人教新课标版数学高一必修5人教A版 第三章章末复习课

备课资料备用例题【例1】 已知0＜x ＜31，求函数y =x （1-3x ）的最大值. 分析一：原函数式可化为y =-3x 2+x ，利用二次函数求某一区间的最值.解法一：（利用二次函数法可获得求解）（解略）分析二：挖掘隐含条件，∵3x +1-3x =1为定值，且0＜x ＜31，则1-3x ＞0；可用均值不等式. 解法二：∵0＜x ＜31，∴1-3x ＞0.∴y =x （1-3x ）=31·3x （1-3x ）≤31（2313x x -+）2=121.当且仅当 3x =1-3x ,即61=x 时,121max =y . 【例2】求y =sin x +xsin 5的最小值，x ∈（0，π）. 错解:∵x ∈（0，π）,∴sin x ＞0.∴y =sin x +xsin 5≥25.∴y mi x =25. 错因：y =25的充要条件是sin x =xsin 5,即sin 2x =5，这是不存在的. 正解：∵x ∈（0，π）,∴sin x ＞0.又y =sin x +xx x x x sin 42sin 4sin 1sin sin 5+≥++＝,当且仅当x x sin 1sin =,即sin x =1时，取“=”，而此时x sin 4也有最小值4，∴当sin x =1时，y min =6. 【例3】已知正数x 、y 满足2x +y =1，求yx 11+的最小值. 错解:∵1=2x +y ≥2xy 2，∴221≤xy ,即221≥xy .∴242221211=∙≥≥+xyy x ,即y x 11+的最小值为24. 错因：过程中两次运用了均值不等式中取“=”过渡，而这两次取“=”的条件是不同的，故结果错.正解一：∵2x +y =1，∴.223122)11)(2(11+≥+++++-=+xy y x y x y x y x 当且仅当yx y x 2=，即y =2x 时，取“=”. 而⇒⎩⎨⎧=+=122y x x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,222,221y x ,即此时y min =3+22.正解二：∵yx x y y y x x y x y x 232211++=+++=+ (以下同一). 小结：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容.【例4】 已知正数x 、y 满足xy =x +y +3，试求xy 、x +y 的范围.解法一：由x ＞0,y ＞0,则xy =x +y +3⇒xy -3=x +y ≥2xy ,即（xy ）2-2xy +3≥0. 解得xy y ≤-1(舍)或xy ≥3，当且仅当x =y 且xy =x +y +3,即x =y =3时取“=”，故xy 的取值范围是［9,+∞).又x +y +3=xy ≤(2y x +)2⇒(x +y )2-4(x +y )-12≥0⇒x +y ≤-2(舍)或x +y ≥6，当且仅当x =y 且xy =x +y +3,即x =y =3时取“=”，故x +y 的取值范围是［6,+∞). 解法二：由x ＞0,y ＞0,xy =x +y +3 (x -1)y =x +3知x ≠1,则13-+=x x y ,由y ＞0⇒13-+x x ＞0x ＞1,则9514)1(2514)1(14)1(5)1(131322=+-∙-≥+-+-=-+-+-=-+=-+∙=x x x x x x x x x x x x x xy ,当且仅当x -1=14-x (x ＞0),即x =3,并求得y =3时取“=”，故xy 的取值范围是［9,+∞). 6214)1(2214)1(11414113=+-∙-≥+-+-=+-+=-+-+=-++=+x x x x x x x x x x x x y x . 当且仅当x -1=14-x (x ＞0),即x =3,并求得y =3时取“=”，故xy 的取值范围是［9,+∞). 点评：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧.总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的.【例5】 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)，设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度)．命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.知识依托：本题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值. 错解分析：在求得a 的函数关系式时易漏h ＞0.技巧与方法：本题在求最值时应用均值定理.解：（１）设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+='∙+2222412214h a a a h a 消去h′,解得112+=h a (a ＞0). (2)由)1(33122+=h hh a V ＝(h ＞0), 得2121,)1(31=∙=++=hh h h h h V 而.所以V≤61,当且仅当h h 1=,即h=1时取等号，故当h=1米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米。

课题: 《不等式》复习小结授课类型：复习课【教学目标】1．会用不等式（组）表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。

【教学重点】不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。

【教学难点】利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。

【教学过程】1.本章知识结构2.知识梳理（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔>(2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法3、应用不等式性质证明（二）一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)有两相异实根有两相等实根（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解2a b + 1、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 22a b +≤几何意义是“半径不小于半弦” 3.典型例题1、用不等式表示不等关系例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。

第三章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x－m)(x－n)＜0，则可得m＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax ＋By＋C＞0(或＜0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B＞0时，①Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；②Ax ＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点)(1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和”或“积”为定值；(3)“三相等”——等号一定能取到．专题一不等关系与不等式的基本性质1．同向不等式可以相加，异向不等式可以相减；但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(1)若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；(2)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－a.2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．(1)若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；(2)若a ＞b ＞0，0＜c ＜d ，则a c ＞bd.3．左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方：若a ＞b ＞0，则a n ＞b n 或n a ＞nb .4．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b .[例1] 已知a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小．解：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)a －b ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，因为a ＞0，b ＞0，且a ≠b ， 所以(a －b )2＞0，a ＋b ＞0，ab ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＞0，即a 2b ＋b 2a ＞a ＋b .归纳升华不等式比较大小的常用方法(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． (2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式． (3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小． (4)分子分母有理化． (5)利用中间量．[变式训练] (1)已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值； (2)设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[x ＋∞)，求函数f (x )的最小值．解：(1)因为0＜x ＜2，所以0＜3x ＜6，8－3x ＞0，所以y ＝x (8－3x )＝13×3x ·(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号，所以当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值为163.(2)f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，因为x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1＞0，2x ＋1＞0，所以x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，f (x )取最小值． 此时f (x )min ＝22－1.专题二 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的求解流程如下： 一化——化二次项系数为正数． 二判——判断对应方程的根． 三求——求对应方程的根． 四画——画出对应函数的图象．五解集——根据图象写出不等式的解集． [例2] (1)解不等式：－1＜x 2＋2x －1≤2； (2)解不等式a （x －1）x －2＞1(a ≠1)．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＞0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x (x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0； 由②得(x ＋3)(x －1)≤0， 所以－3≤x ≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．求其交集得原不等式的解集为{x |－3≤ x ＜－2或0＜x ≤1}．(2)原不等式可化为a （x －1）x －2－1＞0，即(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0(*)， ①当a ＞1时， (*)式即为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0，而a －2a －1－2＝－aa －1＜0，所以a －2a －1＜2，此时x ＞2或x ＜a －2a －1. ②当a ＜1时，(*)式即为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＜0， 而2－a －2a －1＝aa －1，若0＜a ＜1，则a －2a －1＞2，此时2＜x ＜a －2a －1；若a ＝0，则(x －2)2＜0，此时无解； 若a ＜0，则a －2a －1＜2，此时a －2a －1＜x ＜2.综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜a －2a －1； 当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1＜x ＜2. 归纳升华含参数的一元二次不等式的分类讨论(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况并加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1，x 2表示的形如a (x －x 1)(x －x 2)的形式时，往往需要对其根分x 1＞x 2、x 1＝x 2，x 1＜x 2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．[变式训练] 定义在(－1，1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解：因为f (x )的定义域为(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，所以0＜a ＜2，①原不等式变形为f (1－a )＜－f (1－a 2)． 由于f (x )为奇函数，有－f (1－a 2)＝f (a 2－1)， 所以f (1－a )＜f (a 2－1)． 又f (x )在(－1，1)上是减函数， 所以1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.②由①②可得0＜a ＜1， 所以a 的取值范围是(0，1)． 专题三 简单的线性规划问题线性规划问题在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少.[例3] 某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A ，1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(1) (2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？解：(1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤14.x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品 245 t ，B 产品 225t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m， 又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15.归纳升华解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数． (2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解． (5)答：作出答案．[变式训练]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域，因为A (1，1)，B (0，4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.答案：A专题四 成立问题(恒成立、恰成立等)[例4] 若存在x ∈R ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 成立，求实数a 的取值范围．解：设f (x )＝|x －4|＋|x －3|，依题意f (x )的最小值小于a .又f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1(等号成立的条件是3≤x ≤4)．故f (x )的最小值为1，所以a ＞0.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 归纳升华1．(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＞A 成立，则等价于在区间D 上的f (x )max ＞A ；(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＜B 成立，则等价于在区间D 上的f (x )min ＜B .2．(1)若不等式f (x )＞A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＞A 的解集为D ；(2)若不等式f (x )＜B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＜B 的解集为D .[变式训练] 已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合．解：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，所以Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)． 再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，即x2－(a＋4)x＋4＝0有解，所以Δ＝(a＋4)2－16≥0，解得a≤－8或a≥0.综上即知a＝－8或a＝0时，y min＝1，故所求实数a的取值集合是{－8，0}．。

章末复习学习目标　1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式证明不等式，求解最值问题．1．不等式的性质性质1：如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b ，即a >b ⇔b <a .性质2：如果a >b ，b >c ，那么a >c ，即a >b ，b >c ⇔a >c .性质3：如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .性质4：如果a >b ，c >0，那么ac >bc ，如果a >b ，c <0，那么ac <bc .性质5：如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d .性质6：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd .性质7：如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N *，n ≥1)．性质8：如果a >b >0，那么>(n ∈N *，n ≥2)．n a n b 2．三个二次之间的关系设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac判别式Δ>0Δ＝0Δ<0解不等式f (x )>0或f (x )<0的步骤求方程f (x )＝0的解有两个不等的实数解x 1，x 2有两个相等的实数解x 1，x 2没有实数解画函数y ＝f (x )的示意图f (x ) >0{x |x <x 1或x >x 2}Error!R 得不等式的解集f (x ) <0{x |x 1< x <x 2}∅∅3．线性规划问题求解步骤①把问题要求转化为约束条件；②根据约束条件作出可行域；③对目标函数变形并解释其几何意义；④移动目标函数寻找最优解；⑤解相关方程组求出最优解．4．基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别①利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．②利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.题型一　“三个二次”之间的关系例1　若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是，则a ＋b ＝ .(－12，13)答案　－14解析　∵x 1＝－，x 2＝是方程ax 2＋bx ＋2＝0(a <0)的两个根，1213∴Error!解得Error!∴a＋b＝－14.反思感悟　(1)“三个二次”之间要选择一个运算简单的方向进行转化．(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．跟踪训练1　若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.答案　2解析　因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1，a>0，由Error!可得Error!题型二　一元二次不等式的解法例2　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．解　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.当a<0时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}；当0<a<1时，a2<a，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；当a>1时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}．反思感悟　对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．跟踪训练2　(2018·江苏省如东高级中学期中)已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.解　(1)若a ＝0，则原不等式为－2x <0，故解集为{x |x >0}．(2)若a >0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为x 1＝，x 2＝，1－1－a 2a 1＋1－a 2a ∴当0<a <1时，原不等式的解集为Error!.②当Δ＝0，即a ＝1时，原不等式的解集为∅.③当Δ<0，即a >1时，原不等式的解集为∅.(3)若a <0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即－1<a <0时，原不等式的解集为Error!.②当Δ＝0，即a ＝－1时，原不等式化为(x ＋1)2>0，∴当a ＝－1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}．③当Δ<0，即a <－1时，原不等式的解集为R .综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅；当0<a <1时，原不等式的解集为Error!；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >0}；当－1<a <0时，原不等式的解集为Error!；当a ＝－1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}；当a <－1时，原不等式的解集为R .题型三　线性规划问题例3　已知变量x ，y 满足约束条件Error!求z ＝2x ＋y 的最大值和最小值．解　如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小．上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，z max＝2×5＋2＝12；当l0过点B(1,1)时，z min＝2×1＋1＝3.反思感悟　(1)因为最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确．(2)线性目标函数的最值与纵截距不一定是增函数关系，所以要关注纵截距越大，z越大还是越小．跟踪训练3　某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．解　设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，由题意可得Error!所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．在一组平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点A时，z取得最小值，直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点为A (2,1)，即最优解为(2,1)．所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．题型四　利用基本不等式求最值例4　函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则＋的最小值为 ．1m 1n答案　4解析　y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，∴m ＋n ＝1，方法一　＋＝＝≥＝4，1m 1n m ＋n mn 1mn 1(m ＋n 2)2当且仅当m ＝n ＝时，取等号．12方法二　＋＝(m ＋n )1m 1n (1m ＋1n )＝2＋＋≥2＋2＝4，n m m n n m ·m n 当且仅当Error!即m ＝n ＝时取等号．12∴min ＝4.(1m ＋1n )反思感悟　条件最值的求解通常是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．跟踪训练4　设x ，y 都是正数，且＋＝3，求2x ＋y 的最小值．1x 2y解　∵＋＝3，∴＝1.1x 2y 13(1x ＋2y )∴2x ＋y ＝(2x ＋y )×1＝(2x ＋y )×13(1x ＋2y )＝≥13(4＋y x ＋4x y )13(4＋2 y x ·4x y )＝＋＝.434383当且仅当＝，即y ＝2x 时，取等号．y x 4x y又∵＋＝3，∴x ＝，y ＝.1x 2y 2343∴2x ＋y 的最小值为.831．(2018·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}答案　B解析　方法一　A ＝{x |(x －2)(x ＋1)>0}＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.方法二　因为A ＝{x |x 2－x －2>0}，所以∁R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.2．已知实数x ，y 满足条件Error!若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )A ．1 B. C ．－ D ．－11212答案　A解析　作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.3．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为Error!，则a ＋b 等于( )A ．－18B ．8C ．－13D ．1答案　C解析　∵－2和－是方程ax 2＋bx －2＝0的两根．14∴Error!∴Error!∴a ＋b ＝－13.4．若不等式4(a －2)x 2＋2(a －2)x －1<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ．答案　(－2,2]解析　不等式4(a －2)x 2＋2(a －2)x －1<0，当a －2＝0，即a ＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a －2≠0时，要使不等式恒成立，需Error!解得－2<a <2，所以a 的取值范围为(－2,2]．5．已知f (x )＝32x －k ·3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正，求k 的取值范围．解　f (x )＝(3x )2－k ·3x ＋2＞0，∴k <＝3x ＋，3x ＋≥2＝2，当且仅当3x ＝时，(3x )2＋23x 23x 23x 3x ·23x 223x 等号成立．∴k <2.21．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．3．二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．4．求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值时把握三个条件①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．。

第三章 章末复习课【课时目标】1．熟练掌握一元二次不等式的解法，并能解有关的实际应用问题． 2．掌握简单的线性规划问题的解法．3．能用基本不等式进行证明或求函数最值．不等式—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—不等关系—⎪⎪⎪⎪—不等式的性质—实数比较大小—一元二次不等式—⎪⎪⎪—一元二次不等式的解法—一元二次不等式的应用—简单线性规划—⎪⎪⎪⎪—二元一次不等式(组)与平面区域—简单线性规划—简单线性规划的应用—基本不等式—⎪⎪⎪⎪—算术平均数与几何平均数—基本不等式的应用一、选择题1．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a －b <0B ．0<ab<1C.ab <a ＋b2D ．ab >a ＋b答案 C2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解是[－12，－13]，则不等式x 2－bx －a <0的解是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．(13，12)D ．(－∞，13)∪(12，＋∞)答案 A解析 由题意知，a <0，b a ＝－56，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5.∴x 2－5x ＋6<0的解是(2,3)． 3．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．40答案 C解析 作出可行域如图所示.由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.4．不等式x －1x≥2的解为( )A ．[－1,0)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞) 答案 A解析 x －1x ≥2⇔x －1x －2≥0⇔－x －1x≥0⇔x ＋1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)≤0x ≠0⇔－1≤x <0.5．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么( ) A ．a ＋b 有最小值2(2＋1) B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2 C ．ab 有最大值2＋1D ．ab 有最小值2(2＋1) 答案 A解析 ∵ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b 2)2－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)． ∴a ＋b 有最小值2(2＋1)．又∵ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，∴ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1，或ab ≤1－2(舍去)， ∴ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2. 6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为( )A.256B.83C.113 D ．4 答案 A 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256(a ＝b＝65时取等号)． 二、填空题7．已知x ∈R ，且|x |≠1，则x 6＋1与x 4＋x 2的大小关系是________． 答案 x 6＋1>x 4＋x 2 解析 x 6＋1－(x 4＋x 2) ＝x 6－x 4－x 2＋1 ＝x 4(x 2－1)－(x 2－1) ＝(x 2－1)(x 4－1) ＝(x 2－1)2(x 2＋1)∵|x |≠1，∴x 2－1>0，∴x 6＋1>x 4＋x 2.8．若函数f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0] 解析 由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R .可知2x 2－2ax －a ≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立，则Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.9．若x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为____．答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”，∴y 2xz的最小值为3.10．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表： a b /万吨 c /百万元A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．答案 15解析 设购买A 、B 两种铁矿石分别为x 万吨、y 万吨，购买铁矿石的费用为z 百万元，则z ＝3x ＋6y .由题意可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋710y ≥1.9，x ＋12y ≤2，x ≥0，y ≥0.作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z ＝3x ＋6y 在点A (1,2)处取得最小值，z min＝3×1＋6×2＝15.三、解答题11．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M .(1)若3∈M ，且5∉M ，求实数a 的取值范围． (2)当a ＝4时，求集合M .解 (1)∵3∈M ，∴3a －59－a<0，解得a <53或a >9；若5∈M ，则5a －525－a<0，解得a <1或a >25.则由5∉M ，知1≤a ≤25，因此所求a 的范围是1≤a <53或9<a ≤25.(2)当a ＝4时，4x －5x 2－4<0.4x －5x 2－4<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －5>0x 2－4<0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －5<0x 2－4>0.⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >54－2<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <54x <－2或x >2 ⇔54<x <2或x <－2. ∴M ＝{x |x <－2或54<x <2}．12．当x >3时，求函数y ＝2x 2x －3的值域．解 ∵x >3，∴x －3>0.∴y ＝2x 2x －3＝2(x －3)2＋12(x －3)＋18x －3＝2(x －3)＋18x －3＋12≥22(x －3)·18x －3＋12＝24.当且仅当2(x －3)＝18x －3，即x ＝6时，上式等号成立，∴函数y ＝2x 2x －3的值域为[24，＋∞)．【能力提升】13．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取等号． 14．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是________．答案 (259，4916]解析 由(2x －1)2<ax 2成立可知a >0，整理不等式可得(4－a )x 2－4x ＋1<0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a >0，即a <4，故0<a <4，解得不等式有2－a 4－a <x <2＋a4－a，即2－a (2＋a )(2－a )<x <2＋a(2＋a )(2－a )， 亦即14<12＋a <x <12－a ，要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么3<12－a ≤4，解得259<a ≤4916.1．不等式是高中数学的重要内容，其中蕴含着许多重要的思想方法，是高考考查的重点．2．本章内容主要有以下四个方面：①不等式的性质，②一元二次不等式的解法，③简单的线性规划问题，④基本不等式及应用．。

课时作业一、选择题1.若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A.a ＞15B.a ＞15或a ＜－1C.－1＜a ＜15D.a ＜－1答案 B解析 当a ＝0时，f (x )＝1，与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0，函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内是单调函数，f (－1)f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15.2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B.－2,0 C.12 D.0答案 D解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x ＞1，所以此时方程无解.综上，函数f (x )的零点只有0. 3.若函数y ＝f (x )在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f (x )＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f (0)·f (4)的值( )A.大于0B.小于0C.等于0D.无法判断 答案 D解析 考察下列各种图象：上面各种函数y ＝f (x )在(0,4)内仅有一个零点，但是图(1)中，f (0)·f (4)＞0；图(2)中，f (0)·f (4)＜0；图(3)中，f (0)·f (4)＝0.4.若函数f (x )＝x －ax 没有零点，则a 的取值范围是( )A.(－∞，0)B.(－∞，0]C.(0，＋∞)D.[0，＋∞)答案 B解析 f (x )＝x －a x ＝x 2－ax，其定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，故a ≤0.5.函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，18 B.⎣⎡⎦⎤18，14 C.⎣⎡⎦⎤14，12 D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 C解析 因为f (x )在定义域内为单调递增函数，而在4个选项中，只有f ⎝⎛⎭⎫14f ⎝⎛⎭⎫12＜0， 所以零点所在区间为⎣⎡⎦⎤14，12.6.已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2的两个零点分别为α，β，则( ) A.a ＜α＜b ＜β B.α＜a ＜b ＜β C.a ＜α＜β＜b D.α＜a ＜β＜b 答案 B解析 设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )是由g (x )的图象向下平移2个单位得到的，而g (x )的两个零点为a ，b ，f (x )的两个零点为α，β，结合图象可得α＜a ＜b ＜β.故选B. 二、填空题7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________. 答案 (0,1]解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1].8.用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f (0.625)＜0，f (0.75)＞0，f (0.687 5)＜0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1). 答案 0.75(或0.687 5)解析 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以方程的近似解为0.75或0.687 5.9.如图所示，开始时桶1中有a 升水，t 分钟后剩余的水量符合指数衰减曲线y 1＝a e －nt，那么桶2中水量就是y 2＝a －a e－nt升，桶1与桶2相同，假设过5分钟时桶1和桶2的水量相等，则桶1中的水量只有a8时，需再经过________分钟.答案 10解析 由题意得a e －5n ＝a －a e －5n ，e －n ＝1512⎛⎫⎪⎝⎭.设再经过t 分钟，桶1中的水量只有a 8，则a e －n (t ＋5)＝a8，即t ＋55＝3，解得t ＝10. 10.我们把形如y ＝b|x |－a (a ＞0，b ＞0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 4解析 由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x ＜0且x ≠－1).在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点.三、解答题11.已知函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋b .(1)若b ＝－1，函数y ＝f (x )在x ∈[2,3]上有一个零点，求a 的取值范围； (2)若a ＝b ，且对于任意a ∈[2,3]都有f (x )＜0，求x 的取值范围.解 (1)当b ＝－1时，f (x )＝x 2－(a ＋1)x －1.因为f (0)＝－1，若函数f (x )在[2,3]上有一个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ≤0，5－3a ≥0，解得12≤a ≤53.(2)将b ＝a 代入函数f (x )的解析式，得 f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a .令g (a )＝(1－x )a ＋x 2－x ，a ∈[2,3]. 由题意，得g (a )＜0在a ∈[2,3]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)＜0，g (3)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＜0，x 2－4x ＋3＜0，解得1＜x ＜2.故所求x 的取值范围是(1,2).12.二分法求方程x 2－x －1＝0的近似解(精确度0.3).解 令f (x )＝x 2－x －1，由于f (0)＝－1＜0，f (1)＝－1＜0，f (2)＝1＞0，故可取区间(1,2)作为计算的初始区间.用二分法逐次计算，列表如下：∵|1.75－1.5|＝0.25＜0.3，∴方程x 2－x －1＝0的近似解可取1.5或1.75.13.某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q (单位：吨)与销售价格x (单位：万元/吨)的关系可用如图所示的一条折线表示.(1)写出月销售量Q 关于销售价格x 的函数关系式；(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？求月利润的最大值.解 (1)由函数图象可知 当5≤x ≤8时，Q ＝－52x ＋25；当8＜x ≤12时，Q ＝－x ＋13. 所以Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－52x ＋25，5≤x ≤8，－x ＋13，8＜x ≤12.(2)设月利润与商品每吨定价x 的函数为f (x )，则根据题意得f (x )＝Q ·(x －5)－10， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－52x ＋25(x －5)－10，5≤x ≤8，(－x ＋13)(x －5)－10，8＜x ≤12， ＝⎩⎪⎨⎪⎧－52⎝⎛⎭⎫x －1522＋458，5≤x ≤8，－(x －9)2＋6，8＜x ≤12. 所以当5≤x ≤8时，在x ＝152处，f (x )取得最大值458；当8＜x ≤12时，在x ＝9处，f (x )取得最大值6.综上可知：该商品每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元.。

章末复习课知识网络要点归纳：1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式性质进行论证时，要注意每一个性质的条件，不要盲目乱用或错用性质，特别是乘法性质容易用错，要在记忆基础上加强训练，提高应用的灵活性．2．一元二次不等式的解法及其应用一元二次不等式的解集可以通过两种方法求解，第一种方法是结合该一元二次不等式所对应的二次函数图象解决，第二种方法是将原不等式转化求与它同解的不等式组的交集去解决．第一种方法意在让我们通过函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系，充分注重数形结合，得出一般的一元二次不等式解集，它适用于任何一元二次不等式．对于这种方法一定要有深刻的认识与体会，要从图象上真正把握其内在的本质，自己找出不等式解所对应的区间．(2)最大(小)值定理：两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值．要通过自己的思考与尝试加深对均值不等式最大(小)值定理的正确理解，在使用均值不等式与最大(小)值定理求某些函数的最值时，要特别注意定理成立的条件是否具备，如均值不等式中的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可．(3)利用基本不等式求实际问题中最值的一般步骤：①认真分析理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值(有时还需要进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数，凑出“正数”、“定值”、“相等”三个条件)；④给出问题的答案．4．二元一次不等式(组)表示平面的区域与线性规划(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域且不包含边界直线(画成虚线)．Ax＋By＋C≥0在平面直角坐标系中所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．(2)确定二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中所表示的平面区域的判断方法：对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)来说，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以Ax0＋By0＋C 的正负情况便可判断Ax＋By＋C>0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．(3)二元一次不等式组表示的平面区域，就是这个不等式组的各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．(4)解决线性规划问题最大的困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．主要障碍有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍及题目本身文字过长等因素，解题时要认真分析理解题意，能够抓住问题的本质特征，要根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题，然后利用图解法求出最优解，作为突破这个困难的关键．对于寻找整点最优解的问题，还可以利用计算机辅助解决．题型一　一元二次不等式的解法解一元二次不等式一定要注意，二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系，二次函数图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程的根，二次函数图象在x轴上方，表示函数值大于0，这时x的范围就是不等式ax2＋bx＋c>0的解集；二次函数图象在x轴下方，表示函数值小于0，这时x的范围就是ax2＋bx＋c<0的解，解不等式时应该把二次函数图象画出来，用数形结合的思想方法解题．例1：解不等式－1<x2＋2x－1≤2.题型二　简单线性规划在实际问题中的应用(1)解线性规划问题的关键步骤是画图，所以作图要尽可能地准确，图上操作尽可能的规范．(2)因为作图存在误差，若图上的最优点并不明显易辨，可求出可能是最优解的点的坐标，然后逐一检查，确定最优解．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．例2：某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A，B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？题型三　基本不等式与最值应用基本不等式求最大(小)值，关键在于“一正二定三相等”．也就是：(1)一正：各项必须为正．(2)二定：要求积的最大值，则其和必须是定值；要求和的最小值，则其积必须是定值．(3)三相等：必须验证等号是否成立．例3：已知：3a2＋2b2＝5，试求：y＝(2a2＋1)(b2＋2)的最大值．练一练：某农场有一废弃的猪圈，留有一面旧墙长12 m，现准备在该地区重新建一个猪圈．平面图为矩形，面积为112 m2，预计：(1)修复1 m旧墙的费用是建造1 m新墙费用的25%；(2)拆去1 m旧墙用以改造建成1 m新墙的费用是建1 m新墙的50%；(3)为安装圈门，要在围墙的适当处留出1 m的空缺．试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小．答：修复的旧墙约为11.3 m，拆除改建成新墙的旧墙约为0.7 m，这样建造的总造价最小．。