计算理论与算法总复习

高考算法知识点总结一、前言在当今信息化社会，算法是计算机科学和信息技术领域的一个重要研究内容，也是计算机专业学生必备的基础知识。

算法的设计和分析是计算机科学的核心内容，而对于高考学生来说，了解一些基本的算法概念和知识点也是非常重要的。

在高考的数学考试中，也会涉及到一些和算法相关的问题，因此对于高考生来说，了解一些基本的算法知识是有必要的。

本文将从基本的算法概念、算法设计与分析、常用的算法模型和算法实现等方面进行总结，希望对高考学生能有所帮助。

二、基本概念1. 算法的概念算法是解决问题的方法和步骤的描述。

在计算机科学中，算法通常用计算机程序的形式进行描述。

算法是计算机程序的基础，是程序的灵魂，因此对于计算机专业的学生来说，了解算法的概念和基本特性是非常重要的。

2. 算法的特性算法有一些基本的特性，包括有穷性、确定性、可行性和输入输出。

有穷性指算法必须在有限的步骤内结束；确定性指算法中每一步的行为必须是确定的；可行性指算法的每一步都要能够通过已知的基本操作来进行描述；输入输出指算法必须有输入和输出。

3. 算法的复杂度算法的复杂度是指算法在时间和空间方面所消耗的资源。

常用的时间复杂度表示方法有O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2)等。

通常情况下，算法的时间复杂度越低越好，因为时间复杂度越低，算法的执行效率就越高。

空间复杂度也是一个重要的考量因素，通常来说，空间复杂度越低越好。

三、算法设计与分析1. 穷举法穷举法是一种比较容易理解和实现的算法，但是效率较低。

穷举法的基本思想是对所有可能的解进行遍历，然后找出符合条件的解。

穷举法的时间复杂度通常比较高，因此在实际应用中很少使用。

2. 递推法递推法是一种常用的算法设计方法，递推法的基本思想是将较大规模的问题转化为较小规模的问题，然后利用递归的方式求解。

递推法通常用于解决具有递归结构的问题，比如斐波那契数列等。

3. 分治法分治法是一种比较高效的算法设计方法，分治法的基本思想是将一个规模较大的问题分解为若干规模较小的子问题，然后分别求解子问题，最后将子问题的解合并得到原问题的解。

1、一个算法的优劣可以用（时间复杂度）与（空间复杂度）与来衡量。

2、回溯法在问题的解空间中，按（深度优先方式）从根结点出发搜索解空间树。

3、直接或间接地调用自身的算法称为（递归算法）。

4、 记号在算法复杂性的表示法中表示（渐进确界或紧致界）。

5、在分治法中，使子问题规模大致相等的做法是出自一种（平衡(banlancing)子问题）的思想。

6、动态规划算法适用于解（具有某种最优性质）问题。

7、贪心算法做出的选择只是（在某种意义上的局部）最优选择。

8、最优子结构性质的含义是（问题的最优解包含其子问题的最优解）。

9、回溯法按（深度优先）策略从根结点出发搜索解空间树。

10、拉斯维加斯算法找到的解一定是（正确解）。

11、按照符号O的定义O(f)+O(g)等于O(max{f(n),g(n)})。

12、二分搜索技术是运用（分治）策略的典型例子。

13、动态规划算法中，通常不同子问题的个数随问题规模呈（多项式）级增长。

14、（最优子结构性质）和（子问题重叠性质）是采用动态规划算法的两个基本要素。

15、（最优子结构性质）和（贪心选择性质）是贪心算法的基本要素。

16、（选择能产生最优解的贪心准则）是设计贪心算法的核心问题。

17、分支限界法常以（广度优先）或（以最小耗费(最大效益)优先）的方式搜索问题的解空间树。

18、贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列（局部最优）的选择，即贪心选择达到。

19、按照活结点表的组织方式的不同，分支限界法包括（队列式(FIFO)分支限界法）和（优先队列式分支限界法）两种形式。

20、如果对于同一实例，蒙特卡洛算法不会给出两个不同的正确解答，则称该蒙特卡洛算法是（一致的）。

21、哈夫曼编码可利用（贪心法）算法实现。

22概率算法有数值概率算法，蒙特卡罗（Monte Carlo）算法，拉斯维加斯（Las Vegas）算法和舍伍德（Sherwood）算法23以自顶向下的方式求解最优解的有（贪心算法）24、下列算法中通常以自顶向下的方式求解最优解的是（C）。

算法基础知识-期末考试复习算法定义*算法是解决某一特定问题的一组有穷指令的序列。

*算法是完成一个任务所需要的具体步骤和方法。

也就是说给定初始状态或输入数据，经过有限次运算，能够得出所要求或期望的终止状态或输出数据。

算法的五个重要特性确定性、可行性、输入、输出、有限性*确定性：算法的每种运算必须要有确切的定义，不能有二义性。

例：不符合确定性的运算5/0将6或7与x相加未赋值变量参与运算*可行性：算法中有待实现的运算都是基本的运算，原理上每种运算都能由人用纸和笔在有限的时间内完成。

例：整数的算术运算是“能行”的实数的算术运算是“不能行”的*输入：每个算法有0个或多个输入。

这些输入是在算法开始之前给出的量，取自于特定的对象集合。

*输出：一个算法产生一个或多个输出，这些输出是同输入有某种特定关系的量。

*有限性：一个算法总是在执行了有穷步的运算之后终止。

计算过程：只满足确定性、能行性、输入、输出四个特性但不一定能终止的一组规则。

算法设计的例子—穷举法穷举法：是从有限集合中，逐一列举集合的所有元素，对每一个元素逐一判断和处理，找出问题的解。

算法复杂性分析算法复杂性：算法运行所需要的计算机资源的量时间复杂性：需要时间资源的量空间复杂性：需要空间资源的量运行时间T(n)的估算void childen_question(int n,int &k,int g[],int m[],int s[]){int a,b,c;k=0; //1for(a=0; a<=n; a++) //1+2(n+1)for(b=0; b<=n; b++) // n+1+2 (n+1)2for(c=0; c<=n; c++) // (n+1)2 +2(n+1)3if(!(c%3)&&a+b+c==n &&//14(n+1)3 5*a+3*b+c/3==n){g[k]=a; m[k]=b; s[k]=c;k++; //4(n+1)3 }}T1(n) ≤1+ 1+2(n+1) + n+1+2 (n+1)2+(n+1)2 +2(n+1)3+14(n+1)3+4(n+1)3= 20n3 +64n2 +72n +31时间复杂性的表示方法常见的时间复杂度O(1) ：几乎不存在O(logn)：不能考虑全部输入O(n)：遍历、扫描全部输入O(nlogn)：许多分治算法O(n2 )：两层循环O(n3) ：三层循环O(2n ) ：一个集合的所有子集O(n!) ：一个集合中的元素的所有组合多项式时间算法可用多项式来对运行时间限界的算法O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)指数时间算法运行时间用指数函数限界的算法O(2n)<O(n!)<O(nn)时间复杂度分析的步骤1）确定用来表示问题规模的变量；2）确定算法的基本操作；3）写出基本操作执行次数的函数（运行时间函数）；4）如果函数依赖输入实例，则分情况考虑：最坏情况、最好情况、平均情况；5）只考虑问题的规模充分大时函数的增长率，用渐近符号O 、Θ、Ω、o来表示。

!算法设计与分析总复习算法设计与分析是计算机科学中非常重要的一个领域，它涉及到了算法的设计、性能分析和优化等方面。

在准备考试之前，我们需要对算法设计与分析的基本概念和常用算法进行全面复习。

一、算法设计与分析基本概念1.算法的定义：算法是一系列解决特定问题的有限步骤。

2.算法的特性：算法具有明确性、有限性、确定性和输入/输出。

3.算法的正确性：算法必须能够解决问题，并得到正确的答案。

4.算法的效率：算法的时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的重要指标。

二、常用算法1.排序算法：常见的排序算法包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序、归并排序等。

需要了解每种排序算法的思想、时间复杂度和空间复杂度，并能够对其进行实现和优化。

2.查找算法：常用的查找算法包括顺序查找、二分查找、哈希查找等。

需要了解每种查找算法的思想和时间复杂度，并能够对其进行实现和应用。

3. 图算法：图算法包括深度优先（DFS）、广度优先（BFS）、最短路径算法（Dijkstra算法、Floyd算法）等。

需要了解这些算法的思想、时间复杂度和应用场景，并能够对其进行实现和应用。

4.动态规划算法：动态规划算法适用于具有重叠子问题和具有最优子结构性质的问题。

需要了解动态规划算法的基本思想、时间复杂度和应用场景，并能够对具体问题进行动态规划的设计和实现。

5.贪心算法：贪心算法常用于解决最优化问题，每一步都选择当前最优解，以期最终达到全局最优解。

需要了解贪心算法的基本思想、时间复杂度和应用场景，并能够对具体问题进行贪心算法的设计和实现。

三、算法的时间复杂度和空间复杂度1. 时间复杂度：算法的时间复杂度表示算法的执行时间和输入数据规模之间的关系。

常见的时间复杂度有O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2)等。

需要掌握各种时间复杂度的计算方法和复杂度的比较。

2.空间复杂度：算法的空间复杂度表示算法的内存消耗和输入数据规模之间的关系。

算法期末知识点总结算法是计算机科学的核心，它是解决问题的一种方法，其目的是找到一种有效的方式来解决特定的计算问题。

为了更好地理解算法，我们需要熟悉一些基本的概念和知识点。

在这篇文章中，我将总结一些算法的期末考试知识点，并对这些知识点进行详细的解释和举例。

数据结构数据结构是算法的基础，它是一种将数据组织和存储在计算机内存中的方式。

常见的数据结构有数组、链表、堆栈、队列、树、图等。

数据结构有着不同的特点和适用场景，我们需要根据具体的问题选择合适的数据结构。

举例：数组是一种连续存储数据的数据结构，可以通过索引快速访问元素，但插入和删除操作效率较低。

链表是一种非连续存储数据的数据结构，插入和删除操作效率较高，但访问元素的效率较低。

算法分析算法分析是评估算法效率的过程，它包括时间复杂度和空间复杂度的分析。

时间复杂度是一种衡量算法执行时间的方式，通常用大O符号表示。

空间复杂度是一种衡量算法所需存储空间的方式。

举例：假设有一个数组a，长度为n。

如果我们遍历数组a，求和并打印，那么该算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。

排序算法排序算法是一种将数据按照特定顺序排列的算法，常见的排序算法有冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序、归并排序等。

举例：快速排序是一种高效的排序算法，其原理是选择一个基准元素，将小于基准的元素放到基准的左边，大于基准的元素放到基准的右边，然后递归地对左右子数组进行排序。

搜索算法搜索算法是一种找到特定数据的算法，常见的搜索算法有线性搜索、二分搜索、哈希表等。

举例：二分搜索是一种高效的搜索算法，其原理是选择数组中间的元素与目标值进行比较，如果相等则返回元素的索引，如果小于目标值则在右半部分继续搜索，如果大于目标值则在左半部分继续搜索。

图算法图是一种由顶点和边组成的数据结构，图算法是一种解决图问题的算法，常见的图算法有深度优先搜索、广度优先搜索、最短路径算法、最小生成树算法等。

举例：广度优先搜索是一种搜索算法，其原理是从图的某个顶点开始，依次访问其相邻的顶点，直到访问到所需的顶点为止。

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考试题型一,问答题(16%)二,算法填空题(24%)三,运算题(20%)四,证明题(10%)五,算法设计题(30%)考试样题一,问答题(每小题8 分,共16 分)1. 什么是算法算法有哪几个特性2. 动态规划算法的基本思想是什么它和分治法有什么区别和联系3. 用动态规划算法求解问题的基本步骤有那些考试样题二,算法填空题(每小题12 分,共24 分)1.阅读下面的算法,在答题处填充所缺的语句:Void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[]){Sort(n,v,w);int i;for(i=1;i<=n;i++) x[i]=0;float c=M;for(i=1;i<=n;i++){if( (1)) break;x[i]=1;(2) ;}if(ic(2) c-=w[i](3) x[i]=c/w[i]考试样题三,运算题(每小题10 分,共20 分)在矩阵连乘问题中,采用课本标准的动态规划算法,已知s[i,j]的值如下图所示,写出调用Traceback(1,6,s)后输出的最优次序.答案:最优计算次序为: ((A1(A2A3 ))((A4 A5)A6 ))考试样题四,证明题(每小题10 分,共10 分)证明装载问题具有贪心选择性质.参考答案:证明:设集装箱已依其重量从小到大排序, (x1,x2, …,xn)是最优装载问题的一个最优解.又设1.当k=1时, (x1,x2, …,xn)是一个满足贪心选择性质的最优解.2.当k>1时,取y1=1;yk=0;yi=xi,1<I≤N,I≠K因此,(y1,y2, …,yn)是所给最优装载问题的一个可行解另一方面,由(y1,y2, …,yn)是一个满足贪心选择性质的最优解所以,最优装载问题具有贪心选择性质考试样题五,算法设计题(每小题15 分,共30 分)1. 给定已排好序的n个元素a[0:n-1],现要在这n个元素中找出一特定的元素x,要求时间复杂度为O(logn).int BinarySearch(Type a[],const Type & x,int n)int BinarySearch(Type a[],const Type & x,int n){int left=0; int right=n-1;while(lefta[middle]) left=middle+1;else right=middle-1;}return -1;}第一章算法一.算法的概念与性质1）算法的特性和基本概念算法是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。

算法复习提纲题型及分数分布：1．填空题15分2．简答题、证明题25分左右3．计算题2-3题30分左右4．算法设计题2-3题30分左右复习提纲一、算法基础1. 什么是算法？2. 算法的五个重要特性3. 运算的分类：时间囿界于常数的运算、时间非囿界于常数的运算，为什么要定义时间囿界于常数的运算？怎么分析时间非囿界于常数的运算？4．什么是事前分析和事后测试？各阶段的目标和特点是什么？5．什么是函数表达式的数量级？数量级的大小怎么反应了算法复杂度的高低？6．什么是限界函数？怎么得来的？7．限界函数：上界函数、下界函数、“均值”函数的定义和性质8．理解定理1.2，P76定理9．掌握数学归纳法、反证法、反例法等证明方法二、递归与递归式1．什么是递归和递归程序设计？2．递归的结构是什么？3．什么是直接递归和间接递归？4．递归程序有哪些效率问题？各自的原因是什么？5．怎么消去递归（不要求）6．什么是代换法、递归树法、主方法？（例题、习题）三、分治法1．简述分治法的基本思想？分治法分解问题的基本要求是什么？为什么说分治与递归像一对孪生兄弟？2．可用分治法求解的问题应具有的特征？（了解）3．分治法求解的三个步骤。

4．二分检索（3.2节）1）了解算法2）重点掌握算法复杂度的分析技术（1）对成功和不成功检索情况的讨论（2）什么是二元比较树？内结点、外结点分别代表了什么？比较次数和结点在树中的级数（或根到结点的路径长度）之间的关系。

3）定理3.1及其证明过程和结论4）什么叫做以比较为基础的检索？其下界是什么？（了解）5）为什么说二分检索是解决检索问题的最优的最坏情况算法？5．找最大和最小元素（3.3节）：一般了解，理解递归程序的效率问题6．基于分治的分类算法（3.4节）：回顾数据结构相关知识，知道每种分类算法的基本思想、算法复杂度、适用性等方面的性质（不考算法，考应用）1）P46：以关键字比较为基础的分类算法的时间下界是什么？怎么证明的？（了解）2）P60：一个改进了的快速分类迭代算法模型，其空间复杂度为O(logn)是怎么得来的？7．选择问题（3.5节）1）了解基于partition 的选择算法设计思想、最坏、平均时间复杂度的结论和证明。

《计算理论》复习题总结《计算理论》复习题总结1、⾃动机、可计算性、复杂性内涵及关系；计算理论的三个传统的核⼼领域：⾃动机、可计算性和复杂性。

通过“计算机的基本能⼒和局限性是什么？“这⼀问题将这三个领域联系在⼀起。

可计算理论与复杂性理论是密切相关的，在复杂性理论中，⽬标是把问题分成容易计算的和难计算的；⽽在可计算理论中，是把问题分成可解的和不可解。

⾃动机阐述了计算的数学模型的定义和性质，主要包含两种模型：有穷⾃动机模型；上下⽂⽆关⽂法模型。

可计算性理论和复杂性理论需要对计算机给了⼀个准确的定义。

⾃动机理论允许在介绍与计算机科学的其他⾮理论领域有关的概念时使⽤计算的形式化定义。

2、有穷⾃动机、正则语⾔、正则表达式、⾮确定有穷⾃动机、⾮正则语⾔；有穷⾃动机：描述能⼒和资源极其有限的计算机模型。

是⼀个5元组（Q，∑，δ，q0,F），其中1）Q是⼀个有穷集合，称为状态集。

2）∑是⼀个有穷集合，称为字母表。

3）δ：Q×∑→Q是转移函数。

4）q0∈Q是起始状态。

5）F?Q是接受状态集。

正则语⾔：如果⼀个语⾔能被有穷⾃动机识别。

正则表达式：⽤正则运算符构造描述语⾔的表达式。

称R是正则表达式，如果R是：1）a，a是字母表中的⼀个元素；2）ε；3）?;4）（R1?R2）；5）(R1 R2)；6）(R1*)⾮确定有穷⾃动机：是⼀个5元组（Q，∑，δ，q0,F），其中1）Q是有穷状态集。

2）∑是有穷字母表。

3）δ：Q×∑ε→P（Q）是转移函数。

4）q0∈Q是起始状态。

5）F?Q是接受状态集。

3、上下⽂⽆关语⾔及上下⽂⽆关⽂法、歧义性、乔姆斯基范式、下推⾃动机、等价性、⾮上下⽂⽆关语⾔；上下⽂⽆关语⾔：⽤上下⽂⽆关⽂法⽣成的语⾔。

上下⽂⽆关⽂法：是⼀个4元组（V，∑，R，S）且1）V是⼀个有穷集合，称为变元集2）∑是⼀个与V不相交的有穷集合，称为终结符集3）R是⼀个有穷规则集，每条规则由⼀个变元和⼀个由变元及终结符组成的字符串构成，4）S∈V是起始变元歧义性：如果字符串W在上下⽂⽆关⽂法G中有两个或者两上以上不同的最左派⽣，则称G歧义地产⽣的字符串W。

浙江大学2012-2013冬学期计算理论重点复习一个学期的计算理论课程已经结束，给我的感觉吧，计算理论是一门计算机不得不学，学了短期又没用，但是可以培养一些逻辑思维的课程。

其最关注的问题是什么是可计算性，什么问题可计算，问题之间的映射/归约，计算代价及难易。

在分析问题和检验模型计算能力之前需要掌握的工具是形式语言、图灵机等。

本文主要对计算理论中的重点进行了总结，总结了一些定理和理解上容易有障碍的知识点，但是里面还有一些点没有提到，比如NFA、DFA 的相互转化，CFL和PDA的相互转化，需要书中的题目和证明辅助。

Textbook Summary1.与自然数集合N等势的集合是可数无穷的，称有穷的or可数无穷的集合是可数的。

非可数的集合称作不可数的。

2.DFA ( K, Σ, s, F, δ) ；NFA（K, Σ，s，F，Δ）3.每台NFA都有一台等价的DFA（method: find closure）4.有穷自动机接受的语言类= 正则语言类（正则表达式描述的语言类）5.正则语言在各种运算下封闭6.语言是正则的，iff 其等价语言中有有穷个等价类。

7.DFA状态最小化->寻找等价类（初始等价类F & K-F）8.CFL（V，Σ，R，S）9.存在非正则的CFL10.能够生成>=两棵语法分析树的字符串的文法叫做歧义的。

11.PDA M=（K，Σ，Γ，Δ，s，F），Γ为栈符号12.PDA接受的语言正好是CFL13.正则语言（xy n z）和CFL（uv n xy n z）的泵定理14.L={a n b n}∈CFL，L={a n b n c n}∉CFL但是是递归的，L={a n,n为素数}不是CFL15.Chomsky范式（CNF）：若R⊆(V-Σ)×V2，则称G=（V，Σ，R，S）为Chomsky范式16.有穷自动机总是停机。

17.CFG到CNF的转化：1)消除长rules2)消除空rules（A->e）3)消除短rules（A->a or A->B）18.对任意CFL G，都可以在多项式时间构造Chomsky范式G’,使得L(G’)=L(G)-(Σ∪{e})19.没有chomsky范式能够表示length<2的字符串，所以包含<2的字符串的语言不能转化到chomsky范式。