高中数学《任意角的三角函数-妙用三角函数定义解题》素材8 苏教版必修4

三角函数的定义及应用三角函数的定义不仅是中学数学中重要的基本概念之一，也是推证三角函数的诱导公式、同角三角函数的关系式、两角和与差的三角函数公式的基础和工具，更是解答数学问题的方法和思想，应用它可将许多三角问题转化为代数式的运算、解方程等代数问题来处理，现举例解析如下：例1：若0cos sin >θθ，则θ是A 、第一、二象限角B 、第一、三象限角C 、第一、四象限角D 、第二、四象限角 解析：依据三角函数的定义rx r y ==θθcos ,sin 可将问题转化为θ的终边上任意一点),(y x P 的纵、横坐标y x ,的积0>xy 问题，由0>xy 可知x 与y 同号，故应选答案B 。

例2：（1990年全国高考试题）若)(2Z k k ∈≠πθ，则θθθθcot cos tan sin ++的值的符号是A 、恒正 B 、恒负 C 、恒为非正 D 、恒为非负 解析：依据三角函数的定义r x r y ==θθcos ,sin ，可将问题转化为)()(////22y r rx x r ry y x r x x y r y ++=++由于y y r x x r ->>->>||,||，故0,0>+>+r y r x ，所以0cot cos tan sin >++θθθθ，故应选答案A 。

例3：（2002年全国高考试题）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是 A 、)45,()2,4(ππππY B 、),4(ππ C 、)45,4(ππ D 、)23,45(),4(ππππY 解析：依据三角函数的定义rx r y ==θθcos ,sin ，可将问题转化为求不等式x y >的解集，结合图形满足x y >的角终边上的点),(y x 终边应在)45,4(ππ内才符合题意，故应选答案C 。

例4：若21cos 4sin 2=++θθ，求)2)(cos 2(sin ++θθ的值。

1.2.1 任意角的三角函数1．三角函数的定义如图：P (x ，y )，OP ＝r ，一般地，对任意角α，我们规定：(1)比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝yr ；(2)比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr；(3)比值y x (x ≠0)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx.预习交流1三角函数值的大小与P 点位置的选取有关系吗？提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．2．三角函数值在各象限的符号正弦函数值的符号与y 的符号相同，余弦函数值的符号与x 的符号相同．此符号规律可用口诀：“一全正、二正弦、三两切、四余弦”来记忆(只记函数值为正的情况，“一、二、三、四”指象限)．预习交流2 三角函数值在各象限的符号由什么来确定？提示：由三角函数的定义可知，三角函数值在各象限的符号由角α终边上任意一点P 的坐标x ，y 的正负来确定．3．有向线段与三角函数线(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段叫做有向线段．类似地，把规定了正方向的直线称为有向直线．若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l 平行，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号．这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB .(2)三角函数线：如图，把有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．它们统称为三角函数线．当角α在不同象限时，其三角函数线见课本第13页图128.当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．预习交流3 正弦线、余弦线、正切线方向有何特点？提示：正弦线方向由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线方向由原点指向垂足；正切线方向由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．预习交流4(1)角α终边上一点P (3，n )，且sin α＝45，则n ＝______；(2)若角α的终边过点(sin 30°，－cos 30°)，则sin α＝______；(3)若－π2＜α＜0，则点(tan α，cos α)位于第______象限．提示：(1)4 (2)－32(3)二一、利用定义求三角函数值已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值． 思路分析：此类问题的解答一般根据三角函数的定义求解．对于本题可由定义求出m 的值，再求cos θ与tan θ的值．解：由已知有，24m ＝m3＋m 2，得m ＝0，或m ＝±5.(1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；(2)当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153；(3)当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153.已知点P (5，a )是角α的终边上一点，且tan α＝－125，求sin α＋cos α的值．解：∵x ＝5，y ＝a ，∴tan α＝y x ＝a 5＝－125，∴a ＝－12，r ＝52＋(－12)2＝13.则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，sin α＋cos α＝－1213＋513＝－713.已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r ，再由三角函数的定义，求出三角函数值．若点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避免漏解．二、三角函数值的符号的应用判断下列各式的符号：(1)tan 120°·sin 269°；(2)cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4. 思路分析：此类问题的解决一是要弄清角的终边所在的象限，二是要熟记三角函数值在各象限的符号．解：(1)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0； ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0， ∴tan 120°·sin 269°＞0.(2)∵π＜4＜3π2，∴4弧度角是第三象限角，∴cos 4＜0；∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角，∴tan ⎝⎛⎭⎫－23π4＞0，∴cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4＜0.1．若角α的终边经过点P (－2，－1)，则①sin α·tan α＞0；②cos α·tan α＞0，③sin α·cos α＞0；④sin α·tan α＜0中成立的是__________(填序号)．答案：③④解析：∵P (－2，－1)是第三象限内的点，∴角α为第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，∴①②不正确，③④正确．2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，求角α的终边所在的象限． 解：方法一：∵P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0且cos α＜0.由tan α＜0，知α为第二或第四象限角，由cos α＜0，知α为第二或第三象限角，∴α的终边在第二象限．方法二：由P 为第三象限，知tan α＜0且cos α＜0.设角α终边上一点的坐标为(x ，y )，则由三角函数定义知，tan α＝y x ＜0，cos α＝xr ＜0，∴x ＜0且y ＞0.故α的终边在第二象限．三角函数值“符号看象限”：根据符号规律，结合具体函数及角的所在象限进行判断，如第二象限角，其正弦值为正，而余弦与正切值为负．由点所在象限求角所在象限时，关键是弄清已知点的坐标符号，以此判定点所在象限即知角的终边所在象限．三、作三角函数线作出3π4的正弦线、余弦线和正切线．思路分析：利用三角函数线的作法即可完成．解：在直角坐标系中作单位圆，如图所示．以x 轴正半轴为始边作3π4角，角的终边与单位圆交于点P .作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线与OP的反向延长线交于点T ，则sin 3π4＝MP ，cos 3π4＝OM ，tan 3π4＝AT ，即3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边．解：所给函数是正弦函数，故作直线y ＝12交单位圆于点P ，Q ，连结OP ，OQ ，则射线OP ，OQ 即为角α的终边．作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此点作x 轴的垂线，得垂足，从而可得正弦线与余弦线．作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线，与角的终边(角α为第一或第四象限角时)或终边的反向延长线(角α为第二或第三象限角时)交于一点T ，即可得到正切线AT .三角函数线的主要作用是求函数定义域、值域、解三角不等式、比较两三角函数值的大小等．1．已知在△ABC 中，sin A ·cos B ＜0，则△ABC 的形状是__________． 答案：钝角三角形解析：在△ABC 中，由sin A ·cos B ＜0，可知sin A ＞0，cos B ＜0，故∠B 为钝角，即此三角形为钝角三角形．2．已知角α的终边经过点P (5,12)，则sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.答案：1213 513 125解析：由x ＝5，y ＝12，得r ＝52＋122＝13.∴sin α＝y r ＝1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝125.3．已知cos θ·tan θ＜0，那么θ是第______或第______象限角． 答案：三 四 解析：由cos θ·tan θ＜0，知sin θ＜0，且θ的终边不在坐标轴上，由此知θ的终边在第三或第四象限．4．若600°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是__________． 答案：－4 3解析：在坐标系中把600°角的终边找到，看其在第几象限，再利用数形结合思想来求a 的值．因为600°＝360°＋240°，所以600°的终边与240°的终边重合，如图所示，设P (－4, a )，作PM ⊥x 轴于M ，由sin 240°＝a 16＋a 2＝－32，得a ＝－4 3.5．已知角θ的终边上一点P (5a,12a )，且a ≠0，180°＜θ＜270°，求角θ的三个三角函数值．解：因为180°＜θ＜270°，所以a ＜0，从而r ＝(5a )2＋(12a )2＝－13a ，所以sin θ＝y r ＝－1213，cos θ＝x r ＝－513，tan θ＝y x ＝125.。

1.2.1 任意角的三角函数（1）一、课题：任意角的三角函数（1）二、教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

三、教学重、难点：根据定义求三角函数值。

四、教学过程：（一）复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b asinA cosA tanA c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

（二）新课讲解： 1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值yr叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值xr叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=；（3）比值yx叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；（4）比值xy叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=；（5）比值rx叫做α的正割，记作sec α，即sec r x α=；（6）比值ry叫做α的余割，记作csc α，即csc r y α=．说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=与sec rxα=无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy y α=与csc ryα=无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 、rx、r y 分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。

高中数学 任意角的三角函数教材梳理素材 苏教版必修4知识·巧学1.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数由初中所学可知锐角的三角函数是通过直角三角形定义的.但角的概念推广以后，用直角三角形定义一个角的三角函数就有了一定的局限性.在上一节的学习中我们在直角坐标系中研究了任意角.同样，我们也可以在直角坐标系中定义任意角的三角函数.联想发散 初中学习的锐角三角函数是用直角三角形边的比值来定义的，受直角三角形的约束，不能类似地定义任意角的三角函数.如果建立平面直角坐标系，就可用角的终边上点的坐标来定义任意角的三角函数，以进一步研究它的性质.对于一个任意角α，让其顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y).记P 到原点的距离为r ，则P 与原点的距离r=0||||2222>+=+y x y x (如图1-2-2).图1-2-2当α为锐角时，过P 作PM⊥x 轴于M ，则三角形OMP 为直角三角形，则由锐角三角函数的定义可得 sinα=r y ，cosα=r x ，tan α=xy .此定义与初中所学的三角函数的定义实质相同. 一般地，对任意α我们规定：①比值r y 叫做α的正弦,记作sinα，即sinα=ry ； ②比值r x 叫做α的余弦,记作cosα，即cosα=rx ； ③比值x y 叫做α的正切,记作tanα，即tanα=x y . 此外，比值y x 叫做α的余切，记作cotα=y x ；比值x r 叫做α的正割，记作secα=x r ；比值y r 叫做α的余割，记作cscα=yr .由初中所学的三角形相似的知识可知对于确定的角α,比值r y 和r x 都是唯一确定的，因此正弦和余弦都是角α的函数.当α=2π+kπ,k∈Z 时，角α的终边与2π和-2π的终边相同,都落在y 轴上，此时P 点的横坐标x 为0，比值xy 无意义，即此时tanα无意义，除此之外，对于确定的角α(α≠2π+kπ,k∈Z ),比值x y 也是唯一确定的，所以正切也是角α的函数.正弦函数、余弦函数和正切函数都称为三角函数.联想发散 函数是由定义域、值域、对应法则三部分构成的，三角函数的自变量是角，比值是函数值，“求正弦”“求余弦”“求正切”等是对应法则.深化升华 对于任意角的三角函数应注意以下几点：①角是“任意角”，当β=2kπ+α(k∈Z )时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等；②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用.③三角函数是以“比值”为函数值的函数；三角函数的值的大小仅与角有关，而与终边上所取的P 点的位置无关，即对于确定的角α，这些比值都不会随点P 在角α的终边上的位置的改变而改变.④r＞0，但x 、y 的正负却随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定(今后将专门研究).误区警示 sinα、cosα、tanα等三角函数的记法表示一个整体，离开自变量α的sin 、cos 、tan 等都是没有意义的.例如sinα并不表示“sin”与“α”的乘积，就像函数“f(x)”不表示“f”与“x”的乘积一样，sinα是一个比值，如sin6π，它表示6π的正弦值，即sin 6π=21.同理，cosα、tanα的意义也是一样的. (2)三角函数值的符号 由初中所学过的知识我们知道锐角的三角函数均为正值，现在我们把锐角扩充为任意角，并且用坐标定义了任意角的三角函数，则任意角的三角函数的符号又是怎样的呢？要回答这个问题，这就用到了三角函数的定义： sinα=r y ；cosα=r x ；tanα=xy . 由于r 为正值，则角α的正弦值的符号与y 的符号相同；角α的余弦值的符号与x 的符号相同；角α的正切值的符号取决于x 、y 的符号，当x 、y 相同时正切值为正值，当x 、y 符号相异时正切值为负值.所以，当角的终边在第一象限时，由于角α终边上点的坐标均为正值，故角α的三角函数为正值；当角的终边在第二象限时，由于角α终边上点的纵坐标为正值，横坐标为负值，则角的正弦值为正值，其他的三角函数值为负值；当角的终边在第三象限时，由于角α终边上点的坐标均为负值，则角的正切值为正值，其他的三角函数值为负值；当角的终边在第四象限时，由于角α终边上点的横坐标为正值，纵坐标为负值，则角的余弦值为正值，其他的三角函数值为负值.学法一得 三角函数的符号是由角终边所在象限所确定的，要想掌握三角函数的符号，应掌握各象限中的点及坐标轴上点坐标的特点.记忆要诀 综合三角函数值在各象限的符号，从取正号方面来看，可记忆为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”,即“一全正”是指在第一象限的各三角函数值均为正；“二正弦”指的是在第二象限只有正弦值为正值；“三正切”指的是在第三象限只有正切值为正值；“四余弦”指的是在第四象限只有余弦值为正值.2.有向线段与三角函数线(1)有向线段规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线，例如数轴就是有向直线.当有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l 平行时，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号所得的数叫做有向线段的数量，记为AB ，为了区分有向线段和它的数量，一般在有向线段前加上“有向线段”.误区警示 有向线段AB 书写时不能写成BA ，这种写法是错误的.这是因为在书写有向线段时，一定要将起点写在前而终点写在后.深化升华 当有向线段的方向与有向直线的方向相同时，有向线段的数量为正数；当有向线段的方向与有向直线的方法相反时，有向线段的数量为负数.(2)三角函数线设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，由于角α的三角函数值与点P 在角终边上的位置无关，所以为了简单起见，取r=1，即选取角α的终边与单位圆(圆心在原点O ，半径等于单位长度的圆)的交点为P 点，则sinα=y，cosα=x.如图1-2-3，过P(x,y)作PM⊥x 轴于M ，图1-2-3又不难得出有向线段OM 、OP 的长度分别为|x|、|y|.若x ＞0，则OM 看作与x 轴同向，OM 具有正值x ；若x ＜0，OM 看作与x 轴反向，OM 具有负值x ，所以总有OM=x ，同理,有MP=y ，所以有sinα=MP,cosα=OM.则有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线和余弦线.过点A(1,0)作单位圆切线，与α角的终边(角的终边在第一或第四象限如图1-2-3中①④)或其反向延长线(角的终边在第二、三象限，如图1-2-3中①②)交于T(1，y′)，则当角的终边在y 轴的右侧时,tanα=1'y =y′；当角的终边在y 轴的左侧时，T(-1，-y′)在角的终边上，此时tanα=1'--y =y′.又有向线段AT 的长度为|y′|，当y′＞0时，有向线段AT 与y 轴方向相同，此时有y′=AT;当y′＜0时，有向线段AT 与y 轴方向相反，此时有y′=AT，所以tanα=1'y =y′=AT.我们把有向线段AT 叫做角α的正切线. 有向线段MP 、OM 、AT 统称为三角函数线.误区警示 书写正弦线时，一定要注意不能写成PM ，而应写成MP.这是因为三角函数线为有向线段，当线段中含有原点时，原点为起点；当线段中不含原点时，垂足为起点，对于正切线应注意其起点坐标始终是(1，0).当角α的终边在x 轴上时，正弦线和正切线分别变成一个点；当角α的终边在y 轴上时，余弦线变为一个点，而正切线不存在.辨析比较 三角函数线都是有向线段，当它们的方向与坐标轴的方向相同时，对应的三角函数值为正值；当它们的方向与坐标轴的方向相反时，对应的三角函数值为负值.正弦线的起点在x 轴上，且与y 轴平行，余弦线的起点是原点，它在x 轴上，正切线的起点为(1，0)，它与y 轴平行.学法一得 学习三角函数线，应从它的方向和它与坐标轴的位置关系入手.由于角的集合和实数的集合之间可以建立一一对应的关系，因此三角函数可以看作是以y=sinαR y=cosαR y=tanα {α|α≠kπ+2π(k∈Z )} 利用三角函数线，我们可以比较两个角同名三角函数值的大小、求已知三角函数值所对应的角、解简单的三角不等式、求三角函数的定义域等.同时它也是学习三角函数的图象和性质的基础.深化升华 正弦线、余弦线、正切线解释了正弦函数、余弦函数、正切函数的几何意义，是从“形”的方面研究三角函数，直观、形象.3.同角三角函数关系(1)公式的推导 方法一：设角α终边与单位圆交于点P ，则P 点的坐标为(cosα,sinα)，又由OP 的长度为1不难得出sin 2α+cos 2α=1；由正切函数的定义,可知当α≠2π+kπ,k∈Z 时，有t anα=ααcos sin . 方法二：由于sinα=r y ,cosα=r x ,tanα=xy ,cotα=y x , 当α≠kπ+2π(k∈Z )时,有ααcos sin =r y ·x r =x y =tanα； 又x 2+y 2=r 2， 所以sin 2α+cos 2α=(r y )2+(r x )2=222r y x +=22r r =1. 由上我们可得以下公式：sin 2α+cos 2α=1,tan α=ααcos sin . (2)公式的变形 如：sin 2α+cos 2α=1可变形为sin 2α=1-cos 2α、sinα=±α2cos 1-(α为第一、二象限角取正号;α为第三、四象限角时取负号)等.ααcos sin =tanα可变形为sinα=tanα·cosα、cosα=ααtan sin 等. 深化升华 对于同角三角函数关系应注意：①“同角”的概念与角的表达形式无关,它可以是正角、负角和零角，也可以是具体的角，还可以是字母或代数式.如：sin 23α+cos 23α=1，2cos 2sin αα=tan 2α等，均成立. ②上述关系(公式)都必须在定义域允许的范围内才能成立.③据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两个解的情况，因此应尽可能少用(实际上，至多只用一次).误区警示 对于同角三角函数基本关系式应以“同角”为大前提，比如sin 2α+cos 2β=1就不一定成立了，这是因为等式中的两个角不相同.此外等式tan 2π=2cos2sin ππ也不成立，这是因为tan 2π不存在，因此，同角三角函数基本关系式必须在使三角函数有意义的范围内使用. (3)公式的应用 利用同角三角函数关系：sin 2α+cos 2α=1，tanα=ααcos sin ，我们可以求值——即已知一个三角函数值求该角的其他三角函数值；化简含有三角函数的式子和证明三角恒等式. ①求值利用同角三角函数基本关系式求值常见的有三种类型：1)已知角α的某一三角函数值及角α所在的象限，求角α的其他三角函数值.事实上，如果已知角α的某一三角函数值及角α所在的象限，那么角α就是确定的，α的其他三角函数值也就随之确定了.解此类题的难点是如何根据角α终边所在的象限求出它的其他三角函数值，其突破点是正确运用平方根及象限角的概念.2)已知角α的某一三角函数值，但不知角α终边所在的象限，求角α的其他的三角函数值.事实上，如果已知角α的某一三角函数值，但不知角α终边所在的象限，那么角α的终边位置一般有两个.解此类题的难点是如何根据角的三角函数值确定角的终边位置，进而求出其他的三角函数值,其突破点还是正确运用平方根及象限角的概念.3)已知角α的某一三角函数值是用字母给出的，且没有指定角α所在的象限，求角α的其他三角函数值.解此类题的一般步骤是：首先对字母分类；其次在各类中按第(2)类中的解法解题. 误区警示 已知角α的某一三角函数值，求角α的其他三角函数值时，极易产生遗漏，比如已知sinα=53，在求cosα的值时，极易得出cosα=54这一错误结论.产生遗漏的原因：一是没有确定好或不去确定角α终边的位置；二是利用平方关系时，漏掉了负的平方根. ②化简化简实际上是一种没有指定答案的恒等变形，但要尽量把结果化成最简形式.化简的思路是：尽可能地化为同类三角函数后再化简.对于三角函数式的化简结果应满足下述要求：函数的种类尽可能地少；次数尽可能地低；尽可能地化为积的形式；尽可能地不含三角函数；尽可能地将根号内的式子移到根号外. ③利用同角三角函数的关系式证明三角恒等式证明恒等式的过程实质上就是通过分析、转化和消去等式两边的差异来促成两边统一的一个过程.常见的证明方法有：1)从等式的一边开始，证明它等于另一边；2)先证得另一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立；3)证明左、右两边都等于同一个式子；4)比较的方法证明三角恒等式,即证明两边差为零或商为1.4.三角函数的诱导公式(1)三角函数诱导公式由三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等，即有sin(2kπ+α)=sinα,k∈Z,cos(2kπ+α)=cosα,k∈Z,tan(2kπ+α)=tanα,k∈Z,我们称此组公式为公式一，此外这组公式也可以记为sin(360°k+α)=sinα,k∈Z,cos(360°k+α)=cosα,k∈Z,tan(360°k+α)=tanα,k∈Z.公式一的作用是可以将任意角的三角函数转化为0°—360°范围内的角的三角函数.若角α的终与角β的终边关于x轴对称(如图1-2-4)，设角α、β的终边与单位圆交于P、P′两点，则点P和P′也关于x轴对称，又根据三角函数的定义，点P的坐标为(cosα,sinα)，点P′的坐标为(cosβ,sinβ)，故有图1-2-4sinβ=-sinα,cosβ=cosα.又-α与α的终边关于x轴对称，故有sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,我们称此组公式为公式二.由此公式，我们可知正弦函数和正切函数是奇函数，而余弦函数是偶函数.联想发散由诱导公式二的推导过程,可知正弦、余弦函数的图象分别关于原点和y轴对称.这个性质就是我们后面所讲的正弦函数和余弦函数的奇偶性.公式二的作用是将负角的三角函数转化为正角的三角函数.若角α的终边与角β的终边关于y轴对称(如图1-2-5)，设角α、β的终边与单位圆交于P、P′两点，则点P和P′也关于y轴对称，又根据三角函数的定义，点P的坐标为(cosα,sinα)，点P′的坐标为(cosβ,sinβ)，故有sinβ=sinα,cosβ=-cosα.又角π-α与α的终边关于y轴对称，故有sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα,我们称此组公式为公式三，此外这组公式也可以记为sin(180°-α)=sinα,cos(180°-α)=-cosα,tan(180°-α)=-ta nα,公式三的作用是将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.若角α的终边与角β的终边关于原点对称(如图1-2-6)，设角α、β的终边与单位圆交于P、P′两点，则点P和P′也关于原点对称，又根据三角函数的定义，点P的坐标为(cosα,sinα)，点P′的坐标为(cosβ,sinβ)，故有图1-2-6sinβ=-sinα,cosβ=-cosα.又角π+α与α的终边关于原点对称，故有sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,我们称此组公式为公式四，此外这组公式也可以记为sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα,tan(180°+α)=tanα,公式四的作用是将第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.记忆要诀对上面四组诱导公式，可简记为“函数名不变，符号看象限”.具体方法如下:此四组诱导公式不改变函数的名称,在判断符号时,将α视为锐角,然后确定α＋k·360°(k∈Z)，-α，180°±α的终边位置,利用它们的终边位置来确定符号.比如sin(180°-α)与sinα的关系,若将α视为锐角,则180°-α是第二象限,正弦值为正值,则有sin(180°-α)=sinα.若角α的终边与角β的终边关于直线y=x对称(如图1-2-7)，设角α、β的终边与单位圆交于P、P′两点，则点P和P′也关于直线y=x对称，又根据三角函数的定义，点P 的坐标为(cosα,sinα)，点P′的坐标为(cosβ,sinβ)，故有sinβ=cosα,cosβ=sinα.又角2π-α与α的终边关于y 轴对称，故有 sin(2π-α)=cosα, cos(2π-α)=sinα. 我们称此组公式为公式五，此外这组公式也可以记为sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα.又sin(2π+α)=sin［2π-(-α)］=cos(-α)=cosα, cos(2π+α)=cos［2π-(-α)］=sin(-α)=-sinα. 故有sin(2π+α)=cosα, cos(2π+α)=-sinα, 我们称此组公式为公式六，此外这组公式也可以记为sin(90°+α)=cosα,cos(90°+α)=-sinα.以上六组公式我们称它们为三角函数的诱导公式.记忆要诀 对上面两组诱导公式，可简记为“函数名称变互余，符号看象限”.具体方法如下:这两组诱导公式改变函数的名称,在判断符号时,将α视为锐角,然后确定90°±α的终边位置,利用它们的终边位置来确定符号.比如sin(90°-α)与cosα的关系,若将α视为锐角,则90°-α是第一象限,余弦值为正值,则有sin(90°-α)=cosα.深化升华 上面六组诱导公式可归纳为k·90°±α(k∈Z )的三角函数值与α三角函数值之间的关系，当k 为偶数时得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时得角α的异名三角函数值.然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号.可简记为“奇变偶不变，符号看象限”.辨析比较 诱导公式所揭示的是终边具有对称关系的两个角的三角函数之间的关系.它实现了不同角的三角函数之间的转化，而同角三角函数关系式所揭示的是同角的三角函数之间的关系，实现的则是同角的三角函数名称之间的转化.对于诱导公式应注意：公式中的角α为任意角，它可以是正角、负角和零角，也可以是具体的角，还可以是字母或代数式.(2)诱导公式的作用与应用诱导公式的作用在于化任意角的三角函数为0°—90°范围内的角的三角函数.其步骤为：将任意角的三角函数化为相应正角的三角函数，再化为0°—360°范围内角的三角函数，进而化为锐角的三角函数.这一转化过程充分体现了将未知化为已知的化归思想. 记忆要诀 上述步骤可简记为“负化正，大化小，最后化锐角”.利用诱导公式，我们可以处理三角函数的求值、化简和证明的有关问题.典题·热题知识点1 任意角的三角函数例1 (1)已知角α的终边经过点P(7m,-24m)(m ＜0)，求sinα+cosα的值.(2)已知角α的终边经过P(4a,-3a)(a≠0),求2sinα+cosα的值.思路分析：本题主要利用三角函数的定义.(1)中点位置确定，则可先设出一点，求出点到原点的距离，然后利用定义求解即可；(2)中点的坐标中含参数，则需分类讨论.解：(1)由定义及已知可得r=22)24()7(m m -+=-25m ，所以sinα=m m 2524--=2524,cosα=m m 257-=257-. 所以sinα+cosα=257. (2)由于r=22)3()4(a a -+=5|a|.若a ＞0,r=5a,则sinα=r y =-53,cosα=r x =54,∴2sinα+cosα=52-. 若a ＜0,r=-5a,则sinα=r y =53,cosα=r x =-54, ∴2sinα+cosα=52. 方法归纳 如果角α的终边上一点的坐标已经确定，则可根据三角函数的定义求其三角函数值.若点坐标中含有参数时，可根据具体情况来决定是否进行分类讨论. 例2 已知点P(x,3)在角α的终边上，且sinα=53，求tanα. 思路分析：由三角函数的定义可以通过sinα=53得到点P 的横坐标，从而再用t anα=x y 求出tanα的值.解：由于r=93222+=+x x ，则有sinα=53=932+x ，由此可得x=±4. 所以tanα=x y =43±=±43. 方法归纳 本题的关键是根据角α的正弦列出方程，从而根据三角函数的定义来求角的正切值.例3 已知θ是第三象限角且cos2θ＜0，问2θ是第几象限角？ 思路分析：解题的关键是将角θ的范围表示出来，进而表示出2θ的范围，再根据cos 2θ＜0来确定2θ的终边位置. 解：由于θ是第三象限角，则有(2k+1)π＜θ＜(2k+1)π+2π(k∈Z ),∴kπ+2π＜2θ＜kπ+43π(k∈Z )，则2θ是第二或第四象限角. 又∵cos 2θ＜0，则2θ是第二或第三象限角. ∴2θ必为第二象限角. 方法归纳 已知角的范围可知其三角函数的符号，反过来，已知一个角的三角函数的符号，我们也可以判断出其大致范围.深化升华 当角的正弦值为正值，则角的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上，当角的正弦值为负值，则角的终边在第三、四象限或y 轴的负半轴上；当角的余弦值为正值，则角的终边在第一、四象限或x 轴的正半轴上，当角的余弦值为负值，则角的终边在第二、三象限或x 轴的负半轴上；当角的正切值为正值，则角的终边在第一、三象限，当角的正切值为负值，则角的终边在第二、四象限.知识点2 有向线段与三角函数线例4 分别作出32π和-43π的正弦线、余弦线和正切线． 思路分析：利用单位圆中三角函数线的作法作图． 解：(1)在直角坐标系中作单位圆,如图1-2-8,以Ox 轴为始边作32π角,角的终边与单位圆交于点P,作PM⊥Ox 轴,垂足为M,由单位圆与Ox 轴正方向的交点A 作Ox 轴的垂线与OP 的反向延长线交于T 点,则sin 32π=MP,cos 32π=OM,tan 32π=AT,即32π的正弦线为有向线段MP,余弦线为有向线段OM,正切线为有向线段AT ．图1-2-8(2)同理可作出-43π的正弦线、余弦线和正切线,如图1-2-9. sin(-43π)=M 1P 1,cos(-43π)=O 1M 1,tan(-43π)=A 1T 1,即-43π的正弦线为有向线段M 1P 1,余弦线为有向线段O 1M 1,正切线为有向线段A 1T 1．图1-2-9方法归纳 三角函数线是单位圆中的有向线段，在作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.正弦线的起点在x 轴上且与y 轴平行，余弦线在x 轴上，以原点为起点，正切线的起点为(1，0)且与y 轴平行，这就是画三角函数线的主要依据. 例5 已知sinα=21，求出角α的终边，然后求出角α的取值集合. 思路分析：可利用单位圆中的有向线段——三角函数线求角的取值集合. 解：如图1-2-10，已知角α的正弦值为21，可知MP=21，则P 点的纵坐标为21，所以在y 轴上取点(0,21)，过点作x 轴的平行线，交单位圆与M 、N 两点，则OM 、ON 为角α的终边，因而角α的取值集合为{α|α=2kπ+6π或α=2kπ+65π,k∈Z }.图1-2-10方法归纳 利用三角函数线求已知三角函数值所对的角的集合时，首先在［0,2π)内找出符合条件的角，再用终边相同的角的集合表示出来即可. 例6 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin32π与sin 54π;(2)tan 32π与tan 54π. 思路分析：画出三角函数线，利用三角函数比较大小.解：如图1-2-11，作出54π和32π的正弦线和正切线，在图中，P 1M 1和AT 1分别为54π的正弦线和正切线，P 2M 2和AT 2分别为32π的正弦线和正切线.图1-2-11由图可知sin32π＞sin 54π,tan 32π＜tan 54π. 方法归纳 三角函数线是三角函数值的体现，从三角函数线的方向可看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值.因此,比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线. 例7 求下列函数的定义域:(1)y=1cos21sin2-+-xx；(2)y=281x-+log2(2sinx-2).思路分析：(1)中要使根号有意义；(2)中要使根号和对数式都有意义.解：(1)由题意得⎩⎨⎧≥-≥-,01cos2,01sin2xx即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥.21cos,21sinxx由图1-2-12可知函数y=1cos21sin2-+-xx的定义域为图1-2-12{x|6π+2kπ≤x≤3π+2kπ,k∈Z}.(2)如图1-2-13,由题意有⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-,02sin2,0812xx图1-2-23即⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<+≤≤-,,24324,99Zkkxkxππππ所以函数y=281x-+log2(2sinx-2)的定义域为{x|-47π＜x＜-45π或4π＜x＜43π或49π＜x＜411π}.方法归纳函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，求函数的定义域一般是解不等式或不等式组.在求不等式或不等式组的解集时，要注意分清是求交集还是求并集.解简单的三角不等式一般是利用单位圆中的有向线段，此外解简单的三角不等式也可以利用三角函数的图象.在求解时，首先找出它在区间［0,2π］上的解集，再根据它的周期性求出其在实数范围或其他范围内的解集.知识点3 同角三角函数关系例8 (1)已知α是第三象限角，且sinα=-53，求角α的余弦、正切. (2)已知cosα=-1715，求sinα,tanα的值. (3)已知tanα是非零实数，用tanα表示sinα，cosα.思路分析：利用基本关系式、公式变形和分类讨论的数学思想. 解：(1)因为sin 2α+cos 2α=1，所以cos 2α=1-sin 2α=1-(-53)2=2516. 又因为α是第三象限角，所以cosα＜0.于是 cosα=-2516=-54. 从而tanα=ααcos sin =(-53)×(-45)=43. (2)因为cosα＜0,且cosα≠-1，所以α是第二象限或第三象限的角. 如果α是第二象限的角，则有sinα=178)1715(1cos 122=-=-α, tanα=ααcos sin =178×(-1517)=-158. 如果α是第三象限的角，则有 sinα=-178，tanα=158. (3)因为sin 2α+cos 2α=1，所以sin 2α=1-cos 2α.又因为ααcos sin =tanα，所以tan 2α=αα22cos sin =αα22cos cos 1-=α2cos 1-1. 于是α2cos 1=1+tan 2α,cos 2α=α2tan 11+.由tanα是非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上.从而cosα=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+;,,tan 11,,,tan 1122三象限角为第二当四象限角为第一当ααααsinα=tanα·cosα=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+.,,tan 1tan ,,,tan 1tan 22三象限角为第二当四象限角为第一当αααααα深化升华 利用同角三角函数基本关系式，在已知一个三角函数值而求其他三角函数值时，应首先根据所给三角函数值和已知条件判断角的终边位置，如果没法判断的话应注意分类讨论.而在具体求解时应首先利用平方关系，再利用其他关系.例9 已知sinα=524+-m m ,cosα=53+-m m ,α是第四象限角,求tanα的值.思路分析：利用同角三角函数关系式. 解：∵sin 2α+cos 2α=1,∴(524+-m m )2+(53+-m m )2=1.化简，整理得m(m-8)=0,∴m 1=0,m 2=8.当m=0时，sinα=54,cosα=-53(与α是第四象限角不符); 当m=8时，sinα=-1312,cos α=135,∴tanα=-512.方法归纳 在平时解题时要注意题中的隐含条件，如本题中就隐含着(524+-m m )2+(53+-m m )2=1这一条件.例10 已知sinα=3cosα，求下列各式的值. (1)ααααcos sin cos sin 2+-；(2)sinαcosα；(3)3sin 2α+2.思路分析：若由sinα=3cosα可得tanα=3，求sinα、co sα的值，则要将α分为一、三象限讨论，那么sinα、cosα的正负号就不确定了，所以解本题要注意应用基本关系式.对于(2)(3)两题还应注意“1”的代换.解：由sinα=3cosα，根据基本关系式可得tanα=3.(1)451tan 1tan 21cos sin 1cos sin 2cos sin cos sin 2=+-=+-=+-αααααααααα. (2)∵sinαcosα=1cos sin αα=αααα22cos sin cos sin +=1tan tan 2+αα， 又tanα=3,代入得sinαcosα=1tan tan 2+αα=1332+=103.(3)3sin 2α+2=3sin 2α+2(sin 2α+cos 2α)=5sin 2α+2cos 2α=αααα2222cos sin cos 2sin 5++=10471tan 12tan 51cos sin 2cos sin 522222=++=++αααααα. 方法归纳 这类题的解法体现了化归思想的应用，即对只含有正弦、余弦的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化成只含有正切的式子.这种化弦为切的技巧，有着广泛的应用.深化升华 凡是分子、分母是某个角的正弦、余弦函数的齐次多项式，都可以用这个角的正切函数来表示.在三角知识中“1”的变换很多，除了平方关系之外，还有为了凑出某个公式的条件，也可以乘以“1”.。

妙用三角函数定义解题三角函数是用比值来定义的，因此，利用三角函数的定义的基本求解策略是：将所给问题转化为比值，对其实施代数运算以达到目的此策略应用思路明确，规律性强，易于掌握一、求三角函数值例1 已知角α的终边上一点(34)0P t t t ≠，，，求sin cos tan ααα，，的值． 解：∵3x t =，4y t =，∴5r t =，当0t >时，5r t =，有443344sin cos tan 555533t t t t t t ααα======，，， 当0t <时，5r t =-，有44sin 55t t α==--，33cos 55t t α==--，44tan 33t t α== 二、求三角函数式的值 例2 设0πα<<，7sin cos 13αα+=，求1tan 1tan αα-+的值 解：设()P x y ，为角α的终边上异于原点的任意一点，且(0)OP r r =>，222x y r +=， 则由7sin cos 13αα+=，得713x y r r +=，∴713x y r +=， 两边平方，得222492169x xy y r ++=， ∴21202169xy r =-，∴20xy <， 由于0πα<<，∴ 00x y <>，．∴11tan 171tan 7113y x y r x αα--=====-++． 三、求三角函数的定义域 例3求函数()lg csc f θθ=的定义域 解：原函数的定义域为不等式cot sin 0csc 0θθθ⎧⎨>⎩·≥，的解集 设()P x y ，为角θ的终边上异于原点的任意一点，且(0)OP r r =>，222x y r +=．0000x y x y r y y x⎧>>⎪>⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪>⎪⎩，，．∴故θ为第一象限角， ∴函数()f θ的定义域为π|2π2π2k k k θθ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，． 四、化简三角函数式例4 化简：1sec tan 1cos sin 1sec tan 1sin ααααααα+++--+-- 解：设()P x y ，是角α终边上异于原点的任意一点，且(0)OP r r =>，222x y r +=，则原式1111r y x y x r y x r y x x r r r y y x r y r y x x r+++-+++-=-=-+--+--22()()()()()()()()r y x r y x r y r y x r y x r y r y x r y r y r y x r y r y -+++--+-+-=-=--+---+--2()()()()()()x r y x x r y x r x y x r y r y x r y r y r y x r y r y -++-+-+-=-=--+---+-- 1x x r y r y r y+-=-=--- 五、证明三角函数等式例5 求证：(sin tan )(cos cot )(1sin )(1cos )αααααα++=++． 证明：设()P x y ，是角α终边上异于原点的任意一点，且(0)OP r r =>，则左边y y x x r x r y ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111y x r x r y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111y x y x y r x r r r ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦ (1sin )(1cos )αα=++=右边．即(sin tan )(cos cot )(1sin )(1cos )αααααα++=++．。

三角学的历史早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，但那大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯著的《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念．50年后，另一个古希腊学者托勒密著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯．雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表．最先使用三角学一词的是德国数学家皮蒂斯楚斯，他在1595年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形和测量两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的．16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯．雷蒂库斯首次编制出全部6种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表．17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数表的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用．文艺复兴后期，法国数学家韦达成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出6种三角函数表，有些以分和度为间隔．给出精确到5位和10位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等．第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．韦达除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础．对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理．1591年，韦达又得到多倍角关系式，1593年又用三角方法推导出余弦定理．1722年英国数学家棣莫弗得到以他的名字命名的三角学定理(cos sin )cos sin n n n i i θθθθ±=+，并证明了ｎ是正有理数时公式成立；1748年欧拉证明了ｎ是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式cos sin i e i θθθ=+，对三角学的发展起到了重要的推动作用．近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论．巧设参数妙解三角题解答某些三角问题时，如能依据题设条件，巧妙地增设参变数，将所求问题进行等价转换，可使这些问题简捷、明快地获解，现举例解析如下：例1：设32tan =θ，求θθcos sin 的值。

高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 ②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。

来判断3α所在的象限 ，判断2α所在的象限（5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（6）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

注意r>0（2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。

（3）特殊角的三角函数值：三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

（2）诱导公式：诱导公式可用概括为：2K π±α,-α,2π±α,π±α,23π±α的三角函数 奇变偶不变，符号看象限 α的三角函数作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o ,360o )或[0o ,180o )内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

yO xyO x高中数学苏教版必修4 三角函数知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与角终边相同的角的集合：{| = 3600 k +, k ∈Z}或{| = 2k+, k ∈Z}②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）由的终边所在的象限，通过来判断所在的象限。

2来判断所在的象限，判断2所在的象限3（5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一l已知角的弧度数的绝对值||=，其中l 为以角作为圆心角时所对圆弧的长，rr 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（6）弧长公式：；半径公式：；扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点P(x, y) ，点P 到原点的距离记为r ，则sin=；c os=；tan=；如：角的终边上一点(a,- 3a)，则cos+2sin=。

注意r>0yxa Oxya OyaxO平方关系：sin 2+cos 2=1，sin切化弦cos=tan （2） 在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；比较 x (0, ) ， sin x ， tan x ， x 的大小关系：。

2（64323 2sin costan三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1） 同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

（2） 诱导公式：诱导公式可用概括为：3 2K ±,-, ±,±, ±的三角函数 奇变偶不变，符号看象限 的三角函数22作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o ,360o )或[0o ,180o )内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.（3） 同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

任意角的三角函数（1）班级 姓名一、学习目标:1.掌握任意角的三角函数的定义，并能根据定义求已知角的三角函数值； 2.掌握正弦、余弦、正切函数这三种三角函数值符号，会判断已知角的三角函数值的符号. 二、重点与难点：三角函数的定义及其运用复习1：初中已经学习了锐角三角函数的定义，请同学们回顾一下，锐角α的正弦、余弦、正切是怎么表示的？三、知识建构问题1：在直角坐标系中,如何用坐标表示锐角三角函数？问题2：由定义可知，无论是角α的正弦、余弦还是正切，都与角α终边上一点P 的坐标有关，那么，角α的三角函数值会不会随点P 位置的改变而改变呢？问题3：怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数？ 任意角的三角函数的定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ， 它与原点的距离是)0(22>+=y x r r .一般地，对任意角α，我们规定：（1）比值 叫做α的正弦，记作 ，即 ，α满足的条件 . （2）比值 叫做α的余弦，记作 ，即 ，α满足的条件 . （3）比值 叫做α的正切，记作 ，即 ，α满足的条件 . 练习：课本第15页第3题.CBAα )yOxyOx问题4：确定三角函数值在各象限的符号四、典型例题例1.已知角α的终边经过点(2,3)-，求α的正弦、余弦、正切值.变式1：已知角α的终边经过点),3(y ，且54sin -=α，求y 的值.变式2：已知角α的终边经过点)0)(4,3(≠a a a ，求α的正弦、余弦、正切值.变式3：已知角α终边与函数2y x =的图像重合，求α的三角函数值.例2.确定下列三角函数值的符号： （1）7cos 12π （2）sin(465)- （3）11tan 3πOy xαsinOyxαcosOyxαtan同角三角函数关系班级 姓名一.学习目标：1.熟练掌握同角三角函数的基本关系式；2.会运用同角三角函数的基本关系式求三角函数值、化简及证明三角恒等式． 二．知识构建同角三角函数基本关系式：（1）平方关系： （2）商数关系： 三．典型例题例1.（1）化简：1sin 1tan 2-⋅αα，其中α是第二象限角；（2）化简：ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-，其中α是第四象限角（3）化简：︒--︒︒︒-10sin 110sin 10cos 10sin 212.例题2：（1）求证：ααααsin cos 1cos 1sin -=+； （2）ααααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-- 四.练习1.求证：αα22cos 1tan 1=+2.求证：αααα2244cos sin 21cos sin -=+3.求证：αααα2222sin tan sin tan -=三角函数的诱导公式（一）班级学号一、学习目标1.理解正弦，余弦的诱导公式二、三、四的推导过程；2.掌握公式二、三、四，并会正确运用公式进行有关计算、化简；二．知识构建三角函数的诱导公式：（1）公式一：（2）公式二：（3）公式三：（4）公式四：例1.求值：（1）6sin； （2）4cos ； （3）)1560tan(0-。

高中苏教数学④1.2任意角的三角函数教材注解1．任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义，不仅是本节的重点，也是整个三角学内容的基础，必须加以深入的理解和掌握．根据定义可知需注意以下几点：（1）六种三角函数（sin cos tan cot sec csc θθθθθθ，，，，，）可以看成是以角为自变量，以其比值为函数值的函数，即：当然，由于圆心角与它所对的弧之间一一对应，所以三角函数又可以看成以弧为自变量的函数，这样就使三角函数具有更加广泛的意义．（2）一个任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点在终边上的位置无关．（3）sin cos θθ，等是一个整体的符号，不能将它们分离开来，单独的“sin ”毫无意义，更不能把sin θ当成“sin ”与“θ”的乘积．2．三角函数值的符号 因为从原点到角的终边上任意一点的距离22r x y =+总是取正值，根据三角函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标y 、横坐标x 的符号；正切值、余切值则是纵坐标y 、横坐标x 同号时为正，异号时为负．三角函数值在各象限的符号可借助教材（13P ）的三个图来理解；也可以用口诀“一全正，二正弦，三两切，正割同余弦，余割同正弦”来记忆．3．正弦线、余弦线、正切线正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，我们在学习时应理解以下几点：（1）正弦线、正切线的方向与y 轴方向一致，向上为正，向下为负，它们的数值等于角θ的正弦值、正切值；余弦线的方向与x 轴的方向一致，向右为正，向左为负，它的数值等于角θ的余弦值．（2）三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒．为此可以这样规定：凡含原点的线段，均以原点为起点；不含原点的线段，均以坐标轴上的交点为起点．注意：正切线的起点是固定的，因此必须考虑角的终边所在的象限，同时还需要考虑正切线是与终边相交还是与其延长线相交．4．同角三角函数的基本关系式（见本周的《你问我答——同角三角函数的基本关系式》一文）5．诱导公式诱导公式的学习为我们更好的掌握任意角的三角函数提供了有力的工具，在学习过程中应掌握以下几点：（1）诱导公式的使用方法可简记为“负化正、大化小，化到锐角再查表”，即利用公式一、二可将任意负角的三角函数转化为任意正角的三角函数；利用公式一可把任意正角的三角函数转化为0～2π内的角的三角函数；利用公式三或四把0～2π间的三角函数转化为0～π2内的角的三角函数． （2）诱导公式中把α看作锐角，则α-为第四象限角，πα-为第二象限角；π+α为第三象限角；2πα-为第四象限角，这些是不变名的诱导公式，即等式左、右两端名称相同．（3）在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系．如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的（不存在者除外），反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之相对应． （4）所有诱导公式均可以概括为：π()2k k α±∈Z ·的形式．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．（5）观察一下前四组诱导公式的等号两边的角度，可知这两个角度的和或差总是一个轴线角，即为π()k k ∈Z 的形式．于是可以归纳出前四组诱导公式的一个十分重要的功能是：若两个三角函数的和或差是轴线角π()k k ∈Z 的话，利用前四组诱导公式总可以把它们变成同角函数来处理．（6）诱导公式的重要性在于它揭示了终边在不同象限但具有一定对称关系（关于原点、坐标轴、直线y x =±）的角的三角函数间的内在联系，从而可以将任意角的三角函数转化为一个较小的特定范围来研究．（7）设()f α代表正弦（或余弦）函数，(π)()f k k α+∈Z 代表任意角的正弦（余弦）函数，则有(π)(1)()k f k f αα+=-·．①当k 为偶数时，令2()k n n =∈Z ，则2(π)(2π)(1)()()nf k f n f f αααα+=+=-=·，这就是诱导公式（一）；②当k 为奇数时，令21()k n n =+∈Z ，则21(π)(2ππ)(1)()()n f k f n f f αααα++=++=-=-·，这就是诱导公式（四）．。

1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
课前导引
问题导入
在初中，我们已经学过锐角三角函数的定义，在Rt △ABC 中，设∠C 为直角，则有
sinA=斜边
的对边A ∠ cosA=斜边
的邻边A ∠ tanA=
的邻边的对边A A ∠∠ 请同学们想想角的概念扩充以后，任意的角还有三角函数吗？如果有，又如何求任意角的三角函数值呢？
思路分析：任意角都有三角函数，本节将给出它的定义.
知识预览
1.任意角三角函数（trigonometric function ）的定义
如下图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x,y ），那么
（1）y 叫做α的正弦（sine ）,记作sinα,即sinα=y;
(2)x 叫做α的余弦（cosine ）,记作cosα，即cosα=x;
(3)
x y 叫做α的正切（tangent ），记作tanα,即tanα=x
y (x≠0). 可以看出，当α=2π+kπ(k ∈Z )时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标x 等于0，所以tanα=x y 无意义.除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.
2.正弦线、余弦线、正切线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P （x,y ）,那么,sinα=r
y =y,cosα=r x =x. 如下图单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.
3.三种三角函数的值在各象限的符号如下图
4.三角函数的定义域
三角函数
定义域 sinα
{α|α∈R } cosα
{α|α∈R } Tanα
{α|α≠2
+kπ,k ∈Z }。

高中数学第1章三角函数1.2.1 任意角的三角函数温故知新苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第1章三角函数1.2.1 任意角的三角函数温故知新苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

2.1 任意角的三角函数温故知新新知预习1.三角函数的定义设点P 是α终边上任意一点，坐标为P （x ，y ），｜OP ｜=22y x =r ，则(1）比值_____________叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=_____________。

（2）比值_____________叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα=_____________。

（3)比值_____________叫做角α的正切，记作tanα，即tanα=_____________.（4）比值_____________叫做角α的正割，记作secα，即secα=_____________。

（5)比值_____________叫做角α的余割，记作cscα,即cscα=_____________。

（6）比值_____________叫做角α的余切，记作cotα,即cotα=_____________.2。

三角函数在各象限的符号 sinα=ry ，当α是__________象限时,sinα＞0;当α是__________象限时，sinα＜0。

cosα=rx ,当α是__________象限时，cosα＞0;当α是__________象限时，cosα＜0。