Fibonacci数列(斐波那契数列)

斐波那契数列以费波那西数为边的正方形拼成的长方形费波那西数列（Fibonacci Sequence），又译费波拿契数、斐波那契数列、费氏数列、黄金分割数列。

▪▪▪源起▪第一个月初有一对刚诞生的兔子▪第二个月之后(第三个月初)它们可以生育▪每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子▪兔子永不死去假设在n 月有新生及可生育的兔子总共 a 对，n+1 月就总共有 b 对。

在n+2 月必定总共有a+b对：因为在n+2 月的时候，所有在n 月就已存在的a 对兔子皆已可以生育并诞下 a 对后代；同时在前一月(n+1月)之 b 对兔子中，在当月属于新诞生的兔子尚不能生育。

表达式为求得费波那西数列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。

高中的初等数学知识也能求出。

初等代数解法已知▪▪▪首先构建等比数列设化简得比较系数可得:不妨设解得：所以有，即为等比数列。

求出数列{}由以上可得：变形得：。

令求数列{}进而得到{}设，解得。

故数列为等比数列即。

而，故有又有和可得得出表达式性代数解法构建一个矩阵方程设J n为第n个月有生育能力的兔子数量，A n为这一月份的兔子数量。

上式表达了两个月之间，兔子数目之间的关系。

而要求的是，A n+1的表达式。

求矩阵的特征值：行列式：-*(1-)-1*1=2--1当行列式的值为0，解得=或=将两个特征值代入求特征矢量得==分解首矢量第一个月的情况是兔子一对，新生0对。

将它分解为用特征矢量表示。

（4）从=可得（5）化简矩阵方程将（4）代入（5）根据3求A的表达式现在在6的基础上，可以很快求出A n+1的表达式，将两个特征值代入6 中(7)(7)即为A n+1的表达式近似值用计算机求解可通过编程观察斐波那契数列。

分为两类问题，一种已知数列中的某一项，求序数。

第二种是已知序数，求该项的值。

可通过递归递推的算法解决此两个问题。

事实上当n相当巨大的时候，O(n)的递推/递归非常慢……这时候要用到矩阵加速这一技巧。

斐波那契数列母函数斐波那契数列（Fibonacci sequence）是一个用递归的方式定义的数列，通过定义一个公式来递推得到。

数列的第 n 项为 f(n)，f(0) = 0，f(1) = 1，f(i) = f(i-1) + f(i-2)，其中i≥2。

这个序列的前几项为：0、1、1、2、3、5、8、13、21…以此类推。

斐波那契数列在数学上有很多有趣的性质和应用，例如：黄金分割、螺旋形等等。

我们可以将斐波那契数列看作是一种数学对象，可以用一种数学工具——母函数表示。

什么是母函数？母函数是一个常用于组合数学中的数学工具，它可以将一个离散的序列（如组合数、拉格朗日插值多项式等）表示成一个函数形式，以便更方便的进行分析。

母函数在生成函数、离散概率分布、计数问题等方面都有重要的应用。

母函数表达方式我们可以把斐波那契数列表示成一个母函数 F(x) 的形式：F(x) = x + x² + 2x³ + 3x⁴ + 5x⁵ + 8x⁶ + 13x⁷ + 21x⁸ + …这个式子的含义是什么呢？举个例子：F(3) = 3，表示斐波那契数列里第三个数为 2。

又比如：F(7) = 68，表示斐波那契数列里第七个数为 13。

这个数列的前若干项，用母函数表达式表示如下：F(x) = x + x² + 2x³ + 3x⁴ + 5x⁵ + 8x⁶ + 13x⁷ + 21x⁸ + …= x + (x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + …) + 2(x⁴ + x⁵ + x⁶ + …)+ 3(x⁵ + x⁶ + …) + 5(x⁶ + …) + 8(x⁷ + …) + 13(x⁸ + …) + …= x + x² F(x) + x³ F(x) + x⁴ F(x) + x⁵ F(x) + x⁶ F(x) + …= x F(x) + x² F(x) + x³ F(x) + x⁴ F(x) + x⁵ F(x) + x⁶ F(x) + …= (x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + …) F(x)= 1 F(x) / (1 – x –x²)上述式子就是斐波那契数列的母函数表达式，也可以简称为斐波那契数列生成函数。

用特征方程解斐波那契数列斐波那契数列（Fibonacci sequence）是一个数学概念，它是一系列从第三项开始的数的总和等于他们的前两项的数列，它属于著名的数列之一。

该定义可以表示为：1. F(0)=0,2. F(1)=1,3. F(n)=F(n-1)+F(n-2), 对于 n>1.斐波那契数列中最重要的数字是1。

该数字出现在方程中，每次出现增加了3个新的数字。

斐波那契数列的特点在于它的数字与前面的数字之间的关系：若要计算第n项的数字，只要知道前两项，即可推出第n 项的数字。

例如：F（0）=0F（1）=1F（2）=F（0）+F（1）=1F（3）=F（1）+F（2）=2F（4）=F（2）+F（3）=3因此，只需要将上一次的结果与上两次结果之和，即可计算出斐波那契序列中新结果。

它是一个著名并且重要的数学现象，这也是它非常受欢迎的原因之一。

斐波那契数列也可以用几何想像出来，用一根线段递增的绘制斐波那契序列，首先画出从0开始的断点，0到1绘制半个斐波那契数，然后从1开始绘制一条新的线段，连接另一个断点并从1到2绘制另一半斐波那契数，重复这个步骤直到完成整个斐波那契的绘制。

斐波那契数列对自然界也有重要意义，斐波那契书经常用作古老代数，斐波那契数列在很多领域扮演者重要角色，例如经济学、计算机科学、生物物科等，例如在自然界出现的许多事物，如螺旋管、叶子、水果、花等，都是数学上斐波那契数列现象的典型表示，这也是它受大自然赞扬的一个重要原因。

斐波那契数列就是这样一种有趣的数学现象，它给大家又多种出现的地方，既像出现在自然界的叶子、水果上，也出现在经济学、计算机科学等一系列领域，被大家熟知和广泛使用，它也是数学中一个著名的数列，值得我们去探索其内在的秘密，S开启一段善自知之旅。

斐班那切数列斐波那契数列（Fibonacci sequence）是一个典型的数学问题，也是一个非常有趣的数列。

它是通过前两个数字的和得到下一个数字的一种规律，起始数字常为0和1。

斐波那契数列的定义很简单，就是从1开始，每一项都等于前两项之和，公式表示为：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示数列的第n项。

斐波那契数列的前几项依次为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144，以此类推。

可以看出，这个数列是个无限数列，每一项都是前两项的和。

斐波那契数列最早是由13世纪的意大利数学家斐波那契（Fibonacci）研究得出的。

他在其著作《算盘书》中介绍了斐波那契数列，并且用兔子繁殖作为实例来说明这个数列的应用。

斐波那契数列有着许多有趣的性质和应用。

首先，它是一个递归数列，可以通过递归的方式来生成。

其次，斐波那契数列的增长速度非常快，后面的数字会迅速增大。

这也使得它在金融学、自然科学、计算机科学等领域有着广泛的应用。

在金融学中，斐波那契数列出现在黄金分割比例中。

黄金分割比例是一个数学上的常数，被广泛应用在艺术、建筑、美学等领域。

它可以用斐波那契数列的比值逼近得到，即相邻两项的比例会越来越接近黄金分割比例1.618。

在自然科学中，斐波那契数列也有着一些有趣的应用。

例如，它出现在植物的排列方式中。

在一些植物的叶子、花瓣、果实等排列中，可以发现它们的数量往往是斐波那契数列的某一项。

这种规律被称为植物的斐波那契序列。

在计算机科学中，斐波那契数列常常被用来展示递归算法的实现。

由于斐波那契数列的递归定义，可以使用递归算法来计算数列的某一项。

然而，递归算法在计算大量项时会遇到效率问题，结果需要大量的重复计算。

因此，可以使用动态规划等方法来优化算法，避免重复计算。

斐波那契数列还和黄金矩形、黄金螺旋等有着紧密的联系。

黄金矩形是一种长宽比例接近黄金分割比例的矩形，黄金螺旋则是由一系列黄金矩形组成的螺旋形状。

递归求fabonacci数列c语言Fibonacci数列，相信大家都不陌生。

大名鼎鼎的斐波那契数列，在数学上和计算机科学领域都有着广泛的应用。

在这里，我们来学习一下如何用C语言递归求解Fibonacci数列。

什么是Fibonacci数列？Fibonacci数列，又称为斐波那契数列，是一个非常著名的数学数列。

它的定义如下：F(0)=0F(1)=1F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2）也就是说，每个数都是前两个数之和。

Fibonacci数列前几项依次为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……递归求解Fibonacci数列在C语言中，Fibonacci数列的递归求解其实非常简单。

我们只需要定义一个函数，在函数体内部递归调用即可。

以下是递归求解Fibonacci数列的C语言代码：```cint Fib(int n){if(n == 0) // 当n等于0时，Fibonacci数列的第一项为0return 0;else if(n == 1) // 当n等于1时，Fibonacci数列的第二项为1return 1;else // 当n大于等于2时，按照公式递归计算return Fib(n-1) + Fib(n-2);}```以上代码中，我们定义了一个名为Fib的函数，接受一个整数类型的参数n。

在函数体内部，我们使用了C语言中的if-else结构，根据n的值判断返回什么值。

当n等于0时，Fibonacci数列的第一项为0，返回0；当n等于1时，Fibonacci数列的第二项为1，返回1；否则，按照公式递归调用Fib函数计算Fibonacci数列的第n项。

在主函数中，我们可以调用Fib函数输出Fibonacci数列的前十项：```cint main(){int n = 10; // 输出Fibonacci数列的前十项for(int i=0; i<n; ++i)printf("%d ", Fib(i));printf("\n");return 0;}```输出的结果如下：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34以上就是用C语言递归求解Fibonacci数列的方法。

斐波那契数列的神奇之处斐波那契数列(Fibonacci sequence)起源于20世纪初期，由意大利数学家列奥纳多·斐波那契(L.Fibonacci)发现，并以他的名字来命名。

这个数列由数列中的前两个数0和1开始，后面的每个数都等于前面两个数之和。

数列的前几个数字为0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……下面就让我们来探讨一下斐波那契数列的神奇之处。

1. 出现在自然界和人工制品中斐波那契数列不仅仅在数学上有意义，它还出现在自然界和人工制品中。

例如，一些植物的花序和果枝排列，他们的叶子数量、蜂房中蜂窝的排列等等，都符合斐波那契数列的规律。

同样，一些人工制品中也出现过斐波那契数列，比如乐器中的管长或键盘数目等等。

2. 黄金比例与斐波那契数列的关系斐波那契数列与黄金比例有着密切的关系。

所谓黄金比例就是两个数数量之和与较大的数之比等于较大的数之比与较小的数之比相等，这个比例约为1:1.618。

这种比例出现在各个领域，包括艺术、建筑、金融等等。

而斐波那契数列中相邻数之比很接近黄金比例，随着数列长度的增加，这个比例会越来越接近黄金比例。

3. 应用于投资和财务领域斐波那契数列在投资和财务领域有着广泛的应用。

投资者们往往利用这个数列来预测股票市场的走势，以及判断股票是否被高估或低估。

此外，在财务领域中，斐波那契数列也被用来解决各种问题，比如预测银行借贷期限、计算贷款等。

4. 数学问题的研究斐波那契数列一直是数学研究的重点之一。

从初中的数列和级数开始，到高中的函数、极限和导数等等，都与斐波那契数列有关。

这个数列也是数论和组合数学领域中一些基础问题的研究对象，如偏序关系、数的表示问题等等。

5. 算法和计算机编程斐波那契数列在算法和计算机编程中也发挥了重要的作用。

它是许多算法问题的基础，比如欧几里德算法、矩阵求幂算法等等。

此外，在计算机编程中，斐波那契数列也被用来解决一些实际的问题，比如优化代码性能、加密算法等等。

斐波那契数列
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……
口诀：一三五线有文章，时空坐标能捉庄；格兰威尔八法则，斐波那契内中藏；短期均线是十三，时间之窗不简单；判断品种强弱势，十三均线秤一杆；倘若期价穿十三，并沿该线稳升攀；上升空间将极广，倘若不能则有限。

斐波那契数列（Fibonacci sequence）及相关结论一、定义斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）1202年以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和。

在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：二、通项公式1、递推公式：2、通项公式：证明一：（构造等比数列）设常数r和s满足：即：则r和s满足如下条件：由韦达定理知，r和s为一元二次方程的两个根，不妨令当n≥3时，有即上式共n-2个式子，累乘得由于，所以有将直到按照上述递推关系式进行展开有可见是首项为，公比为，末项为的等比数列求和，根据等比数列求和公式有将r和s代入得斐波那契数列的通项公式为即方法二：特征根法三、斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列前一项与后一项之比的极限为黄金分割比。

证明：由于因此，斐波那契数列前一项与后一项之比为即当n→+∞时，四、几个重要的结论1、前n项和公式：证明：由于斐波那契数列的通项公式为：其显然是两个等比数列的线性组合，因此我们可以利用等比数列的求和公式来计算斐波那契数列的前n 项和。

这里我们由定义和通项公式可以直接得到如下结论：即成立。

2、奇数项求和证明：3、偶数项求和证明：移项便得到证明。

4、平方求和证明：五、一些重要恒等式注：本内容收集整理于网络，如有错误请指正。

fibonacci 数列斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，是指从0和1开始，之后每一项都是前两项之和的数列。

它的前几项是：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233，依此类推。

斐波那契数列在数学和自然界中都有广泛的应用，如兔子繁殖、植物的花瓣排列、贝壳的螺旋等，而且在计算机科学中也经常被用到。

在计算机编程中，斐波那契数列可以用递归算法或循环算法来实现。

递归算法的实现方式简单，但受到递归深度的限制，当数列项数较大时容易出现栈溢出等问题。

循环算法则不会受到这种限制，但要注意在处理较大的数时会出现浮点数截断等问题，因此应使用大数类等方法来解决。

斐波那契数列在计算机科学中有许多应用，例如：矩阵快速幂算法、动态规划、算法、剪枝算法等等。

其中，矩阵快速幂算法是利用斐波那契数列的一种算法，可以快速地求出任意项的值。

动态规划和算法中也经常用到斐波那契数列，例如：爬楼梯问题、最大子序和问题等。

爬楼梯问题是一道经典的动态规划问题，它的题意是：有n层楼梯，每次可以爬1层或者2层，问有多少种不同的爬楼方式。

这个问题的解可以用斐波那契数列来求解，具体方法是：当n=1时，只有1种爬楼方式；当n=2时，有2种爬楼方式；当n>2时，可以分为两种情况，一种是第一步爬1层，此时剩余的楼梯有n-1层，可以用f（n-1）中的方法求解；另一种是第一步爬2层，此时剩余的楼梯有n-2层，可以用f（n-2）中的方法求解。

因此，爬楼梯问题的解为f（n）=f（n-1）+f（n-2）。

最大子序和问题是指在一个数组中找到一个连续的子序列，使这个子序列的和最大。

这个问题的解是用动态规划算法来求解，需要利用到斐波那契数列的递推表达式。

最大子序和问题可以看作是在一列数字中找到一段连续的数字，使它们的和最大。

具体方法是：假设已经求得前i-1个数的最大子序和为f（i-1），则前i个数的最大子序和分为两种情况，一种是包含第i个数（即前i-1个数的最大子序和为正数），另一种是不包含第i个数（即前i-1个数的最大子序和为负数或为0）。