高三数学10月月考试题 文(扫描版)

祁阳一中２018届高三月考测试卷(文科数学)一、选择题:本大题共１2小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的、１。

设,若是纯虚数(其中为虚数单位),则( )A。

B。

2 C。

-1 D。

1【答案】Ｄ【解析】,因此,选D。

2、设集合, ,则＝( )A、Ｂ。

C。

D。

【答案】B【解析】,因此=,选B、3、设ｘ∈Ｒ,则“x〉1”是“x２+x—2〉0”的( )A。

充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件Ｄ。

既不充分也不必要条件【答案】A【解析】x2+x—2〉０,因此“x>1”是“x2+x-2〉0”的充分不必要条件,选A、4。

下列函数既是偶函数又在区间上单调递减的函数为( )Ａ、 B、C、Ｄ、【答案】A【解析】是偶函数又在区间上单调递减;是奇函数,在区间上单调递增;是偶函数,在区间上单调递增; 是偶函数,在区间上单调递增;因此选A5、设不等式组表示的平面区域为Ｄ,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于２的概率是( )A、Ｂ。

C、 D。

【答案】D【解析】所求概率为几何概型,测度为面积,区域D为正方形,面积为;到坐标原点的距离等于２为一个圆,到坐标原点的距离大于2的点在圆外,因此所求概率为,选D6、对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图如图所示,则该样本中的中位数、众数、极差分别是( )A、 4６,45,5６Ｂ、46,4５,53 C。

47,45,5６D。

45,４7,5３【答案】A【解析】中位数在45到4７之间,众数为45,极差为68—12=５６,因此选Ａ7。

下图是一个算法的流程图,则输出Ｓ的值是( )A、１5 B。

3１ C、 63 Ｄ、 127【答案】Ｃ【解析】执行循环得:结束循环,输出,选C点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查。

先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和依然求项。

南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效．4．考试结束后将答题卡交回．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设l ，m 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则3．若，则（ ）ABC ．D ．4．如图，在正方体中，M ,N 分别为DB，的中点，则直线和BN 夹角的余弦值为（ ）ABC ．D ．sin θ=π4θ=αβγl α∥m α∥l m ∥l α∥l β∥αβ∥l α⊥m α⊥l m∥αγ⊥βγ⊥αβ∥sin 2αα-+=()tan πα-=1111ABCD A B C D -11AC 1A M 23135．在三棱锥中，，则是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形6．杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（ ）A．B ．C ．D ．7．已知函数，若正实数a ，b 满足，则的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．98．已知正三棱锥的六条棱长均为6，S 是及其内部的点构成的集合．设集合，则集合T 所表示的曲线长度为（ ）A ．B ．CD ．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分．）9．函数的部分图象如图所示，则（ ）A ．B ．C ．的图象关于点对称D ．在区间上单调递增10．对于随机事件A 和事件B ，,，则下列说法正确的是（ ）A ．若A 与B 互斥，则B ．若A 与B 互斥，则C ．若A 与B 相互独立，则D ．若A 与B 相互独立，则11．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点M ,N 分别在正方形对S ABC -()()20SC SA BS SC SA ++-=ABC △38295934()3f x x =()()490f a f b +-=11a b+P ABC -ABC △{}5T Q S PQ =∈=5π2ππ()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭2ω=π6ϕ=()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x 5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭()0.3P A =()0.4P B =()0.3P AB =()0.7P A B = ()0.12P AB =()0.7P A B =角线AC 和BF 上移动，且，则下列结论中正确的有（ ）A ．，使B ．线段MN存在最小值，最小值为C ．直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D ．，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．)12．复数的共轭复数______．13．已知向量,,,当时，向量在向量上的投影向量为______．（用坐标表示）14．已知在中，满足,点M 为线段AB 上的一个动点，若的最小值为-3，则BC 边的中线长为______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）如图,四边形ABCD 为矩形,且,,平面ABCD ,,E 为BC 的中点．（1）求证：；（2）求四棱锥的外接球体积．16．（15分）的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知．（1）求角A 的值；（2）若，，求b ,c ．17．（15分）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与(0CM BN a a ==<<(a ∃∈12MN CE=23(a ∀∈2i12iz +=-z =()2,1,1a =- ()1,,1b x = ()1,2,1c =-- a b ⊥b c ABC △34AB ACAB AC +=MA MC ⋅ 2AD =1AB =PA ⊥1PA =PE DE ⊥P ABCD -ABC △cos cos a B b A b c -=+a =ABC △“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为,,，在实践技能考试中“合格”的概率依次为,,，所有考试是否合格互不影响．（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率．18．（17分）为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：,,…，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．19．（17分）如图，三棱柱中，，且与均为等腰直角三角形，．（1）若为等边三角形，证明：平面平面ABC ；(2)若二面角的平面角为，求以下各值：①求点到平面的距离；②求平面与平面所成角的余弦值．453423122323[)40,50[)50,60[]90,100[)50,60[)60,70z 2s 111ABC A B C -2AB =ABC △1ABA △1π2ACB AA B ∠=∠=1A BC △1AAB ⊥1A AB C --π31B 1ACB 11B AC 1ACB南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷参考答案题号1234567891011选项BCACDBABACDBCAD12．-i 13． 1415．【详解】(1)连结AE ,∵E 为BC 的中点,,∴为等腰直角三角形,则,同理可得,∴,∴,又平面ABCD ,且平面ABCD ,∴,又∵,∴平面PAE ,又平面PAE ,∴．(2)∵平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形∴的外接球直径∴,故：∴四棱锥．16．【答案】(1)(2)2，2【分析】（1）∵，由正弦定理可得：,∵,∴，即，∵，∴，∵，∴．（2）由题意，，所以，由，得，所以，解得：．17．【详解】（1）记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，，在实践考试中合格依次为，，，设甲没有获得执业医师证书的概率为P．()1,2,1-1EC CD ==DCE △45DEC ∠=︒45AEB ∠=︒90AED ∠=︒DE AE ⊥PA ⊥DE ⊂PA DE ⊥AE PA A = DE ⊥PE ⊂DE PE ⊥PA ⊥P ABCD -2R R =3344ππ33V R ===P ABCD -2π3cos cos a B b A b c -=+sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B -=++2sin cos sin B A B -=sin 0B ≠1cos 2A =-()0,πA ∈2π3A =1sin 2ABC S bc A ===△4bc =222222cos a b c bc A b c bc =+-=++()2216b c a bc +=+=4b c +=2b c ==1A 1B 1C 2A 2B 2C ()1241311525P P A A =-=-⨯=（2）甲、乙、丙获得执业医师证书依次为，，，并且与，与，与相互独立，则,,由于事件，，彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：，概率为18．【答案】(1)0.030 (2)84 (3)平均数为62；方差为23【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，解得．（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，显然第75百分位数，由，解得，所以第75百分位数为84；（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，所以；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为19．【答案】(1)见解析【分析】（1）设AB 的中点为E ，连接CE ，,如图所示，因为与均为等腰直角三角形，，故,且,,因为为等边三角形，故,12A A 12B B 12C C 1A 2A 1B 2B 1C 2C ()12412525P A A =⨯=()12321432P B B =⨯=()12224339P C C =⨯=12A A 12B B 12C C ()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++21421421411115295295293P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.050.10.2100.250.11a +++++=0.030a =[)40,800.050.10.20.30.65+++=[)40,900.050.10.20.30.250.9++++=()80,90m ∈()0.65800.0250.75m +-⨯=84m =[)50,601000.110⨯=[)60,701000.220⨯=10562065621020z ⨯+⨯==+()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+1A E ABC △1ABA △1π2ACB A AB ∠=∠=cos 45BC AB ==︒=CE AB ⊥112CE AB ==1112A E AB ==1A BC △1AC BC ==故,即,且AB ，平面，，故平面,且平面ABC ，故平面平面ABC ．（2）①由（1）知，，,且平面平面,故即二面角的平面角，即，故为等边三角形，则，因为，,,且CE ，平面,所以平面设线段中点为F ,则,,而AB ，平面∴平面,又在三角形中易知：∴又在三角形中，由，，又由知：∴求点到平面．②由①知，平面,而,故平面,且平面,故，则,设和的中点分别为M ,N ,连接MN ，BN ，BM ,则,，故,又因为故，且平面,平面,22211AC CE A E =+1CE A E ⊥1A E ⊂1AA B 1A E AB E = CE ⊥1AA B CE ⊂1AA B ⊥CE AB ⊥1A E AB ⊥1AA B ABC AB =1CEA ∠1A AB C --1π3CEA ∠=1CEA △11CA CE ==CE AB ⊥1A E AB ⊥1A E CE E = 1A E ⊂1CA E AB ⊥1CA E 1A E 1CF A E ⊥AB CF ⊥1A E ⊂11ABB A CF ⊥11ABB A 1CEA △CF =1111111332A BB VC A BB CF S -=⋅==△1A BC 11AC =1BC A B ==1A BC S =△1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△d =1B 1ACB AB ⊥1CA E 1AB A B ∥11A B ⊥1CA E 1AC 1CA E 111A B AC ⊥1B C ==1AC 1B C 11MN A B ∥11112MN A B ==1MN AC ⊥1BC A B ==1BM AC ⊥MN ⊂11A B C BM ⊂1A BC故∠BMN 即二面角-的平面角，且因为，故,则所以．故平面与平面．11B AC B --MN ===11BB AA BC ===1BN B C ⊥BN ===222cos 2BM MN BN BMN BM MN +-∠===⋅11B AC 1ACB。

山西省应县第一中学校2017届高三数学10月月考试题 文一．选择题（共12题，每题5分）1.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗,在这4句诗中,哪句可作为命题( )A.红豆生南国B.春来发几枝C.愿君多采撷D.此物最相思 2.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x (x －2)＜1}，B ＝{x |y ＝ln (1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{x |x ≥1} B．{x |x ≤1} C ．{x |0＜x ≤1} D．{x |1≤x ＜2}3．设复数z 的共轭复数为z ，若1z i =-（i 为虚数单位）则2zz z+的值为( ) A.i 3- B.i 2- C.i D.i -4.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝() A ．－43B.54C ．－34D.455．设f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，n∈N ＋，那么f(n ＋1)－f(n)＝()A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋26.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 7.设曲线y ＝x n ＋1(n∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lgx n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为()A ．－4B.-2 C ．4 D.28．下图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是( )A ．25B ．66C ．91D ．1209．已知函数f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 （ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞10．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列， ∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋3B ．3＋3C.3＋33D ．2＋ 311.函数f(x)＝－5x ＋sinx 是定义在R 上，若数列{}n a 是等差数列，且30a <，则()()()()()12345f a f a f a f a f a ++++的值 （ ）A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2) 内，则a －b 的取值范围为( )A ．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)C ．(－∞，1) D ．(－1,1) 二．填空题（共4题，每题5分）13.若圆台的高是3，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成的角是 45°，则其侧面积为_________.14．以下四个命题中，真命题．．．的序号是___________． ①△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin B ；②函数y ＝f (x )在区间(1,2)上存在零点的充要条件是f (1)·f (2)<0； ③等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝±4；④把函数y ＝sin(2－2x )的图象向右平移2个单位后，得到的图象对应的解析式为y ＝sin(4－2x )．15.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；② 若//,//l ααβ，则β//l ；③若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则l 和α平行；上面命题中，真命题．．．的序号（写出所有真命题的序号）.16.设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是________． 三．解答题（共6题，第17题为10分，其余各题每题为12分） 17. （本题满分10分）()设，f x x x a a R ()=-+∈2（）若的两个实根、满足，求的值；102f x a ()=+=αβαβ()（），若，求证：。

广西南宁市第二中学2025届高三上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=1+ii，其中i为虚数单位，则|z|=A. 12B. 22C. 2D. 22.已知向量a=(1,3)，b=(t,1)，若(a−b)//b，则实数t的值为( )A. 13B. 3C. −1D. −1或23.体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是( )A. 98B. 99C. 99.5D. 1004.已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的2倍，则圆柱的表面积为( )A. 8πB. 12πC. 16πD. 24π5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10−S3=35，a3+a10=7，则{a n}的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 46.若函数f(x)=x3+e x−ax在区间[0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A. [0,1)B. (0,1]C. [1,+∞)D. (−∞,1]7.已知f(x)=sin(x+π2)，g(x)=cos(x−π2)，则下列结论中不正确的是( )A. 函数y=f(x)g(x)的最小正周期为πB. 函数y=f(x)g(x)的最大值为12C. 函数y=f(x)g(x)的图象关于点(π4,0)成中心对称D. 将函数f(x)的图象向右平移π2个单位后得到函数g(x)的图象8.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)−1为奇函数，f(x+2)为偶函数，则f(1)+f(2)+⋯+ f(16)=( )A. 0B. 16C. 22D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.对于直线l:(m−2)x+y−2m+1=0与圆C:x2+y2−6x−4y+4=0，下列说法正确的是( )A. l 过定点(2,3)B. C 的半径为9C. l 与C 可能相切D. l 被C 截得的弦长最小值为2710.已知0<β<α<π4，且sin (α−β)=13，tan α=5tan β，则( )A. sin αcos β=56 B. sin βcos α=112C. sin 2αsin 2β=536D. α+β=π611.已知f(x)=2x 3−3x 2+(1−a)x +b ，则下列结论正确的是( )A. 当a =1时，若f(x)有三个零点，则b 的取值范围是(0,1)B. 当a =1且x ∈(0,π)时，f(sin x)<f(sin 2x)C. 若f(x)满足f(1−x)=2−f(x)，则a−2b =2D. 若f(x)存在极值点x 0，且f(x 0)=f(x 1)，其中x 0≠x 1，则2x 0+x 1=32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2023-2024学年辽宁省高三上册10月月考数学质量检测模拟试题．．．．．为了得到π2sin3y⎫=-⎪⎭的图象只需把函数(2cos2sin2y x=+的图象（）．向右平移7π12．向左平移7π12．向右平移7π24．向左平移7π24．下列关于平面向量的说法错误的是（）A．()332f=C．π6ϕ=10．已知钝角三角形ABC(1)求角A 的值；(2)若23BM MC =，求BA 19．某种项目的射击比赛规则是开始时在距离目标(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还12000元，最后一个还贷月应还5000元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3％，银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为17000元，试判断王先生该笔贷款能否获批(不考虑其他因素)．参考数据1191201211.003 1.4281.003 1.4331.003 1.437≈≈≈，，21．设点()()00P t t ≠，是函数()3f x x ax =+与()2g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．(1)求证：2c b ba a =++；(2)若函数()()y f x g x =-在()2,1-上单调递减，求t 的取值范围．22．设函数()()2ln 156f x x ax ax a =-+-+，其中a ∈R ．(1)若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；(2)若2x ∀≥，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．216．22.【分析】设222(0)a b t t +=>，得到）。

师范大学附属中学2021届高三数学10月月考试题文〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】解：A={x|x＜0，或者x＞2}，B={x|﹣3＜x＜3}；∴A∩B={x|﹣3＜x＜0，或者2＜x＜3}，A∪B=R；∵A∩B≠A，且A∩B≠B，∴B⊈A，A⊈B；即B正确．应选：B．,；命题假设，那么，以下命题为真命题的是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】解：命题p：∀x＞0，ln〔x+1〕＞0，那么命题p为真命题，那么￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，那么命题q是假命题，那么￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．应选B．假设与垂直，那么的值是〔〕A. B. C. D. 1【答案】C【解析】解∵∴向量〔1﹣4，3+2m〕=〔﹣3，3+2m〕又∵向量与互相垂直，∴1×〔﹣3〕+3〔3+2m〕=0∴﹣3+9+6m=0⇒m=﹣1应选C，那么〔〕A. B. C. D. 2【答案】A【解析】由题知，那么．故此题答案选．5.锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,那么b等于( )A. 10B. 9C. 8D. 5【答案】D【解析】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,又因△ABC为锐角三角形,所以cosA=.△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,即b2-b-13=0,即b=5或者b=-(舍去),应选D.，，，中，最小正周期为的所有函数个数为〔〕A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】解：函数y=sin|2x|不是周期函数，不满足条件；令y=f〔x〕=|sinx|，那么f〔x+π〕=|sin〔x+π〕|=|﹣sinx|=|sinx|=f〔x〕，∴函数y=|sinx|是最小正周期为π的函数，满足条件；又函数y=sin〔2x+〕的最小正周期为T==π，满足条件；函数y=tan〔2x﹣〕的最小正周期为T=，不满足条件．综上，以上4个函数中，最小正周期为π有2个．应选：B．7.中，满足的三角形有两解，那么边长的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由三角形有两解，那么满足，即，解得：2＜＜，所以边长的取值范围〔2，〕，应选C．的局部图象大致为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】去掉B,D;舍C，选A.的局部图象如下图，那么的单调递增区间为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】解：函数的周期T=2×=2π，即，得ω=1，那么f〔x〕=cos〔x+〕，那么当时，函数获得最小值，那么π+=π+2kπ，即 =+2kπ，即f〔x〕=cos〔x+〕，由2kπ+π＜x+＜2kπ+2π，k∈Z，即2k+＜x＜2k+，k∈Z，即函数的单调递增区间为为〔2k+，2k+〕，应选：D,,分别为三边,,的中点，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】∵分别为的三边的中点，∴．选D．在单调递增，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数f〔x〕=x﹣2sin x cos x+acosx那么：f′〔x〕=1﹣2cos2x﹣a sin x∵f〔x〕在[，]单调递增，即f′〔x〕=1﹣2cos2x﹣a sin x≥0，sin x在[，]上恒大于0，可得：a≤令y==,令可得：y=，〔t∈[]〕∴当t=时，y获得最小值为：2故得应选D点睛：将问题转化为不等式恒成立问题是解决此题的关键，用别离参数法解决恒成立问题时要注意参数系数正负号的讨论.，假设存在唯一的零点，且，那么实数的取值范围为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得f〔x〕=0，即为ax3﹣2x2+1=0，可得a=，令g〔x〕=，g′〔x〕=可得x＜，x＞时，g〔x〕递减；当＜x＜0，0＜x＜时，g〔x〕递增．作出g〔x〕的图象，可得g〔x〕的极大值为g〔〕=，由题意可得当a＞时，f〔x〕存在唯一的零点x0，且x0＜0，应选：D．点睛:将函数零点问题转化为方程a=解问题后，再进一步转化为两函数y=a，的单调性，作出其大致图像后，作图讨论两函数的交点个数问题即可得出实数的取值范围.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。

合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷数学考生注意：1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．设，均为单位向量，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列满足，若，则（ ）A ．2B ．－2C ．－1D ．4．已知实数a ，b ，c 满足，则下列不等式中成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，，则（ ）A．B ．C ．D ．6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）A ．（1）和（10）B ．（4）和（5）C ．（5）和（6）D ．（4）和（6）7．设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．{A x x =<1ln 3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭A B = {x x <{x x <{0x x <<{0x x <<a b 55a b a b -=+a b ⊥ {}n a ()111n n a a +-=11a =-10a =120a b c <<<11a b b a+>+22a b aa b b+<+a b b c a c<--ac bc>a ∈R 2sin cos αα+=tan 2α=433443-34-0.1e1a =-111b =ln1.1c =b c a<<c b a<<a b c<<a c b<<8．定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 都有，．若，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．已知O 为坐标原点，点，，，，则（）A ．B ．C ．D ．10．三次函数叙述正确的是（ ）A ．当时，函数无极值点B ．函数的图象关于点中心对称C ．过点的切线有两条D ．当a <－3时，函数有3个零点11．已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数与3i 在复平面内用向量和表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则与夹角为______．13．函数在上的最大值为4，则m 的取值范围是______．14．设a 、b 、，则______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．（1）求角A ；（2）已知，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求出的面积．()f x ()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭()12024e f =()()0f x f x '+->()11ex f x +>()3,+∞(),3-∞()1,+∞(),1-∞()1cos1,sin1P ()2cos 2,sin 2P -()3cos3,sin 3P ()1,0Q 12OP OP = 12QP QP =312OQ OP OP OP ⋅=⋅ 123OQ OP OP OP ⋅=⋅ ()32f x x ax =++1a =()f x ()f x ()0,2()0,2()f x ()2sin 2f x x =+π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()123f x f x α=+α3π44π76π78π71+OA OB OAOB2x y m m =-+(],2-∞[]0,1c ∈M ABC △cos sin 0a C C b c --=8b =ABC △ABC △条件①：；条件②：；条件③：AC．（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/，年用气量为．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/至2.75元/之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k ）．已知天然气的成本价为2.3元/．（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y （单位：元）关于实际单价x （单位：元/）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））（2）设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?17．（15分）已知函数（a 为常数，且，），且是奇函数．（1）求a 的值；（2）若，都有成立，求实数m 的取值范围．18．（17分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）求函数在处切线方程；（3）若有两解，，且，求证：．19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．（2）①已知，都是正数，求证：；②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．2cos 3B =-7a =3m 3m a 3m 3m 3m 3m 3m 0.2k a =()824x x xa f x a +⋅=⋅0a ≠a ∈R ()f x []1,2x ∀∈()()20f x mf x -≥()()2ln f x x x =-()f x ()f x ()()22e ,ef ()f x m =1x 2x 12x x <2122e e x x <+<12,,,n a a a ⋅⋅⋅12n a a a n++⋅⋅⋅+≥合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷·数学参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案DCCBBCACACABDAC一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】D【解析】，∵，∴．故选D ．2．【答案】C【解析】∵“”，∴平方得，即，则，即，反之也成立．故选C ．3．【答案】C 【解析】因为，，所以，，，所以数列的周期为3，所以．故选C ．4．【答案】B【解析】对于A ，因为，所以，所以，故A 错误；对于B ，因为，所以，故B 正确；对于C ，当，，时，，，，故C 错误；对于D ，因为，，所以，故D 错误．故选B ．5．【答案】B【解析】，则，即，可得，解得或．那么．故选B ．6．【答案】C【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：．131ln 0e 3x x <⇒<<23e 2<661132e 2⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭55a b a b -=+ 222225102510a b a b a b a b +-⋅=++⋅200a b ⋅= 0a b ⋅= a b ⊥111n na a +=-11a =-212a =32a =41a =-{}n a 101a =-0a b <<11a b >11a b b a+<+0a b <<()()()()222220222a b b a a b a b a b a a b b a b b a b b+-++--==<+++2a =-1b =-1c =13b a c =-1a b c =-b aa cb c<--a b <0c >ac bc <2sin cos αα+=()252sin cos 2αα+=2254sin 4sin cos cos 2αααα++=224tan 4tan 15tan 12ααα++=+tan 3α=-1322tan 3tan 21tan 4ααα==-1152151015S x x x =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯若S 取最小值，则函数也取最小值，由二次函数的性质，可得函数的对称轴为，又∵x 为正整数，故或6．故选C 7．【答案】A【解析】构造函数，，则，，当时，，时，，单调递减；时，，单调递增．∴在处取最小值，∴，（且），∴，∴；构造函数，，，∵，，，∴，在上递增，∴，∴，即，∴．故选A ．8．【答案】C【解析】因为是奇函数，所以是偶函数，因为，所以，令，，在R 上单调递增．又因为且是奇函数，所以的周期为3，，则，所以，则不等式，因为在R 上单调递增，所以，即．故选C ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．【答案】AC()()()()22222221210101101210y x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+()2222101101210y x x =-+++⋅⋅⋅+ 5.5x =5x =()1ln f x x x =+0x >()211f x x x'=-0x >()0f x '=1x =01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x '>()f x ()f x 1x =()11f =1ln 1x x>-0x >1x ≠101ln1.111111>-=c b >()1e 1ln x g x x -=--1x >()11ex g x x-'=-1x >1e1x ->11x<()0g x '>()g x ()1,+∞()()10g x g >= 1.11e 1ln1.1-->0.1e 1ln1.1->a c >()f x ()f x '()()0f x f x '+->()()0f x f x '+>()()e xg x f x =()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦()g x ()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭()f x ()f x ()12024e f =()12ef =()212e e e g =⨯=()()()()111e 1e 12ex x f x f x g x g ++>⇒+>⇒+>()g x 12x +>1x >【解析】∵，，，，∴，，，，，，易知，故A 正确；∵，，∴，故B 错误；，，∴，故C 正确；，，故D 错误．故选AC ．10．【答案】ABD【解析】对于A ：，，，单调递增，无极值点，故A 正确；对于B ：因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B 正确；对于C ：设切点，则切线方程为，因为过点，所以，，解得，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；对于D ：，当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，有极大值为，所以若函数有3个零点，有极小值为，得到，故D 正确．故选ABD ．11．【答案】AC【解析】∵，∴，∴，∵对任意的，都存在，使得成立，()1cos1,sin1P ()2cos 2,sin 2P -()()()3cos 12,sin 12P ++()1,0Q ()1cos1,sin1OP = ()2cos 2,sin 2OP =- ()()()3cos 12,sin 12OP =++ ()1,0OQ = ()1cos11,sin1QP =- ()2cos 21,sin 2QP =-- 121OP OP ==1QP= 2QP = 12QP QP ≠ ()3cos 12cos1cos 2sin1sin 2OQ OP ⋅=+=- 12cos1cos 2sin1sin 2OP OP ⋅=- 312OQ OP OP OP ⋅=⋅1cos1OQ OP ⋅= 23cos 2cos3sin 2sin 3cos5cos1OP OP ⋅=-=≠1a =()32fx x x =++()2310f x x '=+>()f x ()()4f x f x +-=()f x()0,2()()1,x f x ()()()111y f x f x x x '-=-()0,2()()()112f x f x x '-=-331111223x ax x ax ---=--10x =()23f x x a '=+3a <-()0f x '=x =,x ⎛∈-∞ ⎝()0f x '>()f x x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x '>()f x ()f x 20f ⎛=> ⎝()f x ()f x 20f =+<3a <-π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]1sin 0,1x ∈()[]12,4f x ∈1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()123f x f x a =+∴，，∴，∴，，在上单调递减．在上单调递增．当时，，，，故A 正确，当时，，，故B 错误，当时，，，，故C 正确，当时，，．故错误．故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】【解析】由题知，，．故本题答案为．13．【答案】【解析】当时，函数的图象是由向上平移个单位后，再向下平移个单位，函数图象还是的图象，满足题意，当时，函数图象是由向下平移m 个单位后，再把x 轴下方的图象对称到上方，再向上平移m 个单位，根据图象可知满足题意，时不合题意．()2min 23f x α+≤()2max 43f x α+≥()2sin 2f x x =+()2min 2sin 3x α+≤-()2max 1sin 3x α+≥-sin y x =π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π4α=23π5π,44x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 3π1sin sin 043x α+=>>-()2min5πsin sin 4x α+==23<-4π7α=24π15π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 15π7π12sin sin sin 14623x α+=>=->-6π7α=26π19π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 6π1sin sin 073x α+=>>-()2min 19πsin sin 14x α+=<4π2sin33=<-8π7α=28π23π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 8π9π1sin sin sin 783x α+=<=<-π6(OA = ()0,3OB = cos ,OA OB OA OB OA OB⋅==⋅π6AOB ∠=π6(],2-∞0m ≤2x y m m =-+2xy =m m 2xy =02m <≤2x y m m =-+2xy =02m <≤2m >故本题答案为．14．【解析】不妨设，则，∴，当且仅当，，，即，，时，等号成立．．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）因为，由正弦定理得．即：，，即，因为，所以，得；（2）选条件②：．在中，由余弦定理得：，即．整理得，解得或．当时，的面积为：，当c=5时，的面积为：，(],2-∞301a b c ≤≤≤≤M=≤=33M =+≤+≤b a c b -=-0a =1c =0a =12b =1c =3+cos sin 0a C C b c +--=sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=()sin cos sin sin 0sin 0A C A C C C --=>cos 1A A -=π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πA <<ππ66A -=π3A =7a =ABC △2222cos a b c bc A =+-222π7816cos3c c =+-⋅28150c c -+=3c =5c =3c =ABC △1sin 2ABC S bc A ==△ABC △1sin 2ABC S bc A ==△选条件③：AC，设AC 边中点为M ，连接BM ，则，，在中，由余弦定理得，即．整理得，解得或（舍）．所以的面积为．16．【解析】（1），；（2）由题意可知要同时满足以下条件：，∴，即单价最低定为2.6元/．17．【解析】（1），因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，；（2）因为，，所以，所以，，令，，，由于在单调递增，所以．18．【解析】（1）的定义域为，，当时，，当时，BM =4AM =ABM △2222cos BM AB AM AB AM A =+-⋅⋅2π21168cos3AB AB =+-⋅2450AB AB --=5AB =1AB =-ABC △1sin 2ABC S AB AC A =⋅⋅=△()2.32.4k y a x x ⎛⎫=+-⎪-⎝⎭[]2.55,2.75x ∈()()[]0.2 2.3 1.2 2.8 2.32.42.55,2.75a a x a x x ⎧⎛⎫+-≥-⎪⎪-⎝⎭⎨⎪∈⎩2.6 2.75x ≤≤3m ()1122x x f x a =⨯+()f x ()()f x f x -=-11112222x x x x a a⎛⎫⨯+=-⨯+ ⎪⎝⎭111202x xa ⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭110a +=1a =-()122x x f x =-[]1,2x ∈22112222x x xx m ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭122x x m ≥+[]1,2x ∈2xt =[]1,2x ∈[]2,4t ∈1y t t=+[]2,4117444m ≥+=()f x ()0,+∞()1ln f x x '=-()0f x '=e x =()0,e x ∈，当时，，故在区间内为增函数，在区间为减函数；（2），，所以处切线方程为：，即；（3）先证，由（1）可知：，要证，也就是要证：，令，，则，所以在区间内单调递增，，即，再证，由（2）可知曲线在点处的切线方程为，令，，∴在处取得极大值为0，故当时，，，则，即，又，，∴．19．【解析】（1）将20分成正整数之和，即，假定乘积已经最大．若，则将与合并为一个数，其和不变，乘积由增加到，说明原来的p 不是最大，不满足假设，故，同理．将每个大于2的拆成2，之和，和不变，乘积．故所有的只能取2，3，4之一，而，所以将取2和3即可．如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p 中2的个数不超过2个．那只能是，最大乘积为；（2）①证明：先证：．令，则，，且，()0f x '>()e,x ∈+∞()0f x '<()f x ()0,e ()e,+∞()2e 0f =()22e 1ln e 1f '=-=-()()22e ,ef ()()201e y x -=--2e 0x y +-=122e x x +>2120e e x x <<<<12212e 2e x x x x +>⇔>-()()()()21112e 2ef x f x f x f x <-⇔<-()()()2eg x f x f x =--()0,e x ∈()()()2ln 2e 2ln e 2e e 0g x x x '=--≥--=()g x ()0,e ()()e 0g x g <=122e x x +>212e x x +<()f x ()2e ,0()2e x x ϕ=-()()()()()222ln e 3ln e m x f x x x x x x x x ϕ=-=---+=--()2ln m x x '=-()m x e x =()0,e x ∈()()f x x ϕ<()()12m f x f x ==()()2222e m f x x x ϕ=<=-22e m x +<10e x <<()()111111112ln 1ln m f x x x x x x x x ==-=+->2122e x x m x +<+<1,,n x x ⋅⋅⋅120n x x =+⋅⋅⋅+1n p x x =⋅⋅⋅11x =1x 2x 1221x x x +=+122x x x =21x +2i x ≥()21,2,,i x i n ≥=⋅⋅⋅22i i x x =+-2i x -()224i i i x x x -≤⇒≤i x 42222=⨯=+i x 202333333=++++++6321458⨯=1ex x -≥()1e x f x x -=-()1e 1x f x -'=-()10f '=()()10f x f ≥=，，，∴②让n 固定，设n 个正实数之和为20，，，要是最大，最大即可，令，其中，，∴时，单调递增，时，单调递减，而，所以这些正实数乘积的最大值为．1-≥1,2,,i n =⋅⋅⋅1111--≥=1n ≥0n ≥12n a a a n ++⋅⋅⋅+≥1,,n x x ⋅⋅⋅120n x x n n +⋅⋅⋅+≤=1220nn p x x x n ⎛⎫=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭20nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭20ln nn ⎛⎫⎪⎝⎭()()20ln ln 20ln tg t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭*t ∈N ()20ln ln e g t t '=-7t ≤()g t 8t ≥()g t ()()()()87787ln 207ln 78ln 208ln 8ln 8ln 7200g g -=---=-⨯>7207⎛⎫⎪⎝⎭。

2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在体积为12的三棱锥中，，平面平面，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若，则的最大值为（ ）ABCD8．设，则（ ）{{},21x A x y B y y ====+A B = (]0,1(]1,2[]1,2[]0,2z 23i z z +=+3iz+=12i+12i-2i+2i-,a b 222a b a b -=-= 1b = a b ⋅=1414-1212-()y f x =[]6,6-()f x ())ln cos f x x x=+())lnsin f x x x=+())ln cos f x x x=-())ln sin f x x x=-()()cos f x x a x =+()y f x =()()π,πf ππ0x y +-=ππ0x y -+=π0x y -+=0x y +=A BCD -,AC AD BC BD ⊥⊥ACD ⊥ππ,,34BCD ACD BCD ∠=∠=,,,A B C D O O 12π16π32π48π()()sin cos2sin αβααβ+=-()tan αβ+202420230.2024log 2023,log 2022,log 0.2023a b c ===A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）A ．事件与事件是互斥事件B ．事件与事件是对立事件C ．事件与事件是相互独立事件D ．事件与事件是互斥事件11．已知，其中，则的取值可以是（ ）A ．eB ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若，则______．13．设是数列的前n 项和，点在直线上，则数列的前项和为______．14．已知点是轴上的动点，且满足的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）设的内角的对边分别为，且，边上的两条中线相交于点．c a b <<b c a <<b a c <<a b c<<{}n a q n n S n n T 2024120242025202511,1,01a a a a a ->><-20242025S S <202420261a a <2024T {}n T {}n T 1,2,3,41A =2A =3A =1A 2A 1A 3A 1A 3A 23A A 13A A 6ln ,6e n m m a n a =+=+e nm ≠e nm +2e23e24e1sin 3α=-()cos π2α-=n S {}n a ()()*,n n a n ∈N 2y x =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()()2,0,1,4,A B M N 、y 4,MN AMN =△P y Q P PQ PB +ABC △,,A B C ,,a b c ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-,BC AC ,AD BE P（1）求；（2）若，求的面积．16．（15分）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：每天看电子产品的时间近视情况超过一小时一小时内合计近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．BAC ∠2,cos AD BE DPE ==∠=ABC △D ABC -ABC △AB ABD △E AD F DC BEF ⊥ABD AD ⊥BEF ABC ⊥ABD BEF BCD αx α()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++0.05α=2χX Y ()P X Y =18．（17分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．19．（17分）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于两点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知，，所以；当时，，所以，取，则，所以，即，综上，．二、多项选择题：ABC ACD CD ．11．【解】令，则，()()ln 1f x x =+()y f x =3x =()()()F x ax f x a =-∈R ()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ()y g x =x m =C )⎛- ⎝C ()2,0M l C ,A B ,A B xDE AE BD P P PAB △0.20240.2024log 0.2023log 0.20241c =>=2024202420242023202320230log 1log 2023log 20241,0log 1log 2022log 20231=<<==<<=1,01,01c a b ><<<<2n >()()ln 1ln ln 10n n n +>>->()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1(ln )(ln )2n n n n n n ++-⎡⎤+⋅--<-⎢⎥⎣⎦()()()2222222222ln 1ln 11ln (ln )(ln )(ln )(ln )(ln )0222n n n n n n n n n ⎡⎤-+-⎡⎤⎛⎫=-=-<-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2023n =2lg2022lg2024(lg2023)0⋅-<220232024lg2022lg2023lg2022lg2024(lg2023)log 2022log 20230lg2023lg2024lg2023lg2024b a ⋅--=-=-=<⋅b a <b ac <<()6ln f x x x =-()661xf x x x-=-='故当时，单调递增，当时，单调递减，，又，不妨设，解法一：记，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，则，又因为，且在上单调递减，所以，则，所以．解法二：由，两式相减，可得，令，则；令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．解法三：，两式相减得，，可得，三、填空题： ；3()0,6x ∈()()0,f x f x '>()6,x ∈+∞()()0,f x f x '<()()6ln ,66lne e ,e n n n m m a n a f m f =+==+∴= e n m ≠06e n m <<<12,e nx m x ==()()()()12,0,6g x f x f x x =--∈()()()()2662(6)1201212x x x g x f x f x x x x x ---=---=-=<--'''()0,6()g x ()0,6()()()()()1260,0,6g x f x f x g x =-->=∈()()()11212f x f x f x ->=()1212,6,x x -∈+∞()f x ()6,+∞1212x x -<1212x x +>e 12n m +>6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+e 6ln e n nm m =-e (1)n t t m=>()()61ln 6ln 6ln 6ln 1,,e ,e 111n n t t t t tt m t m mt m t t t +=-===∴+=---()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->()11ln 2ln 1t g t t t t t+=+-=+-'1ln 1(1)y t t t =+->221110t y t t t-=-=>'()1,+∞()g t '()1,+∞()()10g t g ''>=()1,+∞()g t ()1,+∞()()10g t g >=()1ln 21t t t +>-()61ln e 121n t tm t ++=>-6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+ e 6lne ln n n mm-=-212121ln ln 2x x x xx x -+<<-e 12n m +>79-1n n +24y x =14．【解】设点，则根据点是的外心，，而，则，所以从而得到点的轨迹为，焦点为由抛物线的定义可知，因为，即，当点在线段上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．（2）因为是边上的两条中线与的交点，所以点是的重心．又，所以在中，由余弦定理，所以，又，所以，所以，所以的面积为．()0,M t ()0,4)N t -P AMN V (),2P x t -22||PM PA =2224(2)(2)x x t +=-+-2(2),24t x y t -==-P 24y x =()1,0F 1PF PQ =+4,14PF PB BF PF PB PQ PB +≥=+=++≥3PQ PB +≥P BF ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-222b c a bc +-=2221cos 22b c a BAC bc +-∠==0πBAC <∠<π3BAC ∠=P ,BC AC AD BE P ABC △2,AD BE APB DPE ==∠=∠ABP △22222cos c AB PA PB PA PB APB==+-⋅∠22442433⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭2c =π2,3BE BAC =∠=2AE BE ==24b AE ==ABC △1π42sin 23⨯⨯⨯=16．【解】（1）是边长为的正三角形，为的中点，则．且平面平面，平面平面平面，则平面．（2）由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，可取中点，连接，则．且平面平面，且平面平面，则平面．因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系．是边长为2的正三角形，则可求得高．底面为等腰直角三角形，求得．可以得到关键点的坐标由第（1）问知道平面的法向量可取．设平面的法向量为，且，则，则，解得．则．则平面与平面17．【解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，ABD △2E AD BE AD ⊥BEF ⊥ABD BEF ,ABD BE AD =⊂ABD AD ⊥BEF ABC △ABD △AB O OD ,OD AB OC AB ⊥⊥ABC ⊥ABD ABC ABD AB =OD ⊥ABC ,,OC OA OD O xyz -ABD △OD =ABC △1OC OA OB ===()()()(0,1,0,0,1,0,1,0,0,A B C D -BEF (0,AD =-BCD (),,m x y z = ()(1,1,0,BC CD ==- 0m BC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩)m = cos ,m AD m AD m AD ⋅〈〉===⋅ BEF BCD 0H 220.0550(1025105)4006.349 3.8411535203063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯0.05α=2χ0H ξ则，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．（3）依题意，，事件包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，所以．18．【解】（1）切点为．因为，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为，化简得；（2）由题意可知，则的定义域为，当时，，则在上单调递减；当时，令，即，解得，若；若，则在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；()()()21310510331515C C C 45512069223C C 45591P P P ξξξ⨯+≥==+==+==6991()()1111110,22245525P X Y P X Y ===⨯====⨯=1X Y ==()1122111161C C 2551025P X Y ===⨯⨯+⨯⨯=()()()()1165301242525100P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=()3,ln4()11f x x '=+()134k f ='=()y f x =3x =()1ln434y x -=-48ln230x y -+-=()()ln 1F x ax x =-+()F x ()1,-+∞()()11,1,,11ax a F x a x x x +-=-=∈-'+∞++0a ≤()101F x a x '=-<+()F x ()1,-+∞0a >()0F x '=10ax a +-=11x a=-()11111,01a ax a x F x a a x '-+--<≤=-=≤+()111,01ax a x F x a x +--'>=>+()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()F x ()1,-+∞0a >()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）证明：函数，函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以由．可知曲线关于直线对称．19．【解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，得：，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）如图：①设直线的方程为，并记点，由消去，得，易知，则．由条件，，直线的方程为，直线的方程为()()111ln 1ln 2g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()(),10,-∞-+∞ m ()y g x =x m =()(),10,-∞-+∞ x m =12m =-()()111ln 1ln 211g x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21121lnln ln ln 111x x x x x x x x x x +++=--=-+++()()()11211211lnln ln 1ln ln 1x x x x x x x g x x x x x x+++++=+--=+-=+()y g x =12x =-C 221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠312413m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1612m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 22162x y +=l ()20x my m =+≠()()()112200,,,,,A x y B x y P x y 222,162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()223420m y my ++-=()()222Δ16832410m m m =++=+>12122242,33m y y y y m m --+==++()()12,0,,0D x E x AE ()1212y y x x x x =--BD，联立解得，所以点在定直线上．②，而，所以，则令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以．()2121y y x x x x =--()()2112211212012121222223my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++====++++P 3x =0212121121111312222PAB S AD x x y x y my y my y =⋅-=⋅-=⋅-=-△121212my y y y =+()121212my y y y =+1211211224PABy y S y y y +=-=-==△t =1t >2122PAB t S t t t==≤=++△t =PAB △。

2024届高三年级第二次调研测试数学学科试卷命题人：戴丽美 审题人：张伟萍一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知p ：2log 1x <，则p 的充分不必要条件是（ ）A. 2x < B. 02x << C. 01x << D. 03x <<2. 已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是（ ）A. 8B. 16C. 32D. 363. 已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（ ）A. 5[1,]3B. 5(1,3C. (]5,1(,)3-∞-⋃+∞ D. ()5,1[1,)3-∞- 4. 已知函数()()21,1215,1x a x f x x a x x ⎧+⎪=⎨-++>⎪⎩，…对12,R x x ∀∈，12x x ≠，满足1212()[()()]0x x f x f x -->，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13a <…B. 13a <<C. 512a <<D. 512a <…5. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0,(1)(1)f x f x f x f x -+=+=-，且当(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--，则172f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.12B. 1- C. 12-D. 16. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，其对称中心O 平分线段MN ，且2MN BC =，点E 为DC 的中点，则EM EN ⋅=（ ）A. 3- B. 2- C. 32-D. 12-7. 已知函数()2f x x m =+与函数()11ln 3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 5ln 2,24⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B. 52ln 2,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦C. 5ln 2,2ln 24⎡⎤++⎢⎥⎣⎦D. []2ln 2,2-8. 将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数 ()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则 ω的取值范围是（ ）A. 228(0,][,939B. 2(0,]9C. 28(0,][,1]99D. (0,1]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设函数()sin 22f x x x =+，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. ()f x 的图象关于直线12x π=对称C. ()f x 的一个零点为3x π=D. ()f x1+10. 下列说法中错误的为（）A. 已知()1,2a =r ，()1,1b =r ，且a 与a λb + 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C. 若//a b ，则a 在b方向上的正射影的数量为ar D. 三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭，则O 是ABC V 的内心11. 在现代社会中，信号处理是非常关键技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．()()71sin 2121i i x f x i =-⎡⎤⎣⎦=-∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB. 函数()f x 为偶函数C. 函数()y f x =的图象关于直线π2x =对称D. 函数()f x 导函数()f x '的最大值为712. 设函数()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x []0,2π有且仅有5个零点，则（ ）A. ()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点B. ()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点C. ()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D. ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x 都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.14. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2221cos cos sin sin sin 4A B C B C -+==，且ABC V的面积为a 的值为________．15. 如图，在ABC V 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若ABC V的面积为，则AP的最小值为__________.的的在16. 若函数()cos sin f x a b x c x =++的图象经过点()0,1和π,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数()ln f x x x ax b =++在()()1,1f 处的切线为2210x y --=.（1）求实数,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间.18. 已知函数()2f x x ω=sin cos x x ωω+(0)>ω的最小正周期为π.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若()f x >，求x 取值的集合.19. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得2AM =千米，2AN =千米．（1）求线段MN 的长度；（2）若60MPN ∠=︒，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值．20. 已知函数()2ln f x x ax a x =-+有两个极值点1x ，2x .（1）求a 的取值范围；（2）证明：()()1212242416ln2f x f x x x +++<.21. 设函数()sin xf x e a x b =++.（Ⅰ）当1a =，[)0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围；（Ⅱ）若()f x 在0x =处切线为10x y --=，且方程()2m xf x x-=恰有两解，求实数m 的取值范围.22 已知函数()1sin e xx f x x -=+，ππ,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（1）求证：()f x 在()ππ,2-上单调递增；（2）当()π,0-时，()sin e cos sin xf x x x k x --⎡⎤⎣⎦≤恒成立，求k 的取值范围.的.2024届高三年级第二次调研测试数学学科试卷命题人：戴丽美 审题人：张伟萍一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知p ：2log 1x <，则p 的充分不必要条件是（ ）A. 2x <B. 02x << C. 01x << D. 03x <<【答案】C 【解析】【分析】解出2log 1x <的解集，p 的充分不必要条件是其子集，选出即可.【详解】解：由2log 1x <得02x <<，p 的充分不必要条件是()0,2的子集，C 符合，故选：C.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.2. 已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是（ ）A. 8 B. 16C. 32D. 36【答案】B 【解析】【分析】对196a b+=1≥且96b a ab +=，把()()19a b ++展开得到()()=7919a b ab +++，即可求出最小值.【详解】因为正实数a ，b 满足196a b+=，所以196a b =+≥1≥，当且仅当19=a b 时，即1,33a b ==时取等号.因为196a b+=，所以96b a ab +=，所以()()919=9797916a a b a b b b a +++≥+=+=++.故()()19a b ++的最小值是16.故选：B3. 已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（）A. 5[1,]3B. 5(1,3C. (]5,1(,)3-∞-⋃+∞ D. ()5,1[1,)3-∞- 【答案】A 【解析】【分析】当函数的值域为R 时，命题等价于函数()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，得解【详解】22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++ 的值域为R 令()()22111y a x a x =-+++，则()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，当210a -=时，则1a =±当1a =时，21y x =+符合题意；当1a =-时，1y =不符合题意；当1a ≠±时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，解得513a <≤513a ∴≤≤，即实数a 的取值范围是5[1,]3故选：A【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.4. 已知函数()()21,1215,1xa x f x x a x x ⎧+⎪=⎨-++>⎪⎩，…对12,R x x ∀∈，12x x ≠，满足1212()[()()]0x x f x f x -->，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13a <…B. 13a <<C. 512a << D. 512a <…【答案】D 【解析】【分析】先判断()f x 是R 上的增函数，列关于实数a 的不等式组，即可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意，得()f x 是R 上的增函数，则()11141215a a a a >⎧⎪+⎪⎨⎪+-++⎪⎩……，解得512a <…，故选：D5. 已知定义在R 上函数()f x 满足()()0,(1)(1)f x f x f x f x -+=+=-，且当(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--，则172f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.12B. 1- C. 12-D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，得到(2)()f x f x -=，再结合()()0f x f x -+=，得到(4)()f x f x +=，即()f x 的周期为4，然后利用周期结合当(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--求解.【详解】因为函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x -=，又因为()()0f x f x -+=，所以(2)()f x f x +=-，所以(4)()f x f x +=，又因为(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--，则17118222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f ，2421og 1111112log 12222log 422⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭l f .故选：B【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的综合应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.6. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，其对称中心O 平分线段MN ，且2MN BC =，点E 为DC 的中点，则EM EN ⋅=（ ）的A. 3-B. 2-C. 32-D. 12-【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.【详解】24,2,1MN BC OM OE ====.()()EM EN EO OM EO ON⋅=+⋅+ ()()22143EO OM EO OM EO OM =+⋅-=-=-=- .故选：A7. 已知函数()2f x x m =+与函数()11ln3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 5ln 2,24⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B. 52ln 2,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦C. 5ln 2,2ln 24⎡⎤++⎢⎥⎣⎦D. []2ln 2,2-【答案】D 【解析】【分析】由题可得()()()2ln 3h x f x g x x x x m =+=+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有零点，利用导数研究函数的性质进而可得20ln 22m m -≤≤+-，即得.【详解】原问题等价于()()()2ln 3h x f x g x x x x m =+=+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有零点，而()()()1123211h x x x x x x'=+-=--，∴()1,1,02x h x ⎛⎫'∈<⎪⎝⎭，()h x 单调递减， (]()1,2,0x h x '∈>，()h x 单调递增，又()()1512,2ln 22,ln 224h m h m h m ⎛⎫=-=-+=--+⎪⎝⎭，由1ln 22>可判断()122h h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，因而()h x 的值域为[]2,ln 22m m -+-，又()h x 有零点，有20ln 22m m -≤≤+-，所以[]2ln2,2m ∈-.故选：D.8. 将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数 ()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则 ω的取值范围是（ ）A. 228(0,][,939B. 2(0,]9C. 28(0,][,1]99D. (0,1]【答案】A 【解析】【分析】根据y =Acos （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-，∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-，当k =0时，解2839ω≤≤，当k =-1时，01ω<≤，可得209ω<≤，ω∴∈228(0,][,]939.故答案为：A .【点睛】本题考查函数y =Acos （ωx +φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设函数()sin 22f x x x =+，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. ()f x 的图象关于直线12x π=对称C. ()f x 的一个零点为3x π=D. ()f x1+【答案】ABC 【解析】【分析】先化简，得到()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据三角函数的图像和性质对四个选项一一验证.【详解】函数()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭.对于A ：()f x 的最小正周期为π.故A 正确；对于B ：2sin 2212123πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称.故B 正确；对于C ：2sin 20333πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3x π=是()f x 的一个零点.故C 正确；对于D ：函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()f x 的最大值为2.故D 错误.故选：ABC10. 下列说法中错误的为（）A. 已知()1,2a =r ，()1,1b =r ，且a 与a λb + 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C. 若//a b ，则a 在b方向上的正射影的数量为ar D. 三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫⎪=⋅+= ⎪⎝⎭，则O 是ABC V 的内心【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B ，由124e e = ，可知1e ，2e不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C ，利用向量投影的定义即可判断；对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC V 的内心.【详解】对于A ，已知()1,2a =r ，()1,1b =r ，且a 与a λb +的夹角为锐角，可得()0a a b λ+>⋅ ，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++ ，即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+，解得53λ>-且0λ≠，则实数λ的取值范围是53λ>-且0λ≠，故A 不正确；对于B ，向量，，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，124e e = ，∴向量1e ，2e不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；对于C ，若a b P ，则a 在b上的投影为a ± ，故C 错误；对于D ，AB CA AB CA+ 表示与ABC V 中角A 的外角平分线共线的向量，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，可知OA 垂直于角A 的外角平分线，所以，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 平分线上，点O 在角C 的平分线上，故点O 是ABC V 的内心，D 正确.故选：AC.【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.11. 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．()()71sin 2121i i x f x i =-⎡⎤⎣⎦=-∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB. 函数()f x 为偶函数C. 函数()y f x =的图象关于直线π2x =对称D. 函数()f x 的导函数()f x '的最大值为7的【答案】CD 【解析】【分析】利用周期的定义可判断A 选项的正误；利用奇偶性的定义可判断B 选项的正误；利用函数的对称性可判断C 选项的正误；求得函数()f x 的导数，求出()f x '的最大值，可判断D 选项的正误.【详解】对于选项A ：因为()()()()()7711sin 21πsin 21π21π2121==-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+==--∑∑i i i x i i x f x i i ()()()7711sin π21sin 212121==-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==-=---∑∑i i i x i x f x i i ，即()()πf x f x +=-，可知函数()f x 的最小正周期不为π，故A 错误；对于选项B ：因为sin y x =为奇函数，所以()sin sin x x =--，所以()()71sin 21sin 3sin 5sin 7sin 9sin11sin13sin 2135791113i i x x x x x x xf x x i =-⎡⎤⎣⎦==++++++-∑也是奇函数，故B 错误；对于选项C ：因为()()()()()7711sin 21πsin 21π21π2121==-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-==--∑∑i i i x i i x f x i i ()()()7711sin π21sin 212121==----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦===--∑∑i i i x i x f x i i ，即()()πf x f x -=，所以函数()y f x =的图像关于直线π2x =对称，故C 正确；对于选项D ：因为()sin 3sin 5sin 7sin 9sin11sin13sin 35791113x x x x x xf x x =++++++，所以()cos cos3cos5cos 7cos9cos11cos13f x x x x x x x x '=++++++，因为cos ,cos3,cos5,cos 7,cos9,cos11,cos13x x x x x x x 的取值范围均为[]1,1-，可知()7'≤f x ，当0x =时，()07f '=，所以()f x '的最大值为7，所以D 正确．故选：CD ．12. 设函数()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则（ ）A. ()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点B. ()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点C. ()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D. ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ACD 【解析】【分析】由()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，可得265ωπ5π≤+<ππ可求出ω的范围，然后逐个分析判断即可.【详解】因为()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π有且仅有5个零点，如图所示，所以265ωπ5π≤+<ππ，所以1229510ω≤<，所以D 正确，对于AB ，由函数sin y x =在,2π55ωππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象可知，()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点，有3个或2个极小值点，所以A 正确，B 错误，对于C ，当π0,10x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππππ,55105x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为1229510ω≤<，所以π49ππ1051002ωπ+<<，所以πππ,5105ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭￿π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以C 正确，故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x 都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.【解析】【分析】根据题设凸函数的性质可得1(sin sin sin )sin(33A B CA B C ++++≤即可求最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 333A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.14. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2221cos cos sin sin sin 4A B C B C -+==，且ABC V 的面积为a 的值为________．【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系以及正弦，余弦定理求得角A 的值，再利用正弦定理可得22sin sin sin bc a B C A=，结合ABC V 的面积求出边a 的值.【详解】解：222cos cos sin sin sin A B C B C -+= ，()2221sin 1sin sin sin sin A B C B C ∴---+=，即222sin sin sin sin sin B A C B C -+=，由正弦定理角化边得222b a c bc -+=，2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，22sin sin sin bc a B C A∴=即221sin 43bc a π=，化简得23a bc =，又ABC V的面积为1sin 2ABC S bc A ==V 8bc ∴=224a ∴=解得a =故答案为：15. 如图，在ABC V 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若ABC V的面积为，则AP的最小值为__________.【解析】【分析】用,AC AB表示,CD PD ，利用这两者共线可求m ，求出2AP 后利用基本不等式可求其最小值.【详解】因为2AD DB =，故23AD AB = ，所以23CD AD AC AB AC =-=- ，而211326PD AD AP AB mAC AB AB mAC =-=--=-，因为CD 与PD 为非零共线向量，故存在实数λ，使得2136AB AC AB mAC λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故14,4m λ==，所以1142AP AC AB =+ ，所以2221111+216482AP AC AB AC AB =+⨯⨯⨯⨯，由ABC V的面积为=，故8AC AB ⨯= ，所以22211113164AP AC AB =++≥+= ，当且仅当4,2AC AB ==u u u r u u u r时等号成立.故minAP =，故答案【点睛】思路点睛：与三角形有关的向量问题，如果知道边与夹角的关系，则可以考虑用已知的边所在的向量作为基底向量，其余的向量可以用基地向量来表示，此时模长的计算、向量的数量积等都可以通过基底向量来计算.16. 若函数()cos sin f x a b x c x =++的图象经过点()0,1和π,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】0,4⎡+⎣【解析】【分析】先根据()π01,4f f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭将,b c 转化为a 来表示，由此化简()f x 的解析式，对a 进行分类讨论，根据()f x ≤恒成立列不等式来求得a 的取值范围.【详解】因为()f x 经过点()0,1和π,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以(0)1f a b =+=，π4f a a ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，可得1b c a ==-，故π()(1)cos (1)sin (1)(sin cos ))sin 4f x a a x a x a a x x a a x ⎛⎫=+-+-=+-+=-+ ⎪⎝⎭.因为π02x ≤≤，所以ππ3π444x ≤+≤πsin 14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，为当1a <时，10a ->，可得π1)sin )4a a x a ⎛⎫-≤-+≤- ⎪⎝⎭，所以1())f x a a ≤≤-+，要使()f x ≤≤恒成立，)a a -+≤0a ≥，又1a <，从而01a ≤<；当1a =时，()1[f x =∈；当1a >时，10a -<，所以π1)sin )4a a x a ⎛⎫-≥-+≥- ⎪⎝⎭，所以1())f x a a ≥≥-+，要使()f x ≤≤恒成立，)a a -+≥4a ≤+，又1a >，从而14a <≤+综上所述，a的取值范围为04a ≤≤+.故答案为：0,4⎡+⎣【点睛】求解不等式恒成立的问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，如本题中()f x ≤恒成立，就转化为()f x 的值域，也即三角函数的值域来进行求解.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数()ln f x x x ax b =++在()()1,1f 处的切线为2210x y --=.（1）求实数,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）减区间为1(0,e 增区间为1(,)e +∞【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算f ′（1），f （1）可求出a ，b 的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；【详解】（1）依题意可得：122(1)10(1)2f f --==即()ln f x x x ax b=++ '()ln 1f x x a ∴=++又 函数()f x 在(1,(1))f 处的切线为2210x y --=，1(1)2f =(1)111(1)2f a f a b =+=⎧⎪∴⎨=+'=⎪⎩解得：012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）由（1）可得：f '（x ）＝1+lnx ，当10x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，f '（x ）≤0，f （x ）单调递减；当1x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，∴()f x 的单调减区间为1(0,),e ()f x 的单调增区间为1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．18. 已知函数()2f x x ω=sin cos x x ωω+(0)>ω的最小正周期为π.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若()f x >，求x 取值的集合.【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）x 取值的集合为5,2424x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简()23f x sin x πω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式3222,232k x k πππππ+≤+≤+即可求得函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）()f x >，即sin 23x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由正弦函数的性质得3222,434k x k k Z πππππ+<+<+∈，化简后，写成集合形式即可.试题解析：（Ⅰ） ())21sin cos 1cos2sin22f x x x x x x ωωωωω=+=++-1sin2sin 223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为周期为22ππω=，所以1ω=，故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，（Ⅱ）()f x >sin 23x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由正弦函数得性质得3222,434k x k k Z πππππ+<+<+∈， 解得5222,1212k x k ππππ-+<<+所以5,2424k x k k Z ππππ-+<<+∈，则x 取值的集合为5,2424x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭.19. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得2AM =千米，2AN =千米．（1）求线段MN 的长度；（2）若60MPN ∠=︒，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值．【答案】（1）千米（2）【解析】【分析】（1）在AMN V 中，利用余弦定理运算求解；（2）在PMN V中，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π6PM PN α⎛⎫+=+⎪⎝⎭，进而可得结果.【小问1详解】在AMN V 中，由余弦定理得，2222cos MN AM AN AM AN MAN =+-⋅∠，即222122222122MN ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，可得MN =所以线段MN的长度【小问2详解】设2π0,3PMN α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，因为π3MPN ∠=，所以2π3PNM α∠=-，在PMN V 中，由正弦定理得sin sin sin MN PM PN MPN PNM PMN==∠∠∠，因为sin ∠MN MPN4=，所以24sin 4sin ,4sin 4si π3n PM PNM PN PMN αα⎛⎫=∠==∠= ⎪⎝⎭-，因此4si 2n 4s π3in PM PN αα-⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭14sin 4sin 2ααα⎫=++⎪⎭6sin αα=+＝π6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为2π03α<<，所以6ππ5π66α<+<，所以当ππ62α+=，即π3α=时，PM PN +取到最大值20. 已知函数()2ln f x x ax a x =-+有两个极值点1x ，2x .（1）求a 的取值范围；（2）证明：()()1212242416ln2f x f x x x +++<.【答案】（1）8a >（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，将问题转化为220x ax a -+=在()0,∞+上有两个实数根1x ，2x ，根据二次方程根的分布即可求解，（2）结合1212,22a a x x x x =+=，代入化简式子，将问题转化()2ln 2416ln 242a a g a a a =--++<，利用导数即可求解.【小问1详解】()222a x ax a f x x a x x-+'=-+=,()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()0f x '=在()0,∞+上有两个实数根1x ，2x ，所以220x ax a -+=在()0,∞+上有两个实数根1x ，2x ，则21212Δ800202a a a x x a x x ⎧⎪=->⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩解得8a >，故a 的取值范围为8a >，【小问2详解】由（1）知1212,22a a x x x x =+=，且8a >，()()2212111222121224242424ln ln f x f x x ax a x x ax a x x x x x +++=-++-+++()()()2121212121212242ln x x x x x x a x x a x x x x =++--+++22ln 24ln 2442242a a a a a a a a a a =--++=--++，令()2ln 24(8)42a a g a a a a =--++>，()ln 22a a g a '=-+，令()()()112ln ,02222a a a h a g a h a a a-''==-+=-+=<在8a >上恒成立，为所以()()ln 22a a h a g a '==-+在8a >单调递减，故()()ln 84ln 4022a a g a g ''=-+<=-+<，因此()g a 在8a >单调递减，故()()81688ln 42416ln 2g a g <=--++=，故()2ln 2416ln 242a a g a a a =--++<，得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.21. 设函数()sin xf x e a x b =++.（Ⅰ）当1a =，[)0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围；（Ⅱ）若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，且方程()2m x f x x -=恰有两解，求实数m 的取值范围.【答案】（I ）1b ≥-（II ）10m e -<<【解析】【详解】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小值大于等于0即可；（2）根据切线得到0a =，2b =-，方程22x m x e x --=有两解，可得22x xe x m x -=-，所以x xe m =有两解，令()x g x xe =，研究这个函数的单调性和图像，使得常函数y=m ，和()x g x xe =有两个交点即可.解析：由()sin xf x e a x b =++，当1a =时，得()cos xf x e x '=+.当[)0,x ∈+∞时，[]1,cos 1,1xe x ≥∈-，且当cos 1x =-时，2,x k k N ππ=+∈，此时1x e >.所以()cos 0xf x e x =+>'，即()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()min 01f x f b ==+，由()0f x ≥恒成立，得10b +≥，所以1b ≥-.（2）由()sin xf x e a x b =++得()cos x f x e a x =+'，且()01f b =+.由题意得()001f e a '=+=，所以0a =.又()0,1b +在切线10x y --=上.所以0110b ---=.所以2b =-.所以()2xf x e =-.即方程22x m x e x --=有两解，可得22x xe x m x -=-，所以x xe m =.令()x g x xe =，则()()1x g x e x '=+，当(),1x ∈-∞-时，()0g x '<，所以()g x 在(),1-∞-上是减函数.当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()1,-+∞上是减函数.所以()()min 11g x g e=-=-.又当x →-∞时，()0g x →；且有()10g e =>.数形结合易知：10m e-<<.点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.22. 已知函数()1sin e x x f x x -=+，ππ,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（1）求证：()f x 在()ππ,2-上单调递增；（2）当()π,0-时，()sin e cos sin x f x x x k x --⎡⎤⎣⎦≤恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）π12k ≤+【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，判断导数在()ππ,2-的取值范围，从而证明()f x 的单调性；（2）由题意可得1cos sin x x k x --≤，分离参数得到 1cos sin x x k x --≤，求出1cos ()sin x x g x x--=导数，判断其单调区间，找出最小值即可.小问1详解】()1sin e x x f x x -=+，ππ,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()2cos e x x f x x -'=+，由()π,0x ∈-，有22x -≥，11e x >，则22e x x ->，又1cos 1x -≤≤，则()2cos 120e x x f x x -'=+>-+>.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x ≥，20x ->，所以()2cos 0e xx f x x -'=+> 所以当()ππ,2-时，()0f x ¢>，综上，()f x 在()ππ,2-上单调递增.【小问2详解】()sin e cos sin x f x x x k x --⎡⎤⎣⎦≤.化简得1cos sin x x k x --≤.当()π,0x ∈-时，sin 0x <，所以1cos sin x x k x --≤，设()1cos sin x x g x x--=，()()()221sin sin cos 1cos sin 1cos cos sin sin x x x x x x x x x g x x x +-+='--+-=设()sin 1cos cos h x x x x x =+-+，()()cos cos sin sin 1sin h x x x x x x x x =-+-=-'.()π,0x ∈- ，10x ∴-<，sin 0x <，()0h x '∴>()h x ∴在()π,0-上单调递增，又由π02h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以当ππ,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0h x <，()0g x '<，()g x ∴在ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x ∴>，()0g x '>，()g x ∴在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min π1ππ21212g x g --⎛⎫=-==+ ⎪-⎝⎭，【故π12k ≤+.【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题在定义域内，若()g x k ≥恒成立，即()min g x k ≥；在定义域内，若()g x k ≤恒成立，即()max g x k ≤.。

赤峰二中 2022级高三上学期第二次月考数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知全集U =R ，集合{}50,2x A x B x x x ⎧⎫-=<=>⎨⎬⎩⎭，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}25x x << B. {}25x x ≤<C. {}02x x << D. {}02x x <≤【答案】D 【解析】【分析】确定集合A ，然后根据文氏图的概念及集合的运算求解．【详解】由题意5{|0}{|05}x A x x x x-=<=<<，{|2}U B x x =≤ð阴影部分为{|02}U A B x x =<≤ ð.故选：D ．2. 命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ）A. 3(,0),0x x x ∀∈-∞+< B. 3(,0),0x x x ∀∈-∞+≥C. [)30,,0x x x ∞∃∈++< D. 3[0,0x x x ∃∈+∞+≥),【答案】C 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定判断即可.【详解】命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30,,0x x x ∞∃∈++<.故选：C3. 已知0a b c >>>，则下列不等式正确的是（ ）A 2a c b+> B. 2b ac> C. ()()110a b --> D. ()()a c a b c b->-【答案】D 【解析】【分析】运用特殊值判断A,B,C,运用不等式性质推断D.【详解】取4a =，3b =，1c =，则2a c b +<，故A 错误；取5a =，2b =，1c =，则2b ac <，故B 错误；取2a =，12b =，则()()110a b --<，故C 错误；因为0a b c >>>，所以a c b c ->-，所以()()a c a b c b ->-，故D 正确．故选：D4. 设0.13592,lg ,log 210a b c ===，则（ ）．A. b c a >> B. b a c>> C. a c b>> D. a b c>>【答案】D 【解析】【分析】依题意可得1a >，01b <<，0c <，进而可得结果.【详解】因为0.10221a =>=，50lg lg1012b <=<=，339log log 1010c =<=，所以a b c >>.故选：D.5. 数列{}n a 满足11a =，且对于任意的n *∈N 都满足 131nn n a a a +=+，则数列{}1n n a a +的前n 项和为（ ）A.131n + B.31+n n C.132n - D.32n n -【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列{}n a 的通项，再利用裂项相消法求和即可.【详解】依题意，由131n n n a a a +=+，得1113n n a a +=+，故数列1{}na 是首项为1，公差为3的等差数列，所以113(1)32n n n a =+-=-，则111111((32)(31)33231n n a a n n n n +==--+-+，.所以数列{}1n n a a +的前n 项和为11111111111[((()((1)31447710323133131n n n n n -+-+-++-=-=-+++ .故选：B6. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温25C 下，某种绿茶用85C 的水泡制，经过min x 后茶水的温度为C y ，且()0.9227250,R xy k x k =⋅+≥∈.当茶水温度降至60C 时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）（参考数据：ln20.69,ln3 1.10,ln7 1.95,ln0.92270.08≈≈≈≈-）A. 6min B. 7minC. 8minD. 9min【答案】B 【解析】【分析】根据初始条件求得参数k ，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间x ．【详解】由题意可知，当0x =时，85y =，则8525k =+，解得60k =，所以600.922725x y =⨯+，当60y =时，60600.922725x =⨯+，即70.922712x=，则0.92277ln7ln 7ln1212log 12ln 0.9227ln 0.9227x -===ln 72ln 2ln 3 1.9520.69 1.107ln 0.92270.08---⨯-=≈≈-，所以茶水泡制时间大的为7 min.故选：B.7.函数||()1x f x e =--的大致图象为A.B.C. D.【答案】C 【解析】分析】先研究函数的奇偶性，得到()f x 是偶函数，研究当0x ≥时函数的单调性，又(0)0f =，即得解.【详解】||||()2||12||1()x x f x e x e x f x --=---=--= 故()f x 是偶函数，当0x ≥时，()21x f x e x =--，()2x f x e '=-，令()0f x '>，解得ln 2x >；令()0f x '<，解得ln 2x <即()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，又(0)0f =，故选：C【点睛】本题考查了通过函数的奇偶性，单调性研究函数的图像和性质，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.8. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()4()2f x x f f ++=，()21f x +是奇函数，11()22f =则（ ）A.17111(22k f k =-=-∑B. 1711()02k f k =-=∑C. 171117()22k kf k =-=-∑ D.171117()22k kf k =-=∑【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 的周期，及(1)(1)0f x f x -+++=和(2)()0f x f x ++=，再逐项计算判断得解.【详解】由()4(()2)f f f x x ++=，得()4((24))f x x f f +++=，则(4)()f x f x +=，即函数()f x 的周期为4，【由(21)f x +是R 上的奇函数，得(21)(21)f x f x -+=-+，即(1)(1)0f x f x -+++=，于是13()()022f f +=，5751()()(()02222f f f f +=+-=，即1357(()()()02222f f f f +++=，因此17113571()()(2()](1622222111()4[()22k f k f f f f f f =-==++++=+∑，AB 错误；由()4((24))f x x f f +++=，取0x =，得(2)0f =，则(4)(0)(2)0f f f ==-=，因此(2)()0f x f x ++=，取32x =，得37((022f f +=，于是1357135737(2(3()4()[(()]3[()()](()022********f f f f f f f f f f +++=+++++=，则17113571()2(3()4(17(162222117()4[222k k f f f f f f k =++=+-=++∑，C 错误，D 正确.故选：D【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题求的，全部选对的得6分，有选错的得0分)9. 已知p ：260x x +-=；q ：10ax +=.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的值可以是（ ）A. ﹣2B. 12-C.13D. 13-【答案】BC 【解析】【分析】根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由题意得{: 3 2}p A =-，，当0a =时，q B =∅：，当0a ≠时，1q B a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭：，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B ￿ A ，所以0a =时满足题意，当13a -=-或12a -=时，也满足题意，解得13a =或12a =-，故选：BC【点睛】本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题.10. 已知0,0a b >>且2a b +=， 则下列不等式恒成立的是（ ）.A. ²²a b +的最小值为2B. 12a b+的最小值为3+C. ab 的最大值为 1D.的最大值为2【答案】ACD 【解析】【分析】配方后使用基本不等式可判断A ；利用常数代换可判断B ；直接使用基本不等式可判断C ；先利用基本不等式求2的最大值，然后可判断D .【详解】对A ，()22²²24222a b a b a b ab +⎛⎫+=+-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，A 正确；对B ，()(1211212133222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当21b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,2a b =-=-时等号成立，B 错误；对C ，212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，C 正确；对D，()224a b a b =++≤+=，当且仅当1a b ==时等号成立，2≤，D 正确故选：ACD11. 设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项正确的是（ ）A. 4945S S q S =+B. 若20252020T T =，则20231a =C. 若194a a =，则当2246a a +取得最小值时，1a =D. 若21()n n n a T +>，则11a <【答案】AB 【解析】【分析】由前n 项和的定义以及等比数列性质分析判断A ；由题意结合等比数列性质分析判断B ；根据题意.结合基本不等式知：当且仅当462a a ==时，2246a a +取得最小值，进而可得结果判断C ；举反例说明即可D.【详解】由数列{}n a 为正项等比数列，得10,0,0n a q T >>>，对于A ，9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+，即4945S S q S =+，A 正确；对于B ，由20252020T T =，得5202520212022202320242025202320201T a a a a a a T =⋅⋅⋅⋅==，则20231a =，B 正确；对于C ，由19464a a a a ==，得22446628a a a a +≥=，当且仅当462a a ==时取等号，若2246a a+取得最小值，则462a a ==，即34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩，解得121a q =⎧⎨=⎩，C 错误；对于D ，例如11,2a q ==，则12n n a -=，()101112121222222n n n n n nT a a a --++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==，得22(1)2221()(2)2,[2]2n n n n nn nnn naT --+====，而*n ∈N ，22n n n >-，则2222n n n->，即21()n n n a T +>，符合题意，但11a =，D 错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题判断选项D 的真假，构造符合条件的数列，计算判断是关键.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分． 把答案填在题中横线上)12. 若曲线e x y =在点(0,1)处的切线也是曲线()ln 1y x a =++的切线，则a =_________.【答案】1【解析】【分析】先求出曲线e x y =在(0,1)的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为0(x ,0ln(1))x a ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x 表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解【详解】由e x y =，得e x y '=，001|e x y ==='，故曲线e x y =在(0,1)处的切线方程为1y x =+；由()ln 1y x a =++，得11y x '=+，设切线与曲线ln(1)y x a =++相切的切点为0(x ,0ln(1))x a ++，由两曲线有公切线得0111y x '==+，解得00x =，则切点为(0,)a ，切线方程为y x a =+，根据两切线重合，解得1a =．故答案为：1．13. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[3]3=.若1111222x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则x 的取值范围是_________.【答案】[)1,3【解析】【分析】依题意可得则112x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦且11022x ⎡+⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，从而得到不等式组，解得即可.【详解】解：依题意，因为1111222x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若102x +⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，则11022x ⎡+⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，不符题意；若122x +⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦，则11122x ⎡+⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，不符题意；若112x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则11022x ⎡+⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，满足条件，则1122x +≤<.解得13x ≤<，即[)1,3x ∈.故答案为：[)1,3.【点睛】本题考查新定义运算，不等式的解法，属于中档题.14. 已知实数()()1,0ln 1,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若关于x 的方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，则t 的取值范围为___________.【答案】[)0,1【解析】【分析】画出f(x)的图象，根据图象特点，要想方程()()2340fx f x t -+=有四个不同的实数根，需要令()f x m =，这样2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，才会有四个交点.【详解】当0x ≤时，()()ln 1f x x =-，单调递减，当0x >时，()1x e f x x -=，()()121x e x f x x --'=，当1x >时，()0f x ¢>，()1x ef x x-=单调递增，当01x <<时，()0f x ¢<，()1x ef x x-=单调递减，在1x =时，f(x)取得最小值，()11f =画出f(x)的图象如图所示：令()f x m =，则方程为2340m m t -+=，要想方程()()2340fx f x t -+=有四个不同的实数根，结合f(x)的图象可知需要满足：2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，令()234g m m m t =-+，则()()161201000t g g ∆=->⎧⎪<⎨⎪≥⎩ ，解得：01t ≤<t 的取值范围[)0,1故答案为：[)0,1【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知()sin cos 0,πθθθ+=∈.（1）求sin cos θθ-的值；（2）求()()cos 22025πtan 2025πθθ+++的值.【答案】（1）sin cos θθ-=（2）115-【解析】【分析】（1）已知式平方后，结合平方关系确定sin ,cos θθ的符号后，再利用平方关系求得sin cos θθ-；（2）（1）小题结论与已知联立方程组解得sin ,cos θθ，由商数关系得tan θ，再利用诱导公式、二倍角公式化简变形后求值．【小问1详解】因为sin cos θθ+=22(sin cos )5θθ+=，所以212sin cos 5θθ+=，即32sin cos 05θθ=-<.因为()0,πθ∈，则sin 0θ>，所以cos 0,sin cos 0θθθ<->，因为28(sin cos )12sin cos 5θθθθ-=-=，所以sin cos θθ-=【小问2详解】由sin cos sin cos θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得sin θθ==，所以sin tan 3cos θθθ==-；所以()()229111cos 22025πtan 2025πcos2tan sincos tan 310105θθθθθθθ+++=-+=-+=--=-.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，其中11a =，且112n n a S -=.（1）求{}n a 的通项公式.（2）设n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21,113,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ （2）132(2)(2n n T n -=+-⋅【解析】【分析】（1）根据题意，得到2n ≥时，132n n a a +=，再由211122a S ==，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）得到21,113,222n n nb n n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，结合乘公比错位法求和，即可求解.【小问1详解】由112n n a S -=，可得12n n a S -=，则12n n a S +=，两式相减，可得122n n n a a a +-=，即123n n a a +=，又由211111222a S a ===，易知0n a ≠，所以当2n ≥时，132n n a a +=，所以数列{}n a 的通项公式为21,113,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】因为n n b na =，可得21,113,222n n n b n n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则01221313131312(3(4(()22222222n n T n -=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅ ，所以123133131313132(3(4((2222222222n n T n -=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅ ，两式相减得12321111333313[()()()()]()222222222n n n T n ---=+++++-⋅⋅212133[1()]11131331322([1()](322222222212n n n n n n -----=+⨯-⋅⋅=-⋅--⋅⋅-，所以21133313[()1]()2(2)(222n n n n T n n ---=--⋅-+⋅=+-⋅.17. 已知函数31()3x x f x a+=+为奇函数．（1）解不等式()2f x >；（2）设函数33()log log 39x x g x m =⋅+，若对任意的1[3,27]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得12()()g x f x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(0,1)；（2）94m ≥.【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义直接可得参数值，化简不等式，结合指数函数性质解不等式.（2）由（1）可得2()f x 的值域A ，再利用换元法设3log t x =，可得1()g x 的值域B ，根据B A ⊆，列不等式可得解.【小问1详解】函数31()3x x f x a+=+中，30x a +≠，由()f x 是奇函数，得()()0f x f x +-=，即3131033x x x x a a--+++=++，整理得(1)(332)0x x a -+++=，解得1a =-，函数312()13131x x x f x +==+--定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，由()2f x >，得21231x +>-，即2131x >-，整理得0312x <-<，解得01x <<，所以不等式()2f x >的解集为(0,1).【小问2详解】因为函数31x y =-在(]0,1上单调递增，故当01x <≤时，0312x <-≤，由（1）得31()31+=-x x f x 在(0,1]x ∈的值域[2,)A =+∞，又3333g 39()log log (log 1)(lo 2)x x g x m x x m =⋅+=--+，[3,27]x ∈设3log t x =，则[]1,3t ∈，2(1)(2)32y t t m t t m =--+=-++，当32t =时，min 14y m =-+，当3x =时，max 2y m =+，因此函数()g x 在[3,27]x ∈上的值域1[,2]4B m m =-++，由对任意的1[3,27]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得12()()g x f x =成立，得B A ⊆，于是124m -+≥，解得94m ≥，所以实数m 的取值范围是94m ≥.18. 已知函数()2ln f x x mx =-，()212g x mx x =+，R m ∈，令()()()F x f x g x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）2【解析】【分析】（1）求导，分0m ≤与0m >分类讨论，然后利用导函数的正负来确定单调性即可；（2）构造函数()()()()211ln 112G x F x mx x mx m x =--=-+-+，利用导数求函数()G x 的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题即可；【小问1详解】因为()()2ln 0f x x mx x =->，所以()21122mx f x mx x x -='=-，当0m ≤时，()0f x '>，所以()f x 在区间(0,+∞)上单调递增；当0m >时，令()0f x '>，即2120mx ->，又0x >，解得0x <<令()0f x '<，即2120mx -<，又0x >，解得x >，综上，当0m ≤时，()f x 的增区间为(0,+∞)，无减区间；当0m >时，()f x的增区间为⎛⎝，减区间为∞⎫+⎪⎪⎭【小问2详解】令()()()()211ln 112G x F x mx x mx m x =--=-+-+，所以()()()21111mx m x G x mx m x x-+-+=-+-='．当0m ≤时，因为x >0，所以()0G x '>．所以()G x 在()0,∞+上是单调递增函数，又因为()()2131ln11112022G m m m =-⨯+-+=-+>，所以关于x 不等式()0G x ≤不能恒成立，即关于x 的不等式()1F x mx ≤-不能恒成立．当m >0时，()()()21111m x x mx m x m G x x x ⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭=='．令()0G x '=，得1x m =，所以当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x '>；当1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0G x '<．因此函数()G x 在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是增函数，在1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭是减函数．故函数()G x 的最大值为()2111111ln 11ln 22G m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令()1ln 2h m m m =-，()2112h m m m=-'-，当()0,m ∞∈+时，()0h m '<所以()h m 在()0,m ∞∈+上是减函数，又因为()1102h =>，()12ln204h =-<，所以当2m ≥时，()0h m <，所以()0G x <恒成立，即()1F x mx ≤-恒成立所以整数m 的最小值为2．的【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键是分0m ≤与0m >进行分类讨论，第（2）的关键是通过移项构造函数()()21=ln 112G x x mx m x -+-+，把恒成立问题转化为求函数()G x 的最值问题.19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为n a ；若n 为奇数，则对31n +不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为n a .若1n a =，则称正整数n 为“理想数”.（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知9m a m =-.求m 的值；（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()*7N 3n S n <∈.【答案】（1）2和5为两个质数“理想数”（2）m 的值为12或18（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道9m a m =-必为奇数，则m 必为偶数，结合整除知识得解；（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19，212=，故21a =，所以2为“理想数”；33110⨯+=，而1052=，故3不是“理想数”；35116⨯+=，而41612=，故5是“理想数”；37122⨯+=，而22112=，故7不是“理想数”；311134⨯+=，而34172=，故11不是“理想数”；313140⨯+=，而4058=，故13不是“理想数”；317152⨯+=，而52134=，故17不是“理想数”；319158⨯+=，而58292=，故19不是“理想数”；2∴和5为两个质数“理想数”；【小问2详解】由题设可知9m a m =-必为奇数，m ∴必为偶数，∴存在正整数p ，使得92p m m =-，即9921p m =+-：921p ∈-Z ，且211p -≥，211p ∴-=，或213p -=，或219p -=，解得1p =，或2p =，1991821m ∴=+=-，或2991221m =+=-，即m 的值为12或18．【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如()*2k k ∈N 的整数，下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：((((022*******,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦ ，若奇数1m >，不妨设(2222,2k k m -⎤∈⎦，若m 为"理想数"，则(*3112s m s +=∈N ，且)2s >，即(*213s m s -=∈N ，且)2s >，①当(*2s t t =∈N ，且)1t >时，41(31)133t t m -+-==∈Z ；②当()*21s t t =+∈N 时，2412(31)133t t m ⨯-⨯+-==∉Z ；(*413t m t -∴=∈N ，且)1t >，又22241223t k k --<<，即1344134k t k -⨯<-≤⨯，易知t k =为上述不等式的唯一整数解，区间(2222,2k k -]存在唯一的奇数"理想数"(*413k m k -=∈N ，且)1k >，显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为()*413k m k -=∈N ，∴所有的奇数"理想数"的倒数为()*341k k ∈-N ，1133134144441k k k ++<=⨯--- 1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯= ⎪⎝⎭-- ，即()*73n S n <∈N ．【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。

高三数学自主学习效果评估2024.10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知角的终边上一点，则（ ）A.B. C. D.不确定2.已知集合，，则集合的真子集个数为（ ）A.7B.4C.3D.23.设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.函数的图象大致为（ ）A. B.C.D.5.已知函数，，若与的图象在上有唯一交点，则实数（ ）A.2B.4C.D.16.在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（）A.等腰三角形但一定不是直角三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形但一定不是等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.已知不等式（其中）的解集中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（）α(3,4)(0)P t t t ≠sin α=4545-45±{|04}A x x =∈<<N {1,0,1,2}B =-A B I a b log 3log 31a b >>33a b <||1cos ()ex x xf x -=()()e e 21x xf x a x -=++-2()2g x x ax =-+()f x ()g x (1,1)x ∈-a =12ABC △A B C a b c 2222sin()sin()a b A B a b A B ++=--ABC △23ln(1)2a x x x ++>0x >aA. B. C. D.8.已知定义在上且无零点的函数满足，且，则（ ）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.命题：“，都有”的否定为“，使得”B.设定义在上函数，则C.函数D.已知，，，则，，的大小关系为10.已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且.当时，.则下列选项正确的是（ ）A. B.C.为奇函数D.为上的减函数11.已知函数，则（ ）A.函数的最小正周期为B.函数的图象为中心对称图形C.函数在上单调递增D.关于的方程在上至多有3个解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(3,8][3,8)932,ln 4ln 5⎡⎫⎪⎢⎣⎭932,ln 4ln 5⎛⎤⎥⎝⎦(0,)+∞()f x ()(1)()xf x x f x '=-(1)0f >1(1)(2)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭1(2)(1)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭1(2)(1)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭1(2)(1)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭(1,)x ∀∈+∞21x >(,1]x ∃∈-∞21x ≤R 3log (1),(4)()(1),(4)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩(1)1f =()f x =[1,)+∞2log 0.3a =0.32b =sin 2c =a b c a c b<<()f x R x y ()()()1f x y f x f y -=-+(1)0f =0x >()1f x <(0)1f =(2)2f =-()1f x -()f x R π()|sin |cos 6f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x 2π()f x ()f x 5π2π,3⎛⎫--⎪⎝⎭x ()f x a =[π,π]-12.计算：______.13.已知幂函数的图象过点，则的解集为______.14.已知的角，，满足，其中符号表示不大于的最大整数，若，则______.四、解答题：本小题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题13分）已知函数（，，）的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.16.（本题15分）为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关.现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查.分数人数1015452010（1）求样本中学生分数的平均数（每组数据取区间的中点值）；（2）假设分数近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数（每组数据取区间的中点值），近似为样本方差，若该校有4000名学生参与答题活动，试估计分数在内的学生数（结果四舍五入）；（3）学校规定：分数在内的为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分；只有第一关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；对两关均闯关成功的学生记德育学分10分.在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关成功的概率均为，同学之间第二关闯关是相互独立的。

2024-2025学年第一学期高三年级10月学情调研测试数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，若，则实数的值为（ ）A. B. C.12D.62.已知，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（A. B.C. D.4.若，则点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数图象关于对称，则（）A. B. C. D.7.如图，在四边形中，的面积为3，{}{}21,2,3,4,70U Mx x x p ==-+=∣{}U 1,2M =ðp 6-12-,a b ∈R 1122log log a b >22a b <x 20x bx c ++>{2xx <-∣5}x >x 210cx bx ++>)11,,25∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,,52∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,25⎛⎫- ⎪⎝⎭11,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ24α-<<-()sin cos ,tan sin P αααα+-()11,2,2x a x x f x xa x -⎧+-≥⎪=⎨⎪<⎩R a ()0,1(]1,2(]1,4[]2,4()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<π6π6x =ϕ=π6π32π35π6ABCD ,cos AB AD B ACB BC ACD ∠⊥===V则长为（ ）8.已知函数的定义域均是满足，，则下列结论中正确的是（ ）A.为奇函数B.为偶函数C.D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各结论正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.命题“，有”的否定是“，使”的最小值为2D.若，则10.某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是（ ）A.越大，该物理量在一次测量中在的概率越大B.该物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5C.该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等D.该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等11.已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（）A.的图像关于轴对称CD ()(),f x g x (),f x R ()()()()40,021f x f x g g ++-===()()()()g x y g x y g x f y ++-=()f x ()g x ()()11g x g x --=-+()()11g x g x -=+0x y≥0xy ≥0x ∀>20x x +>0x ∃>20x x +≤+0,0a b m <<<a a m b b m+>+()210,N σσ()9.8,10.2()9.8,10.2()9.9,10.3()cos2cos f x x x =+()f x yB.不是的一个周期C.在区间上单调递减D.当时，的值域为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________.13.已知__________.14.若对一切恒成立，则的最大值为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知（1）化简；（2）若，求的值.16.（15分）已知三棱锥底面，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上.（1）若平面，求证：为的中点；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的余弦值.17.（15分）在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年π()f x ()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 2⎤⎥⎦2,20x x x a ∀∈-+>R a πsin sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ln 2ax x b ≥+()0,x ∞∈+b a()()()23ππsin cos tan π22πsin πcos 2f αααααα⎛⎫⎛⎫-+⋅-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()fα()2f α=3cos2sin2αα-,A BCD AD -⊥,,4,2BCD BC CD AD BC CD ⊥===P AD Q BC M DQ PM ∥ABC M DQ Q BC DQ ABC的月份”线性相关.根据统计得下表：月份123456销量101931455568（1）根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程.请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？（2）该销售商从当年的前6个月中随机选取2个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望18.（17分）已知锐角的内角，所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求面积的取值范围.19.（17分）已知函数.（1）讨论在区间上的单调性；（2）若在上有两个极值点.①求实数的取值范围：②求证：.xy x y ˆ10yx t =+X X ABC V A B C ､､a b c ､､1cos c A b A=B 2b =ABC V ()()2e 23x f x x a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦()f x R ()f x ()0,312,x x a ()()2124e f x f x <2024—2025学年第一学期高三年级10月学情调研测试参考答案1.C2.A3.C4.C5.B6.D7.B8.D9.BD 10.BC 11.ABD12. 13.14.13.（1）.（2）由（1）得，所以14.（1）连结因为平面平面，平面平面，所以，又因为是的中点，所以是中点.（2）方法一：因为底面，如图建立坐标系，则，可得，，设平面的法向量为，则，令，则，可得，(],1∞-19-12()()()()2cos sin tan tan sin sin f ααααααα-⋅⋅==--⋅-tan 2α=-()22223cos sin 2sin cos 3cos2sin2sin cos αααααααα--⋅-=+2233tan 2tan 31241tan 141ααα---+===-++AQPM∥,ABC PM ⊂ADQ ADQ ⋂ABC AQ =PM ∥AQ P AD M DQ AD ⊥,BCD BC CD ⊥()()()()2,0,0,0,2,0,2,0,4,0,1,0D B A Q ()2,1,0DQ =- ()()2,0,4,0,2,0CA CB == ABC (),,n x y z = 24020n CA x z n CB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 0,20y x z ∴=+=1z =0,2y x ==-()2,0,1n =-，设直线与平面所成角为，又则.因此直线与平面所成角的余弦值为.方法二：过点作交于，连接，因为底面底面，则，且平面，则平面，由平面，可得，且，平面，所以平面，可知即为直线与平面所成角.在中，，则，所以，又则.所以直线与平面所成角的余弦值为.17.解：（1），，又回归直线过样本中心点，所以，得，4cos ,5DQ n DQ n DQ n⋅<>=== DQ ABC 4,sin cos ,5DQ n θθ∴=<>= π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3cos 5θ=DQ ABC 35D DN AC ⊥AC N QN AD ⊥,BCD BC ⊂BCD AD BC ⊥,,,BC CD AD CD D AD CD ⊥⋂=⊂ACD BC ⊥ACD DN ⊂ACD BC DN ⊥AC BC C ⋂=,AC BC ⊂ABC DN ⊥ABC DQN ∠DQ ABC Rt ACD V 2,4CD AD ==AC =DN =DQ QN ==3cos 5QN DQN QD ∠==DQ ABC 35123456 3.56x +++++==101931455568386y +++++==()x y 3810 3.5t =⨯+3t =所以，当时，，所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售73台；（2）因为，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为，所以所以所以的分布列为：012故数学期望18.（1）由，得，即根据正弦定理，得.因为，所以，即因为，所以，所以，又则.（2）在中由正弦定理得：所以，ˆ103yx =+7x =ˆ73y =38y =4,5,60,1,2X =()()()21123333222666C C C C 1310,1,2C 5C 5C 5P X P X P X ⋅=========X XP 153515()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=1cos c A b A =1cos c b A =sin cos c A b A =+sin sin sin cos C B A B A =+()()sin sin πsin C A B A B ⎡⎤=-+=+⎣⎦sin cos cos sin sin sin cos A B A B B A B A +=+sin cos sin A B B A=()0,πA ∈sin 0A ≠tan B =()0,πB ∈π6B =ABC V sin sin sin a b c A B C ==4sin ,4sin a A c C ==215πsin 4sin sin 4sin sin 2sin cos 26ABC S ac B A C A A A A A ⎛⎫===-=+ ⎪⎝⎭V πsin22sin 23A A A ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭因为为锐角三角形，所以，即.所以，所以所以即面积的取值范围为19.（1）当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即或时，令，得或令综上所述：当时，单调递增区间是，无单调递减区间；当或时，的单调递增区间是和单调减区间是（2）①因为在有两个极值点，所以在有两个不等零点，所以解得，所以实数的取值范围为②由①知.所以同理.ABC V π025ππ062A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ32A <<ππ2π2,333A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭πsin 23A ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(2ABC S ∈+V ABC V (2+()()2e 1,x f x x ax x '-=+∈R 2Δ40a =-≤22a -≤≤()0f x '≥()f x R 2Δ40a =->2a <-2a >()0f x '>x <x >()0f x '<x <<22a -≤≤()f x (),∞∞-+2a <-2a >()f x ∞⎛- ⎝∞⎫+⎪⎪⎭()f x ()0,312,x x ()21g x x ax =-+()0,312,x x ()()2Δ4003201031030a a g g a ⎧=->⎪⎪<<⎪⎨⎪=>⎪=->⎪⎩1023a <<a 102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1212,1x x a x x +==()()()()1112111111e 23e 123e 22x x x f x x a x a ax a x a x a ⎡⎤⎡⎤=-+++=--+++=-++⎣⎦⎣⎦()()222e 22x f x x a =-++所以.设所以，所以函数在区间上单调递减，所以，所以()()()()()()1212121212221e 2222e 422(2)x x x x f x f x x a x a x x a x x a ++⎡⎤⎣⎦=-++-++=-++++()()22e 422(2)e 8a a a a a a ⎡⎤=-+++=-⎣⎦()()210e 8,2,3x h x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()()()e 420x h x x x =-+-<'()h x 102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()()224e h x h <=()()2124e f x f x <。

北京—零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知集合，，则（）A. B. C. D. 2. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C.D. 3. 已知中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则是（）A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形，但不是等腰三角形4. 复数，且为纯虚数，则可能的取值为（）A. B.C. D.5. 已知，则下列不等式正确的是（）A.B. C. D. 6. 如图，在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（）A. －4B. －1C. 1D. 47. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的.{}21012M =--，，，，2{|60}N x x x =--≥M N ⋂={}2101--，，，{}012，，{}2-{}2(0,)+∞3y x =29y x =-y x =1y x=ABC cos cos cos a b cA B C==ABC cos isin z αα=+2z α0π4π3π20a b c <<<b aa b>22a c >()()log log c c a b ->-1122ac⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC 14AN NC = P BN 25AP mAB AC =+m {}n a q n n S 1q >1012112+>S S SA 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 如图，在曲柄绕C 点旋转时，活塞A 做直线往复运动，设连杆长为40cm ，曲柄长10cm ，则曲柄从初始位置按顺时针方向旋转60°时，活塞A 移动的距离约为（））A. B. C. D. 9. 已知，两点是函数与轴的两个交点，且满足,现将函数的图像向左平移个单位，得到的新函数图像关于轴对称，则的可能取值为（）A.B.C.D.10. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是.接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数，.且该数列的前项和为2的整数幂.那么是（）A. 83B. 87C. 91D. 95二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为________.12. 已知等差数列的前项和为．若，公差，则的最大值为_______.13. 在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________．14. 已知为等边三角形，且边长为2，则________；若，，则最大值为__________..的CB AB CB CB 0CB 0AA 7.81≈8.37≈8.15cm 6.95cm 5.95cm 3.15cm()1,0A x ()2,0B x ()2sin()1(0,(0,))f x x ωϕωϕπ=++>∈x 12min 3x x π-=()f x 6πy ϕ6π3π23π56π020*********N 50N >N N ()πtan 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭{}n a n n S 19a =2d =-n S ABC A B C a b c S ABC cos cos sin a B b A c C +=2221()4S b c a =+-B ∠=ABC ,AB BC = 1BD = CE EA = AD EB ⋅15. 已知函数给出下列四个结论：①若有最小值，则的取值范围是；②当时，若无实根，则的取值范围是；③当时，不等式的解集为；④当时，若存在，满足，则.其中，所有正确结论的序号为__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知等差数列满足，.（1）求通项公式；（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等?（3）在（2）的条件下，设，数列的前项和为.求：当为何值时，的值最大?17. 如图所示，已知中，为上一点，．（1）求；（2）若，求的长．18. 已知函数.的()πππ,,22πcos ,π2e 4,πx a x xf x x x a x -+⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩()f x a 1,0π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a >()f x t =t [][)π,441,a a a ++∞ 12a ≤-()()224f x f x +>+()2,2-1a ≥12x x <()()1210f x f x -<=<120x x +>{}n a 1210a a +=432a a -={}n a {}n b 23b a =37b a =6b {}n a 5n n n c a b =-{}n c n n S n n S ABC DAC π,4,4A AB BD AD AB ∠===>sin ADB ∠sin 2sin BDC C ∠∠=DC ()()()221ln 02f x a x x a x x -=-+≤≤（1）讨论函数的单调性；（2）当时，令，，求证：.19. 已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个，使得函数的解析式唯一确定（1）求的解析式及最小值；（2）若函数在区间上有且仅有2个零点，求t 取值范围.条件①：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值与最小值的和为1.20. 对于函数，，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数和在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点.设函数，.（1）当，时，判断函数和是否相切?并说明理由；（2）已知，，且函数和相切，求切点P 的坐标；（3）设，点P 的坐标为，问是否存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切?若点P 的坐标为呢?（结论不要求证明）21. 对于数列定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”.（1）设数列：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；的()f x 1a =()()()()ln g x f x f x x x '=---[]1,2x ∈()12g x ≥()()2sin sin cos 0,f x x x x b b ωωωω=++>∈R ()f x ()f x ()f x ()(),0t t t ->()f x π2()f x π,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x ()g x ()f x ()g x ()()20f x ax bx a =-≠()ln g x x =1a =-0b =()f x ()g x a b =0a >()f x ()g x 0a >1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()e,1{}n a 1i i i a a a +=-△{}n a 21+=-i i i a a a △△△{}n a {}n a i j a a ≠△△()*,,i j i j ∀∈≠N {}n a {}n a 22j i a a =△△()*,i j ∀∈N {}n a 1A 2A 1A 2A（2）若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式；（3）已知数列：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是.{}n a {}n a 10a =2a a =2i a d =△d {}n a B 12212,,,,n n b b b b -⋅⋅⋅{}{}122,,,1,2,,2n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅12n b b n -={}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅北京—零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考二一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】对一元二次不等式求解得到解集，再计算．【详解】不等式解得或，则，又，所以．故选：C.2. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性，即可容易判断选择.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，，为奇函数，不符合题意；对于B ，，为偶函数，在上单调递减，不符合题意；对于C ，，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意；对于D ，为奇函数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查常见函数单调性和奇偶性的判断，属简单题.3. 已知中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则{}21012M =--，，，，2{|60}N x x x =--≥M N ⋂={}2101--，，，{}012，，{}2-{}2N M N ⋂260x x --≥2x ≤-3x ≥{}][()2|6023N x x x =--≥=-∞-+∞ ，，{}21012M =--，，，，{}2M N =-I (0,)+∞3y x =29y x =-y x =1y x=3y x =29y x =-(0,)+∞,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩(0,)+∞1y x=ABC cos cos cos a b cA B C==ABC是（）A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形，但不是等腰三角形【答案】B 【解析】【分析】先由正弦定理得，进而得到，即可求解.【详解】由正弦定理得，则，又为三角形内角，则，则是等边三角形.故选：B.4. 复数，且为纯虚数，则可能的取值为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算、二倍角公式化简，再复数的概念得到，结合余弦函数的性质求出，即可得解.【详解】因为，所以，因为为纯虚数，所以，所以，，所以，.故选：B5. 已知，则下列不等式正确的是（）A.B. C D. 【答案】D 【解析】.tan tan tan A B C ==A B C ==sin sin sin cos cos cos A B CA B C==tan tan tan A B C ==,,A B C A B C ==ABC cos isin z αα=+2z α0π4π3π22z cos 20α=αcos isin z αα=+()2222cos isin cos sin 2sin cos i cos 2sin 2i z αααααααα=+=-+=+2z cos 20sin 20αα=⎧⎨≠⎩π2π2k α=+Z k ∈ππ42k α=+Z k ∈0a b c <<<b aa b>22a c >()()log log c c a b ->-1122ac⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】A 作差法比较大小；B 特殊值法，令即可判断正误； C 令，利用对数函数的性质判断即可；D 根据指数函数的单调性判断大小关系.【详解】A：，又，则，，故，即，错误；B ：当时，不成立，错误；C ：由，即，当时有，错误；D ：由，则，正确.故选：D.6. 如图，在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（）A. －4B. －1C. 1D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线定理的推论的推论，根据题意化简，再由即可得解.【详解】由，所以，，由，可得，故选：B7. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件1,2a c =-=01c <<22b a b a a b ab--=0a b <<220b a -<0ab >0b a a b -<b a a b <1,2a c =-=22a c >0a b <<0a b ->->01c <<()()log log c c a b -<-0<<a c 11122a c⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC 14AN NC = P BN 25AP mAB AC =+m 2AP mAB AN =+21+=m 14AN NC = 15AN AC =225255AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+21+=m 1m =-{}n a q n n S 1q >1012112+>S S SC. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由题，变形得即可选出选项【详解】由题：，，即，由于题目给定各项为正，所以等价于公比为.故选：C【点睛】此题考查与等比数列有关的两个条件充分性与必要性，关键在于题目给定各项均为正的前提下如何利用.8. 如图，在曲柄绕C 点旋转时，活塞A 做直线往复运动，设连杆长为40cm ，曲柄长10cm ，则曲柄从初始位置按顺时针方向旋转60°时，活塞A 移动的距离约为（））A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】作图，在三角形中，根据三角函数求出相关线段的长度，结合图形，即可得出答案.【详解】如图，过点作于点，由已知可得，，，，，1012112+>S S S 1211a a >1012112+>S S S 12111110S S S S ->-1211a a >{}n a 1q >1012112+>S S S CB AB CB CB 0CB 0AA 7.81≈8.37≈8.15cm 6.95cm 5.95cm 3.15cm B 1BB AC ⊥1B 40AB =0040A B =10BC =60ACB ∠=︒所以，，，所以，.在中，由勾股定理可得，，所以，，所以，.故选：C.9. 已知，两点是函数与轴的两个交点，且满足,现将函数的图像向左平移个单位，得到的新函数图像关于轴对称，则的可能取值为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据，即可求得，再根据平移后函数为偶函数，即可求得.【详解】令，解得，因为，故令，并取，则，即可求得.此时，向左平移个单位得到，若其为偶函数，则，解得.当时，.160sin 10BB BC =︒==15601cos 102CB BC =︒=⨯=10015B B CB CB =-=1Rt AB B △139.05AB ==≈011039.05534.05AB AB B B =-≈-=00004034.05 5.95AA A B AB =-≈-=()1,0A x ()2,0B x ()2sin()1(0,(0,))f x x ωϕωϕπ=++>∈x 12min 3x x π-=()f x 6πy ϕ6π3π23π56π12min 3x x π-=ωϕ()2sin 10x ωϕ++=()1sin 2x ωϕ+=-12min 3x x π-=21x x >12711,66x x ππωϕωϕ+=+=()2123x x πω-=2ω=()()2sin 21f x x ϕ=++6π2sin 213y x πϕ⎛⎫=+++⎪⎝⎭2,32k k Z ππϕπ+=+∈26k πϕπ=+0k =6πϕ=【点睛】本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题.10. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是.接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数，.且该数列的前项和为2的整数幂.那么是（）A. 83B. 87C. 91D. 95【答案】D 【解析】【分析】根据题意进行分组，然后分组求和即可.【详解】根据题意将数列分组，第一组为第一项是，第二组为为第二项和第三项是，，依次类推，第组为，，，…，第组含有项，所以第组的和为：，前组内一共含有的项数为：，所以前组内的项数和为：，若该数列的前项和为2的整数幂.，只需将消去即可；若，则，，不满足；若，则，，不满足；若，则，，满足；故满足如条件的最小整数为95.020*********N 50N >N N 020212n 02122212n -n n n 122112nn -=--n ()12n n +n 123121212121=22n n n S n +=-+-+-+⋯+---N 2n --()122=0n ++--=1n ()12=32n n N +=+50N >()1242=0n +++--5n =()13=182n n N +=+50N >()12482=0n ++++--=13n ()14=952n n N +=+50N >N二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】根据正切函数的定义域求解即可.【详解】由，，即，，所以函数的定义域为.故答案为：.12. 已知等差数列的前项和为．若，公差，则的最大值为_______.【答案】25【解析】【分析】由已知求出等差数列的通项公式，求出满足的最大值，代入可得的最大值．【详解】，，令，解得，又，则的最大值为故答案为：2513. 在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________．()πtan 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5ππ,Z 6x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭πππ32x k -≠+Z k ∈5ππ6x k ≠+Z k ∈()πtan 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5ππ,Z 6x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭5ππ,Z 6x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭{}n a n n S 19a =2d =-n S {}n a 0n a ≥n n S 19a = 2d =-()()912112n a n n \=+-´-=-0n a ≥112n ≤*n ∈N 15n ≤≤n S ()554592252S ´=´+´-=ABC A B C a b c S ABC cos cos sin a B b A c C +=2221()4S b c a =+-B ∠=【答案】【解析】【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．考点：解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．14. 已知为等边三角形，且边长为2，则________；若，，则的最大值为__________.【答案】 ①.②. 【解析】【分析】根据向量夹角的定义即可求出，根据向量的运算可以得到，由，设，由向量夹角的取值范围即可求解.【详解】因为为等边三角形，所以，所以；因为，所以为中点，所以，设，则，所以，又，4π222cos 2b c a A bc +-=22211sin()24S bcA b c a ==+-11sin 2cos 24bc A bc A =⨯tan 1A =4A π=cos cos sin a B b A c C +=2sin()sin A B C +=sin 1C =2C π=4B π=tan 1A =4A π=cos cos sin a B b A c C +=90C =︒B ABC ,AB BC = 1BD = CE EA = AD EB ⋅23π3,AB BC3AD EB BD BE ⋅=-⋅,BD BE θ= ABC π3ABC ∠=2π,3AB BC = CE EA =E AC ()1122AD EB AB BD BA BC ⎛⎫⋅=+⋅-- ⎪⎝⎭()1111112π1422cos 22222232BA AB BC AB BA BD BC BD BD BA BC=-⋅-⋅-⋅-⋅=⨯-⨯⨯⨯-⋅+ 3BD BE =-⋅,BD BE θ=[]cos 1,1θ∈-1BD BE θθ⎡⋅==∈⎣3AD EB BD BE ⋅=-⋅所以当有最大值故答案为：；15. 已知函数给出下列四个结论：①若有最小值，则的取值范围是；②当时，若无实根，则的取值范围是；③当时，不等式的解集为；④当时，若存在，满足，则.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③④【解析】【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，数形结合求解；对③，利用函数的单调性解不等式；对④，利用函数的切线与导函数的关系，以及图形的对称关系，数形结合求解.【详解】当时，，当时，，若，则当时，，则此时函数无最小值；若，则当时，，时，，则函数有最小值为满足题意；若，则当时，，时，，要使函数有最小值，则，解得；BD BE ⋅= AD EB ⋅3+23π3()πππ,,22πcos ,π2e 4,πx a x xf x x x a x -+⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩()f x a 1,0π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a >()f x t =t [][)π,441,a a a ++∞ 12a ≤-()()224f x f x +>+()2,2-1a ≥12x x <()()1210f x f x -<=<120x x +>πx >()()πe44,41x f a a a x -++∈=+ππ2x ≤≤()[]cos 1,0x f x ∈-=0a >π2x <()π(π2f a f x <=0a =π2x <()0f x =πx >()πe4(0,1)x f a x -+∈=+1-a<0π2x <()π()π2f a f x >=πx >()()πe44,41x f a a a x -++∈=+π141a a ≥-⎧⎨≥-⎩104a -≤<综上，的取值范围是，①错误；当时，函数在单调递增，单调递减，单调递减，作图如下，因为无实根，所以或，②正确；当时，因为，所以函数在单调递减，又因为所以由可得，，即，解得，所以，所以不等式的解集为，③正确；a 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a >()f x π,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()π,+∞()f x t =π4a t a ≤≤41t a ≥+12a ≤-411a +≤-()f x π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭222,44,x x +≥+≥()()224f x f x +>+224x x +<+220x x --<02x ≤<()2,2x ∈-()()224f x f x +>+()2,2-函数在点处的切线斜率为，所以切线方程为，则由图象可知，时，，设，记直线与函数，，的交点的横坐标为，因为经过点，所以由对称性可知，当时，，又因为，所以，④正确；故答案为:②③④.【点睛】关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解决问题的关键.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知等差数列满足，.()f x π,02⎛⎫⎪⎝⎭π()sin 12f x '=-=-π2y x =-+π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πcos 2x x ≥-+()()()121,0f x f x m ==∈-y m =π(),,2f x x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭π2y x =-+π(),,π2f x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦102,,x x x ()2ππ,2f x a x x ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭π(,0)2-1a ≥100x x +≥20x x >120x x +>{}n a 1210a a +=432a a -=（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等?（3）在（2）的条件下，设，数列的前项和为.求：当为何值时，的值最大【答案】（1）（2）第63项（3）当时，的值最大【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义与通项公式即可得解；（2）先求得，，再利用等比数列的定义与通项公式求得，再令，从而得解；（3）利用分组求和法即可求出，再利用导数求得的单调性，从而得解.【小问1详解】依题意，设等差数列的公差为d ，则，又，得，解得，所以；【小问2详解】设等比数列的公比为q ，则，，所以，，所以，令，解得.故是数列的第63项；【小问3详解】由（2）可知，则，所以，{}n a {}n b 23b a =37b a =6b {}n a 5n n n c a b =-{}n c n n S n n S 22n a n =+4n =n S 2b 3b 6b 6n a b =n S {}n S {}n a 432d a a =-=1210a a +=11210a a ++=14a =42(1)22n a n n =+-=+{}n b 238b a ==3716b a ==321628b q b ===214bb q==576422128b =⨯==22128n a n =+=63n =6b {}n a 11422n n n b -+=⨯=155(22)2n n n n c a b n +=-=+-()()()4224(12)546225421122n n n n n S n ++-=++++-=⨯--⎡⎤⎣⎦- 2225154n n n +=-+++令，则，由于，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，且，，所以当时，有最大值且最大值为.17. 如图所示，已知中，为上一点，．（1）求；（2）若，求的长．【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理可得答案；（2）由（1）得．法1：由正弦定理、可得，再由余弦定理可得．法2：求出及，再由两角差的正弦展开式求出，在中由正弦定理可得答案．【小问1详解】在中，由正弦定理可得，所以，又因为，所以；()222515)4(N x f x x x x++=-+++∈()2ln 221015x fx x +'=-++N x +∈14x ≤≤()0f x ¢>()f x 5x ≥()0f x '<()f x ()128125754756f =-+++=()4648060480f =-+++=4n =n S 480S =ABC D AC π,4,4A AB BD AD AB ∠===>sin ADB ∠sin 2sin BDC C ∠∠=DC ABD △cos ADB ∠sin 2sin BDC C ∠∠=BC DC sin ∠C cos C ∠sin DBC ∠BDC ABD △sin sin AB BDADB A=∠∠sin sin ABADB A BD∠∠=π,4,4A AB BD ∠===sin ADB ∠==小问2详解】因为，所以，所以，由（1）结论，计算可得法1：由正弦定理可知，又，所以，由余弦定理可得，化简整理得，解得法2：因为且，所以由题意可得，所以所以，在中，由正弦定理可得，所以18. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；【AD AB >ABD ADB ∠∠>90ADB ∠<o cos ∠==ADB sin sin BC BDBDC C∠∠=sin 2sin BDC C ∠∠=2BC BD ==2222cos BC BD DC BD DC BDC ∠=+-⋅2300DC +-=DC =sin sin BDC ADB ∠∠==sin 2sin BDC C ∠∠=sin sin 2BDC C ∠∠==C ADB ∠<∠cos C ∠=()sin sin DBC ADB C ∠∠∠=-sin cos cos sin ADB C ADB C∠∠∠∠=⋅-⋅35==BDC sin sin DC BDDBC C∠∠=sin sin DBC DC BD C ∠∠===()()()221ln 02f x a x x a x x -=-+≤≤()f x（2）当时，令，，求证：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出，然后分，，三种情况，根据导函数即可得出函数的单调性；（2）代入，化简得出，求导根据导函数得出在上的单调性，进而得出最小值，即可证明.【小问1详解】由已知可得，，定义域为，所以.（ⅰ）当时，.当时，有，上单调递增；当时，有，在上单调递减.（ⅱ）当时，解，可得，或（舍去负值）.解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.在1a =()()()()ln g x f x f x x x '=---[]1,2x ∈()12g x ≥()()()2312x a f x x x --='0a =02a <<2a =1a =()233121g x x x x=+--()g x []1,2()221ln x ax a x xf x =-+-()0,∞+()()()22331222x ax a a x x f x x x '--=--+=0a =()()321x f x x --='01x <<()()3210x f x x--=>'()f x ()0,11x >()()3210x f x x--=<'()f x ()1,+∞02a <<()()()23120x ax f x x--=='1x =x =1>()0f x ¢>01x <<x >()f x ()0,1⎫+∞⎪⎪⎭()0f x '<1x <<()f x ⎛ ⎝（ⅲ）当时，在上恒成立，所以，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增.【小问2详解】由（1）知，当时，，，所以，.所以，.解，可得（舍去负值），且，所以.当时，解可得，所以在上单调递增；当时，解，所以在上单调递减.又，，所以，当时，在处取得最小值，2a =()()()232110x x f x x '-+=≥()0,∞+()f x ()0,∞+0a =()f x ()0,1()1,+∞02a <<()f x ()0,1⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭2a =()f x ()0,∞+1a =()221ln x x x x f x =-+-()231221x f x xx '=--++()()()()ln g x f x f x x x '=---()22321122ln 1ln x x x x x x x x x =⎛⎫-+----++-- ⎪⎝⎭233121x x x =+--()234326g x x x x '=--+()241326x x x=-+-()0g x '=x =45<<4123<<<12x ≤≤()0g x '>1x ≤<()g x ⎡⎢⎣12x ≤≤()0g x '<2x <≤()g x 2⎤⎥⎦()131211g =+--=()()31212112482g g =+--=<12x ≤≤()g x 2x =()122g =所以有.19. 已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个，使得函数的解析式唯一确定（1）求的解析式及最小值；（2）若函数在区间上有且仅有2个零点，求t 的取值范围.条件①：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值与最小值的和为1.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将解析式化简，再选择相应条件，结合三角函数的性质逐一分析，从而得解；（2）先求得在附近的五个零点，从而得到关于的不等式组，由此得解.【小问1详解】选条件①②：由题意可知，，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，所以，因为函数的图象经过点，所以，所以，()12g x ≥()()2sin sin cos 0,f x x x x b b ωωωω=++>∈R ()f x ()f x ()f x ()(),0t t t ->()f x π2()f x π,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x π124()2f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭min 1()2f x =π3π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ()f x 0x =t 21cos 21()sin sin cos sin 222x f x x x x b x b ωωωωω-=++=++π1242x b ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭()f x π2π2π222T ω==1ω=()f x π,12⎛⎫⎪⎝⎭πππ1212242f b ⎛⎫⎛⎫=⨯-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0b =所以，所以.选择条件①③：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，所以，，函数的最大值与最小值的和为1，所以，则，所以，所以.选条件②③：，函数的最大值与最小值的和为1，所以，则，因为函数的图象经过点，所以，所以所以或，显然此时的值有多个，的解析式唯一确定，所以此种情形不符合题意，舍去.【小问2详解】由（1）知，π124()2f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭min 1()2f x =+()f x π2π2π222T ω==1ω=min max 1(),()2f x b f x =++=12b +()f x 11122b b ++++=0b =π124()2f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭min 1()2f x =+min max 11(),()22f x b f x b =++=+()f x 11122b b ++++=0b =()f x π,12⎛⎫⎪⎝⎭πππ1212242f ω⎛⎫⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin π4ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭πππ2π,44k k ω-=+∈Z π3ππ2π,44k k ω-=+∈Z ω()f x π124()2f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令，得，所以或，即或，所以在附近的五个零点为，，，，，因为在区间上有且仅有2个零点，所以，为在区间上的两个零点，故，解得，所以的取值范围是.20. 对于函数，，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数和在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点.设函数，.（1）当，时，判断函数和是否相切?并说明理由；（2）已知，，且函数和相切，求切点P 的坐标；（3）设，点P 的坐标为，问是否存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切?若点P 的坐标为呢?（结论不要求证明）【答案】（1）不相切，理由见解析（2）切点的坐标为.（3）P 的坐标为时，存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切，P的坐标为时，不存在.π1202()4f x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭πsin 24x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ22π,44x k k -=-+∈Z π3π22π,44x k k -=-+∈Z π,x k k =∈Z ππ,4x k k =-+∈Z ()f x 0x =πx =-π4x =-0x =3π4x =πx =()f x ()(),0t t t ->π4x =-0x =()f x ()(),0t t t ->ππ43π04t t ⎧-<-≤-⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩π3π44t ≤<t π3π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ()g x ()f x ()g x ()()20f x ax bx a =-≠()ln g x x =1a =-0b =()f x ()g x a b =0a >()f x ()g x 0a >1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()e,1P (1,0)1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()e,1【解析】【分析】（1）根据两函数相切可得，即可说明求解；（2）根据题意可知函数和在切点处满足，即可求解；（3）根据两个函数存在切点，则有，即，将所给的两个点坐标分别代入即可求解.【小问1详解】当，时，，，，，令，即无解，所以函数和不相切.【小问2详解】因为，，所以，，，设切点为,则，消去得，（*）注意到，所以，设函数，，令，解得或（舍），令，解得；令，解得；所以函数在单调递增，单调递减，()()f x g x ''=()f x ()g x (,)P s t 2ln 12as as sas a s ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩2ln 12ax bx xax b x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩22ln 21ax bx x ax bx ⎧-=⎨-=⎩1a =-0b =()2f x x =-()lng x x =()2f x x '=-()1g x x'=()()f x g x ''=12x x-=()f x ()g x a b =0a >()()20f x ax ax a =->()2f x ax a '=-()1g x x'=(,),(0)P s t s >2ln 12as as s as a s ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩a 1ln 21s s s -=-10(21)a s s =>-12s >11()ln ,,212x F x x x x -⎛⎫=-∈+∞ ⎪-⎝⎭2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-()0F x '=1x =14x =()0F x '>112x <<()0F x '<1x >11()ln ,,212x F x x x x -⎛⎫=-∈+∞ ⎪-⎝⎭1,12⎛⎫⎪⎝⎭()1,+∞所以,所以（*）方程有且仅有一个解为，于是，所以切点的坐标为.【小问3详解】，，若两个函数存在切点，则有，即，假设存在P 的坐标为，则，即，解得，满足题意，所以P 的坐标为，存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切，此时，.假设存在P 的坐标为，则，解得，不满足题意，所以P 的坐标为，不存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切.21. 对于数列定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”.（1）设数列：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；max ()(1)0F x F ==1s =ln 0t s ==P (1,0)()2f x ax b '=-()1g x x'=2ln 12ax bx xax b x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩22ln 21ax bx x ax bx ⎧-=⎨-=⎩1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭221e e 21e e a b a b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩221e e 21e ea ba b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩22e 3e a b ⎧=⎨=⎩1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()222e 3e f x x x =-()ln g x x =()e,122e e 12e e 1a b a b ⎧-=⎨-=⎩01e a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩()e,1()f x ()g x {}n a 1i i i a a a +=-△{}n a 21+=-i i i a a a △△△{}n a {}n a i j a a ≠△△()*,,i j i j ∀∈≠N {}n a {}n a 22j i a a =△△()*,i j ∀∈N {}n a 1A 2A 1A 2A（2）若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式；（3）已知数列：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是.【答案】21. 答案见解析22. 答案见解析23. 证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义分析判断即可；（2）根据题意分析可知为定值，利用累加法结合等差数列运算求解；（3）根据“绝对差异数列”结合充分、必要条件分析证明.【小问1详解】对于数列：2，4，8，10，14，16；可得：差数列为：2，4，2，4，2，不满足，所以不是“绝对差异数列”；累次差数列为：2，，2，，满足，所以是“累差不变数列”，对于数列：6，1，5，2，4，3；可得：差数列为：，4，，2，，不满足，所以不是“绝对差异数列”；累次差数列为：9，，5，，不满足，所以不是“累差不变数列”.【小问2详解】因为，则，反证：假设不是定值，即存在，使得，可得，即，这与既是“绝对差异数列”相矛盾，假设不成立，所以为定值，①若，即，可知数列是以首项为，公差为的等差数列，{}n a {}n a 10a =2a a =2i a d =△d {}n a B 12212,,,,n n b b b b -⋅⋅⋅{}{}122,,,1,2,,2n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅12n b b n -={}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅2i a △1A i j a a ≠△△2-2-22j i a a =△△2A 5-3-1-i j a a ≠△△7-3-22j i a a =△△2i a d =△2=±i a d △2i a △*k ∈N 2210++=k k a a △△()()1210+++--+=k k k k a a a a △△△△2+=k k a a △△{}n a 2i a △2=i a d △1+-=i i a a d △△{}n a △211=-=a a a a △d当时，则，当时，符合上式，综上所述：；②若，同理可得；综上所述：若，；若，.【小问3详解】因为，根据集合的互异性可知，，则，又因为数列是“绝对差异数列”，则，，充分性：若，可得，即，所以，若差数列为，符合的排序只能为；若差数列为，符合的排序只能为或，若差数列为，符合排序只能为或，若差数列为，符合的排序只能为或或或，的2n ≥()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()()()12111212----=+⋅⋅⋅++=+-+n n n n a a a a n a d △△△1n =10a =()()()1212--=-+n n n a n a d 2=-i a d △()()()1212--=--n n n a n a d 2=i a d △()()()1212--=-+n n n a n a d 2=-i a d △()()()1212--=--n n n a n a d {}{}122,,,1,2,,2n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≠i j b b ()*,,i j i j ∀∈≠N 1,2,,21,1,2,,21=⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-i n i b n △B ≠i j b b △△()*,,i j i j ∀∈≠N 21-=-n b b n ()()()12212122212----=-+-=+⋅⋅⋅+--n n n n n b b b b b b b b n 21221--++⋅⋅⋅+=-n n b b b n △△△*12,,22i mb m n m m -⎧=≤∈⎨-⎩N 12n -2,1n 22n -2,2,1n 2,1,21-n n 32n -21,2,2,1-n n 2,1,21,2-n n 24n -3,21,2,2,1-n n 21,2,2,1,23--n n n 2,1,21,2,22--n n n 4,2,1,21,2-n n若排序为，则当差数列为时，无法排序，不合题意；若排序为，则当差数列为时，无法排序，不合题意；所以符合的排序只能为或，利用数学归纳法证明：当差数列为，符合的排序为，显然，符合题意；假设在差数列有意义的前提下：当差数列为，符合的排序为；则当差数列为时，符合的排序为或，当差数列为时，对于可得符合的排序为；对于，无法排序；所以符合的排序为，即当差数列为，符合的排序为；所以当差数列为，符合的排序为，成立；同理可证：当差数列为，符合的另一种排序为；依次类推，可得其排列为或，所以，故充分性成立；若，则，若差数列为，则符合的排序为或，若差数列为，则符合的排序为或或或，21,2,2,1,23--n n n 52n -4,2,1,21,2-n n 52n -3,21,2,2,1-n n 2,1,21,2,22--n n n 122--+n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 1i =122--+n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 22-n i 1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n 21,,,21,2,2,1,221-+⋅⋅⋅--+n i i n n n i ()1221221--++=-++n i n i 1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n ()211,1,21,,,21,2,2,1-+-+-+⋅⋅⋅-n i i n i i n n 21,,,21,2,2,1,221-+⋅⋅⋅--+n i i n n n i ()211,1,21,,,21,2,2,1-+-+-+⋅⋅⋅-n i i n i i n n 122--+n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 122--+n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 122--+n i 2,1,21,2,,21,-⋅⋅⋅-+n n n i i 1,,2,1,3,2,,2,2,1++-+-⋅⋅⋅n n n n n n n 2,1,21,2,23,3,,1,--⋅⋅⋅+n n n n n {}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}2131,,,1,2,,2-⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅n b b b n n n ()21±-n 2,1n 1,2n ()22±-n 2,2,1n 2,1,21-n n 1,2,2n 21,1,2-n n若差数列为，则符合的排序为或，因为的排序为，不合题意，的排序为，不合题意，所以若差数列为，则符合的排序为，若差数列为，则符合的排序为或，若差数列为，则符合的排序为或，利用数学归纳法证明：当差数列为时，符合的的排序为，当时，成立；假设在差数列有意义的前提下：当差数列为，符合的排序为；当差数列为，符合的排序为或，当差数列为，对于可得排序为，对于则无法排序，所以当差数列为，符合的排序为；同理可证：当差数列为，符合的排序为；此时满足数列是“绝对差异数列”的排序只有两种：或，则，必要性成立；所以充要条件是.的()23±-n 21,2,2,1-n n 2,1,21,2-n n 1,2,2n 1,2,2,21-n n 21,1,2-n n 2,21,1,2-n n ()21±-n 2,1n ()22±-n 2,2,1n 2,1,21-n n ()23±-n 21,2,2,1-n n 2,1,21,2-n n ()212±+-n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 1i =()212±+-n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n ()22±-n i 1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n 21,,,21,2,2,1,22-+⋅⋅⋅--n i i n n n i ()()2121±+-+n i 1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n ()211,1,21,,,21,2,2,1-+++-+⋅⋅⋅-n i i n i i n n 21,,,21,2,2,1,22-+⋅⋅⋅--n i i n n n i ()212±+-n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n ()212±+-n i 2,1,21,2,,21,-⋅⋅⋅-+n n n i i B 1,,2,1,3,2,,2,2,1++-+-⋅⋅⋅n n n n n n n 2,1,21,2,23,3,,1,--⋅⋅⋅+n n n n n ()()()112232221--=-+-+⋅⋅⋅+-n n n b b b b b b b b ()1221-=-++⋅⋅⋅+=-n n b b b △△△12n b b n -={}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，根据题中的定义，结合等差数的通项公式与求和公式进行求解.。

2019年10月阶段性检测高三数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题，共15题，共75分）一、选择题（本大题包括15小题，每小题5分，共75分，每小题给出的四个选项中，只．有一项．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上1.已知，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】集合P={x|−1<x<1},Q={x|0<x<2}，那么P∪Q={x|−1<x<2}=(−1,2).本题选择A选项.2.已知i是虚数单位,若复数z满足,则=A. -2iB. 2iC. -2D. 2【答案】A【解析】由得,即,所以,故选A.【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i.3.若执行右侧的程序框图，当输入的的值为时，输出的的值为，则空白判断框中的条件可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得时判断框中的条件应为不满足，所以选B.4.例2、【2017天津，文2】设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，则，，则，据此可知：“”是“”的必要二不充分条件.本题选择B选项.考点充要条件点睛：本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件.5.已知命题，命题若，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题命题：，，是真命题；命题：若，则是假命题，故是真命题，故选B．6.函数的部分图像大致为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，故排除D；当时，，故排除A．故选C．点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．7.设,若,则（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．8.已知函数，则A. 在（0，2）单调递增B. 在（0，2）单调递减C. 的图像关于直线x=1对称D. 的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A= ，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故选：B．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.10.函数的最大值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】整理函数的解析式：本题选择A选项.11.在所在的平面上有一点，满足，则与的面积比是：A. B. C. D.【答案】C【解析】，得，即，所以，故选C。