专项训练1 常见立体图形的分类

立体图形专题练习邦众教育一、选择题1、有一个长方体，他有一组相对的面是正方形，其余四个面的面积（）A、不一定相等 B 一定相等 C 一定不相等2、要做一个底面周长是18厘米，高是3厘米的长方体框架，至少要铁丝（）厘米。

A、54B、84C、48D、963、一个长方体有4个面的面积相等，其余两个面是( )A、长方形B、正方形C、不能确定4、一个长方体的棱长之和是180厘米，相交于一个顶点的三条棱长的长度和是（）A、45厘米B、30厘米C、90厘米5、一个长方体的底面积是3平方米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（）A、18平方米B、48平方米C、54平方米6、一个圆柱的侧面展开以后正好是一个正方形，那么圆柱的高等于它的底面（）A、半径B、直径C、周长D、面积7、一个圆柱纸筒，它的高是3.14分米，底面半径是1分米，这个纸筒的侧面展开图是（）A、长方形B、正方形C、圆形D、以上都不是8、两个正方体拼成一个长方体，其表面积与原来两个正方体表面积之和相比是（）A、增加了B、减少了C、不变D、无法确定9、一个长方体的盒子，从里面量，长8分米，宽5分米、高4分米，如果把棱长2分米的正方体木块放到这个盒子里，最多能放（）个。

A、16B、20C、2410、如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（）倍。

A 2 B、4 C、6 D、811、一个正方体橡皮泥塑造成一个长方体，它们的（）A、体积和表面积相等B、体积相等，表面积不相等B、体积不相等，表面积相等 D、体积和表面积都不相等12、一个正方体油桶的底面积是9平方分米，它的表面积是（）平方分米A、81B、18C、5413、一个棱长4分米的正方体木块削成一个最大的圆柱体，体积是（）立方分米。

A、50.24B、100.48C、6414、用一个高36厘米的圆锥形容器盛满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是( )厘米。

生活中的立体图形基础经典全析题型1立体图形的识别【题型典例1】如图1—1—10下列各几何体中，直棱柱的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2思路导引：直棱柱由上、下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是长方形．抓住直棱柱侧面为长方形进行选择．题型2常见几何体的分类【题型典例2】如图1—1—11将下列几何体分类，(1)柱体有：_________，锥体有_______（填序号）;(2)与众不同的一个你认为是_____,因为____________;(3)自己制定一个标准，将下列图形分类，说明你的分类标准．思路导引：（1）根据柱体有两个底面，锥体一个底面来区分；（2）可以从围成几何体的面数和曲、平来考虑；（3）不唯一，如有无曲面等标准．解：（1）柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：1、2、3；锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有5、6；（2）球属于单独的一类；（3）分类标准是有无曲面，因此1、3、6是一类，是有平面围成，2、4、5是一类，是有至少一个曲面参与围成．方法：几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，也常按组成它们的面是否有曲面来划分，还可以按有没有顶点来划分．题型3对棱柱的基本要素的判断1—1—10 1—1—11【题型典例3】 如图1—1—12是一个直七棱柱，它的底面边长都是2cm ，侧棱长是5cm ，观察这个棱柱，请回答下列问题：（1）这个七棱柱共有多少个面？它们的形状分别是什么形状？哪些面的形状、面积完全相同？侧面的面积和是多少？（2）这个七棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？（3）这个七棱柱一共有多少个顶点？解：（1）这个七棱柱共有9个面，上下两个面是七边形，侧面是长方形，上下两个面的形状相同，面积相等，七个侧面的形状相同，面积相等． 要求侧面的面积和只需求出1个侧面长方形的面积，再乘以7即可．2×5×7=70(cm 2)．(2）这个七棱柱一共有21条棱，它们的侧棱长都是5cm ，其余棱长都是2cm ．(3)这个七棱柱一共有14个顶点．点拨：通过对本节内容的学习，我们一定要养成善于观察、通过求解分析寻找规律的良好习惯，只有这样，才能把所学知识融会贯通.题型4关于点、线、面、体的认识【题型典例4】（1）笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，形成了 ，这表明了 现象；（2）时钟秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了_______________，一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明了___________________.思路导引：根据点、线、面之间的形成关系来解答点动成线，线动成面，面动成体.解：（1）线，点动成线；（2）线动成面，面动成体.方法：点动成线，线动成面，面动成体.综合创新探究题型5利用点、线、面、体之间的关系探索图形的旋转问题【题型典例5】圆柱是由长方形绕着它的一边旋转一周所得到的，如图1—1—13下列四个平面图形绕着直线旋转一周可以得到左图的是（ ） 1—1—12思路导引：由于左图是由两个圆柱组合而成，根据“圆柱是由长方形绕着它的一边旋转一周所得到的”这一规律，即可作出正确判断．解：解：根据选项中图形的特点，A．可以通过旋转得到两个圆柱；故本选项正确；B．可以通过旋转得到一个圆柱，一个圆筒；故本选项错误；C．可以通过旋转得到一个圆柱，两个圆筒；故本选项错误；D．可以通过旋转得到三个圆柱；故本选项错误故选A．方法：点动成线，线动成面，面动成体．解答此类题目一要理解长方形、三角形、半圆等常见平面图形旋转所形成的几何体特征，二要熟练将几何体或平面图形分解成熟悉的几何图形．题型6 求几何体的体积【题型典例6】一直棱柱，其中两底面为正方形，其面积和为32；四个侧面均为长方形，其面积和为80．求此直棱柱的体积．思路导引：根据直棱柱的底面积求出直棱柱的底面边长，再根据侧面相同与面积和求出高从而计算面积．解：直棱柱的底面积为32÷2=16，所以底面边长是4，又因为四个侧面为相同的长方形，且面积和为80，所以每个侧面面积是20，所以高位5，所以体积是16×464．方法：棱柱、圆柱的体积公式都是底面积乘以高．题型7 棱柱的顶点数、面数和棱数之间的关系【题型典例7】如图1—1—14，左面的几何体叫三棱柱，它有五个面，9条棱，6个顶点，中间和右边的几何体分别是四棱柱和五棱柱．A B C D1—1—13（1）四棱柱有______个顶点，_______条棱，______个面；（2）五棱柱有________个顶点，______条棱，_______个面；（3）你能由此猜出，六棱柱、七棱柱各有几个顶点，几条棱，几个面吗？（4）n 棱柱有几个顶点，几条棱，几个面吗？思路导引：结合已知三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，可知n 棱柱一定有（n+2）个面，2n 个顶点和3n 条棱．解：（1）四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面；（2）五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面；（3）六棱柱有12个顶点，18条棱，8个面；七棱柱有14个顶点，21条棱，9个面；（4）n 棱柱有（n+2）个面，2n 个顶点和3n 条棱．方法：常见棱柱的顶点数、面数和棱数之间的熟练关系，可以总结一般规律：n 棱柱有（n+2）个面，2n 个顶点和3n 条棱．备战中考考点1探索图形的旋转问题中考典例1将如图1—1—15所示的直角三角形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是（ ）思路导引：根据题意作出图形，即可进行判断．解：B ．点拨：将直角三角形绕直角边旋转一周，可得到圆锥，绕斜边旋转一周，可得到两个圆锥的组合体A B C D 1—1—15 1—1—14（2011•铜仁．第3题．4分） 变式练习1将图1—1—16所示的直角梯形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是（ ）思路导引：根据直角梯形上下底不同得到旋转一周后上下底面圆的大小也不同，进而得到旋转一周后得到的几何体的形状．解：题中的图是一个直角梯形，上底短，下底长，绕对称轴旋转后上底形成的圆小于下底形成的圆，故选C ．A B C D1—1—16。

练一练
• 1．围成球的面有
个；
• 2．圆柱有_____ 个面组成,圆锥的侧面展开图是 ____ ；
• 3．圆锥是由_ __个面围成,其中__ _个平面,___ _个曲面,
• 4．圆柱的表面展开图是 ________________________ (用语言描述)；
• 5．图形所表示的各个部分不在同一个平面内,这
棱柱的各侧棱的关系呢？
两底面是相同的多边形且平行；各侧棱相等
图片中棱柱、棱锥的侧面各是什么图形？
棱柱的侧面是长方形,棱锥的侧面是三角形
比一比
我的侧面 是长方形
我的底面 是个圆
我的底面 是多边形
棱柱
我的侧面 是曲面
柱体
圆柱
我的侧面 是曲面！
我的底面 是个圆！
我的侧面 是三角形
棱锥
我的底面
是多边形 锥体
第一章 丰富的图形世界
1.1 生活中的立体图形(一)
学习目标：
1、在具体的情境中,认识并能够辨别出基本的几何 体。
2、通过比较,学会观察物体间的特征,体会几何体 间的联系和区别,并能根据几何体的特征,对其进行 简单分类。
3、积极参与到数学活动过程中,培养与他人合作交 流的能力。
请欣赏下面这些图片, 看看里面有你熟悉的图形吗?
圆锥
议一议
1、说说正方体和长方体有那些相 同点？有哪些不同点？
长
正
方
方
体
体
1、正方体和长方体的相同点和不同点
正方体 相 顶点：8个 同 棱：12条 点 面：6个
不 同 6个面是正方形 点
长方体 顶点：8个 棱：12条 面：6个
6个面是长方形或 是正方形
2、圆柱、圆锥分别由几个面围成？ 你能描述圆柱、圆锥的相同点和不 同点吗？

立体图形练习题六年级立体图形是数学中的一个重要概念，在小学六年级的数学学习中占有一席之地。

通过练习立体图形题目，可以帮助学生深入了解立体图形的性质和特点，从而提升其数学思维和解题能力。

本文将提供一些六年级学生常见的立体图形练习题，通过解答这些题目，帮助学生更好地掌握立体图形的知识。

1. 题目一：计算长方体的表面积和体积小明手里有一块长方体砖块，其边长分别为5厘米、8厘米和10厘米。

请帮助小明计算出这个长方体砖块的表面积和体积。

解析：长方体的表面积可通过公式2lw+2lh+2wh计算，其中l、w、h分别代表长方体的长度、宽度和高度。

带入具体数值，可以得到：表面积 = 2 × 5 × 8 + 2 × 5 × 10 + 2 × 8 × 10 = 176平方厘米长方体的体积可通过公式V = lwh计算。

带入具体数值，可以得到：体积 = 5 × 8 × 10 = 400立方厘米因此，这个长方体砖块的表面积为176平方厘米，体积为400立方厘米。

2. 题目二：判断正方体的性质小红手里有一块正方体磁铁，边长为6厘米。

请判断下列说法是否正确，并给出你的理由。

说法一：正方体的表面积等于6个正方形的面积之和。

说法二：正方体的对角线长度等于边长的平方根乘以立方根。

解析：对于说法一，正方体的表面积确实等于6个正方形的面积之和。

正方体有6个面，每个面都是正方形，所以表面积等于6个正方形的面积之和。

对于说法二，正方体的对角线长度并不等于边长的平方根乘以立方根。

正方体的对角线长度可通过勾股定理计算，即对角线长度d = √(边长的平方 + 边长的平方 + 边长的平方) = √3边长。

所以，正方体的对角线长度等于边长的平方根乘以√3，而不是立方根。

因此，说法一是正确的，而说法二是错误的。

3. 题目三：求解棱柱的面积和体积小华手里有一个棱柱，底面为一个边长为4厘米的正三角形，高度为6厘米。

一、基础概念题1. 请列举出三种常见的立体图形。

2. 立体图形的体积和表面积分别是什么？3. 立体图形的三视图分别是什么？4. 简述长方体、正方体、圆柱体、圆锥体的特征。

二、计算题1. 已知长方体的长、宽、高分别为10cm、6cm、4cm，求其体积和表面积。

2. 一个正方体的边长为8cm，求其体积和表面积。

3. 圆柱体的底面半径为5cm，高为10cm，求其体积和表面积。

4. 圆锥体的底面半径为3cm，高为4cm，求其体积和表面积。

三、应用题1. 一个长方体木块，长、宽、高分别为15cm、10cm、6cm，将其切割成最大的正方体，求正方体的边长。

2. 一个圆柱体水池，底面直径为10m，深为2m，求水池的容积。

3. 一个圆锥形帐篷，底面半径为6m，高为10m，求帐篷的占地面积。

4. 一块长方体铁块，长、宽、高分别为20cm、15cm、10cm，将其熔铸成一个球体，求球体的半径。

四、作图题1. 请画出长方体的三视图。

2. 请画出正方体的三视图。

3. 请画出圆柱体的三视图。

4. 请画出圆锥体的三视图。

五、判断题1. 立体图形的体积和表面积都是固定的。

（）2. 长方体和正方体都是特殊的立方体。

（）3. 圆柱体的底面一定是圆形。

（）4. 圆锥体的侧面展开是一个扇形。

（）六、选择题1. 下列哪个立体图形的体积公式是V = πr²h？A. 长方体B. 正方体C. 圆柱体D. 圆锥体2. 下列哪个立体图形的表面积公式是S = 2πrh + 2πr²？A. 长方体B. 正方体C. 圆柱体D. 圆锥体3. 一个正方体的边长为2cm，其体积为多少？A. 4cm³B. 8cm³C. 12cm³D. 16cm³4. 一个圆锥体的底面半径为3cm，高为4cm，其体积为多少？A. 12πcm³B. 36πcm³C. 48πcm³D. 144πcm³七、填空题1. 一个立方体的边长为5cm，其体积是______cm³，表面积是______cm²。

1.平面图形和立体图形基础（题型篇）平面图形和立体图形基础题型练题型一：平面图形常见的平面图形有：长方形、正方形、三角形、圆等．例1.说出下列图形的名称．【详解】根据平面图形的定义可知：它们依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、六边形．变式11．把图中的平面图形和相应的名称用线连接起来．题型二：简单立体图形识别与分类常见的立体图形有：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、台体（圆台、棱台）球体（球）四类例2.下列几何体中，是长方体的为（）A.B．C．D．【详解】A、该几何体是长方体，故本选项符合题意．B、该几何体是圆柱，故本选项不符合题意．C、几何体是圆锥，故本选项不符合题意．D、几何体是球体，故本选项不符合题意．变式22．下列几何图形中为圆锥的是（）．A．B．C．D．题型三：几何体中的点线面①正方体：有8个顶点，6个面．每个面面积相等（或每个面都有正方形组成）．有12条棱，每条棱长的长度都相等．（正方体是特殊的长方体）②长方体：有8个顶点，6个面．每个面都由长方形或相对的一组正方形组成．有12条棱，相对的4条棱的棱长相等．③圆柱：上下两个面为大小相同的圆形．有一个曲面叫侧面．展开后为长方形或正方形平行四边形．有无数条高，这些高的长度都相等．④圆锥：有1个顶点，1个曲面，一个底面．展开后为扇形．只有1条高．四面体有1个顶点，四面六条棱高．⑤直三棱柱：三条侧棱切平行，上表面和下表面是平行且全等的三角形．⑥球：球是生活中最常见的图形之一，例如篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体．例3.圆柱是由_____个面组成的，其中______个平面，_____个曲面，圆锥是由______个面组成的．【详解】圆柱有三个面组成，其中两个平面和一个曲面，圆锥是由两个面组成的．故答案案为：三、两、一、两．变式33．如图1是三棱柱，它有6个顶点，9条棱，5个面；图2是四棱柱，它有8个顶点，12条棱，6个面；图3是五棱柱，它有10个顶点，15条棱，7个面…，按此规律下去，n棱柱的顶点数、棱数、面数分别是（）A．（n+2）个顶点，2n条棱，3n个面B．2n个顶点，（n+2）条棱，3n个面C．2n个顶点，3n条棱，（n+2）个面D．3n个顶点，2n条棱，（n+2）个面题型四：平面图形的旋转1.旋转的定义－一在平面内，把一个图形统一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫图形的旋转．说明：（1）旋转是图形的一种运动（变换）（2）旋转的要素：旋转角；旋转方向；旋转中心2.旋转的性质1旋转前后图形的大小、形状都不改变．即：旋转前后的图形全等形．2图形上任意点都绕中心沿相同方向转动相同的角度（旋转角）；3对应点到旋转中心的距离相等．例4.如图是一个由平面图形绕虚线旋转得到的立体图形，则这个平面图形是（）A. B. C. D.【详解】解：根据立体图形的形状，可以分析出平面图形应该是上底较短下底较长，斜边是弧线的图形，即B选项的图形．变式44．如图，虚线左边的图形绕虚线旋转一周，能形成的几何体是（）A．B．C．D．题型五：立体图形的表面积与体积的有关计算表面积＝所有面的面积之和柱体体积＝底面面积×高底面面积×高锥体积极＝13例5.一个长方体礼盒的展开图如图所示（重叠部分不计）则该长方体的表面积为（）A.34B.36C.42D.46【详解】解：2×[（6－1）×1＋（7－6＋1）×1＋（6－1）（7－6＋1）]＝2×[5＋2＋10]＝34，答：该长方体的表面积为34变式55．已知如图是一个长方体无盖盒子的展开图，AB=16cm,CD=3cm,IH=24cm．求：（1）求盒子的底面积．（2）求盒子的容积．题型六：立体图形的展开与折叠（正方体）第一类（141型）：四个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形．第二类（132型）：有三个连成一排的正方形，其两侧分别有一个和两个相连的正方形．第三类（22型）：两个连成一排的正方形的，两侧又各有两个连成一排的正方形．第四类（33型）：三个连成一排的正方形的一侧，还有三个连成一排的正方形．例6.下列平面图形能围成正方体的是（）A. B. C. D.【详解】解：正方体的表面展开图，共有11种情况，其“1－4－1”型的6种，“2－3－1”型的3种，“2－2－2型的1种，“3－3”型的1种，根据正方体展开图的特点可判断B属于“1、3、2”的格式，能围成正方体．变式66．下面图形中是正方体的表面展开图的是（）A．B．C．D．题型七：截一个几何体截面：用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面，截面形状通常为三角形、正方形、长方形、梯形、圆、椭圆等，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．例7.下面几何体的截面分别是什么？【解析】由图可知：截面分别是：长方形；圆；长方形；圆．故答案为：长方形；圆；长方形；圆．变式77．下面几何体截面图形的形状是长方形的是_____________．（只填序号）题型八：立体图形的视图从某个角度观测一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个视图，可以看作是物体在某一个角度的光线下的正投影．对于同一个物体，从不同角度观察所得到的视图可能不同．主视图是从前往后看到的图形，左视图（侧视图）是从左往右看到的图形，俯视图是从上往下看到的图形．例8.如图，由几个相同的小正方体搭成一个几何体，请画出这个几何体的三种视图．（在所提供的方格内涂上相应的阴影即可）【详解】解：如图所示：变式88．如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，从上面．．看到该几何体的形状图是（）A．B．C．D．题型九：投影投影：物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影．平行投影：太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．中心投影：探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．正投影：从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影．（1）点在一个平面上的投影仍是一个点；（2）线段在一个面上的投影可分为三种情况：线段垂直于投影面时，投影为一点；线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度．（3）平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状．例9.在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下（）A.不能够确定谁的影子长 B.小刚的影子比小红的影子短C.小刚跟小红的影子一样长D.小刚的影子比小红的影子长【详解】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．故选：A．变式99．下列各种现象属于中心投影的是（）A．晚上人走在路灯下的影子B．中午用来乘凉的树影C．上午人走在路上的影子D．早上升旗时地面上旗杆的影子实战练10．（1）如图所示的这些基本图形你很熟悉吧，请你在括号内写出它们的名称；（2）把这些几何体分类，并写出分类的理由．11．将下列几何体按柱、锥、球分类.12．观察下列由长为1，的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1.个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8.个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放：（1）第④个图中，看不见的小立方体有_________个：（2）第n个图中，看不见的小立方体有____________个．13．如图，立体图形是由哪一个平面图形旋转得到的？请按对应序号填空．A对应___，B对应___，C对应___，D对应__，E对应__．14．如图，5个边长为1cm的立方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为（）A．13cm2B．16cm2C．20cm2D．23cm215．如图，直棱柱的底面边长都相等，底面边长是3.5cm，高是4cm，解答下列问题．（1）这是几棱柱，共有几个面？（2）这个棱柱的侧面积是多少cm²？16．下图是无盖长方体盒子的展开图（接缝处不计），尺寸单位：厘米．求盒子的容积．17．如图是由一些棱长为1的小立方块所搭几何体的三种视图．若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个长方体，至少还需要______个小立方块．18．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小正方块的个数，请你画出从正面与左面看到的这个几何体的形状图．19．如图7，在正方体的表面展开图内填入适当的字，使与之相对的面上的字具有相反意义．（1）请你移动图中的一个小正方形，使之仍然是正方体的表面展开图．（2）若图中一个小正方形的边长为1cm，那么原正方体的棱长是多少？表面积是多少？20．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②—⑥均由四个棱长为1的小正方体构成；现在从模块②—⑥中选出三个放在模块①上，与模块①一起组成一个棱长为3的大正方体，下列四个方案中，符合上述要求的是（）A．模块②⑤⑥B．模块③④⑥C．模块②④D．模块③⑤⑥21．写出下图中各个几何体的名称，并按锥体和柱体把它们分类．①②③④⑤⑥其中，柱体有：锥体有：22．当投影线由上到下照射水杯时，如图所示，那么水杯的正投影是（）A．B．C．D．23．下列投影不是中心投影的是（）A．B．C．D ．培优练24．如图所示，在一张正方形纸片的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子．请回答下列问题：（1）剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为；（2）如果设原来这张正方形纸片的边长为acm，所折成的无盖长方体盒子的高为hcm，那么，这个无盖长方体盒子的容积可以表示为cm3；（3）如果原正方形纸片的边长为20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm时，计算折成的无盖长方体盒子的容积得到下表，由此可以判断，当剪去的小正方形边长为cm时，折成的无盖长方体盒子的容积最大剪去的小正方形的边长/cm12345678910折成的无盖长方体的容积/cm3324m n57650038425212836025．一个六棱柱模型如所示，它的底面边长都是6cm，侧棱长4cm，观察这个模型，回答下列问题：（1）这个六棱柱的几个面分别是什么形状？哪些面的形状、大小完全相同？（2）这个六棱柱的所有侧面的面积之和是多少？26．欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数V468________棱数E6________12________面数F________________________8（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：_________．。

专题01生活中的立体图形（3个知识点5种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：生活中常见的几何体知识点2：棱柱的有关概念及特征（重点）知识点3：几何图形的构成元素及关系（重点）【方法二】实例探索法题型1：生活中常见的立体图形题型2：几何图形的组成元素题型3：棱柱的特征题型4：旋转体的识别题型5：探究题【方法三】差异对比法易错点：面动成体时，考虑不全导致漏解【方法四】成果评定法【学习目标】1.认识简单的空间几何棱柱、圆柱、圆锥、球等，掌握其中的相同之处和不同之处.2.通过比较，学会观察物体间的特征，体会几何体间的联系和区别，并能根据几何体的特征，对其进行简单分类.3、通过丰富的实例，进一步认识点、线、面、初步感受点、线、面之间的关系。

4、进一步经历从现实世界中抽象出图形的过程，从构成图形的基本元素的角度认识常见几何体的某些特征。

【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：生活中常见的几何体1.几何体是从实物抽象出来的数学模型．常见的几何体有：圆柱、圆锥、棱柱、球等．2.几何体的分类：注意：（1）几何体的分类标准不唯一．（2）围成立体图形的面是平的面，像这样的立体图形，又称为多面体.【例1】如图所示，请写出下列立体图形的名称．【答案与解析】解：(1)五棱柱；(2)圆锥；(3)四棱柱或长方体；(4)圆柱；(5)四棱锥．【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)．【变式1】如图所示，下列各标志图形主要由哪些简单的几何图形组成?【答案】(1)由圆组成；(2)长方形和正方形；(3)菱形(或四边形)；(4)由圆和圆弧组成（或由一个圆和两个小半圆组成）．【变式2】（2022秋•射洪市期末）下列属于多面体的是（ ）A．圆柱B．圆锥C．球体D．棱柱【解答】解：A、圆柱有3个面，一个曲面两个平面，不符合题意；B、圆锥有2个面，一个曲面，一个平面，不符合题意；C、球只有一个曲面，不符合题意；D、棱柱至少有5个面，符合题意．故选：D．知识点2：棱柱的有关概念及特征（重点）1.棱柱的相关概念：(1)相邻两个面的交线叫做棱；(2)相邻两个侧面的交线叫做侧棱．2.棱柱的特征：(1)所有的侧棱长都相等；(2)上、下底面的形状相同；(3)侧面的形状都是平行四边形3.棱柱的分类：根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……【例2】一个n 棱柱，它有18条棱，侧棱长为10 cm ， 底面各边长相等且为5 cm.(1)这是几棱柱？(2)此棱柱的侧面积是多少？解： (1)六棱柱；(2)棱柱的侧面积是10×5×6＝300(cm 2)．知识点3：几何图形的构成元素及关系（重点）图形的构成元素包括点、线、面、体．点动成线. 线动成面. 面动成体.一般地，有曲面的几何体都可以由某平面图形旋转得到．将一个平面图形旋转成立体图形需要明确旋转轴和旋转角两个条件．【例3】笔尖在纸上快速滑动写出一个又一个字，用数学知识解释为( )A ．点动成线B ．线动成面C ．面动成体D ．以上都不对【答案】A【变式1】如图所示的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面相对应的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．【答案与解析】【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．【方法二】实例探索法题型1：生活中常见的立体图形1．（2023•平谷区一模）下面几何体中，是圆柱的为（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、是圆柱，故此选项符合题意；B、是圆锥，故此选项不符合题意；C、是三棱锥，故此选项不符合题意；D、是球体，故此选项不符合题意；故选：A．2．（2022秋•二七区期末）如图中柱体的个数是（ ）A．3B．4C．5D．6【解答】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以图中的柱体有①③④⑤⑥，共5个．故选：C．3．将如图几何体分类，并说明理由．【解答】解：根据几何体的概念可得，柱体：①正方体，②长方体，③圆柱体，⑥四棱柱，⑦三棱柱；锥体：④圆锥；球体：⑤球．题型2：几何图形的组成元素4．如图所示的立体图形是由 个面组成的，其中有 个平面，有 个曲面；图中共有 条线，其中直线有 条，曲线有 条．【分析】观察图形是半圆柱，即可得到答案．【解答】解：立体图形是由4个面组成的，其中有3个平面，有1个曲面；图中共有6条线，其中直线有4条，曲线有2条．故答案为：4，3，1，6，4，2．【点评】本题考查立体图形相关的概念，解题的关键是仔细观察已知图形，掌握相关概念．5．分别指出下列几何体各有多少个面?面与面相交形成的线各有多少条?线与线相交形成的点各有多少个? 如图所示．【答案与解析】解：（1）4个面，6条线，4个顶点；（2）6个面，12条线，8个顶点；（3） 9个面，16条线，9个顶点．【总结升华】(1)数几何体中的点、线、面数时，要按一定顺序数，做到不重不漏．(2)一般地，n棱柱有(n+2)个面(其中2为两个底面)，n棱锥有(n+1)个面(其中1为一个底面)．6．（2022秋•巨野县期中）如图是一个长为4cm，宽为3cm的长方形纸片．（1）若将此长方形纸片的一条边所在直线旋转一周，能形成的几何体是 ，这能说明的事实是 （选择正确的一项填入）A．点动成线；B．线动成面；C．面动成体．（2）求：当此长方形纸片绕一条边所在直线旋转一周时，所形成的几何体的体积．【解答】解：（1）将此长方形纸片的一条边所在直线旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体，故答案为圆柱；C；（2）当绕长方形的长旋转时，所形成的几何体的体积为：π×32×4＝36π；当绕长方形的宽旋转时，所形成的几何体的体积为：π×42×3＝48π．故当此长方形纸片绕一条边所在直线旋转一周时，所形成的几何体的体积为36π或48π．题型3：棱柱的特征7．三棱柱有 个面， 条棱．【分析】根据三棱柱的特征即可解答．【解答】解：三棱柱有5个面，9条棱，故答案为：5，9．【点评】本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键．8．与九棱锥的棱数相等的是 棱柱．【分析】求出九棱锥的棱数，再根据棱柱的特征进行计算即可．【解答】解：九棱锥的棱的条数为9+9＝18（条），而六棱柱的棱的条数为6+6+6＝18（条），故答案为：六．【点评】本题考查认识立体图形，掌握棱柱、棱锥的形体特征是正确解答的关键．9．如图，图①所示的几何体叫三棱柱，它有6个顶点，9条棱，5个面，图②和图③所示的几何体分别是四棱柱和五棱柱．（1）四棱柱有 个顶点， 条棱， 个面；（2）五棱柱有 个顶点， 条棱，　个面；（3）那么n棱柱有 个顶点， 条棱， 个面．【分析】根据棱柱的形体特征进行解答即可．【解答】解：由棱柱的形体特征可知：（1）四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面；（2）5棱柱有10个顶点，15条棱，7个面；（3）n棱柱有2n个顶点，3n条棱，（n+2）个面；故答案为：（1）8，12，6；（2）10，15，7；（3）2n，3n，（n+2）．【点评】本题考查认识立体图形，掌握棱柱的形体特征是正确解答的前提．10．（2022秋•市中区校级月考）已知一个直八棱柱，它的底面边长都是5cm，侧棱长都是8cm．回答下列问题：（1）这个八棱柱一共有多少个顶点？有多少个面？（2）这个八棱柱的侧面积是多少？【解答】解：（1）直八棱柱有16个顶点，10个面，答：这个八棱柱一共有16个顶点，10个面；（2）因为底面边长都是5cm，侧棱长都是8cm．所以侧面展开后是长为5×8＝40cm，宽为8cm的长方形，因此侧面积为40×8＝320（cm2），答：这个八棱柱的侧面积是320cm2．11．（2021秋•牟平区期中）一个正n棱柱，它有21条棱，一条侧棱长为10cm，一条底面边长为6cm．（1）该棱柱是 棱柱，它有 个面、 个顶点．（2）求棱柱的侧面积是多少？【解答】解：（1）∵21÷3＝7，∴该棱柱是七棱柱，它有9个面、14个顶点．故答案为：七，9，14．（2）7×6×10＝420（cm2）；答：棱柱的侧面积是420cm2．12．（2021秋•秦都区校级月考）已知一个直棱柱有12条棱．（1）它是几棱柱？它有几个面？侧面是什么图形？（2）侧面的个数与底面多边形的边数有什么关系？（3）若底面的周长为20cm，侧棱长为8cm，求它的所有侧面的面积之和．【解答】解：（1）设该棱柱为n棱柱．根据题意得：3n＝12．解得：n＝4．所以该棱柱为四棱柱，它有6个面，侧面是长方形．（2）侧面的个数与底面多边形的边数相等．（3）因为它的侧面展开图是一个长20cm，宽8cm的长方形，所以它的所有侧面的面积之和为20×8＝160cm2．13．（2022秋•新城区校级月考）已知一个直棱柱，它有27条棱，其中一条侧棱长为20，底面各边长都为5．（1）这是几棱柱？（2）它有多少个面？多少个顶点？（3）这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？【解答】解：（1）∵此直棱柱有27条棱，∴由27÷3＝9，可知此棱柱是九棱柱；（2）这个九棱柱有11个面，有18个顶点；（3）这个棱柱的所有侧面的面积之和是5×9×20＝900．14．（2021秋•湖口县期中）如图所示的五棱柱的底面边长都是6cm，侧棱长15cm，它有多少个面？它的所有侧面的面积之和是多少？【解答】解：五棱柱有5个侧面，上下2个面，一共7个面；一个侧面的面积：6×15＝90（cm2），侧面积之和：90×5＝450（cm2）．答：它有7面，它的所有侧面的面积之和是450cm2．15．（2022秋•牟平区期中）一个正n棱柱，它有24条棱，一条侧棱长为12cm，一条底面边长为5cm．（1）试判断它是几棱柱？（2）求此棱柱的侧面积是多少？【解答】解：（1）∵24÷3＝8，∴该棱柱是正八棱柱；（2）8×5×12＝480（cm2）；答：棱柱的侧面积是480cm2．16．（2022秋•浑南区月考）如图，是一个正六棱柱，它的底面边长是3cm，高是6cm．（1）这个棱柱共有 个顶点，有 条棱，所有的棱长的和是 cm．（2）这个棱柱的侧面积是 cm2；（3）通过观察，试用含n的式子表示n棱柱的面数 ，棱的条数 ．【解答】解：（1）正六棱柱有12个顶点，18条棱，上、下两底棱长之和为：12×3＝36．侧棱长之和为：6×6＝36．∴所有棱长之和为：36+36＝72（厘米）．故答案为：12，18，72．（2）这个棱柱的侧面积为：3×6×6＝108（平方厘米）．故答案为：108．（3）∵正六棱柱有8个面，18条棱，∴n棱柱有（n+2）个面，3n条棱．故答案为：n+2，3n．17．（2021秋•景德镇期末）已知一直棱柱共有11个面，且它的底面边长都相等，侧棱长是10厘米，侧面积是180平方厘米．（1）它是几棱柱？（2）它的底面边长是多少？【解答】解：（1）因为一个直棱柱有11个面，所以它是九棱柱；答：它是九棱柱；（2）因为九棱柱的侧棱长是10厘米，侧面积是180平方厘米，所以侧面展开后的长方形的长是180÷10＝18（厘米），所以底面边长是18÷9＝2（厘米），答：这个棱柱的底面边长是2厘米．18．（2021秋•滕州市校级月考）如图，直棱柱的底面边长都相等，底面边长是3.5cm，高是4cm，解答下列问题．（1）这是几棱柱，共有几个面？（2）这个棱柱的侧面积是多少cm2？【解答】解：（1）上底面是六边形，故是六棱柱，共有6+2＝8个面；（2）侧面积为：3.5×6×4＝84（cm2），答：这个棱柱的侧面积是84cm2．19．如图，小婉在手工课上做了如图所示的长方体纸盒（尺寸见图，单位：厘米）．（1）做小纸盒比做大纸盒少用料多少平方厘米？（2）当a＝2cm，b＝4cm，c＝1.5cm时，两个纸盒共用料多少？【分析】（1）先算出两个纸盒的表面积，用大纸盒的表面积减去小纸盒的表面积即可得出答案；（2）把a＝2cm，b＝4cm，c＝1.5cm（1）中的结论，把两个纸盒的面积加起来即可．【解答】解：（1）小纸盒的表面积为2×（0.5ab+ac+0.5bc）＝ab+2ac+bc平方厘米，大纸盒的表面积为2×（1.5ab+3ac+2bc）＝3ab+6ac+4bc平方厘米，3ab+6ac+4bc﹣（ab+2ac+bc）＝2ab+4ac+3bc，∴做小纸盒比做大纸盒少用料2ab+4ac+3bc平方厘米；（2）两个纸盒共用料3ab+6ac+4bc+（ab+2ac+bc）＝4ab+8ac+5bc平方厘米，当a＝2cm，b＝4cm，c＝1.5cm时，4ab+8ac+5bc＝4×2×4+5×2×1.5+5×4×1.5＝32+12+30＝74平方厘米，∴两个纸盒共用料74平方厘米．【点评】本题主要考查长方体的面积公式，关键是要牢记长方体的面积公式．20．棱长为2的正方体摆成如图所示的形状．（1）这个几何体共有几个正方体？（2）这个几何体的表面积是多少？【分析】（1）先找出每一层中正方体的个数，然后相加即可；（2）由题可知上下左右前后露出的面都为6个正方形，故总共的表面为36个表面，由此得出表面积．【解答】解：（1）上面一层有1个正方体，中间层有3个正方体，底层有6个正方体，共10个正方体；（2）根据以上分析该物体的表面积为6×6×22＝144．【点评】本题主要考查的是认识立体图形，几何体的表面积，判断出几何体表面正方形的个数是解题的关键．题型4：旋转体的识别21．（2022秋•海陵区校级期末）观察图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是（ ）A．B．C．D．【解答】解：由图形可以看出，左边的长方形的竖直的两个边与已知的直线平行，因而这两条边旋转形成两个柱形表面，因而旋转一周后可能形成的立体图形是一个管状的物体．故选：D．22．（2022秋•高邮市期末）已知一个长方形的长、宽分别是4cm、3cm，若以这个长方形的一条边为轴旋转一周，则形成的立体图形的体积是（ ）A．36πcm3B．24πcm3C．24πcm3或48πcm3D．36πcm3或48πcm3【解答】解：绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×32×4＝36π（cm3），绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积：π×42×3＝48π（cm3），故选：D．23．（2022秋•鄄城县期末）如图，阴影图形是由直角三角形和长方形拼成的，绕虚线旋转一周可以得到一个立体图形，求得到立体图形的体积．（V＝πr2h，V圆锥＝πr2h，r2＝r×r，结果保留π）．圆柱【解答】解：图中阴影图形旋转一周后得到的立体图形为一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆柱的体积等于π×32×4＝36π，圆锥的体积等于×π×32×2＝6π，所以立体图形的体积等于36π+6π＝42π．24．（2022秋•滕州市校级期末）把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱体，那么把一个长为4cm，宽为3cm的长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周后，得到的圆柱体的体积是多少？（结果保留π）【解答】解：绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×32×4＝36π（cm3），绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×42×3＝48π（cm3），答：得到的圆柱体的体积是36πcm3或者48πcm3．25．王老师在给五年级同学介绍“立体图形”时，将下图中的连线题设置为课堂竞赛活动，组织A、B两班各45人参加，规则如图．在活动中，所有同学均按要求一对一连线，无多连少连．图中各个花瓶的表面可以看做是由哪个平面图形绕虚线旋转一周而得到？请一对一连线．（1）分数5，10，15，20中，每个人的得分都不可能是 分；（2）A班有3人全错，其余参赛同学中，满分人数是未满分人数的2倍；B班所有参赛同学都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数．①问A班有多少人得满分？②若A班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？【解答】解：（1）∵共有4条线，可能全部连错，得0分，可能1条线对，3条线错，得5分，可能2条线对，2条线错，得10分，可能3条线对，则第4条也对，得20分，∴每人得分不可能是15分；故答案为：15；（2）①设A班未得满分的有x人，得满分的有2x人，依题意得：x+2x＝45﹣3，解得x＝14，2x＝28．答：A班得满分的有28人；②∵A班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，∴得5分的和得10分的都是7人，∴A班总分为：28×20+7×10+7×5＝665（分）；设B班最低得分a人，其余未满分b人，则满分人数为（2a+b）人，∴总分为：5a+10b+20（2a+b）＝（45a+30b）（分），∵a+b+2a+b＝3a+2b＝45，∴B班总分为：45a+30b＝15（3a+2b）＝675（分）＞665（分），∴B班总分高．26．如图所示．（1）如果将图①～⑤的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到图Ⅰ～Ⅴ的几何体，请你把有对应关系的平面图形与几何体用线连接起来；（2）在图Ⅰ～Ⅴ的几何体中，有顶点的几何体是 ，没有顶点的几何体是 ；（3）图Ⅴ中的几何体由几个面围成？面与面相交成几条线？它们是直的还是曲的？【分析】（1）根据“面动成体”的原理，结合图形特征进行旋转，判断出旋转后的立体图形即可．（2）根据图形特点判断即可；（3）面包括平面和曲面、线包括直线和曲线．【解答】解：（1）如图所示：（2）在图I～Ⅴ的几何体中，有顶点的几何体是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，没有顶点的几何体是Ⅳ、Ⅴ；故答案为：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；Ⅳ、Ⅴ．（3）Ⅴ中的几何体有2个面，其中一个是平面，一个是曲面，面与面相交有一条线，是一条曲线．【点评】本题主要考查的是点、线、面、体、认识几何体，根据平面图形的特点，判断出旋转后的结合体的形状是解题的关键．题型5：探究题27．（2022秋•南海区校级月考）如图，观察下列几何体并回答问题．（1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 个面， 条棱， 个顶点，n 棱锥有 个面， 条棱， 个顶点；（2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫做多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 ．【解答】解：（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n 个顶点，n棱锥有（n+1）个面，2n条棱，（n+1）个顶点；故答案为：（n+2），3n，2n，n，（n+1），2n，（n+1）；（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如图：根据上表总结出这个关系为V+F﹣E＝2．故答案为：V+F﹣E＝2．28．喜爱数学的小明一天在家里发现他妈妈刚从超市买回来的2块超能皂，小明仔细看了超能皂外包装上的尺寸说明，每块的尺寸均是：长（a）、宽（b）、高（c）分别是16cm，6cm，3cm．他想起老师讲过关于物体外包装用料最省的问题，就想研究这两块超能皂如何摆放，它的外包装用料才最省？（1）小明动手摆放了这2块超能皂摆放情况，发现无论怎样放置，体积都不会发生变化，但是由于摆放位置的不同，它们的外包装用料不同，经过实际操作发现这两块超能皂有3种不同的摆放方式，如图所示：请你帮助小明指出图1，图2，图3这3种不同摆放方式的长、宽、高，并计算其外包装用料，填写在下表中（包装接头用料忽略不计）？：长（cm）宽（cm）高（cm）外包装用料（cm2）图1图2图3（2）如果现在有4块这样的超能皂，请你模仿（1）的操作方式探究：①选择3种不同摆放位置，计算它的外包装用料各是多少？②你能算出当它的外包装用料最省时所需的材料吗？请写出计算过程．【解答】解：（1）（6分）长（cm）宽（cm）高（cm）外包装用料（cm2）图11666456图23263612图316123552（2）①图一为16×6×2+6×12×2+16×12×2＝720（cm2）图二为64×6×2+64×3×2+3×6×2＝1188（cm2）图三为16×24×2+24×3×2+16×3×2＝1008（cm2）②外包装最省的材料为720（cm2）．29．值得探究的“叠放”！问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？方法探究：第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图①），由此可知，新长方体的长、宽、高分别为1，1，2．第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，1，2．第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图③），该正方体的长、宽、高分别为2，2，2．这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为6×2×2＝24．仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题：（1）如图④，长方体的长、宽、高分别为2，3，1，请计算这个长方体的表面积．提示：长方体的表面积＝2×（长×宽+宽×高+长×高）（2）取如图④的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？（3）取四个长、宽、高分别为2，3，c的长方体进行叠放如图⑤，此时，形成一个新的长方体表面积最小，求c的取值范围．【解答】解：（1）由长方体的表面积＝2×（长×宽+宽×高+长×高），得长方体的表面积＝2×（2×3+2×1+1×3）＝22．（2）新的长方体的表面积最小长是4，宽是3，高是2，由长方体的表面积＝2×（长×宽+宽×高+长×高），得长方体的表面积＝2×（4×3+3×2+4×2）＝52．（3）由叠放可知1≤c≤3．30．附加题：有一塔形几何体由n个正方体构成，构成方式如下图所示：上层正方体底面的四个顶点恰好是下层正方体上底面各边的中点、已知顶层（即最上层）正方体的棱长为a，设塔形几何体的表面积（含最底层正方体的底面面积）为S，请完成下列问题：（1）仿照第二行，填写下表：（2）根据上表猜测：当有n（n≥2）个正方体时，塔形几何体的表面积S与n的关系为：S＝ ．【解答】解：（1）如表：（2）根据（1）可知n＝1时，S＝6a2＝（21﹣1×10﹣4）a2；n＝2时，S＝2×6a2+4a2＝16a2＝（22﹣1×10﹣4）a2；n＝3时，S＝2×16a2+4a2＝36a2＝（23﹣1×10﹣4）a2；…故S＝（2n﹣1×10﹣4）a2．31．（2022秋•常州期末）如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周．（1）两次旋转所形成的几何体都是 ；（2）若x+y＝a（a是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为V x、V y，其中x、V x、V y的部分取值如表所示：x123456789V x mV y96πn①通过表格中的数据计算：a＝ ，m＝ ，n＝ ；②当x逐渐增大时，V y的变化情况： ；③当x变化时，请直接写出V x与V y的大小关系．【解答】解（1）根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱．故答案为：圆柱；（2）圆柱的体积＝底面积×高，①当x＝4时，V y＝πx2y＝96π，解得y＝6，此时x+y＝10，所以a＝10；当x＝2时，y＝10﹣2＝8，V x＝πy2x＝π×8×8×2＝128π＝m；当x＝6时，y＝10﹣6＝4，V y＝πx2y＝π×6×6×4＝144π＝n；故答案为：10，128π，144π；②V＝πx2y＝πx2（10﹣x），当x逐渐增大时，V的变化为：先增大，后减小．故答案为：先增大，后减小；③V y＝πx2у＝πх2（10﹣x），V x＝πу2х＝π（10﹣x）2x，当V y≥V X时，x2（10﹣x）≥π（10﹣x）2x，解得x≥5，当V y＜V x时，πx（10﹣x）＜π（10﹣x）2x，解得0＜x＜5，综上所述，x≥5时，V y≥V X，；0＜x＜5时，V y＜V x．32．（2021·河北七年级期中）欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V （Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．（1）观察下列多面体，并把表格补充完整：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数468 V棱数E6 12 面数F 45 8（2）分析表中的数据，你能发现V 、E 、F 之间有什么关系吗？请写出关系式： ．（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求x +y 的值．【答案】（1）6，9，12，6；（2）V +F ﹣E =2；（3）x +y =14【分析】（1）观察可得多面体的顶点数，棱数和面数；（2）依据表格中的数据，可得顶点数+面数-棱数=2；（3）根据条件得到多面体的棱数，即可求得面数，即为x +y 的值．【详解】解：（1）三棱柱的棱数为9；正方体的面数为6；正八面体的顶点数为6，棱数为12；故答案为：6，9，12，6；（2）由题可得，V +F -E =2，故答案为：V +F -E =2；（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，∴共有24×3÷2=36条棱，∵24+F -36=2，解得F =14，∴x +y =14．【方法三】差异对比法易错点：面动成体时，考虑不全导致漏解33．（2022秋·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）现有一个长方形，长为2cm ，宽为1cm ，绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积是多少？（结果保留π）【答案】32cm p 或34cm p 【详解】解：①绕这个长方形的长旋转一周时：2122V p p =´´=()3cm ；②绕这个长方形的宽旋转一周时：2214V p p =´´=()3cm ．综上：得到的几何体的体积是32cm p 或34cm p ．【方法四】成功评定法一、单选题1．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）下列几何体由5个平面围成的是（ ）A ．B ．C ． D ．【答案】C【详解】A 选项长方体是由六个平面围成，故本选项不符合题意；B 选项圆柱是由两个平面和1个曲面围成，故本选项不符合题意；C 选项三棱柱是由两个三角形和三个四边形围成，是由5个平面围成的，故本选项符合题意；D 选项圆锥是由一个曲面和一个圆围成的，故本选项符合题意．2．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）与图中实物图类似的立体图形按从左至右的顺序依次是（ ）A．圆锥、三棱柱、球、正方体B．球、圆锥、三棱柱、正方体C．三棱柱、球、圆锥、正方体D．球、三棱柱、正方体、圆锥【答案】B【详解】与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：球、圆锥、三棱柱、正方体．3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）当你用笔在纸上写字时，你的笔尖实现了（）A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．以上都不对【答案】A【详解】解：当你用笔在纸上写字时，你的笔尖实现了点动成线，4．（2020秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）六棱柱共有（）条棱，共有（）个面．A．16，6B．17，7C．18，8D．20，9【答案】C【详解】六棱柱共有18条棱，共有8个面，5．（2023·全国·七年级假期作业）如图中柱体的个数是( )A．3B．4C．5D．6【答案】C【详解】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以图中的柱体有①③④⑤⑥，共5个．②为圆锥，⑦为球体，6．（2023秋·广东佛山·七年级统考期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（）A．几何体是三棱锥B．几何体有6条侧棱C．几何体的侧面是三角形D．几何体的底面是三角形。

专题01 立体图形及三视图知识网络重难突破知识点一常见立体图形1．立体图形与平面图形①有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．②有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．常见几何体名称特征圆柱由三个面组成，上、下两个底面是大小相等的圆，侧面是曲面．棱柱棱柱分为直棱柱和斜棱柱，一般只讨论直棱柱，其上、下两个面为形状、大小相同的多边形，其余各面为长方形，底面为n边形的棱柱叫n棱柱．3．常见立体图形的分类总结：在对几何体分类时首先确定分类的标准，分类标准不同，结果也就不同，不论选择哪种分类标准，都要做到不重、不漏.4、点、线、面、体体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥都是几何体，几何体也称体．面：包围着体的是面．面有平面和曲面两种．线：面和面相交的地方形成线．点：线和线相交的地方是点．用运动的观点来看：点动成线、线动成面、面动成体．典例1（2019•白银）下列四个几何体中，是三棱柱的为()A．B．C．D．【解答】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为圆锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．典例2（2019秋•龙岗区期中）如图，这个几何体是由哪个图形绕虚线旋转一周形成的()A．B．C．D．【解答】解：根据以上分析及题目中的图形可知A旋转成圆台，B旋转成球体，C旋转成圆柱，D旋转成圆锥．故选：A．知识点二几何体的表面展开图1．展开图：有些几何体的表面可以展开成平面图形，这个平面图形称为相应几何体的表面展开图.2．常见立体图形的平面展开图（1）圆柱的表面展开图是两个相同的圆面和一个长方形组成的；（2）圆锥的表面展开图是由一个圆面和一个扇形组成的；（3）棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一个长方形组成的，侧面展开图是一个长方形。

沿棱柱表面不同的棱剪开，可能得到不同组成方式的展开图。

立体几何题型归类总结立体几何专题复一、知识总结基本图形1.棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

①斜棱柱：底面是正多边形棱柱，棱垂直于底面。

②正棱柱：底面是正多边形棱柱，侧棱与底面边长相等。

直棱柱和其他棱柱的底面分别为矩形和平行四边形。

2.棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3.球——一个点到空间中所有点的距离相等的集合体叫做球，球面是球的表面。

球的性质：①球心与截面圆心的连线垂直于截面；②半径公式：r = √(R² - d²)，其中R为球的半径，d为球心到截面的距离。

球与多面体的组合体：球与正四面体、长方体、正方体等的内接与外切。

球面积、体积公式：S球= 4πR²，V球= (4/3)πR³，其中R为球的半径。

二、典型例题考点一：三视图1.一空间几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为22.2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是22.3.一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为3.4.若某几何体的三视图（单位：cm）如图4所示，则此几何体的体积是。

3.如图5所示，是一个几何体的三视图，已知其体积为33，求a的值。

5.如图6所示，给出了一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm），求该几何体的体积。

7.如图所示，给出了一个几何体的三视图（单位：cm），其体积为38.如果某个几何体的三视图尺寸如图8所示（长度单位为m），则该几何体的体积为多少？9.如果一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么该几何体的侧面积为多少？10.如果一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，其三视图及其尺寸如图10所示（单位：cm），则该三棱柱的表面积为多少？11.如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么该几何体的全面积为多少？12.如图12所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的侧面积为多少？13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则该几何体的表面积为多少？14.如果一个几何体的三视图如图14所示（单位长度：cm），则该几何体的表面积为多少？15.如图所示，给出了一个棱锥的三视图，求该棱锥的全面积（单位：cm2）。

【详解】
从正面看是 ，从左面看是 。
故答案为：A
【点睛】
本题考查了观察物体，能从三视图中将几何体还原是解题的关键。
12．D
【分析】
两面涂色的小正方体在大正方体的每条棱上除去两端的两个，正方体有12条棱，两面涂色的正方体的个数为：12×（4－2）个，计算出结果，即可解答。
【详解】
12×（4－2）
＝12×2
46．一节通风管长1米，宽和高都是0.1米，做5节这样的通风管至少需要( )平方米铁皮。
47．把一个表面涂色的正方体每条棱都平均分成4份，切成同样大小的小正方体，3面涂色的小正方体有( )个，2面涂色的有( )个。
48．观察立体图形，下面的三幅图分别是从上面、左面和正面中的哪个方向看到的？填一填。
( ) ( ) ( )
根据分析可知，长方体酸奶盒体积：
4×5×10
＝20×10
＝200（立方厘米）
200立方厘米＝200毫升
净含量＜200毫升
故答案选：B
【点睛】
本这题考查长方体体积公式的应用，以及单位名数的互换，关键明确净含量要小于这个包装的体积。
11．A
【分析】
根据从正面和左面看到的图形，对比各选项中的几何体，直接选出正确选项即可。
49．数一数。
( )个， ( )个， ( )个， ( )个。
50．如图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，圆柱的侧面积是( ) 。
四、作图题
51．在下图中画出长为3厘米，宽为2厘米，高为1厘米的长方体无盖纸盒的展开图（表格中每个小方格的边长为1厘米）。
五、解答题
52．一种常见的玩具陀螺是由圆柱和圆锥两部分组成的，圆柱的底面直径是4厘米，高是3厘米，圆锥的高是1.5厘米。

立体几何专题复习1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为正方形2. 棱锥棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3．球球的性质：①球心与截面圆心的连线垂直于截面；★②r =d 、球的半径为R 、截面的半径为r ）★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2344,3S R V R ππ==球球（其中R 为球的半径）俯视图11_________________.第1题2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.第2题 第3题3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .侧(左)视图 正(主)视图4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图4所示，则此几何体的体积是 .第4题 第5题5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是 a .6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 .7.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm 8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m ），则该几何体的体积为_________m 3。

3俯视图正视图侧视图俯视图俯视图正(主)视图侧(左)视图第7题 第8题9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________.图910.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm ），则该三棱柱的表面积为_____________.图1011.如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为_____________.图图11 图12 图1312. 如图12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为_____________.13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其表面积是_____________.14.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度: cm ), 则此几何体的表面积是_____________.图14正视图俯视图15．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）_____________.正视图 左视图 俯视图1. 正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥； (Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．2. 已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．3．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 和PC 的中点.AD 11A E CD 1ODBA C 1B 1A 1C（Ⅰ）求证：MN ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：MN CD ⊥；（Ⅲ）若45PDA ∠=，求证：MN ⊥平面PCD .4. 如图（1），ABCD 为非直角梯形，点E ，F 分别为上下底AB ，CD 上的动点，且EF CD ⊥。

典中点图形的初步认识专训1 常见立体图形的分类
◐名师点金◑
立体图形就是各部分不都在同一平面内的几何图形。

常见的立体图形有柱体(圆柱、棱柱)、锥体(圆锥、棱锥)、台体(圆台、棱台)和球体(球)四类。

训练角度1：按柱、锥、球分类
1.下列各组图形中,都为柱体的是( )
2.在如图所示的图形中,是圆柱的有_________,
是棱柱的有______________.(填序号)
3.(1)将如图所示的立体图形按特征分类,并说明分类标准.
(2)图中③与⑥各有什么特征?有哪些相同点和不同点?
训练角度2：按有无曲面分类
4.如图,按组成的面来分类,至少有一个面是平面的图形有________,至少有一个面是曲面的有_______.(填序号)
5.将如图所示的图形按有无曲面分类:
有曲面是：________________. 无曲面是：________________.
6.观察右图所示的圆柱和棱柱,回答下列问题:
(1)圆柱和这个棱柱各由几个面组成?它们都是平面吗?
(2)圆柱的侧面与底面相交成几条线?它们都是直的吗?
(3)这个棱柱有几条棱,有几个顶点?经过每个顶点有几条棱。

第5章走进图形世界（基础、典型、易错）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（）A．B．C．D．2．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（）A．B．C． D．3．（2022·江苏·七年级专题练习）.将下方如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）A．B．C．D．4．（2022·江苏镇江·七年级期末）奋进新时代，开启新征程．2021年12月28日12时，宁句城际正式开通，我市“一福地四名城”建设进一步推进．下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，“地”的对面是“名”的是（）A．B．C．D．5．（2022·江苏盐城·七年级期末）如图所示，几何体的俯视图为（）A．B．C．D．6．（2022·江苏泰州·七年级期末）下列平面图形中，经过折叠能围成一个正方体的是（）A．B．C．D．7．（2022·江苏盐城·七年级期末）下列几何体中，不是柱体的是（）A．B．C．D．8．（2022·江苏常州·七年级期末）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆锥C．三棱锥D．四棱锥9．（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，所示的物体的左视图是（）A．B．C．D．10．（2022·江苏·七年级专题练习）①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（）A．①③B．②③C．③④D．①④二、填空题11．（2022·江苏南京·七年级期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，相对的两个面上的数字之和最大的值是______．12．（2022·江苏·七年级专题练习）把一张半径为8厘米的圆形纸片剪成两个半圆，这两个半圆的周长之和比圆的周长增加_____厘米．13．（2022·江苏连云港·七年级期末）如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，在原正方体的表面上与“我”相对的面上的汉字是___________．14．（2022·江苏盐城·七年级期末）如图是一个正方体表面展开图，则原正方体中与“创”字所在的面相对的面上字是________．三、解答题15．（2022·江苏·七年级专题练习）如图所示，请说出它有几个面，分别是什么样的面，面和面相交的地方形成了几条线，线和线相交的地方有几个点．16．（2022·江苏·七年级专题练习）十九世纪中叶，诞生了一个新的几何学分支⋯“拓扑学（又称‘位置解析’）”．它所研究的是几何图形这样一些最基本的、最深刻的性质：图形经受剧烈的变形，以致所有度量性质和射影性质都失去之后，这些性质仍然存在．数学家们找到若干个令人叹为观止的实例，例如著名的Mobius带、Klein瓶⋯⋯请看如图，你能否将正方形图中上方的小方块与下方的对应的小方块用平面内不相交的实线连起来，且要求连线只能在该正方形内部的空白处．17．（2022·江苏·七年级专题练习）将如图几何体分类，并说明理由．18．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连．【典型】一、单选题1．（2020·江苏省新海高级中学七年级期中）圆柱侧面展开后，可以得到（）A．平行四边形B．三角形C．梯形D．扇形2．（2022·江苏泰州·七年级期末）下面四个几何体中，俯视图是三角形的是（）．A．B．C．D．3．（2021·江苏·如皋市实验初中七年级阶段练习）如图是一个长方体纸盒表面展开图，纸片厚度忽略不计，按图中数据，这个盒子容积为（）A．6 B．8 C．10 D．154．（2021·江苏·创新外国语学校七年级阶段练习）某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（）A．该几何体是长方体B．该几何体的高是3C．底面有一边的长是1D．该几何体的表面积为18平方单位二、填空题5．（2020·江苏盐城·七年级阶段练习）将图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个+−=__________．数互为相反数，则a b c6．（2020·江苏省新海高级中学七年级期中）如图是一个多面体的表面展开图，则折叠后与棱AB重合的棱是________.7．（2022·江苏·苏州市振华中学校七年级期末）有一个正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，如图是我们能看到的三种情况，如果记6的对面数字为a，2的对面数字为b，那么a+b的值为_____．三、解答题8．（2021·江苏·南闸实验学校七年级阶段练习）5个棱长为1的正方体组成如图所示的几何体．(1)该几何体的体积是__ __(立方单位)，表面积是__ __(平方单位)；(2)画出该几何体的主视图和左视图．9．（2020·江苏·无锡市钱桥中学七年级阶段练习）如图是由5个棱长为1的小正方体组成的简单几何体，作出三视图．【易错】一．选择题（共7小题）1．（2021秋•玄武区期末）将如图所示的长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是（）A．B．C．D．2．（2021秋•南京期末）下列图形都是由六个相同的正方形组成的，经过折叠不能围成正方体的是（）A．B．C．D．3．（2021秋•东台市期末）观察如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体可能是（）A．B．C．D．4．（2021秋•句容市期末）奋进新时代，开启新征程．2021年12月28日12时，宁句城际正式开通，我市“一福地四名城”建设进一步推进．下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，“地”的对面是“名”的是（）A．B．C．D．5．（2021秋•如东县期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“传”字一面的相对面上的字是（）A．红B．色C．基D．因6．（2021秋•玄武区期末）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）A．B．C．D．7．（2021秋•广陵区期末）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）8．（2021秋•崇川区期末）如图是一个长方体纸盒表面展开图，纸片厚度忽略不计，按照图中数据，这个长方体盒子容积为．9．（2021秋•鼓楼区校级期末）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体是．10．（2021秋•泗洪县期末）一个正方体的每个面上各写有一个数，图中是它的两幅表面展开图，则字母A表示的数是．11．（2021秋•滨湖区期末）一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的边长是20cm，则这个正方体容器的内部底面积是cm2；若该正方体容器内水深xcm，现将三条棱长分别为10cm、10cm、ycm（y＜10）的长方体铁块放入水中，此时铁块的顶部高出水面2cm，则长方体铁块的棱长y＝（用含x的代数式表示）．三．解答题（共1小题）12．（2021秋•常州期末）如图1，边长为acm的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为xcm．（1）这个纸盒的底面积是cm2，高是cm（用含a、x的代数式表示）．（2）x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示：x/cm123456789m72n 纸盒容积/cm3＝，＝；②猜想：当x逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：．（3）若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．①若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是cm，cm（用含a、y的代数式表示）；②已知A，B，C，D四个面上分别标有整式2（m+2），m，﹣3，6，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求m的值．。

长方体和正方体的表面积专项训练棱长和填空题：1、用铁丝焊接成一个长12厘米，宽10厘米，高5厘米的长方体的框架，至少需要铁丝（）厘米。

2、至少需要（）厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架。

3、用一根52厘米长的铅丝，正好可以焊成长6厘米，宽4厘米，高（）厘米的长方体。

解决问题：1.一个表面积是54平方米的正方体，它所有的棱长的和是多少米？2.一个长方体的食品盒，长、宽、高分别是40厘米、20厘米和15厘米。

售货员用红色的塑料绳，如下图那样进行了捆扎，捆扎用的塑料绳全长多少厘米？（打结部分用30厘米）3.像右面这样捆一个盒子需要多长的彩带？5、一个礼盒（如下图），像这样用丝带捆扎起来，至少需要多长的丝带？（打结处需30厘米）(单位：厘米)6展开图选择题：1.下面的平面图形中，( )不能折成正方体。

A . B. C.2.右面图形中，能拼成正方体的是（）。

3、下面不是正方体展开图的是（）。

A. B. C.4、下图中，能围成正方体的是（）。

A、B、C、D、5、下面的图形中，有一个不是正方体的展开图，它的编号是________．6.请说出1号2号3号相对的面各是几号面（）A.4、6、5B. 4、5，6C. 6、5、47. 将右图折成一个正方体后，与2相对的面是（ ）。

A 、4 B 、5 C 、6 D 、38、请说出1号2号3号相对的面各是几号面（ ）A 、4，6，5B 、 4，5，6C 、 6，5，4D 、 5，6，4填空题：四块立方体积木，每块积木的6个面分别写着字母A ，B ，C ，D ，E ，F ；每块积木上字母的排列顺序相同，请仔细观察，然后根据这四块积木字母排列的情况推断：（1）C 对面的字母是（ ）。

（2）A 对面的字母是（ ）。

（3）E 对面的字母是（ ）。

解决问题1.下面涂色部分是一个盒子的展开图（小方格是边长1厘米的正方形），这个盒子的长、宽、高各是多少厘米？表面积是多少？2.下面是一个长方体铁盒的展开图，做这个铁盒需要多少铁皮？（单位：厘米）1 2 34 5 6表面积一、填空。

球心
球的中心点即为固定点。
特性
球是所有点都位于一个平面距离等于固定半 径的点的集合，具有对称性和连续性。
半径
从球心到球面上任意一点的距离称为球的半 径。
球的面积与体积
面积
球的表面积计算公式为4πr²，其中r为 球的半径。
体积
球的体积计算公式为(4/3)πr³，其中r为 球的半径。
球的应用
天文学
物理学
立体图形分类
• 圆柱 • 棱柱 • 圆锥 • 棱锥 •球
01
圆柱
定义与特性
定义
圆柱是一种立体图形，由两个平 行且相等的圆面和一个侧面组成。
特性
圆柱的侧面是一个曲面，且侧面与 两个圆面垂直。
基础属性
圆柱的高度、底面半径和底面直径 等属性可用于描述圆柱的大小。
圆柱的面积与体积
01
02
03
04
侧面积
日常生活
圆柱在日常生活中也很常 见，如水桶、油桶、笔筒 等。
科学实验
在科学实验中，圆柱常被 用作研究物质特性的模型， 如液体压力、流体动力学 等。
02
棱柱
定义与特性
定义
棱柱是一种几何体，由一个多边 形底面和与其相同形状的顶面组 成，且侧棱垂直于底面。
特性
棱柱有两个平行的多边形底面， 侧面由若干个矩形组成，且所有 侧面都与底面平行。
棱柱的面积与体积
面积
棱柱的侧面积等于底面的周长与高之积，即 (侧面积 = 底面周 长 × 高)。
体积
棱柱的体积等于底面积与高之积，即 (体积 = 底面面积 × 高)。
棱柱的应用
建筑学
棱柱在建筑设计中广泛应 用，如砖墙、石柱等。
工程学
棱柱在工程结构中用作支 撑和承载，如桥梁、塔架 等。

立体形的认识五年级下册期末测五年级的学生们在学习数学的同时，也要学会认识和理解立体形。

立体形是指在三维空间中具有长度、宽度和高度的物体。

通过学习立体形，学生们可以培养空间想象力和观察能力，帮助他们更好地理解几何知识。

下面将就五年级下册期末测中关于立体形的内容进行详细介绍。

一、认识六种常见的立体形在五年级下册的期末测中，常见的六种立体形有：球体、长方体、正方体、圆柱体、圆锥体和棱柱体。

学生们需要掌握它们的特点和性质，通过观察和实践来加深对这些立体形的认识。

下面将逐一介绍这六种立体形的特点。

1. 球体球体是一种表面上完全由曲面构成的立体形。

它的特点是所有点到球心的距离都相等，表面光滑，没有棱和角。

2. 长方体长方体是一种由六个矩形面构成的立体形。

它的特点是六个面都是矩形，相邻面之间有四个直角。

长方体的体积等于底面积乘以高。

3. 正方体正方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形。

正方体的体积等于边长的立方。

4. 圆柱体圆柱体是一种由两个平行的圆面和一个侧面构成的立体形。

圆柱体的体积等于底面积乘以高。

5. 圆锥体圆锥体是一种由一个圆锥侧面和一个封闭的圆面构成的立体形。

圆锥体的体积等于底面积乘以高再除以3。

6. 棱柱体棱柱体是一种由两个相等的多边形和若干个矩形侧面构成的立体形。

棱柱体的体积等于底面积乘以高。

二、运用立体形计算体积和表面积在五年级下册的期末测中，学生们需要掌握如何计算立体形的体积和表面积。

体积是指立体形所占据的空间的大小，表面积是指立体形表面的总面积。

通过运用相应的公式，学生们可以进行计算。

1. 计算长方体和正方体的体积和表面积长方体和正方体的体积可以通过底面积乘以高来计算，表面积可以通过六个面的面积之和来计算。

2. 计算圆柱体的体积和表面积圆柱体的体积可以通过底面积乘以高来计算，表面积可以通过底面积加上圆周面积再加上圆柱侧面的面积来计算。

3. 计算圆锥体的体积和表面积圆锥体的体积可以通过底面积乘以高再除以3来计算，表面积可以通过底面积加上圆锥侧面的面积来计算。

(2)图中③与⑥各有什么特征？有哪些相同点和不 同点？
解： (1)按柱体、锥体、球体分：①③⑤⑥⑦为柱体；④⑧为 锥体；②为球体． (2)③是圆柱，圆柱的上、下底面都是圆，且大小相同， 侧面是一个曲面；⑥是五棱柱，上、下底面是形状、 大小相同的五边形，侧面是5个长方形，侧面的个数与 底面边数相等．
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8．观察如图所示的圆柱和棱柱，回答下列问题： (1)圆柱和棱柱各由几个面组成？它们都是平面吗？ (2)圆柱的侧面与底面相交成几条线？它们都是直线吗？ (3)这个棱柱有几条棱？几个顶点？ 经过每个顶点有几条棱？
解： (1)圆柱由三个面组成，上、下两个底面是平面，侧面是 曲面；棱柱由8个面组成，都是平面． (2)两条，都不是直线． (3)这个棱柱有18条棱，12个顶点，经过每个顶点有3条棱．
相同点：两者都有两个底面． 不同点：圆柱的底面是圆，五棱柱的底面是五边形．圆
柱的侧面是一个曲面，五棱柱的侧面由5个长方 形组成．
点拨 4题 返回
点拨： (1)中分类有无曲面分类
4．下列几何体中，表面都是平面的是( C )
A．圆锥 B．圆柱 C．棱柱 D．球
5．把一个三角尺绕任意一条边所在直线旋转一周得到
一个几何体，则这个几何体________曲面(填“有”
或“无”)．
有
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6．如图，按组成的面来分类，至少有一个面是平面的 图形有__①__③__④__⑤__⑥____，至少有一个面是曲面的图 形有______________． ②③④⑥
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7．将如图所示的图形按有无曲面分类．
解： 有曲面的是③④⑤；无曲 面的是①②⑥⑦.
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梦栖皖水江畔 心驻黄山之巅 情系安徽学子 相约《点拨训练》
第四章 直线与角