OB →＝(3，1)，OC →＝(6，3)，在OC →上是否存在点M ，使MA →⊥MB →？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在点M (x ，y )满足条件， 则OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， ∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)， MB →＝(3－6λ，1－3λ)． ∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴OM →＝(2，1)或⎝⎛⎭⎫225，115，故存在点M (2，1)或点M ⎝⎛⎭⎫225，115满足题意．20.(本小题满分16分)某人在静水中游泳，速度为43千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳． (1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？解：(1)如图(1)，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA →、OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，由勾股定理知|OC →|＝8，且在R t △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时．(2)如图(2)，设此人的实际速度为OD →，水流速度为OA →，则游速为AD →＝OD →－OA →，在R t △AOD 中，|AD →|＝43，|OA →|＝4，|OD →|＝42，cos ∠DAO ＝33.故此人沿与河岸的夹角余弦为33的逆着水流的方向前进，实际前进的速度大小为42千米/时．。

模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________．2．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为________．3．已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝________.4．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为22，则cos 2α＝________. 5．已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________.6．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝________.7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝________.8．已知cos 4α－sin 4α＝23，α∈(0，π2)，则cos(2α＋π3)＝________. 9．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是________．(填“锐角”、“直角”或“钝角”)10．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是最小正周期为________的________(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)函数．11．设0≤θ≤2π，向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→的模长的最大值为________．12．若θ∈[0，π2]，且sin θ＝45，则tan θ2＝________. 13．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝________.14．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2. (1)若a ⊥b ，求θ；(2)求|a ＋b |的最大值．16．(14分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f (α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3)的值．17．(14分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈[－π3，π3]，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在[0，π]上的图象．18．(16分)已知x ∈R ，向量OA →＝(a cos 2x,1)，OB →＝(2，3a sin 2x －a )，f (x )＝OA →·OB →，a ≠0.(1)求函数f (x )的解析式，并求当a >0时，f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为5，求a 的值．19．(16分)已知函数f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)若A 为锐角，且向量m ＝(1,5)与向量n ＝(1，f (π4－A ))垂直，求cos 2A 的值．20．(16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值； (2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．模块综合检测(C)1．－4 3解析 ∵600°＝360°＋240°，是第三象限角．∴a <0.∵tan 600°＝tan 240°＝tan 60°＝a －4＝3， ∴a ＝－4 3.2．6解析 a ·b ＝6－m ＝0，∴m ＝6.3.π2解析 ∵a ∥b ，∴sin αsin β－cos αcos β＝0即cos(α＋β)＝0.∵0<α＋β<π.∴α＋β＝π2. 4．－12解析 ∵|a |＝cos 2α＋14＝22， ∴cos 2α＝14. ∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 5．－8解析 若A 、B 、D 三点共线，则AB →∥BD →，设AB →＝λBD →.∵BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ.∴k ＝－8. 6．1解析 tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.7．4解析 ∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(6,3)，∵(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30， ∴x ＝4.8.13－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23. 又2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos(2α＋π3)＝12cos 2α－32sin 2α＝13－156. 9．锐角解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2.∴π2>A >π2－B >0. ∵函数y ＝sin x ，x ∈(0，π2)是递增函数， ∴sin A >sin(π2－B )．即sin A >cos B . ∴p ·q ＝sin A －cos B >0.∴p 与q 所成的角是锐角．10.π2偶 解析 f (x )＝(1＋cos 2x )1－cos 2x 2＝12(1－cos 22x )＝12－12×1＋cos 4x 2＝14－14cos 4x ， ∴T ＝2π4＝π2，f (－x )＝f (x )，为偶函数． 11．3 2 解析 |P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2 ＝10－8cos θ≤18＝3 2.12.12 解析 ∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2sin θ2cos θ2sin 2θ2＋cos 2θ2＝2tan θ21＋tan 2θ2＝45. ∴2tan 2θ2－5tan θ2＋2＝0， ∴tan θ2＝12或tan θ2＝2. ∵θ∈[0，π2]，∴θ2∈[0，π4]． ∴tan θ2∈[0,1]，∴tan θ2＝12. 13．2解析 n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB →＝7－(2,1)·(3，－1)＝7－5＝2.14.12解析 由题意知tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx ＋π6)， 即tan(ωx ＋π4－πω6)＝tan(ωx ＋π6)． ∴π4－π6ω＝k π＋π6，得ω＝－6k ＋12， 则ωmin ＝12(ω>0)．15．解 (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0.由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π4. (2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，|a ＋b |＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin (θ＋π4)， 当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值， 即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1. 16．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T ＝2π，则ω＝2πT ＝1.∴f (x )＝sin(x ＋φ)．∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )． 又0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝cos x . (2)由已知得cos(α＋π3)＝13. ∵α∈(－π3，π2)．∴α＋π3∈(0，5π6)． ∴sin(α＋π3)＝223. ∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3) ＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429. 17．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1. 由2sin(2x ＋π6)＋1＝1－3得sin(2x ＋π6)＝－32. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4. (2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z ) 得函数单调增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z ). x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6π y 2 3 2 0 －10 218．解 (1)f (x )＝2a cos 2x ＋3a sin 2x －a ＝3a sin 2x ＋a cos 2x ＝2a sin(2x ＋π6)． 当a >0时，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 故函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝2a sin(2x ＋π6)． 当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]． 若a >0，当2x ＋π6＝π2时， f (x )max ＝2a ＝5，则a ＝52； 若a <0，当2x ＋π6＝7π6时， f (x )max ＝－a ＝5，则a ＝－5.所以a ＝52或－5. 19．解 (1)f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32＝3[22(sin x ＋cos x )]2－cos 2x －1＋32＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1， 所以f (x )的最小正周期为π，最小值为－2.(2)由m ＝(1,5)与n ＝(1，f (π4－A ))垂直， 得5f (π4－A )＋1＝0， ∴5sin[2(π4－A )－π6]－4＝0，即sin(2A －π3)＝－45. ∵A ∈(0，π2)，∴2A －π3∈(－π3，2π3)， ∵sin(2A －π3)＝－45<0， ∴2A －π3∈(－π3，0)， ∴cos(2A －π3)＝35.∴cos 2A ＝cos[(2A －π3)＋π3] ＝35×12＋45×32＝43＋310. 20．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4， ∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋ cos x )．令t ＝sin x ＋cos x (0<x <π)，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t ≤ 2.则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋22)2－32，－1<t ≤ 2. ∴t ＝－22时，y 取得最小值，且y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22. 由于0<x <π，故x ＝11π12. 所以函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12. (2)∵a 与b 的夹角为π3， ∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)． ∵0<α<x <π，∴0<x －α<π.∴x －α＝π3. ∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0.∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，sin(2α＋π3)＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0.∴tan 2α＝－35.。

模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．角α终边经过点(1，－1)，则cos α＝( )A ．1B .22C ．－1D ．－22 B [角α终边经过点(1，－1)，所以cos α＝112＋(－1)2＝22.]2．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB →|＝λ|DC →|，设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →等于( )A ．λa ＋bB ．a ＋λbC .1λa ＋bD ．a ＋1λbC [AC →＝AD →＋DC →＝b ＋1λAB →＝b ＋1λa .]3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝( )A ．－33B .33 C ．－3 D . 3C [由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，得sin φ＝－32，又|φ|＜π2，所以cos φ＝12，所以tan φ＝－3.]4．已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜2α＜π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．－211 D .211 B [由sin 2α＝35，且π2＜2α＜π，可得cos 2α＝－45， 所以tan 2α＝－34，所以tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)] ＝tan 2α－tan (α－β)1＋tan 2αtan (α－β)＝－34－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×12＝－2.]5．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( )A ．(4,0)，(－2,6)B ．(－2,6)，(4,0)C ．(2,0)，(－1,3)D ．(－1,3)，(2,0)C [设a ＝(x a ，y a )，b ＝(x b ，y b )，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x a ＋x b ＝1，x a －x b ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧y a ＋y b ＝3，y a －y b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x a ＝2，x b ＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧y a ＝0，y b ＝3.所以a ＝(2,0)，b ＝(－1,3)．] 6．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的一个单调递减区间为( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，2π3 A [令π2＋2k π＜2x ＋π6＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得π6＋k π＜x ＜2π3＋k π(k ∈Z )，所以选A .]7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，－π2＜α＜0，则sin 2α的值是( )A .2425B .1225C ．－1225D ．－2425D [由已知得sin α＝－35，又－π2＜α＜0，故cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×45＝－2425.]8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A .13 B .23 C ．－13 D ．－23 D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α) ＝－23.]9．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A .π3 B .π2 C .2π3 D .3π4C [因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.]10．下列命题中正确的是( )A ．y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝sin x 的图象 B ．y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝cos x 的图象C ．当φ＜0时，y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度可得y ＝sin(x ＋φ)的图象D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到的A [A 选项，y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x的图象，故A 正确；B 选项，y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位长度，得y ＝sin x －π2＝－cos x 的图象，故B 错误；C 选项，y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度，得y ＝sin(x ＋|φ|)＝sin(x －φ)的图象，故C 错误；D 选项，y ＝sin 2x 的图象应向左平移π6个单位长度，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin2x ＋π3的图象，故D 错误．]11．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形C [由AB →＋CD →＝0，即AB →＝DC →，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0，即DB →·AC →＝0，可得AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 为菱形．]12．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin 2θ等于( ) A .223 B ．－223 C .23 D ．－23 A [因为sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12·sin 22θ， 所以1－12·sin 22θ＝59， 所以sin 22θ＝89.因为π＋2k π＜θ＜3π2＋2k π，k ∈Z ， 所以2π＋4k π＜2θ＜3π＋4k π，k ∈Z ， 所以sin 2θ＞0， 所以sin 2θ＝223.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于________． －25[据三角函数的定义，可知|OP |＝5，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.]14．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z [由π2＋2k π＜2x －π6＜3π2＋2k π，k ∈Z 得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .]15.如图，在△ABC 中，E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，D 是EF 的中点，设AC →＝a ，BC →＝b ，则AD →＝________.(用a ，b 表示)34a －14b [ED →＝12EF →＝1212AB →＝14(CB →－CA →)＝14(－b ＋a )． AE →＝12AC →＝12a ，AD →＝AE →＋ED → ＝12a ＋14(－b ＋a )＝34a －14b .] 16．给出下列4个命题：①函数y ＝tan x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π2，0，k ∈Z 对称； ②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数； ③设θ为第二象限的角，则tan θ2＞cos θ2，且sin θ2＞cos θ2； ④函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为－1. 其中正确的命题是________．①④ [①点(k π，0)(k ∈Z )，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )是正切函数的对称中心，∴①对； ②f (x )＝sin|x |不是周期函数，∴②错；③θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，sin θ2＜cos θ2.∴③错；④y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，∴当sin x ＝－1时，y min ＝－1，∴④对．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知tan α＝12， 求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．[解] 原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α)(sin α＋cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.18．(本小题满分12分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．[解] 以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy (图略)，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n ,0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5.19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α＞β， 所以α＝5π6，β＝π6.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.[解] (1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.21．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． [解] (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－23.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解+析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12时，求函数y ＝fx ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最值．[解] (1)由题图得34T ＝116π－π3＝96π＝32π， ∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝0，∴116π＋φ＝2k π，φ＝2k π－116π. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6. 又由f (0)＝2，得：A sin φ＝2，A ＝4， ∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)将f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin2x －π6＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得：k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(3)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π4＋cos x sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，512π，x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34π，π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，∴函数的最小值为－4，最大值为2.。

学业分层测评(一)任意角(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．与405°终边相同的角的集合为________．【解析】与405°角终边相同的角，可表示为k·360°＋45°，k∈Z.【答案】{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}2．(2016·如东高一检测)下面各组角中，终边相同的有________．(填序号)①390°，690°；②－330°，750°；③480°，－420°；④3 000°，－840°.【解析】－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，均与30°角终边相同．【答案】②3．在－390°，－885°，1 351°，2 016°这四个角中，其中第四象限内的角有________. 【导学号：06460002】【解析】－390°＝－360°－30°，显然终边落在第四象限；－885°＝－720°－165°，其角的终边落在第三象限；1 351°＝1 080°＋271°，其角的终边落在第四象限；2 016°＝2 160°－144°，其角的终边落在第三象限，故满足题意的角有－390°，1 351°.【答案】－390°，1 351°4．(2016·泰州高一检测)下列命题正确的是________(填序号)．①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③第四象限角一定是负角；④钝角比第三象限角小．【解析】只有②正确．对于①，如A＝90°不在任何象限；对于③，如330°在第四象限但不是负角；对于④，钝角不一定比第三象限角小．【答案】②5．(2016·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．【解析】与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝k·360°－3 000°，k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝9×360°－3 000°＝240°，所以与α终边相同的最小正角为240°.【答案】 240°6．(2016·宿迁高一检测)若角α的终边与240°角的终边相同，则α2的终边在第________象限．【解析】 角α满足的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，故有⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α2⎪⎪⎪ α2＝k·180°＋120°，k ∈Z ， ∴α2终边落在第二象限或第四象限．【答案】 二或四7．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角．【解析】 如图所示，α是第四象限角，则－α是第一象限角，∴180°－α是第三象限角．【答案】 三8．已知α是第二象限角，且7α与2α的终边相同，则α＝________.【解析】 7α＝k ·360°＋2α(k ∈Z )，∴α＝k ·72°，又α为第二象限角，∴在0°～360°内符合条件的角为144°，故α＝k ·360°＋144°(k ∈Z )．【答案】 α＝k ·360°＋144°(k ∈Z )二、解答题9．(2016·无锡高一检测)将下列各角表示为k ·360°＋α(k ∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.【解】 (1)420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．(2)－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．(3)1 020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．10．写出终边在如图1-1-5所示阴影部分(包括边界)的角的集合．图1-1-5【解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．(2){α|k·360°－210°≤α≤k·360°＋30°，k∈Z}．[能力提升]1．下列说法中正确的是________．(填序号)①120°角与420°角的终边相同；②若α是锐角，则2α是第二象限的角；③－240°角与480°角都是第三象限的角；④60°角与－420°角的终边关于x轴对称．【解析】对于①，420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角终边相同，所以①不正确；对于②，α＝30°角是锐角，而2α＝60°角也是锐角，所以②不正确；对于③，480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以③不正确；对于④，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角终边关于x轴对称，故④正确．【答案】④2．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是________．图1-1-6【解析】令k＝0得，45°≤α≤90°，排除②④，令k＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除①.故填③.【答案】 ③3．已知集合M ＝{第一象限角}，N ＝{锐角}，P ＝{小于90°的角}，则以下关系式你认为正确的是________(填序号)．①M P ；②M ∩P ＝N ；③N ∪P ⊆P .【解析】 对于①：390°是第一象限角，但390°>90°.对于②：－330°是第一象限角且－330°<90°，但－330°不是锐角．对于③：锐角一定小于90°，所以NP ，故N ∪P ⊆P .【答案】 ③4．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？【解】 ∵α是第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°(k ∈Z )．(1)－k ·360°－90°＜－α＜－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．(2)2k ·360°＜2α＜2k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上．(3)k ·120°＜α3＜k ·120°＋30°(k ∈Z )．法一：(分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°＜α3＜n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°＜α3＜n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°＜α3＜n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．法二：(几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区α域，故3为第一、二或第三象限角.。

学业分层测评(十二)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知f (x )＝sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，0，则φ＝________.【解析】 把x ＝－712π代入sin(3x ＋φ)＝0， 得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－712π＋φ＝0， ∴φ－74π＝k π，又|φ|＜π2，所以令k ＝－2，得φ＝－2π＋74π＝－π4. 【答案】 －π4 2．三角函数式：①y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6；②y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6；③y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π12；④y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.其中在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的图象如图1-3-11所示的函数是________．图1-3-11【解析】 代入⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，3检验．【答案】 ①②④ 3．(2016·南京高一检测)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图1-3-12所示，则ω＝________；φ＝________.图1-3-12【解析】 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.当x ＝5π12时，2×5π12＋φ＝π2，∴φ＝－π3. 【答案】 2 －π3 4．点P⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则正确的序号有________.【导学号：06460035】①f (x )的最小正周期是π；②f (x )的值域为[0,4]；③f (x )的初相φ＝π3；④f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，2π上单调递增．【解析】 由题意，错误!且函数的最小正周期为T ＝4×错误!＝2π，故ω＝错误!＝1.代入①式得φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2.故函数f (x )的值域为[1,3]，初相为π6，排除①②③项，选④项．【答案】 ④5.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图1-3-13所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝________.图1-3-13【解析】 由图象可得最小正周期为23π，于是f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，注意到23π与π2关于7π12对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝23. 【答案】 23 6．设函数f (x )＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π5.若对任意x∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．【解析】 f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|的最小值为2. 【答案】 27．(2016·南通高一检测)若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【解析】 由于函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3或3.【答案】 ±3 8．(2016·苏州高一检测)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数，所有正确结论的编号为________．【解析】 ∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2， ∴φ＝k π＋π3.∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由图象及性质可知②④正确．【答案】 ②④ 二、解答题9．(2016·无锡高一检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求f (x )的最值．【解】 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2是图象的一个最低点，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.[能力提升]1．(2016·南通高一检测)方程2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2a －1＝0在[0，π]上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x ∈[0，π]，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，2sin x ＋π3∈[－3，2]．画出函数图象可知，当3≤1－2a ＜2时，原方程有两个不相等的实数根，故－12＜a ≤1－32. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－32 2．(2016·常州高一检测)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图1-3-14所示．图1-3-14(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？ 【解】 (1)A ＝3，2πω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π，故ω＝25.由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π10＋φ＝0，又|φ|＜π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.(2)设把f (x )的图象向左至少平移m (m ＞0)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．由f (x ＋m )＝3sin 错误!＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2.∵m ＞0，∴m 取最小值3π2.故至少把f (x )的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数.。