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一、知识梳理１．函数的零点函数零点的概念对于函数y ＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y ＝f（x）（x∈D）的零点方程的根与函数零点的关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点函数零点的存在性定理函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f（a）·f （b）<0，则y＝f（x）在（a，b）内存在零点２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１，0），（x２，0）（x１，0）无交点零点个数两个一个零个有关函数零点的结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、习题改编１．（必修１P9２A组T５改编）函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的大致范围是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（２，３）Ｃ．错误!和（３，４）Ｄ．（４，＋∞）答案：B２．（必修１P88例１改编）f（x）＝e x＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案：B３．（必修１P9２A组T４改编）函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为．答案：１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0．（）（３）二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠0）在b２—４ac<0时没有零点．（）（４）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽略限制条件致误；（２）错用零点存在性定理致误．１．函数f（x）＝（x—１）ln（x—２）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．由x—２>0，得x>２，所以函数f（x）的定义域为（２，＋∞），所以当f（x）＝0，即（x—１）ln（x—２）＝0时，解得x＝１（舍去）或x＝３．２．已知函数f（x）＝２ax—a＋３，若∃x0∈（—１，１），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是．解析：依题意可得f（—１）·f（１）<0，即（—２a—a＋３）（２a—a＋３）<0，解得a<—３或a>１．答案：（—∞，—３）∪（１，＋∞）函数零点所在区间的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝log３x＋x—２的零点所在的区间为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（１，２）Ｃ．（２，３）Ｄ．（３，４）【解析】法一（定理法）：函数f（x）＝log３x＋x—２的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f（１）＝—１<0，f（２）＝log３２>0，f（３）＝２>0，根据零点存在性定理可知，函数f（x）＝log３x＋x—２有唯一零点，且零点在区间（１，２）内．法二（图象法）：函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝log３x，h（x）＝—x＋２图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（１，２）．故选Ｂ．【答案】B错误!判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象设f（x）＝３x—x２，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）Ａ．[0，１] Ｂ．[１，２]Ｃ．[—２，—１] Ｄ．[—１，0]解析：选Ｄ．因为f（x）＝３x—x２，所以f（—１）＝３—１—１＝—错误!<0，f（0）＝３0—0＝１>0，所以f（—１）·f（0）<0．函数零点个数的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0【解析】法一（方程法）：由f（x）＝0，得错误!或错误!解得x＝—２或x＝e.因此函数f（x）共有２个零点．法二（图形法）：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）共有２个零点．【答案】B错误!判断函数零点个数的３种方法（１）方程法：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（２）定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点．（３）图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．已知函数f（x）＝错误!则f（x）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．当x>１时，令f（x）＝ln（x—１）＝0，得x＝２；当x≤１时，令f（x）＝２x—１—１＝0，得x＝１．故选Ｃ．函数零点的应用（师生共研）设函数f（x）＝错误!（１）若a＝１，则f（x）的最小值为；（２）若f（x）恰有２个零点，则实数a的取值范围是．【解析】（１）若a＝１，则f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．由图可得f（x）的最小值为—１．（２）当a≥１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足２１—a≤0，即a≥２，所以a≥２；当a<１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足错误!解得错误!≤a<１．综上，实数a的取值范围为错误!∪[２，＋∞）．【答案】（１）—１（２）错误!∪[２，＋∞）错误!利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤（１）常用方法（２）一般步骤１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１，２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１，３）Ｂ．（１，２）Ｃ．（0，３）Ｄ．（0，２）解析：选Ｃ．由题意，知函数f（x）在（１，２）上单调递增，又函数一个零点在区间（１，２）内，所以错误!即错误!解得0<a<３，故选Ｃ．２．已知函数f（x）＝错误!若函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，则实数m的取值范围是．解析：画出函数f（x）＝错误!的图象，如图所示．由于函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，结合图象得0<m<１，即m∈（0，１）．答案：（0，１）３．若函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，则实数a的取值范围是．解析：因为函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，所以方程４x—２x—a＝0在[—１，１]上有解，即方程a＝４x—２x在[—１，１]上有解．方程a＝４x—２x可变形为a＝错误!错误!—错误!，因为x∈[—１，１]，所以２x∈错误!，所以错误!错误!—错误!∈错误!.所以实数a的取值范围是错误!.答案：错误!核心素养系列５直观想象——用图形快速解决的常见几类题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．一、利用图形研究函数的性质【解析】由已知条件得f（x＋２）＝f（x），则y＝f（x）是以２为周期的周期函数，１正确；当—１≤x≤0时，0≤—x≤１，f（x）＝f（—x）＝错误!错误!，函数y＝f（x）的部分图象如图所示：由图象知２正确，３不正确；当３<x<４时，—１<x—４<0，f（x）＝f（x—４）＝错误!错误!，因此４正确，故正确命题的序号为１２４．【答案】１２４错误!作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论．二、利用图形解不等式使log２（—x）<x＋１成立的x的取值范围是．【解析】在同一直角坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１，0）．【答案】（—１，0）错误!f（x），g（x）之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集．三、利用图形求解不等式中的参数范围若不等式|x—２a|≥错误!x＋a—１对x∈R恒成立，则a的取值范围是．【解析】作出y＝|x—２a|和y＝错误!x＋a—１的简图，依题意知应有２a≤２—２a，故a≤错误!.【答案】错误!错误!对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围．四、利用图形研究零点问题已知函数f（x）＝２x＋x，g（x）＝log３x＋x，h（x）＝x—错误!的零点依次为a，b，c，则（）Ａ．a<b<cＢ．c<b<aＣ．c<a<bＤ．b<a<c【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y＝２x，y＝log３x，y＝—错误!的图象，如图，观察它们与y＝—x的交点可知a<b<c，故选Ａ．【答案】A错误!零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解．１．函数f（x）＝|x—２|—ln x在定义域内的零点的个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y１＝|x—２|（x>0），y２＝ln x（x>0）的图象，如图所示．由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为２．２．已知函数f（x）＝错误!若f（a２）<f（２—a），则实数a的取值范围是．解析：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递增，所以a２<２—a，解得—２<a<１，故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）[基础题组练]１．（２0２0·福州期末）已知函数f（x）＝错误!则函数y＝f（x）＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．令f（x）＋３x＝0，则错误!或错误!解得x＝0或x＝—１，所以函数y＝f（x）＋３x 的零点个数是２．故选Ｃ．２．下列函数中，在（—１，１）内有零点且单调递增的是（）Ａ．y＝log错误!xＢ．y＝２x—１Ｃ．y＝x２—错误!Ｄ．y＝—x３解析：选Ｂ．函数y＝log错误!x在定义域上单调递减，y＝x２—错误!在（—１，１）上不是单调函数，y＝—x３在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝２x—１，当x＝0∈（—１，１）时，y＝0且y＝２x—１在R上单调递增．故选Ｂ．３．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）方程log４x＋x＝7的解所在区间是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（３，４）Ｃ．（５，6）Ｄ．（6，7）解析：选Ｃ．令函数f（x）＝log４x＋x—7，则函数f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数，且是连续函数．因为f（５）<0，f（6）>0，所以f（５）·f（6）<0，所以函数f（x）＝log４x＋x—7的零点所在区间为（５，6），所以方程log４x＋x＝7的解所在区间是（５，6）．故选Ｃ．４．（２0２0·内蒙古月考）已知函数f（x）＝x２—２|x|—m的零点有两个，则实数m的取值范围为（）Ａ．（—１，0）Ｂ．{—１}∪（0，＋∞）Ｃ．[—１，0）∪（0，＋∞）Ｄ．（0，１）解析：选Ｂ．在同一直角坐标系内作出函数y＝x２—２|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝—１时，直线y＝m与函数y＝x２—２|x|的图象有两个交点，即函数f（x）＝x２—２|x|—m有两个零点．故选Ｂ．５．已知函数f（x）＝x e x—ax—１，则关于f（x）的零点叙述正确的是（）Ａ．当a＝0时，函数f（x）有两个零点B．函数f（x）必有一个零点是正数Ｃ．当a<0时，函数f（x）有两个零点Ｄ．当a>0时，函数f（x）只有一个零点解析：选Ｂ．f（x）＝0⇔e x＝a＋错误!（x≠0），在同一直角坐标系中作出y＝e x与y＝错误!的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．6．已知函数f（x）＝错误!＋a的零点为１，则实数a的值为．解析：由已知得f（１）＝0，即错误!＋a＝0，解得a＝—错误!.答案：—错误!7．（２0２0·新疆第一次适应性检测）设a∈Z，函数f（x）＝e x＋x—a，若x∈（—１，１）时，函数有零点，则a的取值个数为．解析：根据函数解析式得到函数f（x）是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈（—１，１）时，函数有零点，需要满足错误!⇒错误!—１<a<e＋１，因为a是整数，故可得到a的可能取值为0，１，２，３．答案：４8．已知f（x）＝x２＋（a２—１）x＋（a—２）的一个零点比１大，一个零点比１小，则实数a的取值范围是．解析：法一：设方程x２＋（a２—１）x＋（a—２）＝0的两根分别为x１，x２（x１<x２），则（x１—１）（x２—１）<0，所以x１x２—（x１＋x２）＋１<0，由根与系数的关系，得（a—２）＋（a２—１）＋１<0，即a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围为（—２，１）．法二：函数f（x）的图象大致如图，则有f（１）<0，即１＋（a２—１）＋a—２<0，得a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）9．设函数f（x）＝ax２＋bx＋b—１（a≠0）．（１）当a＝１，b＝—２时，求函数f（x）的零点；（２）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解：（１）当a＝１，b＝—２时，f（x）＝x２—２x—３，令f（x）＝0，得x＝３或x＝—１．所以函数f（x）的零点为３或—１．（２）依题意，f（x）＝ax２＋bx＋b—１＝0有两个不同的实根，所以b２—４a（b—１）>0恒成立，即对于任意b∈R，b２—４ab＋４a>0恒成立，所以有（—４a）２—４×（４a）<0⇒a２—a<0，解得0<a<１，因此实数a的取值范围是（0，１）．１0．已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），满足f（0）＝２，f（x＋１）—f（x）＝２x—１．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若函数g（x）＝f（x）—mx的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，求m的取值范围．解：（１）由f（0）＝２得c＝２，又f（x＋１）—f（x）＝２x—１，得２ax＋a＋b＝２x—１，故错误!解得a＝１，b＝—２，所以f（x）＝x２—２x＋２．（２）g（x）＝x２—（２＋m）x＋２，若g（x）的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，则满足错误!⇒错误!解得１<m<错误!.所以m的取值范围为错误!.[综合题组练]１．（一题多解）函数f（x）＝２x—错误!零点的个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．法一：当x<0时，f（x）＝２x—错误!>0恒成立，无零点；又易知f（x）＝２x—错误!在（0，＋∞）上单调递增，最多有一个零点．又f错误!＝错误!—２<0，f（１）＝２—１>0，所以有一个零点．故选Ｂ．法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝２x和y＝错误!的图象，如图所示．函数f（x）＝２x—错误!的零点等价于２x＝错误!的根等价于函数y＝２x和y＝错误!的交点．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选Ｂ．２．已知命题p：“m＝２”是“幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数”的充要条件；命题q：已知函数f（x）＝ln x＋３x—8的零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＋b＝５．则下列命题为真命题的是（）Ａ．p∧qＢ．（﹁p）∧qＣ．﹁qＤ．p∧（﹁q）解析：选Ａ．对于命题p，若幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数，则错误!解得m＝２，所以命题p是真命题，﹁p是假命题．对于命题q，函数f（x）＝ln x＋３x—8在（0，＋∞）上单调递增，且f（２）＝ln ２—２<0，f（３）＝ln ３＋１>0，所以零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＝２，b＝３，a＋b＝５，所以命题q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q 是真命题，（﹁p）∧q，﹁q，p∧（﹁q）都是假命题．故选Ａ．３．设函数f（x）＝错误!（x>0）．（１）作出函数f（x）的图象；（２）当0<a<b，且f（a）＝f（b）时，求错误!＋错误!的值；（３）若方程f（x）＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：（１）如图所示．（２）因为f（x）＝错误!＝错误!故f（x）在（0，１]上是减函数，而在（１，＋∞）上是增函数，由0<a<b且f（a）＝f（b），得0<a<１<b，且错误!—１＝１—错误!，所以错误!＋错误!＝２．（３）由（１）中函数f（x）的图象可知，当0<m<１时，方程f（x）＝m有两个不相等的正根．所以m的取值范围是（0，１）．４．（创新型）已知函数f（x）＝—x２—２x，g（x）＝错误!（１）求g（f（１））的值；（２）若方程g（f（x））—a＝0有４个实数根，求实数a的取值范围．解：（１）利用解析式直接求解得g（f（１））＝g（—３）＝—３＋１＝—２．（２）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在t∈（—∞，１）上有２个不同的解，则原方程有４个解等价于函数y＝g（t）（t<１）与y＝a的图象有２个不同的交点，作出函数y＝g （t）（t<１）的图象，如图，由图象可知，当１≤a<错误!时，函数y＝g（t）（t<１）与y＝a有２个不同的交点，即所求a的取值范围是错误!.。
一、知识梳理１．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f（x）（x∈A）对应f：A→B是一个映射（１）函数的定义域、值域在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．（２）函数的三要素：定义域、值域和对应关系．（３）函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．[注意] 函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．３．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．二、习题改编１．（必修１P２３练习T２改编）下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）答案：C２．（必修１P１8例２改编）下列哪个函数与y＝x相等（）Ａ．y＝错误!Ｂ．y＝２log２xＣ．y＝错误!Ｄ．y＝（错误!）３答案：D一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）对于函数f：A→B，其值域是集合B.（）（２）函数f（x）＝x２—２x与g（t）＝t２—２t是同一函数．（）（３）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．（）（４）函数f（x）的图象与直线x＝１最多有一个交点．（）（５）分段函数是由两个或几个函数组成的．（）答案：（１）×（２）√（３）×（４）√（５）×二、易错纠偏错误!（１）对函数概念理解不透彻；（２）解分段函数不等式忽视范围．１．下列函数中，与函数y＝x＋１是相等函数的是（）Ａ．y＝（错误!）２Ｂ．y＝３错误!＋１Ｃ．y＝错误!＋１Ｄ．y＝错误!＋１解析：选Ｂ．对于Ａ．函数y＝（错误!）２的定义域为{x|x≥—１}，与函数y＝x＋１的定义域不同，不是相等函数；对于Ｂ．定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于Ｃ．函数y＝错误!＋１的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋１的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．２．设函数f（x）＝错误!则使得f（x）≥１的自变量x的取值范围为．解析：当x<１时，|x|≥１，所以x≥１或x≤—１．所以x≤—１；当x≥１时，３x—５≥１，所以x≥２．所以x≥２；所以x的取值范围为（—∞，—１]∪[２，＋∞）．答案：（—∞，—１]∪[２，＋∞）函数的定义域（多维探究）角度一求函数的定义域（２0２0·辽宁鞍山一中一模）函数f（x）＝错误!＋ln（２x＋１）的定义域为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】要使函数f（x）有意义，需满足错误!解得—错误!<x<２．所以函数f（x）的定义域为错误!.故选Ｄ．【答案】D错误!求函数定义域的两种方法方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式（组）求解已知函数的具体表达式，求f（x）的定义域转移法若y＝f（x）的定义域为（a，b），则解不等式a<g（x）<b即可求出y＝f（g（x））的已知f（x）的定义域，求f（g（x））的定义域定义域若y＝f（g（x））的定义域为（a，b），则求出g（x）在（a，b）上的值域即得f（x）的定义域已知f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域[提醒] 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．角度二已知函数的定义域求参数若函数f（x）＝错误!的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是．【解析】由题意可得mx２＋mx＋１≥0对x∈R恒成立．当m＝0时，１≥0恒成立；当m≠0时，则错误!解得0<m≤４．综上可得0≤m≤４．【答案】[0，４]错误!已知函数定义域求参数取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．１．函数f（x）＝错误!＋ln（２x—x２）的定义域为（）Ａ．（２，＋∞）Ｂ．（１，２）Ｃ．（0，２）Ｄ．[１，２]解析：选Ｂ．要使函数有意义，则错误!解得１<x<２．所以函数f（x）＝错误!＋ln（２x—x２）的定义域为（１，２）．２．如果函数f（x）＝ln（—２x＋a）的定义域为（—∞，１），那么实数a的值为（）Ａ．—２Ｂ．—１Ｃ．１Ｄ．２解析：选Ｄ．因为—２x＋a>0，所以x<错误!，所以错误!＝１，所以a＝２．３．（２0２0·山东安丘质量检测）已知函数f（x）的定义域为[0，２]，则函数g（x）＝f错误!＋错误!的定义域为（）Ａ．[0，３] Ｂ．[0，２]Ｃ．[１，２] Ｄ．[１，３]解析：选Ａ．由题意，可知x满足错误!解得0≤x≤３，即函数g（x）的定义域为[0，３]，故选Ａ．函数的解析式（师生共研）（１）已知f错误!＝lg x，则f（x）的解析式为．（２）若f（x）为二次函数且f（0）＝３，f（x＋２）—f（x）＝４x＋２，则f（x）的解析式为．（３）已知函数f（x）满足f（—x）＋２f（x）＝２x，则f（x）的解析式为．【解析】（１）（换元法）令错误!＋１＝t，由于x>0，所以t>１且x＝错误!，所以f（t）＝lg错误!，即f（x）的解析式是f（x）＝lg错误!（x>１）．（２）（待定系数法）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），又f（0）＝c＝３．所以f（x）＝ax２＋bx＋３，所以f（x＋２）—f（x）＝a（x＋２）２＋b（x＋２）＋３—（ax２＋bx＋３）＝４ax＋４a＋２b＝４x＋２．所以错误!所以错误!所以所求函数的解析式为f（x）＝x２—x＋３．（３）（解方程组法）因为２f（x）＋f（—x）＝２x，１将x换成—x得２f（—x）＋f（x）＝—２x，２由１２消去f（—x），得３f（x）＝6x，所以f（x）＝２x.【答案】（１）f（x）＝lg错误!（x＞１）（２）f（x）＝x２—x＋３（３）f（x）＝２x 错误!求函数解析式的４种方法１．（一题多解）已知二次函数f（２x＋１）＝４x２—6x＋５，则f（x）＝．解析：法一（换元法）：令２x＋１＝t（t∈R），则x＝错误!，所以f（t）＝４错误!错误!—6·错误!＋５＝t２—５t＋9（t∈R），所以f（x）＝x２—５x＋9（x∈R）．法二（配凑法）：因为f（２x＋１）＝４x２—6x＋５＝（２x＋１）２—１0x＋４＝（２x＋１）２—５（２x＋１）＋9，所以f（x）＝x２—５x＋9（x∈R）．法三（待定系数法）：因为f（x）是二次函数，所以设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），则f（２x＋１）＝a（２x＋１）２＋b（２x＋１）＋c＝４ax２＋（４a＋２b）x＋a＋b＋c.因为f（２x＋１）＝４x２—6x＋５，所以错误!解得错误!所以f（x）＝x２—５x＋9（x∈R）．答案：x２—５x＋9（x∈R）２．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋１）＝２f（x）．若当0≤x≤１时，f（x）＝x（１—x），则当—１≤x≤0时，f（x）＝．解析：因为—１≤x≤0，所以0≤x＋１≤１，所以f（x）＝错误!f（x＋１）＝错误!（x＋１）[１—（x ＋１）]＝—错误!x（x＋１）．故当—１≤x≤0时，f（x）＝—错误!x（x＋１）．答案：—错误!x（x＋１）分段函数（多维探究）角度一求分段函数的函数值（１）（２0２0·合肥一检）已知函数f（x）＝错误!则f（f（１））＝（）Ａ．—错误!Ｂ．２Ｃ．４Ｄ．１１（２）（２0２0·山西太原三中模拟）设函数f（x）＝错误!若f（m）＝３，则f错误!＝．【解析】（１）因为f（１）＝１２＋２＝３，所以f（f（１））＝f（３）＝３＋错误!＝４．故选Ｃ．（２）当m≥２时，m２—１＝３，所以m＝２或m＝—２（舍）；当0<m<２时，log２m＝３，所以m＝8（舍）．所以m＝２．所以f错误!＝f错误!＝log２错误!＝—１．【答案】（１）C （２）—１错误!分段函数的求值问题的解题思路（１）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f （a））的形式时，应从内到外依次求值．（２）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度二分段函数与方程、不等式问题（１）（一题多解）设f（x）＝错误!若f（a）＝f（a＋１），则f错误!＝（）A．２Ｂ．４C．6 Ｄ．8（２）（一题多解）（２0１8·高考全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝错误!，则满足f（x＋１）<f（２x）的x的取值范围是（）Ａ．（—∞，—１] Ｂ．（0，＋∞）Ｃ．（—１，0）Ｄ．（—∞，0）【解析】（１）法一：当0＜a＜１时，a＋１＞１，所以f（a）＝错误!，f（a＋１）＝２（a＋１—１）＝２a.由f（a）＝f（a＋１）得错误!＝２a，所以a＝错误!.此时f错误!＝f（４）＝２×（４—１）＝6．当a≥１时，a＋１＞１，所以f（a）＝２（a—１），f（a＋１）＝２（a＋１—１）＝２a.由f（a）＝f（a＋１）得２（a—１）＝２a，无解．综上，f错误!＝6，故选Ｃ．法二：因为当0＜x＜１时，f（x）＝错误!，为增函数，当x≥１时，f（x）＝２（x—１），为增函数，又f（a）＝f（a＋１），所以错误!＝２（a＋１—１），所以a＝错误!.所以f错误!＝f（４）＝6．（２）法一：１当错误!即x≤—１时，f（x＋１）＜f（２x）即为２—（x＋１）＜２—２x，即—（x＋１）＜—２x，解得x＜１．因此不等式的解集为（—∞，—１]．２当错误!时，不等式组无解．３当错误!即—１＜x≤0时，f（x＋１）＜f（２x）即１＜２—２x，解得x＜0．因此不等式的解集为（—１，0）．４当错误!即x＞0时，f（x＋１）＝１，f（２x）＝１，不合题意．综上，不等式f（x＋１）＜f（２x）的解集为（—∞，0）．故选Ｄ．法二：因为f（x）＝错误!所以函数f（x）的图象如图所示．由图可知，当x＋１≤0且２x≤0时，函数f（x）为减函数，故f（x＋１）＜f（２x）转化为x＋１＞２x.此时x≤—１．当２x＜0且x＋１＞0时，f（２x）＞１，f（x＋１）＝１，满足f（x＋１）＜f（２x）．此时—１＜x＜0．综上，不等式f（x＋１）＜f（２x）的解集为（—∞，—１]∪（—１，0）＝（—∞，0）．故选Ｄ．【答案】（１）C （２）D错误!有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解．１．已知f（x）＝错误!则f错误!＋f错误!的值等于（）Ａ．—２Ｂ．４Ｃ．２Ｄ．—４解析：选Ｂ．由题意得f错误!＝２×错误!＝错误!.f错误!＝f错误!＝f错误!＝２×错误!＝错误!.所以f错误!＋f错误!＝４．２．已知函数f（x）＝错误!若a[f（a）—f（—a）]>0，则实数a的取值范围为（）Ａ．（１，＋∞）Ｂ．（２，＋∞）Ｃ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）Ｄ．（—∞，—２）∪（２，＋∞）解析：选Ｄ．当a>0时，不等式a[f（a）—f（—a）]>0可化为a２＋a—３a>0，解得a>２．当a<0时．不等式a[f（a）—f（—a）]>0可化为—a２—２a<0，解得a<—２．综上所述，a的取值范围为（—∞，—２）∪（２，＋∞）．３．（２0２0·安徽安庆二模）已知函数f（x）＝错误!若实数a满足f（a）＝f（a—１），则f错误!＝．解析：由题意得a>0．当0<a<１时，由f（a）＝f（a—１），即２a＝错误!.解得a＝错误!，则f错误!＝f（４）＝8，当a≥１时，由f（a）＝f（a—１），得２a＝２（a—１），无解．答案：8核心素养系列２数学抽象——函数的新定义问题所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．（２0２0·广东深圳３月模拟）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f（x）的图象恰好经过n（n∈N*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数．给出下列函数：１f（x）＝sin ２x；２g（x）＝x３；３h（x）＝错误!错误!；４φ（x）＝ln x.其中是一阶整点函数的是（）Ａ．１２３４Ｂ．１３４Ｃ．１４Ｄ．４【解析】对于函数f（x）＝sin ２x，它的图象（图略）只经过一个整点（0，0），所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g（x）＝x３，它的图象（图略）经过整点（0，0），（１，１），…，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h（x）＝错误!错误!，它的图象（图略）经过整点（0，１），（—１，３），…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选Ｃ．【答案】C错误!本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f（x）的图象恰好经过１个整点，问题便迎刃而解.１．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x２＋１，值域为{１，３}的同族函数有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个解析：选Ｃ．由x２＋１＝１得x＝0，由x２＋１＝３得x＝±错误!，所以函数的定义域可以是{0，错误!}，{0，—错误!}，{0，错误!，—错误!}，故值域为{１，３}的同族函数共有３个．２．若函数f（x）同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：（１）∀x∈R，都有f（—x）＋f（x）＝0；（２）∀x１，x２∈R，且x１≠x２，都有错误!<0．１f（x）＝sin x；２f（x）＝—２x３；３f（x）＝１—x；以上三个函数中，是“优美函数”．解析：由条件（１），得f（x）是R上的奇函数，由条件（２），得f（x）是R上的单调递减函数．对于１，f（x）＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于２，f（x）＝—２x３既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于３，f（x）＝１—x不是奇函数，故不是“优美函数”．答案：２[基础题组练]１．函数y＝错误!的定义域为（）Ａ．（１，＋∞）Ｂ．[１，＋∞）Ｃ．（１，２）∪（２，＋∞）Ｄ．（１，２）∪[３，＋∞）解析：选Ｃ．由ln（x—１）≠0，得x—１>0且x—１≠１．由此解得x>１且x≠２，即函数y＝错误!的定义域是（１，２）∪（２，＋∞）．２．已知f错误!＝２x—５，且f（a）＝6，则a等于（）A．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：选Ｂ．令t＝错误!x—１，则x＝２t＋２，所以f（t）＝２（２t＋２）—５＝４t—１，所以f（a）＝４a—１＝6，即a＝错误!.３．（２0２0·江西南昌一模）设函数f（x）＝错误!则f（５）的值为（）Ａ．—7 Ｂ．—１Ｃ．0 Ｄ．错误!解析：选Ｄ．f（５）＝f（５—３）＝f（２）＝f（２—３）＝f（—１）＝（—１）２—２—１＝错误!.故选Ｄ．４．已知f错误!＝错误!＋错误!，则f（x）等于（）Ａ．（x＋１）２（x≠１）Ｂ．（x—１）２（x≠１）Ｃ．x２—x＋１（x≠１）Ｄ．x２＋x＋１（x≠１）解析：选Ｃ．f错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!—错误!＋１，令错误!＝t（t≠１），则f（t）＝t２—t＋１，即f（x）＝x２—x＋１（x≠１）．５．设函数f（x）＝错误!则f（f（２））＝，函数f（x）的值域是．解析：因为f（２）＝错误!，所以f（f（２））＝f错误!＝—错误!—２＝—错误!.当x>１时，f（x）∈（0，１），当x≤１时，f（x）∈[—３，＋∞），所以f（x）∈[—３，＋∞）．答案：—错误![—３，＋∞）6．若函数f（x）在闭区间[—１，２]上的图象如图所示，则此函数的解析式为．解析：由题图可知，当—１≤x<0时，f（x）＝x＋１；当0≤x≤２时，f（x）＝—错误!x，所以f（x）＝错误!答案：f（x）＝错误!7．已知f（x）＝错误!则使f（x）≥—１成立的x的取值范围是．解析：由题意知错误!或错误!解得—４≤x≤0或0＜x≤２，故x的取值范围是[—４，２]．答案：[—４，２]8．设函数f（x）＝错误!且f（—２）＝３，f（—１）＝f（１）．（１）求f（x）的解析式；（２）画出f（x）的图象．解：（１）由f（—２）＝３，f（—１）＝f（１）得错误!解得a＝—１，b＝１，所以f（x）＝错误!（２）f（x）的图象如图所示．[综合题组练]１．（２0２0·海淀期末）下列四个函数：１y＝３—x；２y＝２x—１（x>0）；３y＝x２＋２x—１0；４y＝错误!其中定义域与值域相同的函数的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选Ｂ．１y＝３—x的定义域与值域均为R，２y＝２x—１（x>0）的定义域为（0，＋∞），值域为错误!，３y＝x２＋２x—１0的定义域为R，值域为[—１１，＋∞），４y＝错误!的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是１４，共有２个，故选Ｂ．２．（创新型）设f（x），g（x）都是定义在实数集上的函数，定义函数（f·g）（x）：∀x∈R，（f·g）（x）＝f（g（x））．若f（x）＝错误!g（x）＝错误!则（）Ａ．（f·f）（x）＝f（x）Ｂ．（f·g）（x）＝f（x）Ｃ．（g·f）（x）＝g（x）Ｄ．（g·g）（x）＝g（x）解析：选Ａ．对于A，（f·f）（x）＝f（f（x））＝错误!当x>0时，f（x）＝x>0，（f·f）（x）＝f（x）＝x；当x<0时，f（x）＝x２>0，（f·f）（x）＝f（x）＝x２；当x＝0时，（f·f）（x）＝f２（x）＝0＝0２，因此对任意的x∈R，有（f·f）（x）＝f（x），故A正确，选Ａ．３．（２0２0·宁夏银川一中一模）已知函数f（x）＝错误!则f（x＋１）—9≤0的解集为．解析：因为f（x）＝错误!所以当x＋１≤0时，错误!解得—４≤x≤—１；当x＋１>0时，错误!解得x>—１．综上，x≥—４，即f（x＋１）—9≤0的解集为[—４，＋∞）．答案：[—４，＋∞）４．（创新型）设函数f（x）的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f（y）＝—f（x）成立，则称函数f（x）为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：１f（x）＝x２；２f（x）＝错误!；３f（x）＝ln（２x＋３）；４f（x）＝２sin x—１．其中是“美丽函数”的序号有．解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f（x）与y所对应的函数值f（y）互为相反数，即f（y）＝—f（x）．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．１中函数的值域为[0，＋∞），值域不关于原点对称，故１不符合题意；２中函数的值域为（—∞，0）∪（0，＋∞），值域关于原点对称，故２符合题意；３中函数的值域为（—∞，＋∞），值域关于原点对称，故３符合题意；４中函数f（x）＝２sin x—１的值域为[—３，１]，不关于原点对称，故４不符合题意．故本题正确答案为２３．答案：２３。
