基本初等函数(Ⅰ)专题训练

全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

命题点一 基本初等函数(Ⅰ)

1.(优质试题·全国丙卷改编)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则a，b，c的大小关系为________．

解析：因为a＝243，b＝425＝245，由函数y＝2x在R上为增函数知，ba>b.

答案：c>a>b

2．(优质试题·浙江高考)已知a＞b＞1，若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________.

解析：因为logab＋logba＝logab＋1logab＝52，

所以logab＝2或12.因为a＞b＞1，所以logab＜logaa＝1，

所以logab＝12，所以a＝b2.因为ab＝ba，所以(b2)b＝bb2，

即b2b＝bb2，所以2b＝b2，所以b＝2，a＝4.

答案：4 2

3．(优质试题·山东高考改编)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为________．

解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a.化简可得a＝1，则2x＋12x－1>3，即2x＋12x－1－3>0，即2x＋1－32x－12x－1>0，故不等式可化为2x－22x－1<0，即1<2x<2，解得0

答案：(0,1)

4．(优质试题·江苏高考)不等式2x2－x＜4的解集为________．

解析：因为2x2－x＜4，所以2x2－x＜22，

所以x2－x＜2，即x2－x－2＜0，所以－1＜x＜2.

答案：(－1,2) 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

5．(优质试题·安徽高考)1681－34＋log3 54＋log3 45＝________.

解析：原式＝234－34＋log354×45＝23－3＝278.

答案：278

6．(优质试题·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.

解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，

所以－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立，所以xln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即a＝1.

答案：1

7．(优质试题·山东高考)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.

解析：当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[]－1，0上为增函数，由题意得 a－1＋b＝－1，a0＋b＝0无解．当0

答案：－32

8．(优质试题·天津高考)已知a>0，b>0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．

解析：由于a>0，b>0，ab＝8，所以b＝8a.

所以log2a·log2(2b)＝log2a·log216a＝log2a·(4－log2a)＝－(log2a－2)2＋4，

当且仅当log2a＝2，即a＝4时，log2a·log2(2b)取得最大值4.

答案：4

9．(优质试题·江苏高考)已知函数f(x)＝ax＋bx(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1)．

(1)设a＝2，b＝12. 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

①求方程f(x)＝2的根；

②若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．

(2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab的值．

解：(1)因为a＝2，b＝12，所以f(x)＝2x＋2－x.

①方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，

亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，

所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0.

②由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.

因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)＞0，

所以m≤fx2＋4fx对于x∈R恒成立．

而fx2＋4fx＝f(x)＋4fx≥2 fx·4fx＝4，且f02＋4f0＝4，

所以m≤4，故实数m的最大值为4.

(2)因为函数g(x)＝f(x)－2＝ax＋bx－2有且只有1个零点，而g(0)＝f(0)－2＝a0＋b0－2＝0，

所以0是函数g(x)的唯一零点．

因为g′(x)＝axln a＋bxln b，又由0＜a＜1，b＞1知ln a＜0，ln b＞0，

所以g′(x)＝0有唯一解x0＝logba－ln aln b.

令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝(axln a＋bxln b)′＝ax(ln a)2＋bx(ln b)2，

从而对任意x∈R，h′(x)＞0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数．

于是当x∈(－∞，x0)时，g′(x)＜g′(x0)＝0；

当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＞g′(x0)＝0.

因而函数g(x)在(－∞，x0)上是单调减函数，在(x0，＋∞)上是单调增函数．

下证x0＝0. 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

若x0＜0，则x0＜x02＜0，于是gx02＜g(0)＝0.

又g(loga2)＝aloga2＋bloga2－2＞aloga2－2＝0，且函数g(x)在以x02和loga2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x02和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0＜a＜1，所以loga2＜0.

又x02＜0，所以x1＜0，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾．

若x0＞0，同理可得，在x02和logb2之间存在g(x)的非0的零点，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾．

因此，x0＝0.

于是－ln aln b＝1，故ln a＋ln b＝0，所以ab＝1.

10．(优质试题·上海高考)已知a∈R，函数f(x)＝log21x＋a.

(1)当a＝5时，解不等式f(x)>0；

(2)若关于x的方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；

(3)设a>0，若对任意t∈12，1，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

解：(1)由log21x＋5>0，得1x＋5>1，

解得x∈－∞，－14∪(0，＋∞)．

(2)由原方程可得1x＋a＝(a－4)x＋2a－5，

即(a－4)x2＋(a－5)x－1＝0.

①当a＝4时，x＝－1，经检验，满足题意．

②当a＝3时，x1＝x2＝－1，经检验，满足题意．

③当a≠3且a≠4时，x1＝1a－4，x2＝－1，x1≠x2. 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

若x1是原方程的解，则1x1＋a>0，即a>2；

若x2是原方程的解，则1x2＋a>0，即a>1.

由题意知x1，x2只有一个为方程的解，

所以 a>2，a≤1或 a≤2，a>1，

于是满足题意的a∈(1,2]．

综上，a的取值范围为(1,2]∪{3,4}．

(3)易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

所以函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t＋1)．

f(t)－f(t＋1)＝log21t＋a－log21t＋1＋a≤1，即at2＋(a＋1)t－1≥0对任意t∈12，1恒成立．

因为a>0，所以函数y＝at2＋(a＋1)t－1在区间12，1上单调递增，当t＝12时，y有最小值34a－12.由34a－12≥0，得a≥23.

故a的取值范围为23，＋∞.

命题点二 函数与方程

1.2016·山东高考已知函数fx＝ |x|，x≤m，x2－2mx＋4m，x＞m，其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

解析：作出f(x)的图象如图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，所以要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3.

答案：(3，＋∞)

2．(优质试题·江苏高考)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝ 0，0＜x≤1，|x2－4|－2，x＞1，则方程全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．

解析：①当0＜x≤1时，方程为－ln x＝1，解得x＝1e.

②当1＜x＜2时，f(x)＋g(x)＝ln x＋2－x2单调递减，值域为(ln 2－2,1)，方程f(x)＋g(x)＝1无解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解．

③当x≥2时，f(x)＋g(x)＝ln x＋x2－6单调递增，值域为[ln 2－2，＋∞)，方程f(x)＋g(x)＝1恰有一解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解．

综上所述，原方程有4个实根．

答案：4

3．(优质试题·江苏高考)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝x2－2x＋12.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．

解析：函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y＝f(x)，x∈[－3,4]与y＝a的图象有10个不同交点．作出函数y＝f(x)在[－3,4]上的图象如图所示，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察图象可得0

答案：0，12

命题点三 函数模型及其应用

1.(优质试题·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．

解析：由已知条件，得192＝eb，所以b＝ln 192.

又因为48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，