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导数的应用-单调性与极值PPT教学课件

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导数应用—单调性课件

导数应用—单调性课件
边际分析
导数在经济学中常用于进行边际分析，例如边际成本、边际收益和边际效用等。通过求导，可以确定企业在一定 条件下的最优产量或价格策略。
04
导数与单调性的综合应用
导数在研究复杂函数单调性中的应用
判断函数单调性
通过求导数，可以判断函 数的单调性，进而研究函 数的极值、拐点等特性。
极值问题
导数可以用来研究函数的 极值问题，通过导数的符 号变化，可以确定函数的 极值点。
导数计算方法
通过求极限或使用导数基 本公式来计算导数。
单调性的定义与分类
单调性定义
函数在其定义域内，对于任意两点x1和x2，当x1<x2时，若函数值f(x1)≤f(x2) ，则称函数在此区间内单调递增；反之，若f(x1)≥f(x2)，则称函数在此区间内 单调递减。
单调性分类
根据单调性的定义，可以将单调性分为递增和递减两类。
单调性与不等式
导数可以用来证明不等式 ，通过研究函数单调性， 可以推导出不等式的正确 性。
导数在解决多变量问题中的应用
最值问题
导数可以用来求多变量函数的最 值，通过求导数并令其为零，可
以找到函数的最值点。
优化问题
导数可以用来解决优化问题，通过 求导数并找到最优解，可以找到最 优的参数配置。
动态分析
导数与单调性的关系
单调递增的导数条件
当函数的导数大于0时，函数在此区 间内单调递增。
单调递减的导数条件
单调性与导数的关系总结
导数的符号决定了函数的单调性，通 过判断导数的符号可以判断函数的单 调性。
当函数的导数小于0时，函数在此区 间内单调递减。
02
导数在研究函数单调性中的应用
导数在判断函数单调性中的应用

第二章函数导数及其应用第二节函数的单调性与最值PPT课件

第二章函数导数及其应用第二节函数的单调性与最值PPT课件
M为f(x)的最小值
主干回顾·夯实基础
考点技法·全面突破 学科素能·增分宝典
第二章 函数、导数及其应用
课时跟踪检测
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 函 数 y ＝ 的 单 调 递 减 区 间 是 ( － ∞ ， 0)∪(0 ， ＋ ∞)．( ) (2) 对 于 函 数 f(x) ， x∈D ， 若 x1 ， x2∈D 且 (x1 － x2)[f(x1) － f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．( ) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．( ) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增 区间是[1，＋∞)．( ) (5)如果一个函数的图象在闭区间上是一条连续不断的曲 线，则函数在该区间上一定存在最大值和最小值．( )
解析：选 A 由题意知，A 项中 f(x)＝1x在(0，＋∞)上为减
函数，B 项中 f(x)不单调，C 项中 f(x)为增函数，D 项中 f(x)在(0，
＋∞)上为增函数．故选 A.
主干回顾·夯实基础
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第二章 函数、导数及其应用
课时跟踪检测
3．(2015·天津模拟)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 结论
(1)对于任意x∈I，都有 __f(_x_)≤__M___ (2)存在x0∈I，使得_f_(_x0_)_＝__M_
M为f(x)的最大值
(1)对于任意x∈I，都有 _f_(_x_)≥__M___ (2)存在x0∈I，使得_f_(x_0_)_＝__M__
主干回顾·夯实基础
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函数的单调性与导数-图课件

函数的单调性与导数-图课件

单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。

导数的应用----单调性、极值精华课件

导数的应用----单调性、极值精华课件

典型例题 4
设 t0, 点 P(t, 0) 是函数 f(x)=x3+ax与 g(x)=bx2+c 的图象的一 个公共点, 两函数的图象在点 P 处有相同的切线. (1)用 t 表示 a, b, c; (2)若函数 y=f(x)-g(x) 在 (-1, 3) 上单调递减, 求 t 的取值范 围. 解: (1)∵函数 f(x) 的图象过点 P(t, 0), ∴ f(t)=0t3+at=0. ∵t0, ∴a=-t2. 又∵函数 g(x) 的图象也过点 P(t, 0), ∴ g(t)=0bt2+c=0. ∴c=ab. ∵两函数的图象在点 P 处有相同的切线, ∴ f(t)=g(t). 而 f(x)=3x2+a, g(x)=2bx, ∴3t2+a=2bt. 将 a=-t2 代入上式得 b=t. ∴c=ab=-t3. 综上所述, a=-t2, b=t, c=-t3. (2)方法一 y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3. y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t). 当 y=(3x+t)(x-t)<0 时, y=f(x)-g(x)为减函数.
6.设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 求 f(x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f(x) 在 (a, b) 内的极值; (2)将 f(x) 的各极值与 f(a), f(b) 比较, 其中最大的一个是最大 值, 最小的一个是最小值.
如果应用导数解决实际问题, 最关键的是要建立恰当的数学 模型(函数关系), 然后再运用上述方法研究单调性及极(最)值.
三、知识要点
1.函数的单调性 (1)(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可 导, 如果 f(x)>0, 则 y=f(x) 为增函数, 如果 f(x)<0, 则 y=f(x) 为 减函数, (2)(函数单调性的必要条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可 导, 如果 f(x) 在该区间单调递增(或减), 则在该区间内 f(x)≥0 (或 f(x)≤0). 注 当 f (x) 在某个区间内个别点处为零, 在其余点处均为正 (或负)时, f(x) 在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的. 例 f(x)=x3 在 (-1, 1) 内, f(0)=0, f(x)>0(x0). 显然 f(x)=x3 在 (-1, 1) 上仍旧是增函数.

ppt-0302--函数单调性与极值、最值

ppt-0302--函数单调性与极值、最值

y
b a
2 2
x y
(X
x).
令Y=0，得切线在x轴上的截距 X
a
2
.
x
令X=0，得切线在y轴上的截距 Y b2 . y
可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为
S 1 XY a2b2 .
2
2xy
yb a
a2
x2 ,
S
a2b2 2xb a2 b2
a
(0 x a).
但是S最小当且仅当其分母 2bx a2 x2最大. a
令f (x) 0， 得到f (x)的驻点x1 1，x2 4.
f (1) 11，f (1) 41，f (2) 2,
6
6
3
可知f (x)在[1,2]上的最大值点为x 1，
最大值为f (1) 11. 6
最小值点为x 1，最小值为f (1) 41. 6
2
例6 设f (x) 1 2 (x 2)3，求f (x)在[0,3]上的最大值与 3
令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. y 12x2 16x 12.
y |x1 12 16 12 16 0
y |x0 12 0 y |x3 48 0
可知x1 1为函数的极小值点,
相应的极小值为y
| x 1
7. 3
x2 0为函数的极大值点，
相应极小大值为y |x0 0.
又因a，b为正常数，x a2 x2 0,
所以S最小当且仅当u x2 (a2 2x2 )最大.由于
u 2a2x 4x3 2x(a2 2x2 ),
令u 0，解出在(0,a)内的唯一驻点x0
2 a. 2
此时y0
2 b. 2
S a2b2 ab.

函数的单调性与导数-图课件

函数的单调性与导数-图课件
函数的单调性与导数-图 课件
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在 定义域内逐渐增大或逐 渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上 倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下 倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增； 当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二 阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的 极值点，从而解决实 际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸 性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实 际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求 出函数的最大值和最 小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确 定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同 区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和 最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系

导数的应用(单调性、极值、最值)

导数的应用(单调性、极值、最值)
极小值.
例5 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
通常用列表讨论。
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
y 3 x2
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
2、若在 (a, b) 内 f '( x) 0，则 f ( x) 在 (a, b) 上单减.
例1 讨论函数 y ex x 1 的单调性.
解 y ex 1, 且 D (, ).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.

函数的单调性与最值 课件(共20张PPT)

函数的单调性与最值 课件(共20张PPT)
最值. 三．对于较复杂函数，可用换元法化归为简单函数、或者运用导数，
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
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极大值与极小值统称为极值.
导数的应用二、求函数的极值 如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值 如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0 的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0， 那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
(2)y=-2x2+5x (4)y=3x2-x3
注、极值点是导数值为0的点
导数的应用之三、求函数最值. 在某些问题中，往往关心的是函数在 整个定义域区间上，哪个值最大或最小的 问题，这就是我们通常所说的最值问题. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其 中最大的一个为最大值，最小的一个最小值
表格法
注： 求函数最值的一般方法：
一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
(2)算比值
Δy Δx
f ( x Δ x ) Δx
f(x)
(3)求极限 y lim Δy Δ x0 Δ x
5、 求导的公式与法则——
(C)/ 0
(x n )/ nx n1 (n N * )
如果函数 f(x)、g(x) 有导数，那么
[f(x) g(x)]/ f/(x) g/(x)
[C f(x)]/ Cf/(x)
引例、 已知函数y=2x3-6x2+7, 求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的.
用定义法判断函数单调性的步骤： （1）任取x1<x2 ( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形 （3）判断符号 （4）下结论
引入： 函数单调性体现出了函数值y随自变
量x的变化而变化的情况, 而导数也正是研究自变量的增加量
用导数法求解函数极值的步骤： (1) 求导函数f `(x)； (2) 求解方程f `(x)=0； (3) 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小 值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
例1 、求函数y=x3/3-4x+4极值.
表格法
练:(1)y=x2-7x+6 (3)y=x3-27x
用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1）求出函数的导函数 （2）求解不等式f `(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间 （3）求解不等式f``(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间 注、单调区间不 以“并集”出现。
练习1、 确定y=2x3-6x2+7的单调区间 练习2、求y=3x-x3的单调区间
引例：确定y=2x3-6x2+7的单调区间
函数极值的定义——
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值
法二、 解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
x 1 （1,2） 2 （2,5） 5
y’ 0 _
0
+
y3
2
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内的极Hale Waihona Puke 值为3， 最大值为11，最小值为2
课本练习 p44
4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
复习
1 、 某点处导数的定义——
f`(x0 )
lim
Δ x0
f ( x0
Δ x ) Δx
f(x0 )
2 、 某点处导数的几何意义——
这一点处的导数即为这一点处切线的斜率
3 、 导函数的定义——
f`(x) lim f(x Δx) f(x)
Δ x0
Δx
4、由定义求导数的步骤（三步法）
(1)求增量 Δy f(xΔx) f(x)
思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5] 内的最小值为2，求m的值
导数的定义
导数的几何意义
导数 求导公式与法则
多项式函数的导数
导数的应用
函数单调性 函数的极值 函数的最值
基本练习
1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的 斜率为( )
(A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8
6、 求导的方法——
定义法
公式法
练习： 1、求下列函数的导数
（1）y=（x2-3x+2）（x4+x2-1） （2）y=（x/2+t）2
2、设f（x）=ax3-bx2+cx，且f `（0）=0，
f `（1）=1，f `（2）=8，求a、b、c
3、抛物线f（x）=x2-2x+4在哪一点处的 切线平行于x轴？在哪一处的切线与x轴的 交角为450？
结论： 设函数y=f(x)在某个区间内有导数，
如果在这个区间内y`>0，那么y=f(x)为这 个区间内的增函数；如果在这个区间内 y`<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.
y`>0
增函数
y`<0
减函数
判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法
导例数1的、应确用定一函、数判y断=单2x调3-性6x、2+求7的单单调调区间区间
2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( ) (A)y’=100(x99+x49+x24) (B) y’=100x99 (C) y’=100x99+50x49+25x24 (D) y’=100x99+2x49
3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为 12x-3y=16，则点P的坐标为 .
与函数值的增加量之间的关系
于是我们设想一下能否利用导数来 研究单调性呢？
分析：从图形看 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们
发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正
若函数在区间(a,b)内单调递减，发 现在（a，b）上切线的斜率为负，即 在(a,b)内的每一点处的导数值为负，