第一章 章末复习课

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11π π 交点．∴ ω＋ ＝2π. 12 6
π ∴ω＝2，因此所求函数的解析式为 f(x)＝2sin(2x＋6)． π 以下，在同一坐标系中作函数 y＝2sin2x＋6和函数 y＝lg x 的
示意图如图所示：
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11 因为 f(x)的最大值为 2，令 lg x＝2，得 x＝100，令 π＋ 12 11 kπ<100(k∈Z)，得 k≤30(k∈Z)，而 π＋31π>100，所以在区 12 11 17 间(0,100]内有 31 个形如12π＋kπ，12π＋kπ(k∈Z,0≤k≤30)
解 显然 A＝2. 1 由图象过(0,1)点，则 f(0)＝1，即 sin φ＝2， π π 又|φ|<2，则 φ＝6.
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11π 11π 11π π 又 12 ，0是图象上的点，则 f 12 ＝0，即 sin 12 ω＋6＝0， 11π 由图象可知， 12 ，0是图象在 y 轴右侧部分与 x 轴的第二个
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题型一 例1
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数形结合思想在三角函数中的应用
π 已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)， x∈R(其中 A>0， ω>0， |φ|< ) 2
在一个周期内的简图如图所示， 求函数 g(x)＝f(x)－lg x 零点 的个数．
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题型二 例2 分类讨论思想在三角求值中的应用
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π 当 θ＝2kπ－ 时，sin θ＝－1，tan θ 不存在． 2 (2)当 m＝1 时，θ＝2kπ，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.
(3)当 θ 在第一、二象限时， 1－m2 sin θ＝ 1－m2，tan θ＝ m . (4)当 θ 在第三、四象限时， 1－m2 sin θ＝－ 1－m2，tan θ＝－ m .
小结 运用数形结合的思想化抽象为直观，使问题简单明了，数 形结合在三角函数中有着广泛的应用．
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π 跟踪训练 1 若 0<x< ，则 2x 与 πsin x 的大小关系是 ( B ) 2 A．2x>πsin x C．2x＝πsin x
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B．2x<πsin x D．与 x 的取值有关
解析 在同一坐标平面内作出函数 y＝2x 与 函数 y＝πsin x 的图象，如图所示． 观察图象易知： 当 x＝0 时，2x＝πsin x＝0； π 当 x＝2时，2x＝πsin x＝π； π 当 x∈0，2时，函数 y＝2x 是直线段，而曲线 y＝πsin x 是上
凸的．所以 2x<πsin x．故选 B.
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a＝2， 解得 b＝－2 a＝－6， 或 b＝－10.
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(舍) (舍)
都不满足 a 的范围，舍去． 综上所述，a＝2，b＝－2. 小结 转化与化归的思想方法是数学中最基本的数学思想方
法．数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．上述解答将 三角函数问题转化为熟悉的二次函数在闭区间上的最值问题．
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的区间， 在每个区间上 y＝f(x)与 y＝lg x 的图象都有 2 个交点， 11π 故这两个函数图象在 12 ，100上有 2×31＝62 个交点，另外 11 在0，12π上还有 1 个交点，所以方程 f(x)－lg x＝0 共有实根 63 个． ∴函数 g(x)＝f(x)－lg x 共有 63 个零点．
a 且 t∈[－1,1]． 下面根据对称轴 t0＝－2与区间[－1,1]的位置关系 进行分类讨论． a ①当－2≤－1，即 a≥2 时， y ＝g－1＝a＋b＝0， max ymin＝g1＝－a＋b＝－4.
a＝2， 解之得 b＝－2.
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研一研·题型解法、解题更高效 a ②当－1<－ <0，即 0<a<2 时， 2 a a2 ymax＝g－ ＝ ＋b＋1＝0， 4 2 ymin＝g1＝－a＋b＝－4.
已知 cos θ＝m，|m|≤1，求 sin θ、tan θ 的值． π 解 (1)当 m＝0 时，θ＝2kπ± ，k∈Z； 2 π 当 θ＝2kπ＋ 时，sin θ＝1，tan θ 不存在； 2
当 m＝－1 时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.
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数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性 得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数 值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数 的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运 用数形结合的思想方法．
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a≤2cos x＋3 min ⇔ a≤1＋sin2x＋2cos a≤1 ⇔ a≤[－cos a≤1 ⇔ a≤－1
x－12＋3]min
，∴a≤－1.
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三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用
小结 已知角的某一个三角函数值为字母时，注意对字母是否 为 0、 1 及分象限作讨论， ± 讨论标准要统一． 在三角函数部分，
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有不少题目都涉及到分类讨论的思想．
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跟踪训练 2 则 a 的值为 A．1
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sinπx2，－1<x<0， 函数 f(x)＝ x－1 e ，x≥0.
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跟踪训练 3 已知定义在(－∞，3]上单调减函数 f(x)使得 f(1＋ sin2x)≤f(a－2cos x)对一切实数 x 都成立，求 a 的取值范围．
解 根据题意，对一切 x∈R 都成立，有： sin2x≤2 ⇔a≤2cos x＋3 a≤1＋sin2x＋2cos x xmin 1＋sin2x≤3 本 a－2cos x≤3 课 时 a－2cos x≤1＋sin2x
故选 B.
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题型三 转化与化归思想在三角函数中的应用
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例 3 已知函数 f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1 的最大值为 0， 最小 值为－4，若实数 a>0，求 a、b 的值．
解 令 t＝sin x，则
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a2 a2 g(t)＝－t2－at＋b＋1＝－t＋2 ＋ 4 ＋b＋1，
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若 f(1)＋f(a)＝2， ( B ) B．1，－ 2 D．1， 2 2 2
2 C．－ 2 解析 ∵f(1)＝e1－1＝1，∴f(a)＝1.
当 a≥0 时，f(a)＝ea 1＝1，
－
∴a－1＝0，∴a＝1； 当－1<a<0 时，f(a)＝sin(πa2)＝1， π 1 2 2 ∴πa ＝2kπ＋ ，k∈Z，∴a ＝2k＋ ，k∈Z， 2 2 1 2 k 只能取 0，此时 a2＝2，∴a＝－ 2 .