必修四 第三章 三角恒等变换 章末复习课

第三章三角恒等变形章末复习课网络构建核心归纳1．两角和与差的三角函数公式的理解(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．要点一三角函数求值问题三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．【例1】 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，且π2＜α＜π，sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值．解 sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2cos αα－cos α22α－cos α＝22cos α.∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝－12， ∴tan α＝－3， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－1010， ∴sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－255. 【训练1】 已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4 tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．解 ∵3sin β＝sin(2α＋β)，即3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]， 整理得2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. 即tan(α＋β)＝2tan α. 又∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tanα21－tan2α2＝12，tan(α＋β)＝2tan α＝2×12＝1.∵α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β＝π4.要点二 三角函数的化简与证明由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数的化简与证明中，应充分利用所学的三角函数的和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子的特点，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数的化简与证明．化简三角函数式的要求： 1．能求出值的应求出值； 2．使三角函数的种数尽量少； 3．使项数尽量少；4．尽量使分母不含三角函数； 5．尽量使被开方数不含三角函数； 6．次数尽量低．【例2】 求证：tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x .证明 ∵左边＝tan 32x －tan x2＝sin 32x cos 32x －sin x2cosx2＝sin 32x cos x 2－sin x 2cos 32x cos x 2cos 32x＝sin x12x ＋cos x＝2sin xcos x ＋cos 2x＝右边．∴tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x.【训练2】 求证：3sin 240°－1cos 240°＝32sin 10°. 证明 ∵左边＝322－12＝32－2sin 240°cos 240°＝3cos 40°＋3cos 40°－sin 240°cos 240°＝4×2232cos 40°＋1232cos 40°－122＝16sin 100°sin 20°sin 280°＝16sin 80°sin 20°sin 280°＝16sin 20°sin 80° ＝32sin 10°cos 10°cos 10°＝32sin 10°＝右边．∴原式成立．要点三 整体换元的思想在三角恒等变形中的应用在三角恒等变形中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来．【例3】 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值． 解 设sin x ＋cos x ＝t ， 则t ＝sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴t ∈[－2，2]，∴sin x ·cos x ＝sin x ＋cos x2－12＝t 2－12.∵f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ∴g (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2]． 当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1. 此时，由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z .当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋12.此时，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1.解得x ＝2k π＋π4，k ∈Z .综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－1；当x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝2＋12.【训练3】 求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R )的值域． 解 令sin x －cos x ＝t ，则由t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4知t ∈[－2，2]，又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2. ∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54.当t ＝12时，y max ＝54；当t ＝－2时，y min ＝－2－1. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，54.要点四 构建方程(组)的思想在三角恒等变形中的应用方程(组)思想是中学重要的思想方法之一．借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值中常用的方法之一．【例4】 已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15.(1)求证：tan A ＝2tan B ; (2)设AB ＝3，求AB 边上的高．(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇒tan Atan B＝2. ∴tan A ＝2tan B .(2)解 ∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－34. 将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得 2tan 2B －4tan B －1＝0，解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62.∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6. 设AB 边上的高为CD ，则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD2＋6，由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6. ∴AB 边上的高等于2＋ 6.【训练4】 已知sin(α＋β)＝35，sin(α－β)＝－23，则tan αtan β等于( )A.115 B.25 C.119D ．－119解析 由已知sin(α＋β)＝35，sin(α－β)＝－23，得sin αcos β＋cos αsin β＝35，sin αcos β－cos αsin β＝－23，两式分别相加减得sin αcos β＝－130，cos αsin β＝1930.∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝－119. 答案 D基础过关1．cos 2 014°cos 1 586°－sin 2 014°sin 1 586°等于( ) A ．0 B.12 C.22D ．1解析 原式＝cos(2 014°＋1 586°)＝cos 3 600°＝1.答案 D2．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( ) A.43 B.34 C.53D.12解析 ∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， 所以22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，所以1<sin θ＋cos θ≤ 2. 答案 A3．函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π 解析 ∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π，故选C.答案 C4．设tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)的值是________．解析 ∵α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，∴tan(α＋π4)＝25－141＋25×14＝3202220＝322.答案3225．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tanC ，则B ＝________. 解析 tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－33－tan B1－tan 2B ， 所以tan 3B ＝33，所以tan B ＝3， 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝π3.答案π36．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α ＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－4＋3310.7．已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝2.(2)f (x )的最小正周期为π. 由正弦函数的性质得令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .能力提升8．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图像的一个对称中心为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，32D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，－3解析 y ＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x )－3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32，令2x ＋π3＝k π，(k ∈Z )x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6，∴函数图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，－32.答案 B9．设向量a ＝(cos 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 为实数，则|a －t b |的最小值是( ) A.12 B ．1 C.32D ．1＋ 3解析 |a －t b |＝a －t b2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝1－2t a ·b ＋t 2＝t 2－2t ＋＋1＝t 2－－t ＋1＝t 2－3t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋14，|a －t b |的最小值为12.答案 A10．若方程3sin x ＋cos x ＝a 在[0,2π]上恰有两个不同的实数解，则a 的取值范围为________．解析 a ＝2(32sin x ＋12cos x )＝2sin(x ＋π6)， ∵x ∈[0,2π]，∴x ＋π6∈[π6，13π6]，∴2sin(x ＋π6)∈[－2,2]，由于3sin x ＋cos x ＝a 有两个不同实数解， ∴a ∈(－2,1)∪(1,2)． 答案 (－2,1)∪(1,2)11．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析 依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0＜β＜π，∴π2＜β＜π，π2＜α＋β＜π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215.答案3＋821512．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3. ∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1， ∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3； 当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3. 13．(选做题)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的周期和单调递增区间．(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝1＋sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， 周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2， 解得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2， 所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 所以f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．。