第三章微分中值定理与导数的应用习题

第三章微分中值定理与导数的应用1 •函数y =x2 -1在L 1,1】上满足罗尔定理条件的匕=2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理，则在(1,2 )内存在的匕=3. f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕=4•函数y = In(X +1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕=5•验证罗尔定理对函数y =1 n sin X在区间律—1上的正确性。

T 6」6.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x' —5x2 +x-2在区间0,1】上的正确性。

7.对函数f(x) = sinx及F(x)=x+cosx在区间〔0,—1上验证柯西中值定理的正确性。

L 2」&试证明对函数y = px2 +qx + r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。

9.证明下列不得等式: ⑴ arctanx -arctan y < x - y⑶当a汕＞«¥＜"¥10.用洛必达法则求下列极限:X _x⑵ lim e ~eT sin XIn R +丄］⑷ li%__¥—鈕 1arcta n —x⑸1x m1x1.1 -x1⑹ lim (cot X -一) T x(7)lim (cos X)⑻ ji m^x "(J x2+1 -X) ⑵当X A1时，e x；＞e .XIn (1 +x)⑴lim T X⑶ lim 沁—sina X T x-asin X — xcosx2~；x sinx11. 确定下列函数的单调区间。

⑷ y =1 n(x +J 1 + x 212. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间:⑷ y = In(x 2+1 )13. 禾U 用函数的单调性证明下列不等式:(11)lim(1-x)ta n 便'(2丿(12)tanx⑽ lim — - x -^l x「1 2 、—2x~e-1丿⑴ y = 2x 3-6x 2-18x -7⑵ y = 2x +8(X A O )x=x 3 -5x 2+3x +5/ \ -x⑵ y = xe= (x +1y +e x⑴当1 ,_______ x>0 时，1+ —x》u1+x2⑵当x>0 时，1+xl n(x+j1+x2)> J1 +x2⑶当兀 1 3 0cx£ —时，tanx〉x + -x2 314.列表讨论下列函数的单调区间，凹性区间，极值点与拐点。

M 12丿」I 2丿第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。

可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。

—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。

可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。

「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二 内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。

微积分试题及答案第三章 中值定理与导数应用一、填空题1、=→x x x ln lim 0__________。

2、函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增。

3、函数()43384x x x f -+=的极大值是____________。

4、曲线x x x y 3624+-=在区间__________是凸的。

5、函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________。

6、曲线xxe y 3-=的拐点坐标是_________。

7、若()x f 在含0x 的()b a ,（其中b a <）内恒有二阶负的导数，且_______,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的最大值。

8、123++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点。

9、________)1sin 1(cot lim 0=-→xx x x 。

10、_________)tan 11(lim 20=-→xx x x 。

11、曲线2x e y -=的上凸区间是___________。

12、函数1--=x e y x的单调增区间是___________。

二、单项选择1、函数)(x f 有连续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→2)(lim xxx f x （ ） （Ａ）不存在 ； （Ｂ）0 ； （Ｃ）-1 ； （Ｄ）-2。

2、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,21(内曲线)(x f （ ）（Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的； （Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。

3、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（ ） （Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值；（Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ； （Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。

《高等数学》（上）题库 第三章 微分中值定理与导数的应用判断题第一节.微分中值定理1、可导函数的极值点一定是函数的驻点。

（ ）2、曲线上有水平切线的地方，函数不一定取得极值。

（ ）3、方程015=-+x x 只有一个正根。

（ ） 第二节.洛必达法则4、洛必达法则只能用于计算00，∞∞型未定式。

（ ） 5、不是未定式，也可以使用洛必达法则。

（ ） 6、洛必达法则的条件不满足时，极限一定不存在。

（ ） 第三节.泰勒公式7、在泰勒公式中取00=x 既得麦克劳林公式。

（ ）8、佩亚诺余项可以用于误差估计。

（ ）9、泰勒中值定理是拉格朗日定理的推广。

（ ）10、()nnx n x x x x ο++++=!!21sin 2。

（ ）第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性11、如果在()b a ,内0)(＜x f '，那么函数在[]b a ,上单调减少。

（ ）12、二阶导数为零的点一定是拐点。

（ ）第五节.函数的极值与最大值最小值13、单调函数一定存在最大值最小值。

（ ） 14、0)(0='x f 是函数取得极值的充分条件。

（ ）第六节.函数图形的描绘15、若()0lim =+∞→x f x ，则0=y 是()x f 的一条水平渐近线。

（ ） 16、若()-∞=-→x f x 3lim ，则3-=x 是()x f 的一条铅直渐近线。

（ ） 注：难度系数(1-10)依次为3，4，8；3，4，4；2，4，4，4；2，3；2，4；3，3。

填空题第一节.微分中值定理1、如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零，那么)(x f 在区间I 上是 。

2、设函数)(x f 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么)(0x f '= 。

第二节.洛必达法则3、如果当a x →时，两个函数)(x f 与）（x F 都趋于零，那么极限)()(lim x F x f ax →可能存在、可能不存在，通常把这种极限叫做 。

北师大高等数学教材答案第一章：函数与极限1. 如题所示，本章主要讨论函数与极限的概念及其相关性质。

2. 函数的定义、性质以及基本类型。

3. 极限的概念及其运算法则。

4. 一些常见函数的极限计算方法。

第二章：导数与微分1. 导数的定义及导数运算法则。

2. 高阶导数的定义与计算方法。

3. 微分的概念及微分运算法则。

4. 切线与切线方程的求解。

第三章：微分中值定理与导数应用1. 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的介绍与应用。

2. 泰勒公式及其应用。

3. 函数的单调性、极值点与拐点的判定。

4. 曲线的凹凸性与渐近线的求解。

第四章：定积分1. 定积分的定义、性质与意义。

2. 定积分的计算方法：牛顿—莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。

3. 曲线与 x 轴所围面积的计算。

4. 定积分的应用：求曲线长度、旋转体的体积、平均值等。

第五章：不定积分与定积分的应用1. 不定积分的定义与性质。

2. 基本积分表及其使用方法。

3. 积分的分部积分法、换元法等运算法则。

4. 定积分的应用：物理、几何问题中的应用。

第六章：无穷级数与幂级数1. 数项级数的概念及其性质。

2. 收敛级数与发散级数的判定方法。

3. 幂级数的收敛区间与收敛半径。

4. 幂级数的求和公式及其应用。

第七章：多元函数微分学1. 多元函数的概念与性质。

2. 偏导数的定义及计算方法。

3. 梯度、方向导数与最速下降问题。

4. 条件极值与无条件极值的求解。

第八章：重积分1. 二重积分的定义、性质与计算方法。

2. 三重积分的定义、性质与计算方法。

3. 重积分在物理、几何问题中的应用。

4. 线面积分与曲面积分的概念及计算方法。

第九章：曲线积分与曲面积分1. 曲线积分的定义、性质与计算方法。

2. 向量场及其通量、环流的概念。

3. 曲面积分的定义、性质与计算方法。

4. 电场强度、电通量与高斯定理的介绍。

以上是《北师大高等数学教材》的答案内容简介，希望能够对你的学习有所帮助。

第三章 微分中值定理和导数的应用3．1 验证罗尔定理对函数21x y -=在区间]1,1[-上的正确性。

3．2 验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。

3．3 不用求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明0)(/=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。

3．4 试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。

3．5 验证担格朗日定理对于函数x x f arctan )(=在区间[0，1]上的正确性。

3．6 对函数3)(x x f =及1)(2+=x x g 在区间[1，2]上验证柯西中值定理的正确性。

3．7 对函数x x f sin )(=，x x g cos )(=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π验证柯西中值定理的正确性。

3．8 对函数2)(x x f =，x x g =)(在区间[1，4]上验证柯西中值定理的正确性。

3．9 试证当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 时，|tan |||x x ≤（等号只有在0=x 时成立）。

3．10 证明下列不等式：（1）b a b a -≤-arctan arctan ；（2）y x y x -≤-sin sin ；（3）)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<--- （y x n >>,1）；（4）如果20παβ<≤<，试证：αβαβαββα22cos tan tan cos -≤-≤-； （5）设0>n ，试证：1111arctan 1arctan 1)1(122+<+-<++n n n n 。

3．11 试证：21arctan arcsin xx x -= （11<<-x ）。

3．12 若k x f =)(/，k 为常数，试证：b kx x f +=)(。

>第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是　的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。

第3章 微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理习题 3-11.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ.(1) 2()23f x x x =--，[]1,1.5-； (2) ()f x =[0,3].2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间[0,1]上的正确性，并求出满足定理的数值ξ.3.试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.4.一位货车司机在收费亭处拿到一张罚款单，说他在限速为65公里/小时的收费道路上在2小时内走了159公里.罚款单列出的违章理由为该司机超速行驶.为什么？5.函数3()f x x =与2()1g x x =+在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ.6.设()f x 在[0,]π上连接，在(0,)π内可导，求证：存在(0,)ξπ∈，使得()()cot f f ξξξ'=-.7.若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导函数，且123()()()f x f x f x ==12(a x x <<3)x b <<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使得()0f ξ''=.8.证明：方程015=-+x x 只有一个正根. 9.证明下列不等式：(1)当0a b >>，1n >时，11()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-; (2)当0b a >>时，ln b a b b a b a a--<<； (3)当1>x 时，x e e x⋅>； (4)当0>x 时，x x x x <<+arctan 12； (5)当0>x 时，x x +>⎪⎭⎫⎝⎛+1111ln .10.证明下列等式：(1)arctan cot ,(,)2x arc x x π+=∈-∞+∞;(2)π=++212arcsin arctan 2xxx (1)x ≥. 11.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内有二阶导数，且有()()0f a f b ==，()0f c >()a c b <<，试证在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ''<.12.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()bf b af a f f b aξξξ-'=+-.13.设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导.试证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使[]2()3(1)(0)f f f ξξ'=-.14.设函数()y f x =在0=x 的某邻域内具有n 阶导数，且(1)(0)(0)(0)0n f f f-'====，试用柯西中值定理证明： ()()()!n n f x f x x n θ=(01)θ<<. §3.2 洛必达法则习题 3-21.用洛必达法则求下列极限：(1)0cos lim sin x x e x x →-； (2)2tan 5lim sec 4x x x π→-+； (3)22ln sin lim (2)x xx ππ→-； (4)x xx 1arctan 2lim -+∞→π； (5)x xx 2tan ln 7tan ln lim 0+→； (6)ee x x x x -+-→ln 1lim 31； (7)x x x x x sin tan lim0--→； (8)x x x 2cot lim 0→； (9)2120lim x x e x →； (10))1(lim 1-∞→xx e x ； (11)⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ； (12)2lim(sec tan )x x x π→-；(13)xx xtan 0lim +→； (14)21lim(cos )x x x →； (15)10lim(1sin )xx x →+；(16)xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1ln lim 0； (17)1ln 0lim(cot )xx x +→； (18)211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭；(19)0x →(20)20lim ln(1)x x x x→+-. 2.验证极限sin limsin x x xx x→∞+-存在，但不能用洛必达法则求出.3.若()f x 有二阶导数，证明20()2()()()lim h f x h f x f x h f x h →+-+-''=.4.设当0x →时，2(1)x e ax bx -++是比2x 高阶的无穷小，试确定a 和b 的值.5.讨论函数1112(1),0(),0xx x x f x e e x -⎧⎡⎤+>⎪⎢⎥=⎨⎣⎦⎪≤⎩在点0=x 处的连续性. §3.3 泰勒公式习题 3-31.按(1)x -的幂展开多项式42()34f x x x =++.2.求函数3()ln f x x x =在01x =处的四阶泰勒公式.3. 求函数()tan f x x =带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式.4.求函数()x f x xe -=的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式.5.求函数()ln f x x =按(2)x -的幂展开的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式.6.求函数13y x=-在1x =处的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 7.0.01.8.用泰勒公式取5n =，求ln1.2的近似值，并估计其误差. 9.利用函数的泰勒展开式求下列极限:202(1)lim x x →; 222012(2)lim (cos )sin x x x x e x→+-.§3.4 函数的单调性与极值习题 3-41.证明函数2ln(1)y x x =-+单调增加.2.判定函数()sin (02)f x x x x π=+≤≤的单调性.3.求下列函数的单调区间：321(1)31;3y x x x =--+ 8(2)2(0);y x x x =+> 2(3)3y x =-(4)ln(y x = 1233(5)(1);y x x =- 2(6)2ln y x x =-.4．证明下列不等式：(1)当0>x 时，x x +>+1211; (2)当0>x 时，21ln(1)2x x x +>-; (3)当0≥x 时，(1)ln(1)arctan x x x ++≥; (4)当20π<<x 时，.31tan 3x x x +> 5．试证方程x x =sin 有且仅有一个实根.6.求下列函数的极值：(1)32395y x x x =--+; (2)ln(1)y x x =-+; (3)2ln xy x=;(4)y x =(5)cos x y e x =; (6)()(f x x =-7．试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在3π=x 处取得极值，并求此极值.§3.5 函数的最值及应用习题 3-51.求下列函数的最值:(1)4282,[1,3]y x x =-+-; (2)sin cos ,[0,2]y x x π=+;(3)5,1]y x =-; (4)21,[,1]12x y x =-+.2.求数列的最大项.3.问函数254(0)y x xx=-<在何处取得最小值？4.从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子(如图3-5-11所示)，问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？图3-5-11 图3-5-125.光源S的光线射到平面镜Ox的哪一点在反射到点A，光线所走的路径最短？(如图3-5-12所示)6.设工厂A到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B，铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C，如图3-5-13.现在要在铁路BC段D处修建一个原料中转车站，再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5，那么，D应选在何处，才能使从原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？图3-5-137.甲船以每小时20浬的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北82浬处以每小时16浬的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？8.一抛射体以速度840m/s和抛射角/3π发射.它经过多长时间沿水平方向行进21千米？9.求最大射程为24.5千米的枪的枪口速度.10.假设高出地面0.5m的一个足球被踢出时，它的初速度30m/s，并与水平线成30g=10m/s.角.假定足球被踢出后在空中的运动过程中受到的阻力为零，2(1)足球何时达到最大高度，且最大高度是多少？(2)求足球的飞行时间和射程.11.光学中的费马原理说光线从一点到另一点永远行进最短的路径行进.如图3-5-14所示，从光源A出发，从一平面镜反射到一接受点B.试证明入射角一定等于发射角.图3-5-1412.设生产某产品时的固定成本为10000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨时，总成本为10320元，问:日产量为多少吨时，能使平均成本最低？并求最低平均成本(假定日最高产量为100吨).13.某零售电器商店每年销售2500台电视机.库存一台电视机一年，商店需要花费10元.为了再订购，需付20元的固定成本，再每台另付9元.为了最小化存货成本，商店应按多大的批量再订购且每年应订购几次？14.某家电厂在生产一款新冰箱，它确定，为了卖出x台冰箱，其单价应为280p= -.同时还确定，生产x台冰箱的总成本可表示成20.4x=+.C x x()50000.6R x.(1)求总收入()L x.(2)求总利润()(3)为使利润最大化，工厂必须生产并销售多少台冰箱？(4)最大利润是多少？(5)为实现这一最大利润，其冰箱的单价应定为多少？15.根据连续记录，某影院测定，如果入场票是20元，则影院取1000人为观影的平均人数.但是每提价1元，影院就从平均人数中失去100个顾客.每位顾客在让价上平均花费1.8元.为使总利润最大化，影院应当确定的入场票价是多少？§3.6 曲线的凹凸性与拐点习题 3-61.求下列函数的凹凸区间及拐点：(1)25363223+--=x x x y ; (2)1(0)y x x x=+>; (3)12-+=x xx y ; (4)x x y arctan =; (5)4(1)x y x e =++; (6)2ln(1)y x =+.2.利用函数图形的凹凸性，证明不等式:(1)22y x y x ee e +>+()x y ≠; (2)2cos cos 2cosy x y x +>+，⎪⎭⎫⎝⎛-∈∀2,2,ππy x ; (3)ln ln ()ln2x yx x y y x y ++>+0()0,,x y x y >>≠. 3.试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 4.问a 及b 为何值时，点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点？5.试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得在2-=x 处曲线有水平切线，(1,10)-为拐点，且点在曲线上.§3.7 函数图形的描绘习题 3-71.求下列曲线的渐近线:(1)3221xy x =+; (2)xe y 1-=; (3)23y =; (4)xy x e -=+; (5)xe y x+=1; (6)x x y arctan =. 2.描绘下列函数的图形:(1)1222-=x x y ; (2)21x x y +=; (3)2(3)4(1)x y x -=-;(4)x x y -=3; (5)xxy ln =.总 习 题 三1.设()f x 在[0,1]上可导，且0()1f x <<，对任何一个(0,1)x ∈都有()1f x '≠，试证：在(0,1)内，有且仅有一个数ξ，使()f ξξ=.2.设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()0f f g ξξξ''+=.3.设()f x 在[1,2]上具有二阶导数()f x ''，且(2)(1)f f ==.若()(1)()F x x f x =-，证明：至少存在一点(1,2)ξ∈，使得()0F ξ''=.4.设()f x 在[,]a b 上可微，且()0f a +'>，()0f b -'<，()()f a f b A ==，试证明()f x '在(,)a b 内至少有两个零点.5.设()f x 在[0,1]上连接，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =，试证：对任意给定的正数a ,b ,在(0,1)内存在不同的ξ，η，使()()a ba b f f ξη+=+''. 6.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内存在点ξ和η，使()()2a bf f ξηη+''=. 7.设()f x 可导，试证()f x 的两个零点之间一定有函数()()f x f x '+的零点. 8.设121(1)0321n na a a n --++-=-，证明方程 12cos cos3cos(21)0n a x a x a n x +++-=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个实根. 9.设在[1,)+∞上处处有()0f x ''≤，且(1)2f =，(1)3f '=-，证明在(1,)+∞内方程()0f x =仅有一实根.10.设函数()f x 在[,]a b 上可导，且()()0f a f b +-''⋅<，则在(,)a b 内存在一点ξ，使得()0f ξ'=.11.用洛必达法则求下列极限：20ln(1)(1)lim sec cos x x x x →+-; 0(2)x →; 1(3)lim(1)tan 2x x x π→-; 111(4)lim 1ln(2)x x x →-⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦;11cos 0sin (5)lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭; 2(6)lim arctan xx x π→+∞⎛⎫⎪⎝⎭.12.设lim ()x f x k →∞'=，求lim[()()]x f x a f x →∞+-.13.当a 与b 为何值时，320sin 3lim 0x x a b x x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭.14.设(),0()0,0xg x e x f x xx -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，其中()g x 具有二阶连续导数，且(0)1g =，(0)1g '=-，求()f x '.15.证明不等式: 当02x π<<时，2sin 1xxπ<<. 16.设()f x 在00x =的某个邻域内有二阶导数，且130()lim 1xx f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 求(0),(0),(0)f f f '''.17.求()ln(1sin )f x x =+的四阶麦克劳林公式.18.证明不等式:当02x π<<时，221cos 2x x x π<-<.19.利用函数的泰勒展开式求下列极限:21(1)lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦; 2220cos (2)lim [ln(1)]x x x e x x x -→-+-.20.若30sin 6()lim0x x xf x x →+=，求206()lim x f x x →+.21.求一个二次多项式2()p x ，使222()()x p x x ο=+，式中2()x ο代表0x →时比2x 高阶的无穷小.22.求下列函数的单调区间:(1)(0)y a =>; (2)(0,0)n x y x e n x -=>≥;(3)sin 2y x x =+.23.证明下列不等式:(1) 当0x >时，1ln(x x +>(2)当4>x 时，;22x x > (3)当0x >时，31sin 3x x x x -<<;(4)设02x π<<，则sin tan 2x x x +>;(5)当0x >时，1arctan 2x x π+>. 24.证明下列不等式:(1)设0b a >>，证明: 2()lnb b a a a b->+; (2)设b a e >>，证明:b a a b >. 25.求下列函数图形的拐点及凹凸区间:4(1)(12ln 7)y x x =-; (2)x y xe -=; (3)1y =26.利用函数图形的凹凸性，证明不等式:当0x π<<时，有sin2x xπ>. 27.设32()f x x ax bx =++在1x =处有极值-2，试确定系数a 与b ，并求出()y f x =的所有极值点及拐点.28.设逻辑斯蒂函数()1bxcf x ae -=+，其中0a >，0abc ≠.(1)证明：若0abc >，则f 在(,)-∞+∞上是增函数；若0abc <，则f 在(,)-∞+∞上是减函数;(2)证明ln ax b=是f 的拐点. 29.求下列函数的极值: (1)y =; (2)2x x y e e -=+;(3)tan y x x =+; (4)1x y x e--=. 30.求下列函数的最大值、最小值： (1)21x y x =+,1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦; (2)1x y x =,(0,)x ∈+∞. 31.设0a >,求11()11f x x x a=+++-的最大值. 32.求数列32(1)(1)n n ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭的最小项的项数及该项的数值. 33.证明：11(1)12p p p x x -≤+-≤(01)x ≤≤.34.以汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物.已知每次拖4只小船一日能来回16次，每次拖7只小船则一日能来回10次.如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大?35.求下列曲线的渐近线: (1)1ln (0)y x e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭; (2)2211x x e y e--+=-; (3)1sin (0)y x x x =>; (4)1ln(1)x y e x=++. 36.求笛卡尔曲线3330x y axy +-=的斜渐近线.。

第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：（1）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，且()f x 在(1,1)-内可导。

可见，()f x 在[1,1]-上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=，即：22120(21)ξξ-=+ ，满足，0ξ=； （2）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，但()f x 在(1,1)-内0x =点不可导。

可见，()f x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件，且1,0<1(), =01,1<0x f x x x <⎧⎪'=⎨⎪--<⎩不存在,因此不存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=.2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件.3．解：令33arccosarccos(34)y x x x =--，2y '=，化简得0,C y y '=∴=（C 为常数），又(0.5)y π=，故当0.50.5x -≤≤，有()y x π=。

4．证明：显然(),(f x F x 都满足在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内可导()cos ,()1sin f x x F x x ''==-且对任一0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0F x '≠，(),()f x F x ∴满足柯西中值定理条件。

(0)121(0)22f f F F πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭==='-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()1()12f x F x π'='-，即t a n 1422x ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，此时2a r c t a n 142x ππ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即2arctan 10,422πππξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∃=--∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，使得(0)(3)2(3)(0)2f f f F F F ππ⎛⎫- ⎪'⎝⎭='⎛⎫- ⎪⎝⎭。

1第三章 中值定理与导数的应用§1 中值定理一、 证明：当1>x 时，x e e x ⋅>。

二、证明方程015=-+x x 只有一个正根。

三、设)()(x g x f 、在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明在),(b a 内有一点ξ，使得 )()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-= 四、证明：若函数)(x f 在),(+∞-∞内满足关系式)()(x f x f ='，且1)0(=f ，则x e x f =)(。

五、设函数)(x f y =在0=x 的某邻域内具有n 阶导数，且 )0()0()0()1(-=='=n f f f ， 试用柯西中值定理证明：10 !)()()(<<=θθ，n x f xx f n n §2 洛必达法则一、 求下列极限（1）2031)cos(sinlim xx x -→= （2）xx x x 30sin arcsin lim -→= （3）x x x 21sin 1)1cos(ln lim π--→= （4）x x x x 21cot ])1[ln( lim π--+→= （5）21)arcsin ( lim 0x xx x →= （6）x cb ac b a x x x x 1)( lim 1110+++++++→，其中0≠++c b a 。

§3 泰勒公式一、 求函数x x f tan )(=的二阶麦克劳林公式。

二、 求函数x xe x f =)(的n 阶麦克劳林公式。

、当40=x 时，求函数x y =的三阶泰勒公式。

三、 当10=x 时，求函数x x x f ln )(2=的n 阶泰勒公式。

2§4 函数单调性的判定法一、 确定下列函数的单调区间：（1）x x y ln 22-=；（2）)0())(2(32>--=a x a a x y ，二、证明：当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++；三、设在],[b a 上0)(>''x f ，证明函数a x a f x f x --=)()()(ϕ在],(b a 上是单调增加的。