斐波那契数列问题27页PPT

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大家准备好一些白纸和一只铅笔、圆规等作 图工具:
第一步：拿出一张白纸和一只铅笔，画出 两条长度为至少13个单元格的平行线。一条线在 另一条线的上面，它们分别是长方形的上下两条 边。
第二步：然后连接两条边的左端点，再连 接两条边的右端点，一个长方形就出来了。
第三步：接着请作出一个边长为8个单元格 的正方 形，如下图。
1
很多人认为数学是上帝的语言，人类发现了 这种语言并且使用了它。生命体的完美及其复 杂性的背后，都象征着一些数学关系。如下面 这幅图，植物以某种线性变化生长着：
2
3
如海螺身上完美的曲线：
4
如人耳朵的曲线：
5
如蒙娜丽莎的微笑，整个画面格局呈现一种 数学美：
6
这些纷繁美丽的背后蕴含着什么样的秘 密？是什么样的数学钥匙打开了这个自然界 的秘密？打开我们的手掌，手生五指，五指 三节。留意我们身边花朵你会发现，花瓣数 量要么就是3、5、8、13等数字，而其他数目 花瓣的花朵则很少见。那么这些花瓣背后数 字秘密是什么？
那么黄金数或黄金比和斐波那契数有什 么关系呢？
8
我们把斐波那契数列中相邻的两个数相 除，得到的结果都近似等于Φ，当取斐波那契 数列中数值越大，则它们的比值越接近Φ，当 取值接近无穷大时，其比值就等于Φ。所以斐 波那契数与黄金数是密切联系在一起的。下 面我们把斐波那契数列画成图形会怎么样？ 一起来试试。绘制你的第一条斐波那契螺旋 线。
我们一起来看这组数列1，1，2，3，5， 8，13，21，34……从第3项起每项为前两项之 和。我们称之为斐波那契数列。
7
在美学和数学里面有两个非常重要的概 念，就是黄金比和黄金数。我们知道黄金数 等于1.6180339887……，通常用Φ表示。它的 倒数恰好等于它的小数部分，也即１／Φ＝Φ －１，有时这个倒数也被称为黄金比，等于 0.618……。

1、 0、 1、 1、 2、 3、 0
121393、196418…… 这个数列中的第2013项除以5的余数是多少？
3、 3……
÷
天下难事做于易
芙蓉区双新小学
史 唯
第3题：
数列1，1，2，3，5，8……
从第三项起，每一项都是前两项之 和。问这个数列中的第2013项除以5 的余数是多少？
斐波那契数列
斐波那契（Leonardo Fibonacci） 是欧洲中世纪数学家，他对欧洲的数 学发展有着深远的影响。他生于意大 利的比萨，曾经游历过世界上的许多 地方。1202年，斐波那契出版了他的 著作《算盘书》。在这部著作中，他 首先引入了阿拉伯数字，将十进制计 数法介绍到欧洲。在此书中他还提出 了有趣的兔子问题。
1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、34、55、
1、 1、 2、 3、 0、 3、 3、 1、 4、 0、 89、 144、 233、 377、 610、 987、 1597、 2584、 4、 4、 3、 2、 0、 2、 2、 4、
4181、 6765、 10946、 17711、28657、46368、75025、
数列 1、1、2、3、5、8……
仔细观察 ，你能发现其中的规律吗？
仔细观察 ，你能发现其中的规律吗？
数列1、1、2、3、5、8、
13……
1+1=2 1 + 2 =3 2+3=5
3+5=8
5 + 8 = 13
ห้องสมุดไป่ตู้
………
仔细观察 ，你能发现其中的规律吗？
数列1、1、2、3、5、8、
13、
从第三项起，每一项都是前两项之和。

想一想：去掉第一项的1它还是斐波那 契数列吗？
6
根据规律填数
（1）3， 8， 11， 19，（30）， 49，……
（2） 0.1，0.2，0.3，0.5，（0.8）1.3，…… （3）4，5，9，14，23，（ 37），……
7
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 … 奇数 奇数 偶数 奇偶数 …
格桑花８瓣
雏菊13瓣
紫苑21瓣
11
树杈的数目
13 8 5 3 2 1 1
12
松果种子的排列
13
松果种子的排列
14
拓展应用
数学家发现：连续 10个斐 波那契数之和，必定等于 第 7个数的 11 倍！
右式的答案是： 610 11 = 6710
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 + 2584 ????
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
2
兔子数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13， 21… …
3
假设一对刚出生的小兔，一个月后就能 长成大兔，再过一个月便能生下一对小 兔，并且此后每个月都生一对小兔。一 年内没有发生死亡。那么，由一对刚出 生的兔子开始，到第12个月会有多少对 兔子呢？ 重点理解：
①小兔一个月后长成大兔，以后一直是大兔。
（1）如果想知道第15个月兔子的对数是奇数对还是偶 数对，你有什么办法呢？

我们把斐波那契数列中相邻的两个数相 除，得到的结果都近似等于Φ，当取斐波那契 数列中数值越大，则它们的比值越接近Φ，当 取值接近无穷大时，其比值就等于Φ。所以斐 波那契数与黄金数是密切联系在一起的。下 面我们把斐波那契数列画成图形会怎么样？ 一起来试试。绘制你的第一条斐波那契螺旋 线。
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走上去如弹钢琴般的楼梯
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最佳摄影位置
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最佳摄影位置
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最佳摄像位置
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大家准备好一些白纸和一只铅笔、圆规等作 图工具:
第一步：拿出一张白纸和一只铅笔，画出 两条长度为至少13个单元格的平行线。一条线在 另一条线的上面，它们分别是长方形的上下两条 边。
第二步：然后连接两条边的左端点，再连 接两条边的右端点，一个长方形就出来了。
第三步：接着请作出一个边长为8个单元格 的正方 形，如下图。
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有电脑作图技巧同学可以设计更加漂亮的 螺旋线。
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斐波那契螺旋线，是根据斐波那契数列画出 来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契 螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金 比例。斐波那契螺旋线，以斐波那契数为边 的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面 画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波 那契螺旋线。一起来看看：

7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 13 21 34 55 89 144
• 因此，斐波那契问题的答案是 144 对。 • 以上的数列，亦被称为「斐波那契数列」
斐波那契数列
• 这个数列称之为斐波那契数列，因以兔 子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数 列”。这个数列从第三项开始，每一项都 等于前两项之和，即
以斐波那契数列的性质为背景命制试题
• 【例】意大利著名数学家斐波那契在研 究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数 列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34, ,
其中从第三个数起，每一个数都等于它前 面两个数的和，人们把这样的一列数所 组成的数列称为“斐波那契数列”.
那么 a12 a22 a32
解答
1月 1对 2月 对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
解答
解答
• 可以將结果以表格形式列出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
1
34
看 这 两 个
2 3 5 8
13
21
55 89
144 233
377
610
数
34
987
列 55 + 89
1597 + 2584
：
231
6710
斐波那契数列
• 若一个数列，首两项等于 1，而从第 三项起，每一项是之前两项之和， 则称该数列为斐波那契数列。即：
1 + 1 = 2 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13

• 右式的答案是：
233
377
610 11 = 6710
610
987
1597
+ 2584
????
2021/1/18
尝试成功
下图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长
规律，第16行的实心圆点的个数是 610 ．（迎春杯
赛题）
2021/1/18
例题讲解
一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶， 从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的走法？
•换一个试试！
时间到！
• 答案是 6710。
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细看这两个数列：
您有什么 发现吗？
+
2021/1/18
1
2 3 5
8
13
21
34
55
89
+
231
34
55 89 144
233
377
610
987
1597
2584
6710
问题的提出
• 在 1202 年，斐波那契在他的著作中，提出以下的一个问题： • 假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能
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归纳小结：
• 可以将结果以表格形式列出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月
1
1
2
3
5
8
7 月 8 月 9 月 10 13 21 34 5月5
11 12 月89 1月44
• 因此，兔子问题的答案是 233 对。
• 以上的数列，是意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘全书》中提出的，
亦被称为“斐波那契数列”

阅读材料
斐波那契数列
假斐定(fě一i对)波刚那出契生是的中小世兔纪一数个学月家后，就他 能对长欧成洲大的兔数,学再发过展一有个着月深便远能的生影下响一。对他小生 于兔意,并大且利以的后比每萨个，月曾都经生游一历对过小东兔方。和一阿年 拉内伯没的有许发多生地死方亡。1那2么02,年由，一斐对波刚那出契生出的 版兔了子他开的始著,1作2个《月算后盘会书有》多。少在对这兔部子名呢著?
377，610，987 … …
单位: cm 5
3
11
2 8
兰 花
1 2
3
12
5
3
4
苹果花
格桑花
8 12
7
3
6 54
雏
菊
13 1 2 3
12
11
4
10 98
5
6 7
3
5
8
13
21
34
• 树丫的数目（树的分杈）
七 13
六
8
五
5
四
3
三
2
二
1
一
1
种
()
子 的 排
松 果
列
种
()
子 的 排
松 果
列
种子的排列
向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针数 ２１条；反向再数就变成了３４条．是不 是很有意思呀！
音乐中的斐波那契数列
从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程
5
2
3
共13个
3
5
8
斐波那契数列还有很多性质 未曾介绍。在国际上，仍然有很 多人对此数列发生兴趣，并办杂 志來分享研究的心得。
1月 2月 3月 4月 5月 6月

②由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2n－1＝a2n－a2n－2，可得 a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n. ③由a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2n＝a2n＋1－a2n－1，可得a2＋a4＋ a6＋…＋a2n＝a2n＋1－a1＝a2n＋1－1.
＝anan＋1.
斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》 中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其 中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名 的斐波那契数列．那么a1＋a3＋a5＋…＋a2 025是斐波那契数列中的第 __2_0_2_6___项． 2 026 [由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2 025＝a2 026－a2 024， 可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝a2 026，故a1＋a3＋a5＋…＋a2 025是斐波 那契数列中的第2 026项．]
2．斐波那契数列的性质 (1)求和问题：①Sn＝an＋2－1； ②a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n； ③a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－1.
[证明] ①Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－ a4)＋…＋(an＋1－an)＋(an＋2－an＋1)＝an＋2－a2＝an＋2－1，即Sn＝an＋2 －1.
第四章 数列
探名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列 数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第3项起，每一个数 都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{Fn} 称为“斐波那契数列”，递推公式：F1＝1，F2＝1，Fn＝Fn－1＋Fn－2(n ＞2)．

3
5
35
8
解答
6
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
7
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
8
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
9
月份 1 2 3 4 5 6
兔子 对数
1
12
3
5
8
月份 7 8 9 10 11 12
从第三项起，数列中的每一项 都等于前两项之和。
12
13
14
15
16
17
18
19
5
3
11
2
单位: cm
8
20
21
22
兰 花
1 2
3
23
12
5
3
4
苹
3
6 54
25
雏
菊
13 1 2 3
12
11
4
10 98
5
6 7
26
27
3
5
8
13
21
34 28
• 树丫的数目（树的分杈）
2
假定一对刚出生的小兔一个月后 就能长成大兔，再过一个月便能下一 对小兔，并且以后每个月都生一对小 兔。一年以内没有发生死亡。那么， 有一对刚出生的兔子开始，12个月后 会有多少对兔子呢？
3
1月 1对 2月 1对
解答
4
1月 1对 2月 1对 3月 2对
解答
5
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对
斐波那契数列

你发现这个数列的规律了吗？
如果用Fn 表示第n个月的兔子的总对数 , 可以看出
Fn Fn1 Fn 2 ( n 2)
这是一个由递推公式给出的数列, 称为斐波那契数列.
4.已知数列{an }的第1项是1, 第2项是 2, 以后各项由an an1 an 2 ( n 2)
给出.
n 2时, bn Tn Tn 1 n (n 1) 1;
n 1时, b1 T1 1, 符合上式.
an
bn n n 1 , an n 2 n 1.
2
阅读与思考
斐波那契数列
1202年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci，
1 2, 2 3, 3 5, .
1
1
斐波那契数列有很多有趣的性质．
例如，斐波那契数列满足等式，
我们可以用图形（图1）来表示这个等式．
图1中小正方形的边长等于斐波那契数1，1，2，3，5，8，…．
若干小正方形构成的长方形的边长依次是两个斐波那契数的乘积，，…．
如图1所示，从内到外依次连接通过小正方形的四分之一圆弧，
也呈现出类似的规律．
由于斐波那契数列的广泛应用性，美国成立了斐
波那契协会，并于1963年创办《斐波那契季刊》，
专门发表关于这个数列的研究论文．
有兴趣的同学可以通过浏览互联网或查阅相关书
籍搜集资料，进一步了解盘研究斐波那契数列．
b1
b2
b3
b4
b5
黄金分割点
斐波那契数列有很多有趣的性质.例如, 斐波那契数列满足等式
F12 F22
Fn2 Fn Fn1 .我们可以用图形(图1)来表示这3, 5, 8, .

25 75025 26 121393 27 196418 28 317811 29 514229 30 832040 31 1346269 32 2178309 33 3524578 34 5702887 35 9227465 36 14930352
37 24157817 38 39088169 39 63245986 40 102334155 41 165580141 42 267914296 43 433494437 44 701408733 45 1134903170 46 1836311903 47 2971215073 48 4807526976
1202年著作《算 盘书》。
斐波那契数列与数学
【第1年】 【第2年】
【第3年】
【第4年】
11 21 32 43 55 68 7 13 8 21 9 34 10 55 11 89 12 144
13 233 14 377 15 610 16 987 17 1597 18 2584 19 4181 20 6765 21 10946 22 17711 23 28657 24 46368
有13条顺时针螺旋 和21条逆时针螺旋
大自然中的斐波那契数列
大自然中的斐波那契数列
21条和34条 34条和55条 55条和89条 最多可达89条和144条
台
水
风
流
旋
漩
转
涡
云
图
星 云
5
3 11
2
8
斐波那契数列
假设:一对下一对小兔子，并且此后每个月 都会生一对小兔子，一年内没有死 亡，那么，12 个月后会有多少对兔 子呢？
1月
1
2月
1
3月
2

即 bn =2 bn1 数列{ bn }为等比数列， 其中b1 = a1 +1=2,q=2 bn =2 2n1 = 2n an 2n 1
16
问题一思路三：设 bn = a n +1，则bn1 = an1 +1， bn =3bn1 { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +1=2,q=3， bn =2 3n1 = 2 3n1 an = 2 3n1 －1
…………
猜想： a n = 3n13n2 2 3n3 2 ... 3 2 2
2 1 3n1
=3n1 1 3
= 2
n1
3
1
n

2
上式当 n=1 时也成立， a n = 2
n1
3
1
n

N

(证略)
15
问题二的解答
思路： bn = an +1=（2 an1 +1）+1=2（an1 +1）=2bn1， 构造法
再设 bn = an 2n ，则 bn1 = an1 2n1 ，
bn1 =3 bn { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +2=3,q=3，
bn =3n an =3n -2n
19
a1 1
问题三
：已知数列{
a
n
}满足
a
2

3
an 2an1 an2(n 3)
构造法
将(4)、 (5)两式相减得：
n
n
5a
n


1
2
5


1 2
5
an

–
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看到 不 同 的 结 果 。 若 能 把 一 些事 看 淡 了 ， 就 会 有 个 好 心 境， 若 把 很 多 事 看开 了 ， 就 会 有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹如 月 缺 月 圆 那 样 寻 常 ，
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角度 会
•
•
理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
21
子活动二：面积的平方和
a12 a22 a32 ... an2 an an1
子活动三：思维拓展
22
活动四：综合展示活动
用斐波那契数列次序美设计logo的评价标准
悦目：画面美观大方。
易解（意解）：在设计中能够充分体现 斐波那契数列的黄金分割比。
独特：体现你的穿越数学学科边界的意 识，有自己独特的灵感和创造力。
小组合作探究得出结论： 月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ ⅤⅥ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ
大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
给出斐波那契数列定义
定义斐波那契数列 令n = 1, 2, 3,… 依次写出数列，就是 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，89，144，233，377，… 这就是斐波那契数列。其中的任一个

G( x) x2 x x(G( x) x) x2G(x)
(1 x x2 )G(x) x
x G(x) 1 x x2 .
第16页/共25页
方程1-x-x2=0的两个根设为：
1 5 , 1 5 ,
2
2
则有
x
A
B
G(x)
1
x
x2
1x
1
. x
利用待定系数法易有
因此有
A1 5, B 1 5,
____________________________ 9xB(x) 9b1x 9b2x2 ) xA(x) a1x a2x2
(1 9x)B(x) xA(x) 1
这样就得到了关于A(x)和B(x)的联立方程组：
可以解得：
(1 9x)A(x) xB(x) 8, xA(x) (1 9x)B(x) 1,
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递的推母关函系数为Gn(xC)，(则n, r ) C(n, r 1)中有C2个(n参数1，,对r )于固定的n， C (n, r )
Gn(x) C(n,0) C(n,1)x C(n, 2)x2
____________________________ xGn(x)
C(n,0)x C(n,1)x2
满足si=0或1，且si si+1=0。
(2) 边长为Fn的正方形可以分解为若干个边长为Fi和Fi+1的长方形。
参见课本图形。
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(3) F1 F2
Fn Fn2 1;
F1 F3 F2 F2 F4 F3
Fn1 Fn1 Fn
_____)____F_n __Fn_2__F_n_1___________
F1 F2