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即： (a b) a b
（ ） a a a
( a) ( )a
P 89 1
A
D
F
5
B
E
C
如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量 AB a , AC b , AD c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA 则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③ 注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定 . 10
解题研究
例2:已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点， 且 OP OA OB ，求 的值.
练习:设点P在直线AB上并且 AP PB( 1 ) ，O为空 间任意一点，求证：
OA OB OP 1
11
OB 、 OC 为棱的平行六面 练习 1: 已知 OE 是以 OA 、 体 OADB─CFEG 的对角线,点 M 是 △ ABC 的重心. G 求证:点 M 在直线 OE 上. E
A a B
16
b
C
p
P
思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线
的非零向量 a 、 b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P P 呢? p C
b
⑴∵ AP与a 、b 共面, ∴ 唯一有序实数对 ( x, y),
O
A a B
使 AP xa yb .
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP xa yb ①
C 在平面 内且 AB a , AC b ⑵∵已知点 B 、
∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP xAB yAC ②
C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ⑶∵已知点 B 、 ∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 OP OA xAB yAC ③
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课外补充练习:
A 1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
(A)若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 (B)若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 (C)若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 (D)若 OP OA AB ，则P、A、B共线 2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点 O， OM xOA ＋ OB ＋ OC , 则x的值为( D)
分析: 证三点共线可 尝试用向量来分析.
O
C
B
F
M
N
D A
12
课堂练习
练习 1： 已 知 空 间 三 个 不 共 的 面向 量 m、 n、 p， 若 a 3m 2n 4 p, b ( x 1)m y n 2 p, 且a // b, 求 实 数x, y的 值 。 x 2.5, y 1
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
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思考 2(课本 P95 思考) B、 C, 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A 、 满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 B、 C 是否共面? x y z 1 )的点 P 与点 A 、
3.1.2空间向量的 数乘运算
上一节课 ,我们把平面向量的有关概念及加减运 算扩展到了空间.
加法 减法 运算 运 算 律 平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 ab ba 加法结合律: (a b) c a (b c) 空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 a b b a 加法结合律
1 3
1 3
( A)1
( B)0
(C )3
1 ( D) 3
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课外补充练习:
1.下列说明正确的是： D (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是：C (A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面
△BCD 的重心,试用 a 、 b 、 c 表示下列向量:
⑴ DM
1 （ a b) c 2
B M
⑵ AG
A
1 （ a b c) 3
D
G C
6
例1、平行六面体A 1B 1C1D 1 ABCD，M分 AC 成的 1 比为 ，N分 A 成的比为2，设 D 1 2 A1 试用 D1 AB a, AD b, AA1 c,
三点共线：
1.要证明空间三点A、B、C共线，只要证明： AB // AC 2.用空间直线向量的参数表达式可以证明三点共线； 3.注意中点向量公式在解题中的应用，也即中点向 量如何表示.
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例4、已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是 边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点， 且 CF 2 CB, CG 2 CD. 3 3 求证：四边形EFGH是梯形。
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(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.
2
b
b
a
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
、、 D’
C’
B’
N
A
M
D
B
C
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三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 a 间任意三个向量就不 一定共面的了。 2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向
O A
a
量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
3
a
一、 数乘空间向量的运算法则
与平面向量一样 , 实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量. ⑴当 0 时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0 时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
a
3a
3a
4
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
9
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A
O
l
a
BP
注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
即， P,A,B 三点共线。或表示 t ⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 R ,使 AP t a . OP (1t )OA tOB .① tR , 使 AP ∴ 点 P 在直线 l 为： 上 唯一实数 t a
a // b R , a b .
b
c
a
8
二、共线向量及其定理
1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 b 记作a // b ． 向量．a 平行于 o 与任一向量 a 是共线向量. 规定: a b、 b（0 ≠ ） 2.共线向量定理： 空间任意两个向量 ， a //b 的充要条件是存在实数 ，使a b .
14
例3、已知 ABCD ABC D
1 2 AA BC AB ，并在图中标出其结果； （1）化简 2 3
上的3/4分点，设 MN AB AD AA ，试求
的值。
是平行六面体。
（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面 BCC B对角线 BC
A’
a, b, c
表示 MN 。
B1
N
C1
A
M
D C
7
B
二、共线向量及其定理
定义: 表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考 ⑴ : 对空间任意两个向量 a 与 b , 如果 a b , 那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
