高中数学必修4《平面向量的基本定理及坐标表示》教案

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计）2．3．1平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示[教学目标]一、知识与能力：1． 了解平面向量基本定理。

2．掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示；3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.二、过程与方法：体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算教学难点：平面向量基本定理．一、复习回顾：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =02．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、师生互动，新课讲解：思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？.在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2.把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（2）向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB=θ(0︒≤θ≤180︒)叫做向量a 与b 的夹角，当θ=0︒时，a 与b 同向；当θ=180︒时，a 与b 反向.如果a 与b 的夹角是90︒，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .例1 （课本P94例1）已知向量e 1、e 2，求作向量-2.5e 1+3e 2。

2.３平面向量的基本定理及坐标表示教案Ａ第1课时教学目标一、知识与技能1．通过探究活动，理解平面向量基本定理．2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量的正交分解用于坐标表示，会用坐标表示向量．二、过程与方法1．首先通过“思考”，让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ１e1+λ2e２的向量表示.2. 通过教师提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题．3．如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生经历的这种实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.三、情感、态度与价值观1.在探究过程中，让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，培养学生对“化归”、“数形结合”等数学思想的应用.２．在让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程中,培养学生坚忍不拔的意志,实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.教学重点、难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的理解与应用．教学关键：平面向量基本定理的理解.教学突破方法：通过问题设置，让学生充分练习,发现规律方法,体现学生的主体地位.教法与学法导航--教学方法：启发诱导.学习方法：在老师问题的引导下,学生要充分作图，与小组成员合作探究，发现规律. 教学准备.教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课在物理学中我们知道，力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？二、主题探究，合作交流提出问题①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、ｅ2，请你作出向量3e1+2ｅ2、e１-２e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e１+λ2e2的向量表示呢?②如上左图,设e１、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究ａ与ｅ1、e2之间的关系.师生互动:如上右图,在平面内任取一点O,作=e１，=e2，＝a．过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA交于点Ｍ;过点C作平行于直线ＯA的直线，与直线ＯB交于点N．由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2，使得OM=λ１ｅ1，ON＝λ2e2.=,所以a=λ1ｅ1+λ2e2．也就是说，任一向量ａ都可以表示成λ1ｅ1+λ2e 由于OM+２的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便．由此可得:平面向量基本定理:如果e１、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量ａ，有且只有一对实数λ1、λ２,使ａ=λ1ｅ1+λ2e２.定理说明：(１)我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（2)基底不唯一,关键是不共线；（3）由定理可将任一向量ａ在给出基底e1、e2的条件下进行分解；----（4）基底给定时，分解形式唯一.提出问题:①平面内的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗?②对平面内的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示?师生互动：引导学生结合向量的定义和性质,思考平面内的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角，我们规定:已知两个非零向量a 和b (如图）,作OA＝a ，OB ＝b ，则∠ＡOB =θ（０°≤θ≤18０°)叫做向量a 与b 的夹角．显然，当θ＝０°时,a 与b 同向；当θ＝1８0°时，a 与b 反向．因此，两非零向量的夹角在区间［0°，180°]内.如果a 与ｂ的夹角是9０°,我们说a 与b 垂直，记作a ⊥ｂ.由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a ,均可以分解为不共线的两个向量λ１a 1和λ２a 2,使a ＝λ1a １+λ2ａ2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如上,重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形．在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便．提出问题①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标)表示．对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的?师生互动：如图,在平面直角坐标系中，分别取与ｘ轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x 、y ,使得a=ｘi+yｊ①这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对（ｘ，y）叫做向量a 的坐标,记作a=（x,y）②其中x叫做a在ｘ轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.显然,i=（1，０),j＝（0，1)，０=(0，0).教师应引导学生特别注意以下几点: (1）向量a与有序实数对(x，y）一一对应．(2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．如图所示，11BA 是表示a 的有向线段，A1、B1的坐标分别为（x1，y１）、(ｘ2，y2），则向量a的坐标为ｘ＝ｘ２－x1,ｙ=y2－y1，即a的坐标为(ｘ2－x1,y2-y1）．（3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量ａ的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了,即点A的坐标就是向量a的坐标，流程表示如下：三、拓展创新,应用提高例1 已知向量e1、e2(如右图）,求作向量－2.5e1＋3e２.作法：(1）如图，任取一点O,作OA＝-2.5ｅ1，OB＝３e2．(2）作OAＣB．故OC就是求作的向量.例2 如下图，分别用基底i、ｊ表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标．活动：本例要求用基底i、j表示ａ、b、c、ｄ,其关键是把ａ、ｂ、ｃ、d表示为基底ｉ、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、ｊ表示出来,进而得到向量ａ的坐标．另一种方法是把向量a移到坐标原点，则向量ａ终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法，可以得到向量b、c、d的坐标．另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：ａ与ｂ关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称，a与d关于x轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解：由图可知，a=1AA+2AA=2i+3j，----∴a =(2，3）.同理，b =-2i +３j =(-２,3）;ｃ=-2i -3j ＝(-2,-3）;d ＝2i －3ｊ＝(2，-3).点评：本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.四、小结１．先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合.五、课堂作业1．如图所示,已知AP =34AB ，AQ =31AB ，用OA 、OB 表示OP ，则OP 等于( ) A ．31OA +34OB ﻩB ．31-OA +34OB C.31-OA -34OB ﻩD.31OA -34OB 2.已知e 1，e 2是两非零向量，且｜e １|=m ,|e ２｜＝ｎ,若c =λ1e 1+λ2ｅ2(λ１，λ2∈R )，则|c |的最大值为（ )A ．λ1m ＋λ2n B.λ1n ＋λ2m C.|λ1｜ｍ+|λ2|n D.|λ1|ｎ+|λ2|m3.已知G 1、Ｇ2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C ２的重心,且12A A ＝e 1，12B B =ｅ2，12C C =e ３，则12G G 等于（ ）A ．21（ｅ１+ｅ２+e 3） B.31（e 1+e ２+ｅ3) Ｃ.32(ｅ１＋e 2＋e ３) D ．31-(e １+e 2+e 3) 4．O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP =OA +λ)||||(AC AC AB AB +,λ∈［0，+∞),则Ｐ的轨迹一定通过△A ＢＣ的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D.垂心5．已知向量a 、b 且AB =ａ＋2b ，BC =-5a ＋6ｂ，CD ＝7a -2ｂ，则一定共线的三点是（ ）Ａ.A 、Ｂ、D B ．A 、B 、Ｃ Ｃ.C 、B 、D D ．A 、Ｃ、D6．如右图,平面内有三个向量OA、OB、OC，其中与OA与OB 的夹角为1２0°, OA与OC的夹角为３0°，且｜OA｜=|OB｜＝1,｜OC|=23,若OC=λOA+μOB(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为__＿__＿__．参考答案:１.B 2．C 3.B 4.B５．A ６.6第2课时教学目标一、知识与技能1．理解平面向量的坐标的概念；2．掌握平面向量的坐标运算；3．会根据向量的坐标，判断向量是否共线.二、过程与方法教师在引导学生探究时,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律,能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力．三、情感、态度与价值观在解决问题过程中使学生形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识.教学重点、难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解．教学关键：平面向量坐标运算的探究.教学突破方法:结合向量坐标表示的定义及运算律,引导学生探究发现,最终得到结论.教法与学法导航教学方法:问题式教学，启发诱导学习方法:在熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律的基础上,在老师的引导下，通过与同学合作探究，得到结论．教学准备教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规．----教学过程一、创设情境，导入新课前一节课我们学习了向量的坐标表示，引入向量的坐标表示后,可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？二、主题探究,合作交流提出问题：①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知ａ=（x １,ｙ1)，b =（x 2,y 2),你能得出a +b ,ａ-b ，λａ的坐标表示吗？②如图，已知A (ｘ１，y 1)，B （x 2，y ２),怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为（x 2－x １，y 2-y 1）的Ｐ点吗?标出点P 后,你能总结出什么结论？师生互动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得：ａ+b =（x 1i +ｙ1j )+（x 2i +y 2j )=（x 1+x ２）i ＋（y 1+ｙ2）j ,即a +ｂ=(x 1+x ２,y １+y 2）.同理a -b =(x 1-x 2，y 1－y ２）．又 λa =λ（x 1i +y １j )＝λｘ1i ＋λy 1ｊ.∴ λa =(λx １，λy １)．教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为： 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB 平移，使得点A 与坐标原点O 重合，则平移后的B 点位置就是P 点.向量AB 的坐标与以原点为始点，点Ｐ为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系．学生通过平移也可以发现:向量的模与向量的模是相等的．由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式:｜AB |＝|OP |=221221)()(y y x x -+-．--教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生,只要善于开动脑筋，勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能． ②AB =-=(x ２,ｙ2）-(ｘ1，y 1）=（x 2－ｘ1,y 2-y 1）．结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 提出问题①如何用坐标表示两个共线向量?②若a =(x 1,ｙ1），b =(x ２,y 2),那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件？ 师生互动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a =(ｘ1，ｙ１)，ｂ=(x ２，y 2），其中b ≠0．我们知道，a 、b 共线，当且仅当存在实数λ,使a =λb .如果用坐标表示，可写为（x 1，y 1）=λ(ｘ2，y 2）,即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x １y 2－ｘ2y 1=0． 这就是说,当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、ｂ(b ≠0)共线.我们知道x 1y 2-x 2y 1＝0与x 1y ２=x ２ｙ1是等价的,但这与2211x y x y =是不等价的.因为当x 1=x ２=０时,x 1ｙ2-ｘ２y 1=０成立，但2211x y x y =均无意义.因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果：①x 1y 2-x 2y 1=0时，向量ａ、b (b ≠0）共线.②充分不必要条件．提出问题:a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢?师生互动：教师引导推证：设a =(x １，ｙ1），b =（x 2，y ２）,其中ｂ≠a ,由ａ=λb ，（x 1,y 1)=λ（ｘ2,y 2)⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ，得x １y 2-x 2y 1=0． 讨论结果：ａ∥b （b ≠0)的充要条件是x 1y ２－x ２y １=0．教师应向学生特别提醒感悟：１. 消去λ时不能两式相除,∵y 1、y 2有可能为0,而ｂ≠0,∴x ２、y 2中至少有一个不为--0．2. 充要条件不能写成2211x y x y =(∵x １、x 2有可能为０).3. 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥ｂ(b ≠0）{1221.a λb x y x y =⇔= 三、拓展创新，应用提高例1 已知a =(2,１)，b =(-3，4)，求a ＋b ，a -b ,3ａ+4ｂ的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成．解:a ＋b =（2,1）+(-3,4）＝（-1，５);a -b =（2,1)-(-３，4）=(5,-3）；3a +4b =3(2,1)+4（-3,４）=(６,3)＋（-12,16）＝（－6，１９)．点评:本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式． 例2 如图.已知ABC D 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－2，１)、（-1，3)、(３,4)，试求顶点D 的坐标．活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法：解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D 的坐标.解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系（主要是平行关系）,数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一：如上图，设顶点D 的坐标为（x ，y ）.∵=（-1－（－2），3-1)＝(1，2)，=(3-x ，4-y )．由＝,得（1，2）=(3-x ，4-ｙ).∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x ,⎩⎨⎧==.2,2y x ∴顶点Ｄ的坐标为（2,2）.-- 方法二:如上图,由向量加法的平行四边形法则,可知 BC BA AD BA BD +=+= =（-2-（-１),1－３)+(3-（-1），4-3）＝（3，-1），而OD ＝OB +BD =(－１，３）+（３，-１）＝(２，2),∴顶点D 的坐标为（2,2)．点评：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.例3 已知ａ=（4,2)，b =（6，y ），且ａ∥ｂ,求y .解:∵a ∥b ，∴4y －2×6＝0.∴y =3.例４ 已知A （-1，-1),B （1，３),C （2,5），试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系. 活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式．解:在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点，观察图形,我们猜想A 、B 、Ｃ三点共线.下面给出证明.∵AB ＝（1-（－1）,３-（-1）)=（2,4),AC =(２-（－1)，5-(-1））＝(3，6),又2×６－3×４=0,∴AB ∥AC ,且直线AB 、直线A Ｃ有公共点Ａ,∴A 、Ｂ、Ｃ三点共线．点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线．这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的．例5 设点P 是线段Ｐ1Ｐ2上的一点,P １、P 2的坐标分别是（ｘ1，y 1)、(x 2，y ２).(1）当点P 是线段Ｐ1Ｐ2的中点时,求点P 的坐标；(2）当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点Ｐ的坐标.活动:教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当21PP P P =λ时,点P 的坐标是什么?师生共同讨论，一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法:由P P 1=λ2PP ，知(x －x 1，y -ｙ１)=λ（ｘ２-ｘ，ｙ２-ｙ),-- 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索.解:（1）如图，由向量的线性运算可知OP =21 （OP １+OP 2）=（.2,22121y y x x ++). 所以点P 的坐标是(.2,22121y y x x ++) (2）如图（1)、(2),当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,有两种情况，即21PP P P =21或21PP P P ＝2． 如果21PP P P ＝21 ,如图(1)，那么 OP ﻩ=1OP +P P 1=1OP +3121P P =1OP +31(2OP -1OP ）＝321OP +312OP =(32,322121y y x x ++). 即点P 的坐标是（32,322121y y x x ++).--同理,如果21PP P P =２图(２),那么点Ｐ的坐标是121222(,).33x x y y ++ 点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.四、小结１.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础.五、课堂作业1.已知a ＝（3，-1），b =（-1，２),则-3a －2b 等于( ）Ａ.（7，1) Ｂ.(-7,-1) C.(-7，１) Ｄ．（7，-1)2.已知Ａ(1，1），Ｂ（－1,0)，C (０，1），Ｄ(ｘ,y ），若AB 和是相反向量，则D 点的坐标是( )A ．(-2，0）B ．(2,2）C ．(２,0） D.(-２，-2）３．若点A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)共线，则使=λ的实数λ的值为( )A.1B.－2C.0 D ．２4．设a =(23,ｓin α），ｂ=（ｃｏs α,31)，且ａ∥b ，则α的值是（ ) A ．α＝２k π+π4（ｋ∈Z ) B.α=2k π-π4（ｋ∈Z ） C.α＝k π＋π4(k ∈Z ） D ．α=k π-π4（k ∈Z ） 5．向量=（k ，12）,=(4，5），=（1０,ｋ),当k 为何值时,A 、Ｂ、C 三点共线？参考答案:1．B ２.B 3．Ｄ ４．C5.∵=（k ,12）， ＝(4,5),＝（1０,k ）, ∴AB ＝-=(4－k ，-7）, =-=(6，k -5). ∵AB ∥BC ,∴(４－k )（ｋ-5）＋7×６＝0.∴k 2-9ｋ-22=0.解得k =1１或k =－2．教案 B第１课时教学目标一、知识与技能1.理解平面向量基本定理，明确任何一个平面向量都可以用两个不共线的向量来表示，在具体问题中能够适当选取基底．2.了解向量的夹角与垂直的概念,以及向量正交分解的含义，理解用坐标表示向量的理论依据，知道向量的坐标的几何意义．二、过程与方法领会数形结合的数学思想,感受探索与创造的学习过程，培养逻辑推理能力，优化理性思维.三、情感、态度与价值观通过类比物理学中的相关问题，培养学生善于思考、勇于探索的科研精神，以及坚忍不拔的意志.教学重点平面向量基本定理和向量的坐标表示.教学难点平面向量的合成与分解.教学设想一、情境设置1．向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2．怎样理解向量的数乘运算λａ？（1）|λa|＝|λ｜|a|；(2）λ>0时，λａ与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反;λ＝0时,λa=0.３.平面向量共线定理是什么？非零向量a与向量b 共线存在唯一实数λ，使ｂ＝λａ.4．如图,光滑斜面上一个木块受到的重力为G,下滑力为Ｆ1,木块对斜面的压力为Ｆ,这三个力的方向分别如何?三者有何相互关系？2 Array5.在物理中,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算．力也可以分解,任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论.二、新知探究----探究（一)平面向量基本定理思考１．给定平面内任意两个向量e １,ｅ2，如何求作向量3e 1＋２e 2和e 1－2e 2?2．如图，设O Ａ、OB 、OC 为三条共点射线，P 为OC 上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点Ｍ、N,使四边形OMP N 为平行四边形？3.在下列两图中，向量OA 、OB 、OC 不共线，能否在直线ＯＡ、ＯＢ上分别找一点M 、N ，使OM +ON =?４．在上图中,设OA ＝e 1,OB ＝ e ２，OC = a ,则向量OM 、ON 分别与e 1、e 2的关系如何？从而向量ａ与e 1、e 2的关系如何？OM =λ１ｅ1，ON =λ2ｅ2,ａ=λ1e 1+λ2e ２．5. 若上述向量e 1、ｅ2、a 都为定向量,且e 1、e 2不共线,则实数λ1、λ2是否存在?是否唯一?6．若向量a 与ｅ1或ｅ２共线,a 还能用λ1e 1+λ2ｅ2表示吗?7.根据上述分析，平面内任一向量ａ都可以由这个平面内两个不共线的向量ｅ1、e 2表示出来,从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗?如果e １、ｅ2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使ａ=λ1e １＋λ2e 2．8.上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量ｅ1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量ａ的e 1 e 2OB CC--表示式是否相同?9. 两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差;数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积．即:如果 a =（ｘ１,y 1),ｂ=（x 2,y 2），那么ａ±b =（x 1±ｘ2，y 1±y 2),λa ＝（λｘ1,λy 1） ａ∥b 的充要条件是x 1ｙ２=x ２y 1（需要证明）10. 任意给定平面中两个不平行的向量e 1、ｅ2,那么平面中所有向量a 都可以用这两个向量表示．即a =ｘe 1＋y ｅ2.这里x 、y 是唯一确定的一对有序实数.{e 1,ｅ2}叫做这一平面内所有向量的一组基底;x e 1＋ｙｅ２叫做a 关于基底｛ｅ1，e 2}的分解式.探究（二）平面向量的正交分解及坐标表示思考1.不共线的向量有不同的方向,对于两个非零向量ａ和b ,作=a ,= ｂ,如图.为了反映这两个向量的位置关系,称∠A ＯB 为向量ａ与b 的夹角．你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？[０°,１8０°］２．如果向量ａ与b 的夹角是90°,则称向量a 与b 垂直,记作a ⊥b ． 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ 3. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，向量ｉ、j 是两个互相垂直的单位向量，向量ａ与ｉ的夹角是30°,且|a ｜=４，以向量i 、j 为基底，向量ａ如何表示？a＝+2j ４.在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、ｊ作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数ｘ、y ，使得a ＝x i ＋y j .我们把有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标,记作a ＝（ｘ,ｙ）.其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标,上式叫做向量的坐标表示.那么ｘ、y 的几何意义如何? 5．相等向量的坐标必然相等,作向量＝ａ，则＝ （x ，y )，此时点A 的坐标baAP--是什么？三、例题解析例1 已知直角坐标平面内的两个向量a =（1,3),b ＝（ｍ,2m -３），使平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa +μb ,则m 的取值范围是_＿＿_＿＿＿＿．解：∵ｃ可唯一表示成c =λa +μb ，∴a 与ｂ不共线，即２ｍ－3≠３ｍ，∴m ≠-3.例２ 如图,Ｍ是△ABC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN . 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+=∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0.∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、Ｎ、Ｂ三点共线,C 、M 、Ｎ三点共线，由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ==∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴（λ+2）BN +(3+３μ)NM = 0.由于BN 和NM 不共线，∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴{2,1.λμ=-=- ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==２a .例３ 设e 1与e ２是两个不共线向量,ａ=3e 1+４e 2,b ＝－2ｅ1＋５ｅ2,若实数λ、μ满足λa +μb =5ｅ1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb ＝（3λｅ１＋4λe 2）+(－2μe 1+5μe 2）=（３λ-2μ)ｅ1+（４λ＋5μ)ｅ2. 又λa ＋μb =5ｅ1-e 2．由平面向量基本定理，知 325,45 1.u u λλ-=⎧⎨+=-⎩解之，得λ=1,μ=-1.四、小结1．平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理,同时又是向量坐标表示的理论依据,是一个承前起后的重要知识点.2．向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是０°或180°，垂直向量的夹角是９0°．３.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点,则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标．第2课时教学目标一、知识与技能1.掌握平面向量的和、差和数乘向量的坐标运算，以及向量共线的坐标表示，会根据这些原理求向量的坐标.2.深化对向量概念的理解,提高对向量运算的认识，优化数形结合的思想意识，培养逻辑思维能力和思维素养．二、过程与方法1．通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程,激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；2.通过具体问题的分析解决,渗透数形结合的数学思想,提高学生的化归能力．三、情感与价值在数学中体会知识的形成过程,感受数与形的和谐统一.教学重点平面向量的坐标运算和向量共线的坐标表示．教学难点向量的坐标运算原理的构建．教学设想：一、情境设置1．平面向量的基本定理是什么?如果ｅ1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ１、λ２，使a＝λ1ｅ１+λ2e2．２.用坐标表示向量的基本原理是什么？设i、j是与ｘ轴、y轴同向的两个单位向量，若a=ｘi+y j,则a＝（x,y）.3．用坐标表示向量,使得向量具有代数特征,并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算,为向量的运算拓展一条新的途径.我们需要研究的问题是,向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算,对于共线向量如何通过坐标来反映等.二、新知探究--。

诚西郊市崇武区沿街学校平面向量的根本定理及坐标表示§2.3.1平面向量根本定理教学目的：〔1〕理解平面向量根本定理；〔2〕理解平面里的任何一个向量都可以用两个不一一共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；〔3〕可以在详细问题中适当地选取基底，使其他向量都可以用基底来表达.教学重点：平面向量根本定理.教学难点：平面向量根本定理的理解与应用.授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、 复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa〔1〕|λa |=|λ||a |；〔2〕λ>0时λa 与a 方向一样；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb3.向量一一共线定理向量b 与非零向量a 一一共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二、讲解新课：平面向量根本定理：假设1e ，2e 是同一平面内的两个不一一共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e . 探究：(1)我们把不一一共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不一一共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进展分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例：例1向量1e ，2e 求作向量1e +32e .例2如图ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b表示MA ，MB ，MC 和MD例3ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：OA +OB +OC +OD =4OE例4〔1〕如图，OA ，OB 不一一共线，AP =t AB (t R)用OA ，OB 表示OP .〔2〕设OA 、OB 不一一共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点一一共线.例5a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不一一共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 一一共线.四、课堂练习：1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，那么有()A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)D.假设e1、e2不一一共线，那么同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)2.矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不一一共线，那么a+b与c=6e1-2e2的关系A.不一一共线B.一一共线C.相等D.无法确定3.向量e1、e2不一一共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，那么x-y的值等于()A.3B.-3C.0D.24.a、b不一一共线，且c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，假设c与b一一共线，那么λ1=.5.λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a=λ1e1+λ2e2，那么a与e1_____，a与e2_________(填一一共线或者者不一一共线).五、小结〔略〕六、课后作业〔略〕：七、板书设计〔略〕八、课后记：第5课时§2.3.2—§.3平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目的：〔1〕理解平面向量的坐标的概念；〔2〕掌握平面向量的坐标运算；〔3〕会根据向量的坐标，判断向量是否一一共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量根本定理：假设1e ，2e 是同一平面内的两个不一一共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e(1)我们把不一一共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不一一共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进展分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………我们把),(y x 叫做向量a 的〔直角〕坐标，记作),(y x a =…………其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与a 相等的向量的坐标也为),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，那么点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA+=，那么向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算〔1〕假设),(11y x a =，),(22y x b =，那么b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，那么b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即ba +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= 〔2〕假设),(11y x A ，),(22y x B ，那么()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OBOA =(x2，y2)(x1，y1)=(x2x1，y2y1)〔3〕假设),(y x a=和实数λ，那么),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，那么a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB 的坐标.例2a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D1=(2，2)当平行四边形为ACDB 时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB 时，得D3=(6，0)例4三个力1F (3，4)，2F (2，5)，3F (x ，y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.解：由题设1F +2F +3F =0得：(3，4)+(2，5)+(x ，y)=(0，0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (5，1)四、课堂练习：1．假设M(3，-2)N(-5，-1)且21=MP MN ，求P 点的坐标 2．假设A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，那么AB2BC =.3．：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结〔略〕六、课后作业〔略〕七、板书设计〔略〕八、课后记：第6课时§2.3.4平面向量一一共线的坐标表示教学目的：〔1〕理解平面向量的坐标的概念；〔2〕掌握平面向量的坐标运算；〔3〕会根据向量的坐标，判断向量是否一一共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的〔直角〕坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算假设),(11y x a=，),(22y x b =，那么ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.假设),(11y x A ，),(22y x B ，那么()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0设a=(x1，y1)，b =(x2，y2)其中ba .由a=λb 得，(x1，y1)=λ(x2，y2)⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ消去λ，x1y2-x2y1=0探究：〔1〕消去λ时不能两式相除，∵y1，y2有可能为0，∵b0∴x2，y2中至少有一个不为0〔2〕充要条件不能写成2211x y x y =∵x1，x2有可能为0(3)从而向量一一共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b0)01221=-=⇔y x y x b a λ三、讲解范例：例1a =(4，2)，b =(6，y)，且a ∥b，求y.例2A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.例3设点P 是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1) 当点P 是线段P1P2的中点时，求点P 的坐标；(2)当点P 是线段P1P2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4假设向量a=(-1，x)与b =(-x ，2)一一共线且方向一样，求x解：∵a=(-1，x)与b =(-x ，2)一一共线∴(-1)×2-x•(-x)=0∴x=±2∵a 与b方向一样∴x=2例5A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD =(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0∴AB ∥CD又∵AC =(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB =(2，4)，2×4-2×60∴AC 与AB 不平行∴A，B ，C 不一一共线∴AB 与CD 不重合∴AB∥CD四、课堂练习：1.假设a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，那么y=〔〕A.6B.5C.7D.82.假设A(x ，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点一一共线，那么x 的值是〔〕A.-3B.-1C.1D.33.假设AB =i+2j ，DC =(3-x)i+(4-y)j(其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向一样且为单位向量).AB 与DC 一一共线，那么x 、y 的值可能分别为〔〕 A.1，2B.2，2 C.3，2D.2，44.a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，那么y=.5.a=(1，2)，b=(x ，1)，假设a+2b 与2a-b 平行，那么x 的值是.6.□ABCD 四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，那么x=.五、小结〔略〕六、课后作业〔略〕七、板书设计〔略〕八、课后记：。

§2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ 三、讲解范例：例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y.例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥CD又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，AB =(2， 4)，2×4-2×6≠0 ∴AC 与AB 不平行∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD四、课堂练习：1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ）A.6 B .5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）A.-3B.-1C.1D.33.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 .6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= .五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。

人民教育出版社数学必修42。

3平面向量的基本定理及坐标表示2。

3。

1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示石家庄市第十五中学王真学生先独立思考，然后小组讨论，选代表上台前展示,并叙述自己的理由。

教师巡视，针对出现问题及时引导.讨论辨析结束后，教师归纳总结，体会由特殊到一般的思维方法探究2：若平面内的任一向量a 都可以用形如2211e e λλ+的向量来表示，则对于每个a ,21,λλ是否唯一？并说明理由.针对学生的回答，辅以几何画板的演示,帮助学生更深刻的理解“唯一性”由探究形成定理，由学生发现定理合作交流，得出结论（学生总结定理内容）平面向量基本定理 如果21e e 、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ,使2211e e a λλ+=.我们把不共线向量21e e 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底无数组，关键不唯一通过合作探究，学生总结归纳对定理的说明：（1) 基底不唯一，关键是不共线; （2） 由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解；(3) 基底给定时，分解形式唯一。

是被 ,唯一确定的数量进一步完善定理关键内容几何画板演示促使学生再次体会定理的几个关键点1e 、2e 作为正交基底量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数a=x 1e +y 我们把（x七、板书设计 2。

3平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理2.向量的夹角 注（1）同一平面内（2）21e e 、是不共线向量 3。

平面向量的坐标表示 (3）任一向量a（4）有且只有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+=。

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理及坐标表示一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解平面向量基本定理及意义，掌握正交分解下向量的坐标表示．认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法． （二）学习目标1.了解平面向量的基本定理及意义，能正确地运用平面向量基本定理.2.了解向量夹角、夹角的范围及向量垂直.3.掌握平面向量的正交分解及坐标表示，理解平面向量与坐标之间的对应关系，为用坐标进行向量的运算奠定基础. （三）学习重点平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示. （四）学习难点平面向量的基本定理的理解与应用. 二、教学设计 （一）课前设计1．预习任务：阅读教材第93页至第95页，填空：（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的 任意 向量a ，有且只有．．．．一对实数1λ，2λ，使a ＝1122+λλe e .我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 .（2）向量夹角：已知两个 非零 向量a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的 夹角 .向量夹角的取值范围是0180θ︒≤≤︒.当a 与b 同向时，夹角θ＝0︒；当a 与b 反向时，夹角θ＝180︒.如果向量a 与b 的夹角是90︒，我们说a 与b 垂直记作 a ⊥b .（3）把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解.在平面直角坐标系中，分别取x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底.对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y 使得x y =+a i j .则把有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标，记作a ＝（x ，y ）. 2．预习自测（1）只有不共线的两个向量可以作为基底（ ） 【答案】√．（2）平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一的（ ） 【答案】√．（3）若1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，则1122+λλe e （1λ，2λ为实数）可以表示该平面内所有向量（ ） 【答案】√（4）已知向量a 与b 的夹角为3π，则向量2a 与－3b 的夹角为（ ）A .6πB .3πC .23π D .56π 【答案】C ．（5）已知基向量i ＝（1,0），j ＝（0,1），m ＝4i －j ，则m 的坐标是（ ） A .(4,1)B .(－4,1)C .(4,－1)D .(－4,－1)【答案】C (二)课堂设计 1．知识回顾（1）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa . ①λλ=a a ；②0λ>时λa 与a 方向相同；0λ<时λa 与a 方向相反；0λ=时λa ＝0. （2）运算定律：①结合律：()()λμλμ=a a ；②分配律：()λμλμ+=+a a a ，()λλλ+=+a b a b .。

§5.2 平面向量基本定理及坐标表示会这样考 1.考查平面向量基本定理的应用；2.考查向量的坐标表示和向量共线的应用．复习备考要这样做 1.理解平面向量基本定理的意义、作用；2.运用定理表示向量，然后再进行向量运算．1． 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．若，为同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，存在唯一一对实数x,y, 使OB y OA x OP +=。

性质：若x=y=21,则点P 为AB 中点； 若x+y=1，则点A ，B ，P 三点共线。

向量的正交分解：2． 平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa (2)①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3． 平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0. a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1. [难点正本 疑点清源] 1． 基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 2． 向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝________.答案 0解析 由k a ＋b 与b 平行得－3(2k ＋2)＝2(k －3)，∴k ＝0. 3． 若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于 ( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b 答案 B 解析 由已知可设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝x －y 2＝x ＋y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1. 4． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) A.14 B.12C ．1D ．2 答案 B 解析 a ＋λb ＝(1＋λ，2)，而c ＝(3,4)，由(a ＋λb )∥c 得4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12.题型一 平面向量基本定理例1 （1）若向量()1,1a =, ()1,1b =-,()1,2c =-，则c等于( )A.21a 23-bB.21-a +23bC.23a 21-b D.23-a + 21b答案：.A（2）已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ，则λ+μ= 。

平面向量基本定理及其坐标表示教案教学目标：1. 理解平面向量的基本定理；2. 学会用坐标表示平面向量；3. 掌握平面向量的坐标运算。

教学重点：1. 平面向量的基本定理；2. 坐标表示平面向量；3. 平面向量的坐标运算。

教学难点：1. 平面向量的基本定理的理解；2. 坐标表示平面向量的推导；3. 平面向量的坐标运算的熟练运用。

教学准备：1. 教材或教案；2. 投影仪或黑板；3. 粉笔或教鞭。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾初中阶段学习的向量知识，如向量的定义、向量的加法、减法等；2. 提问：向量是否可以只有大小没有方向？为什么？二、平面向量的基本定理（15分钟）1. 介绍平面向量的基本定理：任意两个平面向量都可以唯一地分解为两个互垂直的向量的和；2. 用图形和实例来说明基本定理的意义；3. 引导学生理解基本定理的重要性。

三、坐标表示平面向量（15分钟）1. 介绍坐标系的概念，如直角坐标系、平面极坐标系等；2. 推导平面向量的坐标表示方法，即用坐标表示向量的位置；3. 举例说明如何用坐标表示平面向量。

四、平面向量的坐标运算（15分钟）1. 介绍平面向量的坐标运算，如坐标加法、减法、数乘等；2. 用公式和实例来说明坐标运算的规则；3. 引导学生熟练掌握坐标运算的方法。

五、巩固练习（10分钟）1. 给出一些关于平面向量的练习题，让学生独立完成；2. 针对学生的疑问进行解答和讲解；3. 强调平面向量基本定理及其坐标表示的重要性。

教学反思：在教学过程中，要注意通过实例和图形来帮助学生理解平面向量的基本定理及其坐标表示，以及坐标运算的规则。

要鼓励学生积极参与课堂讨论，提出疑问，以提高他们的学习兴趣和动力。

六、向量加法的平行四边形法则（15分钟）1. 介绍平行四边形法则，即以两个向量首尾相接所构成的平行四边形的对角线所代表的向量等于这两个向量的和；2. 用图形和实例来说明平行四边形法则的应用；3. 引导学生理解并掌握平行四边形法则。

平面向量基本定理及其坐标表示教案教学目标：1. 理解平面向量的基本定理；2. 学会将平面向量用坐标表示；3. 掌握平面向量的坐标运算。

教学内容：1. 平面向量的基本定理；2. 向量的坐标表示；3. 向量的坐标运算。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 通过复习预备知识，引导学生回顾向量的定义及基本性质。

2. 提问：我们已经学习了向量的哪些运算？这些运算有什么应用？二、平面向量的基本定理（10分钟）1. 介绍平面向量的基本定理的内容。

2. 通过示例，解释平面向量的基本定理的应用。

3. 引导学生通过图形直观地理解平面向量的基本定理。

三、向量的坐标表示（10分钟）1. 介绍向量的坐标表示方法。

2. 通过示例，解释如何用坐标表示一个向量。

3. 引导学生通过坐标系直观地理解向量的坐标表示。

四、向量的坐标运算（10分钟）1. 介绍向量的坐标运算规则。

2. 通过示例，解释如何进行向量的坐标运算。

3. 引导学生通过坐标系直观地理解向量的坐标运算。

五、巩固练习（10分钟）1. 提供一些有关平面向量的基本定理及其坐标表示的练习题。

2. 引导学生独立完成练习题，巩固所学知识。

3. 对学生的练习结果进行点评和指导。

教学评价：1. 通过课堂讲解和示例，评价学生对平面向量的基本定理及其坐标表示的理解程度；2. 通过练习题，评价学生对平面向量的坐标运算的掌握程度；3. 通过学生的提问和参与程度，评价学生的学习兴趣和积极性。

教学资源：1. 教学PPT或黑板；2. 练习题。

教学建议：1. 在讲解平面向量的基本定理时，可以通过图形和实际例子来说明定理的意义和应用；2. 在讲解向量的坐标表示时，可以借助坐标系，直观地展示向量的坐标表示方法；3. 在讲解向量的坐标运算时，可以通过示例和练习题，让学生熟练掌握运算规则；4. 在巩固练习环节，可以提供不同难度的练习题，以满足不同学生的学习需求；5. 在教学过程中，鼓励学生提问和参与讨论，以提高学生的学习兴趣和积极性。

2．3.1 平面向量基本定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量或一个向量分解为两个向量．(2)能用平面向量的基本定理解决一些简单的几何问题．2．过程与方法由概念的形成过程和在解题中的作用，进一步体验数形结合思想的指导作用．3．情感、态度与价值观(1)通过学习平面向量基本定理和向量的坐标表示，实现几何与代数的完美结合，使学生明白知识与知识、事物之间的相互联系和相互转化．(2)通过例题及练习，体会向量语言及运算在解决数学问题和实际问题中的工具作用．●重点难点重点：平面向量基本定理及其意义．难点：平面向量基本定理的应用.(教师用书独具)●教学建议1．关于平面向量基本定理教学教学时，建议教师从学生熟知的力学知识出发，结合教材实例中有关力及速度的合成与分解，先让学生从感性上认识向量可分解性，在此基础上结合向量的平行四边形法则由学生自主总结出平面向量基本定理的内容，教师就定理的有关注意事项做适当补充，不必要求学生会证明该定理．2．关于应用平面向量基本定理的教学教学时，建议教师结合实例，让学生明确平面向量基本定理在解决实际问题中的作用．通过实例进一步理解平面向量基本定理的实质，为下一节坐标系的建立奠定基础．●教学流程创设问题情境，引入平面向量基本定理，并引导学生初步理解定理及其作用.⇒引导学生结合向量共线等知识，理解基底概念及向量的正交分解的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生进一步正确理解平面向量基本定理.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用基底表示向量的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用平面向量基本定理求参数的值及证明三点共线等问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解平面向量基本定理及其意义．(难点)2.了解基底的含义．3.会用任意一组基底表示指定的向量．4.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(重点)平面向量基本定理【问题导思】已知▱ABCD 的对角线交点为O ，AB →＝a ，AD →＝b ，如何用a ，b 表示AO →？ 【提示】 AO →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(a ＋b)＝12a ＋12b.(1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.平面向量的正交分解【问题导思】一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G ，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？ 【提示】 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a ＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a 的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解.平面向量基本定理的理解如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；(2)对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe1＋λe2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量． 【思路探究】 运用基底概念与平面向量基本定理进行判断． 【自主解答】 (1)正确．若λ≠0，则e1＝－μλe2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.(2)不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ惟一确定． (3)正确．平面α内的任一向量a 可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．(4)不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，只有当λ和μ确定后，其和向量λe1＋μe2才惟一确定．1．对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式．2．向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等均不能构成基底．下列两个命题(1)若a e1＋b e2＝c e1＋d e2(a ，b ，c ，d ∈R)，则a ＝c ，b ＝d. (2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来．其中正确的是________．【解析】 (1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立． (2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾．所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为一组基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来． 【答案】 (2)用基底表示向量图2－3－1如图2－3－1所示，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱AOBD ，又BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.【思路探究】 OM →＝OB →＋BM →，ON →＝OC →＋CN →，MN →＝ON →－OM →，再将各量转化为OA →，OB →. 【自主解答】 BA →＝OA →－OB →＝a －b. ∴OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋13BC →＝OB →＋16BA →＝16a ＋56b.又OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b. 1．若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系．2．若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解． 图2－3－2(2013·南通高一检测)如图2－3－2，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示DC →，BC →，MN →.【解】 如图所示，连结CN ，则四边形ANCD 是平行四边形，即DC →＝AN →＝12AB →＝12a ，BC →＝NC →－NB →＝AD →－12AB →＝b －12a ，MN →＝CN →－CM →＝－AD →－12CD →＝－AD →－12(－12AB →)＝14a －b.平面向量基本定理的应用图2－3－3如图2－3－3，已知在△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB →分成2∶1的一个分点(靠近B 点)，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b ， (1)用a ，b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．【思路探究】 (1)由题意可知A 是BC 的中点，利用平行四边形法则求OC →，利用三角形法则求DC →；(2)利用C ，D ，E 三点共线，结合共线向量定理求解． 【自主解答】 (1)∵A 为BC 中点， ∴OA →＝12(OB →＋OC →)，OC →＝2a －b ；DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b.(2)设OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa－2a ＋b ＝(λ－2)a ＋b. ∵CE →与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →，即(λ－2)a ＋b ＝m(－2a ＋53b)，即(λ＋2m －2)a ＋(1－53m)b＝0.∵a ，b 不共线且为非零向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.1．此类问题要结合图形条件与所求证问题，寻求解题思路．本题充分利用三点共线，即共线向量定理，共面向量定理，建立方程组求解，同时要恰当选择基底简化运算．2．应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法是：先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题． 图2－3－4如图2－3－4，已知▱ABCD 中M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD.求证：M ，N ，C 三点共线．【证明】 ∵M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD ， ∴MB →＝12AB →，BN →＝13BD →，∴MN →＝MB →＋BN →＝12AB →＋13BD →＝12AB →＋13(AD →－AB →)＝16AB →＋13AD →，又MC →＝MB →＋BC →＝12AB →＋AD →＝3(16AB →＋13AD →)＝3MN →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点， ∴M ，N ，C 三点共线.用待定系数法确定向量的表示 图2－3－5(14分)如图2－3－5，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值． 【思路点拨】 可先从已知图形中选出两个简单向量作为一组基底建立起数学模型，由图形特征可知选择BM →与CN →作为基向量较好． 【规范解答】 设BM →＝e1，CN →＝e2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e2－e1，BN →＝BC →＋CN →＝2e1＋e2. 4分 ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe1－3λe2， BP →＝μBN →＝2μe1＋μe2. 故BA →＝BP →＋PA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 8分 而BA →＝BC →＋CA →＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，BP →＝35BN →.即AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2. 14分基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的重要方法，关键在于选取的基底是否合适，要注意与已知条件的联系．可用方程思想，利用待定系数法确定向量． 1．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是惟一的．(2)平面向量基本定理中，实数λ1、λ2的惟一性是相对于基底e1，e2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是惟一的．2．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不惟一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)关于基底的一个结论设e1，e2是平面内的一组基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0. (3)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．1．下列关于基底的说法正确的是________．(填序号) ①平面内不共线的任意两个向量都可以作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是惟一确定的． 【解析】 作为基底的两个向量不共线，故基底中的向量不能是零向量，②不正确，①③正确．【答案】 ①③2．已知向量e1，e2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y)e1＋(2x －3y)e2＝6e1＋3e2，则x －y 的值为________．【解析】 ∵(3x －4y)e1＋(2x －3y)e2＝6e1＋3e2，且e1，e2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝6－3＝3.【答案】 3 图2－3－63．在如图2－3－6所示的平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．【解析】 MN →＝MC →＋CN →＝12AD →－14AC →＝12b －14(a ＋b)＝－14a ＋14b.【答案】 －14a ＋14b4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，求λ的值．【解】 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点， 若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.一、填空题1．若O 是▱ABCD 的两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________． ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.【解析】 只要是平面上不共线的两个向量都可作为基底，AD →与AB →是有公共点的不共线向量，CA →与DC →也是有公共点的不共线向量．【答案】 ①③ 2．已知e1，e2是平面所有向量的一组基底，那么下列一组向量不能作为基底的是________． ①e1和e1＋e2；②e1－2e2和e2－2e1；③e1－2e2和4e2－2e1；④e1＋e2和e1－e2. 【解析】 因为4e1－2e1＝－2(e1－2e2)， 所以e1－2e2与4e2－2e1共线． 【答案】 ③ 图2－3－73．如图2－3－7，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，M 是DC 的中点，以a ，b 为基底表示向量AM →＝________.【解析】 AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a.【答案】 b ＋12a4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则nm ＝________.【解析】 由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2， ∴nm ＝2. 【答案】 25．设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝mPB →(m≠－1)，O 是直线所在平面内一点，则OP →用OA →，OB →表示为________．【解析】 由AP →＝mPB →得OP →－OA →＝m(OB →－OP →)， ∴OP →＋mOP →＝OA →＋mOB →，∴OP →＝OA →＋mOB →1＋m .【答案】 OP →＝OA →＋mOB→1＋m6．如图2－3－8，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，若CE →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 图2－3－8【解析】 由E 是AD 的中点，则CE →＝12(CA →＋CD →)＝－12AC →＋14CB →＝－12AC →＋14(AB →－AC →)＝14AB →－34AC →，则r ＋s ＝－12.【答案】 －127．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且BD →＝DC →，AE →＝2EC →，AF →＝2FB →，则2AD →＋3BF →＋3CE →＝________.【解析】 由BD →＝DC →，易知AD →＝12(AB →＋AC →)，所以2AD →＝AB →＋AC →，再由AE →＝2EC →，AF →＝2FB →，可知3BF →＝BA →，3CE →＝CA →，所以2AD →＋3BF →＋3CE →＝0. 【答案】 08．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.【解析】 设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝12b －a ，AE →＝b －12a ，AC →＝b －a ，代入AC →＝λAE →＋μAF →，得b －a ＝(λ＋μ2)b －(λ2＋μ)a，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ2＋μ，1＝λ＋μ2，解得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.【答案】 43二、解答题9．(2013·保定高一检测)设e1，e2为两个不共线的向量，a ＝－e1＋3e2，b ＝4e1＋2e2，c ＝－3e1＋12e2，试用b ，c 为基底表示向量a. 【解】 设a ＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R 则， －e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)， 即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c.10．平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，N 为BC 的中点，设AB →＝b ，AD →＝d ，AM →＝m ，AN →＝n.(1)以b ，d 为基底，表示MN →； (2)以m ，n 为基底，表示AB →. 【解】 如图所示．(1)MN →＝AN →－AM →＝(AB →＋BN →)－(AD →＋DM →)＝(b ＋12d)－(d ＋12b)＝12b －12d.(2)m ＝AD →＋DM →＝d ＋12AB →，①n ＝AB →＋BN →＝AB →＋12d ，所以2n ＝2AB →＋d ，② 由①②消去d ，得AB →＝43n －23m.图2－3－911．如图2－3－9所示，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP →＝4PM →.【证明】 记BM →＝e1，CN →＝e2，所以AC →＝－3e2，CM →＝－e1，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e2－e1，BN →＝BC →＋CN →＝2e1＋e2.因为A ，P ，M 共线，且B ，P ，N 共线，所以存在实数λ，μ，使AP →＝λAM →＝－3λe2－λe1，BP →＝μBN →＝2μe1＋μe2， 所以BA →＝BP →＋PA →＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1＝(2μ＋λ)e1＋(μ＋3λ)e2，又BA →＝BC →＋CA →＝2e1＋3e2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，所以AP ∶PM ＝4∶1，即AP →＝4PM →.(教师用书独具)用向量法证明三角形的三条中线交于同一点．【思路探究】 令△ABC 的中线AD 与中线BE 交于点G1，中线AD 与CF 交于点G2，利用向量说明G1与G2重合，证得三条中线交于一点．【自主解答】 如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线．令AC →＝a ，BC →＝b ，则AB →＝CB →－CA →＝AC →－BC →＝a －b ，AD →＝AC →＋CD →＝a －12b ，BE →＝BC →＋CE →＝－12a＋b.令AD 与BE 交于点G1，并假设AG1→＝λAD →，BG1→＝μBE →，则有AG1→＝λa－λ2b ，BG1→＝－μ2a ＋μb.∴AG1→＝AB →＋BG1→＝(1－μ2)a ＋(μ－1)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1.由此可得λ＝μ＝23，∴AG1→＝23AD →.再令AD 与CF 相交于G2，同样的方法可得AG2→＝23AD.∴G1与G2重合，即AD ，BE ，CF 相交于同一点． ∴三角形三条中线交于一点．向量方法证明三线共点的思路为：设三条直线l1，l2，l3中l1与l2的交点为G1，l2与l3的交点为G2，在图形中选择两个简单的不共线的向量作为基底，证明共起点的向量表示惟一，如证AG1→＝AG2→，则得G1，G2重合．在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点.AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b.求证：B ，E ，F 三点共线．【证明】 因为D 是BC 的中点，所以有AD →＝12(a ＋b)．又因为AE →＝23AD →＝13(a ＋b)，AF →＝12AC →＝12b ， 所以BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b)－a ＝13(b －2a)， BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a)． 所以BE →＝23BF →. 又BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．。

平面向量的基本定理及坐标表示适用学科数学适用年级高三适用区域人教版课时时长（分钟）80 知识点1．了解平面向量的基本定理2．平面向量的坐标表示及运算3．平面向量共线的条件教学目标1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的坐标表示．3．掌握平面向量的运算．4．掌握平面向量共线的条件．教学重点平面向量的坐标运算及平面向量共线条件教学难点向量的坐标运算及共线条件教学过程一、复习预习1．平面向量的定义；2．平面向量的坐标表示；3．平面向量的坐标表示及其运算；二、知识讲解考点1 平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．考点2 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．考点3 平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．(2)设OA＝x i＋y j，则向量OA的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)考点4 向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．考点5 向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.考点6 平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b⇔x1y2=x2y1三、例题精析【例题1】【题干】如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD ＝a ，AB ＝b ，若AB ＝2DC ，则AO ＝________(用向量a 和b 表示)．【答案】23a ＋13b 【解析】∵AB ＝2DC ，∴△DOC ∽△BOA ，且OC OA ＝12，∴AO ＝23AC ＝23(AD ＋DC )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝23a ＋13b .【例题2】【题干】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA ＝c.①求3a＋b－3c；②求满足a＝m b＋n c的实数m，n.【解析】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．②∵m b＋n c＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－1.【例题3】【题干】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12C ．1D ．2【答案】B【解析】可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12.四、课堂运用【基础】1．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA ＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC等于()A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7) D．(6，－21)解析：选B BC＝3PC＝3(2PQ－PA)＝6PQ－3PA＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．2.如图所示，向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，A，B，C 在一条直线上，且AC＝－3CB，则()A．c＝－12a＋32bB．c＝32a－12bC．c＝－a＋2bD．c＝a＋2b解析：选A∵AC＝－3CB，∴OC－OA＝－3(OB－OC)．∴OC ＝－12OA ＋32OB ，即c ＝－12a ＋32b .3．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ、μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选D 由题意知向量a ，b 不共线，故m ≠3m －22，解得m ≠2.4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝________.解析：a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x 2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 由题意得(8－2x )·(x ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2·(16＋x )，整理得x 2＝16，又x >0，所以x ＝4.答案：45．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量AB，AC不共线．∵AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.答案：k≠1【巩固】1.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误．．的是()A．AC＝AB＋AD B．BD＝AD－ABC．AO＝12AB＋12AD D．AE＝53AB＋AD解析：选D由向量减法的三角形法则知，BD＝AD－AB，排除B；由向量加法的平行四边形法则知，AC＝AB＋AD，AO＝12AC＝12AB＋12AD，排除A、C.2．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若AC＝2AB，求点C的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三点共线，∴AB∥AC.∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵AC＝2AB，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．【拔高】1．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析：选D ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)． 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，故⎩⎨⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2.2.如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0，0)，B (4,1)，C (6,8)．(1)求顶点D 的坐标；(2)若DE ＝2EC ，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I的坐标．解：(1)设点D (x ，y )，因为AD ＝BC ，所以(x ，y )＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)，所以顶点D 的坐标为(2,7)．(2)设点I (x ，y )，则有F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72，由于 DE ＝2EC ，故(x E －2，y E －7)＝2(6－x E,8－y E )⇒E ⎝ ⎛⎭⎪⎫143，233， 由于BF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，52， BI ＝(x －4，y －1)，BF ∥BI ⇒52(x －4)＝－3(y －1)，又AE ∥AI ⇒233x ＝143y ，联立方程组可得x ＝74，y ＝238， 则点I 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，238.课程小结1.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小.课后作业【基础】1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝() A．(－2，－4) B．(－3，－6)C．(－4，－8) D．(－5，－10)解析：选C由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．2．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)．给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②AB＋BC＝CA；③OA＋OC＝OB；④AC ＝OB－2OA.其中正确的结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C∵OC＝(－2,1)，BA＝(2，－1)，∴OC∥BA，又A，B，C，O不共线，∴OC∥AB.①正确；∵AB＋BC＝AC，∴②错误；∵OA＋OC＝(0,2)＝OB，∴③正确；∵OB－2OA＝(－4,0)，AC＝(－4,0)，∴④正确．3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE 的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝()A.14a＋12b B.23a＋13bC.12a＋14b D.13a＋23b解析：选B由已知得DE＝13EB，又∵△DEF ∽△BEA ，∴DF ＝13AB .即DF ＝13DC .∴CF ＝23CD .∴CF ＝23CD ＝23(OD －OC )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －12a ＝13b －13a . ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .4．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{}(－13，－23)【巩固】1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝3CD ，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO ＝x AB ＋(1－x ) AC ，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0解析：选D 依题意，设BO ＝λBC ，其中1<λ<43，则有AO ＝AB ＋BO ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ) AB ＋λAC .又AO ＝x AB ＋(1－x ) AC ，且AB ，AC 不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.2．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求：(1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为k a －b 与a ＋3b 平行，所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．【拔高】1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(sin α－m ，cos α)，且a ∥b ，则实数m 的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－3解析：选A ∵a ∥b ，∴3cos α－sin α＋m ＝0.∴m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3≥－2.2．已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB .(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．解：(1) OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)， AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ， ∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．3．已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a ，b 表示向量AP ，AD .个性化教案31 / 31解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP －b ， 又3AP ＋4BP ＋5CP ＝0，∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP －b )＝0，化简，得AP ＝13a ＋512b . 设AD ＝t AP (t ∈R )，则AD ＝13t a ＋512t b ．①又设BD ＝k BC (k ∈R )，由BC ＝AC －AB ＝b －a ，得 BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ，∴AD ＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b .②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43.代入①，有AD ＝49a ＋59b .。

湖南省隆回县万和实验学校高中数学《平面向量的基本定理及坐标表示》学案 新人教A 版必修4【学习目标】要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个或一个向量分解为两个向量．【学习重点】 .平面向量的基本定理及其应用． 【学习难点】平面向量的基本定理．一、课前回顾1.向量共线定理：2．向量的加法运算（平行四边形法则）；3给定平面内的任意俩个向量1e ，2e ，作出向量31e +22e ，1e —22e . 二、新课讲授1平面向量基本定理思考1;一个平面内的俩个不共线的向量1e ，2e 平面内与任意一个向量a 的关系1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量，=1e ，OM =λ12e ，=a =OM +ON =λ11e +λ22e ，=2e ，ON =λ22e ．得平面向量基本定理：如果1e，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ11e +λ22e ．我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 合作探究（1）假如1e,2e 共线，那么对于这一平面内的任一向量a ，是否也有且只有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ11e +λ22e ．向量与非零向量共线，当且仅当有唯b a λλ一的一个实数，使=.b a（2）λ1，λ2是被a ，1e，2e 唯一确定的数量吗？（3）平面内的任一向量a 都可以由平面内的俩个不共线的向量1e ，2e 表示出来吗 2.向量的夹角:显然，不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量,a b，作=OA ,a =OB b ，则 叫做向量a 与b的夹角。

如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。

当 时，表示a 与b同向； 当 时，表示a 与b反向。

3.垂直向量如果 ，就称a 与b垂直，记作【典例剖析】例1 已知向量1e ,2e ，求作向量-2.51e+32e ．作法：（1）取点O ，作=-2.51e，=32e ， （2）作平行四边形OACB ，即为所求． 思考：此题还有其他的做法吗？三．知识梳理： １．平面向量的基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的。

高中数学必修4《平面向量的基本定理及坐标表示》教案【一】教学目标平面向量复习教学重难点平面向量复习教学过程平面向量复习知识点提要一、向量的概念1、既有又有的量叫做向量。

用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的，有向线段的箭头所指的方向表示向量的2、叫做单位向量3、的向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做。

零向量与任一向量平行4、且的向量叫做相等向量5、叫做相反向量二、向量的表示方法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法三、向量的加减法及其坐标运算四、实数与向量的乘积定义：实数λ 与向量的积是一个向量，记作λ五、平面向量基本定理如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 ,其中e1，e2叫基底六、向量共线/平行的充要条件七、非零向量垂直的充要条件八、线段的定比分点定比分点坐标公式及向量式九、平面向量的数量积(1)设两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ叫a与b的夹角，其范围是[0，π]，|b|cosθ叫b在a上的投影(2)|a||b|cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ(3)平面向量的数量积的坐标表示十、平移典例解读1、给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b;②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB= DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a=b,b=c，则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;⑤若a∥b,b∥c，则a∥c其中，正确命题的序号是______2、已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，则|2a-b|=____3、若将向量a=(2，1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为_____4、下列算式中不正确的是( )(A) AB+BC+CA=0 (B) AB-AC=BC(C) 0·AB=0 (D)λ(μa)=(λμ)a5、若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c=( )、函数y=x2的图象按向量a=(2,1)平移后得到的图象的函数表达式为( )(A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+17、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足OC=αOA+βOB，其中a、β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )(A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5(C)2x-y=0 (D)x+2y-5=08、设P、Q是四边形ABCD对角线AC、BD中点，BC=a,DA=b，则PQ=_________9、已知A(5,-1) B(-1,7) C(1,2)，求△ABC中∠A平分线长10、若向量a、b的坐标满足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，则a·b等于( )(A)-5 (B)5 (C)7 (D)-111、若a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，则( )(A)(a)2·(b)2=(a·b)2 (B)|a+b|>|a-b|(C)(a·b)·c-(b·c)·a与b垂直(D)(a·b)·c-(b·c)·a=012、设a=(1,0),b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，则实数λ的值是( )(A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/216、利用向量证明：△ABC中，M为BC的中点，则 AB2+AC2=2(AM2+MB2)17、在三角形ABC中， =(2，3)， =(1，k)，且三角形ABC的一个内角为直角，求实数k的值18、已知△ABC中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1)，BC边上的高为AD，求点D和向量高中数学必修4《平面向量的基本定理及坐标表示》教案【二】教学准备教学目标1、理解平面向量的坐标的概念;2、掌握平面向量的坐标运算;3、会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重难点教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程复习平面向量基本定理:什么叫平面的一组基底?平面的基底有多少组?引入:1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示?2.平面向量是否也有类似的表示呢?。

§2.3.1平面向量基本定理、正交分解和坐标表示【学习目标】1、了解平面向量基本定理及其意义；2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；【问题1】用平行四边形法则推断（1）是否每一个向量都可以分解成两个不共线的向量？分解是否唯一？（2）对于平面上两个不共线的向量1e ，2e 是否平面上所有向量都可以用它们来表示？（1） （2）给定平面内任意两个不共线向量1e ,2e 试作出向量→→+2132e e 、→→-212e e1e a2e【小结1】平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a = 。

我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 。

1122 +λλ这就是说平面内任一向量都可以表示成的形式a e e 。

【认知演练1】作平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点M ，若→→→→==b AD a AB ,，试用基底→→b a ,表示→→→MD MC MB ,,。

【小结2】(1)基底的选择是不唯一的；(2)同一向量在选定基底后，12λ,λ是唯一存在的；(3).同一向量在选择不同基底时，12λ,λ可能相同也可能不同。

【问题2】向量的夹角如何定义？两个非零向量a 和b ，作OA a =，OB b =则AOB θ∠=叫做向量a 和b 的夹角。

若a b ，则向量a 和b 的夹角为 。

【认知演练2】在等边三角形ABC 中，求(1) →AB 与→AC 的夹角；(2) →AB 与→BC 的夹角。

【小结3】向量夹角θ的范围：【问题3】平面向量如何用坐标表示？1、正交分解：在在不共线的两个向量中，把一个向量分解为两个 向量，叫做把向量 。

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。

2、平面向量的坐标表示：如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi y j =+我们把),(y x 叫做向量a 的 ，记作a = ，与a 相等的向量的坐标也．．．．．．．．．为． 。

2.3平面向量的基本定理及坐标表示§2.3.1 平面向量基本定理教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量错误!不能通过编辑域代码创建对象。

的积是一个向量，记作：λ错误!不能通过编辑域代码创建对象。

（1）|λ错误!不能通过编辑域代码创建对象。

|=|λ||错误!不能通过编辑域代码创建对象。

|；（2）λ>0时λ错误!不能通过编辑域代码创建对象。

与错误!不能通过编辑域代码创建对象。

方向相同；λ<0时λ错误!不能通过编辑域代码创建对象。

与错误!不能通过编辑域代码创建对象。

方向相反；λ=0时λ错误!不能通过编辑域代码创建对象。

=错误!不能通过编辑域代码创建对象。

2．运算定律结合律：λ(μ错误!不能通过编辑域代码创建对象。

)=(λμ)错误!不能通过编辑域代码创建对象。

；分配律：(λ+μ)错误!不能通过编辑域代码创建对象。

=λ错误!不能通过编辑域代码创建对象。

+μ错误!不能通过编辑域代码创建对象。

，λ(错误!不能通过编辑域代码创建对象。

+错误!不能通过编辑域代码创建对象。

)=λ错误!不能通过编辑域代码创建对象。

+λ错误!不能通过编辑域代码创建对象。

3. 向量共线定理向量错误!不能通过编辑域代码创建对象。

与非零向量错误!不能通过编辑域代码创建对象。

共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使错误!不能通过编辑域代码创建对象。

=λ错误!不能通过编辑域代码创建对象。

.二、讲解新课：平面向量基本定理：如果错误!不能通过编辑域代码创建对象。

，错误!不能通过编辑域代码创建对象。