《简单周期》 第 49 页 简单周期
传说诸葛亮小时候就特别爱动脑筋。一天，他到邻居老爷爷家玩，老爷爷正和别人下棋，见到他就用棋来出题考他。老爷爷先摆了3颗白棋子．再摆了2颗黑棋子；接着又摆了3颗白棋子，再摆了2颗黑棋子（如图）。
然后，老爷爷发问了：不摆棋子，你能说出第22颗是什么颜色吗? 诸葛亮想了一会儿，很快就答对了。
诸葛亮为什么不用摆棋子就知道问题的答案呢? 聪明的同学一定想到了，老爷爷棋子的排列是非常有规律的，即总是按照“三白两黑、三白两黑”的顺序不断重复出现。生活中，像这样按照某种规律不断重复出现的现象还有很多，如十二生肖、一年春夏秋冬四季、一个星期从星期一到星期日的循环……
一般的，把这些不断重复出现的现象统称为周期现象，呈现一定周期现象的问题就叫作周期问题。
解答周期问题一般要利用余数的知识，解答时要注意两点：
1．找出规律，发现周期现象；
2．把要求的问题和某一周期的变化相对应，以求得问题的解决。
【例1】 国庆节，路旁挂起了一盏盏彩灯，小华看到两盏白灯之间有红、黄、绿灯各一盏。那么第80盏彩灯应是什么颜色? 第102盏呢?
分析 两盏白灯之间有红、黄、绿灯各一盏，电就是蜕彩灯是按照“白、红、黄、绿、白、红、黄、绿、白、红、黄、绿、白、红、黄、绿……”的规律不断重复出现的。以4个（白、红、黄、绿）为一组，80盏彩灯刚好分成80 ÷ 4 = 20（组），第80盏刚好在第20组的最后一个，也就是“白、红、黄、绿”的最后一个，所以第80盏彩灯是绿色。同样的道理，因为102 ÷ 4 = 25……2，所以25组彩灯数完了之后才只数到100个，第102盏彩灯还要接着数2个，也就是顺序“白、红、黄、绿”这一周期的第2个，即是红色。
〖即学即练1〗 舞蹈队的同学们为同庆节准备舞蹈，他们排成一长排，每个人头上都戴了一顶帽子，帽子的颜色按照2顶黄帽子、3顶蓝帽子、1顶黑帽子的顺序依次排列。如果一共有32位同学，那么最后一位同学戴的帽子是什么颜色的? 《简单周期》 第 50 页 【例2】 2008年8月8日北京奥运会开幕。已知这一天是星期五，那么从这一天算起第55天是星期几?
一、选择题
1．函数y＝xex在[0，2]上的最大值是( )
A.1e B.2e2
C．0 D.12e
解析：选A.易知y′＝1－xex，x∈[0，2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得2≥x>1，所以函数y＝xex在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y＝xex在[0，2]上的最大值是y|x＝1＝1e，故选A.
2．(2018·安徽模拟)已知f(x)＝ln xx，则( )
A．f(2)>f(e)>f(3) B．f(3)>f(e)>f(2)
C．f(3)>f(2)>f(e) D．f(e)>f(3)>f(2)
解析：选D.f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝1－ln xx2，令f′(x)＝0，得x＝e.
所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故x＝e时，f(x)max＝f(e)＝1e，而f(2)＝ln 22＝ln 86，f(3)＝ln 33＝ln 96，所以f(e)>f(3)>f(2)．故选D.
3．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为( )
A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
解析：选D.由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
0 ＋
f(x) 极大值 极小值
又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，所以k≤－3.
4．函数f(x)＝12x2－ln x的最小值为(
)
A．12 B．1
C．0 D．不存在
导数中含参问题的分类讨论
本讲义由作业帮周永亮老师(白哥)独家编撰，侵权必究
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★ 1.-次型导函数
一次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是一次函数形式，或者说导函数中，除
去里面的一次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).
例：f (x) = ax + b ； f (a:) = (ax + b) ex ; f' (a;) = 口“ * " (z > 0)
X
★ 2.二次型导函数
二次型导函数：
二次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是二次函数形式，或者说导函数中，除 去里面的二次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).
例：f (a:) = ax2 +bx + c ； f (x) = (ax2 +bx + cj ex ; f (x) —* 况 * ° (a； >
0)
注：以上a尹0，若不确定a是否可以为0,就先讨论是一次型还是二次型；★ 3 .含参函数单调性的分类讨论
(1) 先确定导函数是一次型还是二次型，一次型按照一次型的讨论方式讨论;
① 判断是否有根，没有根会出现恒成立状况；
② 求出导函数的根，判断根是否在定义域内，不在定义域会出现恒成立问题；
③ 根在定义域内，穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；
(2) 若是二次型，先判断二次型函数是否有根，没有根会出现恒成立状况；
① 如果二次型函数有根，就先求出根(能因式分解就因式分解)；
② 判断根是否在定义域内(讨论根与定义域端点值的大小关系)；
③ 如果两根全在定义域，那么确定两根大小关系；
④ 穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；
★ 4.拟合函数
(1)拟合函数是指，根据散点图，拟合出函数的解析式，这里考虑到的点越多，拟合的解 析式就越精确.
(2 )在求导中，我们会发现很多函数的导函数是指数型或者对数型的，
如：f' (x) = ex —2 ; (/ (x) = (a; — a) (Inx — S),这种类型的导函数，我们判断原函数的 单调性比较麻烦，所以我们会采用拟合函数的形式进行讨论就可以了；
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解
第3讲 导数的几何意义及函数的单调性
[考情分析] 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形
式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，
以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题．
考点一 导数的几何意义与计算 核心提炼
1．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
2．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.
例1 (1)(2022·焦作模拟)函数f(x)＝(2ex－x)·cos x的图象在x＝0处的切线方程为( )
A．x－2y＋1＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
答案 B
解析 由题意，函数f(x)＝(2ex－x)·cos x，
可得f′(x)＝(2ex－1)·cos x－(2ex－x)·sin x，
所以f′(0)＝(2e0－1)·cos 0－(2e0－0)·sin 0＝1，
f(0)＝(2e0－0)·cos 0＝2，
所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝x－0，即x－y＋2＝0. (2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析 因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)0ex)，O为坐标原点，依题意
得，切线斜率kOA＝
0=|
xxy'＝(x0＋a＋1)0ex＝0
0
0exxa
x
，化简，得x2
0＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x
＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x2
