第三章三角恒等变换章末复习课

专题一 三角函数式的化简三角函数式的化简，主要有以下几类：①对和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数值；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段．【例1】 化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β. 解 法一 原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1) ＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2α(1－cos 2β)＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二 原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－cos 2β⎝⎛⎭⎫sin 2α＋12cos 2α ＝1＋cos 2β2－cos 2β⎣⎡⎦⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12. 法三 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2αcos 2β＝14(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2αcos 2β＝14＋14＝12. 法四 原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin β·cos αcos β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2(α＋β)＋12sin 2αsin 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2(α＋β)－12cos(2α＋2β) ＝cos 2(α＋β)－12[2cos 2(α＋β)－1]＝12. 专题二 三角函数求值三角函数求值主要有三种类型，即(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．【例2】 求tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°的值．解 tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝tan 60°(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35° ＝3－3tan 25°tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝ 3.【例3】 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4α1＋cos 2α的值． 解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13， 即cos 2α＝13. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，2α∈(π，2π)，∴sin 2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223. ∴sin 4α1＋cos 2α＝2sin 2α·cos 2α1＋1＋cos 2α2＝2×⎝⎛⎭⎫－223×131＋1＋132＝－4215. 【例4】 已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值． 解 法一 ∵α，β均为锐角且sin α＝55，cos β＝1010， ∴cos α＝255，sin β＝31010.又sin α<sin β，∴α<β. cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵α<β，∴－π2<α－β<0.∴α－β＝－π4. 法二 ∵α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010， ∴cos α＝255，sin β＝31010， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22. ∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2. ∴α－β＝－π4. 专题三 三角恒等式的证明三角恒等式的证明主要是利用sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α，二倍角公式等结论证明等式成立．一般思路是从左向右或两头凑，注意函数名的统一，一般是切化弦．【例5】 求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos 4x )1－cos 4x.证明 法一 左边＝sin 2x cos 2x ＋cos 2x sin 2x ＝sin 4x ＋cos 4x sin 2x cos 2x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x 14sin 22x ＝1－12sin 22x 14sin 22x ＝1－12sin 22x 18(1－cos 4x )＝8－4sin 22x 1－cos 4x ＝4＋4cos 22x 1－cos 4x ＝4＋2(1＋cos 4x )1－cos 4x＝2(3＋cos 4x )1－cos 4x＝右边． ∴原式得证．法二 右边＝2(2＋1＋cos 4x )2sin 22x ＝2(2＋2cos 22x )8sin 2x cos 2x ＝2(1＋cos 22x )4sin 2x cos 2x＝(sin 2x ＋cos 2x )2＋(cos 2x －sin 2x )22sin 2x cos 2x ＝2(sin 4x ＋cos 4x )2sin 2x cos 2x ＝tan 2x ＋1tan 2x＝左边． 原式得证．专题四 三角函数与向量的综合应用三角函数与向量的综合问题是近几年高考题的热点，目的在于考查学生对三角函数基本关系式的变形、运算和推理能力，一般来说题目难度不大，解决这类问题，应利用平面向量的坐标、数量积、平行与垂直的条件、夹角公式等知识将向量转化为三角函数问题．【例6】 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 长度相等(其中k 为非零实数)，求β－α的值．(1)证明 法一 ∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)，a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，∴(a ＋b )·(a －b )＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＋(sin α＋sin β)(sin α－sin β)＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝0.∴(a ＋b )⊥(a －b )．法二 ∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴|a |2＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |2＝cos 2β＋sin 2β＝1.∴|a |2＝|b |2.∴(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)解 ∵k a ＋b ＝(k cos α，k sin α)＋(cos β，sin β)＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，∴|k a ＋b |2＝(k cos α＋cos β)2＋(k sin α＋sin β)2＝k 2cos 2α＋2k cos αcos β＋cos 2β＋k 2sin 2α＋2k sin αsin β＋sin 2β＝k 2＋2k cos(α－β)＋1.(注：cos α·cos β＋sin α·sin β＝cos(α－β))同理可求|a －k b |2＝k 2－2k cos(α－β)＋1.又∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴|k a ＋b |2＝|a －k b |2.∴2k cos(α－β)＝－2k cos(α－β)．∵k ≠0，∴cos(α－β)＝0.∴cos(β－α)＝0.又∵0<α<β<π，∴β－α＝π2. 专题五 三角恒等变换与三角函数的综合问题利用三角公式和基本的三角恒等变换的思想方法，可以化简三角函数的解析式，进而才能顺利地探求三角函数的有关性质．反过来，利用三角函数性质，可确定解析式，进而可求出有关三角函数值．因而三角恒等变换与三角函数的综合问题是高考命题的热点．解决三角恒等变换与三角函数的综合问题关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切割化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化，角的代换)的运用；还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用．【例7】 已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4－23sin 2x 4＋ 3. (1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由． 解 (1)∵f (x )＝sin x 2＋3⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 4＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3. ∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. 当sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2；当sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，又g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2＝2cos x 2. ∵g (－x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＝2cos x 2＝g (x )， ∴函数g (x )是偶函数．。

题型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，β＝12[(α＋β)－(α－β)]等． 例1 已知α、β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值． 解 ∵α是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝139. ∵β是锐角，故cos β＝91050. 跟踪训练1 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 解 tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝13>0. 而α∈(0，π)，故α∈(0，π2)． ∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2<β<π. ∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0， ∴－π<α－β<－π2. ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝1，∴2α－β＝－3π4. 题型二 整体换元的思想在三角恒等变换中的应用在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来(如例2令sin x －cos x ＝t )．例2 求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R )的值域．解 令sin x －cos x ＝t ，则由t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4知t ∈[－2，2]， 又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2.∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54. 当t ＝12时，y max ＝54； 当t ＝－2时，y min ＝－2－1.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－2－1，54. 跟踪训练2 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值． 解 设sin x ＋cos x ＝t ，则t ＝sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x ＋22cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∴t ∈[－2，2]，∴sin x ·cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＝t 2－12. ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x即g (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2]． 当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1.此时，由sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， 解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z . 当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋12. 此时，由2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1. 解得x ＝2k π＋π4，k ∈Z . 综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－1；当x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝2＋12. 题型三 转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简．其中切化弦、异名化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思想的运用；三角恒等式的证明就是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简，左右归一或变更论证，也属转化与化归思想的应用．例3 求证：tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x .证明 ∵左边＝tan 32x －tan x 2＝sin 32x cos 32x －sin x 2cos x 2＝sin 32x cos x 2－sin x 2cos 32x cos x 2cos 32x ＝sin x12(cos 2x ＋cos x )＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝右边．∴tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x. 跟踪训练3 已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值． 解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝sin 2x ＋2sin 2x cos x cos x 1＋tan x＝sin 2x (1＋tan x )1－tan x＝sin 2x ·tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x .∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π， 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45. ∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－43. ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210. ∴sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4－sin π4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－7210， sin 2x ＝725.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝－2875. 题型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用方程(组)思想是中学重要的思想方法之一．借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值中常用的方法之一．例4 已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15. (1)求证：tan A ＝2tan B .(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎨⎧ sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎨⎧ sin A cos B ＝25，cos A sin B ＝15⇒tan A tan B＝2. ∴tan A ＝2tan B . (2)解 ∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35， ∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34. 将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得2tan 2B －4tan B －1＝0，解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62. ∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD ，则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD 2＋6， 由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.∴AB 边上的高等于2＋ 6.跟踪训练4 已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8 的值．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝ 4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝2 1＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8－1， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45. [呈重点、现规律]本章所学的内容是重要的三角恒等变换，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．。