关于积分限函数的小结 习题课选例

积分函数练习题在数学中，积分函数是一种重要的工具，它可以用来求解曲线下面的面积、计算变量间的关系以及解决一系列实际问题。

为了帮助大家更好地理解积分函数的应用，接下来我将为大家提出一些积分函数的练习题，通过分析和求解这些题目，来加深对积分函数的认识。

练习题一：曲线下面的面积求解函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的曲线下面的面积。

解析：根据积分的定义，曲线下面的面积可以用定积分来表示。

对于给定的函数f(x)，我们可以使用不定积分来求解。

具体步骤如下：1. 首先，我们对f(x)进行积分运算，得到其不定积分F(x)。

由于f(x) = x^2，我们可以得到F(x) = (1/3)x^3 + C，其中C为任意常数。

2. 然后，我们计算曲线在区间[0,1]内的面积。

根据定积分的性质，可以将曲线下面的面积表示为∫[0,1]f(x)dx = [F(x)]0^1 = F(1) - F(0) = (1/3) - (0/3) = 1/3。

练习题二：变量关系的积分给定函数g(x) = 2x，求解函数h(x) = ∫[0,x]g(t)dt。

解析：根据积分的性质，我们知道对函数进行积分运算后可以得到一个新的函数。

对于给定的函数g(x)，我们可以求解h(x)的函数表达式。

具体步骤如下：1. 首先，我们对g(x)进行积分运算，得到其不定积分G(x)。

由于g(x) = 2x，我们可以得到G(x) = x^2 + C，其中C为任意常数。

2. 然后，我们用得到的不定积分G(x)来表示h(x)。

根据定义，h(x) = ∫[0,x]g(t)dt = G(x) - G(0) = G(x) - 0 = G(x) = x^2。

练习题三：实际问题的积分求解一个物体的运动速度v(t)在时刻t的值为v(t) = 3t^2 - 2t + 1，求解在区间[0,2]上该物体移动的总路程。

解析：根据物理学的知识，速度的积分可以表示为位移。

对于给定的速度函数v(t)，我们可以求解总路程的大小。

定积分专题05：含参数定积分极限与变限积分极限问题求解思
路与方法
本系列专题由学友“亭亭小可爱”整理分享，专题内容既适用于课程学习，也适用于竞赛、考研，内容为总结性概括，例题属于提高型典型问题。

例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：证明如下等式成立.
练习2：设 ,
(1) 求极限；
(2) 证明单调递减.
练习3：求.练习4：求.练习5：设在上连续，求练习6：设在上连续，求练习7：求.
练习8：求.
练习9：已知，求极限练习10：设在区间上连续，由积分中值公式，有
若存在且非零，求.
练习11：试求正常数，它们由下式确定：
【注】对于例题或练习题，建议自己在草稿纸上动手做完以后再参见下面给出的参考答案！参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
参考解答
更多相关专题可以参见如下列表：
•定积分专题01：定积分关键定义、定理、公式与相关结论总结•定积分专题02：定积分部分结论、公式的证明思路与方法
•定积分专题03：定积分计算常用方法与典型题分析
•定积分专题04：应用定积分定义求部分和极限题型与典型例题解析
•一道积分算一天，你确信积分对了吗？。

无穷限积分的计算例题近年来，积分在科学、工程和经济中发挥着重要的作用。

积分的定义是把无穷多的有限的曲线下的特定区域分割成有限的几部分，计算各部分的面积和。

本文以无穷限积分的计算例题为例，详细介绍其计算过程。

无穷限积分是一种比较典型的类型，它不仅涉及到曲线的面积和，而且还涉及到曲线下的区域面积和。

无穷限积分也被称为定积分、无穷积分或限定积分。

计算无穷限积分的方法主要有蒙特卡洛法和Riemann-Stieltjes法，其中Riemann-Stieltjes法是一种比较常用的方法。

无穷限积分的计算过程主要依据Riemann-Stieltjes法，其具体步骤如下：（1）准备计算所需的数据，它包括积分的上限和下限、函数的值，以及相应的参数。

（2）确定分割粒度，将积分的上限和下限分成若干等份，比如n=2，三等份，n=3，四等份，依次类推。

（3）计算每一等份的函数值，并计算每一等份的有多少积分。

（4）计算每一等份的积分结果，将各部分的结果相加，得到无穷限积分的具体结果。

（5）验证结果是否正确。

下面以一个具体例题来介绍无穷限积分的计算方法：求函数f(x)=2x2+6x+2在0和1之间的积分。

解：（1）积分的上限和下限是0和1，函数值为f(x)=2x2+6x+2。

（2）n=3，将积分的上限和下限分成三等份，区间分别为[0,1/3]、[1/3,2/3]和[2/3,1]。

（3）计算每一等份的函数值，即f(0)=20+60+2=2；f(1/3)=2(1/3)+6(1/3)+2=4.3333；f(2/3)=2(2/3)+6(2/3)+2=6.4444；f(1)=21+61+2=10。

每一等份的积分为f(0)/3+f(1/3)/3+f(2/3)/3+f(1)/3=2/3+4.3333/3+6.4444/3+10/3= 8.81。

（4）计算三个等份的积分，得到无穷限积分的结果为26.43。

（5）用数值积分法计算得出的结果是26.4342，与手算结果接近，验证结果正确。

变限积分函数范文一、引言积分是微积分的重要概念之一，它在数学以及其它学科中都有广泛的应用。

最基本的积分运算是定积分，它可以求解给定函数在一定区间上的面积或者变化量。

然而，在一些特殊情况下，我们需要对一个函数在无穷区间上的积分进行计算，这就引出了变限积分函数的概念。

本文将首先介绍变限积分函数的基本概念和性质，然后通过几个例子来说明变限积分函数的计算方法。

最后，我们还将讨论一些常见函数对应的变限积分函数的特点和应用。

二、基本概念和性质对于函数f(x)在[a,b]上的定积分∫[a,b] f(x) dx 可以看作是一个变量 x 的函数 F(t)，其中 t 是一个变量，它的取值范围是 [a,b]。

这个变量函数 F(t) 称为变限积分函数。

F(t) = ∫[a,t] f(x) dx在这个定义中，F(t)是x的函数，x的取值范围是[a,t]，所以t是x 的取值范围的上限。

变限积分函数F(t)描述了在区间[a,t]上函数f(x)的积分值。

对于变限积分函数，我们有以下性质：1.F(a)=0，即当t=a时，变限积分函数的值为0，这是因为积分的下限与上限相同时，积分值为零。

2.当t的取值范围在[a,b]时，F(t)是关于t连续的函数。

3.当函数f(x)连续时，变限积分函数也是连续的。

4.如果函数f(x)是可积函数，那么变限积分函数F(t)也是可积的。

5.当函数f(x)是连续函数且在[a,b]上可导时，变限积分函数F(t)也是可导的，并且其导数等于原函数f(t)。

三、计算方法举例接下来，我们通过几个例子来说明如何计算变限积分函数。

例一：计算函数f(x)=x在区间[a,t]上的变限积分函数F(t)。

根据定义式，我们有：F(t) = ∫[a,t] x dx = [x²/2]（从 a 到 t）= t²/2 - a²/2例二：计算函数 f(x) = sin(x) 在区间 [0,t] 上的变限积分函数F(t)。

高数：《变限积分函数》参考课件节选及典型题举例
● 积分上限函数为被积函数的一个原函数，因此，积分上限函数是连续可导函数
● 在已知条件或者结论中包含有积分上限函数的问题，一般直接的思路就是先对积分上限函数求导
● 积分上限函数也称为变上限函数，因此，有变下限函数，以及上下积分限都为函数的积分限函数，对于它们都可以转换为变上限函数来处理，即
于是结合积分上限函数的复合函数可以得到以上变限函数的导数表达式
● 对于积分变限函数求导的基本原则是在求导之前将被积表达式要变换成与求导变量无关，而仅仅与积分变量相关的表达式；积分上下限为求导变量的函数的结构，这样就可以直接使用变限积分求导公式直接套用！即将被积函数的积分变量替换为变限表达式，然后乘以变限函数的导数即得导数结果，即依据课件及上面的公式将最终所求的变限积分式子转换如下，并有如下求导结果
即如果被积表达式中包含有求导变量，则要提出来，如果提不出来，则通过积分的换元法的方式转换，使得其不包含有求导变量参考课件，内容结合老师课堂讲授理解：
小贴士。

函数极限、连续与积分习题解答1． 用函数极限的定义证明：（1）2221lim 2.3x x x →∞+=-证明： 0,ε∀> 欲使2222172,33x x x ε+-=<--易见当||3x >时，有2277|3|||.|3|||x x x x ->⇒<-于是，只要7,||x ε<即7||x ε>时，有222123x x ε+-<-成立。

取7max 3,.M ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 故对0,ε∀>7max 3,.M ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭对||,x M ∀>有 222123x x ε+-<-，即2221lim 2.3x x x →∞+=- （2）11lim arc .12x tg x π-→=- 证明：0(0),2πεε∀><<要使不等式 11arc arc 1221tgtg x xππε-=-<-- (1)x < 成立，解得11.()2x tg πε-<- 取δ=1()2tg πε-，于是10,0,(1,1),()2x tg εδδπε∀>∃=>∀∈--有1arc ,12tgx πε-<- 即11lim arc .12x tg x π-→=- （3）0x →∞=。

证明：sin =1,x<<0ε∀>，取11N x N ε⎢⎥=+∀>⎢⎥⎣⎦，有1sin ,x ε<<(lim 0.x →∞∴=2. 求下列极限：(1) 11lim(sincos ).x x x x→∞+ 解：22211112lim(sin cos )lim[(sin cos )]lim(1sin )→∞→∞→∞+=+=+x x x x x x x x x x x2sin 122sin 2lim[(1sin )].→∞=+=xx xx e x或2111sin cos 11sin211lim []1111sin cos 11111lim sin cos lim 1sin cos 1.x x x x x xxx xx x x x e e x x x x →∞+--+-→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=++-==⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎪⎩⎭(2) 120lim(1sin ).xx x →+解：11sin 2sin 20lim(1sin )lim[(1sin )]x xx xx x x x →→+=+=(3) 210ln(1)lim .ln(1)x x x x x →∞-+++解: 222210109109101111ln[(1)]2ln ln(1)ln(1)lim lim lim 1111ln(1)ln[(1)]10ln ln(1)→∞→∞→∞-++-+-+==+++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x291011ln(1)21ln lim .115ln(1)10ln →∞-++==+++x x x x x x x(4) 2221lim .1x x x x →∞⎛⎫-⎪+⎝⎭解：22222112111lim lim .112lim 11x tt x t t t t x t e x t t -→∞→+∞--→+∞⎛⎫--⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦3. 求解下列各题：(1)已知极限lim )0x ax b →+∞-=，确定a 与b .解：已知lim )lim→+∞-=x x ax b222lim0==x成立，从而210,a -= 120.ab +=解得11,.2a b =±=当11,2a b =-=时，极限1l i m 1)2x x →++-不存在，于是11,.2a b ==- (2) 讨论极限111lim x x x →⎛⎫⎡⎤-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭是否存在？解：在点01x =的左右两侧附近，当1x >时有 11010,x x ⎡⎤<<⇒=⎢⎥⎣⎦于是有1lim x +→11x x ⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=11lim 1;x x +→=当1x <（限定0x >）时，有111,x x ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦故由夹逼定理得11l i m 1,x x -→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦从而有111lim 0.x x x -→⎛⎫⎡⎤-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭即111111lim lim ,x x x x x x +-→→⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤-≠- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭所以111lim x x x →⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭不存在。

无穷限积分的计算例题无穷限积分是数学中一种重要的积分方式，它包含了无穷个有限积分叠加在一起，用数学形式表示可以表示为：$$int_{a}^{b}f(x)dx=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i$$其中，$a$和$b$为上下限，$f(x)$为函数，$n$表示有限积分个数，$x_i$表示每一个有限积分的分割点，$Delta x_i$表示每一个有限积分的间隔。

二、无穷限积分的计算方法无穷限积分的计算方法有很多，最常用的一种是梯形法，而能够使用梯形法进行计算的函数要求具有简单的极限性，即：存在分割点$x_0$,$x_1$，$x_2$…$x_n$,使得：$$lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Deltax_i=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^n(f(x_{i-1})+f(x_i))frac{Delta x_i}{2},$$其中，宗旨就是将积分区间分为多个相等的子区间，使得该积分区间分为若干个梯形，再用加法原理把梯形加起来，即可得到此区间的积分值。

这里有一个重要的定律，就是梯形定理：$$int_a^bf(x)dx=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^n(f(x_{i-1})+f(x_i) )frac{Delta x_i}{2}$$根据这个定理，可以进行无穷限积分的计算，由此可以得到关于无穷限积分的计算公式：$$int_a^bf(x)dx=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^n(f(x_{i-1})+f(x_i) )frac{x_i-x_{i-1}}{2}=lim_{ntoinfty}frac{1}{2}sum_{i=1}^n[f (x_i)+f(x_{i-1})](x_i-x_{i-1})$$三、无穷限积分的计算例题例题1：求下列积分：$$int_1^2x^2dx$$解：将积分区间分为$n$个等分，即$x_0=1,x_1=1.1,x_2=1.2,ldots,x_n=2$，则：$$begin{aligned}int_1^2x^2dx&=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^n(x_{i-1}^2+x_i^2)fra c{Delta x_i}{2}&=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^n(x_{i-1}^2+x_i^2)frac{x_i-x_{i-1 }}{2}&=lim_{ntoinfty}frac{1}{2}sum_{i=1}^n[x_i^2+x_{i-1}^2](x_i-x_{i-1})end{aligned}$$由此，可以得到：$$begin{aligned}int_1^2x^2dx&=lim_{ntoinfty}frac{1}{2}sum_{i=1}^n[x_i^2+x_{ i-1}^2](x_i-x_{i-1})&=lim_{ntoinfty}frac{1}{2}[(1.0^2+1.1^2)(1.1-1.0)+(1.1^2+1. 2^2)(1.2-1.1)cdots+(2.0^2+2.1^2)(2.1-2.0)]&=frac{11}{6}end{aligned}$$故答案为：$int_1^2x^2dx=frac{11}{6}$例题2：求下列积分：$$int_1^5sqrt{x}dx$$解：将积分区间分为$n$个等分，即$x_0=1,x_1=1.2,x_2=1.4,ldots,x_n=5$，则：$$begin{aligned}int_1^5sqrt{x}dx&=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^n(sqrt{x_{i-1}}+s qrt{x_i})frac{Delta x_i}{2}&=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^n(sqrt{x_{i-1}}+sqrt{x_i})frac{x_ i-x_{i-1}}{2}&=lim_{ntoinfty}frac{1}{2}sum_{i=1}^n[sqrt{x_i}+sqrt{x_{i-1 }}](x_i-x_{i-1})end{aligned}$$由此，可以得到：$$begin{aligned}int_1^5sqrt{x}dx&=lim_{ntoinfty}frac{1}{2}sum_{i=1}^n[sqrt{x_i}+sqrt{x_{i-1}}](x_i-x_{i-1})&=lim_{ntoinfty}frac{1}{2}[(sqrt{1.0}+sqrt{1.2})(1.2-1.0)+( sqrt{1.2}+sqrt{1.4})(1.4-1.2)cdots+(sqrt{4.8}+sqrt{5.0})(5.0-4.8)]&=frac{97}{12}end{aligned}$$故答案为：$int_1^5sqrt{x}dx=frac{97}{12}$四、总结以上就是关于无穷限积分的计算例题，两个例题其实只是冰山一角，实际上，无穷限积分的计算可以应用于许多不同的情况，从而解决许多实际问题。

积分上限函数及应用题引言在数学中，积分是一种重要的运算工具，用于求解曲线下面的面积或曲线的长度、质量等问题。

在实际应用中，我们往往需要对积分结果进行限制，以满足特定的需求。

这就引出了积分上限函数的概念和应用。

积分上限函数的定义积分上限函数是一种特殊的函数，其定义为对于一个固定的上限值，计算积分结果。

以常见的积分上限函数为例，设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则积分上限函数F(x)定义为：F(x) = ∫[a,x] f(t) dt其中，∫[a,x]表示对区间[a,x]上的函数进行积分操作。

积分上限函数F(x)表示计算积分结果时的上限值为x。

积分上限函数的性质积分上限函数具有以下性质：1.F(x)在[a, b]上连续。

这是因为积分操作具有连续性。

2.F(x)在[a, b]上可导。

根据微积分的基本原理，积分上限函数F(x)在[a,b]上可导，并有F’(x) = f(x)。

3.F(x)是原函数f(x)的一个不定积分。

即F’(x) = f(x)，其中F(x)表示积分上限函数，f(x)表示原函数。

积分上限函数的应用积分上限函数在实际问题中具有广泛的应用。

下面以几个典型的应用题为例，说明积分上限函数的应用。

应用题一：曲线下面的面积计算假设有一条曲线，其方程为y = f(x)，我们想要计算曲线下面的面积，即曲线与x轴所夹的区域的面积。

利用积分上限函数，我们可以使用以下公式计算：S = ∫[a,b] f(x) dx其中，∫[a,b]表示对区间[a,b]上的函数f(x)求积分，S表示曲线下面的面积。

通过计算积分上限函数F(b)和F(a)的差值，我们可以得到所需的面积。

应用题二：质心的计算在物理学中，质心是描述物体重心位置的概念。

对于一维质点系，其质心的位置可以通过积分上限函数来计算。

假设质点系中每个质点的质量为m(x)，其位置为x，质心的位置为c。

利用积分上限函数，我们可以使用以下公式计算质心的位置：c = ∫[a,b] x · m(x) dx / ∫[a,b] m(x) dx其中，∫[a,b]表示对区间[a,b]上的函数进行积分。

考研——积分上限的‎函数（变上限积分‎）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的‎积分，叫做变限积‎分。

注意点：1、在求导时，是关于x 求‎导，用课本上的‎求导公式直‎接计算。

2、在求积分时‎，则把x 看作‎常数，积分变量在‎t 积分区间上‎],[x a 变动。

（即在积分内‎的x 作为常‎数，可以提到积‎分之外。

）关于积分上‎限函数的理‎论定理1如果‎)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则在上连续‎⎰=xadt t f x F )()(],[b a 。

定理2如果‎)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限‎个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。

定理3如果‎)(x f 在],[b a 上连续，则在上可导‎⎰=xa dt t f x F )()(],[b a ，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理‎可看出，对作变上限‎)(x f 积分后得到‎的函数，性质比原来‎的函数改进‎了一步：可积改进为‎连续；连续改进为‎可导。

这是积分上‎限函数的良‎好性质。

而我们知道‎，可导函数经‎)(x f 过求导后，其导函数甚‎)(x f '至不一定是‎连续的。

（Ⅱ）定理（3）也称为原函‎数存在定理‎。

它说明：连续函数必‎存在原函数‎，并通过定积‎分的形式给‎出了它的一‎个原函数。

我们知道，求原函数是‎求导运算的‎逆运算，本质上是微‎分学的问题‎；而求定积分‎是求一个特‎定和式的极‎限，是积分学的‎问题。

定理（3）把两者联系‎了起来，从而使微分‎学和积分学‎统一成为一‎个整体，有重要意义‎。

重要推论及‎计算公式：推论1 )(])([x f dt t f dxd bx -=⎰ <变上限积分‎改变上下限‎，变号。

变限积分函数的相关计算方法总结（一）来源：文都教育在近几年的考研数学中，变限积分函数的相关计算（如求极限、求导数）出现的频率越来越多，以2015年数学二、数学三中的一道填空题为例，如下：设函数()f x 连续，20()()d .x x xf t t ϕ=⎰ 若(1)1ϕ=，(1)5ϕ'=, 则(1)f = . 本文已知20()()d x x xf t t ϕ=⎰，根据变限积分函数求导和乘积的导数公式可得：2220()()d 2().x x f t t x f x ϕ'=+⎰ 所以有10(1)()d 1,f t t ϕ==⎰从而(1) 2.f =上面例题的解题关键是应用变限积分函数的求导公式，作为函数它与考生熟悉的常见函数一样，作为一种特殊的函数它还具有其自身的特殊性质. 因此，首先需要知道变限积分函数的相关性质及求导公式.变限积分函数确定了参变量x 的一个函数，若函数()f x 连续，(),()x x ϕψ均可导，则()()d ()d [()]()[()]().d x x f t t f x x f x x x ϕψϕϕψψ''=-⎰ ①利用上述公式，可以求解积分上限函数、积分下限函数及积分上限和积分下限函数的导数.例1 设()f x 连续，且310()d ,x f t t x -=⎰则(7)f = .解 根据求导公式，由310d ()d ,d x f t t x x -'=⎰得32(1)31,f x x -⋅=即321(1),3f x x-=故2x =时，3211(7)(21).3212f f =-==⨯例2 设()f x 可导，证明：d ()()d ()().d x a x t f t t f x f a x'-=-⎰ 证明 应用变限积分函数导数公式，得d ()()d ()()0.d x ax t f t t x x f x x ''-=-=⎰ 显然，上述证明方法没有达到题目要求，是错误的，到底错在哪里？经过观察发现，被积函数中含有未知变量x ，因此求导过程中需要考虑对其求导. 因此，证明过程如下：()()d ()d ()d ,x x x a a a x t f t t xf t t tf t t '''-=-⎰⎰⎰ 在右端第一个积分中，由于积分变量为t ，变量x 与积分变量无关，可视为常量故可把x 提到积分号外面，得： ()()d ()d ()d .xx xa a a x t f t t x f t t tf t t '''-=-⎰⎰⎰ 故可直接利用乘积的求导公式，得到：d ()()d ()d ()()d x x a a x t f t t f t t xf x xf x x''''-=+-⎰⎰ ()d ()().xa f t t f x f a '==-⎰ 上述两例分两种情况举例说明变限积分函数的求导运算，考生在复习备考过程中需要熟记公式①，同时在解题过程中还应特别注意被积函数是否含有自变量（如例2中的情况），视情况将其提取到积分号外面在进行下面的计算，如果不能提取到积分号外，这时通常需要通过变量代换的方法来进行计算. 在复习过程中有意识地选择各种类型的题目加以练习，必将在考试中对这类题目游刃有余，取得高分.。

考研积分上限的函数知识点全面总结1.变上限积分的定义变上限积分是确定了一个变量作为积分上限的积分形式，记作\(\int_{a}^{x} f(t) \, dt\)，其中\(f(t)\)是被积函数，\(a\)是积分下限，\(x\)是积分上限。

2.变上限积分的性质变上限积分具有以下性质：- 可加性：\(\int_a^x f(t) \, dt + \int_x^b f(t) \, dt =\int_a^b f(t) \, dt\)- 导数性质：\(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) \, dt = f(x)\)- 积分性质：\(\int_a^x f'(t) \, dt = f(x) - f(a)\)- 形式不变性：\(\int_a^x f(t) \, dt = \int_a^b f(t) \, dt\)，其中\(a \leq x \leq b\)3.变上限积分的计算方法变上限积分的计算方法与定积分类似，需要先找到原函数\(F(x)\)。

具体方法如下：-先求导得到\(f(x)\)；-对\(f(x)\)进行积分，得到\(F(x)+C\)，其中\(C\)为常数；-最后将\(F(x)\)的上限替换为\(x\)即可。

4.变上限积分的应用变上限积分在数学和物理学中有广泛的应用，例如：-平均值定理：根据变上限积分的导数性质，可以推导出平均值定理，用于求函数在一些闭区间上的平均值；-曲线长度：通过变上限积分可以计算曲线的长度；-物理学应用：变上限积分可以用于描述物体在不同时间段内的速度、加速度等物理量。

总结起来，变上限积分是定积分的一种形式，它的自变量是积分上限。

变上限积分具有可加性、导数性质、积分性质和形式不变性等性质。

计算变上限积分时，需要找到原函数并替换上限。

变上限积分在数学和物理学中有广泛的应用，例如平均值定理、曲线长度和物理学应用。

三重积分的计算方法介绍：三重积分的计算是化为三次积分进行的。

其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。

从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。

步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。

多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。

σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。

步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。

区域z D 的边界曲面都是z 的函数。

计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。

dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。

可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。

定积分典型例题例1求lim 2(3厂+科竹|+疔).n-.: n分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0, 1] n等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限.解将区间[0, 1] n等分，则每个小区间长为.次=1,然后把=1 -的一个因子-乘n n n n n入和式中各项•于是将所求极限转化为求定积分•即lim 4(泞 +习2n2+|||+贰)=1计丄品+泸+111+护)=[V Xdx=E •门一丿n n二n n , n 勺n 0 42 1 ------------ 2例 2 [J2x—xdx= ___________ •2 盯解法1由定积分的几何意义知，0 J2x-x2dx等于上半圆周(X—1)2+y2=1 ( yX0)与x轴所围成的图形的面积.故.2x—x2dx = —•2解法2 本题也可直接用换元法求解.令x_1 = sint (丄兰t兰三)，则2 22 1 2応JT 2 冗0 2x -x dx= 2_. 1 -sin t costdt = 2 ； J -sin t costdt = 2 02cos tdt =p 2 、 1 1 2 1例 3 比较(e x dx , [e x dx , [(1 +x)dx •分析对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小.2解法 1 在[1,2]上，有e x三e x.而令f(x) =e x-(x 1)，则f (x) =e x-1.当x • 0 时,f (x) 0，f(x)在(0,；)上单调递增，从而f(x) ・f(0)，可知在[1,2]上，有e x 1 x •又1 2 1 1 1 x2 2f(x)dx=- [ f (x)dx，从而有[(1+x)dxA(e x dx A J e x dx .解法2 在[1,2]上，有e^<e x•由泰勒中值定理e x=1 x e x2得e x 1 x •注意到2!1 22f(x)dx=-[ f (x)dx .因此2 (1 +x)dx >(e x dx > I e x dx .0 2 例4估计定积分e x*dx的值.」2分析要估计定积分的值，关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值.而limlnn厂n P=o,所以sin xxdx - 卩丄dx =ln解设f(x)=e xj<,因为f (x) =e"*(2x-1),令f(x)=O,求得驻点x =—,而21 1 f(0)=e°=1, f (2)=e2, f(2)=e P, 故1e^ < f(x^e2, x ［0,2］,从而12e n _ 0 e x"dx _ 2e2,所以_2e2" e x丛dx _ -2e^ •例 5 设 f (x) , g(x)在［a, b］上连续，且g(x)30, f(x)>0 .求匹［g(x)『f (x)dx .解由于f(x)在［a,b］上连续，则f (x)在［a,b］上有最大值M和最小值m •由f()x 0 知M 0 , m .0 .又g(x) _0 ,贝U_ b b _____ ___________ b罟m a g(x)dx 兰［g(x)f^dx 兰J a g(x)dx .由于lim n m =lim n M =1，故b bn m a g(x)n f(X)dx= a g(x)dx .分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则.解法1利用积分中值定理sin x设f(x)二 ------ ,显然f (x)在[n,n - p]上连续，由积分中值定理得xn p sin x , sinn dx p, [n,n p],n x当n—•时，-—•-',而sin 乞1,故F十sinx sin -n m n 〒dx=ii m p=o.解法2利用积分不等式因为p, n为自然数.p sinx ,.. dx -x11 11嚎”加日嚎齐“且訂应兰1,1xlim dx =0 .J' 01 x解法2因为0 _x _1，故有nc x 0 -1 xnX . c dx = 0 .x1例8设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1内可导，且4[ f (x)dx=f (0).证明在(0,1)内 '4存在一点c ，使f (c) =0 .分析 由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件 f 「)二f (0)即可.证明 由题设f(x)在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得i 3f(0) =4 3f (x)dx =4f( )(1 )=f(),44其中匚可3,1][0,1].于是由罗尔定理，存在 (0, )(0,1)，使得f (c^ 0 .证毕.4x 22x例 9(1)若 f (x) e 丄 dt ,则 f (x) = ________ ; ( 2)若 f (x)二 0 xf (t )dt ,求 f (x) = _____ .nP sin x、~x~求 lim — dx .1 ::-x解法1由积分中值定理b baf (x)g (x)dx = f (：) l g(x)dx 可知1 xdx =1o x ndx ,n_x .于是可得又由于1x n0 <1 x1dx x ndx .分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可d v(x)— f (t)dt =f[v(x)]v(x) -f[u(x)]u (x).dx u(x)4 2解(1) f (x) =2xe-e";xf (x)= o f(t)dt xf(x) •x _1例 10 设 f(x)连续，且』—f(t)dt=x ，贝y f (26) = _______________X 3丄 解 对等式0 f(t)dt 二x 两边关于x 求导得f(x 3-1) 3x 2=1,x例 12 求 f (x) (1 -t)arctan tdt 的极值点. 解 由题意先求驻点.于是 f (x) = (1 - x)arctan x .令f(x) = 0，得x=1 , x=0 .列表如下：x(q,0)(0,1) 1(1,宓) f (x)—+—故x =1为f (x )的极大值 点，x =0为极小值点.例13已知两曲线y =f(x)与y =g(x)在点(0,0)处的切线相同，其中arcs inx十2g(x) = 0 e dt , x [-1,1],试求该切线的方程并求极限 lim nf (3).n 性 n分析 两曲线y =f(x)与y =g(x)在点(0,0)处的切线相同，隐含条件 f(0)=g(0),f (0) =g (0).解由已知条件得土f(0) =g(0) = °e dt =0 ,可得 (2) 由于在被积函数中 x 不是积分变量，故可提到积分号外即xf (x) =x o f (t)dt ，则1故fd"我，令X 3，26得心，所以f(26)- 27例11F(x)= 3* ,令 F (x) ：：： 0 得 3，解之得，即(O’*)为所求•x函数 F(x) = J (3 — (x .0)的单调递减开区间为且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知-(arcs in x)2・・ef(0)=g(0)= _r=1.山_X x m故所求切线方程为y =x .而实用标准文案lim nf (3) =lim3 3 f( ) -f(0) n =3f 3 _n例 14 求 lim ---------------------- ,T [ t(t _sint)dt分析 该极限属于0型未定式，可用洛必达法则.由此可知必有|叫(1 -bcosx) = 0 ,得b =1 .又由1 r x2 —lim.1 ,a x_°1—cosx a得a =4 .即a =4 , b =1为所求.故f (x)是g(x)同阶但非等价的无穷小.选B .解法2将sint 2展成t 的幕级数，再逐项积分，得到sinx 21 “2、3 1 . 3 1 [t 一 (t ) ]dt sin x - 3! 342x220 sin tdtx? 2[sin tdt 解凹2x(sin x 2)2ft(t-sint)dt=lxm0(—1) x (x _si 莎 7 ㈣2 2(x 2)2=(-2) lim -x - sinx x：01 - cosx4x 312x 2=(-2) lim= 0 .T si nx注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则. 例15 1试求正数a 与b ，使等式limT x -bsin x ‘0 J a +t 2x t 2、 dt =1成立.分析易见该极限属于 0型的未定式，可用洛必达法则.解 x im 0x_bsin x 0 a tx 2lim a x —01「b cosxsin x例 16 设 f(x): sin t 2dt , g(x) =x 3x 4，则当x > 0 时，f (x)是 g(x)的( ).A .等价无穷小. 解法1由于傀B .同阶但非等价的无穷小.2f(x) li m sin (sin x) cosx g(x) ‘叫C .高阶无穷小.D .低阶无穷小.2 3x .. cosx = lim x 03 4x 1 x 2lim 2 = 3x 0x 2丄 34x ..sin(sin 2x) limx _0x-1 , limx「01 — bcosxxt 2dt =22 f(x) =$xL x1 ：：x^20乞x 乞例17证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调增加，则有ba 亠b bxf(x)dx _ ------ f (x)dx •a 2 axa x x证法 1 令 F(x)= [tf(t)dt _ 二一L f(t)dt ，当 tw[a,x]时，f(t)兰 f (x)，则1xa+xx — a1 xF (x) =xf (x) f (t )dtf (x) = f (x) f (t)dt 2电2 22 *a、x —a1 .x x —a x —af (x) f (x)dt = f (x)f (x) =0 •2 2 a2 2故F(x)单调增加•即F(x) _F(a)，又F(a) =0，所以F(x) _ 0 ,其中x ・[a,b] • 从而ba +b bF (b) = [ xf (x)dx ———[f (x)dx 3 0 .证毕.分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分.2 2 22x 2 cx 2 c5解L |x|dx = L （—x ）dx + [xdx = [—? •注 在使用牛顿-莱布尼兹公式时，应保证被积函数在积分区间上满足可积条件•如3 1 1 11「=dx=[—丄]32=1，则是错误的.错误的原因则是由于被积函数 ―在X=0处间断且在被 ^x x 6 x积区间内无界•2 9例 19 计算 0 max{ x ,x}dx •分析被积函数在积分区间上实际是分段函数lim 便x 0g(x) 31 1 4 sin x( sin x ) 3 42勺 -----x 3"^? --------------11 sin42 x in证法2由于f(x)单调增加，有(X-2 b )[f(x)-f (空b )] _0，从而 2 2a + b)[f (x) - f ( )]dx 一 0 •Jx a2 2b a(x-a+b )f(x)dx K f(x- 2 a 、a 2b)f(a 2b )dx = f(a 2b ) [(x —a 2b )dx = 0 •182计算.」x|dx •b aX f (X )dX —2ba f(x)dx •2212 2X 21 X 32max{x ,x}dx = °xdx i x dx 二[尹 [亍31例20 设f(x)是连续函数，且 f (x)=x+3』f(t) dt ，贝U f(x)= _________________ 1 1解 因f (x)连续，f (x)必可积，从而 0 f (t)dt 是常数，记0f(t)dt=a ，则1 1f(x)=x+3a ，且 0(x+3a)dx = J0 f (t)dt =a .所以1 2 1 1[x 3ax]o =a ，即卩 3a = a ,2 2 13 从而a ，所以 f (x) =x -443x 20 £ xf 1 x例 21 设 f(x) = 23 ，, F(x)= ( f(t)dt , 0Ex 兰2，求 F(x),并讨论 F(x)5-2x, 1兰x 兰2盹的连续性.分析 由于f(x)是分段函数,故对F(x)也要分段讨论. 解 (1 )求F(x)的表达式.F(x)的定义域为[0,2].当 x [0,1]时，[0,x][0,1],因此xx 23 x3F(x) = j 0 f (t )dt = j03t 2dt=[t 3】x=x 3.当 x (1,2]时，[0, x] =[0,1]|J [1,x],因此,则F(x)二；3t 2dt：(5-2t)dt=[t 3]0 [5t-t 2]：=-3 5x-x 2,故-'3l x ,0 兰x<1F(x)2.、一3+5x —x , 1 Ex 兰2(2) F(x)在[0,1)及(1,2]上连续，在x =1处，由于lim.F(x) =lim(-3 5x-x 2) =1, lim F(x) =lim x 3=1, F(1)=1.x 1 x 1x ：1 …x 1 _因此，F(x)在x =1处连续，从而F(x)在[0,2]上连续.错误解答(1)求F(x)的表达式，当 x • [0,1)时，xx 23 x3F(x) = ] f(t)dt = j03t 2dt=[t 3】x=x 3.当[1,2]时，有xxF(x)二 0 f(t)dt = 0 (5-2t)dt =5x -x 2 .故由上可知1 7 17 =_ +-=—2 3 6分析本题只需要注意到定积分b af(x)dx 是常数(a, b 为常数).X 3,0 兰X £1 W X 2,S2⑵F(x)在［0,1)及(1,2］上连续,在x=1处，由于lim F(x) = lim(5 x _x 2)=4 , lim F(x) = lim x 3=1,X 1 ' x 1 ' x1 … x 1 ■-因此，F(x)在x =1处不连续，从而F(x)在［0,2］上不连续.错解分析 上述解法虽然注意到了f(x)是分段函数，但(1)中的解法是错误的，因x为当x€［1,2］时，F(x) = ［f (t )dt 中的积分变量t 的取值范围是［0, 2］， f(t)是分段函数,1F(x)二。

二重积分计算中积分限的确定赵娟刘敏宁群(宿州学院数学系安徽宿州234000)摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法.关键词:二重积分累次积分积分限积分次序引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。

原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。

本人结合自己的教学实践和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好地帮助学生解决这一难题。

1．高等数学中计算二重积分的方法在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。

(1)画出积分区域；(2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域；(3)用公式化二重积分为累次积分；(4)计算累次积分的值。

在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握得很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得.2．教学过程中总结的方法本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候，对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量，我们要根据积分区域的图形，用夹住区域的平行于同一坐标轴的两条直线确定其上下限(确定的上下限应为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在这两条平行直线之间画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向穿过区域该直线与区域的边界至多有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限.3．例题解析例1 计算⎰⎰D xydxdy,其中D是由直线xyyx===,1,2所围成的区域.解:作出积分区域D的图形作者简介：赵娟(1980-),女，汉族，安徽蚌埠，宿州学院数学系，教师，助教，学士，模糊数学在经济中的应用安徽师范大学项目：2006年省级精品课程《高等数学》（序号111）省教育厅自然科学资助项目（2006KJ257B）在这个例题中我们既可以选择先对积分积分也可以选择先对y x .若我们选择先对,x y 积分那么根据口诀需要把后积分的变量的积分限根据积分区域先定下来.从积分区域图可以看出21最大取到最小取到y .然后我们在直线1=y 和 直线2=y 之间画一条和这两条直线平行的直线,易见这条线只要画在1=y 和2=y 内,则其左边总是和直线y x =相交,从而x 的积分下限即为y ,而右边总是和直线2=x 相交,从而x 的积分上限为2.这样就完成了二重积分到累次积分的转化:811)81()212(2142212212=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰y y dy y y dx x ydy xydxdy Dy若我们选择先对y 积分也是可以的。

变限积分求导例题（实用版）目录1.变限积分求导的概述2.变限积分求导的例子3.变限积分求导的方法和技巧4.总结正文一、变限积分求导的概述在微积分中，我们经常会遇到对变限积分求导的情况，即对一个关于自变量 x 的函数 F(x)，其中自变量 x 的取值范围是 [a, b]，求该函数的导数。

这种求导方式被称为变限积分求导。

求解变限积分求导的问题，需要运用到微积分的基本原理和方法，同时也需要对变限积分有一定的理解和掌握。

二、变限积分求导的例子下面我们通过一个具体的例子，来说明如何对变限积分进行求导。

例题：设函数 F(x) = ∫(x^2 + 3x - 2) dx，其中积分区间为 [0, 2]，求 F(x) 的导数。

解：首先，我们需要求出被积函数 (x^2 + 3x - 2) 的原函数，即 F(x)。

我们知道，x^2 的原函数是 (1/3)x^3，3x 的原函数是 (3/2)x^2，-2 的原函数是 -2x，所以 F(x) = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 - 2x，x∈[0, 2]。

然后，根据求导的定义，F"(x) = lim(Δx→0) [F(x+Δx) - F(x)] / Δx。

将 F(x) 代入公式，我们得到 F"(x) = lim(Δx→0) [(1/3)(x+Δx)^3 + (3/2)(x+Δx)^2 - 2(x+Δx) - (1/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2x] / Δx。

化简后，我们可以得到 F"(x) = lim(Δx→0) [3x^2 + 3xΔx + Δx^2 + 3x^2 + 3xΔx + Δx^2 - 2x - 2Δx] / Δx。

再次化简，我们得到 F"(x) = lim(Δx→0) [6x^2 + 6xΔx] / Δx。

最后，我们可以得到 F"(x) = 6x。

所以，函数 F(x) 的导数是 6x。

三、变限积分求导的方法和技巧求解变限积分求导的问题，主要有以下几种方法和技巧：1.利用微积分基本定理，将变限积分转化为常限积分，然后求导。