空间向量的数量积运算PPT优秀课件

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3.1.3空间向量的数量积运算课件人教新课标5

又|1 |= 2,| |= 2,
1 ·
所以 cos<1 , >=
|1 |||
=
1
2× 2
1
2
= .
因为<1 , >∈[0°,180°],
所以<1 , >=60°,所以向量1 与的夹角为 60°.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
且|cos<a,b>|≤1,所以 D 正确.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
2.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=4,E 为侧面
AB1 的中心,F 为 A1D1 的中点.
2.有关数量积的运算应注意的问题:
(1)与数乘运算区分开,数乘运算的结果仍是向量,数量积的结果为
数量;
(2)书写规范:不能写成 a×b,也不能写成 ab.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
=|c|2-|a|2=0.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
当堂检测
(3) ·1 =
1
1
(-) +
2
2
1
+
2
1
2
1
1
=- |a|2+ |b|2=2.
2

空间向量的数量积运算-ppt课件

空间向量的数量积运算
知识点一空间向量的夹角如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三利用空间向量解决垂直问题
【例3】如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四利用数量积求距离
方法技巧用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或

空间向量的数量积运算(43张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册

环节一创设情境引入课题根据功的计算，我们定义了平面向量的数量积运算，一旦定义出来，我们发现这种运算非常有用，它能解决有关长度和角度问题，在空间向量中亦是如此。
在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，现在我们类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
空间向量及其线性运算
共线向量的判定及应用共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置：教科书习题1.1 第4,7题.
环节七目标检测，作业布置
设BB₁=1,则AB=√2.∵AB₁=BB₁-BA,BC₁ =BB₁ +BC, ∴AB₁·BC₁=(BB₁-BA)·(BB₁+BC)=BB²-BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB₁ ⊥BC₁ , ∴AB₁与BC₁所成的角为90°
思考1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,由a.b=a·c,你能得到b=c 吗?如果不能，请举出反例.
设a是非零向量，且b≠c,求证：a·b=a·c ⇔b-c)⊥a B
a.b=a·c⇔a.b-a·c=0⇔a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或对于向量a,b,若a.b=k, 能不能写成的形式?3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗?为什么?
1.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=√2BB₁,则AB₁与BC₁所成角的大小为(B )A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,求：(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;(2)a·(a+b+c)=a²+a.b+a·c=a²+0+0=1;(3)(a+b)·(b+c)=a.b+a·c+b²+bc=0+0+l²+0=1(第2题)

人教A版选择性必修第一册高中数学1.1.2空间向量的数量积运算精品课件

2
2×4×cos 135°＋16λ
例题解析
例 9．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，有下列说法：
→1＋AD
→ ＋AB
→ )2＝3|AB
→ |2；②A→
→
→
→
→
①(AA
1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为 60°.
其中说法正确的有( B )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
知识梳理
三、数量积的运算规律：
注意：等式 (a b)c a (b c ) 是否成立？
不成立
练习：判断下列说法的真假.
（1）若a b 0, 则a 0或b 0;
（ × ）
（2）若a b b c(b 0),则a c;
（ × ）
2
2
（3） p q ( p q ) ;
A
知识梳理
投影向量
(1)投影向量
在空间，向量 a 向向量 b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，
进而利用平面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c，
b
c＝|a|cos〈a，b〉|b|，则向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量，
a
同理向量 b 在向量 a 上的投影向量是|b|cos〈a，b〉
A．0
B.－2
C．2
D.－3
1
1
→
→
→
→
如图所示．在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，因为 E，F 分别是棱 BC，AD 的中点，所以AE·CF＝ (AB＋AC)·
2
2
1
1
→
→
→
→

1.1.2 空间向量的数量积运算课件(人教版)

同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO两两垂直.
2.两个非零向量a,b的夹角〈a,b〉的范围是③ [0,π] ;若〈a,b〉=0,则向量a,b方向④相同;若〈a,b〉=π,则向量a,b方向⑤ 相反 ;若〈a,b〉=π ,则向量a,b⑥ 互相垂直 .
2
空间向量的数量积
1.定义已知两个非零向量a,b,则⑦ |a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作⑧ a·b . 即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定:零向量与任意向量的数量积为⑨ 0 . 2.运算律 (1)(λa)·b=⑩ λ(a·b) ,λ∈R; (2)交换律:a·b= b·a ; (3)分配律:a·(b+c)= a·b+a·c .
3.由于向量的夹角的取值范围为[0,π],而异面直线所成的角的取值范围为
0,
π 2
,因此利用向
量的数量积求异面直线所成的角时,要注意角度之间的关系,当〈a,b〉∈
0,
π 2
时,它们相等;
当〈a,b〉∈
π 2
,π
时,它们互补.
利用空间向量的数量积求距离(或线段长)
1.用数量积求两点间距离的步骤 (1)用向量的模表示此距离; (2)用已知模和夹角的向量表示此向量; (3)用公式a·a=|a|2求|a|; (4)|a|即为所求距离. 2.求模公式的推广由公式|a|= a a 可以推广为|a±b|= （a b）= a2 2abb2.
(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则 AE
·AF =
;
(2)在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则OG ·

空间向量的数量积运算课件(共18张PPT)高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

(λa)・b=λ(a・b)，λ∈R
a・(b+c)=a・b&#
知识点4：空间向量数量积的运算律
思考1:对于向量a,b,c,由a・b=a・c能得到b=c吗?如果不能,请举出反例.
不能.数量积运算不满足消去律，例如a=0
不能.向量没有除法.
思考3:对于向量a,b,c,(a・b)c=a(b・c)成立吗?也就是说,向量的数量积满足结合律吗?
数量积运算不满足结合律．数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(a・b)c不一定等于a(b・c)．这是由于(a・b)c表示一个与c共线的向量，而a(b・c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：
角转化
根据今天所学，回答下列问题：1.空间向量的线性运算和数量积运算有什么区别？2.如何利用数量积求长度和角度？3.如何利用数量积解决垂直问题？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos<a，b>叫做a，b的数量积，记作a·b.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
a·a= |a||a|cos<a,a>=|a|2.
a·a也记作a2.
即a·b=|a||b|cos<a，b>.
知识点2：空间向量的数量积
结果为数值
思考：类比平面向量的投影，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？
取向量
求余弦值
定结果
异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求分弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小．

6.1.2空间向量的数量积课件(苏教版)

＝CA2＋CC1 2＋CB2＝12＋22＋12＝6，
形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
由余弦定理得，BD＝ 3AD，
所以AD2 ＋BD2 ＝AB2 ，
→ →
所以 DA⊥BD，则BD·DA＝0.
→ →
由 PD⊥底面 ABCD，知 PD⊥BD，则BD·PD＝0.
→ →
（2）AM 在直线 BC上的投影向量 BC
C
D
0
A
B
D1
C1
2
AM BC BC BC BC | BC |2 1
B1
A1
（问）AM BC还有没有其他方法？
M
C
D
A
B
典型例题
例3.量a，
b，
c均为单位向量, 它们的夹角均为600，求 | a 2b c |
2
2
2
解：
| a 2b c | （a 2b c） a 4b c 4a b 2a c 4b c

4
4
→
所以|BN|＝
→
|BN|2＝ 3.
典型例题
—→ —→ → → —→ →
（2）因为 BA1 ＝ CA1 －CB＝CA＋CC1 －CB，
—→ → —→
CB1 ＝CB＋CC1 ，
—→
—→
→ → →
所以| BA1 |2＝ BA1 2＝(CA＋CC1－CB)2
—→
→ —→ →
| BA1 |＝ 6，
| m|| n |
典型例题
一、数量积的计算
例4

1.1.2空间向量的数量积运算课件(人教版)(1)

1.1.2 空间向量的数量积运算
复习巩固
• 类比平面向量推广得到空间向量
1、空间向量的定义及相关概念
2、空间向量的线性运算及运算律(加法、减法、数乘) 3、【共线向量定理】
对任意两个空间向量a，b (b 0) , a // b的充要条件是存在实数λ使 a b
4、【共面向量定理】
一、复习回顾
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
2BB1，则
解：设BB1 1，则AB 2.
A1
AB1 BB1 BA，BC1 BB1 BC，
AB1 BC1 (BB1 BA) (BB1 BC)
2
BB1 BA BC 1 2 2 cos60 0 A AB1 BC1，所以AB1与BC1所成的角为90
n
m
gn
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α .
【用向量解决几何问题的常用方法（三部曲）】 • 选择恰当的向量表示问题中的几何元素 • 通过向量运算得出几何元素的关系 • 把运算结果“翻译”成相应的几何意义
随堂练习
3、(课本P9练习T3)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=3， AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°.求
C B
98 56 2 所以AC 13.3
D
C
A
B
随堂练习
1、(课本P8练习T2)如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，设
AB a, AD b, AA c，求： (1)a (b c); (2)a (a b c); (3)(a b) (b c)

空间向量数量积运算 ppt课件

PPT课件
5
PPT课件
6
知识要点
1.两个向量的夹角的定义
如图，已知两个非零向量a，b.在空间任取一点O，可以作OA=a，OB=b，
则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作:
〈a，b〉
a
A
a
b
Ob
B
PPT课件
7
3.1.3空间向量的数量积运算
1）空间两个向量的夹角的定义
思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？
用于计算向量的模;
（3）cosθ = a b 用于计算向量的夹角.
a b
PPT课件
4
3.平面向量数量积满足的运算律
（1）交换律: a·b = b·a
（2）对数乘的结合律: (λa)·b = λ( a·b ) = a·(λb ) （3）分配律:( a + b )·c = a·c + b·c
数量积不满足结合律,即: ( a·b )·c a·( b·c )
形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最
大的是___A___.
A. P1P2 ·P1P3
B. P1P2·P1P4
C. P1P2·P1P5
D. P1P2·P1P6
PPT课件
19
解析：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，设边长 | P1 P2 |= a 则 ∠P2P1P3=π/6,
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θ π
b
B
b
a
bO a
PPT课B件
A
2
复习：
4．平面向量的夹角：
b
B
a
OA
PPT课件
3

空间向量的数量积运算ppt课件

g
l
m
m
存在唯一的有序数对(, )，
= + .
∴ ∙ = ∙ + ∙ .
∵ ∙ = 0， ∙ = 0
∴ ∙ = 0.∴ ⊥ .
因此直线垂直于平面内的任意一条直线，所以 ⊥ .
n
n
g
∠AOB
OB ＝b，则_______＝θ
范围：________
0≤θ≤π
B
b
b
特殊情况：

B
a
a
O
b B
O
b
a
A
B b
O
0
180
a 与 b 同向
a 与 b 反向
A
O
a
a
A
90
a 与 b 垂直，记作 a b
A
空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OA ＝a，
空间向量的数量积运算
新课导入
平面向量及其线性运算
推
广
空间向量及线性运算
平面向量数量积运算
推
广
空间向量数量积运算
探究
问题：回忆一下，我们当时是如何研究平面向量的数量积运算？
定义夹角
数量积定义
运算律
运用
知识回顾
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 OA ＝a，
<a,b>
叫做向量a与b的夹角．记作: ________
a

a
c
b
称为向
投影向量
向量a向直线l投影
a

a
c
l
投影向量

《空间向量的数量积》课件

节角速度等运动参数。
THANKS
感谢观看
分配律
$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot
vec{c}$
空间向量的数量积的运算性质
01
非零向量的数量积为0当且仅当该向量垂直于另一个向量。
02
向量$vec{a}$与自身的数量积为$vec{a} cdot vec{a} =
空间向量的数量积在工程中的应用实例
总结词
工程中涉及到空间运动、机械系统等领域都离不开空间向量的数量积的应用。
详细描述
在工程中，空间向量的数量积可以用于分析物体的运动轨迹、速度和加速度等运动学量。在机械系统中，空间向量的数量积可以用于分析机构的动力学特性，以及优化设计机械系统。例如，在机器人学中，可以使用空间向量的数量积来计算机器人的姿态角和关
CHAPTER
04
空间向量的数量积的应用实例
空间向量的数量积在物理中的应用实例
总结词
物理中的力、速度和加速度都可以用向量表示，而空间向量的数量积在这些物理量之间起着重要的作用。
VS
详细描述
在物理中，力、速度和加速度等物理量都可以用向量表示。空间向量的数量积可以用于计算这些物理量的合成与分解，以及解决与这些物理量相关的实际问题。例如，在计算力的合成时，可以使用空间向量的数量积来计算合力的大小和方向。
详细描述
空间向量的数量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{A}$ 和$mathbf{B}$之间的夹角。

空间向量的数量积运算ppt课件

l m 0, l m 0 , l g 0,即l g.
gl
m
m n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
22
小结：通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题： 1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、证明线面垂直; 4、求两直线所成角的余弦值等等.
3.1.3空间向量的数量积运算
1
一、引入
1.共线向量定理：
空间中任意两个向量a, b (b 0)共线(a b )
的充要条件是存在实数，使得a b
2.共线向量定理的推论：
(1)若直线l过点A且与向量 a平行，则
点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
（1）存在实数t，使得AP t AB，即AP AB （2）存在实数t，使得OP OA t AB
另外 a b a c b c 及ab 0 a 0或b 0
10
已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．
11
练习1
如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：
∴ cos AB,CD AB CD 3 1 ，
| AB | | CD | 2 3 2
∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 1 ． 2
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如 AB, BD 150 易错写成 AB, BD 30 ，注意推敲！
17
例 1:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

空间向量的数量积运算ppt课件

l
充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使 g xm yn .
将上式两边分别与向量 l 作数量积运算，得
l
g
l g xl m yl n.
n
l m 0, l n 0

l g 0即l g
m
g
l g
这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线
当a与c不共线时, ( a b )c a( b c )
因此, ( a b )c a( b c )不一定成立。
结论: 数量积①不可约分、 ②不可作商、 ③不满足结合律。
典例解析
例2 如图示, 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB=5, AD=3, AA′=7, ∠BAD=60°,
a
a
a
c
(1)
A

a
b
B
a
c
(2)
a

A
c B

l
(3)
如图（ 3 ）向
, 量 a向平面投影 , 就是分别由向量 a的起点 A 和终点 B 作平面的垂线 ,
垂足分别为 A , B , 得到向量 A B , 向量 A B 称为向量 a 在平面上的投影向量 .
2
2
2
CA AB BD 2(CA AB CA BD AB BD )
c 2 a 2 b 2 2(0 0 0)
c 2 a 2 b2
CD c 2 a 2 b2
A
b
a
B
D
巩固练习

空间向量的数量积运算课件

[证明] 不妨设正方体的棱长为 1，
→ AB
＝
a，A→D＝
b，A→A1＝
c，
则 |a|＝ |b|＝ |c|＝ 1， a·b＝ b·c＝ a·c＝ 0.
由图形得：P→A＝P→D＋D→A＝－12A→A1 －A→D
＝－ b－12c，P→C＝ P→D＋D→C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝－12A→A1＋A→B ＝ a－12c，
B→1O＝B→1B＋B→O＝－ c＋12(－ a＋ b) ＝－12a＋12b－ c.
∴〈G→F，A→C 〉＝ 180°.
∴G→F·A→C＝1a·a·cos180°＝－1a2.
2
2
(4)|E→F |＝ 12a， |B→C |＝ a，又E→F ∥B→D，
∴〈E→F ，B→C 〉＝〈B→D，B→C 〉＝ 60°.
∴E→F·B→C＝1a·a·cos60°＝1a2.
2
4
[点评] 本题主要考查空间向量数量积的定义及其运算，要求大家在熟练掌握的基础上能灵活运用．
4．两个向量数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律： ①(结合律)(λa)·b＝λ(a·b)； ②(交换律)a·b＝b·a； ③(分配律)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
思考感悟类比平面向量，你能说出 a·b 的几何意义吗？提示：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|·cosθ 的乘积．
再用公式．
类型四利用数量积证明垂直问题 [例4] 如图10，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为 DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.
图 10
[分析] 本题考查利用 a⊥b⇔a·b＝0 求证线面垂直，关键是在面 PAC 中找出两相交向量与向量B→1O垂直．

空间向量的数量积最完美版课件

数量积满足非负性，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} geq 0$，当且仅当 $mathbf{a}$与$mathbf{b}$同向时取等号。
02 空间向量向量的数量积定义为它们的模长之积与它们夹角的余弦值的乘积，记作a·b。
当两个向量垂直时，它们的数量积为 0；当两个向量同向时，它们的数量积为它们的模长之积。
空间向量的数量积最完美版课件
目录
CONTENTS
• 空间向量的数量积定义 • 空间向量的数量积运算 • 空间向量的数量积的应用 • 空间向量的数量积的习题解析 • 空间向量的数量积的扩展知识
01 空间向量的数量积定义
定义
空间向量的数量积定义为两个向量的模长之积与它们夹角的余弦值的乘积，记作：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$。
题目8：已知空间向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$， $overset{longrightarrow}{b} = (x + y - z,y - x - z,z - x - y)$，且 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数量积为$0$，求$x^{2} + y^{2} + z^{2}$的值。
高级习题解析
题目7：已知空间向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$， $overset{longrightarrow}{b} = ( 2y + z,x + y, - x + z)$，且 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数量积为$5$，求$x^{2} + y^{2} + z^{2}$的值。

《3.1.3空间向量的数量积运算》ppt课件

(4)错误.在△ABC中,向量 BA，BC 的夹角为∠B,而向量 AB，BC 的夹角与向量 BA，BC 的夹角互补,故此等式不正确. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若向量a与b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为 ,则
3
a·b=
.
(2)已知|a|=
2 ,|b|=
2 2
,a·b=-
2 2
,则a与b的夹角
为
.
(3)已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|= 7 ,
则cos<a,b>=
.
【解析】(1)a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2× 1 =1.
2
答案：1
(2)由a·b=|a||b|cos〈a，b〉= 2 2 ×cos〈a，b〉
【解析】EF
FC1

[1 2
c

a

1 2
b]
(1 2
b

a)
1 (a b c) (1 b a)
2
2
1 a 2 1 b 2 2. 24
【方法技巧】 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b=|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算. (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
形△OAB，△BOC求 OE与 BF 的模.
2. PC
2
PC .
【自主解答】(1)设 OA=a，OB =b，
OC =c且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，

空间向量的数量积运算课件

则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)B→C·E→D1＝b·[12(c－a)＋b] ＝|b|2＝42＝16.
(2)B→F·A→B1＝c－a＋12b·(a＋c) ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)E→F·F→C1＝12c－a＋12b·12b＋a ＝12(－a＋b＋c)·12b＋a ＝－12|a|2＋14|b|2＝2.
a·b 性质 ③若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝__|_a_||_b_| __
④|a·b|≤|a|·|b|
探究点一空间向量的数量积运算
问题 1 空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？
答案已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝ a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉．规定：0≤〈a，b〉≤π.

a·(b＋c)＝_____a_·b_＋__a_·_c _____
(3)数量积的性质
①若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔__a_·_b_＝__0____ 两个
②若 a 与 b 同向，则 a·b＝___|a_|_·|_b_| _；向量
若反向，则 a·b＝_－__|_a_|·_|b_|_. 数量
特别地，a·a＝____|a_|_2 __或|a|＝ a·a 积的
∴|a＋b＋c|＝10.
小结求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模，其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
解 ∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝3π， ∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c) ＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c

空间向量的数量积运算课件

[精解详析] ∵ AC1 ＝ AB＋ AD＋ AA1 ， ∴| AC1 |2＝ AC1 2＝( AB＋ AD＋ AA1 )2 ＝ AB2＋ AD2＋ AA1 2＋2( AB ·AD＋ AB ·AA1 ＋ AD·AA1 ) ＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.
∴| AC1 |＝ 6，即对角线 AC1 的长为 6.
[精解详析] ∵ BA1 ＝ BA ＋ AA1 ＝ BA ＋ BB1 ， AC ＝
BC － BA，且 BA·BC ＝ BB1 ·BA＝ BB1 ·BC ＝0,
∴ BA1 ·AC ＝－ 2 ＝－1.
又| AC |＝ 2，|BA1 |＝ 1＋2＝ 3,
∴cos〈
BA1
，
AC
〉＝ |
BA1 ·AC ＝－1＝－ BA1 || AC | 6
＝12×1×1×cos〈 CA， CB 〉＝12×1×1×cos 60°＝14. (3)( OA＋OB)·(CA＋CB)＝(OA＋OB)·(OA－OC ＋OB－ OC ) ＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC ) ＝OA2＋OA·OB－2OA·OC ＋OB·OA＋OB2－2OB·OC ＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.
空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角
2．空间向量的数量积
定已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫
义做a，b的数量积，记作 a·b
数乘向量与向量运
数量积的结合律算
交换律律
分配律
(λa)·b＝λ(a·b)
a·b＝ b·a a·(b＋c)＝ a·b＋a·c
已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做a，定义

空间向量的数量积运算ppt课件

而向量的夹角必须是同起点，其取值范围[0°,180°]
3.空间两个向量的数量积：
已知两个非零向量,，则|
Ԧ
|
Ԧ ||cos<,>叫做
Ԧ
,的
Ԧ
数量积，记作Ԧ ∙ ，即Ԧ ∙ = ||
Ԧ ||cos<,>
Ԧ
特别地: （1）零向量与任意向量的数量积为0.
（2）Ԧ ⊥ ⟺ Ԧ ∙ =0

k
a
b

②若 a b k
,则

(结合律)
③ ( a b) c a ( b c )
D1
A1
a
A
C1
B1
D
C
B
6.空间两个向量数量积的性质:
(1) ∙ =||cos<, >
(2) ⊥ ⟺ ∙ =0
(3)||2 = ∙
(4)| ∙ |≤ ||||
（3）Ԧ ∙ Ԧ = |||
Ԧ |
Ԧ
< Ԧ ∙ Ԧ >=||
Ԧ2
注:两个向量的数量积是数量，而不是向量.
4.投影向量
向量在向量上的投影向量
量 = ,

称为向量在向上的投影向量.
5.空间向量数量积的运算律:
（1）（） ∙ =（） ∙
（2） ∙ = ∙
（3）（ + ） ∙ = ∙ + ∙
注意： (1)数量积不满足结合律即( ∙ ) ∙ ≠ ∙ ( ∙ )
(2) ∙ =�� ∙ ⇏ =
(3) ∙ =0⇏ = 或 =
对于空间向量下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c

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4)空间向量的数量积性质
对于非零向量 a , b ，有：
1) a e a cos a , e
2) a b a b 0
2
3) a a a
注意： ①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
5)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a)b (ab)
3）射影
已知向A量 B＝a和轴 l， e是l上与 l同方向的单位向点A量在。作 l上的射A1影 ,作点 B在l上的射B1，影则 A1B1叫做向A量 B在轴 l上的或在 e方向上的正射影射，影简。称
A1B1 ABcosa,eae
B
e
A1
A
B1
l
注意：A B 是轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量 A B 与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。
2) ab ba (交换律） 3）a(bc) abac (分配律）
注意：数量积不满足结合律
（ab)ca(bc)
二、课堂练习
1.已知 a2 2, b 2,ab 2 2
则a,b所夹的_角__为__.___
2 .判断真假： 1）若 a b 0, 则 a 0, b 0 ( )
如果 a,b,则称 a与b互相垂直， a并 b 记作：
2
2）两个向量的数量积
设OAa,则有向线O段 A的长度叫做a向的量长度或,记模作a：已知空间两个a,向 b，量则a b cosa,b叫做向a量 ,b的数量积，记作a： b,即
ab abcosa,b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
空间向量的数量积运算
教学过程
一、几个概念
1）两个向量的夹角的定义
如图，已知两个量a非 ,b.在零空向间任取 O，一点
作OAa,OBb,则角 AO叫 B 做向a与量 b的夹角，
记作a,： b a
A
a
B O
b
b
范围0： a,b在这个规定下，量两的个夹向角就
被唯一确定了a,， b＝并 b,a且
定理可知，存在唯一的有序实数对 x, y , 使
PA x PO yOA
PA a PO a OA a 0
a PA ,即 a PA.
例3 如图，已知线段 A B 在平面内，线段 AC
，线段BDAB，线段 DD ，DBD30，如果 A B a,A C B D b，求 C 、D 之间的距离。
A
E
F
B
D
C
三、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
分析：由定义可知，只需证l与平面内
任意直线g垂直。
l
g m

lm gn n
要证l与g垂直，只需证l·g＝0 而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
m、n不平行，由共面向量定理
l
可知，存在唯一的有序实数对（x，y），
g m

lБайду номын сангаас gn n
使
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n ∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0
∴ l⊥g
∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l⊥
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
解：由 AC，可知 ACAB.
C
由DBD30知 C A ,B D 1 2 0 .
D
| CD|2 CD CD (CA AB BD)2
b
b D'
a

A
B
| CA|2 | AB|2 | BD|2 2CA AB 2CA BD 2AB BD
b2 a2 b2 2b2 cos120
O
证明：由 O已 A BC 知， OBAC
所以OABC0, OB AC0
OA(OCOB) 0
A
C
OB(OCOA) 0
B
所以OAOCOAOB
OBOCOBOA 所以OAOCOBOC 0
(OAOB)OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
B'
C' 解： A C A B A D A A
| AC |2 (AB AD AA)2 | AB|2 | AD|2 | AA |2
D A
C B
2(AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(010 7.5) 85
要证l·g＝0,只需l· g= x而l·l·m+my＝l·0 n，=0l·n＝0
故 l·g＝0
三、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且
l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
证明：在内作不与m、n重合的任一条
直线g,在l、m、n、g上取非零向
量l、m、n、g，因m与n相交，得向量
2) (a b) c a (b c)
()
3) p 2 q 2 ( p q)2
()
4) p q p q p2 q2 ( )
3.如图：已知A 空B间 C 的D 四每边条形边和等对1于角，线 E 点、 F长分别 A是、 BAD 的中点。计算（ 1） E： F BA(2)EF BD(3)EF DC(4)EF AC
已知P： O ,PA 分别是平的面垂线，O斜是 A线 PA，
在内的射a影 ,，且aOA
求证 a： PA
证明：在 a上取非零向量 a
P
而 PO , PO a PO a 0
OA a

又 OA a, OA a 0 又 PO , OA 相交，得 PO , OA不平行，由共面向量
a2 b2
CD a2 b2
例4 已知在平行六面体 A B C D A B C D 中，AB4,
A D 3 , A A 5 , B A D 9 0 , B A A D A A 6 0 ,
求对角线 A C 的长。
D'
A'

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