线性代数 矩阵的秩

第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值以及在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。

本讲我们主要了解矩阵秩的求方法以及其与方程组各类型解的关系。

5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等变换定义了矩阵的行阶梯形、矩阵的行最简形以及矩阵的标准形。

其中矩阵行阶梯形与矩阵行最简形不唯一，但矩阵的标准形唯一。

因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。

定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。

其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。

注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。

（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。

当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。

解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ ()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()T R A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵） 性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()()()+()R A R B R A B R A R B ≤≤ ；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()()()+1R A R B R A B R A ≤≤ ;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵，(),r A r =则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。

第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定线性方程组是否有解，向量组的线性相关性，求矩阵的特征向量以及在多项式、空间几何等多个方面都有广泛的应用。

本讲我们主要了解矩阵秩的概念及其与方程组各类型解的关系。

5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等行（列）变换定义了矩阵的行（列）阶梯形、矩阵的行（列）最简形以及矩阵的标准形。

其中矩阵行（列）阶梯形与矩阵行（列）最简形可以不唯一，但矩阵的标准形唯一。

因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。

定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。

其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。

注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。

（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。

当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。

解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫ ⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()TR A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵）性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()(|)()+()R A R B R A B R A R B ≤≤；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()(|)()+1R A R B R A B R A ≤≤;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵且()R A r =，则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。

线性代数中的秩与矩阵变换解读在线性代数中，秩是一个非常重要的概念。

它可以帮助我们理解矩阵的性质和变换的本质。

本文将探讨线性代数中的秩与矩阵变换的关系，并解读其背后的数学原理和几何意义。

一、秩的定义与性质在线性代数中，矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）向量的最大个数。

我们用r(A)表示矩阵A的秩。

秩的定义可以通过高斯消元法得到，即将矩阵A进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，秩就是矩阵中非零行的个数。

秩具有以下性质：1. 对于任意矩阵A，秩满足0 ≤ r(A) ≤ min(m, n)，其中m和n分别是矩阵A的行数和列数。

2. 对于任意矩阵A，其秩与其转置矩阵的秩相等，即r(A) = r(A^T)。

3. 对于任意矩阵A和B，r(AB) ≤ min(r(A), r(B))。

当r(A) = r(B) = n时，r(AB) = r(A) = r(B) = n。

二、秩与矩阵变换的关系矩阵变换是线性代数中的一个重要概念，它描述了一个向量空间中的向量在某种变换下的映射关系。

而秩则是描述矩阵的性质的一个指标。

秩与矩阵变换之间有着密切的联系。

1. 矩阵变换的线性性质矩阵变换必须满足线性性质，即对于任意向量x和y以及标量c，有T(x + y) = T(x) + T(y)和T(cx) = cT(x)。

线性性质保证了矩阵变换的可加性和标量倍乘性。

2. 矩阵变换的表示对于一个线性变换T，我们可以用一个矩阵A来表示它。

具体而言，对于任意向量x，有T(x) = Ax。

其中，A是一个m×n的矩阵，m是变换后向量的维度，n是变换前向量的维度。

3. 矩阵变换与秩的关系矩阵变换与秩的关系可以通过矩阵的列空间和零空间来解释。

对于一个m×n的矩阵A，其列空间是所有由A的列向量线性组合而成的向量的集合，记作Col(A)；其零空间是所有满足Ax = 0的向量x的集合，记作Nul(A)。

根据秩的定义，我们可以得到以下结论：- 矩阵A的列空间的维度等于A的秩，即dim(Col(A)) = r(A)。

矩阵的秩理解矩阵是线性代数中最具有代表性的概念之一。

矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的数目，它在解决线性方程组、逆矩阵、特征值、正交化等问题中都有重要应用。

矩阵秩的定义比较简单，如果一个矩阵中存在线性无关的行或列，则这些行或列的数目就是矩阵的秩。

举个例子，对于一个3×3的矩阵A，如果存在两个线性无关的行或列，则A的秩就是2。

如果A中所有的行或列都线性无关，则A的秩就是3。

如果矩阵中没有线性无关的行或列则矩阵的秩为0。

矩阵秩的意义主要体现在以下几个方面。

第一个方面是线性方程组的解的判定。

考虑一个由n个未知数和m 个方程组成的线性方程组Ax=b，其中A表示系数矩阵，b表示右侧的常数项向量。

如果A的秩r等于n，则方程组有唯一解。

如果r<n，则有无数个解。

如果r<n并且存在0≠c∈Rn使得Ac=0，则无解。

因此，矩阵秩可以判断线性方程组的解的情况。

第二个方面是逆矩阵的存在性。

对于一个非零的n×n矩阵A，如果它的秩等于n，则其逆矩阵A−1存在。

这是因为如果A的秩等于n，则它的每一行和每一列都是线性无关的。

因此，通过高斯消元法可以将A化为阶梯矩阵，然后通过反演阶梯矩阵即可求得A的逆矩阵。

如果A的秩小于n，则A的逆矩阵不存在。

第三个方面是特征值和特征向量的求解。

在一些应用中，我们需要求出一个矩阵A的特征值和特征向量。

如果A的一个特征向量对应着一个特征值λ，则我们有(A−λI)x=0。

这里I是单位矩阵，x是特征向量。

我们可以将(A−λI)化为阶梯矩阵，然后通过高斯消元法求解。

如果(A−λI)的秩小于n−1，则λ不是A的特征值。

通过对所有可能的λ重复这个过程，我们最终可以求得所有的特征值和特征向量。

第四个方面是正交化。

在一些应用中，我们需要将一个矩阵的列向量正交化。

这可以通过对列向量进行高斯消元，然后将列向量化为阶梯形式进行操作。

如果矩阵的秩为r，则通过消元后得到的前r个列向量就是正交的。