备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题07常考常新的分段函数

—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————专题06 函数的图象【热点聚焦与扩展】高考对函数图象的考查，形式多样，命题形式主要有，由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现．常常与导数结合考查. （一）基础知识1、描点法作函数图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2、做草图需要注意的信息点：做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。

在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图象形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图象更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图象中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点：（1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线. 特点：两点确定一条直线. 信息点：与坐标轴的交点.（2）二次函数：()2y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图象，另一侧由对称性可得.函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图象更为精确. 特点：对称性信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点. （3）反比例函数：1y x=,其定义域为()(),00,-∞+∞，是奇函数，只需做出正版轴图象即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线.特点：奇函数（图象关于原点中心对称），渐近线. 信息点：渐近线 注：（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。

专题04 函数的定义域、值域的求法【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点,并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。

所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点,寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1。

求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2。

①若()y f x =的定义域为(),a b ,则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．3。

对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题,应依据已知条件准确找出利用哪一段求解。

4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式,这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．（二）函数的值域1.利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大）值,最大(小)值。

2。

利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型，用此种方法,注意自变量x 的范围。

3。

利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-。

专题29 常见不等式的解法【热点聚焦与扩展】高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等);一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算.相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大.本专题以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。

（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式:()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可-—关键点：图象与x 轴的交点 2、高次不等式(1）可考虑采用“数轴穿根法",分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图象,()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分 ()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分(2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式 3、分式不等式(1)将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式（2)分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠ （3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()0f x g x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积）,进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式 (1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种:一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论(常用）；二是通过平方(3）若不等式满足以下特点,可直接利用公式进行变形求解： ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法:(1）先讲一个不等式性质与函数的故事在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析,例如：a b a c b c >⇒+>+，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c ）,将相同的变换视为一个函数，即设()f x x c =+，则()(),a c f a b c f b +=+=,因为()f x x c =+为增函数,所以可得：()()a b f a f b >⇔>，即a b a c b c >⇒+>+成立,再例如：0,0,c ac bca b c ac bc >>⎧>⇒⎨<<⎩，可设函数()f x cx =，可知0c >时，()f x 为增函数，0c <时，()f x 为减函数，即()()()()0,0,c f a f b a b c f a f b >>⎧⎪>⇒⎨<<⎪⎩由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。

专题10 求函数的单调区间【热点聚焦与扩展】从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.高考对单调性的考查有小题，但多出现在大题中，涉及单调性应用的题目较多.1、函数的单调性：在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数． '()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数．2、导数与单调区间的联系（1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x ⇒∀∈≥，.此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零.等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2f x x =的单调递增区间为[)0+∞，，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内.（2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减()',()0x a b f x ⇒∀∈≤，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()',()x a b f x ∀∈，的符号能否推出()f x 在(),a b 的单调性呢？如果()f x 不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性.（这也是求函数单调区间的理论基础）3、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求出()f x 的导函数'()f x（3）令'()0f x >（或0<），求出x 的解集，即为()f x 的单调增（或减）区间（4）列出表格4、求单调区间的一些技巧（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）.另一方面通过定义域对x 取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解 （2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式（3）一般可令'()0f x >，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若()f x 不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）（4）若'()0f x >的解集为定义域，那么说明()f x 是定义域上的增函数，若'()0f x >的解集为∅，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么()f x 是定义域上的减函数（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，()1-⨯增→减，复合函数单调性同增异减等.如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定.5、求单调区间的一些注意事项（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内.例如函数1y x=的单调减区间为()()0,,,0+∞-∞，若写成[)0,+∞就出错了（0不在定义域内）.（2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集U 的符号.有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“U ”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的.并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题.依然以1y x=为例，如果写成()()0,,0+∞-∞U ，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件.由1y x=性质可知，如果在()()0,,,0+∞-∞两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的.【经典例题】例1.函数()ln (0)f x x ax a =+<的单调增区间为_______________. 【答案】10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由题函数()ln (0)f x x ax a =+<的定义域为()0,+∞ ，又()1'+0f x a x =>，可解得10.x e<<- 例2. 【2017课标1】已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）当0a =，)(x f 在(,)-∞+∞单调递增；当0a >，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；当0a <，()f x 在(,ln())2a-∞-单调递减，在(ln(),)2a -+∞单调递增． 【解析】试题分析：（1）分0a =，0a >，0a <分别讨论函数)(x f 的单调性．当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a -+∞单调递增．例3【2019届内蒙古包头市高三第一次模拟】已知函数.（1）若，求的单调区间；【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增.【解析】试题分析：（1）由，求得函数及，求解和，进而得到函数的单调区间. 试题解析： （1）若，，. 当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增.例4【2019届四川省高三春季诊断】已知函数.（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）在上单调递减，在，上单调递增.【解析】试题分析：（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意，根据a的不同取值逐一讨论导函数符号即可.解析：（1），当时，，∴在上单调递增.当时，，故当或时，在上单调递增.例5【2019届四川省高三春季诊断】已知函数.（1）讨论的单调性；【答案】（1）见解析.【解析】试题分析：（1），分，和时讨论的单调区间. 试题解析：（1）当时，，∴在上单调递减.当时，令，得，令，得∴的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，令，得，令，得∴的单调递减区间为，单调递增区间为例6【2019届江西省高三六校联考】已知函数（1）令，试讨论的单调性；【答案】(1) 当时， 单调递减，无增区间；当时，，(2)【解析】试题分析：（1）由，对函数求导，研究导函数的正负得到单调性即可；（2）由条件可知对恒成立，变量分离，令，求这个函数的最值即可. 解析：综上：当时，单调递减，无增区间； 当时，，【名师点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .例7【2019届江西师范大学附属中学高三4月月考】已知函数()()12ln 2f x m x mx x=-++． （1）当()'1f =0时，求实数的m 值及曲线()y f x =在点（1， ()1f ）处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性． 【答案】（1）m=﹣1,y=﹣1（2）见解析【解析】试题分析：（1）求出()'f x ,由()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求出()'f x ，分四种情况讨论m 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间； 求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论m 的取值范围，分别求得()f x 单调区间.当m ＜0时，由，得，或，当m ＜﹣2时，y=f （x ）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）； 当m=﹣2时，y=f （x ）的减区间为（0，+∞）没有增区间．当﹣2＜m ＜0时，y=f （x ）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣） 综上可知：当m≥0时，函数y=f （x ）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）； 当m ＜﹣2时，y=f （x ）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）； 当m=﹣2时，y=f （x ）的减区间为（0，+∞）没有增区间；当﹣2＜m ＜0时，y=f （x ）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣）． 例8【2016北京理数】设函数()a xf x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】（1）因为bx xex f xa +=-)(，所以b e x x f x a +-='-)1()(.依题设，⎩⎨⎧-='+=,1)2(,22)2(e f e f 即⎩⎨⎧-=+-+=+--,1,222222e b e e b e a a故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值， 从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞.例9【2019届北京市西城区156中学高三上期中】已知函数．（）当时，求函数的极值点．（）求函数的单调区间．【答案】（1）极大值点为，极小值点为；（2）见解析【解析】试题分析： （1）当时，，求导数后根据导函数的符号判断出函数的单调性，然后可得极值点．（2）由题意得，然后根据的符号进行分类讨论，结合导函数的符号得到单调区间．试题解析：∴的极大值点为，极小值点为．（）由题意得，令，则，．①当时，，在上的单调递增区间是．②当时，令，则或，令，则，∴的单调增区间是和，单调减区间是．③当时，令，则或，【名师点睛】（1）求函数单调区间的步骤：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数；③解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．（2）求函数单调区间的注意事项：涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．例10．已知函数.(1)若函数过点，求函数的图象在处的切线方程；(2)判断函数的单调性.【答案】（1）；（2）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.【解析】试题分析：（1）代入点，求得，求出的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到切线方程；（2）求出的导数，对讨论，当时，当时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间. 试题解析：（1）函数过点，则有，即，，【名师点睛】本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，导数与函数单调性的关系以及分类讨论的思想，属于中档题；由，得函数单调递增，得函数单调递减，在该题中，含有参数的函数，主要是根据导函数的零点与定义域的关系进行分类讨论.【精选精练】1【2019届高考二轮训练】已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是()A. 和(1，＋∞)B. (0,1)和(2，＋∞)C.和(2，＋∞) D. (1,2)【答案】C【解析】根据函数解析式，易求得函数的定义域是，则，令，解得，所以函数的单调增区间是和，故选C.2．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A. (－∞，－1]和[0,1] B. [－1,0]和[1，＋∞) C. [－1,1] D. (－∞，－1]和[1，＋∞) 【答案】A 【解析】由4225y x x =-+ 可得3'44y x x =-，令'0y <，即3440x x -<，解得1x <-或01x <<，所以函数的单调减区间为(],1-∞-和[]0,1，故选A.3．【2019届湖北省天门、仙桃、潜江高三上学期期末】已知函数，则其单调增区间是（ ）A. （0，1]B. [0，1]C. （0，+∞）D. （1，+∞） 【答案】D 【解析】，定义域为令解得故函数单调增区间是故选.5．【2019届高考二轮训练】已知m 是实数，函数f(x)＝x 2(x －m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调递增区间是 ( ) A. 4,03⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 40,3⎛⎫⎪⎝⎭C. 4,,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(0，＋∞)D.4,,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪(0，＋∞)【答案】C6.【2019届北京市京源学校高三十月月考】已知函数()32f x ax bx cx =++,其导函数为()f x '的部分值如下表所示:根据表中数据,回答下列问题:（Ⅰ）实数c 的值为 ; ()f x 取得极大值点是 ; （Ⅱ）求实数,a b 的值; （Ⅲ）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）6;3；（Ⅱ） 2{ 32a b =-=；（Ⅲ）单调增区间为()1,3-，单调减区间为(),1-∞-和(3,)+∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由极值的定义，通过表格可求解；（Ⅱ）在表格中取两组数据代入解析式即可；（Ⅲ）利用导数求出()f x 的单调区间. 试题解析：（Ⅰ） 6;37.已知函数f(x)=x 3＋ax ＋8的单调递减区间为(－5，5)，求函数f(x)的递增区间． 【答案】(－∞，－5)和(5，＋∞)【解析】试题分析：求出函数的导数，利用函数的单调减区间是 ，可得是方程的根，从而求出的值，然后令求得的范围，可得函数增区间.试题解析：f′(x)＝3x 2＋a.∵(－5，5)是函数y ＝f(x)的单调递减区间，则－5，5是方程3x 2＋a ＝0的根， ∴a ＝－75.此时f′(x)＝3x 2－75， 令f′(x)>0，则3x 2－75>0，解得x>5或x<－5， ∴函数y ＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．8．【2019届浙江省嘉兴市高三上学期期末】已知函数()()2e 1x f x x ax =⋅++， R a ∈（e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若e x =是()f x 的极值点，求实数a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间． 【答案】(1) 1a e =-- (2)见解析②当0a <时， 11a -->-， ()f x 的单调递增区间是()(),1,1,a -∞---+∞；③当0a >时， 11a --<-， ()f x 的单调递增区间是()(),1,1,a -∞---+∞.9．【2019届辽宁师范大学附属中学高三上学期期末】已知函数()()21x f x x e ax =-+， e 为自然对数的底数.（1）若函数()f x 在()()11f ，处的切线方程为y ex a e =-++，求实数a 的值； （2）讨论()f x 的单调性. 【答案】（1）a e =-；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先求出()()2x f x x e a '=+，根据导数的几何意义以及函数()f x 在()()11f ，处的切线方程为y ex a e =-++，列方程可求实数a 的值；（2）分四种情况： 11100222a a a a ≥-<<=-<-、、、，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，令()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间. 试题解析：（1）∵()()2x f x x e a '=+， ()12f e a e =+=-' ∴a e =-，（2））()()2x f x x e a '=+， ①当0a ≥时， 20x e a +>，()0x ∈-∞，， ()0f x <，函数()f x 递减； ()0x ∈+∞，时， ()0f x >，函数()f x 递增；②当102a -<<时， 021a <-<， ()ln 20a -<， ()()ln 2x a ∈-∞-，， 20x e a +<， ()0f x '>，函数()f x 递增； ()()ln 20x a ∈-，， 20x e a +>， ()0f x '<，函数()f x 递减；10．已知函数()32392f x x x x =-++-，求：（1）函数()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程； （2）()f x 的单调递减区间.【答案】（1）920x y --=；（2）(],1-∞-和[)3,+∞.【解析】试题分析: (1)第(1)问, 先求导，再求出切线的斜率和切点坐标，最后写出直线的点斜式方程 . (2)第(2)问,直接利用导数求函数的单调递减区间. 试题解析:()2'369f x x x =-++， ()09f k '==， ()02f =-，所以切点为（0，-2）， ∴切线方程为92y x =-，一般方程为920x y --=； （2）()()()2'369313f x x x x x =-++=-+-，令()'0f x <，解得1x <-或3x >，∴()f x 的单调递减区间为(],1-∞-和[)3,+∞.11．已知函数f(x)＝e x (ax ＋b)－x 2－4x ，曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝4x ＋4． (Ⅰ)求a ，b 的值； (Ⅱ)讨论f(x)的单调性．【答案】(1)a ＝4，b ＝4;(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性．当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0．故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．【名师点睛】确定单调区间的步骤：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性12.设函数，．（）当时，求曲线在点处的切线方程．（）求函数单调区间和极值点．【答案】（1）；（2）当时，的单调增区间为，无极值，当时，的单调增区间是和，单调减区间为，极大值为，极小值为．【解析】试题分析：（1）当时，，,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，结合函数的单调性，可得函数的极值点.试题解析：（）当时，，，∴，，∴曲线在点处的切线方程为，即．（）由得，当时，，在上是单调递增，无极值，，无极值，当时，的单调增区间是和，单调减区间为，极大值为，极小值为．【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.。

专题02分段函数及其应用第三季1．已知函数若方程有且仅有一个实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11m -<<B ． 或1m =C ．D ．或1m =【答案】D【解析】原问题等价于在区间(]1,1-内只有一个实数根， 即函数()f x 与函数的图象在区间(]1,1-内只有一个交点，据此绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知：或()01g =，由可得，由()01g =可得1m =，综上可得：实数m 的取值范围是或1m =.本题选择D 选项.2．已知函数，设方程的四个不等实根从小到大依次为1234,,,x x x x ，则下列判断中一定成立的是（ ）A ．1212x x += B ．1214x x << C ．3449x x << D ．【答案】C 【解析】方程的四个实根从小到大依次为函数与函数xy eb -=+的图象有四个不同的交点，且交点的横坐标从左到右为1234,,,x x x x ，作函数与函数xy eb -=+的图象如下，由图可知，，故344x x ⋅>， 3412x x ⋅<，易知，即，即，即，即，又，，故，故选C.3．设函数，若恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】当时，在上单调递增，，当时，令得或．（1）若，即时，在上无零点，此时，∴在[1,+∞)上有两个零点，符合题意；（2）若，即时，在(−∞,1)上有1个零点，∴在上只有1个零点，4．定义在R 上的函数若关于x 的方程(其中2m >)有n 个不同的实根1x ,2x ,…, n x ,则（ ）A ．5eB ．4eC ．14eD ．13e【答案】C【解析】画出函数的图象，如图，由图可知函数()f x 的图象关于,x e =对称，解方程方程，得()1f x =或, ()1f x =时有三个根，，时有两个根452x x e += ，所以关于x 的方程共有五个根，455x x e+=，,故选C.5．为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（ ）A ．或或B ．或C ．或D ．或【答案】A【解析】作出函数的图像如图所示，其中，则，设直线与曲线相切，则，即，设，则，当时，，分析可知，当时，函数有极大值也是最大值，，所以当时，有唯一解，此时直线与曲线相切．分析图形可知，当或或时，函数的图像与函数的图像只有一个交点，即函数有唯一零点．故选.6．已知定义在R 上的函数且,若方程有三个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是 A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,34⎛⎫--⎪⎝⎭C ．D ．【答案】C 【解析】因为，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，作出函数()f x 的图象（如图所示），方程有三个不相等的实数根，即直线2y kx =+与()y f x =的图象有3个不同的交点，当0k > 时，由图象得113k <<，同理得，即或113k <<.故选C.7．已知函数，若函数的图象与轴的交点个数不少于2个，则实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】由题可知函数的图象与轴的交点个数不少于2个，即为函数y=f(x)的图像与函数y=mx+m 的图像的交点个数不少于2个，由于函数y=mx+m 的图像过定点P （-1,0），且斜率为m,作出函数y=f(x)的图像如图所示，数形结合可知，当动直线过点A时有2个交点，当动直线为的切线时，即过点B时有两个交点，在这两种极限位置之间有3个交点，易知设直线y=mx+m与函数的图像相切，联立方程组由题可知又x>1.所以过点（-1,0）作的切线，设切点坐标为，则此时，切线的斜率为故实数m的取值范围为.综上实数m的取值范围为.故选A.8．已知函数，若且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D9．已知函数，则关于的方程（）的实根个数不可能为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，在上是减函数，当时，在上是减函数，在）上是增函数，做出的大致函数图象如图所示：设，则当时，方程有一解，当时，方程有两解，当时，方程有三解．由得若方程有两解则∴方程不可能有两个负实数根，∴方程不可能有2个解．故选A．10．已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则的最小值是（）A． B． C．3 D．2【答案】A【解析】, ,时，；时，，时，最大值为；，时，最大值为；时最大值为，时，最大值为，，对任意均成立，最小值为，故选A.11．已知函数，若存在，使得关于的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】, ,当时, ,其对称轴,则函数在上为增函数,此时的值域为;当时, ,其对称轴,则函数在上为增函数,此时函数的值域为,函数在上为减函数,值域为.由于关于的函数有三个不同的零点,所以.而为增函数,故.所以.故选B.12．定义在上的函数满足，当时，，函数.若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得函数在[0,1]上的值域为，函数在[1,上是减函数，在上是增函数，所以函数在上的值域为.所以函数在的值域为∪.因为定义在上的函数满足，所以函数在的值域为∪.所以函数在的值域为∪.所以函数f(x)在的最小值为-12.∵函数g（x）=x3+3x2+m，∴=3x2+6x，令3x2+6x＞0，所以x＞0或x＜﹣2，令3x2+6x＜0，所以﹣2＜x＜0，∴函数g（x）=x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）单调递增．在（﹣2，0）单调递减，∴∃t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，∴﹣12≥m﹣16，故实数满足m≤4，故答案为：A13．已知函数，.设为实数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，∵，∴，∴．当时，单调递增，∴．综上可得．若存在实数，使得成立，则，即，整理得，解得．∴实数的取值范围为．故选B．14．已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】,由二次函数的对称性可得由可得，函数有四个不同的零点，等价于的图象与的图象有四个不同的交点，画出的图象与的图象，由图可得，∴∴=令，∴，故选B.15．设函数，若存在互不相等的4个实数，使得，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C则，令，解得，可知函数在区间单调递减，在区间上单调递增，若使函数有两个零点，必有，解得，故选C.16．已知函数，若恰有5个不同的根，则这5个根的和的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨设的个根从小到大为，即为与交点横坐标从小到大为，由正弦定理函数的对称性可得，，于是由，得，由，得，，，即个根的和的取值范围为，故选A.17．已知为定义在上的函数，其图象关于轴对称，当时，有，且当时，，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】f（x）为定义在R上的偶函数，且当x≥0时，有f（x+1）=-f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）=log2（x+1），故函数f（x）的图象如下图所示：所以恰有个不同的零点，则只需y=kx与y轴右边x轴上方的图像交两个点和与y轴左边x轴下方的交两个点即可，而在，故，又y轴左边x轴下方的交两个点只需，故综合得答案为：，故选D.18．已知函数（是自然对数底数），方程有四个实数根，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，一个根在（，+∞）内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即（）2+t+1＜0，解得：t＜．所以，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（-∞，）．选B.19．已知函数，若关于的方程有两个不等实数根，，且，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为f(x)=x3+sinx是奇函数且f′(x)=3x2+cosx≥0，所以f(x)=x3+sinx单调递增，若关于x的方程f(g(x))+m=0恰有两个不等实根，等价于f(t)+m=0有且只有一个根，t=g(x)有且只有两个根，且，所以，设函数t(x)=x-2ln(x+l)+2,则，所以当0<x<1时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x>1时，t′(x)>0，t(x)单调递增，所以，f(x)的极小值即最小值是t(1)=3-21n2，即的最小值为3-2ln2.本题选择D选项.20．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当x＞0时，f（x）=，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，由f（x）=e (x+1)2，x≤0，x＜-1时，f（x）递减；-1＜x＜0时，f（x）递增，可得x=-1处取得极小值1，作出f（x）的图象，以及直线y=a，可得e (x1+1)2=e (x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，可得x3x4=4，x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0递减，可得所求范围为[4，5）．故选B.。

专题05 函数的对称性、周期性及其应用【热点聚焦与扩展】高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练. （一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称轴即可。

例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 2、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数） （2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称中心即可。

典例在线已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）试用函数单调性定义说明函数在区间和上的增减性；（3）若满足：，试证明：．【参考答案】（1）偶函数；（2）在上是减函数，在上是增函数；（3）详见试题解析.【试题解析】（1）∵当时，，∴，∴，∵当时，，∴．∴，∴对都有，故为偶函数.（2）当时，，设且，则，∴当时，即；当时，即，∴函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.（3）由（2）可知，当时：若，则即；若，则即，∴当时，有，又由（1）可知为偶函数，∴当时，有，∴若，，则，，∴，，即【解题必备】分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 1．对于分段函数，（1）自变量x的不同的取值范围,有着不同的对应关系；（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，且各段函数的定义域不可以相交，分段函数的值域是各段函数值域的并集；（3）分段函数是一个函数，而不是几个函数.2．分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．3．（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，若涉及复合函数，则从内到外逐步求值，注意自变量所在的区间.（2）已知函数值求自变量（或参数）的值，通过分类讨论化为若干个方程组求解，要充分利用分段函数在各段上的值域，减少运算量.学霸推荐1．已知函数f(x)＝，若f(1)＝f(－1)，则实数a的值等于A．1 B．2C．3 D．42．已知函数，则下列结论正确的是A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)3．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则在R 上的解析式为．1．【答案】B【解析】根据题意，由f(1)＝f (－1)可得a＝1－(－1)＝2，故选B．2．【答案】D【名师点睛】分段函数问题的常见类型及解题策略：（1）求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．（2）求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．（3）求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．（4）解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．（5）求奇偶性、周期性：利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.3．【答案】【解析】当时，，设，则，所以，又根据奇函数满足得：，所以函数的解析式是。

A函数专题—分段函数知识点梳理一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。

二、注意：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；3、分段函数的值域是各段函数值的并集。

4、解决分段函数的方法：先分后合三、涉及的内容及相应的常用方法：1、求解析式： 利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系，已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；2、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。

不能确定时常需要分情况讨论；3、单调性： 各段单调（如递增）+连接处不等关系。

（如()()()12,(,],[,)f x x a f x f x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩在R 上是增函数，则()()()()1212(,)[,)f x a f x a f a f a ⎧-∞↑⎪⎪+∞↑⎨⎪≤⎪⎩①在上②在上③）；4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式，才有奇偶性，否则为非奇非偶函数；5、图像性质或变换等： 作图、赋值等，注意变量的范围限制；6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图；例题讲解：题型一、分段函数的图像。

1.作出函数()1y x x =+的图象 2. 函数ln |1|xy ex =--的图象大致是 （ ）1、判断函数(1)(0),()(1)(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当20,()2 3.x f x x x>=-+时求f(x)的解析式。

题型三、分段函数的最值 1、对定义域分别是,fgD D的函数(),()y f x y g x ==.规定：函数()(),,()(),(),f gf g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ⎧∈∈⎪⎪=∈∉⎨⎪∈∉⎪⎩当且当且当且 （I ）若函数21(),()1f xg x x x ==-，写出函数()h x 的解析式； （II ）求问题（I ）中函数()h x 的值域；题型四、与分段函数有关的不等式与方程 1、已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________2、已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______3、设20lg ,0()3,0a x x f x x t dt x >⎧=⎨+⎰≤⎩，若((1))1f f =，则a =1、定义运算⎩⎨⎧>≤=*)()(y x yy x x y x ，若,11-=*-m m m 则m 的取值范围是（ ）A.21≥m B. 1≥m C. 21<m D. 0>m 2、对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,,1.aa b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 3.定义符号函数,0,10,00,1sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=x x x 设[],1,0),(21)21sgn()(2)21sgn()(21∈⋅+-+⋅-=x x f x x f x x f其中),1(2)(,21)(21x x f x x f -=+=若,21,0))((⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈a f f 则实数a 的取值范围是 。

函数、根本初等函数1．指数函数〔1〕通过详细实例〔如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的改变等〕，理解指数函数模型的实际背景；〔2〕理解有理指数幂的含义，通过详细实例理解实数指数幂的意义，驾驭幂的运算。

〔3〕理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出详细指数函数的图象，探究并理解指数函数的单调性及特殊点；〔4〕在解决简洁实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型2．对数函数〔1〕理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，理解对数的发觉历史以及对简化运算的作用；〔2〕通过详细实例，直观理解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出详细对数函数的图象，探究并理解对数函数的单调性及特殊点；3．知道指数函数xay=及对数函数xyalog=互为反函数〔a＞0，a≠1〕。

〔1〕理解幂函数的概念〔2〕结合函数y=x, ,y=x2, y=x3,y=x21,y=x1的图象，理解它们的改变状况二．【命题走向】指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。

从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考察，大多以根本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决详细问题。

为此，我们要娴熟驾驭指数、对数运算法那么，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进展变形处理。

预料2021年对本节的考察是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。

同时它们及其它学问点交汇命题，那么难度会加大三．【要点精讲】1．指数及对数运算 〔1〕根式的概念：①定义：假设一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，那么这个数称a 的n 次方根。

即假设a x n =，那么x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1〕当n 为奇数时，n a 的次方根记作na ；2〕当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n ②性质：1〕a a n n =)(；2〕当n 为奇数时，a a nn =； 3〕当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n。

分段函数常考题型总结
由于分段函数不仅能充分考查函数的概念与性质，而且能充分考查分类与整合思想、数形结合思想，因而分段函数已成为近年高考数学命题的热点之一．本文就分段函数常考题型进行归类剖析，旨在帮助学生理清常用解题策略，进而提高处理此类问题的技能技巧．总之，结合上述归类解析可知: 解决分段函数问题时，如果能够画出分段函数的大致图像，那么其值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解; 同时，处理分段函数与方程、不等式的综合问题时，如果能够灵活运用分类与整合思想、数形结合思想，可优化解题过程，取得明显效果．一言以蔽之，解决分段函数问题的关键就是: “分段函数，分段处理”!。

高中数学数学干货｜经典分段函数专题在高中数学中，分段函数是一个非常重要且常见的概念。

它由多个线性函数组成，每个函数在不同的区间上定义。

在本文中，我们将深入探讨分段函数的相关知识，并介绍一些经典的分段函数题目和解法。

1. 什么是分段函数？分段函数是由若干段不同的线性函数组成的函数。

它通常采用以下的形式表示：\[f(x) = \begin{cases}f_1(x), & x \in D_1\\f_2(x), & x \in D_2\\\cdots\\f_n(x), & x \in D_n\end{cases}\]其中，$f_i(x)$表示第$i$段线性函数，$D_i$表示第$i$段函数的定义域。

2. 分段函数的分类根据不同的特性和形式，分段函数可以分为以下几种类型：2.1 分段常值函数分段常值函数是由多个常值函数组成的函数。

在不同的区间内，函数的取值是不同的常数。

例如，考虑以下分段函数：\[f(x) = \begin{cases}1, & x < 0\\ 2, & x \geq 0\end{cases}\]在$x < 0$的区间内，函数的取值为1；在$x \geq 0$的区间内，函数的取值为2。

2.2 分段线性函数分段线性函数是由多个线性函数组成的函数。

在不同的区间内，函数的斜率和截距可能是不同的。

例如，考虑以下分段函数：\[f(x) = \begin{cases}2x, & x < 0\\ x^2, & x \geq 0\end{cases}\]在$x < 0$的区间内，函数的斜率为2；在$x \geq 0$的区间内，函数的斜率为$x$。

3. 经典分段函数题目与解法接下来，我们将介绍一些经典的分段函数题目，并给出相应的解法。

3.1 题目一已知函数$f(x)$满足以下条件：\[f(x) = \begin{cases}x+1, & x < 1\\ 2x, & x \geq 1\end{cases}\]求解方程$f(x) = 3$的解。

专题07 常考常新的分段函数【热点聚焦与扩展】分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化.即“分段函数——分段看”.高考关于分段函数的考查，往往与函数的图象和性质相结合，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中.分段函数表示一个函数，不是几个函数，从近几年高考命题看，考查力度有加大趋势，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是与基本初等函数结合，要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．1、分段函数的定义域与值域——各段的并集.2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起.3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式.4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的.否则是断开的.例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析.再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段.（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数.例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论.6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合.【经典例题】例1【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．例2【2017天津，文8】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）[2,2]-（B）[2]-（C）[2,-（D）[-【答案】A【解析】【名师点睛】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.例3.已知()[)[]2 1.1,01,0,1x x f x x x +∈-⎧⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列选项错误的是（ ）A. ①是()1f x -的图像B. ②是()f x -的图像C. ③是()f x 的图像D. ④是()f x 的图像【答案】D例4.函数()31,12sin ,12x x f x x x π⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩ ，则下列结论正确的是（ ） A. 函数()f x 在[)1,+∞上为增函数 B. 函数()f x 的最小正周期为4C. 函数()f x 是奇函数D. 函数()f x 无最小值【答案】A【名师点睛】（1）本题利用数形结合是最为简便的方法，一方面是因为()f x 本身便于作图，另一方面四个选项在图上也有具体的含义.（2）分段函数作图过程中，尤其在函数图象断开时，一定要注意端点处属于哪个解析式.本题中1x =-就属于2sin 2y x π=部分，所以才存在最小值.例5【2017课标3，文理】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________. 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭写成分段函数的形式：()())132,021112,0222112,2x x x x g x f x f x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪⎛⎫=+-=++<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩， 函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 三段区间内均单调递增，且：)001111,201,12142g -⎛⎫-=++>⨯> ⎪⎝⎭ ， 据此x 的取值范围是：1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.例6【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】已知函数()()2231,3{2,3x a x a x f x a x --++≤=>（0a >且1a ≠），若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）。