斐波那契数列

斐波那契数列定义方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。

∵F(1)=F(2)=1。

∴C1*X1 + C2*X2。

C1*X1^2 + C2*X2^2。

解得C1=√5/5，C2=-√5/5。

∴F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）。

方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数r，s。

使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。

则r+s=1， -rs=1。

n≥3时，有。

F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。

F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。

F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。

……F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。

联立以上n-2个式子，得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。

∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。

上式可化简得：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。

那么：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。

……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1）。

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。

（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。

斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形。

这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。

斐波拉契数列的简介：“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。

籍贯大概是比萨）。

他被人称作“比萨的列昂纳多”。

1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。

他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。

他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。

他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}(√5表示5的算术平方根)(19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856) 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

斐波拉契数列之闻名，可能还跟美国悬疑作家丹·布朗有关，他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用了该数列。

其实，我国现行的高中教材中提及了杨辉三角，斐波拉契数列可在其中寻得。

13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。

书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8……这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。

计算斐波那契数列斐波那契数列是一个以递归的方式定义的数列，其特点是每个数都等于前两个数的和。

在数学上，斐波那契数列可以表示为：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，F0 = 0，F1 = 1。

斐波那契数列的前几个数字依次为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...计算斐波那契数列是一道经典的计算问题，本文将介绍三种常见的计算方法。

方法一：递归法递归法是最直观的方法，也是最容易理解的方法。

该方法通过递归调用函数来计算斐波那契数列。

例如，计算第n个斐波那契数可以表示为：```def fibonacci(n):if n <= 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```然后调用函数`fibonacci(n)`即可得到第n个斐波那契数。

方法二：动态规划法动态规划法是一种将原问题分解为子问题并存储子问题解的方法。

在计算斐波那契数列中，可以通过迭代的方式计算每个数并存储，以便后续使用。

例如：```def fibonacci(n):if n <= 0:return 0elif n == 1:return 1else:dp = [0] * (n+1)dp[0], dp[1] = 0, 1for i in range(2, n+1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]```方法三：矩阵快速幂法矩阵快速幂法是一种通过将斐波那契数列转化为矩阵的形式来计算的方法。

该方法基于矩阵乘法的性质，通过多次矩阵乘法的计算得到结果。

例如：```def fibonacci(n):if n <= 0:return 0elif n == 1:return 1else:def matrix_multiply(m1, m2):a = m1[0] * m2[0] + m1[1] * m2[2]b = m1[0] * m2[1] + m1[1] * m2[3]c = m1[2] * m2[0] + m1[3] * m2[2]d = m1[2] * m2[1] + m1[3] * m2[3]return [a, b, c, d]def matrix_pow(n):if n == 1:return [1, 1, 1, 0]elif n % 2 == 0:m = matrix_pow(n//2)return matrix_multiply(m, m)else:m = matrix_pow((n-1)//2)return matrix_multiply(matrix_multiply(m, m), [1, 1, 1, 0])return matrix_pow(n-1)[0]```通过以上三种方法，我们可以得到斐波那契数列中的任意第n个数。

斐波那契数列通项公式
fibonacci 数列由十九世纪意大利数学家莱昂内里·斐波那契首次提出，由数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …..构成的数列。

这个数列也被称为“黄金分割率数列”，因为其中数字之间的比值恰好等于黄金分割率（约为0.618）。

斐波那契数列的通式为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(0) = 0，f(1) = 1。

当n大于1时，斐波那契数列将以前两项之和作为每一项的值，每一项都等于它前面两项之和。

斐波那契数列在许多领域都有应用，其中最主要的应用是算法和数学方面。

它可以用于解决计算机程序中的递归问题，也可以用来解决许多数学问题。

斐波那契数列也可以用来求一些规律性的物理问题，如分段弦的变形、碰撞的合力和振动的波型。

斐波那契数列不仅仅是一个数学概念，它也可以用来分析金融市场和投资过程。

它可以帮助我们更好地理解金融市场的发展情况，有助于投资者制定更有效的投资策略。

此外，斐波那契数列也可以用来帮助生物和医学研究。

斐波那契数列可以用来描述一些生物进化过程，也可以用来描述病毒抗性的下降趋势。

总之，斐波那契数列是一个十分重要的数学概念，它在科学研究、投资和金融分析等领域都得到了广泛的应用。

掌握斐波那
契数列的基本原理和特性，将有助于我们更好地实现解决各类问题的目标。

斐波那契数值
斐波那契数列是一组数列，其每个数字都是前两个数字之和。

数列的前几个数字为0、1、1、2、3、5、8、13、21等。

这些数字在自然界中广泛存在，如植物的叶序、螺旋形状等。

斐波那契数列不仅在数学领域有重要意义，还被应用在计算机编程、金融学、生物学等领域。

斐波那契数列的递推公式为：F[0]=0，F[1]=1，F[n]=F[n-1]+F[n-2]（n>=2）。

在编程中，可以使用递归或循环等方式来计算斐波那契数列。

斐波那契数列的性质十分有趣，例如，相邻两项的比值越来越接近黄金分割比例（约为1.618），并且随着数列项数的增加，其比值越来越接近黄金分割点的值。

- 1 -。

斐波那契数列（一）斐波纳契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列。

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多〃斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。

他被人称作“比萨的列昂纳多”。

1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。

他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。

他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。

他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。

斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。

（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。

（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。

斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：3………………………百合和蝴蝶花5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8………………………翠雀花13………………………金盏草21………………………紫宛34，55，84……………雏菊（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。

例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位臵，则其间的叶子数多半是斐波那契数。

叶子从一个位臵到达下一个正对的位臵称为一个循回。

叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。

在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。

斐波那契数列性质
斐波那契数列性质：
性质1：每n个斐波那契数中有且仅有1个数能被F(n)整除。

性质2：10个连续的斐波那契数相加的和一定是11的倍数，且等于第7个数的11倍。

性质3：斐波那契数列前n项和等于第n+2项减1。

性质4：前n个项数为奇数的斐波那契数之和等于第2n个斐波那契数，或者说，第偶数项的斐波那契数等于其前面所有奇数项斐波那契数之和。

性质5：前n个项数为偶数的斐波那契数之和等于第2n+1个斐波那契数减1，或者说，第奇数项的斐波那契数等于其前面所有偶数项斐波那契数之和再加1。

斐波那契数列的几条性质及其证明斐波那契数列也叫兔子数列，它的前几项是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，递推公式是：n a =1-n a +2-n a ，其中1a =2a =1。

1、斐波那契数列前n 项的和等于第n +2项的值减去1。

即：1a +2a +…+1-n a +n a =2+n a -1证明：左边=2a +1a +2a +…+1-n a +n a -2a=（2a +1a ）+2a +…+1-n a +n a -2a根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得：上式 =（3a +2a ）+…+1-n a +n a -2a 以此类推最后得：左边=1+n a +n a -2a =2+n a -2a =2+n a -1。

等式得证。

2、斐波那契数列前n 项的平方和等于第n 项和第n +1项的值乘积。

即：21a +22a +……+2n a =n a 1+n a证明：根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得，左边=21a +2a （3a -1a ）+3a （4a -2a ）+……+n a （1+n a -1-n a ）=21a +2a 3a - 1a 2a +3a 4a -2a 3a +……+n a 1+n a -1-n a n a因为21a =1a 2a ，所以合并同类项后得，左边=n a 1+n a 。

等式得证。

3、斐波那契数列前n 项相邻两项乘积之和，当n 是奇数时等于第n +1项的值的平方，当n 是偶数时等于第n 项和第n +2项的值之积。

即：1a 2a +2a 3a +……+n a 1+n a 当n 是奇数时等于21+n a ，当n 是偶数时等于n a 2+n a 。

证明：（1）、当n 是奇数时，1a 2a +2a 3a +……+n a 1+n a =21+n a左边=1a 2a +2a （4a -2a ）+3a 4a +4a （6a -4a ）+……+1-n a （1+n a -1-n a ）+n a 1+n a =1a 2a +2a 4a -2a 2a +3a 4a +4a 6a -4a 4a +……+1-n a 1+n a -1-n a 1-n a +n a 1+n a 因为1a 2a =2a 2a ，所以上式=2a 4a +3a 4a +4a 6a -4a 4a +……+1-n a 1+n a -1-n a 1-n a +n a 1+n a =（2a +3a ）4a -4a 4a +（4a +5a ）6a -6a 6a +……-1-n a 1-n a +（1-n a +n a ）1+n a根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得：上式 =4a 4a -4a 4a +6a 6a -6a 6a +……+1-n a 1-n a -1-n a 1-n a +1+n a 1+n a=21+n a等式得证。

斐波那契数列的含义
斐波那契数列是一个无限序列，其特点是每个数都是前两个数的和。

其定义如下：
F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2), 当n ≥ 2时
斐波那契数列的含义可以从多个角度来解释：
1. 数学领域：斐波那契数列是数学中一个经典的数列，具有丰富的数学性质。

例如，它是一个递归数列，可以用递推关系来计算；它具有黄金分割比例相关的性质等。

2. 自然现象：斐波那契数列在自然界中有一些出现频率较高的情况，例如某些植物的花瓣数、螺旋线的数量等可以近似地符合斐波那契数列的规律。

这种现象被称为“自然数列”。

3. 算法和编程：斐波那契数列在算法和编程中有一些应用。

例如，可以使用斐波那契数列来设计递归算法或动态规划算法解决一些问题；斐波那契数列也经常被用作编程练习的题目之一。

总的来说，斐波那契数列作为一个经典的数列，在数学、自然科学和计算机科学中都具有一定的重要性和应用价值。

斐波那契数列(fibonacci sequence)斐波那契数列是一个非常有趣和有用的数学概念，它在自然界、艺术、计算机科学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍斐波那契数列的定义、性质、算法和应用，希望能给你带来一些启发和乐趣。

定义斐波那契数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在1202年的著作《计算之书》中提出的，他以兔子繁殖为例子，发现了一个数列，即每个月的兔子对数等于前两个月的兔子对数之和。

这个数列就被称为斐波那契数列，或者兔子数列，又或者黄金分割数列。

斐波那契数列的前几项如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...可以看出，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

用数学符号表示，就是：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n >= 2)其中，F(n)表示第n项的值。

性质斐波那契数列有许多有趣和重要的性质，下面列举一些常见的：奇偶性：斐波那契数列中，从第三项开始，每三项中有两个奇数和一个偶数。

也就是说，F(n)是奇数当且仅当n是3的倍数或者比3的倍数大1。

相邻项之比：斐波那契数列中，相邻两项之比会逐渐接近一个常数值，这个常数值就是黄金分割比φ≈1.618。

也就是说，当n趋向于无穷大时，F(n+1)/F(n)趋向于φ。

前n项之和：斐波那契数列中，前n项之和等于第n+2项减去1。

也就是说，F(0)+F(1)+...+F(n) = F(n+2)-1。

奇偶项之和：斐波那契数列中，所有奇数项之和等于最后一个奇数项的下一项减去1；所有偶数项之和等于最后一个偶数项的下一项减去2。

也就是说，如果F(m)是最后一个奇数项，则F(1)+F(3)+...+F(m) = F(m+1)-1；如果F(m)是最后一个偶数项，则F(0)+F(2)+...+F(m) = F(m+1)-2。