常见立体图形外接球题型总结

立体几何专题：外接球问题中常见的8种模型1.知识梳理一、墙角模型适用范围：3组或3条棱两两垂直；可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合直接用公式(2R )2=a 2+b 2+c 2，即2R =a 2+b 2+c 2，求出R【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑二、麻花模型适用范围：对棱相等相等的三棱锥对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。

推导过程：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，AD =BC =x ，AB =CD =y ，AC =BD =z ，列方程组，a 2+b 2=x 2b 2+c 2=y 2c 2+a 2=z 2⇒(2R )2=a 2+b 2+c 2=x 2+y 2+z 22，补充：V A −BCD =abc −16abc ×4=13abc 第三步：根据墙角模型，2R =a 2+b 2+c 2=x 2+y 2+z 22，R 2=x 2+y 2+z 28，R =x 2+y 2+z 28，求出R .三、垂面模型适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。

推导过程：第一步：将ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ,连接PD ,则PD 必过球心O .第二步：O 1为ABC 的外心，所以OO 1⊥平面ABC ，算出小圆O 1的半径O 1D =r(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理a sin A =b sin B=csin C =2r ,OO 1=12PA .第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(1)(2R )2=PA 2+(2r )2⇔2R =PA 2+(2r )2；(2)R 2=r 2+OO 21⇔R =r 2+OO 21.公式：R 2=r 2+h 24四、切瓜模型适用范围：有两个平面互相垂直的棱锥推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心O 1、O 2过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心0，取B C 的中点为E ，连接OO 1、OO 2、O 2E 、O 1E 为矩形由勾股可得|OC |2=|O 2C |2+|OO 2|2=|O 2C |2+|O 1C |2-|CE |2∴R 2=r 21+r 22-l 24公式：R 2=r 21+r 22-l 24五、斗笠模型适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥推导过程：取底面的外心01，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h ，在h 上取一点作为球心0，根据勾股定理R 2=(h -R )2+r 2⇔R =r 2+h 22h公式：R =r 2+h 22h六、矩形模型适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径推导过程：图中两个直角三角形ΔPAB 和ΔQAB ，其中∠APB =∠AQB =90°，求外接圆半径取斜边AB 的中点O ，连接OP ,OQ ，则OP =12AB =OA =OB =OQ 所以O 点即为球心，然后在ΔPOQ 中解出半径R 公式：R 2=l22(l 为斜边长度)七、折叠模型适用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.推导过程：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角∠A EC =α,CE =A E =h .如图，作左图的二面角剖面图如右图：H 1和H 2分别为△BCD ,△A BD 外心，分别过这两个外心做这两个平面的垂线且垂线相交于球心O CH 1=r =BD 2sin ∠BCD,EH 1=h -r ,OH 1=(h -r )tanα2由勾股定理可得：R 2=OC 2=OH 21+CH 21=r 2+(h -r )2tan 2α2.公式：R 2=r 2+(h -r )2tan 2α2八、鳄鱼模型适用范围：所有二面角构成的棱锥，普通三棱锥方法：找两面外接圆圆心到交线的距离m ,n ，找二面角α，找面面交线长度l 推导过程：取二面角两平面的外心分别为O 1,O 2并过两外心作这两个面的垂线，两垂线相交于球心O ，取二面角两平面的交线中点为E ，则O ,O 1,E ,O 2四点共圆，由正弦定理得：OE =2r =O 1O 2sin α①在ΔO 1O 2E 中，由余弦定理得：O 1O 2 2=O 1E 2+O 2E 2-2O 1E O 2E cos α②由勾股定理得：OD 2=O 1O 2+O 1D 2③由①②③整理得：OD2=O 1O 2+O 1D 2=OE 2-O 1E 2+O 1D 2=O 1O 2sin α2-O 1E 2+O 1D 2=O 1E2+O 2E 2-2O 1E O 2E cos αsin 2α-O 1E 2+O 1D 2=O1E2+O2E2-2O1EO2Ecosαsin2α-O1E2+O1B2记O1E=m,O2E=n,AB=l,则R2=m2+n2-2mn cosαsin2α+l22公式：R2=m2+n2-2mn cosαsin2α+l222.常考题型3.题型精析题型一:墙角模型1(2023·高一单元测试)三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD，DC⊥BD，2AD=BD=DC=2，则该三棱锥的外接球表面积为()A.3π2B.9π2C.9πD.36π1.(2022秋·陕西西安·高一统考期末)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑A-BCD中，满足AB⊥平面BCD，且AB=BD=5，BC=3，CD=4，则此鳖臑外接球的表面积为()A.25πB.50πC.100πD.200π2.(2023·高一课时练习)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50πC.100πD.500π33.(2023·广西南宁·统考二模)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥AD ，AB =BD =2，已知动点E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B 的最短距离为10，则该棱锥的外接球的体积为.4.(2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习)已知四棱锥P -ABCD 的外接球O 的表面积为64π，PA ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，PA =4，设点M 在球O 的表面上运动，则四棱锥M -ABCD 体积的最大值为.题型二:麻花模型1(2023春·广东梅州·高二统考期中)已知三棱锥S -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，且SA =BC =2，SB =AC =7，SC =AB =5，则球O 的体积是()A.83π B.3223π C.423π D.823π1.(2022春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中)在△ABC 中，AB =AC =2，cos A =34，将△ABC 绕BC 旋转至△BCD 的位置，使得AD =2，如图所示，则三棱锥D -ABC 外接球的体积为．2.(2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =25,BC =210,AC =213，D ，E ，F 分别为三边中点，将△BDE ,△ADF ,△CEF 分别沿DE ,EF ,DF 向上折起，使A ，B ，C 重合为点P ，则三棱锥P -DEF 的外接球表面积为()A.72π B.7143π C.14π D.56π3.(2023·江西·统考模拟预测)在三棱锥P -ABC 中，已知PA =BC =213,AC =BP =41,CP =AB =61，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为()A.77πB.64πC.108πD.72π4.(2022·全国·高三专题练习)已知四面体ABCD 的棱长满足AB =AC =BD =CD =2，BC =AD =1，现将四面体ABCD 放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD 可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为．题型三:垂面模型1(2023·高一单元测试)在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =6，BC =3，∠CAB =π6，则三棱锥P -ABC 的外接球半径为()A.3B.23C.32D.61.(2023·全国·高一专题练习)已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，△ABC 为等边三角形且边长为3，AD ⊥平面ABC ，AD =2，则球O 的表面积为()A.4πB.8πC.16πD.32π2.(2020春·天津宁河·高一校考期末)在三棱锥P -ABC 中，AP =2,AB =3,PA ⊥面ABC ，且在△ABC 中，C =60°，则该三棱锥外接球的表面积为()A.20π3B.8πC.10πD.12π3.(2023·全国·高一专题练习)已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，△ABC 为等边三角形且其面积为334，AD ⊥平面ABC ，AD =2，则球O 的表面积为()A.πB.2πC.4πD.8π4.(2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，BC =2，PC 与平面PAB 所成的角为30o ，则该四棱锥外接球的体积为()A.433π B.43πC.823πD.833π题型四:切瓜模型1(2023·贵州贵阳·校联考模拟预测)在三棱锥A -BCD 中，已知AC ⊥BC ,AC =BC =2,AD =BD =6，且平面ABD ⊥平面ABC ，则三棱锥A -BCD 的外接球表面积为()A.8πB.9πC.10πD.12π1.(2023·四川达州·统考二模)三棱锥A -BCD 的所有顶点都在球O 的表面上，平面ABD ⊥平面BCD ，AB =AD =6，AB ⊥AD ，∠BDC =2∠DBC =60°，则球O 的体积为()A.43πB.32π3C.49π3D.323π2.(2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB =BC =AA 1=4，点P 为B 1C 1的中点，则四面体PABC 的外接球的体积为()A..41416π B.41413π C.41412π D.4141π3.(2022·高一单元测试)四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，△PAD 是等边三角形，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，若AB =2，BC =3，则球O 的表面积为()A.12πB.16πC.20πD.32π4.(2021·高一课时练习)在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，∠DPA =π2，AD =23，AB =2，PA =PD ，则四棱锥P -ABCD 的外接球的体积为()A.163π B.323π C.643π D.16π5.(2023春·全国·高一专题练习)在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，AP=PD=10，平面PAD⊥平面ABCD，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为()A.4πB.8πC.136π9D.68π3题型五:斗笠模型1(2023·全国·高一专题练习)正四面体S-ABC内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为()A.64B.33C.263D.31.(2022·高一专题练习)已知正四棱锥P-ABCD(底面四边形ABCD是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为50 3，则此球的体积为()A.18πB.86πC.36πD.323π2.(2022·全国·高一专题练习)某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是()A.16B.8C.32D.243.(2022春·安徽·高三校联考阶段练习)在三棱锥P-ABC中，侧棱PA=PB=PC=10，∠BAC=π4，BC=22，则此三棱锥外接球的表面积为．题型六:矩形模型1(2022春·全国·高一期末)已知三棱锥A-BCD中，CD=22，BC=AC=BD=AD=2，则此几何体外接球的表面积为()A.2π3B.2π C.82π3D.8π1.(2022春·广东惠州·高一校考期中)在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体DABC，则该四面体外接球的体积为()A.1963π B.10003π C.4003π D.5003π2.(2022春·河北沧州·高一校考阶段练习)矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A-BCD的体积的最大时，则此四面体外接球的表面积值为()A.25πB.30πC.36πD.100π3.(2022春·四川成都·高一统考期末)在矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，将△ABC 沿对角线AC 折起，则三棱锥B -ACD 的外接球的表面积为()A.36πB.64πC.100πD.与二面角B -AC -D 的大小有关题型七:折叠模型1(2022春·陕西西安·高一长安一中校考期末)已知菱形ABCD 的边长为3，∠ABC =60°，沿对角线AC 折成一个四面体，使平面ACD 垂直平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的体积为()．A.5152π B.6πC.515πD.12π1.已知等边△ABC 的边长为2，将其沿边AB 旋转到如图所示的位置，且二面角C -AB -C 为60°，则三棱锥C -ABC 外接球的半径为2.(2023·广西南宁·统考二模)蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点A ,B ,C ,D 满足AB =BC =CD =DA =DB =433cm ，AC =23cm ，则该“鞠”的表面积为cm 2.3.(2022秋·福建泉州·高三校考开学考试)在三棱锥S -ABC 中，SA =SB =AC =BC =2,SC =1，二面角S -AB -C 的大小为60°，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为.4.(2022秋·山东德州·高二统考期中)已知在三棱锥中，S -ABC 中，BA ⊥BC ，BA =BC =2，SA =SC =22，二面角B -AC -S 的大小为5π6，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为()A.56π3B.58π3C.105π4D.124π9题型八:鳄鱼模型1(2022春·四川成都·高一树德中学校考期末)已知在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA =SC=22，二面角B-AC-S的大小为2π3，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为()A.124π9B.105π4C.105π9D.104π91.(2023春·全国·高一专题练习)如图，在三棱锥P-ABC，△PAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且CB=22，AB=AC=6，二面角P-AC-B的大小为120°，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为()A.5103π B.10π C.9π D.4+23π2.(2023·陕西榆林·统考三模)在三棱锥A-BCD中，AB⊥BC,BC⊥CD,CD=2AB=2BC= 4，二面角A-BC-D为60°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为()A.16πB.24πC.18πD.20π3.(2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习)如图1，四边形ABCD中，AB=AD =2，CB=CD=2，AB⊥AD，将△ABD沿BD翻折至△PBD，使二面角P-BD-C的正切值等于2，如图2，四面体PBCD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A.4πB.6πC.8πD.9π4.(2023·江西南昌·校联考模拟预测)在平面四边形ABCD中，AD=CD=3，∠ADC=∠ACB =90°，∠ABC=60°，现将△ADC沿着AC折起，得到三棱锥D-ABC，若二面角D-AC-B的平面角为135°，则三棱锥D-ABC的外接球表面积为.5.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)在三棱锥P-ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2，△PAC为正三角形，且二面角P-AC-B的平面角为π6，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为．。

【知识点分析】： 一、 球的性质回顾如右图所示：O 为球心，O’为球O 的一个小圆的圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。

求外接球半径的原理是：在Rt △OAO ’中，OA 2=OO ’2+O ’A 2二、 常见平面几何图形的外接圆半径（r ）的求法1、三角形：（1）等边三角形：等边三角形(正三角形)，五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。

内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点；中心：正多边形特有。

从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：a a r 332332=⋅=（其中a 为等边三角形的边长）（2）直角三角形：结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，r=2c 。

（3）等腰三角形： 结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。

由图可得：22)2()(a r h r +-=（4）非特殊三角形：非特殊三角形求解外接圆半径可使用正弦定理2sin sin sin a b c R C===A B 。

rrAD=h ，BD=12a B CO2、四边形常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内。

外接圆圆心是在圆心到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是球心到几何体各个顶点距离相同的点。

结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，(也即球心落在过底面外心的垂线上，)简单称之为：球心落在底面外心的正上方。

【相似题练习】2．半径为2的球的内接三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，则三棱锥的高为（）A．3B．C．2D．3【知识点分析】：类型一：直（正）棱柱:上下两底面三角形的外心连线与侧棱平行与底面垂直，从而球心O 必位于上下两底面外心连线的中点处，即121'AA OO =，从而R 可求.【相似题练习】1．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧棱AA 1垂直于底面ABC ，且AA 1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【知识点分析】：类型二：侧棱垂直底面的三棱锥，法一：补形法：该几何体可由正三棱柱沿平面PBC 切割得来，故可转化为原三棱柱的外接球；法二：先确定底面三角形ABC 的外心O’，从而球心位于O’的正上方，即OO’ ⊥平面ABC ，同时：OP=OA ，故，过O 作OM ⊥PA 于M ，此时M 必为PA 中点，从而四边形OMAO’为矩形，所以PA AM OO 21'==，在直角三角形OO’A 中有：222'OO r R +=.【相似题练习】2．已知在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，若PA ⊥底面ABC 且PA ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．28πC ．24πD ．20π3．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R ＝（ ）A ．B ．C ．D ．【知识点分析】：类型三：正三棱锥：由底面正三角形边长可得r ，在直角三角形OO’A 中，222'OO r R +=，故只需确定OO’的长度即可，结合图形，OO’=PO’-OP=H-R ，代入222)(R H r R -+=即可求解.【相似题练习】3．正三棱锥P ﹣ABC 侧棱长为，侧棱与底面ABC 所成的角为60°，则该正三棱锥外接球半径为 .2．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（ ）【知识点分析】：类型四：侧面垂直于底面的三棱锥：设△ABC和△PAB的外心分别为O’,O’’，则PM⊥AB，球心设为O，则OO’ ⊥平面ABC，OO’’⊥平面PAB，从而四边形OO’MO’’是矩形，可得：OO’=O’’M，在Rt△OO’C中用勾股定理求解.【讲透例题】1．在四面体A﹣BCD中，AB＝5，BC＝CD＝3，DB＝2，AC＝4，∠ACD＝60°，则该四面体的外接球的表面积为．解析：如图：取AB的中点O，在△ACD中，由余弦定理得：AD2＝AC2+CD2﹣2×AC×CD cos60°＝13，在△ABD中，∵AB2＝BD2+AD2，∴∠ADB＝90°，∴OA＝OB＝OD，在△ABC中，∵AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴O为四面体ABCD的外接球的球心，其半径R＝AB＝，∴S球＝4πR2＝4π（）2＝25π．故答案为：25π．【相似题练习】4.在三棱锥P-ABC中，面PAB⊥面ABC，三角形ABC和三角形PAB均为等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径.2．在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ACD，则所得三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为（）A．B．C．D．1．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．5、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为长方形，PA⊥底面ABCD，AD＝AP＝2，AB＝2，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）求四棱锥P﹣ABCD外接球的体积．1．如图，在正四棱锥P﹣AMDE，底面AMDE的边长为2，侧棱PA＝，B，C分别为AM，MD的中点．F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC，PM分别交于点G，H，K．（1）求证：AB∥FG；（2）求正四棱锥P﹣AMDE的外接球的表面积．1．如图，四凌锥P﹣ABCD而底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形∠APD＝90°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）在AD＝2，AB＝4，求三棱锥P﹣ABD的体积；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积．7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π课后作业：1．如图，一个正三棱柱的主视图是长为，宽为2的矩形，俯视图是边长为的正三角形，则它的外接球的表面积等于（）A．16πB．12πC．8πD．4π2．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（）A．πB．3πC．πD．π3．某四棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．3πB．C．6πD．12π4．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，AD＝2，AB＝2，PA＝PD，∠APD＝，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥PC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积．参考答案与解析12．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π【解答】解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则AO1＝AB sin60°，，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半径为：R＝＝4，球O的表面积：4×π×42＝64π．故选：A．1．1．一个几何的三视图如图所示，它们都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于（）A．B．C．πD．2π解析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，其中底面是一个两直角边都为1的直角三角形，PC⊥底面ABC，且PC＝1．将此三棱锥恢复为棱长为1的正方体，可知该正方体的外接球的直径即为正方体的对角线，∴V外接球＝＝．故选：B．1．半径为2的球的内接三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，则三棱锥的高为（）A．3B．C．2D．3【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，如图，过点p作PM⊥平面ABC的垂足为M，则球O的内接三棱锥P﹣ABC的球心O在PM所在直线上，∵球O的半径为2，∴OB＝OP＝2，∴由余弦定理得cos∠BPM＝＝∴∠BPM＝30°，∴在Rt△PMB中，∠PBM＝60°，∴PM＝PB sin∠PBM＝3．故选：D．1．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为2，高为4，由题意可得：三棱柱上下底面中心连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，表面积为：4πr2．球心到底面的距离为2，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：＝，所以球的半径为r＝＝．外接球的表面积为：4πr2＝π故选：D．2．已知在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，若PA⊥底面ABC且PA＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．32πB．28πC．24πD．20π【解答】解：由正弦定理可知，正△ABC的外接圆的直径为，∵PA⊥平面ABC，所以，该三棱锥的外接球的直径为，则．因此，该三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝20π．故选：D．3．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵AC＝3，AB＝4，∠BAC＝，∴由余弦定理可得BC＝，∴△ABC外接圆的半径r＝，设球心到平面ABC的距离为d，则d＝PA＝1．由勾股定理可得R ＝，故选：D ．3．正三棱锥P ﹣ABC 侧棱长为，侧棱与底面ABC 所成的角为60°，则该正三棱锥外接球半径为 1 ． 【解答】解：过点P 作PH ⊥平面ABC 于H ，则∵AH 是PA 在平面ABC 内的射影 ∴∠PAH 是直线PA 与底面ABC 所成的角，得∠PAH ＝60°， ∴Rt △PAH 中，AH ＝PA cos60°＝，PH ＝PA sin60°＝设三棱锥外接球的球心为O ，∵PA ＝PB ＝PC ，∴P 在平面ABC 内的射影H 是△ABC 的外心由此可得，外接球心O 必定在PH 上，连接OA 、OB 、OC ∵△POA 中，OP ＝OA ， ∴∠OAP ＝∠OPA ＝30°，可得PA ＝OA ＝，∴三棱锥外接球的半径R ＝OA ＝1故答案为：1．2．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．12πC ．9πD ．8π【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥体． 如图所示：所以该三棱锥体的外接球的球心为O ，外接球的半径为OA ＝r ，则：，解得．故S ＝．故选：C ．4.在三棱锥P-ABC 中，面PAB ⊥面ABC ，三角形ABC 和三角形PAB 均为等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径.由题可得：333,2331'''=====AB r PM M O OO ,所以215'22=+=OO r R2．在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ACD，则所得三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，；如图，由已知可得，△ABC与△ACD均为等边三角形，取AC中点G，连接BG，DG，则BG⊥AC，∴DG＝⇒cos∠GDA＝⇒∠GDA＝⇒∠ADC＝；∵二面角B﹣AC﹣D为直二面角，则BG⊥平面ACD，分别取△BCD与△ABD的外心E，F，过E，F分别作两面的垂线，相交于O，则O为三棱锥A﹣BCD的外接球的球心，由△BCA与△ACD均为等边三角形且边长为2，可得OE＝OF＝DG＝．∴DE＝DG﹣GE＝．∴OD＝＝＝．∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为4π×R2＝4π×（）2＝．故选：C．1．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为10π．【解答】解：因为O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，根据球的性质，球心一定在垂线l，∵球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，在△PBC中，由余弦定理得cos B＝，⇒sin B＝，由正弦定理得：，解得R＝，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为s＝4πR2＝10π，故答案为：10π．1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD＝AP＝2，AB＝2，E为棱PD 中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）求四棱锥P﹣ABCD外接球的体积．【解答】证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD，又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD＝AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB＝A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．解：（II）四棱锥P﹣ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O，由已知BD＝＝＝4，设C为BD中点，∴AM＝2，OM＝AP＝1，∴OA＝＝＝3，∴四棱锥P﹣ABCD外接球的体积是＝36π．1．如图，在正四棱锥P﹣AMDE，底面AMDE的边长为2，侧棱PA＝，B，C分别为AM，MD的中点．F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC，PM分别交于点G，H，K．（1）求证：AB∥FG；（2）求正四棱锥P﹣AMDE的外接球的表面积．【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE．又因为AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE,所以AB∥平面PDE．因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG．（2）解：连接AD，EM，相交于O′，易得AO′＝，PO′＝．由正四棱锥P﹣AMDE的对称性，得正四棱锥P﹣AMDE得外接球球心在线段PO′上，不妨设为O点．设OA＝OP＝R，则OO′＝﹣R，∵AO2＝AO′2+OO′2，∴R2＝2+（﹣R）2，∴R＝∴S＝4πR2＝，∴正四棱锥P﹣AMDE的外接球的表面积为．1．如图，四凌锥P﹣ABCD而底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形∠APD＝90°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）在AD＝2，AB＝4，求三棱锥P﹣ABD的体积；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积．【解答】解：（I）∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．（II）过P作PE⊥AD，垂足为E，∵△PAD是等腰直角三角形，∠APD＝90°，∴PE＝＝1．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，∴V棱锥P﹣ABD＝S△ABD•PE＝••2•4•1＝．（III）取BD中点M，过M作MN⊥平面ABCD，则球心O在直线MN上，连接AM，则AM＝＝．∵PE⊥平面ABCD，∴MN∥PE．∵四棱锥P﹣ABCD内接于球，，∴OA＝＝．∴S⊙O＝4πOA2＝20π．∴E为外心，∴OM＝1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，上底面PCD的外接圆的半径：O1D＝＝，几何体的外接球的半径为：OD＝＝，该四棱锥的外接球的表面积是：4＝π．故选：A．课后作业答案：1．如图，一个正三棱柱的主视图是长为，宽为2的矩形，俯视图是边长为的正三角形，则它的外接球的表面积等于（）A．16πB．12πC．8πD．4π【解答】解：设正三棱柱的外接球的半径为R，则∵俯视图是边长为的正三角形∴底面三角形外接圆的半径为＝1，∵正三棱柱的高为2∴正三棱柱的外接球的半径为＝∴正三棱柱的外接球的表面积等于4π×＝8π故选：C．2．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（）A．πB．3πC．πD．π【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长＝．∴此四面体的外接球的表面积为表面积＝＝3π．故选：B．3．某四棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．3πB．C．6πD．12π【解答】解：由题意可知，几何体的直观图如图：是四棱锥D1﹣ABCD，是棱长为1的正方体的一部分，外接球奇数正方体的外接球，取得直径是体对角线，r＝，外接球的表面积为：4＝3π．故选：A．4．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，AD＝2，AB＝2，PA＝PD，∠APD＝，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥PC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积．【解答】证明：（1）设AD的中点为E，则∵PA＝PD，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∵PA在平面ABCD内的射影为AE，AE⊥CD，∴PA⊥CD，∵PA⊥PD，CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD∴PA⊥PC；解：（2）连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F，取截面PEF，PE＝，EF＝1．假设OF＝x，则由OA2＝x2+4＝1+得x＝0，∴球的半径为2，∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积为＝．。

高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。

具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。

例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。

第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。

在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。

例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。

除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。

同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。

需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。

设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。

例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。

2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。

3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为。

高考数学专题突破：外接球模型模板一：即一、题型描述几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说成球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。

二、模法讲解以下这幅图，大家应该都能看明白吧！一个底面半径为，高为的圆柱，求它的外接球半径。

那么问题来了？这个式子怎么来的。

那么这个式子有何妙用？1、如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图所示：我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型。

在这里棱柱的高就是公式中h的，而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r（至于怎么求外接圆半径可以用正弦定理。

2、我们再继续进行，如果我把刚刚那个三棱柱上面的两点去掉，我将得到三棱锥，如图：这个三棱锥的特点是AA1⊥底面ABC，即有一根侧棱⊥底面的锥体，依然符合这个模型。

那条竖直棱AA1就是公式中的h，而底面ABC的外接圆半径是公式中的r。

3、题目还喜欢这么干：面PAD垂直面ABCD。

它非常符合圆柱外接球模型！我们知道，这里的r为PAD的外接圆半径，h为AB或者CD为的长。

接着看，当我对第二幅图中的三棱柱 ABC-A1B1C1只去掉C1这个点，会得到什么呢？没错！这就是刚刚那个四棱锥放倒了！它的特点是：底面A1B1AB⊥CAB侧面，出题的时候则不会这么仁慈，就会像上一幅图那样，有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥！圆柱外接球模型——适用于：①圆柱-------r,h自带②直棱柱-------r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高③一根侧棱⊥底面的锥体-------r:底面外接圆半径；h:垂直于底面的那条侧棱④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥-------r:垂直底面的侧面的外接圆半径；h:垂直于那个侧面的底边长那么接下来第二步就是找到，求出，而又怎么求呢？用正弦定理。

可以说正弦定理求外接圆半径这种方法咱们基本上就在高一学的时候提及过，根本就没用过它！告诉你，几乎整个高考也就此处求外接球题型可以用它来求求那个了。

立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何中的外接球和内切球是常见的题型，下面我将列举十个常见的题型并进行解答。

1. 求立方体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于立方体的对角线的一半，内切球的半径等于立方体的边长的一半。

2. 求正方体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于正方体的对角线的一半，内切球的半径等于正方体的边长的一半。

3. 求圆柱体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于圆柱体的底面半径，内切球的半径等于圆柱体的高的一半。

4. 求圆锥的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于圆锥的底面半径，内切球的半径等于圆锥的高的一半。

5. 求球的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于球的半径的根号3倍，内切球的半径等于球的半径的一半。

6. 求棱锥的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于棱锥的底面边长的一半，内切球的半径等于棱锥的高的一半。

7. 求棱柱的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于棱柱的底面边长的一半，内切球的半径等于棱柱的高的一半。

8. 求四面体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于四面体的外接圆的半径，内切球的半径等
于四面体的内切圆的半径。

9. 求正六面体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于正六面体的对角线的一半，内切球的半径等于正六面体的边长的一半。

10. 求正八面体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于正八面体的对角线的一半，内切球的半径等于正八面体的边长的一半。

以上是关于立体几何中外接球和内切球的十个常见题型及其解答。

希望能对你有所帮助。

立体几何中的外接球问题概 述①长方形的外接圆圆心为对角线的中点，222a b R +=(,a b 为长方形的长、宽）。

长方体的外接球球心为体对角线的中点，222(,,2a b c R a b c ++=为长方体的长、宽、高）。

②三角形的外接圆圆心是底边的中垂线的交点，外接圆半径可由，余弦定理求得2sin a r A=；等边三角形的外心是高的三等分点（靠底边）；直角三角形的外心是斜边中点。

③三棱锥或其它几何体，其外接球球心一定在过面的外心且与该面垂直的垂线上。

④过球心的截面截得的圆是大圆。

⑤勾股定理、正弦定理、余弦定理、射影定理、面积法、体积法等平面几何性质灵活应用。

1.圆柱、直棱柱、一侧棱垂直底面的棱锥设底面外接圆半径为r ，高为h ，则外接球半径224h R r =+'Rt OAO ∆。

2、圆锥、各侧棱都相等的棱锥（包括正三棱锥、正四棱锥）设底面外接圆半径为r ，高为H ，则外接球半径222H r R H +=，截面图中1Rt OAO ∆勾股定理解得。

()222222H r R H R r R H+=-+⇒=。

3、等腰四面体补成长、宽、高分别为,,x y z 的长方体，则2222222222222222x y b a b c x z c x y z z y a ⎧+=⎪+++=⇒++=⎨⎪+=⎩外接球半径222222222x y z a b c R ++++==。

注：（1）棱长为a 的正四面体外接球半径2226422a a a aR ++==； （2）从某顶点出发，三棱长为,,a b c 的直角三棱锥外接球半径2222a b c R ++=。

补体法：（1）正四面体；（2）等腰四面体；（3）直角三棱锥或其他。

4、有两个面互相垂直的三棱锥设两垂直面的交线长为l ，两垂直面的外接圆半径分别为12,r r 则外接球半径2222212124l R r d r r =+=+-。

cc b baa r 2O O 2O 1C A5、任意三棱锥已知两面外接圆半径分别为12,r r ，两面外心到交线的距离分别为12,d d ，两面的交线长为l ，已知或可求二面角α，2222111222,44l l O E d r O E d r ==-==-，221212122cos O O d d d d α=+-221212122cos sin sin d d d d O O OE ααα+-==，222222121222cos 4sin 4d d d d l l R OE αα+-=+=+。

外接球问题10种题型总结【题型目录】题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）题型三：圆柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）题型四：直棱柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（2222r P A R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，P A 为棱锥垂直于底面的棱）题型六：圆锥的外接球题型七：棱台圆台的外接球题型八：正棱锥的外接球题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【典型例题】题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）【例1】若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（）A ．π2B ．3π4C ．3πD ．12π【例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（）A．9π2B．C．9πD．27π【题型专练】1．长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（）A．9πB．18πC．36πD．48π2．已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_____________．题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）设长方体相邻的三条边棱长分别为a ，b ，c．图1墙角体图1鳖臑图3挖墙角体图4对角线相等的四面体图1侧面（侧棱）两两垂直，图2所有面均为直角三角形，（线面垂直+线线垂直）；图3俯视图是一矩形，AC 为虚线，主视图和左视图为直角三角形，图4若是长方体则为对棱相等的四面体，若是正方体则是正四面体（所有棱长均相等）图4中（长方体），2222222222222222222a b BC AD BC AB CD b c AC a b c R AC BD c a AB ααβγβγ⎧+===⎫⎪++⎪=⇒+==⇒++=⇒=⎬⎨⎪⎪=+==⎭⎩abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-．【例1】_______________．可得该正方体的外接球就是三棱锥设球半径为R ，可得正方体的对角线长等于球直径【例2】已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E F ，分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A B ．6πC ．24πD ．又1cos 2AD EAC PA x ∠==，∴2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，PA ∴，即三棱锥-P ABC 是以PA ，所以球O 的直径则球O 的体积333V R =π=π⨯【例3】表面积为）A ．B ．12πC ．8πD ．【例4】设,,,A B C D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0=⋅AD AC ，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC 、ACD 、ABD △的面积，则123S S S ++的最大值是______.【例5】我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且3PA =，2BC =，AC =则该四面体的外接球的表面积为__________．则长方体的外接球的半径为22229344R PA AC BC =++=++=故2R =所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为故答案为：16π【例6】如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠己作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点A ，B ，C ，D 满足AB CD ==，BD AC ==，5cm AD BC ==，则该“鞠”的表面积为____________.令此长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则有222222251320a b b c ca ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，即有22229a b c ++=，令该长方体的外接球的半径为R ，因此2222(2)29R a b c =++=，该“鞠”的表面积为2429S R ππ==.故答案为：29π【题型专练】1．四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，,,AB AC AD 两两垂直，且AB =2AC =，3AD =，则球O 的表面积为________.2．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，且543PA AB BC ===，，，则这个“阳马”的外接球表面积为（）A ．5πB ．200πC ．50πD ．100π【答案】C【分析】把四棱锥P ABCD -补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P ABCD -的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积．【详解】把四棱锥P ABCD -补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P ABCD -的外接球直径，设球半径为R ，则2222(2)50R PA AB BC =++=，球表面积为24π50πS R ==．故选：C ．3．正四面体S ABC -内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（）A ．4B ．3C 3D 【答案】C【分析】设正四面体的棱长为2a ，由正四面体几何性质得出a 与外接球半径R 的关系式，即可求比值M 4．在四面体ABCD 中，已知点E ，F 分别为棱AB ，CD 中点，且EF AB ⊥，EF CD ⊥，若2AB CD ==，2EF =，则该四面体外接球半径为__________．【答案】2【分析】根据四面体的对棱性质，结合长方体面对角线的性质，即可将四面体的外接球问题转化为长方体外接球问题，即可得半径.【详解】解：根据长方体的面对角线特点，则可构造长方体使得四面体ABCD 设长方体的长、宽、高分别为则2224b c AB +==，a EF ==的外接球半径为5．在半径为R 的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且直线,,AB AC AD 两两垂直，若,ABC ACD ADB △△，△的面积之和为6，则此球体积的最小值为______________．6．已知三棱锥A BCD -中，⊥AB 面902BCD BCD AB BC CD ∠==== ，，，则三棱锥的外接球的体积为___________.【详解】,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，7.四面体A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝5，AC BD ==AD BC ==A ﹣BCD 外接球的表面积为_____．题型三：圆柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）【例1】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【题型专练】1.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为___________.故答案为：328.题型四：直棱柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）【例1】设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且1,120AB AC AA BAC ∠=== ，则该直三棱柱的体积是（）A．B．3C ．D ．3【例2】在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，AC =BC =14AA =，则该直三棱柱的外接球的表面积为_________.___________．圆柱12O O 的底面圆直径为2r 柱12O O 外接球的球心，设球可作出正六棱柱ABCDEF A -可将正六棱柱1ABCDEF A B -连接11O A 、11O B ，则111A O B ∠=则圆1O 的半径为111r O A A B ==正六棱柱1111ABCDEF A B C D E -设正六棱柱111ABCDEF A B C D -π【题型专练】1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,90AB BC AA ABC ===∠=︒，则此直三棱柱的外接球的体积是___________.2．若三棱柱111ABCA B C ﹣的底面是以AB 为斜边的直角三角形，1AA ⊥平面ABC，AB =14AA =，则三棱锥1A ABC -的外接球的表面积为_____．3．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,6BB BC BAC π∠===，则该三棱柱外接球的体积为__________.4．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，2BC =，AB BC ⊥，则点1A 到平面11AB C 的距离为______；若三棱锥111A A B C -的顶点都在同一个球面上，则该球体积为______．【详解】由题意，点1A 到平面11AB C 的距离可以看作三棱锥由于直三棱柱111ABC A B C -，故AA 11111111332A B C AA S =�创创22111162AA A C ,AB ,B +==1111122332AB C d S d =⨯=⨯⨯⨯ 题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（2222r P A R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，P A 为棱锥垂直于底面的棱）【例1】已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，ABC AD ⊥平面ABC ，AD ＝2，则球O 的表面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【答案】D【分析】由正弦定理可得ABC 外接圆的半径，作图利用勾股定理可得四面体D ABC -的外接球的半径，即可求出球O 的表面积.【详解】ABC为等边三角形且其面积为1 2ABC的边长为3，设ABC外接圆的半径为由正弦定理可得322sin60r==，1r=平面ABC，AD＝2，1//O O AD，且取11= 2O O AD，【例2】已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，BC=PB＝PC＝3，PA⊥平面PBC，则三棱锥P－ABC 的外接球的表面积是（）A．40πB．43πC．45πD．48π故选：B.【例3】三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为直角三角形，AB BC ⊥，1AB BC ==，2PA =，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π则体对角线PC 所以2R PC ==故三棱锥-P ABC 故选：D 【题型专练】1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB DC ，AD AB ⊥，2DC =，1AD AB ==，直线PA 与平面ABCD 成45︒角.设四面体PBCD 外接球的圆心为O ，则球的体积为__________.66【分析】先证明出△PCD 和△PBC 均为直角三角形，得到O 点位置，可求得外接球的半径，可求其体积．∵直线PA 与平面ABCD 则∠PAD ＝45°，∴PD ＝又22PC CD PD =+=∴四面体PBCD 外接球的半径为2．在三棱锥A BCD -中，BD ⊥平面ADC ，2BD =，AB =AC BC ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________．AD 因为BD ⊥平面ADC ，AD ⊂所以BD AD ⊥，BD CD ⊥.因为2BD =，22AB =，所以因为2BD =，22BC =，所以在ADC △中，2AD =，CD =3．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，2AD =，3AB =，则该球的表面积为______.故答案为：16π4．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且3PA =，2BC =，AC =__________．则长方体的外接球的半径为22229344R PA AC BC =++=++=故2R =所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为故答案为：16π题型六：圆锥的外接球【例1】一个圆锥母线长为6，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______________．【答案】43π【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而由题意可得，22()h R r -+所以，34R 433V ππ==．故答案为：43π．【例2】已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为4R ，该圆柱的全面积为（）A ．22R πB ．294RπC ．283RπD ．252Rπ易知△~CAB CPO ，故可得故圆锥的内接圆柱的全面积为：故选：B .【题型专练】1.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π设球的半径为R，则3432 33 Rππ=所以，1BD=，3AD=，CD AB⊥，则CAD ACD∠+∠又因为ADC BDC∠=∠，所以，所以，AD CDCD BD=，CD AD∴=因此，这两个圆锥的体积之和为题型七：棱台圆台的外接球【例1】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π【例2】已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为100π，则此圆台的体积为（）A ．84πB ．86πC ．2593πD ．2623π【答案】C【分析】根据旋转体的特点得到圆台的外接球的球心为圆台轴截面外接圆的圆心，然后结合题意得到7AB =，5OC =，4AC =，利用勾股定理得到3BD =，最后利用圆台的体积公式求体积即可.【详解】如图为圆台及其外接球的轴截面，O 为外接球球心，A ，B 为等腰梯形的下底和上底的中点，所以7AB =，【题型专练】1．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知侧棱都相等的四棱锥P ABCD -底面为矩形，且3AB =，BC =2，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1的刍童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（）．A ．16πB ．18πC ．20πD ．25π【答案】C【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】如图1，设棱台为1111ABCD A B C D -，如图2，该棱台外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意121O O =，22AO =，111A O =，1OA OA R ==，当O 在12O O 下方时，设2OO h =，则在2AOO 中，有：224R h =+（1），在11A OO 中，有：()2211R h =++（2），联立（1）、（2）得1h =，25R =，所以刍童外接球的表面积为20π．同理，当O 在12O O 中间时，设1OO h =，则有221R h =+，()2214R h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述：当刍童外接球的表面积为20π．故选：C2．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124A B AB ==，12AA =，则该棱台外接球的半径为（）A ．B ．3C D ．设0,2OG m ⎡⎤=∈⎣⎦，则()222228m R m ⎧+=⎪⎨-+⎪⎩设2OGm =>，则()222228m R m R ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩所以10=R ,故选：C.[解法2]同解法1，求得12CG GG ==则1CNC 为等腰直角三角形，四边形CGG 3．正四棱台高为2，上下底边长分别为，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．【答案】80π【分析】画出图形，设出未知数，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积【详解】如图所示，AB AD BC ==O 为外接球球心，设外接球半径为故答案为：80π题型八：正棱锥的外接球【例1】已知底面为正三角形、侧棱都相等的三棱锥的体积为2，其各顶点都在同一球面上．则该球的表面积为__________________．【答案】9π【分析】如图设底面边长为a ，根据锥体体积公式求a ，设1O 为正三角形ABC 的中心，则1SO ⊥平面ABC ，正三棱锥S ABC -的外接球的球心O 在1SO 上，在1Rt O AO V 中利用勾股定理即可求出R 的值，从而得到球O 的表面积．【详解】由条件可得该三棱锥为正三棱锥，作出其图象，如图所示：设AB a =，则AC a =，CAB ∠=【例2】已知正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其内切球的体积为6，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.因为球O 与四棱锥相内切，所以由等体积法得：在PAD 中，22PA h =+，122PAD S =⨯⨯ 简得：2121h h +=-，解得，43h =，设正四棱锥外接球的半径为R ，外接球的球心为所以正四棱锥外接球的表面积为24π4πS R ==4289π【例3】点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为_____________．设BC a =，AH h =，OA R =根据题意可得133BCD S h ⨯=【题型专练】1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π2.正四面体S ABC -内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（）A4B 3C 3D 【答案】C【分析】设正四面体的棱长为2a ，由正四面体几何性质得出a 与外接球半径R 的关系式，即可求比值【详解】设正四面体的棱长为2a ，正四面体的外接球心为O ，ABC 的内心为M ，则SM ⊥平面ABC ，由AM ⊂平面ABC ，则SM AM ⊥，3．已知正四棱锥的侧棱长l为3，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，则该正四棱锥的体积是（）A．274B．814C．18D．27【答案】A【分析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可求解长度，进而由体积公式即可求解.【详解】如图，设正四棱锥的底面边长4.（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥B ．2781,44⎡⎤⎢⎥C ．2764,43⎡⎤⎢⎥D ．[18,27][方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为则2222l a h =+，2232(3a =+所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积13V Sh =题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【例1】已知空间四边形ABCD的各边长及对角线BD的长度均为6，平面ABD⊥平面CBD，则空间四边形ABCD外接球的表面积为______.由平面ABD⊥平面CBD故AE⊥平面CBD，AE的投影为△【例2】）矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将ABCD 矩形折起，使面BAC ⊥面DAC ，则四面体A BCD-的外接球的体积为（）A ．1256πB ．1259πC ．12512πD ．1253π矩形ABCD 中，因为43AB BC ==，，所以5DB AC ==，设DB 交AC 于O ，则O 是Rt ABC 和Rt V 所以O 到点,,,A B C D 的距离均为52，所以5【例3】已知在三棱锥中，S ABC -中，BA BC ⊥，2BA BC ==，SA SC ==B AC S --的大小为5π6，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（）A ．56π3B ．58π3C ．105π4D ．124π9【题型专练】1.在三棱锥A BCD -中，平面⊥ABC 平面BCD ，ABC 与BCD △都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.【详解】的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 是该三棱锥外接球的球心，连接,AM DM 分别在,AM DM 上，OF ⊥平面BCD ABC ⊥平面BCD ，AM BC ⊥，平面⊥平面BCD ，所以//AM OF ，同理可得2．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，AM PC ⊥，M 为垂足，则下列命题正确的是（）A ．三棱锥M ABC -的外接球的表面积为8π.B ．三棱锥M ABC -的外接球的体积为C ．三棱锥P MAB -的外接球的体积为D ．三棱锥P MAB -的外接球的表面积为16π【答案】AC【分析】根据给定条件，取AC 中点1O ，证明点1O 到点,,,M A B C 的距离相等，计算判断A ，B ；取PB ，PC 的中点D ，E ，证明DE ⊥平面PAB ，再确定三棱锥P MAB -的外接球球心位置，并计算半径作答.【详解】在三棱锥-P ABC 中，取AC 中点1O ，连接11,BO MO ，如图，于是得DE ⊥平面PAB ，而因此该球的球心O 在直线令OD d =，即有R OM =在Rt PAC △中，12PE PC =在OEM △中，cos OEM ∠题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【例1】半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为2，则下列说法错误的是（）A ．该二十四等边体的外接球的表面积为16πB ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E ，满足关系式2V F E +-=C ．直线AH 与PN 的夹角为60°D ．QH ⊥平面ABE 记正方体体心为O ，取下底面ABCD 易知112OO BO ==，则外接球半径所以外接球的表面积2=416S R π=由欧拉公式可知：顶点数+面数又因为PN ∥AD ，易知直线AH 直线AH 与PN 的夹角为60 ，故故选：D【例2】如图，已知正方体的棱长为1，1O ，2O 分别为正方体中上、下底面的中心，3O ，4O ，5O ，6O 分别为四个侧面的中心，由这六个中心构成一个八面体的顶点，则（）A ．直线13O O 与直线24O O 所成角为60︒B ．二面角1345O O O O --CD ．这个八面体外接球的体积为π6【答案】ACD 【分析】A.根据几何关系，将异面直线所成角，转化为相交直线所成角；B.构造二面角的平面角，再根据余弦定理求解，转化为正切值；C.根据几何体的特征，计算一个等边三角形的面积，再求八面体的表面积；D.由几何体确定外接球的球心和半径，再求外接球的体积.【详解】A.连结1235O O O O ，，交于点O ，由正方体的性质可知，点O 平分1235O O O O ，，所以四边形1325O O O O 是平行四边形，所以1325//O O O O ，所以直线13O O 与直线24O O 所成角为425O O O ∠,因为八面体的由8个全等的等边三角形构成，所以42560O O O ∠= ，故A 正确；B.取34O O 的中点M ，56O O 的中点由图可知，八面体的表面是所以134O M O O ⊥，MN O ⊥所以1O MN ∠是二面角1O O -2【例3】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（）A ．DE ⊥平面ABCB ．直线DE 与GH 所成的角为60°C ．该截角四面体的表面积为D ．该截角四面体的外接球半径为4选项B ，由题意//,//DE AJ GI 与GH 所成角为60 ，正确；选项C ，由题意，截角四面体由所以其表面积为23414S =⨯⨯选项D ，如下图所示，取上下底面的中心分别为故选：BCD【题型专练】1．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF 平面,4ABCD EF =，其余棱长都为2，则这个几何体的外接球的体积为（）A ．3B ．16π3C ．D ．32π3【答案】D【分析】由题意可知直线EF 在底面ABCD 上的射影即为,AD BC 的中点,N G 的连线所在直线,连接,AC BD 交于点M ，取EF 的中点O ，计算求得2OA OB OC OD OE OF ======，说明几何体的外接球的球心为O ，确定半径，根据球的体积公式即可求得答案.【详解】由题意在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF 平面,4ABCD EF =，其余棱长都为2，可知直线EF 在底面ABCD 上的射影即为,AD BC 的中点,N G 的连线所在直线,2NG =,连接,AC BD 交于点M ，则为,AC BD 的中点，取EF 的中点O ，四边形,ABFE CDEF 为全等的等腰梯形，则,OA OC OB OD ==，故,OM AC OM BD ⊥⊥,,,AC BD M AC BD =⊂ 平面ABCD ,由题意得，11()(42)21,2HF EF NG=-=-= 22312,HG FG HF OM HG∴=-=-=∴=222OA OM AM∴=+=，同理OB OC==2,OE OF OA OB OC OD OE==∴====2．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是（）A．勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是(8πB．勒洛四面体ABCD内切球的半径是4C．勒洛四面体的截面面积的最大值为2π-D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-对于B ，由对称性知,勒洛四面体正BCD △外接圆半径1O B ABCD 的外接球半径为R 在1Rt BOO 中,2263R ⎛= ⎝此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，由对()max 223Sπ=-截，故C正确；对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的面体ABCD能够容纳的最大球的半径为。

【答案】1:3
4.【2011高考真题新课标理，15】已知矩形 的顶点都在半径为4的球 的球面上，且 , ,则棱锥 的体积为
【答案】：
提示：利用球的截面性质
题型二构造正方体或长方体确定球心
结论：长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处，即体对角线是其外接球的直径，以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
例3.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的
等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
提示：构造正方体
针对性练习
1.【2010新课标高考真题文，7】设长方体的长、宽、高分别为 ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
10.若正方体外接球的体积是 ，则正方体的棱长等于
【答案】
题型三：三棱柱或能构造三棱柱的外接球问题（模型二）
该三棱柱只能是直三棱柱，上下面三角形的外心的连线的中点为球心，三棱柱实质为长方体的一部分，所以构造三棱柱的途径和构造长方体的相同。
以下是常见的、基本的几何体补成三棱柱的途径与方法．
途径1：若已知三棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成三棱柱．
途径2：若四个面都是直角三角形的三棱锥，则可将棱锥补成三棱柱．
例1.直三棱柱 的各个顶点都在同一球面上，若 ,
,则此球的表面积为。
【答案】
点评：球心一定在直三棱柱的中截面上。
例2.【2010辽宁高考真题文】已知 是球 表面上的点， ， ， ， ，则球 的表面积等于
A.4 B.3 C.2 D.
【答案】A
外接球的有关问题
解决问题的方法

高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)球的性质回顾：球心O和小圆O'的连线OO'垂直于圆O'所在平面。

外接球半径的求法是利用直角三角形的勾股定理，在Rt△OAO'中，OA^2=OO'^2+O'A^2.常见平面几何图形的外接圆半径（r）的求法：1.三角形：1) 等边三角形：内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。

外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：r=a*(2/3)^(1/2) （其中a为等边三角形的边长）。

2) 直角三角形：外接圆圆心位于斜边的中点处，r=斜边/2.3) 等腰三角形：外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。

r=a/(2sin(A/2)) （其中A为顶角）。

4) 非特殊三角形：可使用正弦定理求解，XXX)。

2.四边形：常见具有外接圆的四边形有正方形、矩形、等腰梯形。

其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形。

几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，即球心落在过底面外心的垂线上。

练：2.半径为2的球的内接三棱锥P-ABC，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC，则三棱锥的高为3.1.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1=4，则此三棱柱外接球的表面积为8π。

本文介绍了三棱锥的外接球的求解方法，其中包括侧棱垂直底面的三棱锥、正三棱锥和侧面垂直于底面的三棱锥三种类型。

对于侧棱垂直底面的三棱锥，可以采用补形法或通过确定底面三角形的外心来求解外接球的半径。

补形法是指将该几何体转化为原三棱柱的外接球，从而求出外接球的半径。

而通过确定底面三角形的外心，则可以通过勾股定理求解外接球的半径。

对于正三棱锥，可以通过底面正三角形的边长来求解内切球的半径，然后再利用勾股定理求解外接球的半径。

对于侧面垂直于底面的三棱锥，则需要确定△ABC和△PAB的外心分别为O’和O’’，并通过勾股定理求解OO’的长度，从而求解外接球的半径。

空间几何体的外接球专题（答案在题目后面）一、正方体、长方体的外接球（直径为正方体或长方体的对角线）八巩固练习A．该三棱台的体积是2134B．该三棱台的体积是21√218C．该三棱台外接球的表面积是24．已知直三棱柱ABC−AAC=3，AA1=√6，则球25．已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为则该球的体积为______．参考答案：设外接球的球心为O，半径为因为在正四棱锥S ABCD−所以BE=√2,SE=√SB由AB=BC=CD=AD=BD=√3则在Rt△BCF中，有BF=√(√3)2所以BE=23×32=1，故选：C．7．C【分析】先设底面边长为a，和底面外接圆的半径r，再由球的表面积求出球的半径，然后利用解.9．B【分析】由球的体积公式求得球的半径，圆的半径与面积，再根据直三棱柱的性质和平面几何知识可求得直三棱柱的高，积公式计算可得答案.所以由余弦定理可得：cos所以(4√3)2+22−62=(4√3)2+4故棱锥P−ABC的外接球的半径为故三棱锥P−ABC的外接球的体积为：故选：D.设P点在平面ABC内的投影的为在Rt△PDA中，因为PD2+AD2=PA设三棱锥P−ABC的外接球半径16．B【分析】连接AC，过A1作故外接球半径为√y2+4=√5cm，该模型的外接球的表面积为4π⋅(√5)2=20πcm.故选：A18．A【分析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积．【详解】如图，连接AC、BD、A′C′、B′D′，设AC∩BD＝M，A′C′∩B′D′＝N，连接MN．∵棱台ABCD−A′B′C′D′侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O，如图当球心在线段MN延长线上时，易得AC=√AB2+BC2=√4+12=4，MC＝2，A′C′=√A′B′2+B′C′2=√1+3=2，NC′=1，MN＝1，由OC=OC′得，NC′2+ON2=OM2+MC2，即1+(OM+MN)2=OM2+4⇒1+(OM+1)2=OM2+4⇒OM=1，故OC＝OC=√12+22=√5，∴外接球表面积为4π⋅(√5)2=20π．由OC=OC′得，NC′2+ON 1+(MN−OM)2=OM2故选：A【详解】ABC的重心为O1，△A1B1C1因为是正三棱台，所以重心O1,O2也为外心，为棱台的高，AA1与平面ABC所成的角为1=3，所以A1O2=3×√32×设NO=x，球的半径为R，在Rt△AON中，R2=x2+在Rt△DOM中，R2=(6−则R2=x2+36=(6−x)2设CD=x，即C′D=x，由题意得C′B=√10，在△C′BD中，由余弦定理得C′B2=C′D2+BD2即(√10)2=x2+(√2)2−2x⋅√2×(−√2)2【详解】由题意可得该三棱柱为长方体截去一半而成，故其外接球球心为长方体的体对角线的交点，如图所示，补全该长方体ABDC−1+9+6=16，r=2，π故答案为：323则OB =OB 1=R =5，因为上､下底面边长分别为3√2所以BE =4,B 1F =3，由勾股定理得OF =√OB 2−B同理可得OF =√OB 12−B 1F 2=此时该正四棱台的高为4−3=故答案为：1或727．49π故答案为：49π28．172π【分析】将三棱锥P−ABC√a2+b2+c2，代入即可求出球29．51π【详解】由正三棱柱的底面边长为6，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径又由三棱柱的高为3，则球心O1到圆O的球心距。

【知识点分析】： 一、 球的性质回顾如右图所示：O 为球心，O’为球O 的一个小圆的圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。

求外接球半径的原理是：在Rt △OAO ’中，OA 2=OO ’2+O ’A 2二、 常见平面几何图形的外接圆半径（r ）的求法1、三角形：（1）等边三角形：等边三角形(正三角形)，五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。

内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点；中心：正多边形特有。

从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：a a r 332332=⋅=（其中a 为等边三角形的边长）（2）直角三角形：结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，r=2c 。

（3）等腰三角形： 结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。

由图可得：22)2()(a r h r +-=（4）非特殊三角形：非特殊三角形求解外接圆半径可使用正弦定理2sin sin sin a b c R C===A B 。

rrAD=h ，BD=12a B CO2、四边形常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内。

外接圆圆心是在圆心到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是球心到几何体各个顶点距离相同的点。

结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，(也即球心落在过底面外心的垂线上，)简单称之为：球心落在底面外心的正上方。

【相似题练习】2．半径为2的球的内接三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，则三棱锥的高为（）A．3B．C．2D．3【知识点分析】：类型一：直（正）棱柱:上下两底面三角形的外心连线与侧棱平行与底面垂直，从而球心O 必位于上下两底面外心连线的中点处，即121'AA OO =，从而R 可求.【相似题练习】1．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧棱AA 1垂直于底面ABC ，且AA 1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【知识点分析】：类型二：侧棱垂直底面的三棱锥，法一：补形法：该几何体可由正三棱柱沿平面PBC 切割得来，故可转化为原三棱柱的外接球；法二：先确定底面三角形ABC 的外心O’，从而球心位于O’的正上方，即OO’ ⊥平面ABC ，同时：OP=OA ，故，过O 作OM ⊥PA 于M ，此时M 必为PA 中点，从而四边形OMAO’为矩形，所以PA AM OO 21'==，在直角三角形OO’A 中有：222'OO r R +=.【相似题练习】2．已知在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，若PA ⊥底面ABC 且PA ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．28πC ．24πD ．20π3．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R ＝（ ）A ．B ．C ．D ．【知识点分析】：类型三：正三棱锥：由底面正三角形边长可得r ，在直角三角形OO’A 中，222'OO r R +=，故只需确定OO’的长度即可，结合图形，OO’=PO’-OP=H-R ，代入222)(R H r R -+=即可求解.【相似题练习】3．正三棱锥P ﹣ABC 侧棱长为，侧棱与底面ABC 所成的角为60°，则该正三棱锥外接球半径为 .2．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（ ）【知识点分析】：类型四：侧面垂直于底面的三棱锥：设△ABC和△PAB的外心分别为O’,O’’，则PM⊥AB，球心设为O，则OO’ ⊥平面ABC，OO’’⊥平面PAB，从而四边形OO’MO’’是矩形，可得：OO’=O’’M，在Rt△OO’C中用勾股定理求解.【讲透例题】1．在四面体A﹣BCD中，AB＝5，BC＝CD＝3，DB＝2，AC＝4，∠ACD＝60°，则该四面体的外接球的表面积为．解析：如图：取AB的中点O，在△ACD中，由余弦定理得：AD2＝AC2+CD2﹣2×AC×CD cos60°＝13，在△ABD中，∵AB2＝BD2+AD2，∴∠ADB＝90°，∴OA＝OB＝OD，在△ABC中，∵AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴O为四面体ABCD的外接球的球心，其半径R＝AB＝，∴S球＝4πR2＝4π（）2＝25π．故答案为：25π．【相似题练习】4.在三棱锥P-ABC中，面PAB⊥面ABC，三角形ABC和三角形PAB均为等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径.2．在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ACD，则所得三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为（）A．B．C．D．1．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．5、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为长方形，PA⊥底面ABCD，AD＝AP＝2，AB＝2，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）求四棱锥P﹣ABCD外接球的体积．1．如图，在正四棱锥P﹣AMDE，底面AMDE的边长为2，侧棱PA＝，B，C分别为AM，MD的中点．F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC，PM分别交于点G，H，K．（1）求证：AB∥FG；（2）求正四棱锥P﹣AMDE的外接球的表面积．1．如图，四凌锥P﹣ABCD而底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形∠APD＝90°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）在AD＝2，AB＝4，求三棱锥P﹣ABD的体积；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积．7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π课后作业：1．如图，一个正三棱柱的主视图是长为，宽为2的矩形，俯视图是边长为的正三角形，则它的外接球的表面积等于（）A．16πB．12πC．8πD．4π2．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（）A．πB．3πC．πD．π3．某四棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．3πB．C．6πD．12π4．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，AD＝2，AB＝2，PA＝PD，∠APD＝，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥PC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积．参考答案与解析12．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π【解答】解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则AO1＝AB sin60°，，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半径为：R＝＝4，球O的表面积：4×π×42＝64π．故选：A．1．1．一个几何的三视图如图所示，它们都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于（）A．B．C．πD．2π解析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，其中底面是一个两直角边都为1的直角三角形，PC⊥底面ABC，且PC＝1．将此三棱锥恢复为棱长为1的正方体，可知该正方体的外接球的直径即为正方体的对角线，∴V外接球＝＝．故选：B．1．半径为2的球的内接三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，则三棱锥的高为（）A．3B．C．2D．3【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，如图，过点p作PM⊥平面ABC的垂足为M，则球O的内接三棱锥P﹣ABC的球心O在PM所在直线上，∵球O的半径为2，∴OB＝OP＝2，∴由余弦定理得cos∠BPM＝＝∴∠BPM＝30°，∴在Rt△PMB中，∠PBM＝60°，∴PM＝PB sin∠PBM＝3．故选：D．1．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为2，高为4，由题意可得：三棱柱上下底面中心连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，表面积为：4πr2．球心到底面的距离为2，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：＝，所以球的半径为r＝＝．外接球的表面积为：4πr2＝π故选：D．2．已知在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，若PA⊥底面ABC且PA＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．32πB．28πC．24πD．20π【解答】解：由正弦定理可知，正△ABC的外接圆的直径为，∵PA⊥平面ABC，所以，该三棱锥的外接球的直径为，则．因此，该三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝20π．故选：D．3．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵AC＝3，AB＝4，∠BAC＝，∴由余弦定理可得BC＝，∴△ABC外接圆的半径r＝，设球心到平面ABC的距离为d，则d＝PA＝1．由勾股定理可得R ＝，故选：D ．3．正三棱锥P ﹣ABC 侧棱长为，侧棱与底面ABC 所成的角为60°，则该正三棱锥外接球半径为 1 ． 【解答】解：过点P 作PH ⊥平面ABC 于H ，则∵AH 是PA 在平面ABC 内的射影 ∴∠PAH 是直线PA 与底面ABC 所成的角，得∠PAH ＝60°， ∴Rt △PAH 中，AH ＝PA cos60°＝，PH ＝PA sin60°＝设三棱锥外接球的球心为O ，∵PA ＝PB ＝PC ，∴P 在平面ABC 内的射影H 是△ABC 的外心由此可得，外接球心O 必定在PH 上，连接OA 、OB 、OC ∵△POA 中，OP ＝OA ， ∴∠OAP ＝∠OPA ＝30°，可得PA ＝OA ＝，∴三棱锥外接球的半径R ＝OA ＝1故答案为：1．2．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．12πC ．9πD ．8π【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥体． 如图所示：所以该三棱锥体的外接球的球心为O ，外接球的半径为OA ＝r ，则：，解得．故S ＝．故选：C ．4.在三棱锥P-ABC 中，面PAB ⊥面ABC ，三角形ABC 和三角形PAB 均为等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径.由题可得：333,2331'''=====AB r PM M O OO ,所以215'22=+=OO r R2．在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ACD，则所得三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，；如图，由已知可得，△ABC与△ACD均为等边三角形，取AC中点G，连接BG，DG，则BG⊥AC，∴DG＝⇒cos∠GDA＝⇒∠GDA＝⇒∠ADC＝；∵二面角B﹣AC﹣D为直二面角，则BG⊥平面ACD，分别取△BCD与△ABD的外心E，F，过E，F分别作两面的垂线，相交于O，则O为三棱锥A﹣BCD的外接球的球心，由△BCA与△ACD均为等边三角形且边长为2，可得OE＝OF＝DG＝．∴DE＝DG﹣GE＝．∴OD＝＝＝．∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为4π×R2＝4π×（）2＝．故选：C．1．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为10π．【解答】解：因为O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，根据球的性质，球心一定在垂线l，∵球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，在△PBC中，由余弦定理得cos B＝，⇒sin B＝，由正弦定理得：，解得R＝，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为s＝4πR2＝10π，故答案为：10π．1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD＝AP＝2，AB＝2，E为棱PD 中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）求四棱锥P﹣ABCD外接球的体积．【解答】证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD，又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD＝AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB＝A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．解：（II）四棱锥P﹣ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O，由已知BD＝＝＝4，设C为BD中点，∴AM＝2，OM＝AP＝1，∴OA＝＝＝3，∴四棱锥P﹣ABCD外接球的体积是＝36π．1．如图，在正四棱锥P﹣AMDE，底面AMDE的边长为2，侧棱PA＝，B，C分别为AM，MD的中点．F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC，PM分别交于点G，H，K．（1）求证：AB∥FG；（2）求正四棱锥P﹣AMDE的外接球的表面积．【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE．又因为AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE,所以AB∥平面PDE．因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG．（2）解：连接AD，EM，相交于O′，易得AO′＝，PO′＝．由正四棱锥P﹣AMDE的对称性，得正四棱锥P﹣AMDE得外接球球心在线段PO′上，不妨设为O点．设OA＝OP＝R，则OO′＝﹣R，∵AO2＝AO′2+OO′2，∴R2＝2+（﹣R）2，∴R＝∴S＝4πR2＝，∴正四棱锥P﹣AMDE的外接球的表面积为．1．如图，四凌锥P﹣ABCD而底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形∠APD＝90°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）在AD＝2，AB＝4，求三棱锥P﹣ABD的体积；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积．【解答】解：（I）∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．（II）过P作PE⊥AD，垂足为E，∵△PAD是等腰直角三角形，∠APD＝90°，∴PE＝＝1．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，∴V棱锥P﹣ABD＝S△ABD•PE＝••2•4•1＝．（III）取BD中点M，过M作MN⊥平面ABCD，则球心O在直线MN上，连接AM，则AM＝＝．∵PE⊥平面ABCD，∴MN∥PE．∵四棱锥P﹣ABCD内接于球，，∴OA＝＝．∴S⊙O＝4πOA2＝20π．∴E为外心，∴OM＝1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，上底面PCD的外接圆的半径：O1D＝＝，几何体的外接球的半径为：OD＝＝，该四棱锥的外接球的表面积是：4＝π．故选：A．课后作业答案：1．如图，一个正三棱柱的主视图是长为，宽为2的矩形，俯视图是边长为的正三角形，则它的外接球的表面积等于（）A．16πB．12πC．8πD．4π【解答】解：设正三棱柱的外接球的半径为R，则∵俯视图是边长为的正三角形∴底面三角形外接圆的半径为＝1，∵正三棱柱的高为2∴正三棱柱的外接球的半径为＝∴正三棱柱的外接球的表面积等于4π×＝8π故选：C．2．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（）A．πB．3πC．πD．π【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长＝．∴此四面体的外接球的表面积为表面积＝＝3π．故选：B．3．某四棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．3πB．C．6πD．12π【解答】解：由题意可知，几何体的直观图如图：是四棱锥D1﹣ABCD，是棱长为1的正方体的一部分，外接球奇数正方体的外接球，取得直径是体对角线，r＝，外接球的表面积为：4＝3π．故选：A．4．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，AD＝2，AB＝2，PA＝PD，∠APD＝，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥PC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积．【解答】证明：（1）设AD的中点为E，则∵PA＝PD，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∵PA在平面ABCD内的射影为AE，AE⊥CD，∴PA⊥CD，∵PA⊥PD，CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD∴PA⊥PC；解：（2）连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F，取截面PEF，PE＝，EF＝1．假设OF＝x，则由OA2＝x2+4＝1+得x＝0，∴球的半径为2，∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积为＝．。

空间几何体的外接球问题——小专题①补形为正方体、长方体的类型注：有一条侧棱垂直于底面、底面是直角三角形或矩形的棱椎都可补型为正方体或长方体.长方体的外接球的直径2R ＝ . 正方体的外接球的直径2R ＝ . 正四面体(边长a 2)也可补型为正方体(边长a ).②补形为直棱柱的类型：(圆柱型)注：有一条侧棱垂直于底面的棱椎都可补型为棱柱.如图：先将直棱柱放进圆柱中，用__________求出r ，再建立勾股定理_____________求出R.③正棱锥型：(圆锥型)如图：先将直棱锥放进圆锥中，用________求出r ，再建立勾股定理______________求出R.④双直角定直径：若同一条线段所对的两个不共面的角为直角，则这条线段为外接球的直径. ⑤其他型⑥三棱锥的内切球半径r ＝ .1．棱长为22的正四面体的顶点在同一球面上，则该球面的表面积为 A ．12π B ．3π C ．8π D ．4π 2．已知三棱锥1A ACD -中，侧棱1AA ⊥底面ACD ，AD CD ⊥，12AA AD CD ===，则三棱锥1A ACD -的外接球的体积为______.1．棱长为22 A ．12π B ．323π C ．8π D ．4π 【详解】如图，将正四面体补成正方体， 设正方体的棱长为a ， 222(22),2a a a +∴=. 正方体的对角线23则球的半径3R∴球的表面积为3=12π⨯，2．已知三棱锥1A ACD -中，侧棱1AA ⊥底面ACD ，AD CD ⊥，12AA AD CD ===，则三棱锥1A ACD -的外接球的体积为______. 【详解】如图所示，三棱锥1A ACD -可补形为 一个边长为2的正方体，则三棱锥1A ACD -的外接球的半径为222122232R =++= 故三棱锥1A ACD -的外接球的体积为3344ππ343π33V R ==⨯=.3．在四棱锥P ABCD -中，侧棱PD ⊥面ABCD ，若长方形ABCD 中，3AB =，4=AD ，25PC =球的体积为______.4．直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点在球O 的球面上.若3AB =，4AC =.AB AC ⊥，112AA =，则球O 的表面积为（ ）A ．1694πB ．169πC ．288πD ．676π3．在四棱锥P ABCD -中，侧棱PD ⊥面ABCD ，若长方形ABCD 中，3AB =，4=AD ，25PC =球的体积为______.【详解】将四棱锥补成如图所示的长方体， ∴2220911PD PC CD -- 该外接球的半径2R PB =22212PD AB AD ++11191632++， ∴该外接球的体积334433633VR πππ==⨯⨯=，4．直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点在球O 的球面上.若3AB =，4AC =.AB AC ⊥，112AA =，则球O 的表面积为（ ）A ．1694πB ．169πC ．288πD ．676π 【详解】解：将直三棱柱补形为长方体1111ABEC A B E C -，所以体对角线1BC 的长为球O 的直径.因此球O 的外接圆直径为2222341213R ++， 故球O 的表面积24169R ππ=.5．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，1AB =，3BC 12AA =其外接球的体积为_________. 6．在三棱锥S ABC -中，2AB =，2BC =，22AC =2SB =SB ⊥面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球半径为_______，三棱锥S ABC -的内切球半径为______.5．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，1AB =，3BC 12AA =其外接球的体积为_________.【详解】 解：因为1AA ⊥平面ABC ，所以三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，90ABC ∠=︒，1AB =，3BC =12AA =，所以12BB =，则三棱柱的外接球即为以AB ，BC ，1BB 为一组邻边的长方体的外接球，设外接球的半径为R ，则()2222221212322R AB BC BB ++++=所以2R=34823V R π==，6．在三棱锥S ABC -中，2AB =，2BC=，22AC =2SB =SB ⊥面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球半径为_______，三棱锥S ABC -的内切球半径为______.【详解】∵222AB BC AC +=,∴AB BC ⊥，又∵SB ⊥面ABC ， ∴可以将三棱锥S ABC -放置在如图所示的长方体中，外接球的直径即为长方体的对角线. 设外接球的半径为R ，则()222222210R ++10R = 设内切球的球心为O ，半径为r ，则由S ABC O SAB O SAC O SBC O ABC V V V V V -----=+++得()42222r =解得42r -7．三棱椎S -ABC 的底面ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，且2SA SC AC ===3SB =S -ABC 外接球表面积为A ．2πB ．3π D ．6π 8．在三棱锥S ABC -中，5,17,SA BC SB AC ===，10SC AB == ）A ．20πB ．25πC ．26πD ．34π7．三棱椎S -ABC 的底面ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，且2SA SC AC ===3SB =S -ABC 外接球表面积为A ．2πB ．3π D ．6π 【详解】由题意知，可以把三棱锥S -ABC 按如图所示的位置放到棱长为1的 正方体中，则正方体的体对角线长为3l ∴三棱椎S -ABC 外接球表面积为234π(3π=.8．在三棱锥S ABC -中，5,17,SA BC SB AC ===10SC AB == ）A ．20πB ．25πC ．26πD ．34π【详解】 因为5,17,10SA BC SB AC SC AB ======所以可以将 三棱锥S ABC -如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a ，b ，c ，则有22222217,25,10,a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩整理得22226a b c ++=，则该棱锥外接球的半径26R =S 球2426R ππ==．空间几何体的外接球问题——圆柱型1．直三棱柱ABC －111A B C 的六个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，122AA ＝O 的表面积为________． 2．已知三棱锥S ABC -中，SC⊥平面ABC ，若2,120SC AB AC BAC ︒===∠=，则其外接球O 的表面积为A ．20πB 205πC ．16πD ．272π【详解】由已知，以AB ，BC ，1BB 为长，宽、高作长方体，该长方体的外 接球经过直三棱柱ABC －111A B C 的六个顶点． ∵长方体的外接球直径2222221222(22)4R AB BC BB =++=++=，∴R ＝2，由此可得球的表面积2416.S R ππ＝＝ 故答案为16π【详解】在ABC 中，由余弦定理得2222cos 144222()122BC AB CA AB CA BAC=+-∠=+-⨯⨯⨯-= 解得23BC=，设ABC 的外接圆的半径为r ，则2324r ==，解得2r ，设外接球的半径为R ，由题得1CD =，所以222215R =+=．所以4520S ππ=⋅=球．3．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB=，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至 点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为_____.4．如图，在等腰三角形ABC 中，已知3AB AC ==，2BC =.将它沿BC 边上的高AD 翻折，使B 点与C 点的距离为1，则四面体ABCD 的外接球的表面积为______.【详解】因为BC ⊥平面PAB ，将三棱锥P ABC -补形为如图所示的 直三棱柱，ABP △为等边三角形，3AB =1r =．又122h BC ==，故在Rt OBE 中，222OB OE EB =+=， 此即为外接球半径，从而外接球表面积为248S OB ππ=⨯=．【详解】由已知可得，翻折后1BCBD CD ===， 即BCD 为等边三角形，其外接圆半径为222131332r DE ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， 又AD DC ⊥，AD ，易得AD ⊥平面BCD ，222AD AC CD =-=，2223125236AD R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此25104463S R πππ==⨯=.5．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD ⊥平面ABC ，6AD =，23AB =，则该球的表面积为______．6．在四面体ABCD 中，若1AD DC AC CB ====， 则当四面体ABCD 的体积最大时， 其外接球的表面积为______.【详解】由题意，设ABC 外接圆的半径为r ，120BAC ∠=︒，23AB AC ==，6BC ∴=，6243sin120r ==︒，23r =故()2222()233212AD R r =+=+=， 该球的表面积为2484S R ππ==．【详解】因为1AD DC AC ===，所以底面ACD 面积为定值，因此当CB ⊥平面ACD 时，四面体ABCD 的体积最大.设ACD △外接圆半径为r ， 12sin 603r ==︒，3r =因此外接球的半径R 满足222137()()212R =+=,外接球的表面积为2743R ππ=空间几何体的问题——圆锥型1．已知扇形的面积为56π，圆心角为63π，则由该扇形围成的 圆锥的外接球的表面积为_________． 2．正四棱锥V CD -AB 的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4， 侧棱长为26，则此球的表面积为（ ）A ．18πB ．36πC ．72πD ．9π【详解】设扇形的长为l ，半径为R ，则22111656222S lR R R παπ===⨯=，解得30R =， 扇形弧长l 为锥底面周长2r π， ∴底面的半径5r=，∴圆锥的高为225R r -=．设外接球的半径为1R ，∴()222115(5)R R =-+，解得，13R =∴该外接球的表面积为21436R ππ=，【详解】试题分析：正方形CD AB 的对角线的交点M ，则球心在直线VM 上．122AM AC == 222484VM VA AM --，设球的半径为r ,则有()222r AM VM r =+-,即()2284r r =+-,解得3r =.∴此球的表面积为2436r ππ=．3．已知三棱锥M ABC -四个顶点均在表面积为32π的球面上，22AB BC ==4AC =，则三棱锥M ABC -体积的最大值A ．82 B ．442+ C 882+ D 1624．已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，3AB BC ==3AC =，若三棱锥D ABC -33O 的表面积为 A ．36π B ．16π C ．12π D ．163π【详解】设小圆的圆心为Q ，当MQ 与面ABC 垂直时， 三棱锥M ABC -的体积最大， 设球心为O ，半径为R ，2432R ππ=，得22R=O 到平面ABC ()222222-=，所以三棱锥MABC -体积的最大值为(188242223+⨯⨯+=【详解】 试题分析：设的外接圆的半径为，，，，，，三棱锥的体积的最大值为，到平面的最大距离为，设球的半径为，则，，球的表面积为，故选B ．空间几何体的外接球问题——双直角定直径1．将长､宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到 四面体ABCD ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_____． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，将ABC ∆沿AC 折起到'ABD ∆的位置，得到图2 中的三棱锥'D ABC -，其中平面ABC ⊥平面'ACD ，则三棱锥'D ABC -的 体积为_______, 其外接球的表面积为_______,3．如图所示，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，6AD CD = AC BC ⊥，o 60B ∠=，现将 ACD △沿AC 边折起，并连接BD ，当三棱 锥D ABC -的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π4．已知三棱锥P -ABC 中，AC =BC =22AB ，且 90=∠APB ，则三棱锥 P -ABC 的体积与三棱锥P -ABC 的外接球的体积之比的最大值为_______．空间几何体的外接球问题——其他型1．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为237PA PB =A ．16πB ．654π C ．6516πD ．494π【详解】 如图所示，取AB 中点D ，三角形的中心E 在CD 上，过点E 作平面ABC 垂线.在垂线上取一点O 为球心，因为PD AB ⊥，平面PAB ⊥平面,ABCPD ∴⊥平面ABC ，则//OE PD ，22,13CE CD DE CD CE ===-=，222PDPB BD ，设球的半径为r ,则有24OE r -作OG PD ⊥于G ，则OEDG 为矩形，222()PD DG OG PO -+=，即(2222241r r-+=,解得26516r=，故表面积为26544S r ππ==，故选B .外接球的表面积为（ ）A ．60πB ．40πC ．100πD ．80π【详解】如图，取BD 的中点设H ，PAHPBH ∴≅△△，， PH AH ∴⊥，又PH BD ⊥，AH BD H =，PH ∴⊥平面ABCD ，且6PH =.则外接球的半径R 满足()2222211146R OO OO O H =+=-+，设1OO x =，则()221664x x +=-+，解得2x =，从而222420R x =+=，故三棱锥P BCD -外接球的表面积为2480R ππ=.故选：D.。

解：要使函数存在2个零点，需使ìíîïïïïf (1)=1-a +b ≥0，f (2)=4-2a +b ≥0，Δ≥0，1≤a 2≤2，绘制如图3所示的可行域（可行域为箭头所指的曲边三角形）.对z =(x -a )2+(y -b )2变形，可得z +94=a 2+æèöøb -322，则将问题转化为求点(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）距离的平方的最值.从图3中可以看出点(0,32)到直线1-a +b =0的距离即为(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）的最小距离，利用点到直线的距离公式d =||Ax 0+By 0+C A 2+B 2，得d =522.则≥522，解得z ≥78.所以a 2+b 2-3b 取值范围为éëöø78，+∞.对于目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2型的目标函数，我们可以依据(x -a )2+(y -b )2的几何意义，把问题转化为求可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )距离的平方的最值，从而求出z 的范围.综上所述，利用线性规划模型解答含参二次函数问题有如下几个步骤:1.根据题意建立不等式组，将其视为线性约束条件;2.将所求目标设为目标函数，将其变形为直线的截距式、两点的距离;3.画出可行域；4.在可行域内寻找使得直线的纵截距、动点到定点的距离取最值的点；5.将最值点的坐标代入求得问题的答案.同学们在解题的过程中要注意根据题意建立线性规划模型，利用线性规划模型来提升解答含参二次函数问题的效率.（作者单位：宁夏育才中学）空间几何体的外接球问题是高考试卷中的重要题型，主要考查球空间几何体的性质、面积公式、体积公式.此类问题的难度系数较大，要求同学们具备较强的空间想象能力和逻辑思维能力.本文介绍几种常见空间几何体的外接球问题的题型及其解法，以帮助同学们破解此类问题.类型一：三条棱两两互相垂直的三棱锥的外接球问题该类型的三棱锥具有明显的特征：三条棱两两互相垂直.我们可以抓住该特征，将其看作长方体、正方体的一部分，构造出一个完整的长方体、正方体.将三条棱看作长方体、正方体的三条边，于是三棱锥的外接球的直径等于长方体、正方体的对角线.求出三棱锥的外接球的半径、直径，空间几何体的外接球问题便可顺利获解.类型二：一条侧棱垂直于一个底面的三棱锥的外接球问题我们可将该三棱锥看作直棱柱的一部分，将其补成一个直棱柱，再将其补成一个圆柱，如图1、2、3、4所示，那么三棱锥的外接球即为圆柱的外接球.直棱柱的上、下底面为三角形，且三角形的外接圆的直径为a sin A =b sin B =c sin C =2r ，上下底面的距离为OO 1=12PA(此时PA 垂直与底面)，则有①(2R )2=PA 2+(2r )2，即2R =PA 2+(2r )2；②R 2=r 2+OO 12，即R =r 2+OO 12，这样便建立了PA 与三棱锥的外接球之间的关系，进方法集锦图341图5图6例2.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O 球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA ，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为_____．解：如图7，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴O为SC的中点，∵SA=AC，SB=BC，∴AO SC，BO⊥SC，平面SCA∩平面SCB=SC的表面积为S=4πR=4π×3图7该三棱锥的两个平面相互垂直，根据已知条件证明AO⊥然后构造三角形，找出三棱锥的外接球半径与三棱锥的棱之间的关系，通过解三角形求得三根据球的表面积公式求得球由两个直角三角形构成的三棱锥的外接解答该类型问题的关键是抓住特征：.我们可以通过解直角三角形求得三图8由两个全等三角形或等腰三角形构成的三棱锥的外接球问题在求解该类型外接球问题时，我们要灵活运用全等三角形或等腰三角形的性质，关注中点为全等三角形或等腰三角形，和ΔA ′BD 的外心H 1和图9例3.三棱锥P -ABC △PAC 和△ABC 均为边长为棱锥外接球的半径.解：如图10，设O 1，O 2由题意可知O 2H =13由勾股定理可得R 2=8图11类型七：直棱柱、圆柱的外接球问题直棱柱、圆柱的外接球问题较为简单，球的球心为高线的中点，如图12所示，所以我们很容=1=1.再设小圆图12图13例4.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为______．解：设球半径为R ，上，下底面中心为M ，N ，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O ，，得R =OA =3，由勾股定理可知，OM =1，。

第1讲长方体模型一、解题技巧归纳总结1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3．补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体-P A B C 可以补形为正方体且正方体的棱长=a ，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等．．．．．．，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4二、典型例题例1.）A ．π83B ．π2C ．π4D ．π43例2.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为2cm ．例3.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为．例4.已知三棱锥P A B C -的顶点都在同一个球面上（球)O ，且2P A =，P B P C ==当三棱锥P A B C -的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O 的体积的比值是．三、玩转练习1．张衡(78年~139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 的最小值为31-，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为()A ．30B ．1010C ．1210D ．362．棱长为2的正方体的外接球的体积为()A ．8B ．8πC ．43πD ．823π3．已知正方体的外接球的体积为323π，则该正方体的表面积为()A ．433B ．163C ．643D ．324．已知正方体的外接球的体积是323π，则这个正方体的体积是()A ．6427B 6439C ．649D 643275．已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为()A ．116πB ．106πC ．56πD ．53π6．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的外接球的表面积为()A ．8πB ．82πC ．16πD ．2π7．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，12AA =，则该长方体的外接球的表面积为()A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π8．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积12V =，2AB =，若四面体11A B CD -的外接球的表面积为S ，则S 的最小值为()A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π9．若正方体的外接球的体积为43π，则此正方体的棱长为．10．若某正方体的表面积为6，则该正方体的外接球的体积为．11．已知正方体的外接球的体积为43π，则该正方体的体积为．12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为，则此正方体的外接球的体积为．13．将一个长宽分别a ，(0)b a b <<的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ba的取值范围为．14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，其中AB a =，AD b =，1AA c =外接球球心为点O ，外接球体积为323π，若2214a b +的最小值为94，则A ，C 两点的球面距离为．15．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为．第2讲正四面体模型一、解题技巧归纳总结1．正四面体如图，设正四面体A B C D 的的棱长为a ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R =⋅=，即正四面体外接球半径为R =.二、典型例题例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）．A．22B．32C．2D．3例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为.三、玩转练习1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为()A．64B．34C．1D．332．棱长为a的正四面体的外接球和内切球的体积比是()A．9:1B．4:1C．27:1D．8:13．如图所示，在正四面体A BCD-中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是()A6πB．6πC．3632D．3 2π4．表面积为83()A．43πB．12πC．8πD．46π5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为()A．6πB．8πC．6πD．11π6．2的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的圆心距为22，则两圆的公共弦长是()A．34B．34C．1D．127．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+14，则该正四面体的外接球表面积是()A．12πB．32πC．8πD．24π8．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是()A．24πB．18πC．12πD．6π9．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是()A．4πB．6πC．12πD．24π10．如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，G为BCD∆的重心，M是线段AG的中点，则三棱锥M BCD-的外接球的表面积为()A．πB．32πC．64D6811．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P、Q，若线段PQ长度463，则这个四面体的棱长为．12．已知正四面体ABCD的棱长为1，M为棱CD的中点，则二面角M AB D--的余弦值为；平面MAB 截此正四面体的外接球所得截面的面积为．13．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是．14．一个正四面体的展开图是边长为22的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为．15．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+14，则该正四面体的外接球的体积是．第3讲对棱相等模型一、解题技巧归纳总结1．对棱相等模型四面体A B C D 中，A B C D m ==，A C B D n ==，A D B C t ==，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.如图，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222222222b c m a c n a b t ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩，三式相加可得222a b c ++=222,2m n t ++而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224a b c R +=+，所以2228m n t R ++=.二、典型例题例1．三棱锥A B C D -中，已知5A B C D ==，6A D B C ==7A C B D ==，那么该三棱锥外接球的表面积为()A ．6πB ．7πC ．9πD ．12π例2．如图所示三棱锥A B C D -，其中5A B C D ==，6A C B D ==，7A D B C ==，则该三棱锥外接球的表面积为．三、玩转练习1．四面体P ABC -的一组对棱分别相等，且长度依次为25，13，5，则该四面体的外接球的表面积为()A ．294πB ．28πC ．29296πD ．29π2．在四面体ABCD 中，三组对棱棱长分别相等且依次为34，41，5则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为()A ．52B ．5C ．522D ．43．如图，在三棱锥P ABC -中，3PA BC ==，2PB AC ==，5PC AB ==，则三棱锥P ABC -外接球的体积为()A 2πB 3πC ．6πD ．6π4．在三棱锥PABC 中，4PA BC ==，5PB AC ==，11PC AB ==，则三棱锥PABC 的外接球的表面积为()A ．26πB ．12πC ．8πD ．24π5．在四面体ABCD 34,41,5，则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为．6．已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，3AD BC ==，若三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π．则AC =．7．已知四面体A BCD -中三组对棱分别相等，且长分别为257A BCD -的外接球的半径为．8．已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，即1AB CD ==，AD BC AC BD ====，则三棱锥A BCD -的外接球表面积是．9．在四面体ABCD 中，三组对棱两两相等，分别为，则该四面体外接球的表面积为．10．在四面体P ABC -中，3PA BC ==，2PB AC ==，PC AB ==，则该四面体外接球的体积为．11．三棱锥P ABC -，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，则它的外接球的表面积为．12．在三棱锥P ABC -中，若5PA PB BC AC ====，PC AB ==，则其的外接球的表面积为．13．在三棱锥P ABC -中，4PA BC ==，5PB AC ==，PC AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为．第4讲直棱柱模型一、解题技巧归纳总结1．直棱柱模型：如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心O 的位置，1O 是A B C ∆的外心，则1O O ⊥平面A B C ；第二步：算出小圆1O 的半径1A O r =，111122O O A A h ==（1A A h =也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211O A O A O O =+⇒222()2h R r =+⇒R =，解出R 二、典型例题例1.正三棱柱-111A B C A B C 内接于半径为2的球，若A ，B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为．例2.直三棱柱-111A B C A B C 的各顶点都在同一球面上，若===12A B A C A A ，∠=︒120B A C ，则此球的表面积等于．例3.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为.三、玩转练习1．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120︒的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为()A ．20πB 2053C ．25πD ．255π2．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，6AB =，8BC =，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为()A ．624B ．576C ．672D ．7203．在直三棱柱111ABC A B C -中．侧棱长为23，3AB BC CA ===()A ．1B 3C ．2D ．44．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为13，此三棱柱的高为23，则该三棱柱的外接球的体积为()A ．83πB ．163πC ．323πD ．643π5．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，3AB =120ACB ∠=︒，14AA =，则该三棱柱外接球的表面积为()A ．1623πB ．642πC ．32πD ．8π6．在直三棱柱111ABC A B C -中，2CA CB ==，90ACB ∠=︒，11CC =，则该三棱柱外接球的体积()A ．12πB ．4πC ．92πD ．8π7．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为()A ．4πB ．8πC ．12πD ．323π8．某直三棱柱的侧棱长等于2，底面为等腰直角三角形且腰长为1，则该直三棱柱的外接球的表面积是()A ．πB ．2πC ．4πD ．6π9．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，二面角11A BD C --的大小为3π，则该正四棱柱外接球的表面积为()A ．12πB ．14πC ．16πD ．18π10．正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧面是正方形，若底面的边长为a ，则该正六棱柱的外接球的表面积是()A ．24a πB ．25a πC ．28a πD ．210a π11．正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧面是正方形，若底面的边长为1，则该正六棱柱的外接球的表面积是()A ．4πB ．5πC ．8πD ．10π12．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为()A ．20πB ．25πC ．100πD ．200π13．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为()A ．13πB ．12πC ．11πD ．10π14．一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，则它的外接球的体积为()A ．5003πB ．500πC ．40003πD ．4000π15．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是．16．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为13此三棱柱的高为23，则该三棱柱的外接球的体积为．17．在直三棱柱111ABC A B C -中，3BC =，120BAC ∠=︒，12AA =，则此三棱柱外接球的表面积为．18．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，11AC CC ==，则AB =19．在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为，在底面ABC ∆中，60,C AB =︒=，则此直三棱柱的外接球的表面积为．20．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB =，AC =，12BB =，则该三棱柱的外接球表面积为．21．在直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒且3AB AC ==，14BB =，则此三棱柱外接球的表面积为．22．在直三棱柱111ABC A B C -中，4BC =，90BAC ∠=︒，12AA =，则此三棱柱外接球的表面积为．23．已知直三棱柱111ABC A B C -的高为，BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为；24．已知直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，侧面11BCC B 的面积为16，则直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径的最小值为．25．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，则正四棱柱的外接球的表面积为．26．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为．27．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =12AA =，设四棱柱的外接球的球心为O ，动点P 在正方形ABCD 的边长，射线OP 交球O 的表面点M ，现点P 从点A 出发，沿着A B C D A →→→→运动一次，则点M 经过的路径长为．28．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD CD =，24AB BC ==，四边形ABCD 的外接圆的圆心在线段AC 上．若四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为．29．已知六棱柱A BCD 1EF A -111B C D 11E F 的底面是正六边形，侧棱与底面垂直，若该六棱柱的侧面积为48，底面积为，则该六棱柱外接球的表面积等于．30．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为．31．正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则它的外接球的表面积为．32．已知矩形A BCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．33．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为．34．已知正六棱柱的高为8，侧面积为144，则它的外接球的表面积为．第5讲直棱锥模型一、解题技巧归纳总结1．直棱锥模型（一条直线垂直于一个平面）如图，P A ⊥平面A B C ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将A B C ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径A D ，连接P D ，则P D 必过球心O ；第二步：1O 为A B C ∆的外心，所以1O O ⊥平面A B C ，算出小圆1O 的半径1O D r =(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2si n si n si n a b c r A B C ===)，112O O P A =；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222(2)(2)R P A r =+⇔2R =；②2221R r O O =+⇔221R r O O =+.二、典型例题例1.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M A B C D -为阳马，侧棱M A ⊥底面A B C D ，且2M A B C A B ===，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为．例2.已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，⊥P A 平面A B C D ，四边形A B C D 是边长为23正方形．若=26P A ，则∆O A B 的面积为．例3.已知球O 面上的四点,,,,A B C D D A ⊥平面,,3A B C A B B C D A A B B C ⊥===，则球O 的体积等于.三、玩转练习1．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，BC ⊥平面PAB ，若1AB BC ==，2PA =，则此三棱锥的外接球的表面积为()A ．24πB ．8πC ．6πD ．83π2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥P ABCD -为阳马，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4AD =，二面角P BC A --为60︒，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为()A ．16πB ．20πC ．643πD ．32π3．在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4SA =，底面ABC ∆是边长为3的正三角形，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为()A ．19πB ．28πC ．43πD ．76π4．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且2PA =，ABC ∆3表面积为()A ．43πB ．4πC ．8πD ．20π5．三棱锥P ABC -中，AB BC ==6AC =，PC ⊥平面ABC ，2PC =，则该三棱锥的外接球表面积为()A ．253πB ．252πC ．833πD ．832π6．在三棱锥S ABC -中，侧棱SC ⊥平面ABC ，SA BC ⊥，1SC =，2AC =，3BC =，则此三棱锥的外接球的表面积为()A ．14πB ．12πC ．10πD ．8π7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60,2BAC AB AC PA ∠=︒===，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为()A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π8．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥，1AC =，2BC =，2PA =，则该三棱锥外接球的表面积为()A ．9πB ．36πC ．92πD ．94π9．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，2AC =，1AB =，设D 为BC 中点，且直线PD与平面ABC ，则该三棱锥外接球的表面积为．10．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120ABC ∠=︒，4PA =．若三棱锥P ABC -外接球的半径为PC 与平面ABC 所成角的正切值为．11．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为4π．记点M 的轨迹长度为α，则tan α=；当三棱锥P ABM-的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为．12．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4SA AB ==，6BC =，AC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为．13．已知四面体P ABC -中，4PA PB ==，2PC =，AC =PB ⊥平面PAC ，则四面体P ABC -外接球的表面积为．14．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，1cos 3ACB ∠=，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为52π，则三棱锥P ABC -体积的最大值为．15．已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB AC PA ===，且在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为．16．矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别是AB ，DC 的中点，则四棱锥P EBCF -的外接球表面积为17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA =，3AB AC ==，又3cos 5BAC ∠=-，则该三棱锥外接球的表面积为．18．中国古代数学经典<<九章算术>>中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bi ēnào )．若三棱锥P ABC -为鳖臑，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，又该鳖臑的外接球的表面积为24π，则该鳖臑的体积为．19．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AC ==1AB =，60ABC ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为．20．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，PA ⊥平面ABCD ，4PA =，AB =，1AD =，则该“阳马”外接球的表面积为．第6讲侧棱相等模型一、解题技巧归纳总结1．侧棱相等模型：如图，P 的射影是A B C ∆的外心⇔三棱锥P A B C -的三条侧棱相等⇔三棱锥P A B C -的底面A B C ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取A B C ∆的外心1O ，则1,,P O O 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径1A O r =，再算出棱锥的高1P O h =(也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：22211O A O A O O =+⇒222()R h R r =-+，解出222r h R h+=.2．正棱锥外接球半径：222r h R h+=.二、典型例题例1.已知四棱锥的-P A B C D 和的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为（）A .π18B .π323C .π36D .π48例2.体积为的正三棱锥-A B C D 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且=:2:3R B C ，点E 为B D 的中点，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是.例3.在三棱锥-P A B C 中，=P A P B ====4P C A C A B ，且⊥A C A B ，则该三棱锥外接球的表面积为________.例4.在三棱锥P A B C -中，P A P B P C ===，侧棱P A 与底面A B C 所成的角为60︒，则该三棱锥外接球的体积为（）A .πB .3πC .4πD .43π例5.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥-P A B C D E F ，则此正六棱锥的侧面积是．三、玩转练习1．在三棱锥P ABC -中，2PA PB PC ===，且PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为()A ．B ．C ．D ．2．在三棱锥P ABC -中，6PA PB PC ===，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则该三棱锥外接球的表面积为()A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π3．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===2AC AB ==，且AC AB ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为()A ．4πB ．8πC ．16πD ．9π4．在三棱锥P ABCD -中，PA PB PC ===，4AC AB ==，且AC AB ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为()A ．4πB ．36πC ．48πD ．24π5．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===1AB AC ==，BC =则该三棱锥外接球的体积为()A ．43πB ．823C ．D ．323π6．正三棱锥P ABC -中，5PA =，23AB =，则该三棱锥外接球的体积为()A ．5003πB ．100πC ．25πD ．1256π7．已知体积为3的正三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，若满足0OA OB OC ++=，则此三棱锥外接球的半径是()A ．2B ．2C ．32D ．348．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为()A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π9．如图，在三棱锥S ABC -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN AM ⊥，若22AB =，则此正三棱锥外接球的体积是()A ．12πB ．43πC ．433πD ．123π10．已知正四棱锥P ABCD -中，2PA =，且所有的棱长相等，则该四棱锥的外接球的表面积为()A ．16πB ．12πC ．10πD ．8π11．已知正四棱锥O ABCD -中，底面边长为2，侧棱长为3，则该四棱锥外接球的表面积为()A ．92πB ．9πC ．4πD ．π12．如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为()A ．5B ．5225πC ．16925πD ．338125π13．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为()A ．163πB ．323πC ．16πD ．32π142，则其外接球的表面积为()A ．16πB ．36πC ．48πD ．64π15．已知ABC ∆是等腰直角三角形，斜边2AB =，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA PB PC ==，120APB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为．16．在ABC ∆中，8AB =，6BC =，10AC =，P 为ABC ∆外一点，满足PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的外接球的半径为．17．如图，在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且2tan 2APO ∠=，则四面体P ABC -的外接球的体积为．18．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===，8AB =，6AC =．顶点P 在平面ABC 内的射影为H ，若AH AB AC λμ=+且21μλ+=，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为．19．．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===，4AC AB ==，且AC AB ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为．20．三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆的等边三角形，PA PB PC ==，PB ⊥平面PAC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为．21．在三棱锥P ABC -中，2PA PB PC ===，AB =BC =2APC π∠=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为．22．在三棱锥P ABC -中，已知PA BC ⊥，PB AC ⊥，24PA PB PC AB ====，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为．23．如图所示，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，且PA PB PC PD ====，AB =，则四棱锥P ABCD -外接球的体积为．24．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为．25．已知三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2等边三角形，侧棱与底面所成夹角的余弦，则该三棱锥外接球的表面积为．26．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 内的射影为点H ，侧棱PA PB PC ==，点O 为三棱锥P ABC -的外接球O 的球心，8AB =，6AC =，已知AO AB AC λμ=++，且1λμ+=，则球O 的表面积为．27．已知ABC ∆是等腰直角三角形，斜边3AB =，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA PB PC ==，120APB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的半径为；该球体积为．28．在正三棱锥S ABC -中，侧棱SC ⊥侧面SAB ，侧棱SC =则此正三棱锥的外接球的表面积为．29．在六棱锥P ABCDEF -的正六边形，2PA =且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于．30．已知正六棱锥S ABCDEF -，3AB =，5SA =，则该六棱锥的外接球的表面积为．第7讲侧棱为外接球直径模型一、解题技巧归纳总结方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形.二、典型例题例1．已知三棱锥-S A B C 的所有顶点都在球O 的表面上，∆A B C 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且=2SC ，则此三棱锥的体积为()A ．14B ．24C ．26D ．212例2．已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，3BC =，22PB =，5PC =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为．例3．三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆、BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是．三、玩转练习1．在三棱锥ABCD 中，BC CD ⊥，Rt BCD ∆斜边上的高为1，三棱锥ABCD 的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥ABCD 体积的最大值为()A ．13B ．23C ．1D ．432．已知三棱锥S ABC -外接球的直径6SC =，且3AB BC CA ===，则三棱锥S ABC -的体积为()A ．324B ．924C ．322D ．9223．已知三棱锥S ABC -的四个顶点均在某个球面上，SC 为该球的直径，ABC ∆是边长为4的等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为()A ．683πB ．163πC ．643πD ．803π4．已知三棱锥S ABC -的体积为12，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，若SC 是其外接球的直径，则球的表面积为()A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π5．三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是()A ．6B ．12C ．4D ．126．已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为()A ．13B ．23C ．1D ．27．三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径2AD =，且ABC ∆，BCD ∆都是等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是()A ．13B ．24C ．23D ．128．已知三棱锥P ABC -的外接球O ，PC 为球O 的直径，且2PC =，PA PB ==，1AB =，那么顶点P到平面ABC 的距离为()A B C D 9．已知三棱锥S ABC -外接球的直径6SC =，且3AB BC CA ===，则三棱锥S ABC -的体积为．10．在三棱锥A BCD -中，底面为Rt △，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为．11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，ABC ∆是边长为4的等边三角形，三棱锥P ABC -的体积为163，则该三棱锥的外接球的表面积．12．已知三棱锥S ABC -的四个顶点均在某个球面上，SC 为该球的直径，ABC ∆是边长为4的等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为83，则此三棱锥的外接球的表面积为．第8讲共斜边拼接模型一、解题技巧归纳总结1．共斜边拼接模型如图，在四面体A B C D 中，⊥A B A D ，⊥C B C D ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,B D 为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点O 为公共斜边B D 的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，===O A O C O B O D ，即点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等,故点O 就是四面体A B C D 外接球的球心,公共的斜边B D 就是外接球的一条直径.二、典型例题例1.在矩形A B C D 中，==4,3A B B C ，沿A C 将矩形A B C D 折成一个直二面角--B A C D ，则四面体A B C D 的外接球的体积为（）A .π12512B .π1259C .π1256D .π1253例2.三棱锥-P A B C 中，平面⊥P A C 平面A B C ，=2A C ，⊥P A P C ,⊥A B B C ，则三棱锥-P A B C 的外接球的半径为三、玩转练习1．在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，4AB =，2AD CD ==，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥D ABC -，当二面角D AC B --是直二面角时，三棱锥D ABC -的外接球的表面积为()A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π2．将边长为的正方形ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角B AC D --．则四面体ABCD 的外接球的体积为()A ．12πB ．23πC ．πD ．43π3．在平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，22421AB BD +=，将此平行四边形沿BD 折成直二面角，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为()A ．2πB ．πC ．2πD ．4π4．在平行四边形ABCD 中，满足2AB AD AB = ，2224AB BD =- ，若将其沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为()A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π5．如图，在平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，AB AD ⊥，BD CD ⊥．将该四边形沿对角线BD 折成一个直二面角A BD C --，则四面体ABCD 的外接球的体积为()A ．23πB ．32πC ．2πD ．3π6．矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为()A ．5003πB ．1003πC ．100πD ．400π7．如图，在平行四边形ABCD 中，222||||40AB BD +-=，90ABD ∠=︒，沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积是()A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，220,4|2|1AB BD AB BD ⋅=+=且，沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积是()A ．224B ．148πC ．4πD ．2π9．平行四边形ABCD 中，0AB BD =，沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD C -，且222||||4AB BD += ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为()A ．2πB ．4πC ．4πD ．2π10．在平行四边形ABCD 中，0AB BD =，且22240AB BD +-= ，沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积是()A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π11．在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为()A ．12512πB ．1259πC ．1256πD ．1253π12．在平行四边形ABCD 中，0AC CB =，22240BC AC +-= ，若将其沿AC 折成直二面角D AC B --，则三棱锥D ACB -的外接球的表面积为()A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π13．如图，二面角l αβ--满足半平面αβ⊥，半平面α内有一点A （不在l 上），半平面β内有一点C （不在l 上），A ，C 在直线l 的射影分别为B ，(D B ，D 不重合），1AB CD ==，BD =则三棱锥A BCD -外接球的表面积为．14．已知等边三角形ABC 的边长为8，D 为BC 边的中点，沿AD 将ABC ∆折成直二面角B AD C --，则三棱锥A DCB -的外接球的表面积为15．如图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为3cm ．16．在矩形ABCD 中，已知4AB =，3BC =，将该矩形沿对角线AC 折成直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为．17．将长宽分别为3和4的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，得到四面体A BCD -，则四面体A BCD -的外接球的表面积为18ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为．19．在平行四边形ABCD 中，220,2||||6AB BD AB BD =+= ，若将ABD ∆沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为．第9讲最值模型一、解题技巧归纳总结这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等二、典型例题例1.已知A ，B 是球O 的球面上两点，90A O B ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O A B C -体积的最大值为36，则球O 的表面积为()A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π例2.已知三棱锥O A B C -的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，120A O B ∠=︒，当A O C ∆与B O C ∆的面积之和最大时，三棱锥O A B C -的体积为()A ．32B ．233C ．23D ．13例3.体积为183的正三棱锥-A B C D 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且=:2:3R B C ，点E 为B D 的中点，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是.例4.已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则三棱柱的体积的最大值为．例5.已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．三、玩转练习1．如图，四边形ABCD 的面积为22，且90ABD BDC ∠=∠=︒，把BCD ∆绕BD 旋转，使点C 运动到P ，此时向量BA 与向量DP的夹角为90︒．则四面体ABDP 外接球表面积的最小值为()。

空间几何体外接球问题7种题型总结
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一、空间几何体外接球问题整体总结
空间几何体外接球问题是典型的几何形体在三维空间运动的概
念测试，其考查的内容主要有以下几种：
1、计算特定几何体外接球的半径：可以根据给定的几何体的表面积和体积来计算出它的外接球的半径；
2、定义外接球：通过给出几何体的表面积或体积来定义几何体的外接球；
3、求任意两个外接球的重叠面积：计算出两个球体的表面积和体积，利用这些参数来求出两个外接球的重叠面积；
4、求几何体到某点的最近距离：在给定的几何体的某点的情况下，根据外接球的半径来计算出该点到外接球的最近距离；
5、求几何体的体积：根据给定的外接球的半径和体积，计算出几何体的体积；
6、求两个外接球的重叠体积：根据两个外接球的表面积和体积，来计算出它们重叠的体积；
7、求几何体到某球体的最近距离：通过给定的几何体和某个球体，可以根据它们的外接球的半径来求出它们之间的最近距离。

二、总结
空间几何体外接球问题可以用来考查考生对几何形体的运动、距离和体积的理解程度，考生需要熟练掌握外接球的定义、半径的计算、
重叠面积和体积的求解以及几何体到某点和某球体最近距离的求解
等基本方法。

通过练习这些方法，考生可以提高解题的速度和准确度，从而帮助考生在备考考试的过程中更好的掌握考试知识。

外接球题型总结一、外接球是啥呀。

外接球呢，就像是给一个立体图形包上一个刚刚好能包住它的球。

这个球可神奇啦，它就像是这个立体图形的一个超级保护罩，不过这个保护罩是和立体图形有着特殊关系的。

比如说正方体，它的外接球就是能把这个正方体完完全全装在里面的最小的球。

想象一下，就像把一个小盒子放在一个刚好合适的大泡泡里面。

二、正方体的外接球。

正方体的外接球是比较常见的题型哦。

正方体的棱长和外接球的半径是有固定关系的。

我们可以把正方体的体对角线想象成外接球的直径。

你看啊，正方体的棱长设为a，那它的体对角线就是根号3倍的a。

而这个体对角线就是外接球的直径2R（这里的R就是外接球的半径啦）。

所以呢，R就等于二分之根号3倍的a。

这种关系一定要记清楚哦，在做很多关于正方体和它外接球的题目时，只要一想到这个关系，就像找到了打开宝藏的钥匙。

三、长方体的外接球。

长方体和正方体有点像，但又有点不一样。

长方体的外接球也是以它的体对角线为直径的。

设长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那它的体对角线就是根号下（a²+ b²+ c²），这个也就是外接球的直径2R啦。

所以R就等于二分之一根号下（a²+ b²+ c²）。

有时候做长方体外接球的题，题目会给你长、宽、高的一些关系，或者是表面积、体积之类的，然后让你求外接球的半径。

这个时候呢，你就得先根据已知条件把长、宽、高之间的关系搞清楚，再套这个公式。

四、直三棱柱的外接球。

直三棱柱的外接球就有点小复杂了。

我们要先找到直三棱柱底面三角形的外接圆半径r。

这就可能会用到正弦定理之类的知识啦。

比如说对于一个三角形，它的三条边是a、b、c，对应的角是A、B、C，那根据正弦定理，a比上sinA等于b比上sinB 等于c比上sinC等于2r（这个2r就是底面三角形外接圆的直径哦）。

然后呢，我们再根据直三棱柱的高h，利用勾股定理来求出外接球的半径R。

多面体与外接球的三种题型题型一（直接找直径）1、在三棱锥S-ABC 中，SA=AC=，SB=，BC=1，则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是 。

2、若三棱锥S-ABC 的所有顶点都在同一个球O 的球面上，SA 面ABC ，SA=，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，求球O 的体积。

题型二（作轴截面构造Rt △）1、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且SC=2，求此棱锥的体积。

2、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为 。

23 323题型三（补形法）1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为2、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图是腰长为4的两个全等直角三角形，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 。

3、已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的一点，SA 面ABC ，AB BC ，SA=AB=1，BC=，则球O 的表面积等于 。

4、四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截的线段长为，则该球的表面积为3⊥⊥2225、在三棱锥S -ABC 中，SA=BC=2，SB=AC=3，SC=AB=，则该三棱锥外接球的体积是 。

题型四（割补法）1、如图所示的四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD 底面ABCD ，且PD=a ，PA=PA=a ，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是 。

2、已知正四面体的外接球的半径为1，则此正四面体的体积为 。

3、已知三棱锥D -ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=4，BC=3，AB BC ，AD=12，且DA 平面ABC ，则三棱锥A -BOD 的体积是 。