2021届高一数学单元测卷北师大版必修第一册第四章 对数运算与对数函数(基础过关原卷版)

第四章对数运算与对数函数考试时间120分钟，满分150分.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1. 若对数logu-1)(4A —5)有意义，则x 的取值范围是()A.B. §>x>2C. ^>.v>2 或 x>2D. 2S S A <32. 已知 log7 [log3 (log 2X )] =0,那么『2 等于( )A. |B.平3 6 C 也 D 吏 s 4"9 3. 若 y=logs6 • log6? • log 78 • log 89 • log 910,贝!J () A.汽(0, 1) B.汽(1,2) C. ye (2, 3)D. 03, 4) 4. 设函数/(x) =10g2%,若六。

+1)>2,则"的取值范围为()A. (—1,3) B. (—8, 3) C. (一8, 1)D. (-1, 1) ］（3。

一1）尤+4。

，x>L5.已知/（x ） =1 是R 上的减函数，那么"的取值范围是（）〔log* x^l6.在同一直角坐标系中，函数y=^,y=log«^r+£）, （o>0且o#0）的图象可能是（1-3 1-7 一︓(O A.A 23A.-百C J-19D- 24八廿In 2 T In 3 In 5)z8.右u—2，b—3 , c—5，贝！J (A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. b>a>c二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中, 有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9.若10"=4, 10*=25,贝!]( )A. a+/?=2B. b—0=1C. cib>8 (1g 2)2D. Z?—«>lg 610.若0>a>l,则下列四个不等式中成立的是()A. log。

对数运算与对数函数—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（B卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的定义域为( )A. B.C. D.2.以下四种说法中，正确的是( )A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对任意的，C.对任意的，D.不一定存在，当时，总有3.已知函数，若，则( )A. B. C. D.14.已知函数，若，使得恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B.，C. D.5.已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. B. C. D.6.已知是奇函数，若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值域为( )2()ln()f x x x =-(,0)(1,)-∞+∞ ][(),01,-∞+∞ (0,1)[0,1]0x >log n a x x >0x >log x a a x>0x 0x x >log x n a a x x>>331,0()log (1),0x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩()2f a =(1)f a +=3log 23log 103log 5()2()log a f x x ax a =-+0x ∃∈R ()0()f x f x ≥14a <<04a <<1a ≠01a <<4a ≥13log 2a =2log 3b =0.32c -=a b c>>b a c>>c a b>>b c a>>21()log 1f x x a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭()g x ()f x y x =()g xA. B.C. D.7.已知，，且，则的最小值为( )A.10B.9C. D.8.函数（，，），若，则a 的值为( )二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.10.已知函数是R 上的偶函数,且在上单调递增,,,,则下列说法正确的是( )A.函数的图象关于直线对称B.C.函数在区间上单调递减D.函数在处取到最大值11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(,2)(2,)-∞-+∞ (2,2)-1a >1b >lg 12lg a b =-log 2log 4a b +9lg 28lg 2()log (1)log (1)a a f x x x =++-0a >1a ≠x ⎡∈⎢⎣max min ()()1f x f x -=6log 3a =6log 2b =1a b +=3log 2b a=-61log 29a =-26log 241b =+()1y f x =+()f x [)1,+∞()2log 8a f =()ln 2b f =-()ln 2e c f =()y f x =1x =c b a<<()y f x =(],1-∞()f x 1x =C.当时,D.当时,若,则实数a 的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.化简___________.13.设函数.若,则ab 的最小值为________.14.若函数（且）在上的最大值为2，最小值为m ，函数上是增函数，则的值是____________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知函数.(1)求函数的定义域;(2)求y 的最大值,并求取得最大值时的x 值.16.（15分）已知实数a ，b 满足，.（1）用a 表示；（2）计算的值.17.（15分）已知函数,.（1）当时,判断函数的奇偶性并证明;（2）给定实数且,问是否存在直线,使得函数的图像关于直线对称?若存在,求出的值（用a 表示）;若不存在,请说明理由.18.（17分）已知函数是偶函数.(1)求k 的值.(2)若函数,,是否存在实数m 使得的最小值为0？若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.()0f x ≥()()2lg 10x f x a x =+-a ∈R 1a =()f x 0a >1a ≠0x x =()f x 0x x =0x 0a ={()()}3N f x g x ⊗=0a <{()()}1N f x g x ⊗=(,1]-∞-13251log 5log 88-⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭()()ln()f x x a x b =++()log a f x x =0a >1a ≠1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦()(32g x m =+)+∞a m -()24log 23y x x =+-32a =3log 41b =33log 4log 6-9944a a b b --+++()()()4log 41x f x kx k =++∈R ()()12421f x x x h x m +=+⋅-[]20,log 3x ∈()h x19.（17分）已知函数（1）求实数k 的值;（2）若对任意都有成立,求t 的取值范围;（3）若存在,,且,使得函数在区间上的值域为,求实数m 的取值范围.()f x =[3,5]x ∈()3f x t >-α(1,)β∈+∞αβ<()f x [,]αβln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦答案以及解析1.答案：A解析：函数有意义,,解得或,所以函数的定义域为.故选：A.2.答案：D解析：对于A ，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B 、C ，当时，显然不成立；当，时，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“，”，则结论不成立.故选D.3.答案：B解析：当时，，无解，当时，，所以，故选：B.4.答案：A解析：已知函数，若，使得恒成立，即函数存在最小值，所以的图像与x 轴相离，且函数在上为增函数，所以，解得，所以实数a 范围是.故选：A.5.答案：D解析：因为为减函数，所以，即；因为为增函数，所以，即；2()ln()f x x x =-20x x ->0x <1x >2()ln()f x x x =-(,0)(1,)-∞+∞ 01a <<1a >0n >0x 0x x >log x n a a x x >>1a >0n >0a <()312a f a =-=0a ≥3()log (1)28f a a a =+=⇒=3(1)(9)log 10f a f +==()2()log a f x x ax a =-+0x ∃∈R ()0()f x f x ≥()f x 2u x ax a =-+log a y u =(0,)+∞21()40a a a >⎧⎨--<⎩104a a >⎧⎨<<⎩(1,4)13log y x =1133log 2log 10a =<=0a <2log y x =22log 321log b =>=1b >因为为增函数，所以，即；所以.故选：D.6.答案：A解析：因为可得或，所以的定义域为或.因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得所以的定义域为.因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以与互为反函数，故的值域即为的定义域.故选A.7.答案：C解析：令.因为，，所以，当且仅当的最小值为.故选C.8.答案：C解析：由题意得，，令，则，2x y =0.300221c -<=<=01c<<b c a >>21()log 1f x x a ⎛=+ +⎝110x a x a ++=>+1x a <--x a >-()f x {1xx a <--∣}x a >-()f x 1a a --=a =()f x 11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()f x y x =()g x ()f x ()g x ()f x 11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭log 2a m ==log 4b ==a =lg 4b n ==lg 12lg a =-4lg 21n+=1a >1b >lg 24lg 2log 2log 4()1()a b m n m n mn ⎛⎫+=+⨯=+⋅+ ⎪⎝⎭4lg 2lg 25lg 25lg 25lg 24lg 29lg 2m n nm ⎛⎫=++≥+=+= ⎪⎝⎭4lg 2m n =b ==2log 4a b +9lg 22()log (1)log (1)lo )g (1a a a f x x x x =++-=-x ⎡∈⎢⎣21t x =-1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则函数，，即，.当时，在上单调递增，由可得，解得；当时，在上单调递减，由可得，解得9.答案：AC解析：对于A ，，故A 正确；对于B ，，故B 错误；对于C ，故C 正确；对于D ，，故D 错误.10.答案：ABC解析：由函数是R 上的偶函数,所以函数的图象关于y 轴对称,因为在上单调递增,所以函数在上单调递减,所以C 正确;又由的图象是由的图象向左平移1个单位得到的,所以的图象关于对称,所以A 正确;因为,,,因为且函数在上单调递增,所以,即,所以B 正确;因为在上单调递增,所以函数在上单调递减,所以函数在处取到最小值,所以D 不正确.故选：ABC.[)1,+∞()()()2ln 23f f f <-<c b a <<()f x [)1,+∞()f x (],1-∞()f x 1x =()2()log 1a f x x =-x ⎡∈⎢⎣()log a g t t =1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1a >()log a g t t =1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦max min ()()1f x f x -=1log 1log 12a a -=2a =01a <<()log a g t t =1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦max min ()()1f x f x -=1log log 112a a -=a =666log 3log 2log 61a b +=+==66632log 2log 3log log 23b a -=-=≠266622log 3log 3log a --=-==666log 241log 412log 212b =+=+=+()1y f x =+()1y f x =+()f x [)1,+∞()f x (],1-∞()1y f x =+()y f x =()y f x =1x =()()2log 83a f f ==()()ln 22ln 2b f f =-=+()()ln 2e 2c f f ==3ln 221>+>()f x当时,,数形结合所以在内有3个整数解当时,作出函数若,即只需满足,即所以时,实数12.答案：0a =()2g x =1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭0a <()f x ={}()()1N f x g x ⊗=log (2)(2)(1)(1)f g f g ⎧⎨<⎩…log 0⎧⎨⎩{()()}1N f x g x ⊗=1-解析：原式.故答案为：.13.答案：解析：当时,,此时要使,还需恒成立,即还需,当时,,此时要使,还需恒成立,即还需,综上所述,,即,所以故答案为:14.答案：3解析：当时，函数是正实数集上的增函数，而函数在上的最大值为，因此有，解得，所以，此时上是增函数，符合题意，因此；当时，函数是正实数集上的减函数，而函数在上的最大值为2，因此有，，此时在上是减函数，不符合题意.综上所述，，，.故答案为：3.15.答案：(1);(2)y的最大值为1,此时.2a=()g x=()213a m-=--=()logaf x x=()log af x x=1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦11log222af⎛⎫==⎪⎝⎭a=44==-()g x=-[)0,+∞2a=1m=-()133ln53ln22231ln2ln5--=-⋅=-=-1-0.251x b≥-+()ln ln10x b+≥=()0f x≥0x a+≥10b a-++≥1b x b-<≤-+()ln ln10x b+≤=()0f x≥0x a+≤10b a-++≤10b a-++=1b a=+()2112ab a a a⎛⎫=+=+⎪⎝⎭== 1a>()log af x x=()log af x x=1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦2(4)log42af==21log12m==-[)0,+∞01a<<3a m-={13}x x-<<∣1x=解析：(1)由题意,解得,所以函数的定义域为;(2)因为,所以,当且仅当时,等号成立,所以y 的最大值为1,此时.16.答案：（1）解析：（1）由题意可知，所以.（2）由题得，所以17.答案：（1）偶函数,证明见解析;（2）存在符合题意.解析：（1）当时,,函数为偶函数,证明如下:,又函数的定义域为R ,函数为偶函数;（2）假设存在直线,使得函数的图像关于直线对称,则,3log 2a =33332log 4log 6log log 2113a -==-=-431log 3log 4b ==2230x x +->13x -<<{13}x x -<<∣()2224314x x x =--+-≤+()244log 23log 41y x x =+-≤=1x =1x =1a -3344log 2log 2log 3log 399449944a a b b ----+++=+++()()3322log 2log 2221133322333--=+++=+++=0lg x a =1a =()()2lg 101x f x x =+-()f x ()()()2lg 101xx x f -∴=+---1102lg 10x xx +=+()()2lg 1102lg 10x xx =+-+()()2lg 101x x f x =+-=∴()f x 0x x =()f x 0x x =()()00f x x f x x =+-,即,即,,即,,,即,且,,故存在,使得函数的图像关于直线对称.18.答案：(1)(2)存在,m 的值为-1解析：(1)函数是偶函数,,即,,∴(2)假设存在满足条件的实数m .由题意,可得,.令,则,.令,.的图象开口向上,对称轴为直线,即时,;,即时,,解得（舍去）;()()002lg 10x x a x x +∴+-+()()002lg 10x x a x x -=+--()()00lg 10lg 10x x x x a a x +-+-+=0010lg 10x x x x a x a +-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭00101010x x x x x a a+-+∴=+()00101010x x x x x a a +-+=+01010x x a =+⋅()()000101010x x x a a ∴+-=-0100x a ∴-=010x a =0a > 1a ≠0lg x a ∴=0lg x a =()f x 0x x =12k =- ()f x ∴()()f x f x -=()()44log 41log 41x x kx kx -+-=++∴()()444441log 41log 41log log 4241x x x x x x kx ---++-+===-=+k =()42x x h x m =+⋅[]20,log 3x ∈2x t =[]1,3t ∈242x x m t mt +⋅=+()2t t mt ϕ=+[]1,3t ∈)t =12m ≥-()()min 11t m ϕϕ==+1=-3<62m -<<-()2min 024m m t ϕϕ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭0m =当,即时,,解得（舍去）.综上,存在实数m 使得的最小值为0,此时实数m 的值为-1.19.答案：（1）（2）, 即对定义域内任意x 恒成立,所以,即,显然,又当时,为满足题意的值. （2）由（1）知可以判断出在上为增函数.所以在上为增函数,对任意都有成立,则有,所以,所以,所以求t 的取值范围为;（3）由（2）知在上为增函数,又因为函数在上的值域为,所以,且,所以,即,32m -≥6m ≤-()()min 3930t m ϕϕ==+=3m =-()h x 1±(),3ln 2-∞-()lnf x =()()0f x f x +-=()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-21k =1k =±1k ≠-1k =1=()f x =12ln ln(1)11x x x -=-++()f x ()1,+∞()f x ()3,5[3,5]x ∈()3f x t >-min ()3f x t >-31(3)ln 331f t -=>-+3ln 2t <-(),3ln 2-∞-()f x ()1,+∞()f x [],αβ11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0m >1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩αβmx =问题等价于方程在上有两个不等实根,令,即211022m mmx x⎛⎫--+-=⎪⎝⎭()1,+∞()2112mh x mx x⎛⎫=--+⎪⎝⎭12m=21124(1)4(1022(1)0mmm mmhmm>->∆=--->=>252mmm m⎧⎪>⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎪⎩或m<<。

第四章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数f (x )=11-x+lg(1+x )的定义域是( ) A.(-∞,-1) B.(1,+∞)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)f (x )=11-x+lg(1+x )有意义,应满足{1+x >0,1-x ≠0,解得(-1,1)∪(1,+∞).a=0.993,b=log 20.6,c=log 3π,则( ) A.c<a<b B.b<c<a D.b<a<c<a=0.993<1,b=log 20.6<0,c=log 3π>1, 故选D .f (x )=log a (2x +b-1)(a>0,且a ≠1)的部分图象如图所示,则a ,b 满足的关系是( )A.0<a -1<b<1 B.0<b<a -1<1 C.0<b -1<a<1 -1<b -1<1,函数f (x )在R 上为增函数,故a>1.y 轴的交点坐标为(0,log a b ),由题中函数图象可知-1<log a b<0,解得1a <b<1.综上有0<1a <b<1.a ,b 满足2+log 2a=3+log 3b=log 6(a+b ),则1a +1b 的值为( )A.36B.72C.108D.1722+log 2a=3+log 3b=log 6(a+b ),得log 2(4a )=log 3(27b )=log 6(a+b ).设2)=log 3(27b )=log 6(a+b )=k ,则有4a=2k ,27b=3k ,a+b=6k ,所以108ab=2k ×3k =6k =a+b , 即1+1=108,故选C .5.四人赛跑,假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f 1(x )=x 2,f 2(x )=4x ,f 3(x )=log 2x ,f 4(x )=2x ,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是 ( ) A.f 1(x )=x 2 B.f 2(x )=4x =log 2x D.f 4(x )=2xf (x )=|lnx -12|,若a>0,b>0,且a ≠b ,f (a )=f (b ),则ab 等于( ) B.e -1 C.e D.e 2函数f (x )=|lnx -12|,a ≠b ,f (a )=f (b ),|lna -2|=|lnb -12|,∴ln a-12=ln b-12或ln a-12=12-ln b , 即ln a=ln b 或ln(ab )=1, 解得a=b (舍)或ab=e, .故选C .f (x )=a x +log a x (a>0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2+6,则a 的值为( )A.1B.14C.2D.4y=a x 与y=log a x 在区间[1,2]上的单调性相同,因此函数f (x )=a x +log a x [1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)+f (2)=(a+log a 1)+(a 2+log a 2)=a+a 2+log a 2=log a 2+6,故a+a 2=6,解得a=2或a=-3(舍C .y=a |x|(a>0,且a ≠1)的值域为{y|0<y ≤1},则函数y=log a |x|的大致图象是( )y=a |x|(a>0,且a ≠1)的值域为{y|0<y ≤1},则0<a<1,由此可知y=log a |x|A 中的图象.9.若函数f (x )={log 2x ,x >0,log 12(-x ),x <0,若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)a>0时,-a<0,若f (a )>f (-a ),则log 2a>lo g 12[-(-a )],即log 2a>lo g 12a ,此时a>1;当0时,-a>0,若f (a )>f (-a ),则lo g 12(-a )>log 2(-a ),此时,-1<a<0.a 的取值范围为(1,+∞)∪(-1,0).f (x )是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且它在区间[0,+∞)上单调递增,若a=f (log √2√3),b=f (log √3√2),c=f (-2),则a ,b ,c 的大小关系是( ) B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a1<log √2√3<log √22=2,0<log √3√2<log √3√3=1, log √3√2<log √2√3<2.因为函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增, 所以f (lo g √3√2)<f (lo g √2√3)<f (2).因为f (x )是偶函数,所以a=f (log √2√3)=f (-log √2√3)=f (log √2√3), b=f (log √3√2)=f (-log √3√2)=f (lo g √3√2),c=f (-2)=f (2),所以b<a<c.y=lo g 12(6+x-x 2)的单调递增区间是( )A.(-∞,12] B.(-2,12] C.[1,+∞) D.[12,3),需6+x-x 2>0,解得-2<x<3,故函数的定义域是(-2,3).令t=-x 2+x+6=-(x -12)2+254, 则函数t 在区间[12,3)上单调递减,所以函数y=lo g 12(6+x-x 2)在区间[12,3)上单调递增,即函数y=lo g 12(6+x-x 2)的单调递增区间是[1,3).lg 1+2x +(1-a )3x3≥(x-1)lg 3对任意的x ∈(-∞,1]恒成立,则实数a 的取值范围是( ),0] B.(-∞,1] C.[0,+∞) D.[1,+∞)lg 1+2x +(1-a )3x3≥lg3x-1,得1-a )3x 3≥3x-1,1+2x +(1-a )3x ≥3x ,1+2x ≥a ·3x ,即(13)x +(23)x≥a 对任意的x ∈(-∞,1]恒成立.设f (x )=(13)x +(23)x,x ∈(-∞,1], 则f (x )min =f (1)=13+23=1,∴a ≤1.(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上) 13设函数f (x )=3x +9x ,则f (log 32)= .(log 32)=3log 32+9log 32=2+4=6.y=f (x )的图象和函数y=log a x (a>0,且a ≠1)的图象关于直线y=x 对称,且函数(x-1)-3,则函数y=g (x )的图象必过定点 .y=f (x )的图象和函数y=log a x (a>0,且a ≠1)的图象关于直线y=x 对称,x )=a x ,故函数g (x )=f (x-1)-3=a x-1-3,则函数y=g (x )的图象必过定点(1,-2).-2)15.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,log 12(-x ),x <0,若f (a )<0,则实数a 的取值范围是 .{a >0,log 2a <0或{a <0,log 12(-a )<0,得0<a<1或a<-1.-∞,-1)∪(0,1)R 上的函数f (x )满足f (-x )=-f (x ),f (x+1)=f (1-x ),且x ∈(-1,0)时,f (x )=2x +65,则f (log 220)= .f (x+1)=f (1-x )及f (-x )=-f (x ),得f (-x )=f (2+x )=-f (x ), 4)=-f (x+2)=f (x ),又log 224<log 220<log 225,即4<log 220<5, 则4-log 220∈(-1,0),所以f (log 220)=f (log 220-4)=-f (4-log 220)=-(24-log 220+65)=-(2log 245+65)=-2.2(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)计算下列各式的值:(1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40+lo g √2√22;(2)lg √10lg0.01.:(1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40+lo g √2√22=1-3lg21+lg5-(1+2lg2)+lo g √2(√2)-1=1-3lg21-lg2-2lg2-1=1-3lg21-3lg2-1=0. =lg (8×125)-lg (2×5)lg1012·lg10-2=lg103-lg1012lg10·(-2lg10)=3-112×(-2)=-2. 18.(12分)光线每通过一块玻璃其强度要减少10%,至少用多少块这样的玻璃板重叠起来,才能使通过它们的光线在原强度的13以下?(lg 3≈0.477 1)n 块玻璃时,光线强度在原强度的13以下,得(1-10%)n ≤13,即0.9n ≤13, 即·lg0.9≤lg 13, ∴n ≥lg13lg0.9=lg31-2lg3≈11.故至少用11块这样的玻璃.19.(12分)已知函数f (x )=log 4(ax 2+2x+3)(a ∈R ). (1)若f (1)=1,求f (x )的单调区间.a ,使f (x )的最小值为0?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.∵f (1)=1,4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1, ∴f (x )=log 4(-x 2+2x+3).由-x 2+2x+3>0,得-1<x<3,故函数定义域为(-1,3).设函数u=-x 2+2x+3,则函数u 在区间(-1,1]上单调递增,在区间[1,3)上单调递减. 又函数y=log 4u (u>0)为增函数,∴f (x )的单调递增区间是(-1,1],单调递减区间是[1,3).(2)假设存在实数a ,使f (x )的最小值为0,则函数h (x )=ax 2+2x+3应有最小值1,因此应有{a >0,12a -44a=1,解得a=12.故存在实数a=12,使f (x )的最小值为0.20.(12分)已知函数f (x )=a log 2x+b log 3x ,其中常数a ,b 满足ab ≠0. (1)若a>0,b>0,证明函数f (x )在定义域内为增函数;a=ln(m 2+2m+3),b=ln 10,解不等式f (3x-1)≤f (x+3).(x )=a log 2x+b log 3x ,其定义域为(0,+∞). x 1,x 2∈(0,+∞),x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=a log 2x 1+b log 3x 1-(a log 2x 2+b log 3x 2)=a (log 2x 1-log 2x 2)+b (log 3x 1-log 3x 2). ∵0<x 1<x 2且y=log 2x 和y=log 3x 在区间(0,+∞)上为增函数, ∴log 2x 1<log 2x 2,log 3x 1<log 3x 2,当a>0,b>0时,有a (log 2x 1-log 2x 2)<0,b (log 3x 1-log 3x 2)<0, ∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),∴函数f (x )在区间(0,+∞)上为增函数.(2)∵a=ln(m 2+2m+3)=ln[(m+1)2+2]≥ln2>ln1=0,b=ln10>ln1=0, 由(1)可知函数f (x )在区间(0,+∞)上为增函数,∴f (3x-1)≤f (x+3)⇔{3x -1>0,x +3>0,3x -1≤x +3,∴13<x ≤2, ∴原不等式的解集为{x |13<x ≤2}.21.(12分)已知函数f (x )=lg kx -1x -1(k ∈R ). (1)若y=f (x )是奇函数,求k 的值,并求该函数的定义域;y=f (x )在区间[10,+∞)上是增函数,求k 的取值范围.∵f (x )是奇函数,-x )=-f (x ),即lg -kx -1-x -1=-lg kx -1x -1, ∴-kx -1-x -1=x -1kx -1,1-k 2x 2=1-x 2,∴k 2=1,k=±1,而k=1不合题意,舍去,∴k=-1.由-x -1x -1>0,得函数y=f (x )的定义域为(-1,1). (2)∵f (x )在区间[10,+∞)上是增函数,∴10k -110-1>0,∴k>110.又f (x )=lg kx -1x -1=lg (k +k -1x -1), 故对任意的x 1,x 2,当10≤x 1<x 2时,恒有f (x 1)<f (x 2), 即lg (k +k -1x 1-1)<lg (k +k -1x 2-1),∴k -1x 1-1<k -1x 2-1,∴(k-1)·(1x 1-1-1x 2-1)<0. 又∵1x 1-1>1x 2-1,∴k-1<0,∴k<1.综上可知k ∈(110,1).22.(12分)已知a ∈R ,f (x )=log 2(1x +a)(x>0).(1)若函数f (x )过点(1,1),求函数f (x )的解析式;(2)若函数g (x )=f (x )+2log 2x 只有一个零点,求实数a 的取值范围;(3)设a>0,若对任意实数t ∈[13,1],函数f (x )在区间[t ,t+1]上的最大值与最小值的差不1,求实数a 的取值范围.∵a ∈R ,函数f (x )=log 2(1x +a)(x>0)的图象过点(1,1), =log 2(1+a )=1,解得a=1,∴函数f (x )=log 2(1x +1)(x>0).(2)g (x )=f (x )+2log 2x=log 2(1x +a)+2log 2x=log 2(x+ax 2). ∵函数g (x )=f (x )+2log 2x 只有一个零点, ∴ax 2+x=1在区间(0,+∞)上只有一个解. 令h (x )=ax 2+x-1.∴当a=0时,h (x )=x-1,只有一个零点1,成立;当a ≠0时,h (x )=ax 2+x-1在区间(0,+∞)上只有一个零点,又h (0)=-1<0,∴a>0,或{a <0,Δ=1+4a =0,即a>0,或a=-14. 综上,实数a 的取值范围为{a |a ≥0,或a =-14}.(3)f (x )=log 2(1x +a)=log 2(1+axx ). 任取0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=log 2(1+ax 1x 1)-log 2(1+ax 2x 2)=log 2x 2+ax 1x 2x 1+ax 1x 2. 由于x 2+ax 1x 2x 1+ax 1x 2>1,所以log 2x 2+ax 1x 2x 1+ax 1x 2>0,所以f (x 1)>f (x 2),所以函数f (x )是区间(0,+∞)上的减函数,∴函数f (x )在区间[t ,t+1](t ∈[13,1])上的最大值与最小值分别是f (t )与f (t+1). 由题意,得f (t )-f (t+1)≤1,即1+at t ·t+11+at+a≤2, 整理,得a ≥1-tt 2+t .设Q (t )=1-t t 2+t ,任取13≤t 1<t 2≤1, 则Q (t 1)-Q (t 2)=1-t 1t 12+t 1−1-t 2t 22+t 2=(t 2-t 1)[t 1+1+t 2(1-t 1)](t 12+t 1)(t 22+t 2)>0,∴Q (t 1)>Q (t 2), ∴函数Q (t )在t ∈[13,1]上为减函数, ∴a ≥Q (13),即a ≥1-13(13)2+13,a ≥32, ∴实数a 的取值范围是[32,+∞).。

第四章 对数运算与对数函数基础过关第I 卷（选择题）一、单选题1．计算式子ln 21lg 2lg 5e --的值为（ ）A ．—1B ．12 C ．3D ．—5 【答案】A【解析】【分析】根据对数的基本运算求解即可.【详解】ln 211lg 2lg lg 22155e ⎛⎫--=÷-=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题型.2．已知实数ln3a =，2ln 3e b =，4log 9c =，则（ ）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a b c <<【答案】A【解析】【分析】利用对数函数ln y x =的单调性比较a 、b 的大小关系，再利用换底公式结合不等式的性质可得出a 、c 的大小关系，从而可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】对数函数ln y x =在()0,∞+上为增函数，因为233e <，所以2e ln ln 33b a =<=， 0ln 2ln 1e <<=，ln30>，42ln 3log 9log 3ln 3ln 2c a ===>=，所以b a c <<， 故选：A.【点睛】 本题考查对数式的大小比较，涉及对数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.3．函数()()log 431a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过的定点为（ ）A ．()1,0B ．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,1D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】根据函数log ay x =过定点()1,0，令431x -=求解. 【详解】因为函数log a y x =过定点()1,0，令431x -=，解得1x =，而()()1log 41311a f =⨯-+=，所以()f x 的图象恒过的定点为()1,1.【点睛】本题主要考查对数函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．函数()()2lg 1f x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(),1-∞-B ．(),0-∞C ．()0,∞+D ．()1,+∞【答案】A【解析】【分析】 先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可．【详解】解：由210x ->得1x <-，或1x >，则函数的定义域为()(),11,-∞-+∞， 又函数21y x =-在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，由复合函数的单调性原则“同增异减”得函数()()2lg 1f x x =-的单调递减区间为(),1-∞-， 故选：A ．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域，属于易错的基础题．5．若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在区间2,2a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值多2，则a =（ ） A ．2B ．3或13C ．4或12D ．2或12【解析】【分析】分别讨论1a >和01a <<，然后利用对数函数的单调性，代入计算即可得出答案.【详解】①当1a >时，函数()log a f x x =在定义域内为增函数，则由题意得()2log 2log 2a a a a -=，解得2a =；①当01a <<时，函数()log a f x x =在定义域内为减函数，则由题意得()2log log 22a a a a -=，解得a =； 综上可得：2a =. 故选：A.【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于一般难度的题.6．设13,3()log (2),3x e x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则f [f (11)]的值是（ ）A ．1B ．eC ．2eD ．1e -【答案】B【解析】【分析】由分段函数解析式，结合对数函数及指数函数求值即可.【详解】解：由分段函数解析式可得：233(11)log (112)log 32f =-==，则[(11)](2)f f f e ==，故选：B.【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了对数函数及指数函数求值问题，属基础题.7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据特殊值的函数值排除,,A C D ，从而选B .【详解】 因为11011ln 1f e e e e⎛⎫==> ⎪⎝⎭--，所以A 错； 因为11()0ln 12f e e e e ==>---，所以C 错；因为()222211()ln 13f e f e e e e ==<---，所以D 错， 故选：B ．【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图象，考查了特值排除法，属于基础题.8．函数()lg 1f x x =-的定义域是( ) A ．[)4+∞， B ．()10+∞，C ．()()4,1010，⋃+∞ D ．[)()4,1010，⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】 由函数()lg 1f x x =-有意义，可得40lg 100x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪>⎩，解不等式组可得定义域. 【详解】要使函数()f x =40lg 100x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪>⎩， 解得：41100x x x ≥⎧⎪⎪≠⎨⎪>⎪⎩，即4x ≥且10x ≠， 所以函数的定义域为：[)()4,1010,⋃+∞.故选D.【点睛】本题考查函数的定义域，一般地，函数的定义域须从四个方面考虑：（1）分母不为零；（2）偶次根号下非负；（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零的零次幂没有意义.9．设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2B ．-2C ．12-D ．12 【答案】C【解析】【分析】 利用1(2)2f =求出a ，求出()f x 即可求解. 【详解】 由()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =， 所以1(2)log 22a f ==，即122a = 解得4a =，所以4()log f x x =， 所以4111log 222f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本题考查了求对数函数的表达式，指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于基础题.10．化简()1002lg lg 2lg(lg )a a +的结果是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】由对数运算性质可知100l l g 100g aa =，再利用lg(100lg )lg100lg(lg )a a =+，化简计算可得结果.【详解】 原式2lg(100lg )2[lg100lg(lg )]22lg(lg )2lg(lg )a a a a +===++. 故选：C.【点睛】本题考查对数运算性质，考查计算能力，属于基础题.11． 已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝lg x ，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)【答案】C【解析】由题意，得2lg 0a b =≥，即1b ≥；故选C ． 12．在同一坐标系中，函数1()xy a =与log ()a y x =-（其中0a >且1a ≠）的图象的可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】【详解】对底数a 讨论．如果a>1，则指数函数单调递减，对数函数递减，没有选项符合．当0<a<1,则指数函数递增，对数函数递减，故选择C第II 卷（非选择题）二、填空题13．设102a =，lg3b =，则5log 12=________. 【答案】21a b a【解析】【分析】首先变指数式为对数式求得a ，把2log 6运用乘积的对数等于对数的和展开后，再运用换底公式转化成含有2lg 和3lg 的式子，代入a 和b 后可的结果．【详解】解：由102a =，得：2a lg =，又因为3b lg =， 所以()25lg 32lg12lg32lg 22log 1210lg5lg10lg 21lg 2b a a ⨯++====--⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：21b a a+-． 【点睛】本题主要考查对数值的求法，以及对数的运算，考查了对数的换底公式，关键是从102a =，求得a 的值，属于基础题．14．函数()21log 2y x =-的定义域是__________． 【答案】()()2,33,+∞【解析】【分析】 根据题意可得出x 所满足的不等式组，进而可解得原函数的定义域.【详解】由题意可得()320log 20x x ->⎧⎨-≠⎩，即2021x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >且3x ≠. 因此，函数()21log 2y x =-的定义域是()()2,33,+∞.故答案为：()()2,33,+∞.【点睛】 本题考查函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.15．设函数()f x 是以4为周期的奇函数，当[1,0)x ∈-时，()2x f x =，则()2log 20f =________. 【答案】45-【解析】【分析】 先确定2log 20的范围，然后由周期性的奇函数定义可求值．【详解】易知24log 205<<，①函数()f x 是以4为周期的奇函数，①()2log 20f =225(log 204)(log )4f f -=2254(log )(log )45f f =--=-=24log 5425-=-． 故答案为：45-． 【点睛】 本题考查函数的奇偶性和周期性，解题时利用对数函数性质确定2log 20所在的相邻两个整数之间，然后利用周期性把自变量变小，再由奇函数性质转化到区间[1,0)-上，然后求值．16．已知2x ＝7y ＝196，则11x y+=_____． 【答案】12． 【解析】【分析】把已知的等式指数幂形式转化对数形式，求出,x y ，再用换底公式，即可求出结论.【详解】2727196,log 196,log 196x y x y ==∴==，219619614111log 2log 7log 142x y +=+==. 故答案为:12【点睛】本题考查指数幂和对数之间的关系，考查换底公式，属于基础题.三、解答题17．计算下列各式的值:(1)lg 4lg 25+; (2)(3)752log 4)2(⨯; (4)2(lg 2)lg 20lg 5+⨯.【答案】(1)2 (2)25(3)19(4)1 【解析】【分析】（1）利用对数运算公式，化简求得表达式的值.（2）利用对数运算公式，化简求得表达式的值.（3）利用对数运算公式，化简求得表达式的值.（4）利用对数运算公式，化简求得表达式的值.【详解】(1)lg 4lg 25lg(425)lg1002+=⨯==.(2)1512lg100lg10055===. (3)757522222log 42log 4log 27log 45log 2725119()⨯=+=+=⨯+⨯=. (4)2210(lg 2)lg 20lg 5(lg 2)lg(102)lg 2⎛⎫+⨯=+⨯⨯ ⎪⎝⎭2(lg 2)(1lg 2)(1lg 2)=++⨯-22(lg 2)1(lg 2)=+-1=.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.18．已知定义在R 上的函数f （x ）＝kx +log 9（9x +1）（k ①R ）（1）若k ＝0，求函数f （x ）的值域；（2）若函数f （x ）是偶函数，求实数k 的值．【答案】（1）（0，+∞）；（2）k 12=-． 【解析】【分析】（1）利用指数函数、对数函数的单调性进行求解即可；（2）利用偶函数的性质进行求解即可.【详解】（1）k ＝0时，()()991x f x log =+， ①9x ＞0，①9x +1＞1，①()99log 91log 10x +=＞，①f （x ）的值域为（0，+∞）；（2）①f （x ）是偶函数，①f （﹣x ）＝f （x ），①()()()()()9999919119191x x x x kx log kx log x k x log kx log --++=-++-=-+++=++， ①﹣（k +1）x ＝kx ，①﹣（k +1）＝k ，解得k 12=-． 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了偶函数的性质，考查了数学运算能力.19．已知对数函数()f x 过点()8,3.（1）求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的定义域；（2）若()()11f x f x ->+，求x 的取值范围. 【答案】（1）2()log f x x =，定义域为(0,)+∞；（2）(1,0)-【解析】【分析】（1）设()log a f x x =，代入点()8,3计算即可；（2）利用对数函数的单调性及定义域列不等式组求解即可.【详解】解：（1）设()log a f x x =，log 83,2a a =∴=，所以2()log f x x =，定义域为(0,)+∞；（2）由已知得1010,1011x x x x x ->⎧⎪+>⇒-<<⎨⎪->+⎩，所以x 的取值范围是(1,0)-.【点睛】本题考查待定系数法求对数函数的解析式，考查对数函数单调性的应用，是基础题.20．已知函数f(x)=log a (2−x)+log a (4+x)(a >0且a ≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为−2，求实数a 的值．【答案】(1) f(x)定义域为{x|−4<x <2}；(2)a =13．【解析】【分析】(1)由对数式的真数大于0联立不等式组求解；(2)利用导数的运算性质化简函数f(x)，结合f(x)的最小值为−2可得log a 9=−2，由此求得a 值．【详解】解：(1)要使函数有意义，必有{4+x >02−x>0 ，得−4<x <2．∴f(x)定义域为{x|−4<x <2}；(2)∵f(x)=log a [(2−x)(4+x)]，∴f(x)=log a (−x 2−2x +8)=log a [−(x +1)2+9]，∴f(x)min =log a 9=−2，即a −2=9，解得a =13或a =−13．又∵a >0且a ≠1，∴a =13．【点睛】本题考查对数型函数的定义域及其值域的求法，训练了利用配方法求函数的最值，是基础题． 21．设==a b c x y z ，且111a b c +=，求证：z xy = 【答案】证明见解析.【解析】【分析】首先设===a b c x y z k ，得到log =x a k ，log =y b k ，log =z c k ，根据111a b c+=得到111log log log +=x y z k k k，再利用换底公式即可证明. 【详解】设===a b cx y z k ，0k >，则log =x a k ，log =y b k ，log =z c k . 因为111a b c+=，所以111log log log +=x y z k k k ， 即log log log +=k k k x y z .所以()log log =k k xy z ，即z xy =.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于简单题.22．已知函数()()22log 32f x mx mx =-+，m R ∈.（1）若1m =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）∞(-,1)；（2）809m ≤<【解析】【分析】 （1）先求出函数的义域为{|2x x >或1}x <，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调减区间；（2）等价于2320mx mx -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的图象和性质分析得解.【详解】（1）若1m =，()()22log 32f x x x =-+, 函数的定义域为{|2x x >或1}x <， 由于函数2log y x =是定义域上的增函数，所以()f x 的单调递减区间等价于函数232(2y x x x =-+>或1)x <的减区间，232(2y x x x =-+>或1)x <的减区间为(),1-∞，所以函数()f x 的单调递减区间(),1-∞.（2）由题得2320mx mx -+>在R 上恒成立，当0m =时，2＞0恒成立，所以0m =满足题意；当0m ≠时，20980m m m >⎧⎨∆=-<⎩，所以809m <<. 综合得809m ≤<【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

北师大新版数学必修第一册第四章对数运算和对数函数综合测试题一、单选题1．函数()()lg 4f x x =-的定义域是（ ） A ．()2,4 B ．()3,4 C ．()(]2,33,4 D ．[)()2,33,42．下列函数中在区间(),0-∞上是递增的函数的是（ ）A ．1y =B ．2log y x =C ．21y x =-+D ．1y x= 3．已知函数()2lg 1,0()(3),0x x f x f x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()3f -=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．10 4．设a ＝(12)0.5，b ＝30.5，c ＝log 30.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c <a <b B ．a <b <c C ．b <a <c D ．a <c <b 5．若a ，b ，c 是实数，则“a b >”是“ln ln c a c b >”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要的条件6．设4log 52m =，则4m = （ ） A ．125 B ．25 C ．15 D7．为了得到函数3log y =可将函数3log y x =的图象上所有的点（ ） A ．纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变，再向右平移2个单位长度B ．横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再向左平移2个单位长度C ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移2个单位长度D ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，再向右平移2个单位长度8．若函数()213()log 45f x x x =-++，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．()2,5 B ．()1,2- C ．()2,+∞ D ．(),2-∞ 9．已知0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b <B ．11a b> C ．22log log a b > D ．22a b < 10．已知函数()2ln 3f x x x =++,若()3log 4f a ≤,则a 的取值范围为（ ）A ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．(]11133⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，， D ．[)3+∞，11．若函数()()()()2,12log ,1a a a x x f x x x ⎧--<⎪=⎨⎪≥⎩在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．()0,112．已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（ ）A ．5[1,]3B ．5(1,]3C ．(]5,1(,)3-∞-⋃+∞D ．()5,1[1,)3-∞-13．若251log log 2a b ==，则lg ab =________． 14．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=，又当()0,1x ∈时，()21xf x =-，则12log 7f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值等于______.15．若函数()()2log 3a f x x ax =-+（0a >且1a ≠），满足对任意的1x 、2x ，当122a x x <≤时，()()120f x f x ->，则实数a 的取值范围为___________． 16．已知函数()21,1,4log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩函数是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题17．解下列方程.（1）()22log log 232x +=⎡⎤⎣⎦；（2）21.842xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 18．已知函数()ln(32)f x x =+，()ln(32)g x x =-．（1）判断函数()()()F x f x g x =-的奇偶性并证明； （2）若()0F x >成立，求x 的取值范围．19．已知()()()33log 2log 2f x x x =+--（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）解不等式()1f x >.20．已知1a >，函数131()log 1log 222a a f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的定义域；（2）若()f x 在51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，求a 的值. 21．已知函数()2ln 2ax f x x +=+，且()f x 不恒为0． （1）若()f x 为奇函数，求实数a 的值；（2）若()()x f g x e =，且函数()g x 在()0,1上单调递减，求实数a 的取值范围．22．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x >时，()232f x ax ax =-+，（a R ∈）.（1）求()f x 的函数解析式：（2）当1a =时，求满足不等式()21log f x >的实数x 的取值范围.参考答案1．D【分析】根据函数解析式，利用分式、根式、对数的性质即可求函数定义域.【详解】要使函数有意义，则203040x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，即23x ≤<或34x <<，故函数的定义域为[)()2,33,4．故选：D ．2．C【分析】根据各选项的函数类型判断其单调性可得选项．【详解】对于A 选项：1y =是常函数，在区间(),0-∞上是递增不成立，故A 不正确；对于B 选项：2log y x =的定义域为()0,+∞，所以函数在区间(),0-∞上是递增不成立，故B 不正确；对于C 选项：21y x =-+在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减，故C 正确； 对于D 选项：1y x=在(),0-∞和()0,+∞上单调递减，故D 不正确， 故选：C ．3．B【分析】根据分段函数的解析式直接计算即可.【详解】(3)(0)(3)lg101f f f -====.故选：B.4．A【分析】借助中间值0和1，进行比较大小.【详解】 因为0.5011122⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且0.5102⎛⎫> ⎪⎝⎭，00.5133>=，33log 0.2log 10<=；所以b a c >>；故选：A.5．B【分析】根据必要不充分定义进行判断可得答案.【详解】当0c 时ln ln c a c b =，ln ln c a c b >不成立， 当ln ln c a c b >时，得()ln ln 0c a b ->，所以ln ln 0a b ->即a b >.故选：B.6．D【分析】由对数化为指数可得答案【详解】由4log 52m =，可得4log m =4m =故选：D.7．A【分析】 将函数转化为()31log 23y x =-，再利用伸缩变换和平移变换求解. 【详解】因为()331log log 23y x ==-， 所以将3log y x =纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变，再向右平移2个单位长度得到， 故选：A8．A【分析】令245t x x =-++，则13log y t =，根据解析式，先求出函数定义域，结合二次函数以及对数函数的性质，即可得出结果.【详解】令245t x x =-++，则13log y t =，由真数0t >得15x -<<，∵抛物线245t x x =-++的开口向下，对称轴2x =，∴245t x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 又∵13log y t =在定义域上单调递减， 由复合函数的单调性可得：()213()log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5.故选：A.9．C【分析】利用二次函数2y x 的单调性可判断A 选项的正误；利用反比例函数1y x=的单调性可判断B 选项的正误；利用对数函数2log y x =的单调性可判断C 选项的正误；利用指数函数2x y =的单调性可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于二次函数2y x 在()0,∞+为增函数，且0a b >>，则22a b >，A 选项错误；对于B 选项，由于反比例函数1y x =在()0,∞+上为减函数，且0a b >>，则11a b<，B 选项错误；对于C 选项，由于对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，且0a b >>，则22log log a b >，C 选项正确；对于D 选项，由于指数函数2xy =为R 上的增函数，且0a b >>，则22a b >，D 选项错误.故选：C.【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，再解不等式即可【详解】由题意知()2ln 3f x x x =++的定义域为{}0x x ≠，且()()2-ln 3=f x x x f x =++为偶函数，易知当0x >，()2ln 3f x x x =++为单调递增函数，且()14f = ，则()()33331log 1log 1log 411log 0a a f a f a a -≤≤⎧≤⎧≤=∴∴⎨⎨≠≠⎩⎩，，解得：1[,1)(1,3]3a ∈⋃ 故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键是判断函数的单调性及奇偶性，发现()14f =11．C【分析】()f x 是R 上的增函数，则每个分支所对应的函数是增函数，分段点处的函数值需满足(2)1log 12a a a -⨯-≤，列出不等式组即可得到答案. 【详解】 因为()f x 在(),-∞+∞上单调递增，所以201(2)1log 12a a a a a ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪-⨯-≤⎩，解得423a ≤< 故选：C关键点睛：在处理分段函数的单调性时，除了每个分支所对应的函数具有单调性外，还要注意分段点处的函数值的大小.12．A【分析】当函数的值域为R 时，命题等价于函数()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，得解 【详解】22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R令()()22111y a x a x =-+++，则 ()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，当210a -=时，则1a =± 当1a =时，21y x =+符合题意；当1a =-时，1y =不符合题意；当1a ≠±时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，解得513a <≤ 513a ∴≤≤，即实数a 的取值范围是5[1,]3故选：A【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.13．12【分析】先由指对互化求出ab ，再利用对数的运算得出结果． 【详解】由题意因为251log log 2a b ==，所以根据指对数互化可得122a ==125b ==1211lg lg10lg1022ab =====，故答案为：12． 14．34-【分析】由题可知函数的周期为2，结合奇函数性质可得11227log 7log 4f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入解析式即可求解. 【详解】()()2f x f x +=，()f x ∴是周期为2的函数，123log 72-<<-，121log 720∴-<+<，()y f x =是定义在R 上的奇函数，∴1111222277log 7log 72log log 44f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12277log log 44731212414-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭.故答案为：34-. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和周期性求解，解题的关键是判断出函数的周期为2，利用周期性和奇函数的性质得出11227log 7log 4f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再代入解析式求解. 15．( 【分析】由题意可知，函数()f x 在,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，利用复合函数的单调性分析出外层函数()log a y u x =的单调性，再由02a u ⎛⎫> ⎪⎝⎭可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a的取值范围. 【详解】由题意可知，函数()f x 在,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，由于内层函数()23u x x ax =-+在区间,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，所以，外层函数()log a y u x =单调递增，则1a >，且当,2a x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦时，()0u x >恒成立，即2223302224a a a a u ⎛⎫⎛⎫=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1a >，解得1a <<因此，实数a的取值范围是(.故答案为：(. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键点： （1）对底数a 进行分类讨论；（2）利用复合函数的单调性“同增异减”分析出内层函数和外层函数的单调性； （3）不要忽略了真数要恒大于零. 16．1142a ≤≤ 【分析】由112011114a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪⎪--≥-⎩解得结果即可得解. 【详解】因为函数()21,1,4log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数， 所以112011114a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪⎪--≥-⎩，解得1142a ≤≤.故答案为：1142a ≤≤. 【点睛】解决分段函数的单调性时，需考虑函数在每一段区间上的单调性，还需考虑函数在各区间的端点处的函数值的大小关系.17．（1）132x =；（2）25x =. 【分析】（1）利用对数与指数的转化由外到内可解出x 的值； （2）利用指数的运算性质可得出524x =，由此可解得x 的值. 【详解】 （1）()22log log 232x +=⎡⎤⎣⎦，()22log 2324x ∴+==，则423216x +==，解得132x =； （2）由21.842xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得()2354222x x x -=⋅=，52x ∴=，解得25x =.18．（1）()F x 是奇函数；证明见解析；（2）3(0,)2x ∈. 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后利用奇偶性的定义证明即可；（2）由()()0f x g x ->，得ln(32)ln(32)0x x +-->，即ln(32)ln(32)x x +>-，再由对数函数的单调性可得32320x x ，从而可求出x 的取值范围【详解】解：（1）()F x 是奇函数.由320320x x +>⎧⎨->⎩，得定义域为33(,)22Ix I ∀∈，都有x I -∈()ln(32)ln(32)()F x x x F x -=--+=-∴()F x 是奇函数（2）由()()0f x g x ->，得ln(32)ln(32)0x x +--> 即ln(32)ln(32)x x +>- 由函数的单调性得32320x x ，则3(0,)2x ∈.19．（1）奇函数；证明见解析；（2）()21-，.【分析】（1）根据奇偶函数的定义判断；（2）根据对数的运算及对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由题意，因为()()()33log 2log 2f x x x =+--，所以2020x x ->⎧⎨+>⎩，解得－2<x <2，所以函数()f x 的定义域为()22-，，关于原点对称， 因为()()()()()()3333log 2log 2log 2log 2f x x x x x f x ⎡⎤-=--+=-+--=-⎣⎦，所以函数()f x 为()22-，上的奇函数； （2）因为()()()3332log 2log 2log 2xf x x x x+=+--=-， 所以22232x x x-<<⎧⎪+⎨>⎪-⎩，解得－2<x <1，所以不等式()1f x >的解集为()21-，.20．（1）()2,3-；（2）43. 【分析】（1）由真数大于0可得定义域；（2）由2113()log 442a f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，可求真数2113442t x x =-++在51,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时最小值，进而可得解. 【详解】（1）由已知110231022x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，∴23x x >-⎧⎨<⎩，∴23x -<<，∴定义域为()2,3-.（2）2131113()log 1log 222442a a f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-++⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵51,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2211311254424216t x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭当52x =时min 916t =，且1a >，∴min 9()log 216af x ==-， ∴2916a-=，∴2169a =，∴43a =.21．（1）1-；（2）21a -≤<.【分析】（1）由条件可知()()f x f x -=-，由此列出关于a 的方程，求解出a 的值；（2）先计算出()g x 的解析式，采用分离常数的方法对()g x 进行变形，然后结合单调性和对数的真数大于零列出关于a 的不等式组，求解出a 的取值范围. 【详解】（1）由奇函数的定义可知：()()f x f x -=-，即222lnln ln 222ax ax x x x ax -+++=-=-+++，则：2222ax x x ax -++=-++22244x a x ⇔-=-1a ⇔=±，又当1a =时，()f x 恒为0，矛盾，所以1a =-．（2）()()f xg x e=在()0,1x ∈上单调递减，()202ax g x x +∴=>+在()0,1x ∈上恒成立，且()22222ax ag x a x x +-==+++在()0,1x ∈上单调递减，()()min 2103a g x g +∴==≥且220a ->， 解得：21a -≤<. 【点睛】结论点睛：常见函数的单调性分析：（1）一次函数()()0f x kx b k =+≠：当0k >时，在R 上递增，当0k <时，在R 上递减； （2）反比例类型的函数()()0kf x k x a=≠-，当0k >时，在(),a -∞和(),a +∞上递减；当0k <时，在(),a -∞和(),a +∞上递增；（3）二次函数()()20f x ax bx c a =++≠：当0a >时，在,2b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上递减，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；当0a <时，在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递增，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减. 22．（1）()2232,032,0ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩；（2）()()()()3,21,00,12,3---.【分析】（1）根据已知和函数的奇偶性可得0x <的解析式从而求得()f x ；（2）当1a =时，分别解每一段小于1的不等式，最后求两段的并集可得答案. 【详解】（1）设0x <，0x ->，()232f x ax ax -=++，又∵()f x 为偶函数，()()f x f x -=，∴()232f x ax ax =++.综上：()2232,032,0ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩. （2）当1a =时，可知：0x >，()2232log 1x x -<+，原不等式等价于22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得()()0,12,3x ∈，同理可知：0x <，()2232log 1x x +<+，原不等式等价于22320322x x x x ⎧++>⎨++<⎩，解得()()1,03,2x ∈---，综上：实数x 的取值范围为()()()()3,21,00,12,3---.【点睛】求分段函数的解析式，要根据函数的奇偶性、对称性、周期性等结合已知条件进行求解，要注意定义域.。

章末检测试卷(四)　[时间:120分钟　分值:150分]一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列函数中,随着x的增大而增加速度最快的是( )A.y=1e x B.y=100x100C.y=x100D.y=100×2x2.计算:log225·log522等于( )A.3B.4C.5D.63.函数y=log a(3x-2)(a>0,a≠1)的图象过定点( )A.(0,23)B.(1,0)C.(0,1)D.(23,0)4.函数y=lg x+lg(5-3x)的定义域是( )A.[0,53)B.[0,53]C.[1,53)D.[1,53]5.函数f(x)与g(x)=a x互为反函数,且g(x)过点(-2,4),则f(1)+f(2)等于( )A.-1B.0C.1D.146.设a=log0.14,b=log504,则( )A.2ab<2(a+b)<abB.2ab<a+b<4abC.ab<a+b<2abD.2ab<a+b<ab7.某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快,对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物研究发现,该植物在水面的覆盖面积y(单位:m2)与经过的时间t(单位:月,t∈N)的关系为y=8×)t,则该植物在水域中的面积达到刚开始投放时的1000倍需要的时间为(43(参考数据:lg 4≈0.125)( )3A.20个月B.22个月C.24个月D.26个月8.若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.函数f (x )=log a (bx )的图象如图,其中a ,b 为常数.下列结论正确的是( )A.0<a <1B.a >1C.b >1D.0<b <110.若ab >0,给出的下列四个等式,不一定成立的有( )A.lg(ab )=lg a +lg bB.lg ab =lg a -lg b C.12lg (a b)2=lg a b D.lg(ab )=1log ab 1011.关于函数f (x )=|ln|2-x ||,下列描述正确的有( )A.函数f (x )在区间(1,2)上单调递增B.函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称C.若x 1≠x 2,但f (x 1)=f (x 2),则x 1+x 2=4D.函数f (x )有且仅有两个零点三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.不等式log 2x <1的解集是 .13.若a =log 23,b =log 32,则ab = ,lg a +lg b = .14.已知f (x )={(3a ―1)x +4a ,x <1,log a x ,x ≥1是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是 .四、解答题(本题共5小题,共77分)15.(13分)求值:(1)log89·log2732-(3―1)lg1+log535-log57;(6分)(2)[(1-log63)2+log62·log618]÷log64.(7分)16.(15分)画出函数f(x)=|log3x|的图象,并求出其值域、单调区间以及在区间[19,6]上的最大值.17.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-lo g12(x+1).(1)求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式;(6分)(2)求不等式f(log12x)+f(log2(2x-1))<0的解集.(9分)18.(17分)已知函数f(x)=log3(4x―1)+16―2x的定义域为A.(1)求集合A;(7分)(2)若函数g(x)=(log2x)2-2log2x-1,且x∈A,求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.(10分)19.(17分)设f(x)=lo g121―axx―1为奇函数,a为常数.(1)求a的值;(5分)(2)证明:f(x)在区间(1,+∞)上单调递增;(6分)(3)若在区间[3,4]上的每一个x,不等式f(x)>(12)x+m恒成立,求实数m的取值范围.(6分)答案精析1.A2.A3.B4.C5.A6.D　［因为a=log0.14，b=log504，所以a<0，b>0，所以ab<0，1 a +1b=log40.1+log450=log45∈（1，2），即1<1a +1b<2，所以2ab<a+b<ab.］7.C　［刚投放时的面积为y=8×(43)0=8，设经过t个月该植物在水域中的面积是刚开始投放时的1000倍，则8×(43)t=8×1000，即t=lo g431000=3lg 43≈30.125=24.］8.B　［由函数y=log a x的图象过点（3，1），得a=3.选项A中的函数为y=(13)x，则其函数图象错误；选项B中的函数为y=x3，则其函数图象正确；选项C中的函数为y=（-x）3，则其函数图象错误；选项D中的函数为y=log3（-x），则其函数图象错误.］9.BC　［∵函数单调递增，∴a>1，又f（1）>0，即log a b>0=log a1，∴b>1.］10.ABD　［∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0，∴AB中的等式不一定成立；∵ab>0，∴ab >0，12lg(ab)2=12×2lg a b =lg ab ，∴C 中等式成立；当ab =1时，lg （ab ）=0，但log ab 10无意义，∴D 中等式不一定成立.］11.ABD ［函数f （x ）=|ln|2-x ||的图象如图所示.由图可得，函数f （x ）在区间（1，2）上单调递增，A 正确；函数y =f （x ）的图象关于直线x =2对称，B 正确；若取f （x 1）=f （x 2）=1，则存在x 1∈（2，3），x 2>3，所以x 1+x 2≠4，C 错误；函数f （x ）有且仅有两个零点，D 正确.］12.｛x |0<x <2｝　13.1　014.[17，13)解析　∵f （x ）=log a x （x ≥1）是减函数，∴0<a <1，且f （1）=0.∵f （x ）=（3a -1）x +4a （x <1）为减函数，∴3a -1<0，解得a <13.又∵f （x ）={(3a ―1)x +4a,x <1,log a x,x ≥1是R 上的减函数，∴（3a -1）×1+4a ≥0，解得a ≥17，综上可得17≤a <13，即实数a 的取值范围是[17，13).15.解　（1）原式=lg9lg8×lg32lg27-1+log 5357=2lg33lg2×5lg23lg3-1+1=109.（2）原式=［（log 66-log 63）2+log 62·log 6（2×32）］÷log 64=[(log 663)2+log 62·（log 62+log 632）]÷log 622=［（log 62）2+（log 62）2+2log 62·log 63］÷2log 62=log62+log63=log6（2×3）=1.16.解　因为f（x）=|log3x|={log3x,x≥1,―log3x,0<x<1,所以在［1，+∞）上，f（x）的图象与y=log3x的图象相同，在（0，1）上，f（x）的图象与y=log3x的图象关于x轴对称，据此可画出其图象，如图所示，由图象可知，函数f（x）的值域为［0，+∞），单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）.当x∈[19，6]时，f（x）在区间[19，1)上单调递减，在（1，6］上单调递增，又f(19)=2，f（6）=log36<2，故f（x）在区间[19，6]上的最大值为2.17.解　（1）当x<0时，-x>0，又f（x）为R上的奇函数，所以f（x）=-f（-x）=-［-x-lo g12（-x+1）］=x+lo g12（-x+1）.所以函数f（x）在（-∞，0）上的解析式为f（x）=x+lo g12（-x+1）.（2）当x≥0时，f（x）=x+log2（x+1）为增函数，所以f（x）在R上为增函数.由f（lo g12x）+f（log2（2x-1））<0得f（log2（2x-1））<-f（lo g12x）=f（-lo g12x）=f（log2x），所以log2（2x-1）<log2x，所以{0<2x―1,2x―1<x,所以{x>12,x<1,所以12<x<1，所以不等式f(log12x)+f（log2（2x-1））<0的解集为(12，1).18.解　（1）由题意得{4x―1≥1,16―2x≥0,解得12≤x≤4，所以集合A={x|12≤x≤4}.（2）设t=log2x，因为x∈[12，4]，所以t∈［-1，2］，所以y=t2-2t-1=（t-1）2-2，t∈［-1，2］.所以当t=1，即x=2时，g（x）取最小值-2，当t=-1，即x=12时，g（x）取最大值2.19.（1）解　∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，由1―axx―1>0，得（x-1）（1-ax）>0.令（x-1）（1-ax）=0，得x1=1，x2=1a，∴1a=-1，解得a=-1.经验证，a=-1满足题意.（2）证明　由（1）可知f（x）=lo g12x+1 x―1=lo g12(1+2x―1)（x>1），令u（x）=1+2x―1（x>1），对任意1<x1<x2，有u（x1）-u（x2）=(1+2x1―1)-(1+2x2―1)=2（x2―1）―2（x1―1）（x1―1）（x2―1）=2（x2―x1）（x1―1）（x2―1）.因为1<x1<x2，所以x1-1>0，x2-1>0，x2-x1>0，所以2（x2―x1）（x1―1）（x2―1）>0，即u（x1）-u（x2）>0.在（1，+∞）上单调递减.所以u（x）=1+2x―1又因为y=lo g1u（x）在（0，+∞）上单调递减，2所以f（x）在（1，+∞）上单调递增.（3）解　f（x）>(12)x+m在［3，4］上恒成立，即m<f（x）-(12)x在［3，4］上恒成立，令g（x）=f（x）-(12)x.由（2）知f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）在［3，4］上单调递增.所以g（x）min=g（3）=f（3）-(12)3=-98，所以m<-9，8即实数m的取值范围为(―∞，―98).。

2021 2021学年（新课标）北师大版高中数学必修一《指数函数与对数函数》单元测试题1及解析2021-2021学年（新课标）北师大版高中数学必修一《指数函数与对数函数》单元测试题1及解析2022-2022学年（新课程标准）北京师范大学版高中数学必修课第三章测试题本试卷分为两部分：第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）。

满分是150分。

测试时间为120分钟第ⅰ卷(选择题共50分)一、多项选择题（本主题共有10个子题，每个子题得5分，总计50分。

每个子题给出的四个选项中只有一个符合问题要求）11.给定函数① y=X2，② y=Log1（x+1），③ y=|X-1 |，2④ Y=2x+1，其中区间（0,1）上单调递减的函数序列号为（）a。

① ② C③ ④ [答：]B1[分析]y=Log1（x+1）和y=|x-1 |在区间（0,1）单调递减，y=x2和y=2x+1在区间内单调递减b．②③d．①④二间(0,1)上单调递增．一2．(2021辽宁文，3)已知a＝2a．a>b>cc．c>b>a[答案]d一－3，B=log2，C=Log1，然后（）b．a>c>bd．c>a>b一3一百二十三[解析]a＝2－3＝一∈(0,1)，b＝log2<0，332一11c＝log1>log1＝1∴c> a>b。

23223.对于下列函数组，在相同的直角坐标中，具有相同图像的F（x）和G（x）的组为（）11a、 f（x）＝（x）2，g（x）＝（x2）22x2－9b．f(x)＝，g(x)＝x－3x＋31c、 f（x）＝（x2）2，g（x）＝2log2xd．f(x)＝x，g(x)＝lg10x[答案]d[parsing]在选项a中，F（x）的域是r，G（x）的域是[0，+∞); 在选项B中，F（x）的域为1定义域为(－∞，－3)∪(－3，＋∞)，g(x)的定义域为r；选项c中，f(x)＝(x)2＝x，x∈2 [0, + ∞), G（x）=2log2x，x∈ (0, + ∞), 定义域和对应关系不同；在选项D 中，G（x）=lg10x=xlg10=x，因此选择D4．(2021山东高考)函数f(x)＝1－2x＋1X+3的定义字段为（）a．(－3,0]b、（-3,1）c．(－∞，－3)∪(－3,0]d．(－∞，－3)∪(－3,1][答：]a[解析]由题意知???1－2x≥0，??x＋3>0，也就是说？？？2x≤1.即??x>－3，? 十、≤0，?? x> －3∴f(x)定义域为(－3,0]．5.如果xlog23=1，则3x+9x的值为（）a.3b。

第四、五章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.log 225·log 52√2=( )A.3B.4C.5D.62.已知a=log 20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a3.如果一种放射性元素每年的衰减率是8%,那么a kg 的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t 等于( )A.lg 0.50.08B.lg 0.080.5C.lg 0.5lg 0.92 D.lg 0.92lg 0.54.设函数f (x )=log a x (a>0,a ≠1),若f (x 1·x 2·…·x 2 022)=8,则f (x 12)+f (x 22)+…+f (x 20222)的值等于(　)A.4B.8C.16D.2log a 85.已知函数f (x )=√M ,函数g (x )=ln(1+x )的定义域为N ,则M ∩N=( )A.{x|x>1}B.{x|x<1}C.⌀D.{x|-1<x<1}6.(2021四川成都月考)关于x 的方程9x -(a+1)3x +a 2-1=0有两个不相等的正根,则实数a 的取值范围是( )A.(-1,53) B.(1+√52,53)C.(1+√52,43) D.(1,53)7.在同一直角坐标系中,函数y=1ax ,y=log a x+12(a>0,且a ≠1)的图象可能是( )8.若x 1满足2x+2x =5,x 2满足2x+2log 2(x-1)=5,则x 1+x 2=( )A.52B.3C.72D.4二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若a>b>0,0<c<1,则( )A.log c a<log c bB.c a >c bC.a c >b cD.log c (a+b )>010.已知函数f (x )=lg(x 2+ax-a-1),给出下述论述,其中正确的是( )A.当a=0时,f (x )的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)B.f (x )一定有最小值C.当a=0时,f (x )的值域为RD.若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是{a|a ≥-4}11.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y 1(单位:千元)、乙厂的总费用y 2(单位:千元)与印制证书数量x (单位:千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则( )A.甲厂的费用y 1与证书数量x 之间的函数关系式为y 1=0.5x+1B.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元C.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y 2与证书数量x 之间的函数关系式为y 2=14x+52D.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用12.设函数f (x )={|lo g 2x |,0<x≤2,lo g 12(x -32),x >2,若实数a ,b ,c 满足0<a<b<c ,且f (a )=f (b )=f (c ).则下列结论恒成立的是( )A.ab=1B.c-a=32C.b 2-4ac <0D.a+c<2b三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知2x =7y =196,则1x +1y= . 14.(2021广东广州期中)某校学生在研究折纸实验中发现,当对折后纸张达到一定的厚度时,便不能继续对折了.在理想情况下,对折次数n 与纸的长边ω(cm)和厚度x (cm)有关系:n ≤23log 2ωx.现有一张长边为30 cm,厚度为0.05 cm 的矩形纸,该矩形纸最多能对折 次.(参考数值:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48)15.函数f (x )=1+log a (x+2)(a>0,且a ≠1)图象恒过定点A ,则点A 的坐标为 ;若f -32<32,则实数a 的取值范围是 . 16.某数学小组以函数f (x )=lg 1-x 1+x为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究结果如下:①函数f (x )的定义域为(-1,1);②函数f (x )是偶函数;③对于任意的x ∈(-1,1),都有f (2x x 2+1)=2f (x );④对于任意的a,b∈(-1,1),都有f(a)+f(b)=f(a+b1+ab);⑤对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0.其中所有正确研究结果的序号是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(1)计算:log3(9×272)+log26-log23+log43×log316;(2)解方程:log5(x+1)-lo g15(x-3)=1.18.(12分)已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a满足下列条件,分别求实数a的值或范围.(1)有2个零点;(2)有3个零点;(3)有4个零点.19.(12分)已知函数f(x)=log a(x+1),g(x)=log a(4-2x),a>0,且a≠1.(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.20.(12分)某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(单位:元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(单位:元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?21.(12分)已知函数f(x)=log a(1+x)-log a(1-x),其中a>0且a≠1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)若f(35)=2,求使f(x)>0成立的x的集合.22.(12分)已知函数f(x)=log a(3-ax),a>0,且a≠1.(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.第四、五章测评1.A　log225·log52√2=lg25lg2·lg812lg5=3,故选A.2.B　因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<0.20.3<1,即c∈(0,1),所以a<c<b.故选B.3.C　设t年后剩余量为y kg,则y=(1-8%)t a=0.92t a.当y=12a时,12a=0.92t a,所以0.92t=0.5,则t=log0.920.5=lg0.5lg0.92.4.C f (x 12)+f (x 22)+…+f (x 20222)=log a x 12+log a x 22+…+log a x 20222=log a (x 1·x 2·x 3·…·x 2022)2=2log a (x 1x 2…x 2022)=2f (x 1·x 2·…·x 2022)=16.5.D f (x )=√1-x>0,故x<1,即M={x|x<1};g (x )=ln(1+x )满足1+x>0,故x>-1,即N={x|x>-1}.故M ∩N={x|-1<x<1}.故选D .6.B 关于x 的方程9x -(a+1)3x +a 2-1=0有两个不相等的正根,令t=3x ,所以t>1,则问题转化为方程t 2-(a+1)t+a 2-1=0有两个大于1的不等实数根t 1,t 2,故{Δ=(a +1)2-4(a 2-1)>0,t 1+t 2=a +1>2,(t 1-1)(t 2-1)=t 1t 2-(t 1+t 2)+1=(a 2-1)-(a +1)+1>0.解得1+√52<a<53,所以实数a 的取值范围是(1+√52,53).故选B .7.D 当0<a<1时,函数y=a x 的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=1a x 的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=loga x+12的图象过定点12,0且单调递减,D 选项符合;当a>1时,函数y=a x的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=1a x 的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=log ax+12的图象过定点12,0且单调递增,各选项均不符合.故选D .8.C 对2x+2x =5,2x+2log 2(x-1)=5进行变形,可得2x-1=52-x ,log 2(x-1)=52-x.画出函数y=2x-1,y=52-x ,y=log 2(x-1)的图象,如图所示.根据指数函数y=2x 和对数函数y=log 2x 的图象关于直线y=x 对称,易得函数y=2x-1和函数y=log 2(x-1)的图象关于直线y=x-1对称,从而x 1+x 2等于直线y=x-1与y=52-x 交点的横坐标的2倍,即72.9.AC 因为0<c<1,所以y=log c x 在定义域内为减函数,由a>b>0得log c a<log c b ,故A 正确;因为0<c<1,所以y=c x 在定义域内为减函数,由a>b>0,得c a <c b ,故B 错误;因为a>b>0,0<c<1,所以a b c >1,所以a c >b c ,故C 正确;取c=12,a+b=2,则log c (a+b )=lo g 122=-1<0,故D 错误.10.AC 对A,当a=0时,解x 2-1>0有x ∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A 正确;对B,当a=0时,f (x )=lg(x 2-1),此时x ∈(-∞,-1)∪(1,+∞),x 2-1∈(0,+∞),此时f (x )=lg(x 2-1)值域为R ,故B 错误,C 正确;对D,若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增,此时y=x 2+ax-a-1对称轴x=-a 2≤2.解得a ≥-4.但当a=-4时f (x )=lg(x 2-4x+3)在x=2处无意义,故D 错误.11.ABC 甲厂的费用y 1与证书数量x 满足的函数关系为y 1=0.5x+1,故A 正确;当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2=1.5元,故B 正确;易知当x>2时,y 2与x 之间的函数关系式为y 2=14x+52,故C 正确;当x=8时,y 1=0.5×8+1=5,y 2=14×8+52=92,因为y 1>y 2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D 不正确.12.ABC　由题意,实数a,b,c满足0<a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c),结合图象,可得-log2a=log2b=lo g12c-32,即a=1b=c-32,且12<a<1,可得ab=1和c-a=32恒成立,即A,B正确;又由b2-4ac =1a2−4a(a+32)=3(12-a)a2(a+32)<0,所以b2-4ac<0,所以C正确;又由a+c-2b=2a+32−2a∈-32,32,当12<a<1时,a+c-2b的符号不能确定,所以D错误.13.12　2x=7y=196,∴x=log2196,y=log7196,∴1 x +1y=log1962+log1967=lo g14214=12.14.6　∵n≤23log2300.05=23log2600=23×lg600lg2=23×lg2+lg3+lg100lg2≈23×0.3+0.48+20.3≈6.18,∴矩形纸最多能对折6次.15.(-1,1)　0,14∪(1,+∞)　函数f(x)=1+log a(x+2)(a>0,且a≠1)图象恒过定点A,令x+2=1,求得x=-1,f(-1)=1,可得它的图象经过定点(-1,1).当0<a<1时,函数f(x)为减函数,若f-32<32,则1+log a-32+2<32,即log a12<12,即√a<12,求得0<a<14.当a>1时,函数f(x)为增函数,若f-32<32,则1+log a-32+2<32,即log a 12<12,即√a>12,求得a>14,又a>1,所以a>1.综上,实数a 的取值范围为0,14∪(1,+∞).16.①③④　在①中,因为f(x)=lg1-x1+x ,所以1-x1+x>0,得函数的定义域为(-1,1),所以①是正确的;在②中,f(x)=lg1-x1+x =-lg1+x1-x=-f(-x),所以函数f(x)为奇函数,所以②是错误的;在③中,对于任意x∈(-1,1),有f(2x x2+1)=lg1-2x x2+11+2xx2+1=lg x2-2x+1x2+2x+1=lg(x-1)2(x+1)2,又2f(x)=2lg 1-x1+x=lg(x-1)2(x+1)2,所以③是正确的;在④中,对于任意的a,b∈(-1,1),有f(a)+f(b)=lg 1-a1+a+lg1-b1+b=lg(1-a1+a·1-b1+b)=lg1-a-b+ab1+a+b+ab,又f(a+b1+ab)=lg1-a+b 1+ab1+a+b1+ab=lg1-a-b+ab1+a+b+ab,所以④是正确的;在⑤中,对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,即说明f(x)是增函数,但f(x)=lg 1-x1+x=lg-1+21+x是减函数,所以⑤是错误的.综上可知,正确研究结果的序号为①③④.17.解(1)log3(9×272)+log26-log23+log43×log316=log3[32×(33)2]+(log23+log22)-log23+log43×log342=log3[32×36]+log22+(log43)×2(log34)=log338+1+2=8+1+2=11.(2)原方程化为log5(x+1)+log5(x-3)=log55,∴(x+1)(x-3)=5,解得x=-2或x=4.经检验,x=-2不符合题意,故原方程的解为x=4.18.解如图为y=|x2-2x-3|的图象,函数y=a与y=|x2-2x-3|的图象的交点个数即为函数f(x)的零点个数.由图知,(1)当x=1时,y=4,∴当a=0或a>4时,函数有2个零点;(2)当a=4时,函数有3个零点;(3)当0<a<4时,函数有4个零点.19.解(1)由题意可知,f(x)-g(x)=log a(x+1)-log a(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,则有{x+1>0,解得-1<x<2.故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).4-2x>0,(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),即log a(x+1)>log a(4-2x).当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1.由(1)知-1<x<2,所以1<x<2;当0<a<1时,可得x+1<4-2x,解得x<1,由(1)知-1<x<2,所以-1<x<1.综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2);当0<a<1时,x的取值范围是(-1,1).20.解(1)当x ≤6时,y=50x-115,令50x-115>0,解得x>2.3,∵x 为整数,∴3≤x ≤6,x ∈Z .当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x 2+68x-115.令-3x 2+68x-115>0,有3x 2-68x+115<0,结合x 为整数得6<x ≤20,x ∈Z .∴f (x )={50x -115,3≤x ≤6,x ∈Z ,-3x 2+68x -115,6<x ≤20,x ∈Z .(2)对于y=50x-115(3≤x ≤6,x ∈Z ),显然当x=6时,y max =185;对于y=-3x 2+68x-115=-3x-3432+8113(6<x ≤20,x ∈Z ),当x=11时,y max =270.∵270>185,∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.21.解(1)要使函数有意义,则{1+x >0,1-x >0,解得-1<x<1,即函数f (x )的定义域为(-1,1).(2)f (x )是奇函数.理由如下:∵f (-x )=log a (-x+1)-log a (1+x )=-[log a (x+1)-log a (1-x )]=-f (x ),∴f (x )是奇函数.(3)若f (35)=2,∴log a (1+35)-log a 1-35=log a 4=2,解得a=2,∴f (x )=log 2(1+x )-log 2(1-x ).若f (x )>0,则log 2(x+1)>log 2(1-x ),∴x+1>1-x>0,解得0<x<1,故所求x 的集合为(0,1).22.解(1)∵a>0,且a ≠1,设t (x )=3-ax ,则t (x )为减函数,x ∈[0,2]时,t (x )的最小值为3-2a ,当x ∈[0,2]时,f (x )恒有意义,即x ∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.∴3-2a>0.∴a<32.又a>0,且a ≠1,∴a 的取值范围是(0,1)∪(1,32).(2)假设满足条件的实数a 存在.由(1)知t (x )=3-ax 为减函数.∵f (x )在区间[1,2]上为减函数,∴y=log a t 为增函数,∴a>1,x ∈[1,2]时,t (x )的最小值为3-2a ,f (x )的最大值为f (1)=log a (3-a ),∴{3-2a >0,lo g a (3-a )=1,即{a <32,a =32.故不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.。

北师大新版数学必修第一册第四章对数运算和对数函数基础测试题一、单选题1．计算22log 10log 0.4+等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 2．函数()1f x x =-的定义域为（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞ C ．()0,1 D ．(]0,13．已知函数2log ,0()34,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则(1)(1)f f --=（ ） A ．-7 B ．2 C ．7 D ．-44．设53a -=，3log 0.2b =，2log 3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 5．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()f x y f x f y +=+．下列函数中不满足其中任何一个等式（ ）A ．()3x f x =B ．()f x x =C ．2()log f x x =D ．2()f x x =6．若函数()y f x =是函数x y a =（0a >且1a ≠）的反函数，且()21f =，则()f x =（ ）A ．12xB ．2log xC ．12log xD ．22x -7．已知236m n ==，则11m n +等于 （ ） A ．-1 B ．2C ．3D ．1 8．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．3y x =B ．ln ||y x =C ．2x y -=D ．22y x x =-9．若3log 14a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．304a <<B ．304a <<或1a >C ．314a <<D ．314a <<或1a >10．已知函数212()log (45)f x x x =--，则函数()f x 的减区间是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(5,)+∞ D ．(,1)-∞- 11．设x ，y 是实数，则“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．函数()()()4log 10,1a f x x a a =+->≠的图象过一个定点，则这个定点坐标是（ ）A ．()2,4B ．4,2C ．()1,4D ．()2,5二、填空题13．若1log 38x =-，则x 的值为______. 14．已知132a =，则2log (2)a =_________. 15．设函数()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则()4f f =⎡⎤⎣⎦______. 16．函数()()2ln 4f x x =-的递增区间是________．三、解答题17．计算下列各式：（1）lg 4lg 25+；（2）(712log 2；（3）2221log 33log log 2+. 18．已知函数()()21log 411x f x x =+-. （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）设()21g x x=-，解不等式()()f x g x >. 19．已知对数函数()log (0,1)a f x x a a =>≠的图象经过点（9,2）.(1)求函数()f x 的解析式；（2）如果不等式(1)1f x +<成立，求实数x 的取值范围．20．已知函数()()22log 32f x mx mx =-+，m R ∈.（1）若1m =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.21．已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()12x f x g x ++=.（1）求()f x ，()g x 的解析式，并判断()f x 的单调性；（2）已知0m >，且1m ≠，不等式()()()log 2120m f f g +-+<成立，求m 的取值范围.22．已知函数2()(21)2f x ax a x =-++（1）若函数[]2log ()y f x x =+的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）当a >0时，解关于x 的不等式()0f x <.参考答案1．C【分析】直接利用对数的运算法则化简得解.【详解】由题得222222log 10log 0.4log (100.4)log 4log 22+=⨯===.故选：C2．C【分析】由函数解析式可得010x x >⎧⎨->⎩，解出即可. 【详解】 要使函数()f x = 则010x x >⎧⎨->⎩，解得01x <<， 故()f x =的定义域为()0,1. 故选：C.3．A【分析】根据解析式，分别求出(1)f 和(1)f -，即可得出结果.【详解】 因为2log ,0()34,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩， 所以2(1)log 10f ==，()(1)3417f -=--=，因此(1)(1)7f f --=-.故选：A.4．D利用对应指对数函数性质即可判断a ，b ，c 的范围，即可知它们的大小关系.【详解】由3x y =的性质知：01a <<，由3log y x =的性质知：0b <，由2log y x =的性质知：1c >，所以c a b >>.故选：D5．D【分析】对各个函数分别进行验证即可【详解】解：对于A ，()333()()x y x y f x y f x f y ++==⋅=，对于B ，()()()f x y x y f x f y +=+=+，对于C ，222()log ()log log ()()f xy xy x y f x f y ==+=+，对于D ，222()()()()()()f xy xy x y f x f y f x f y ===≠+， 222()()2()()()()f x y x y x xy y f x f y f x f y +=+=++≠≠+，所以函数2()f x x =不满足其中任何一个等式，故选：D6．B【分析】由题意可得出()log a f x x =，结合()21f =可得出a 的值，进而可求得函数()f x 的解析式.【详解】由于函数()y f x =是函数x y a =（0a >且1a ≠）的反函数，则()log a f x x =， 则()2log 21a f ==，解得2a =，因此，()2log f x x =.7．D【分析】利用对数和指数互化，可得2log 6m =，3log 6n =，再利用6611log 2,log 3m n ==即可求解.【详解】由236m n ==得：2log 6m =，3log 6n =， 所以66611log 2log 3log 61m n+=+==， 故选：D8．B【分析】根据函数奇偶性的定义及指数函数、对数函数的图像性质判断即可.【详解】因为3y x =为奇函数，函数2x y -=和函数22y x x =-不具有奇偶性，故排除A ，C ，D ，又ln ||y x =为偶函数且在(0,)+∞上递增，故B 符合条件.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、单调性的判断，属于基础题. 掌握幂指对函数的基本性质是关键.9．B【分析】将不等式化成同底，即可得答案；【详解】33log 1log log 44a a a a <⇔<， ∴01,3,4a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩或1,3,4a a >⎧⎪⎨<⎪⎩解得：304a <<或1a >， 故选：B.10．C【分析】 先求得()f x 的定义域，然后根据复合函数同增异减确定()f x 的减区间.【详解】由()()245510x x x x --=-+>解得1x <-或5x >， 所以()f x 的定义域为()(),15,-∞-+∞. 函数245y x x =--的开口向上，对称轴为2x =， 函数12log y x =在()0,∞+上递减， 根据复合函数单调性同增异减可知函数()f x 的减区间是()5,+∞.故选：C11．A【分析】首先判断“01x <<，且01y <<”能否推出 “22log log 0x y +<；再判断22log log 0x y +<能否推出“01x <<，且01y <<”，利用充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】若“01x <<，且01y <<”,则01xy <<，2222log log log log 10x y xy +=<=， 所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分条件；若22log log 0x y +<，则2222log log log log 10x y xy +=<=，可得01xy <<，但得不出“01x <<，且01y <<”，如116x =，2y =可得22log log 0x y +<，所以 22log log 0x y +<得不出“01x <<，且01y <<”，所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分不必要条件；故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，能正确判断条件能否推出结论，结论能否推出条件.12．A【分析】当11x -=时，log (1)0a x -=是与a 无关的常数，由此可求出定点的坐标【详解】解：令11x -=，则2x =，此时(2)4log 14a f =+=，所以函数()()()4log 10,1a f x x a a =+->≠的图像恒过点()2,4， 故选：A13．2【分析】直接利用指数式和对数式互化求解.【详解】 因为1log 38x=-， 所以33128x --==, 解得2x =,故答案为:214．43【分析】 由132a =得21log 3a =，再根据对数的运算性质可得解. 【详解】 因为132a =，所以21log 3a =， 所以22214log (2)log 2log 133a a =+=+=. 故答案为：43. 【点睛】关键点点睛：掌握指数式化对数式和对数的运算性质是本题解题关键.15．4【分析】根据分段函数定义域，代入4x =可求得()4f ，根据()4f 的值再代入即可求得()()4f f 的值．【详解】 因为()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩所以()241log 41f =-=-所以()()()114124f f f --=-==⎡⎤⎣⎦ 故答案为:416．()2,+∞【分析】求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性得出增区间．【详解】函数()()2ln 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，函数24y x =-在(),2-∞-上单调递减，在()2,+∞上单调递增， 又函数ln y t =单调递增，函数()()2ln 4f x x =-在(),2-∞-上单调递减，在()2,+∞上单调递增． 故答案为：(2,)+∞．【点睛】结论点睛：本题考查复合函数的单调性，复合函数的单调性：在定义域内，单调性如下：17．（1）2.（2）5-.（3）1 【分析】 （1）根据对数的运算性质进行运算即可得出结论； （2）根据对数的运算性质进行运算即可得出结论； （3）根据对数的运算性质进行运算即可得出结论；【详解】解：（1）lg 4lg 25lg(425)lg1002+=⨯==.（2）(17577111112222211136log 2log 2loglog log 72255--⎛⎫⎛⎫=+==--=- ⎪⎪⎝⎝⎭+⎭. （3）2221log 33log log2+ 132222log 3log log =+-22log log 21===. 【点睛】本题主要考查对数运算性质：log ()log log a a a MN M N =+；log log n a a M n M =;log log log a a a M M N N=- (其中0a >且1,0,0a M N ≠>>.考查学生的计算能力，属于基础题.18．（1）奇函数；（2）()()4,0log 3,-∞⋃+∞.【分析】应用函数的奇偶性的定义，证明()()f x f x -=- 即可.将式子直接代入，得()212log 41x x x +>,再就是对自变量分情况讨论，即可得出不等式的解. 【详解】解:(1).函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()2211141log 11log 144x x x f x x x +⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝⎭ ()221log 41log 41x x x⎡⎤=-+--⎣⎦ ()21log 4121x x x⎡⎤=-+--⎣⎦ ()21log 411x x =-++ ()f x =-∴()f x 是奇函数；（2）原不等式可化为()212log 41x x x +>， 当0x >时， ()2log 412x +>，∴414x +>， ∴4log 3x >，当0x <时， ()2log 412x +<， ∴0414x <+<， ∴4log 3x <， ∴0x <， 故所求不等式的解集为()()4,0log 3,-∞⋃+∞.【点睛】本题考查奇偶性的判断和利用对数函数的单调性解不等式,考查分类讨论思想, 是基础题. 19．（1）3()log f x x =； （2）12x -<<.【分析】（1）根据条件可得log 92a =，解得a ，即可得解析式；（2）由函数解析式可得()3log 11x +<，解对数不等式即可得解.【详解】（1）因为函数过点（9，2）所以log 92a =，即29a =，因为0a >，所以3a =.所以函数()f x 的解析式为()3log f x x =; ()()31log 1f x x +=+.由()11f x +<可得()3log 11x +<，即()33log 1log 3x +<即1013x x +>⎧⎨+<⎩，即12x -<<. 所以，实数x 的取值范围是12x -<<.【点睛】本题主要考查了解对数不等式，注意真数大于0，属于基础题.20．（1）∞(-,1)；（2）809m ≤<【分析】（1）先求出函数的义域为{|2x x >或1}x <，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调减区间；（2）等价于2320mx mx -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的图象和性质分析得解.【详解】（1）若1m =，()()22log 32f x x x =-+, 函数的定义域为{|2x x >或1}x <， 由于函数2log y x =是定义域上的增函数，所以()f x 的单调递减区间等价于函数232(2y x x x =-+>或1)x <的减区间，232(2y x x x =-+>或1)x <的减区间为(),1-∞，所以函数()f x 的单调递减区间(),1-∞.（2）由题得2320mx mx -+>在R 上恒成立，当0m =时，2＞0恒成立，所以0m =满足题意；当0m ≠时，20980m m m >⎧⎨∆=-<⎩，所以809m <<. 综合得809m ≤<【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．（1）()22x x f x -=-，()22x x g x -=+，单调递增；（2）()()0,12,⋃+∞.【分析】（1）由()()12x f x g x ++=可得()()12x f x g x -+-+-=，然后结合奇偶性可解出()f x ，()g x 的解析式，然后判断出()f x 的单调性即可；（2）由()()()log 2120m f f g +-+<可得()()log 21m f f <，然后可得log 21log m m m <=，然后分01m <<、1m 两种情况讨论即可.【详解】（1）由题可得()()12x f x g x -+-+-=，则()()12x f x g x -+-+= 又()()12x f x g x ++=，所以()22x x f x -=-，()22x x g x -=+ 因为2x y =在R 上单调递增，2x y -=在R 上单调递减所以函数()f x 在R 上单调递增（2）()()()log 2120m f f g +-+<等价于()()log 21m f f <因为函数()f x 单调递增，则log 21log m m m <=当01m <<时，上式等价于2m >，即01m <<当1m 时，上式等价于2m <，即2m >综上可知，()()0,12,m ∈⋃+∞22．（1）02a ≤<；（2）答案见解析.【分析】（1）由题意可得2(21)20ax a x x -+++>恒成立，即2220ax ax -+>恒成立，然后分0a =和0a >两种情况讨论即可；（2）由2(21)20ax a x -++<，得(1)(2)0ax x --<，然后分102a <<，12a >，1=2a 求解即可【详解】解：(1)由题意知2(21)20ax a x x -+++>恒成立 ∴2220ax ax -+>恒成立 ①当0a =时，2>0恒成立②00a >⎧⎨∆<⎩∴0<a <2 综上：02a ≤<(2)由2(21)20ax a x -++<，得(1)(2)0ax x --<， ①当102a <<时，12a >， ∴x ∈(2，1a ) ②当12a >时，12a <， ∴x ∈(1a ，2) ③当1=2a 时，()220x -<， ∴x ∈∅ 综上：当102a <<时，不等式的解集为(2，1a ) ；当12a >时，不等式的解集为(1a ，2) ；当1=2a 时，不等式的解集为∅.。

第四章对数运算与对数函数单元整合1.☉%￥￥￥291#1%☉(2024·安阳一中高一段考)已知集合A ={y |y =log 2x ,x >1},B ={y |y =(12)x,x >1},则A ∩B =( )。

A.{y |0<y <12} B.{y |0<y <1} C.{y |12<y <1} D.⌀答案：A 解析：由题意,依据对数函数的性质,可得集合A ={y |y =log 2x ,x >1}={y |y >0},依据指数函数的性质,可得集合B ={y |y =(12)x,x >1}={y |0<y <12}, 所以A ∩B ={y |0<y <12}。

故选A 。

2.☉%5*678##@%☉(2024·宜宾高三诊断)若函数f (x )=2a x +m-n (a >0且a ≠1)的图像恒过点(-1,4),则m +n 等于( )。

A.3 B.1 C.-1 D.-2 答案：C解析：由题意,函数f (x )=2a x +m -n (a >0且a ≠1)的图像恒过点(-1,4),∴m -1=0且2·a m -1-n =4,解得m =1,n =-2,∴m +n =-1。

故选C 。

3.☉%**91￥3#5%☉(2024·成都七中高一期中)函数f (x )=√x (x -1)-ln x 的定义域为( )。

A.{x |x >0} B.{x |x ≥1}C.{x |x ≥1或x <0}D.{x |0<x ≤1} 答案：B解析：∵f (x )有意义,∴{x (x -1)≥0,x >0,解得x ≥1,∴f (x )的定义域为{x |x ≥1}。

故选B 。

4.☉%#9@￥8￥46%☉(2024·成都七中高一期中)已知幂函数f (x )=x a(a 是常数),则( )。

第四章 §1A 组·素养自测一、选择题1．如果N ＝a 2(a ＞0，且a ≠1)，则有( D ) A ．log 2N ＝a B ．log 2a ＝N C ．log a 2＝ND ．log a N ＝2[解析] ∵N ＝a 2(a ＞0，且a ≠1)，∴2＝log a N .2．下列各组中，指数式与对数式互换不正确的是( C ) A ．32＝9与log 39＝2 B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．(－2)5＝－32与log (－2)(－32)＝5D ．100＝1与lg 1＝0[解析] 对数的底数和真数都不能为负数． 3.⎝⎛⎭⎫12－1＋log 0.54的值为( C )A ．6B ．72 C ．8 D ．37[解析] ⎝⎛⎭⎫12－1＋log 0.54＝⎝⎛⎭⎫12－1·⎝⎛⎭⎫12log 0.54＝⎝⎛⎭⎫12－1·⎝⎛⎭⎫12log 124＝2×4＝8.4．方程2log 3x ＝14的解是( A )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝3D ．x ＝9[解析] ∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5．已知f (e x )＝x ，则f (3)＝( B ) A ．log 3e B ．ln 3 C ．e 3D ．3e[解析] 令e x ＝3，∴x ＝ln 3，∴f (3)＝ln 3，故选B . 6．设函数f (x )＝错误!则满足f (x )＝错误!的x 值为( C ) A ．－3 B ．13 C ．3D ．－13[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2－x ＝14得x ∈∅；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，log 81x ＝14得x ＝3. 二、填空题 7．log (2－1)(3－22)＝__2__．[解析] 原式＝log (2－1)(2－1)2＝2.8．log 4[log 3(log 2x )]＝0，则x ＝__8__．[解析] 由log 4[log 3(log 2x )]＝0得log 3(log 2x )＝1，得log 2x ＝3，得x ＝23＝8. 9．若log 31－2x9＝1，则x ＝__－13__．[解析] 因为log 31－2x 9＝1，所以1－2x9＝3，所以x ＝－13.三、解答题10．求下列各式中x 的取值范围： (1)log (x －1)(x ＋2)； (2)log (x ＋1)(x －1)2.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －1≠1，x ＋2＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠2，x ＞－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠2，故x 的取值范围是{x |x ＞1且x ≠2}． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1，x －1≠0，得⎩⎨⎧x ＞－1，x ≠0，x ≠1.故x 的取值范围是{x |x ＞－1且x ≠0，x ≠1}． 11．计算下列各式： (1)2ln e＋lg 1＋3log 32；(2)3log 34－lg 10＋2ln1.[解析] (1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.(2)原式＝3log 34－1＋20＝3log 34÷31＋1＝43＋1＝73.B 组·素养提升一、选择题1．若log a 3＝2log 230，则a 的值为( B ) A ．2 B ．3 C ．8D ．9[解析] ∵log a 3＝2log 230＝30＝1，∴a ＝3，故选B .2．(多选题)下列指数式与对数式互化正确的一组是( ACD ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．log 39＝2与912＝3 C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[解析] log 39＝2化为指数式为32＝9，故选ACD . 3．(多选题)下列等式中正确的是( AB ) A ．lg (lg 10)＝0B ．lg (ln e )＝0C ．若lg x ＝10，则x ＝10D ．若ln x ＝e ，则x ＝e 2[解析] 对于A ，lg (lg 10)＝lg1＝0；对于B ，lg (ln e )＝lg1＝0；对于C ，若lg x ＝10，则x ＝1010；对于D ，若ln x ＝e ，则x ＝e e ，故选AB .4．已知lg a ＝2.31，lg b ＝1.31，则ba 等于( B )A .1100B ．110C ．10D ．100[解析] ∵lg a ＝2.31，lg b ＝1.31， ∴a ＝102.31，b ＝101.31，∴b a ＝101.31102.31＝10－1＝110.二、填空题5．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝__12__．[解析] ∵log a 2＝m ，∴a m ＝2，∴a 2m ＝4，又∵log a 3＝n ，∴a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12. 6．log333＝__3__．[解析] 令log 333＝x ，∴(3)x ＝33＝(3)3， ∴x ＝3，∴log 333＝3.7．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12＝4． [解析] ∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8， ∴x －12＝8－12＝18＝122＝24.三、解答题8．求下列各式中x 的值： (1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93；(3)log x 8＝－3；(4)log 12x ＝4.[解析] (1)由已知得⎝⎛⎭⎫22x ＝4， ∴2－x2＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)由已知得x －3＝8，即⎝⎛⎭⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12. (4)由已知得x ＝⎝⎛⎭⎫124＝116. 9．设x ＝log 23，求23x －2－3x 2x －2－x 的值．[解析] 由x ＝log 23，得2－x ＝13，2x ＝3，∴23x －2－3x 2x －2－x ＝(2x )3－(2－x )32x －2－x＝(2x )2＋1＋(2－x )2＝32＋1＋⎝⎛⎭⎫132＝919.。

第四章对数运算与对数函数§2对数的运算2.1对数的运算性质2.2换底公式课后篇巩固提升基础达标练1.2log510+log50.25=()A.0B.1C.2D.4=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.2.若log23=a,则log49=()A. B.a C.2a D.a29==log23=a,故选B.43.等于()A.lg 3B.-lg 3C. D.-=lo+lo=log94+log35=log32+log35=log310=.4.(多选题)(2020山东临沂高三期末)若10a=4,10b=25,则()A.a+b=2B.b-a=1C.ab>8lg22D.b-a>lg 610a=4,10b=25,得a=lg 4,b=lg 25,∴a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2,∴b-a=lg 25-lg 4=lg,∵lg 10=1>lg>lg 6,∴1>b-a>lg 6.∴ab=4lg 2lg 5>4lg 2lg 4=8(lg 2)2.5.已知log325=q,log43=p,则lg 2=()A. B.C. D.pq=log43·log325==-1,∴1+pq=.∴lg 2=.6.log35log46log57log68log79=.5log46log57log68log79==3.37.若2x=3,log4=y,则x+2y=.2x=3,∴x=log23.∴x+2y=log23+2log4=log23+2×=log23+log2=log28=3.8.计算:(1);(2)lg-lg+lg-log92·log43;(3)已知log53=a,log54=b,用a,b表示log25144.原式==1.(2)(方法一)原式=lg+lg=lg=lg 1-=-.(方法二)原式=(lg 1-lg 2)-(lg 5-lg 8)+(lg 5-lg 4)-=-lg 2+lg 8-lg 4-=-(lg 2+lg 4)+lg 8-=-lg(2×4)+lg 8-=-.(3)∵log53=a,log54=b,∴log25144=log512=log53+log54=a+b.9.已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1.求的值.log2(log3(log4x))=0,∴log3(log4x)=1.∴log4x=3.∴x=43=64.由log4(log2y)=1,知log2y=4,∴y=24=16.因此×1=8×8=64.能力提升练1.若lg x-lg y=a,则lg-lg=()A.3aB.aC.aD.-lg=3=3(lg x-lg y)=3a.2.若2log a(P-2Q)=log a P+log a Q(a>0,且a≠1),则的值为()A. B.4C.1D.4或12log a(P-2Q)=log a P+log a Q,得log a(P-2Q)2=log a(PQ).由对数运算法则得(P-2Q)2=PQ,即P2-5PQ+4Q2=0,所以P=Q(舍去)或P=4Q,解得=4.3.(多选题)(2019山东宁阳高一月考)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么()A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC. D.,设4a=6b=9c=k(k>0,且k≠1),则a=log4k,b=log6k,c=log9k,由ab+bc=2ac,可得=2,因为=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误;=2log k4+log k6=log k96,=2log k9=log k81,故,故C错误;=2log k6-log k4=log k9,=log k9,故,故D正确.4.已知0<a<1,x=log a+log a,y=log a5,z=log a-log a,则()A.x>y>zB.z>y>xC.z>x>yD.y>x>zx=log a+log a=log a,y=log a5=log a,z=log a-log a=log a,因为0<a<1,又,所以log a>log a>log a,即y>x>z,故选D.5.某种食品因存放不当受到细菌的侵害.据观察,此食品中细菌的个数y与经过的时间t(单位:min)满足关系y=2t,若细菌繁殖到3个,6个,18个所经过的时间分别为t1,t2,t3,则有()A.t1·t2=t3B.t1+t2>t3C.t1+t2=t3D.t1+t2<t3,得=3,=6,=18,则t1=log23,t2=log26,t3=log218,所以t1+t2=log23+log26=log218=t3.6.2x=5y=m(m>0),且=2,则m的值为.2x=5y=m(m>0,且m≠1),得x=log2m,y=log5m,由=2,得=2,即log m2+log m5=2,log m(2×5)=2.故有m=.7.已知a>b>1,若log a b+log b a=,a b=b a,则a=,b=.log a b+log b a=log a b+,∴log a b=2或log a b=.∵a>b>1,∴log a b<log a a=1.∴log a b=,∴a=b2.∵a b=b a,∴(b2)b=,∴b2b=.∴2b=b2,∴b=2,∴a=4.28.已知log a(x2+4)+log a(y2+1)=log a5+log a(2xy-1)(a>0,且a≠1),求log8的值.,可将等式化为log a[(x2+4)·(y2+1)]=log a[5(2xy-1)],∴(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1).整理,得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0,配方,得(xy-3)2+(x-2y)2=0,∴.∴log8=log8=lo2-1=-log22=-.素养培优练设正数a,b,c满足a2+b2=c2.求证:log21++log21+=1.+log22=log2=log2=log2=log22=1.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

第1课时 对数函数的图象和性质必备知识基础练知识点一 对数函数的定义域和值域 1．求下列函数的定义域： (1)y ＝1log 2（x －1）；(2)y ＝log 2(16－4x)； (3)y ＝log x －1(3－x )； (4)y ＝1log 0.5（4x －3）.2．(1)求函数y ＝log 13(－x 2＋4x －3)的值域；(2)求函数f (x )＝log 2(2x )·log 2x (12 ≤x ≤2)的最大值和最小值．知识点二 对数函数的图象及应用 3．函数y ＝lg (x ＋1)的图象大致是( )4．如图(1)(2)(3)(4)中，不属于函数y ＝log 15x ，y ＝log 17x ，y ＝log 5x 的一个是( )A ．(1)B ．(2)C ．(3)D ．(4)5．已知函数y ＝log a (x ＋3)＋1(a >0且a ≠1)，则函数恒过定点( ) A ．(1，0) B ．(－2，0) C ．(0，1) D ．(－2，1) 知识点三 对数函数的单调性及应用6．设a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <a <b7．函数f (x )＝log 13(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) 8．已知f (x )＝log a 1＋x 1－x (a >0，且a ≠1).(1)求f (x )的定义域；(2)求使f (x )>0的x 的取值范围．关键能力综合练1．函数y＝3－x2－log2（x＋1）的定义域是( )A．(－1，3) B．(－1，3]C．(－∞，3) D．(－1，＋∞)2．设a＝log43，b＝log53，c＝log45，则( )A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b3．(易错题)函数y＝log a(x－1)＋log a(x＋1)(a>0且a≠1)的图象必过定点( ) A．(3，0) B．(±2，0)C．(2，0) D．(－2，0)4.华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数f(x)＝log a(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是( )5．函数f (x )＝log 2(x 2－4x ＋12)的值域为( )A ．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C ．(－∞，－3) D ．(－∞，－3] 6．函数f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )的单调递减区间为( ) A ．[1，2)B ．(0，1]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞) 7．函数f (x )＝log 12(2 －|x |)的单调递增区间为________.8．一次函数y ＝mx ＋n (m >0，n >0)的图象经过函数f (x )＝log a (x －1)＋1的定点，则1m＋2n的最小值为________． 9．(探究题)已知函数f (x )＝log 2(1－x 2). (1)求函数的定义域；(2)请直接写出函数的单调区间，并求出函数在区间[22，1)上的值域．核心素养升级练1．(多选题)已知函数f (x )＝ln (x －2)＋ln (6－x )，则( ) A ．f (x )在(2，6)上单调递增 B ．f (x )在(2，6)上的最大值为2ln 2 C ．f (x )在(4，6)上单调递减 D ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称2．(情境命题—学术探究)已知函数f (x )＝log a (a x－1)(a >0，a ≠1). (1)当a ＝12时，求函数f (x )的定义域；(2)当a >1时，求关于x 的不等式f (x )<f (1)的解集；(3)当a ＝2时，若不等式f (x )－log 2(1＋2x)>m 对任意实数x ∈[1，3]恒成立，求实数m 的取值范围．第1课时 对数函数的图象和性质必备知识基础练1．解析：(1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 2（x －1）≠0， 解得x >1，且x ≠2.故函数y ＝1log 2（x －1）的定义域是{x |x >1，且x ≠2}．(2)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x <2. 故函数y ＝log 2(16－4x)的定义域是{x |x <2}．(3)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1， 解得1<x <3，且x ≠2.故函数y ＝log (x －1)(3－x )的定义域是{x |1<x <3，且x ≠2}．(4)由log 0.5(4x －3)>0，可得0<4x －3<1，即3<4x <4，解得34<x <1.所以原函数的定义域为(34，1). 2．解析：(1)由－x 2＋4x －3>0，解得1<x <3，∴函数的定义域是(1，3). 设u ＝－x 2＋4x －3(1<x <3)，则u ＝－(x －2)2＋1.∵1<x <3，∴0<u ≤1，则y ≥0，即函数的值域是[0，＋∞). (2)f (x )＝log 2(2x )·log 2x ＝(1＋log 2x )·log 2x ＝(log 2x ＋12 )2－14 .∵12≤x ≤2，即－1≤log 2x ≤1， ∴当log 2x ＝－12 时，f (x )取得最小值－14 ；当log 2x ＝1时，f (x )取得最大值2. 3．答案：C解析：由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg (x ＋1)可看作是y ＝lg x 的图象向左平移1个单位．(或令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)4．答案：B解析：∵log 17 15 <log 17 17 ＝log 1515 ，∴(3)是y ＝log 17x ，(4)是y ＝log 15x ，又y ＝log 15x ＝－log 5x 与y ＝log 5x 关于x 轴对称，∴(1)是y ＝log 5x .故选B. 5．答案：D解析：令x ＋3＝1，解得x ＝－2，y ＝1， 所以函数恒过定点(－2，1).故选D. 6．答案：C解析：由y ＝log 0.7x 是减函数，且0.7<0.8<1得， log 0.70.7>log 0.70.8>log 0.71，即0<a <1； 由y ＝log 1.1x 是增函数，且0.9<1得， log 1.10.9<log 1.11＝0，即b <0； 由y ＝1.1x是增函数，且0.9>0得， 1.10.9>1.10＝1，即c >1. 因此，b <a <c .故选C. 7．答案：A解析：由x 2－2x －8>0，得x <－2或x >4.令g (x )＝x 2－2x －8，易知函数g (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2).8．解析：(1)由1＋x1－x >0，得－1<x <1，故所求的定义域为(－1，1).(2)①当a >1时，由log a 1＋x 1－x >0＝log a 1，得1＋x1－x >1, 即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1＋x >1－x ， 所以0<x <1；②当0<a <1时，由log a 1＋x 1－x >0＝log a 1，得0<1＋x1－x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1＋x <1－x .所以－1<x <0，故当a >1时，所求范围为0<x <1； 当0<a <1时，所求范围为－1<x <0.关键能力综合练1．答案：A解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，log 2（x ＋1）≠2，x ＋1>0， 解得－1<x <3，所以函数的定义域是(－1，3)，故选A. 2．答案：D解析：a ＝log 43<log 44＝1；c ＝log 45>log 44＝1，∵log 53＝lg 3lg 5 ，log 43＝lg 3lg 4 ，lg 5>lg4，∴log 53<log 43，∴b <a <c ，故选D.3．答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x ＋1>0 得x >1，∴y ＝log a (x －1)＋log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)的定义域为(1，＋∞)，∴y ＝log a (x 2－1)(a >0，且a ≠1，x >1). 令x 2－1＝1，得x 2＝2，又x >1，∴x ＝2 . 当x ＝2 时，y ＝log a [(2 )2－1]＝0，因此y ＝log a (x －1)＋log a (x ＋1)的图象必过定点(2 ，0)，故选C. 4．答案：C解析：由题意，根据函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象，可得0<a <1，0<b <1， 根据指数函数y ＝a －x(0<a <1)的图象与性质，结合图象变换向下移动b 个单位，可得函数g (x )＝a －x－b 的图象只有选项C 符合．故选C.5．答案：A解析：∵x 2－4x ＋12＝(x －2)2＋8≥8，且函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )≥log 28＝3.6．答案：A解析：对于f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )有⎩⎪⎨⎪⎧x >02－x >0 ，解得函数f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )的定义域为(0，2)， 又f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )＝log 2[x (2－x )]，对于y ＝x (2－x )＝－x 2＋2x ，其在(0，1)上单调递增，在[1，2)上单调递减， 又y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 由复合函数单调性的规则：同增异减得函数f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )的单调递减区间为[1，2).故选A. 7．答案：[0，2 )解析：由2 －|x |>0，得－2 <x <2 ，所以函数f (x )的定义域为(－2 ，2 ). ∵函数u ＝2 －|x |在[0，2 )上为减函数，且函数y ＝log 12u 为减函数，∴函数f (x )的单调递增区间为[0，2 ). 8．答案：8解析：对于函数f (x )＝log a (x －1)＋1，令x －1＝1，∴x ＝2，y ＝1，则该函数图象过定点(2，1)，将(2，1)代入y ＝mx ＋n (m >0，n >0)，得2m ＋n ＝1，故1m ＋2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn≥4＋2n m ·4m n ＝8，当且仅当n m ＝4m n 且2m ＋n ＝1，即m ＝14 ，n ＝12时取等号．9．解析：(1)由1－x 2>0得定义域为{x |－1<x <1}．(2)令u ＝1－x 2，则u 在(－1，0]上单调递增，在(0，1)上单调递减．又f (u )＝log 2u 单调递增，故f (x )在(－1，0]上单调递增，在(0，1)上单调递减． ∴函数f (x )在[22，1)上为减函数， ∴函数f (x )在[22，1)上的值域为(－∞，－1].核心素养升级练1．答案：BCD解析：因为f (x )＝ln (x －2)＋ln (6－x )＝ln [(x －2)(6－x )]，定义域为(2，6)，令t ＝(x －2)(6－x )，则y ＝ln t ，二次函数t ＝(x －2)(6－x )的对称轴为直线x ＝4，所以f (x )在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，A 错误，C ，D 正确；当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln (4－2)＋ln (6－4)＝2ln 2，故B 正确．故选BCD.2．解析：(1)当a ＝12 时，f (x )＝log 12 (12x －1)，由12x －1>0，得x <0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0).(2)f (x )＝log a (a x－1)(a >1)的定义域为(0，＋∞)，当x 1>x 2>0时，f (x 1)－f (x 2)＝log a (a a 1－1)－log a (a a 2－1)＝log a a a 1－1a a 2－1>0， 所以函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，由f (x )<f (1)，知⎩⎪⎨⎪⎧x >0x <1 ，故关于x 的不等式f (x )<f (1)的解集为{x |0<x <1}．(3)设g (x )＝f (x )－log 2(1＋2x)＝log 22x－12x ＋1，x ∈[1，3]，设t ＝2x－12x ＋1 ＝1－22x ＋1 ，x ∈[1，3].易知t ＝1－22x ＋1 在x ∈[1，3]上单调递增．所以t ∈[13 ，79 ]，故g (x )min ＝log 213.因为m <g (x )对任意x ∈[1，3]恒成立，所以m <g (x )min . 故m 的取值范围是(－∞，log 213 ).。

第四章对数运算和对数函数课后练习1、对数的概念................................................................................................................ - 1 -2、对数的运算................................................................................................................ - 5 -3、对数函数的概念...................................................................................................... - 10 -4、对数函数y=log2x的图象和性质............................................................................ - 13 -5、对数函数y=log a x的图象和性质 ............................................................................ - 18 -6、指数函数、幂函数、对数函数增长的比较.......................................................... - 25 -1、对数的概念基础练习1.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于( )A. B. C. D.【解析】选C.由条件知,log3(log2x)=1,所以log2x=3,所以x=8,所以=.【补偿训练】若对数式log(t-2)3有意义,则实数t的取值范围是( )A.[2,+∞)B.(2,3)∪(3,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)【解析】选B.要使对数式log(t-2)3有意义,需,解得t>2且t≠3,所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3,+∞).2.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即a b=N⇔b=log a N.现在已知a=log23,则2a= .【解析】由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.答案:33.e0++= .【解析】原式=1+2+8=11.答案:114.把对数式log84=x化成指数式是;可求出x= . 【解析】因为log84=x,所以8x=4,所以23x=22,所以x=.答案:8x=45.(1)将log232=5化成指数式.(2)将3-3=化成对数式.(3)log4x=-,求x.(4)已知log2(log3x)=1,求x.【解析】(1)因为log232=5,所以25=32.(2)因为3-3=,所以log3=-3.(3)因为log4x=-,所以x===2-3=.(4)因为log2(log3x)=1,所以log3x=2,即x=32=9.提升练习一、单选题(每小题5分,共10分)1.设f(log2x)=2x(x>0),则f(2)的值是( )A.128B.16C.8D.256【解析】选B.由题意,令log2x=2,解得x=4,则f(log2x)=2x=24=16.2.(2020·西安高一检测)已知2×9x-28=,则x= ( )A.log 37-log32B.lo 4C.log34D.log37【解析】选C.2×9x-28=,所以2×(3x)2-28-3x=0,即(3x-4)(2·3x+7)=0,解得3x=4,则x=log34.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ( )A.a2+b2≥B.2a-b>C.log2a+log2b≥-2D.+≤【解析】选ABD.因为a+b=1,所以由2(a2+b2)≥(a+b)2(当且仅当a=b时,等号成立),得a2+b2≥,故A项正确;由题意可得0<b<1,所以-1<a-b=1-2b<1,所以2a-b>,故B项正确;因为a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),所以ab≤,所以log2a+log2b≤log2=-2,故C项错误;由2(a+b)≥(当且仅当a=b时,等号成立),得+≤,故D项正确.4.下列各式正确的有( )A.lg(lg 10)=0B.lg(ln e)=0C.若10=lg x,则x=10D.若log25x=,则x=±5【解析】选AB.对于A,因为lg(lg 10)=lg 1=0,所以A对;对于B,因为lg(ln e)=lg 1=0,所以B对;对于C,因为10=lg x,所以x=1010,C错;对于D,因为log25x=,所以x=2=5.所以只有AB正确.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若log a2=m,log a3=n,其中a>0,且a≠1,则a m+n= .【解析】log a2=m,可得a m=2.log a3=n,a n=3.a m+n=a m a n=2×3=6.答案:66.(2020·绍兴高一检测)已知方程log a(5x-3x)=x(其中a>0,a≠1),若x=2是方程的解,则a= ;当a=2时,方程的解x= .【解析】因为x=2是方程的解,所以log a(52-32)=2.所以a2=16,且a>0,所以a=4.当a=2时,log2(5x-3x)=x.所以5x-3x=2x,显然x=1是方程的解.答案:4 1【补偿训练】方程log3(9x-4)=x+1的解x= .【解析】因为log3(9x-4)=x+1,所以9x-4=3x+1,所以(3x)2-3·3x-4=0,所以3x=4,x=log34,或3x=-1(舍).答案:log34四、解答题7.(10分)若lo x=m,lo y=m+2,求的值.【解析】因为lo x=m,所以=x,x2=.因为lo y=m+2,所以=y,y=,所以====16.【补偿训练】已知log a b=log b a(a>0,a≠1;b>0,b≠1),求证:a=b或a=. 【证明】令log a b=log b a=t,则a t=b,b t=a,所以=a则=a,所以t2=1,t=±1,当t=1时,a=b;当t=-1时,a=.所以a=b或a=.2、对数的运算基础练习1.化简2lg 5+lg 4-的结果为( )A.0B.2C.4D.6【解析】选A.原式=2lg 5+2lg 2-2=2(lg 5+lg 2)-2=0.2.+等于( )A.lg 3B.-lg 3C.D.-【解析】选C.原式=lo+lo=log94+log35=log32+log35=log310=.3.(2020·新乡高一检测)设a=lg 6,b=lg 20,则log23= ( )A. B.C. D.【解析】选D.因为a=lg 6=lg 2+lg 3,b=lg 20=1+lg 2,所以log23==.4.计算:2-1+lg 100-ln= .【解析】原式=+2-=2.答案:25.已知3a=5b=c,且+=2,求c的值.【解析】因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,c>0,所以=log c3,=log c5,所以+=log c15.由log c15=2得c2=15,即c=(负值舍去).提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.设函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),若f(x1x2·…·x2 020)=4,则f()+f()+…+f()的值等于( )A.4B.8C.16D.2log48【解析】选B.因为函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),f(x1x2…x2 020)=4,所以f(x1x2…x2 020)=log a(x1x2…x2 020)=4,所以f()+f()+…+f()=log a(××…×)=log a(x1x2…x2 020)2=2log a(x1x2…x2 020)=2×4=8.2.(2020·全国卷Ⅰ)设alog34=2,则4-a= ( )A. B. C. D.【解题指南】首先根据题中所给的式子,结合对数的运算法则,得到log34a=2,即4a=9,进而求得4-a=,得到结果.【解析】选B.由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9,所以有4-a=.3.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.1【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg,所以lg=10.1,则=1010.1.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.(2020·滨州高一检测)已知a,b均为正实数,若log a b+log b a=,a b=b a,则可以取的值有( )A. B. C. D.2【解析】选AD.令t=log a b,则t+=,所以2t2-5t+2=0,(2t-1)(t-2)=0,所以t=或t=2,所以log a b=或log a b=2.所以a=b2或a2=b.又因为a b=b a,所以2b=a=b2或b=2a=a2.所以b=2,a=4或a=2,b=4.所以=2或=.三、填空题(每小题5分,共10分)5.(lg 5)2-(lg 2)2+lg 4= .【解析】原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+lg 4=lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1.答案:16.已知lg a+b=3,a b=100,则a lg 2·b= .【解析】lg a+b=3,a=103-b,又因为a b=100,所以10(3-b)b=100,b(3-b)=2,所以b=1或2,a=100或10,所以a lg 2·b=102lg 2·1=4或a lg 2·b=10lg 2·2=2×2=4.答案:4四、解答题7.(10分)(2020·漳州高一检测)计算下列各式:(1)(log32+log92)(log43+log83)+;(2)2lg 5+lg 8+lg 5·lg 20+lg22.【解析】(1)(log32+log92)(log43+log83)+=+5=···+5=×+5=. (2)2lg 5+lg 8+lg 5·lg 20+lg22=2lg 5+lg 23+lg 5·lg(4×5)+lg22=2lg 5+2lg 2+2lg 5·lg 2+lg25+lg22=2(lg 5+lg 2)+2lg 5·lg 2+lg25+lg22=2+(lg 5+lg 2)2=2+1=3.【补偿训练】计算:(1)log535-2log5+log57-log51.8;(2)log2+log212-log242-1.【解析】(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5= log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.(2)原式=log2+log212-log2-log22=log2=log2=log2=-.3、对数函数的概念基础练习1.函数f(x)=(a2+a-5)log a x为对数函数,则f(2)等于( )A.3B.C.-log36D.-log38【解析】选B.因为函数f(x)=(a2+a-5)log a x为对数函数,所以解得a=2,所以f(x)=log2x,所以f(2)=log2=.2.若函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的反函数是g(x),且g=-1,则f=( )A. B.2 C. D.【解析】选C.由已知得g(x)=log a x.又g=log a=-1,于是a=4,因此f(x)=4x,故f==.3.若函数y=f(x)是函数y=5x的反函数,则f(f(5))= .【解析】因为y=f(x)与y=5x互为反函数,所以f(x)=log5x.所以f(f(5))=f(log55)=f(1)=log51=0.答案:04.若对数函数f(x)=log a x的图象过点(2,1),则f(8)= .【解析】依题意知1=log a2,所以a=2,所以f(x)=log2x,故f(8)=log28=3. 答案:35.已知函数f(x)=log 3x+lo x,则f()= .【解析】f()=log3+lo=-=0.答案:06.写出下列函数的反函数:(1)y=lo x;(2)y=πx;(3)y=.【解析】(1)对数函数y=lo x,它的底数是,它的反函数是y=;(2)指数函数y=πx,它的底数是π,它的反函数为y=logπx;(3)指数函数y=,它的底数是,它的反函数是y=lo x.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.设f(x)是对数函数,且f()=-,那么f()= ( )A. B. C.- D.-【解析】选C.设对数函数f(x)=log a x(a>0,a≠1).由条件得log a=-,即log a=-,则a=.因此f(x)=x,所以f()==-.2.若f(x3)=lg x,则f(2)= ( )A.lg 2B.3lg 2C.-3lg 2D.lg 2【解析】选D.由x3=2得x=,所以f(2)=f[()3]=lg =lg 2.3.设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则当x<0时,f(x)= ( )A.-log2xB.log2(-x)C.log x2D.-log2(-x)【解析】选D.设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x).因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以当x<0时,f(x)=-log2(-x).二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.下列函数表达式中,是对数函数的有( )A.y=log a x(a∈R)B.y=log8xC.y=log x(x+2)D.y=logπx【解析】选BD.由于形如y=log a x(a>0,且a≠1)的函数即为对数函数,符合此形式的函数表达式有BD,其他的均不符合.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若f(x)=log a x+(a2-4a-5)是对数函数,则a= .【解析】由对数函数的定义可知,解得a=5.答案:56.已知函数f(x)=log a(x+2),若图象过点(6,3),则f(x)= ,f(30)= .【解析】代入(6,3),得3=log a(6+2)=log a8,即a3=8,所以a=2,所以f(x)=log2(x+2),所以f(30)=log232,令log232=m,所以2m=32,所以m=5. 答案:log2(x+2) 5三、解答题7.(10分)已知函数f(x)=log a(3-ax)(a>0,且a≠1).当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.【解析】因为a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数,当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a.因为当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.所以3-2a>0,所以a<.又a>0且a≠1,所以0<a<1或1<a<,所以实数a的取值范围为(0,1)∪.4、对数函数y=log2x的图象和性质基础练习1.若f为y=2-x的反函数,则f的图象大致是( )【解析】选C.由题意,f(x)与y=2-x=的图象关于y=x对称,即f(x)=x,故f(x-1)=(x-1),所以f(x-1)的图象就是将f=x右移一个单位得到.【补偿训练】已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是( )【解析】选C.f(x)与y=log2x互为反函数,因此f(x)=2x,故y=f(1-x)=21-x=,该函数图象是由y=的图象向右平移1个单位得到的.2.设函数f(x)=则f(f(-1))= ( )A.2B.1C.-2D.-1【解析】选D.因为-1<0,所以f(-1)=2-1=;因为>0,所以f=log2=log22-1=-1.故f(f(-1))=-1.3.已知函数f(x)=log2x,且f(m)>0,则m的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.R【解析】选C.结合f(x)=log2x的图象(图略)可知,当f(m)>0时,m>1.4.已知m,n∈R,函数f(x)=m+log n x的图象如图,则m,n的取值范围分别是 ( )A.m>0,0<n<1B.m<0,0<n<1C.m>0,n>1D.m<0,n>1【解析】选C.由图象知函数为增函数,故n>1.又当x=1时,f(x)=m>0,故m>0.5.已知函数f(x)=log2(2x-a),若f(2)=0,则a= .【解析】由题意,f(2)=0,即log2(4-a)=0,可得4-a=1,则a=3.答案:36.已知f(x)=|log3x|.(1)画出这个函数的图象;(2)当0<a<2时,f(a)>f(2),利用函数图象求出a的取值范围.【解析】(1)如图.(2)令f(a)=f(2),即|log3a|=|log32|,解得a=或a=2.从图象可知,当0<a<时,满足f(a)>f(2),所以a的取值范围是.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)【解析】选D.f(x)=①当x≤1时,21-x≤2⇒≤1,所以2x≥1,所以x≥0,又x≤1,所以0≤x≤1;②当x>1时,1-log2x≤2,所以log2x≥-1恒成立,所以x>1.综上所述x≥0.2.函数f(x)=的图象与函数g(x)=log2x的图象的交点个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.在同一个坐标系中画出f(x)和g(x)的图象,如图,由图象可知f(x)与g(x)的交点个数为3.3.已知f(x)=|log2x|,若>a>b>1,则( )A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(c)>f(b)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(a)>f(c)【解析】选C.先作出函数y=log2x的图象,再将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方,这样,我们便得到了y=|log2x|的图象,如图.由图可知,f(x)=|log2x|在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,于是f>f(a)>f(b),又f=|log2|=|-log2c|=|log2c|=f(c).所以f(c)>f(a)>f(b).【补偿训练】设a,b,c均为正数,且2a=a,=b,=log2c,则 ( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】选A.由函数y=2x,y=,y=log2x,y=x的图象可得出a<b<c.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知log2=log2,则x的值可以为( )A.2B.3C.-2D.-3【解析】选AB.由已知等式,得5x-2=x2+4,解得x1=2,x2=3.经验证均符合题意.三、填空题(每小题5分,共10分)5.设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则f= ,当x<0时,f(x)= .【解析】因为f(x)是奇函数,所以f=-f=-log2=;设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x).因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以当x<0时,f(x)=-log2(-x).答案:-log2(-x)6.函数f(x)=log2x在区间[a,2a](a>0)上的最大值与最小值之差为. 【解析】因为f(x)=log2x在区间[a,2a]上单调递增,所以f(x)max-f(x)min=f(2a)-f(a)=log22a-log2a=1.答案:1四、解答题7.(10分)(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象如何变化得到的? (2)在给出的坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象;(3)设函数y=与函数y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,设M=x1x2-2(x1+x2)+4,请判断M的符号.【解析】(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象向右平移1个单位得到的.(2)在坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象,如图所示.(3)设函数y=与函数y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,所以M=x1x2-2(x1+x2)+4=(x1-2)(x2-2)<0.5、对数函数y=log a x的图象和性质基础练习1.若a=log67,b=log76,c=loπ,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a【解析】选C.log 67>log66=1,0=log71<log76<log77=1,loπ<lo1=0,所以c<b<a.2.已知x=ln π,y=log5,z=,则( )A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x【解析】选D.因为ln π>ln e=1,log5<log51=0,0<<1,所以y<z<x.3.若函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为( )A. B. C.2 D.4【解析】选B.当a>1时,a+log a2+1=a,log a2=-1,a=(舍去).当0<a<1时,1+a+log a2=a,所以log a2=-1,a=.4.(2020·北京高考)函数f(x)=+ln x的定义域是.【解析】由得x>0.答案:(0,+∞)5.已知函数f(x)=lg(2+x2),则满足不等式f(2x-1)<f(3)的x的取值范围为.【解析】因为函数f(x)=lg(2+x2),且满足不等式f(2x-1)<f(3),所以(2x-1)2<9,即-3<2x-1<3,解得-1<x<2.答案:(-1,2)6.已知函数f(x)=log a(x+2)+log a(3-x),其中0<a<1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值.【解析】(1)要使函数有意义,则解得-2<x<3.所以函数的定义域为(-2,3).(2)函数f(x)=log a[(x+2)(3-x)]=log a(-x2+x+6)=log a,因为-2<x<3,所以0<-+≤,因为0<a<1,所以log a≥log a,即f(x)min=log a,由log a=-4,得a-4=,所以a=.提升练习一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的图象为( )【解析】选D.由f(x)是R上的奇函数,即函数图象关于原点对称,排除A,B.又x>0时,f(x)=ln(x+1),所以D项正确.2.(2020·天津高考)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b【解题指南】利用指数函数与对数函数的性质,即可得出a,b,c的大小关系. 【解析】选D.因为a=30.7>1,b==30.8>30.7=a,c=log0.70.8<log0.70.7=1,所以c<1<a<b.3.已知函数f(x)=2lo x的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是( )A. B.[-1,1]C. D.∪【解析】选A.因为已知函数的值域为[-1,1],所以-≤lo x≤,化简解得≤x≤,故函数f(x)的定义域为.4.函数y=f(x)=lg是( )A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【解题指南】利用函数奇偶性的定义,结合对数的运算判断.【解析】选B.已知函数的定义域是R,因为f=lg=lg=-lg=-f.所以函数f(x)是奇函数.【误区警示】本题容易出现未能变形得出f与f的关系,从而错选D.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知A={x|2≤x≤π},定义在A上的函数y=log a x(a>0,且a≠1)的最大值比最小值大1,则底数a的值为( )A. B. C.π-2 D.2-π【解析】选AB.当0<a<1时,函数f(x)在[2,π]上单调递减,故log a2-log aπ=1,故a=;当a>1时,函数f(x)在[2,π]上单调递增,故log aπ-log a2=1,故a=.6.若实数a,b满足log a2<log b2,则下列关系中成立的是( )A.0<b<a<1B.0<a<1<bC.a>b>1D.0<b<1<a【解析】选ABC.根据题意,实数a,b满足log a2<log b2,对于A,若a,b均大于0小于1,依题意,必有0<b<a<1,故A有可能成立;对于B,若log b2>0>log a2,则有0<a<1<b,故B有可能成立;对于C,若a,b均大于1,由log a2<log b2,知必有a>b>1,故C有可能成立;对于D,当0<b<1<a时,log a2>0,log b2<0,log a2<log b2不能成立.【光速解题】选ABC.可以分别取符合答案条件的a,b,验证log a2<log b2是否成立.三、填空题(每小题5分,共10分)7.函数y=log a(2x-3)+4(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,则点A的坐标为,若点A在幂函数f(x)的图象上,则f(3)= .【解析】因为log a1=0,所以当2x-3=1,即x=2时,y=4,所以点A的坐标是(2,4).设幂函数f(x)=x α,因为幂函数f(x)=xα的图象过点A(2,4),所以4=2α,解得α=2,所以幂函数为f(x)=x2,则f(3)=9.答案:(2,4) 98.已知函数f(x)=log a(x+2)+3的图象恒过定点(m,n),且函数g(x)=mx2-2bx+n在[1,+∞)上单调递减,则实数b的取值范围是.【解析】因为函数f(x)的图象恒过定点(m,n),令x+2=1,求得x=-1,f(-1)=3,可得它的图象恒过定点(-1,3),所以m=-1,n=3.因为函数g(x)=mx2-2bx+n=-x2-2bx+3 在[1,+∞)上单调递减,所以-b≤1,所以b≥-1.答案:[-1,+∞)四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=log a(1-ax)(a>0且a≠1),(1)若a>1,解不等式f(x)<0;(2)若函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为a>1,log a(1-ax)<0,所以log a(1-ax)<0=log a1,所以0<1-ax<1,所以-1<-ax<0,解得0<x<.所以a>1时,不等式的解集为.(2)因为关于x的函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,而t=1-ax在区间(0,2]上单调递减, 所以0<a<1,且t>0.再由解得0<a≤,则实数a的取值范围为.【补偿训练】设f(x)=log a(3+x)+log a(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域;(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最小值.【解析】(1)f(0)=log a3+log a3=2log a3=2,所以a=3.所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),所以解得-3<x<3.所以f(x)的定义域是(-3,3).(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)=log3[(3+x)(3-x)]=log3(9-x2),且x∈(-3,3);所以当x=时,f(x)在区间[0,]上取得最小值,最小值为log33=1.10.已知函数f(x)=3+log2x,x∈[1,16],若函数g(x)=[f(x)]2+2f(x2).(1)求函数g(x)的定义域;(2)求函数g(x)的最值.【解析】(1)要使函数g(x)的解析式有意义,则解得x∈[1,4],故函数g(x)的定义域为[1,4].(2)令t=log2x,x∈[1,4],则t∈[0,2],y=g(x)=[f(x)]2+2f(x2)=(3+log2x)2+2(3+log2x2)=(log2x+5)2-10=(t+5)2-10,由函数y=(t+5)2-10的图象是开口朝上且以直线t=-5为对称轴的抛物线,故函数y=(t+5)2-10在[0,2]上单调递增,故当t=0时,y=g(x)取最小值15,当t=2时,y=g(x)取最大值39.创新练习1.已知函数f(x)=|ln x|满足f(a)>f(2-a),则实数a的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(1,3)【解析】选A.根据题意可得f(x)=所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;根据题意可知,⇒0<a<2;①当0<a<1,2-a>1时,因为f(a)>f(2-a),所以-ln a>ln(2-a)⇒a(2-a)<1,解得a≠1;⇒0<a<1;②当a=1时,f(a)=f(2-a)不符合题意(舍);③当1<a<2,0<2-a<1时,因为f(a)>f(2-a),所以ln a>-ln(2-a)⇒a(2-a)>1,解得a∈∅;综上,a的取值范围为(0,1).2.若定义运算f(a⊗b)=则函数y=f(log2(1+x)⊗log2(1-x))的值域是( )A.(-1,1)B.[0,1)C.[0,+∞)D.[0,1]【解析】选B.由题意得f(a b)=所以y=f(log2(1+x)log2(1-x))=当0≤x<1时,函数为y=log2(1+x),因为y=log2(1+x)在[0,1)上单调递增,所以y∈[0,1),当-1<x<0时,函数为y=log2(1-x),因为y=log2(1-x)在(-1,0)上单调递减, 所以y∈(0,1),由以上可得y∈[0,1),所以函数f(log2(1+x)log2(1-x))的值域为[0,1).6、指数函数、幂函数、对数函数增长的比较基础练习1.以下四种说法中,正确的是( )A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对任意的x>0,x n>log a xC.对任意的x>0,a x>log a xD.不一定存在x0,当x>x0时,总有a x>x n>log a x【解析】选D.对于A,幂函数的增长速度受幂指数的影响,幂指数不确定,而一次函数的增长速度受一次项系数的影响,增长速度不能比较;对于B、C,当0<a<1时,显然不成立;对于D,当a>1,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有a x>x n>log a x,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立.2.向杯中匀速注水时,如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示,则杯子的形状为( )【解析】选B.因为杯中水面的高度先经过两次直线增长,后不变,符合B中容器的形状.【补偿训练】某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是图中的( )【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+8.6%;经过2年森林的蓄积量为(1+8.6%)2;…;经过x年的森林蓄积量为(1+8.6%)x(x≥0),即y=(108.6%)x(x≥0).因为底数108.6%大于1,根据指数函数的图象,可知D选项正确.3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如表所示:x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10根据表中数据,下列函数中,适合作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( ) A.y=0.5(x+1) B.y=log3x+1.5C.y=2x-1D.y=2【解析】选B.将题干表格中的数值描到坐标系内(图略),观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数,代入数值验证,也较为符合.4.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到表中的实验数据:x 1.99 3 4 5.1 8y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00现有如下4个模拟函数:①y=0.58x-0.16; ②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8; ④y=log2x.请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选.【解析】画出散点图,由图分析增长速度的变化,可知符合对数函数模型,故选④.答案:④5.画出函数f(x)=与函数g(x)=x-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图.根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型【解析】选A.随着自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为线性函数即一次函数模型.2.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A.y=ax+bB.y=ax2+bx+cC.y=a·e x+bD.y=aln x+b【解析】选B.由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y=ax2+bx+c.3.下面对函数f(x)=lo x,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是( )A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度不变D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快【解析】选C.观察函数f(x)=lo x,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知:函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢;函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象递减速度不变.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃,令C(t)表示时间段[0,t]内的平均气温,不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有( )【解析】选BCD.由题图知,当t=6时,C(t)=0,故C不正确;当t=12时,C(t)=10,故D不正确;在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃,故B不正确.三、填空题(每小题5分,共10分)5.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系:y=a t(t≥0,a>0且a≠1)的图象.有以下说法:①第4个月时,残留量就会低于;②每月减少的有害物质质量都相等;③当残留量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中所有正确说法的序号是.【解析】由于函数的图象经过点,故函数的解析式为y=.当t=4时,y=<,故①正确;当t=1时,y=,减少,当t=2时,y=,减少,故每月减少有害物质质量不相等,故②不正确;分别令y=,,,解得t1=,t2=,t3=,t1+t2=t3,故③正确.答案:①③6.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=log a(t+1)来刻画h与t的关系,你认为符合的函数模型是,根据你选择的函数模型预测第8年的松树高度为米.t/年 1 2 3 4 5 6h/米0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7【解析】根据表中数据作出散点图如图:由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.将(2,1)代入到h=log a(t+1)中,得1=log a3,解得a=3,即h=log3(t+1).当t=8时,h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.答案:h=log a(t+1) 2四、解答题(每小题10分,共20分)7.函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三者的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间,可明显得出曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.由图象可得:当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).8.若不等式3x2<log a x在x∈内恒成立,求实数a的取值范围.【解题指南】原不等式等价于3x2<log a x,将不等式两边分别看成两个函数,作出它们的图象,研究a的取值范围.【解析】由题意,知3x2<log a x在x∈内恒成立,当x∈时,若a>1,则函数y=log a x的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以a>1不成立;当0<a<1时,y=log a x的图象必过点A或在这个点的上方,则log a≥, 所以a≥,所以≤a<1.综上,a的取值范围是.。

第四章对数运算与对数函数§3对数函数第1课时对数函数的概念、图象与性质课后篇巩固提升基础达标练1.y=2x与y=log2x的图象关于()A.x轴对称B.直线y=x对称C.原点对称D.y轴对称y=2x与y=log2x互为反函数,故函数图象关于直线y=x对称.2.(多选题)函数f(x)=log a(x+2)(0<a<1)的图象过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限0<a<1,所以函数y=log a x的图象单调递减,在y轴右侧,过定点(1,0).函数f(x)=log a(x+2)的图象是把y=log a x的图象向左平移2个单位,所以图象过第二、三、四象限.3.函数y=log a(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象过定点()A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)x+2=1,得x=-1,此时y=1.4.若函数f(x)=log2x的反函数为y=g(x),且g(a)=,则a=()A.2B.-2C.D.-,得g(x)=2x.∵g(a)=,∴2a=,∴a=-2.5.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1y=log a(x+c)的图象是由y=log a x的图象向左平移c个单位长度得到的,结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.6.已知a=,b=log2,c=lo,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=lo>lo=1,∴c>a>b.故选D.7.(多选题)已知a>0,且a≠1,函数y=log a x,y=a x,y=x+a在同一坐标系中的图象不可能是()A,由指数函数和对数函数知a>1,而由一次函数知a<1,不符合;对于B,∵函数y=a x与y=log a x的图象关于直线y=x对称,∴排除B;对于C,都符合;对于D,由指数函数和对数函数知0<a<1,而由一次函数知a>1,不符合.8.若对数函数f(x)的图象经过点P(8,3),则f=.f(x)=log a x(a>0,a≠1),则log a8=3,∴a3=8,∴a=2.∴f(x)=log2x,故f=log2=-1.19.作出函数y=|log2x|+2的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.y=log2x的图象,如图①.再将y=log2x在x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的图象不变),得函数y=|log2x|的图象,如图②;然后将y=|log2x|的图象向上平移2个单位长度,得函数y=|log2x|+2的图象,如图③.由图③得函数y=|log2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1),值域是[2,+∞).能力提升练1.(多选题)(2020山东滕州一中高一月考)已知函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)图象经过点(4,2),则下列命题正确的有()A.函数为增函数B.函数为偶函数C.若x>1,则f(x)>0D.若0<x1<x2,则<f2=log a4,a=2,故f(x)=log2x,函数为增函数,故A正确;f(x)=log2x不为偶函数,故B错误;当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立,故C正确;因为f(x)=log2x是上凸函数,故若0<x1<x2,则<f成立.2.函数y=ln(1-x)的图象大致为()(-∞,1),且函数在定义域上单调递减,故选C.3.已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则a,b,c的大小关系为.a==2log43.6=log43.62,又函数y=log4x在区间(0,+∞)上是增函数,3.62>3.6>3.2,∴log43.62>log43.6>log43.2,∴a>c>b.4.已知a>0,且a≠1,则函数y=a x与y=log a(-x)在同一直角坐标系中的图象可能是下图中的(填序号).方法一)首先,曲线y=a x位于x轴上方,y=log a(-x)位于y轴左侧,从而排除①③.其次,从单调性考虑,y=a x与y=log a(-x)的增减性正好相反,又可排除④.故只有②满足条件.(方法二)若0<a<1,则曲线y=a x下降且过点(0,1),而曲线y=log a(-x)上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.若a>1,则曲线y=a x上升且过点(0,1),而曲线y=log a(-x)下降且过点(-1,0),只有②满足条件.(方法三)如果注意到y=log a(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=log a x的图象,又y=log a x与y=a x 互为反函数(两者图象关于直线y=x对称),则可直接选②.5.已知函数y=f(lg(x+1))的定义域为(0,99],则函数y=f(log2(x+2))的定义域为.x∈(0,99],∴x+1∈(1,100],∴lg(x+1)∈(0,2].∴log2(x+2)∈(0,2],∴x+2∈(1,4],∴x∈(-1,2].-1,2]6.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).(1)求y=f(x)的解析式;(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围;(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.设f(x)=log a x(a>0,且a≠1).由题意,f(9)=log a9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,即f(x)的取值范围为(-∞,0).(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lo x.素养培优练设函数f(x)=ln(ax2+2x+a)的定义域为M.(1)若1∉M,2∈M,求实数a的取值范围;(2)若M=R,求实数a的取值范围.由题意M={x|ax2+2x+a>0}.由1∉M,2∈M可得化简得解得.所以a的取值范围为⌀.(2)由M=R可得ax2+2x+a>0恒成立.当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;当a≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,即化简得解得a>1.所以a的取值范围为(1,+∞).莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

第三章指数函数与对数函数单元同步测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知x，y为正实数，则()A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg yC．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y解析取特殊值即可．如取x＝10，y＝1,2lg x＋lg y＝2,2lg(xy)＝2,2lg x ＋2lg y＝3,2lg(x＋y)＝2lg11,2lg x·lg y＝1.答案 D2．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝()A.12x B．2x－2C．log12x D．log2x解析由题意知f(x)＝log a x，∵f(2)＝1，∴log a2＝1，∴a＝2，∴f(x)＝log2x.答案 D3．已知f(x)＝log3x，则函数y＝f(x＋1)在区间[2,8]上的最大值与最小值分别为()A．2与1 B．3与1C．9与3 D．8与3解析由f(x)＝log3x，知f(x＋1)＝log3(x＋1)，又2≤x ≤8，∴3≤x ＋1≤9. 故1≤log 3(x ＋1)≤2. 答案 A4．下列说法正确的是( ) A ．log 0.56>log 0.54B ．90.9>270.48C ．2.50<⎝ ⎛⎭⎪⎫122.5D．0.60.5>log 0.60.5解析 ∵90.9＝32.7,270.48＝31.44，又y ＝3x 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴32.7>31.44.答案 B5．设函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)．若f (x 1x 2…x 2014)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22014)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8解析 f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22014) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22014＝log a (x 1x 2…x 2014)2＝2log a (x 1x 2…x 2014)＝2×8＝16. 答案 C6．(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)等于( ) A.56 B.2512C.94D ．以上都不对解析 (log 43＋log 83)(log 32＋log 98) ＝⎝⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23⎝⎛⎭⎪⎫log 32＋32log 32＝2512. 答案 B7．若f (x )＝log 2x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B ．[1,2]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2 解析 由－1≤log 2x ≤1，得12≤x ≤2. 答案 C8．函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1解析 与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x的图像向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图像，即f (x )＝e －(x＋1)＝e －x －1.答案 D9．若f (x )＝2x ＋2－x lg a 是奇函数，则实数a ＝( ) A.13 B.14 C.12D.110解析 ∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，∴20＋20·lg a ＝0， ∴lg a ＝－1，∴a ＝110. 答案 D10．某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4 万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 公顷关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x ) C ．y ＝2x10 D ．y ＝0.2＋log 16x解析 逐个检验． 答案 C二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分．将答案填在题中横线上．)11．函数y ＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图像必经过点________． 答案 (2,2)12．函数y ＝lg (4－x )x －3的定义域是________．解析由⎩⎨⎧4－x >0，x －3≠0，得⎩⎨⎧x <4，x ≠3，∴定义域为{x |x <3或3<x <4}． 答案 {x |x <3或3<x <4}13．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋12 (x <0)，e x －1 (x ≥0)，若f (1)＋f (a )＝2，则a ＝________.答案 1或－2214．y ＝log 0.3(x 2－2x )的单调减区间为________． 解析 写单调区间注意函数的定义域． 答案 (2，＋∞)15．若函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ，(x >1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，(x ≤1)为R 上的增函数，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，得4≤a <8.答案 [4,8)三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16．(12分)计算下列各式 (1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027 13－2π0；(3)(lg5)2＋lg2lg5＋lg20－4(－4)2·6125＋2⎝⎛⎭⎪⎫1＋ 12log 25.解 (1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25 ＝(lg2)2＋lg2(lg2＋2lg5)＋2lg5 ＝2(lg2)2＋2lg2lg5＋2lg5 ＝2lg2(lg2＋lg5)＋2lg5＝2. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427 13 －2＝53＋43－2＝3－2＝1.(3)原式＝lg5(lg5＋lg2)＋lg20－25＋2 5 ＝lg5＋lg2＋1＝2.17．(12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中a >0，a ≠1，设h (x )＝f (x )－g (x )．(1)判断h (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若f (3)＝2，求使h (x )>0成立的x 的集合． 解(1)依题意，得⎩⎨⎧1＋x >0，1－x >0，解得－1<x <1.∴函数h (x )的定义域为(－1,1)． ∵对任意的x ∈(－1,1)，－x ∈(－1,1)，h (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝g (x )－f (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数．(2)由f (3)＝2，得a ＝2.此时h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， 由h (x )>0，即log 2(1＋x )－log 2(1－x )>0， 得log 2(1＋x )>log 2(1－x )． 则1＋x >1－x >0，解得0<x <1.故使h (x )>0成立的x 的集合是{x |0<x <1}．18．(12分)已知0<a <1，函数f (x )＝log a (6ax 2－2x ＋3)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2上单调递增，求a 的取值范围．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16a ≥2，6a ×22－2×2＋3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤112，a >124，得124<a ≤112，故a 的取值范围是124<a ≤112.19．(12分)已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 14x x 2－log 14x ＋5，A ＝{x |2x 2－6x＋8≤1}，当x ∈A 时，求f (x )的最值．解 由2x 2－6x ＋8≤1由二次函数y ＝x 2－6x ＋8的图像可知2≤x ≤4. 设log 14x ＝t ，∵2≤x ≤4，∴－1≤log 14 x ≤－12，即－1≤t ≤－12.∴f (x )＝t 2－t ＋5对称轴为t ＝12，∴f (x )＝t 2－t ＋5在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12单调递减， 故f (x )max ＝1＋1＋5＝7，f (x )min ＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋12＋5＝234.综上得f (x )的最小值为234，最大值为7.20．(13分)已知函数f (x )＝a x ＋k (a ＞0，且a ≠1)的图像过(－1,1)点，其反函数f －1(x )的图像过点(8,2)．(1)求a ，k 的值；(2)若将其反函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，就得到函数y ＝g (x )的图像，写出y ＝g (x )的解析式；(3)若g (x )≥3m －1在[2，＋∞)恒成立，求实数m 的取值范围． 解(1)由题意得⎩⎨⎧a －1＋k ＝1，a 2＋k＝8.解得⎩⎨⎧a ＝2，k ＝1.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋1，得f －1(x )＝log 2x －1，将f －1(x )的图像向左平移2个单位，得到y ＝log 2(x ＋2)－1，再向上平移到1个单位，得到y ＝g (x )＝log 2(x ＋2)．(3)由g (x )≥3m －1在[2，＋∞)恒成立， 只需g (x )min ≥3m －1即可．而g (x )min ＝log 2(2＋2)＝2， 即2≥3m －1，得m ≤1.21．(14分)有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15lnaa －x(x ≤6)，x －4.4x －4(x >6).)描述学习某科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N ＋)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(100,106]，(106,112]，(112,123]，当学习某学科知识4次时，掌握程度为70%，请确定相应的学科；(2)证明：当x ≥7时，掌握程度的增大量f (x ＋1)－f (x )总是下降．(参考数据e 0.04＝1.04)解 (1)由题意可知0.1＋15ln a a －4＝0.70，整理得a a －4＝e 0.04，得a ＝104∈(100,106]，由此可知，该学科是甲学科．(2)证明：当x ≥7时，f (x ＋1)－f (x )＝0.4(x －3)(x －4)，而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增； 且(x －3)(x －4)>0. 故f (x ＋1)－f (x )单调递减，∴当x≥7时，掌握程度的增大量f(x＋1)－f(x)总是下降．。