2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期中数学试卷
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试卷第1页，总13页 2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 已知集合𝐴＝{2, 0, 1, 9}，则集合𝐴的非空真子集的个数为________．
【答案】
14
【考点】
子集与真子集
【解析】
若集合𝐴中有𝑛个元素，则集合𝐴中有2𝑛−2个非空真子集．
【解答】
∵ 集合𝐴＝{2, 0, 1, 9}，
∴ 集合𝐴的非空真子集的个数为：24−2＝14．
2. 𝑈＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，𝐴＝{𝑥|𝑥2−1≤0, 𝑥∈𝑍}，𝐵＝{𝑥|−1≤𝑥≤3, 𝑥∈𝑍}，则(∁𝑈𝐴)∩𝐵＝________．
【答案】
{2, 3}
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
用列举法求出集合𝐴和 𝐵，再根据集合的补集的定义、两个集合的交集的定义求出(∁𝑈𝐴)∩𝐵．
【解答】
∵ 𝐴＝{𝑥|𝑥2−1≤0, 𝑥∈𝑍}＝{−1, 0, 1}，𝐵＝{𝑥|−1≤𝑥≤3, 𝑥∈𝑍}＝{−1, 0, 1, 2, 3}，
∴ ∁𝑈𝐴＝{𝑥|𝑥≤−2, 或 𝑥≥2, 𝑥∈𝑍}，
∴ (∁𝑈𝐴)∩𝐵＝{2, 3}，
3. 不等式-2<1𝑥<3的解集是________|________<13} ．
【答案】
{𝑥,𝑥<−12或0<𝑥
【考点】
其他不等式的解法
【解析】
结合𝑥的范围，去分母转化为一次不等式即可求解．
【解答】
∵ -2<1𝑥<3，
当𝑥>0时，−2𝑥<1<3𝑥，
解可得，$${\{}$ - \${dfrac\{1\}\{2\}}$∴ {0}$当𝑥<0时，−2𝑥>1>3𝑥，
解可得，𝑥<−12，
试卷第2页，总13页 综上可得，不等式的解集为{𝑥|𝑥<−12或0<𝑥<13}．
4. 设集合𝑇＝{⌀, {⌀}}，则下列命题：①⌀∈𝑇，②⌀⊆𝑇，②{⌀}∈𝑇，④{⌀}⊆𝑇中正确的是________．
【答案】
①②③④
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
根据元素与集合的关系即可判断出①③都正确，根据子集的定义即可判断出②④都正确，从而找出正确的命题序号．
【解答】
∵ 𝑇＝{⌀, {⌀}}，
∴ ⌀∈𝑇，⌀⊆𝑇，{⌀}∈𝑇，{⌀}⊆𝑇．
5. 若集合{𝑥|𝑦=√𝑥2+2(𝑎+1)𝑥+𝑎2−5}=𝑅，则实数𝑎的取值范围是________．
【答案】
(−∞, 3]
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由题意可得，𝑥2+2(𝑎+1)𝑥+𝑎2−5≥0恒成立，结合二次不等式的恒成立问题即可求解．
【解答】
由题意可得，𝑥2+2(𝑎+1)𝑥+𝑎2−5≥0恒成立，
∴ △＝4(𝑎+1)2−4(𝑎2−5)≤0，
解可得，𝑎≤−3，
6. 如果全集𝑈含有12个元素，𝑃，𝑄都是𝑈的子集，𝑃∩𝑄中含有2个元素，∁𝑈𝑃∩∁𝑈𝑄含有4个元素，∁𝑈𝑃∩𝑄含有3个元素，则𝑃含有________个元素．
【答案】
5
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
作出维恩图，由维恩图能求出集合𝑃中含有的元素个数．
【解答】
由全集𝑈含有12个元素，𝑃，𝑄都是𝑈的子集，
𝑃∩𝑄中含有2个元素，∁𝑈𝑃∩∁𝑈𝑄含有4个元素，∁𝑈𝑃∩𝑄含有3个元素，
作出维恩图，图中数字代表集合中包含的元素的个数，
试卷第3页，总13页
由维恩图结合题意得：
4+𝑥+2+3＝12，
解得𝑥＝3．
∴ 集合𝑃中含有的元素个数为：2+𝑥＝2+3＝5．
7. 已知𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的周长为定值2，则它的面积最大值为________．
【答案】
3−2√2
【考点】
正弦定理
【解析】
设直角边长为𝑎，𝑏，则斜边长为√𝑎2+𝑏2，利用直角三角形𝐴𝐵𝐶的三边之和为2，可得𝑎+𝑏+√𝑎2+𝑏2=2，利用基本不等式，即可求△𝐴𝐵𝐶的面积的最大值．
【解答】
设直角边长为𝑎，𝑏，则斜边长为√𝑎2+𝑏2，
∵ 直角三角形𝐴𝐵𝐶的三边之和为2，
∴ 𝑎+𝑏+√𝑎2+𝑏2=2，
∴ 2≥2√𝑎𝑏+√2𝑎𝑏，
∴ √𝑎𝑏≤22+√2=2−√2，
∴ 𝑎𝑏≤6−4√2，
∴ 𝑆=12𝑏𝑎≤3−2√2，
∴ △𝐴𝐵𝐶的面积的最大值为3−2√2．
8. 若𝑓(𝑥)在区间[𝑡, 𝑡2−2𝑡−2]上为奇函数，则实数𝑡的值为________．
【答案】
−1
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
由奇函数的定义域关于原点对称可知，𝑡+𝑡2−2𝑡−2＝0，且𝑡2−2𝑡−2>0，即可求解．
【解答】
由奇函数的定义域关于原点对称可知，𝑡+𝑡2−2𝑡−2＝0，且𝑡2−2𝑡−2>0，
∴ 𝑡2−𝑡−2＝0，
解可得𝑡＝2（舍）或𝑡＝−1，
9. 已知不等式|𝑥−3|−|𝑥+4|<𝑎解集非空，则实数𝑎的取值范围为________．
【答案】
(−7, +∞)
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
由题意，不等式|𝑥−3|−|𝑥+4|<𝑎解集非空可转化为|𝑥−3|−|𝑥+4|的最小值小于𝑎，依据绝对值的几何意义求出|𝑥−3|−|𝑥+4|的最小值，即可得出参数𝑎的取值范围．
试卷第4页，总13页 【解答】
不等式|𝑥−3|−|𝑥+4|<𝑎解集非空，所以|𝑥−3|−|𝑥+4|的最小值小于𝑎，
又|𝑥−3|−|𝑥+4|≥−7，此时𝑥≥3
∴ 𝑎>−7
10. 对于集合𝑀，定义函数𝑓𝑀(𝑥)={−1,𝑥∈𝑀1,𝑥∉𝑀 ，对于两个集合𝐴，𝐵，定义集合𝐴∗𝐵＝{𝑥|𝑓𝐴(𝑥)⋅𝑓𝐵(𝑥)−1}．已知集合𝐴={𝑥|√2−𝑥>𝑥}，𝐵＝{𝑥|𝑥(𝑥−3)(𝑥+3)>0}，则𝐴∗𝐵＝________．
【答案】
(−∞, 1)∪(3, +∞)
【考点】
子集与交集、并集运算的转换
【解析】
求出集合𝐴，𝐵，利用新定义求出𝐴∗𝐵即可．
【解答】
𝐴＝(−∞, 1)，𝐵＝(−∞, −3)∪(3, +∞)，
𝑓𝐴(𝑥)⋅𝑓𝐵(𝑥)＝−1，
当𝑓𝐴(𝑥)＝1，𝑓𝐵(𝑥)＝−1，𝐴∗𝐵＝𝐵，
当𝑓𝐴(𝑥)＝−1，𝑓𝐵(𝑥)＝1，𝐴∗𝐵＝[−3, 1)，
故𝐴∗𝐵＝(−∞, 1)∪(3, +∞)，
11. 若实数𝑥，𝑦≥0满足𝑥+3𝑦−𝑥𝑦＝1，求3𝑥+4𝑦的最小值为________．
【答案】
43
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
将等式𝑥+3𝑦−𝑥𝑦＝1，转化得𝑥=3𝑦−1𝑦−1，代入3𝑥+4𝑦中，将限制条件下的二元函数最值化为一元函数最值问题，此一元函数为对勾函数模型，接下来按照对勾函数单调性的方法解题
【解答】
由𝑥+3𝑦−𝑥𝑦＝1，得；𝑥+3𝑦−𝑥𝑦＝1𝑥=3𝑦−1𝑦−1≥0，𝑦∈[0,13]∪(1,+∞)，3𝑥+4𝑦=33𝑦−1𝑦−1+4𝑦=13+6𝑦−1+4(𝑦−1)，
当𝑦>1时，3𝑥+4𝑦≥13+2√24=13+4√6；
当𝑦∈[0,13]时，设𝑦−1=𝑢∈[−1,−23]，6𝑦−1+4(𝑦−1)=6𝑢+4𝑢在[−1,−23]上单调递减，在𝑢=−23处取得最小值−9−83，3𝑥+4𝑦取得最小值43，
综上可得3𝑥+4𝑦取得最小值43，
12. 已知𝑎>0，且对任意𝑥>0，有(𝑥−𝑎)(𝑥2+𝑏𝑥−𝑎)≥0恒成立，则𝑎𝑏的取值范围
试卷第5页，总13页 为________．
【答案】
(−∞, −1)∪(0, +∞)
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
首先分析出𝑥＝𝑎是方程𝑥2+𝑏𝑥−𝑎＝0的根，得到𝑎+𝑏−1＝0，再运用𝑎𝑏的几何意义求解．
【解答】
∵ 对任意𝑥>0，有(𝑥−𝑎)(𝑥2+𝑏𝑥−𝑎)≥0恒成立，
∴ 𝑥＝𝑎是方程𝑥2+𝑏𝑥−𝑎＝0的根，即𝑎2+𝑎𝑏−𝑎＝0，
又𝑎>0，则𝑎+𝑏−1＝0，
∴ (𝑏, 𝑎)可理解为直线𝑎+𝑏−1＝0上纵坐标大于0的点，则𝑎𝑏的几何意义即为直线𝑎+𝑏−1＝0上纵坐标大于0的点与原点连线的斜率，
如图，
直线𝑎+𝑏−1＝0的斜率为−1，由图象可知，𝑎𝑏∈(−∞,−1)∪(0,+∞)．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
命题“若𝑝不正确，则𝑞不正确”的逆命题的等价命题是（ ）
A.若𝑞不正确，则𝑝不正确
B.若𝑞不正确，则𝑝正确
C.若𝑝正确，则𝑞不正确
D.若𝑝正确，则𝑞正确
【答案】
D
【考点】
四种命题间的逆否关系
【解析】
由命题“若𝑝不正确，则𝑞不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果．
【解答】
命题“若𝑝不正确，则𝑞不正确”的逆命题是：
“若𝑞不正确，则𝑝不正确”
其等价命题是它的逆否命题，即
“若𝑝正确，则𝑞正确”
