2017-2018学年上海复旦附中高一(上)期末数学试卷(解析版)

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2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）

1. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）

A. B. C. D.

2. 已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

3. 如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（ ）

A. 是区间 上的减函数，且

B. 是区间 上的增函数，且

C. 是区间 上的减函数，且

D. 是区间 上的减函数，且

4. 若函数f（x）的反函数为f-1（x），则函数f（x-1）与f-1（x-1）的图象可能是（ ）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

5. 函数f（x）=

的定义域是______．

6. 函数y=x2+2（-1≤x≤0）的反函数是f-1（x）=______．

7. 设

，

，则f（x）•g（x）=______．

8. 若正数a、b满足loga（4b）=-1，则a+b的最小值为______．

9. 幂函数f（x）=（t3-t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）=______．

10. 函数

的单调递减区间是______．

11. 函数y=

的值域是______．

12. 设关于x的方程|x2-6x+5|=a的不同实数解的个数为n，当实数a变化时，n的可能取值组合的集合为______．

13. 对于函数f（x）=x2+ax+4，若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）在x∈[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围______．

14. 若函数f（x）=|x-1|+m|x-2|+6|x-3|在x=2时取得最小值，则实数m的取值范围是______．

15. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-ax+a，其中a∈R．

①f（-1）=______；

②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是______．

16. 已知函数

，x∈[1，2]的最大值为f（t），则f（t）的解析式为f（t）=______．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

17. 已知关于x的不等式log2（-2x2+3x+t）＜0，其中t∈R．

（1）当t=0时，求该不等式的解；

（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围． 第2页，共17页

18. 已知函数

（x＞0）．

（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）；

（2）若x≥2时，不等式 ＞ 恒成立，求实数a的范围．

19. 某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为

，x∈[0，24），其中a是与气象有关的参数，且 ∈ ，

．若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．

（1）令t=

，x∈[0，24），求t的取值范围；

（2）求M（a）的表达式，并规定当M（a）≤2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

20. 指数函数y=g（x）满足g（2）=4，且定义域为R的函数

是奇函数．

（1）求实数m、n的值；

（2）若存在实数t，使得不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0成立，求实数k的取值范围．

第3页，共17页 21. 设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：①定义域为R；②对任意实数x1、x2（x1≠x2），都有

＜

．

（1）判断函数f（x）=x2是否为M中元素，并说明理由；

（2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）∉M；

（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）=

＜ 也是M中的元素，并举例说明，G（x）=

＞ 不一定是M中的元素．

第4页，共17页 答案和解析

1.【答案】A

【解析】

解：A.在（0，+∞）上是增函数，满足条件，

B．y=（x-1）2在（-∞，1]上为减函数，在[1，+∞）上为增函数，不满足条件．

C．y=x-2在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．

D．y=log0.5（x+1）在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．

故选：A

根据函数单调性的性质分别进行判断即可．

本题主要考查函数单调性的判断，根据常见函数的单调性是解决本题的关键．比较基础．

2.【答案】C

【解析】

解：作出函数f（x）的图象，如图所示，

当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，

函数f（x）=x2-2x+3在闭区间[0，m]上上有最大值3，最小值2，

则实数m的取值范围是[1，2]．

故选：C．

本题利用数形结合法解决，作出函数f（x）的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，欲使函数f（x）=x2-2x+3在闭区间[0，m]上的上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．

本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．

3.【答案】C

【解析】 第5页，共17页 解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，

由x+y=xy得：，

解得：x+y≥4．

再由x+y=xy得：（x≠1）．

设x1＞x2＞1，

则=．

因为x1＞x2＞1，

所以x2-x10，x2-1＞0．

则，即f（x1）＜f（x2）．

所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，

综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．

故选：C．

由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．

本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．

4.【答案】A

【解析】

解：函数f（x-1）是由f（x）向右平移一个单位得到，

f-1（x-1）由f-1（x）向右平移一个单位得到，

而f（x）和f-1（x）关于y=x对称，

从而f（x-1）与f-1（x-1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x-1，排除B，D；

A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反第6页，共17页 函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得：A选项有可能，C选项排除；

故选：A．

f（x）和f-1（x）关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f（x）的图象向右平移a个单位后，得到的图象的解析式为f（x-a）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．

用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键．

5.【答案】{x|x≥-2且x≠1}

【解析】

解：由题意，要使函数有意义，则，

解得，x≠1且x≥-2；

故函数的定义域为：{x|x≥-2且x≠1}，

故答案为：{x|x≥-2且x≠1}．

由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．

本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．

6.【答案】 ，x∈[2，3]

【解析】

解：∵y=x2+2（-1≤x≤0）

∴x=-，2≤y≤3，

故反函数为，x∈[2，3]．

故答案为：，x∈[2，3]．

由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）． 第7页，共17页 本题考查反函数的求法，考查计算能力，是基础题，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域．

7.【答案】x，x∈（1，+∞）

【解析】

解：∵，，

∴f（x）的定义域是（1，+∞），g（x）的定义域是[1，+∞），

∴f（x）•g（x）=x，x∈（1，+∞），

故答案为：x，x∈（1，+∞）．

根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．

本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的定义域，是一道基础题．

8.【答案】1

【解析】

解：根据题意，若正数a、b满足loga（4b）=-1，则有a=，即ab=，

则a+b≥2=1，

即a+b的最小值为1；

故答案为：1．

根据题意，由对数的运算性质可得a=，即ab=，进而由基本不等式的性质可得a+b≥2=1，即可得答案．

本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及对数的运算性质，关键是分析a、b的关系．

9.【答案】2

【解析】

解：函数f（x）=（t3-t+1）x3t+1是幂函数，

∴t3-t+1=1，

解得t=0或t=±1；

当t=0时，f（x）=x是奇函数，满足题意；

当t=1时，f（x）=x4是偶函数，不满足题意；

当t=-1时，f（x）=x-2是偶函数，不满足题意；

综上，f（x）=x；