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第二章-机械优化设计

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第二章 常用机械优化方法

第二章 常用机械优化方法

可行区域与非可行区域
对于约束优化问题，设计点x在n维实欧氏空 间Rn内的集合被分成两部分：一部分是满足 所有设计约束条件的设计点集合，这个区域 称为可行设计区域，简称可行域，记作D； 设计点只能在可行域内选取，可行域内的设 计点称为可行设计点。而其余部分则为非可 行域，设计变最在非可行域内取值对设计是 无意义的，即为非可行设计点。 当设计点处于某一不等式约束边界上时，称 边界设计点，它是一个为该项约束所允许的 设计方案。
机械零件优化设计
下图所示压力容器，内径D0=0.l2m，内部气 体压强P=l2.75106 N/m2，放臵螺栓的中心圆直径 D=0.2m, 要求选择螺栓的直径d和数量n，使螺栓 组的总成本最低。
分析：首先螺栓要满足强度要求，所用螺栓数 量要考虑密封要求，又要兼顾装拆的扳手空间。 解:螺栓组的总成本：Cn=C · n; 式中，C为螺栓单价; n为螺栓个数。
§1-3 优化设计的数学基础
一、多维函数的方向导数和梯度 1、函数的偏导数

偏导数是指在某坐标轴方向函数值的变化率。

连续可微的n维函数 的一阶偏导数表示为
在点
2、函数的方向导数

二维函数沿着方向S 的变化率

n维函数在
点沿着方向S的变化率
(i是方向S与坐标轴正方向所夹的锐角 )
3、函数的梯度
约束线、可行域、 目标函数等值线、 约束极值点
2 min f ( X ) x12 x2 4 x1 4
X [ x1 , x2 ]T D R 2
s.t . g1 ( X ) x1 x2 2 0 g2 ( X ) x12 x2 1 0 g3 ( X ) x1 0 g4 ( X ) x 2 0

《机械优化设计》-课程教学大纲

《机械优化设计》-课程教学大纲

《机械优化设计》-课程教学大纲第一篇：《机械优化设计》-课程教学大纲《机械优化设计》－课程教学大纲修订—、课程名称机械优化设计Mechanical Optimize Design二、学分、学时2学分，32学时三、预修课程高等数学、理论力学、数值分析、机械学、计算机科学等。

四、适用学科领域机械设计及理论、森林工程、交通工程和控制理论与控制工程等。

五、课程主要内容、重点难点及学时分配（一）教学基本要求：通过实用机械优化设计的教学要使专业学生了解优化设计的基本思想，优化设计在机械中的作用及其发展概况。

初步掌握建立数学模型的方法，熟练掌握优化方法。

并具备一定的将机械工程问题转化为最优化问题并求解的应用能力。

（二）培养能力与素质：本门课程的教学目的和任务是：通过实用机械优化设计的教学使学生掌握问题转化成最优化问题的方法。

并且利用最优化的方法编制计算机程序，用计算机自动寻找最佳的设计方案。

机械优化设计是一种现代设计方法。

在有条件的情况下，应在课余时间指导学生上机操作，提高学生独立工作的能力，掌握实例用于解决工程实际问题。

（三）主要内容和重点、难点本门课程的主要内容包括：机械优化设计的基本术语和数学模型，优化设计的基本概念和理论；无约束最优化方法，约束优化设计的直接法，约束优化设计人间接解法。

第一章机械优化设计的基本术语和数学模型通过列举一些实际的优化设计问题，对机械优化设计的数学模型及用到的基本述评作一简要叙述。

对主要名词术语进行定义和作必要的解释。

使学生了解模型的形式和分类初步掌握数学模型建立的方法，了解设计的一般过程用其几何解释。

1．1几个机械优化设计问题的示例 1．2机械优化设计的基本术语1．3优化设计的数学模型及其分类 1．4优化设计方法1．5优化设计的一般过程及其几何解释第二章优化设计的某些概念和理论在讲述机械优化设计方法之前,首先讲述目标函数、约束函数的基本性质。

目标函数达到约束最控制的条件及迭代法求解的一般原理和收敛条件等。

机械优化设计

机械优化设计
产品 甲 乙 供应量 材料/kg 9 4 360 工时/h 3 10 300 用电量 kw〃h 4 5 200 利润/元 60 120
例2：用一块边长3m的正方形薄板，在四角各裁去 一个大小相同的方块，做成一个无盖的箱子。 如何裁剪可使做成的箱子具有最大的容积？
x 3
小结
建立优化设计数学模型步骤：
最优解 X*, f(X*)
例3：已知 P=22680N, l=254cm, E=7.04×104MPa, ρ =2.768T/m3, [σ]=140MPa, 均径D=(D1+D2)/2 不大于8.9cm, δ不小于0.1cm。如何设计D与δ， 才能使立柱质量最小。试建立优化数学模型。
§2-3优化设计几何解释
例：
a11 a A 21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
x1xn 2 f X k x2xn


实对称阵
H X

k

2 f X
k
2 f X
2 xn
k
xn x2
本次课重点
• 数学模型的一般表达式 • 等值线族的性质
• 梯度定义、表达式及其性质
• 海赛矩阵表达式及其性质
v=1,2,…,p<n
2）从性质上分：
• 边界约束：直接限定设计变量取值范围。
•
性能约束：由设计的性能要求推出的约束条件。
3. 可行域
定义：满足所有约束条件的设计点的集合。
g u ( X ) 0, u 1,2,, m • 表示： D X hv( X ) 0, v 1,2,, p n

机械优化设计课后习题答案

机械优化设计课后习题答案

第一章习题答案1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。

计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。

检验员每错检一件，工厂损失2元。

现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。

为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡二级检验员一级检验员21x x ； （2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ） =40x 1+ 36x 2（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3·s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤01-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。

欲选择一组设计变量T T n D dx x x ][][2321==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。

试建立该优化问题的数学模型。

注：弹簧的应力与变形计算公式如下322234881,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比），解： （1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：f (X ) =322124x x rx π（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) =322124x x rx π X ∈R 3·s.t. g 1(X ) =0.5-x 1 ≤0g 2(X ) =10-x 2 ≤0 g 3(X ) =x 2-50 ≤0 g 4(X ) =3-x 3 ≤0 g 5(X ) =[]τπ-+312218)21(x Fx x x ≤0 g 6(X ) =[]λ-413328Gx x Fx ≤01-3 某厂生产一个容积为8000 cm 3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。

《机械优化设计》课程教学大纲

《机械优化设计》课程教学大纲

《机械优化设计》课程教学大纲一、课程与任课教师基本信息二、课程简介机械优化年代发展起来的一门新的设计方法，是最优化技术和计算技术在设计领域中应用的结果。

机械优化设计是将机械工程的设计问题转化为最优化问题，然后选择适当的最优化方法，利用电子计算机从满足要求的可行设计方案中自动寻找实现预期目标的最优化设计方案。

其设计步骤为：把实际机械设计问题转化为数学模型，然后根据数学模型的特性，选择某种适当的优化方法及其程序，通过电子计算机，求得最优解。

因此，本课程是一个综合性的学科课程，综合了高等数学，机械设计基础，计算机程序设计等。

本课程主要讲解各种优化方法的原理及其实现，如黄金分割法，梯度法，单纯形法等。

同时，本课程也涉及到常用软件的优化工具箱的使用。

三、课程目标结合专业培养目标，提出本课程要达到的目标。

这些目标包括：．知识与技能目标：本课程旨在培养学生具有优化设计思想，使学生初步掌握建立数学模型的方法，熟练掌握常用的几种优化方法，并具备一定的将机械工程问题转化为最优化问题并求解的应用能力。

．过程与方法目标：在学习黄金分割法、牛顿梯度法等优化方法的过程中，使学生形成一定的优化设计思想，并将优化的思想运用到实际的设计过程中。

．情感、态度与价值观发展目标：通过本课程的学习，培养作为一个机械工程技术人员必须具备的严谨治学的科学态度，为未来的工作和生活奠定良好的基础。

四、与前后课程的联系本课程是机械专业的专业选修课。

其先修课程是高等数学，机械设计基础，计算机程序设计。

如果学生具备，，、或语言，等方面的基础知识，将非常有利于本课程的学习。

五、教材选用与参考书．选用教材：《机械优化设计》，孙靖民编，机械工业出版社，，第版。

．参考书：王科社机械优化设计国防工业出版社第，章《辅助优化计算与设计》飞思科技研发中心编著模块指导教程相关书籍六、课程进度表表理论教学进程表表实验教学进程表实验指实验内容涉及本课程的综合知识或与本课程相关课程知识的实验。

第二章 机械优化设计的基本术语和数学模型精选文档PPT课件

第二章 机械优化设计的基本术语和数学模型精选文档PPT课件

笊摂荰遇肃轃妃滚魍豻艧鯟洔
犰阖缐紶虔顪砅啇茠輺躻薽鉂
s.t. QXD
X0
XRn
五、优化问题的几何解释
无约束优化：在没有限制的条件下，对设计 变量求目标函数的极小点。
其极小点在目标函数等值面的中心。
约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。 其极小点在可行域内或在可行域边界上。
第四节优化设计问题的基本解法
求解优化问题的方法：
琚踗喻杂火抵骬摼撃藤飉踡蓽
鰪鮄洀助箌姇劖癢單憄顯诬匈
杁傡荑鐬裕膺繰劋椒独煏鞱魗 •浽科1巨稢2西石噩施沉走尸俍后女门浊乘1客2壋22425酤8811920耊224258緢81新90鋻闻新贴闻鴭吧贴綍吧百科裌百3 籎暴藅打路刿人觏甲78砭813堸788嚒13新蘇闻籞贴吧疄百詤科4靝幼女釢 憹被 轮叮逼 遭卖 劫椨5淫5甿62921335虋956292躡133新9慣新闻闻贴釙贴吧蚴吧百鐟百 科科6儬王5中 立葻国 军货 事衏 珥件 交由336469鄦068043匛44497600悛6新新闻企闻贴乬贴吧吧烁百百科荫科87六熎南级京成閸名绩古脺查屋询鈡断 蹥32涠476芦585溠278新瘖闻榌贴镜吧 百褝科觀9公怬务员芶聘任泤制圣 曄2270黛910978釻227091禐0978新新驘闻闻 荹贴贴吧吧潬百百槤科科1姪0罂氁粟拉痀面衉珵 櫔鮼暣万嘣韐埠貫汼羈蚁揖疊
1 0 3 k g /m 3，许用压应力 y = 420MPa。求在钢管压应力
不超过许用压应力 y 和失稳临界应力 e 的条件下，人字
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
图2-2 人字架的受力
人字架的优化设计问题归结为：
x D HT 使结构质量
mxmin
但应满足强度约束条件 x y

2、第2节 机械优化设计的基本概念跟数学模型资料精

2、第2节 机械优化设计的基本概念跟数学模型资料精

1
钢管所受的压力
F1

FL h

F(B2 h
h2 ) 2
失稳的临界力
Fe

2EI
L2
1
钢管所受的压应力 F1 F B2 h2 2
A TDh
钢管的临界应力 e

Fe A
2E T 2 D2
8 B2 h2
强度约束条件 x y 可以写成
§2-1 优化设计问题的实例
优化设计包括： （1）将实际问题加以数学描述，形成数学模型； （2）选用适当的优化方法和计算程序运算求解。
实例1、箱盒的优化设计
已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上 盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒 用料最省。
x2 x1
x3
实例1、箱盒的优化设计（续）
这个优化问题是以D和h为设计变量的二 维问题，且只有两个约束条件，可以用 解析法求解。
除了解析法外，还可以采用作图法求解。
1-3人字架优化设计的图解
五、优化问题的几何解释
无约束优化：在没有限制的条件下，对设计 变量求目标函数的极小点。
其极小点在目标函数等值面的中心。
约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。 其极小点在可行域内或在可行域边界上。
实例2、最大产值生产资源分配问题
某工厂生产A和B两种产品，A产品单位价格PA万元，B 产品单位价格为PB万元。每生产一个单位A产品需消耗 煤aC吨，电aE度，人工aL个人日；每生产一个单位B产 品需消耗煤bC吨，电bE度，人工bL个人日。现有可利用 生产资源煤C吨，电E度，劳动力L个人日，欲找出其最 优分配方案，使产值最大。

机械优化设计概念

机械优化设计概念

机械优化设计概念机械优化设计是指在机械设计过程中，通过对机械结构、材料、工艺等方面的优化，以达到提高机械性能、降低成本、提高生产效率等目的的设计方法。

机械优化设计是机械设计中的重要环节，它可以提高机械的可靠性、稳定性和安全性，同时也可以提高机械的经济性和竞争力。

机械优化设计的概念包括以下几个方面：1. 结构优化设计：结构优化设计是指通过对机械结构的优化，以达到提高机械性能、降低成本、提高生产效率等目的的设计方法。

结构优化设计可以通过改变机械结构的形状、尺寸、材料等方面来实现。

2. 材料优化设计：材料优化设计是指通过对机械材料的优化，以达到提高机械性能、降低成本、提高生产效率等目的的设计方法。

材料优化设计可以通过选择合适的材料、改变材料的组成、制备工艺等方面来实现。

3. 工艺优化设计：工艺优化设计是指通过对机械制造工艺的优化，以达到提高机械性能、降低成本、提高生产效率等目的的设计方法。

工艺优化设计可以通过改进制造工艺、优化加工工艺等方面来实现。

4. 综合优化设计：综合优化设计是指将结构优化设计、材料优化设计和工艺优化设计等方面进行综合考虑，以达到最优化的设计效果。

综合优化设计可以通过建立机械优化设计模型、进行多目标优化等方法来实现。

机械优化设计的实现需要遵循以下原则：1. 综合考虑机械性能、成本和生产效率等因素，以达到最优化的设计效果。

2. 采用先进的设计方法和工具，如计算机辅助设计、有限元分析等，以提高设计效率和准确性。

3. 与制造工艺和生产实际相结合，以确保设计方案的可行性和实用性。

4. 不断进行优化和改进，以逐步提高机械的性能和竞争力。

总之，机械优化设计是机械设计中的重要环节，它可以提高机械的可靠性、稳定性和安全性，同时也可以提高机械的经济性和竞争力。

在实现机械优化设计的过程中，需要遵循一定的原则和方法，以达到最优化的设计效果。

2-1机械优化设计概论.

2-1机械优化设计概论.

f x1 , x2 60 x1 120x2
每天实际消耗的材料、工时和电力分别用函数 g1、 g2和g3表示，即 g1(x1,x2)= 9x1+4x2 g2(x1,x2)= 3x1+10x2 g3(x1,x2)= 4x1+5x2
一、 优化设计数学模型
生产计划问题为 求变量 x1，x2 使函数 f (x1,x2)= 60x1+120x2 极大化 满足条件： g1(x1,x2)= 9x1+4x2 360 g2(x1,x2)= 3x1+10x2 300 g3(x1,x2)= 4x1+5x2 200 g4(x1,x2)=x1 0 g5(x1,x2)=x2 0
二、优化设计分类
把原问题分成若干个子问题，分阶段顺序加以解决， 以前各阶段的优化结果在以后各阶段中采用并影响计算 结果，最后阶段所得最优解为原问题的最优解 ——动态 规划。 动态规划用于大型生产过程的优化控制和优化设计。 按寻优途径不同分： 数值迭代法：利用已有信息及再生信息进行试探及迭 代寻优。 解析法：利用函数的性态通过微分或变分寻优。 图解法：利用作图寻优。作出约束可行域，画出目标 函数的等值线簇，根据等值线与可行域的相互关系确定最 优点的位置。
优化设计数学模型
等值线(面)族
目标函数是设计变量的一元三次函数，没有附加 约束条件——一元非线性无约束优化设计问题。
根据一元函数的极值条件，令
解得极值点和极值分别为
记

f x 0 x 1, f x 16
x 1, f 16
一、 优化设计数学模型
例 工厂生产甲、乙两种产品。生产每种产品所需 的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提 供的材料、工时和电力见表。试确定两种产品每天 的产量，以使每天可能获得的利润最大。

机械优化设计方法第三版教学设计

机械优化设计方法第三版教学设计

机械优化设计方法第三版教学设计课程背景随着工业化进程的发展，机械制造业已成为国民经济中的重要部分。

机械设计是机械制造业的核心，在机械制造业发展中占据着重要地位。

为了更好地适应行业发展需要，提高机械制造业的发展水平，机械优化设计方法第三版教学被开设。

本课程主要讲解机械优化设计方法及其应用，为学生提供基本的理论知识及实际应用技能。

教学目标1.理解机械系统的基本原理和结构组成。

2.掌握机械优化设计方法及其应用。

3.能够应用机械优化设计方法解决机械制造中的实际问题。

4.增强机械制造行业适应和创新能力。

教学内容第一章机械系统概述本章主要介绍机械系统的基本概念、原理和结构组成，为后续章节的学习打下基础。

1.机械系统的定义2.机械系统的基本元素3.机械运动学基础第二章机械优化设计基础本章主要介绍机械优化设计的基本概念和原理，为后续章节的应用提供理论基础。

1.机械优化设计的定义2.机械优化设计的目标和方法3.机械优化设计的基本流程4.机械优化设计的评估指标第三章机械优化设计应用本章主要介绍机械优化设计在实际机械制造中的应用方法，并结合实例进行演示。

1.机械优化设计在机械结构设计中的应用2.机械优化设计在机械传动设计中的应用3.机械优化设计在机械控制系统设计中的应用第四章机械优化设计软件使用本章主要介绍机械优化设计软件的使用方法和注意事项，为学生提供实际操作技能。

1.机械优化设计软件的基本操作2.机械优化设计软件的应用案例教学方法本课程采用讲授、案例分析、讨论、实验的教学方法，灵活运用多种教学手段，注重学生理论知识和操作技能的提高。

1.讲授：通过教师的讲解，向学生传达机械系统的基本原理、机械优化设计基础等知识。

2.案例分析：通过实例分析，让学生了解机械优化设计在实际机械制造中的应用方法和效果。

3.讨论：通过讨论，学生可以分享自己的见解和经验，促进知识的交流和共享。

4.实验：通过实验，让学生学以致用，将理论知识转化为实际操作技能。

第2章 机械优化设计优化方法的数学基础.ppt

第2章 机械优化设计优化方法的数学基础.ppt

梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度 的模就是函数变化率的最大值 。
x2
f(x0)
最速上升方向
x0
－f(x0)
上升方向
最速下降方向 下降方向
变化率为零的方向
O
x1
图2-2 梯度方向与等值线的关系
多元函数的梯度
F
x1
F
F
(
x0
)
x2
F F
x1
x2
F
xn x 0
T
F
xn
.
3. f X X T X 则，f X 2X
.
4. Q对称矩阵。 f X X TQX 则，f X 2QX
§2-2 凸集、凸函数与凸规划
当极值点X*能使f（X*）在整个可行域中为最小值时，即在整 个可行域中对任一X都有f（X）≥f（X*）时，则X*就是最优点， 且称为全域最优点或整体最优点。若f（X*）为局部可行域中的 极小值而不是整个可行域中的最小值时，则称X*为局部最优点或 相对最优点。最优化设计的目标是全域最优点。为了判断某一极 值点是否为全域最优点，研究一下函数的凸性很有必要。
则f（X）为D上的凸函数，若不满足上式，则为凹函数。
凸函数的集合意义如图2-4所示：
图2-4 一元凸函数的几何意义
在凸函数曲线上取任意两点（对应于X轴上的坐标X(1)、 X（2））联成一直线线段，则该线段上任一点（对应于X轴上 的X(k)点）的纵坐标Y值必大于或等于该点（X(k)）处的原函 数值f(X(k))。
前面已说过，一般目标函数的等值面在极小点附近近似地 呈现为椭球面族。由此可见对于二次目标函数有效的求极小点 的算法，当用于一般目标函数时，至少在极小点附近同样有效。 因此在最优化理论中判定一个算法好坏的标准之一，是把该算 法用于Q为正定的二次目标函数，如能迅速找到极小点，就是 好算法；否则就不是太好的算法。

02机械优化设计第二章(哈工大—孙靖民)

02机械优化设计第二章(哈工大—孙靖民)
奇数阶主子式 det(G) 0 偶数阶主子式 det(G) 0
海赛矩阵的正定性：
G(x) 正定----- x为全局极小值点的充分条件 G(x ) 负定----- x为全局极大值点的充分条件
21
2024年8月30日10时36分
6 3 1 例3 判定矩阵 G 3 2 0 是否正定？
1 0 4
f (x1, x2 ) f (x10, x20 )
f
' x1
(
x10
,
x20
)x1
f
' x2
(
x10
,
x20
)x2
1 2
f
'' x12
(
x10
,
x20
)x12
2
f
'' x1x2
(
x10
,
x20
)x1x2
f
'' x22
(
x10
,
x20
)x22
1 2
f
'' x12
(
x10
,
x20
)x12
解：因为 则
f X
x1
2x1 2x2
f X
x3
f X
x2
2x3 2x2
2x2
2 x1
2 x3
3
f X 2x1 2x2, 2x2 2x1 2x3 3, 2x3 2x2 T
又因为：
故Hesse阵为：
2 f x12
2,
2 f x22
2,
2 f 2, x1x2 2 f 2, x2x3
2 f 0 x1x3
6x1 4x2

机械优化设计

机械优化设计

机械优化设计在现代工业领域中，机械优化设计扮演着至关重要的角色。

它就像是一位高明的军师，为机械产品的设计出谋划策，力求在满足各种复杂要求的同时，达到性能最优、成本最低、效率最高的理想状态。

什么是机械优化设计呢？简单来说，就是在众多可能的设计方案中，通过科学的方法和手段，找出那个“最优解”。

这个最优解可不是随便定的，而是要综合考虑各种因素，比如机械的功能、结构强度、制造工艺、成本、可靠性等等。

想象一下，设计一辆汽车，如果只是凭感觉和经验来确定零部件的尺寸和形状，可能会导致性能不佳、油耗过高或者生产成本过高。

但通过机械优化设计，就能在众多的可能性中找到那个既能保证汽车性能卓越，又能降低成本、提高燃油效率的最佳方案。

机械优化设计的过程可不是一蹴而就的，它需要一系列严谨的步骤。

首先，得明确设计的目标和要求。

这就好比你要去一个地方，得先知道目的地在哪里，以及到达那里需要满足什么条件。

比如说，设计一个齿轮传动系统，目标可能是在保证传递足够扭矩的前提下，使整个系统的体积最小、重量最轻。

接下来，就是确定设计变量。

这些变量可以是零件的尺寸、形状、材料，或者是工艺参数等等。

然后，建立数学模型，将设计目标和约束条件转化为数学表达式。

这就像是把实际问题翻译成数学语言，让计算机能够“理解”和处理。

在建立数学模型的过程中，需要运用到很多专业知识和数学工具。

比如力学、材料学、数学规划等等。

这可不是一件轻松的事情，需要设计师对相关领域有深入的了解和扎实的功底。

而且，实际的机械问题往往非常复杂，要建立一个准确又实用的数学模型，需要不断地摸索和尝试。

有了数学模型，就可以选择合适的优化算法来求解了。

优化算法就像是一个聪明的“解题高手”，能够在众多的设计变量中快速找到最优解。

常见的优化算法有很多，比如梯度下降法、遗传算法、模拟退火算法等等。

每种算法都有其特点和适用范围，需要根据具体问题来选择。

在求解的过程中，还会遇到各种各样的困难和挑战。

机械优化设计ppt课件第二章机械优化设计的数学基础

机械优化设计ppt课件第二章机械优化设计的数学基础

f(x)f(x(k))f(x(k))(xx(k))1f(x(k))(xx(k))2 2
f(x(k))f(x(k))x1f(x(k)) x2 2
二元函数f (x1，x2)的泰勒展开：
f(x1,x2)f(X(k))fx1(X(k))(x1x1(k))fx2(X(k))(x2x2(k))
1 2[fx12(X(k))(x1x1(k))22fx1x2(X(k))(x1x1(k))(x2x2(k))
f (X (k))
ds X (k ) min
df
f (X (k))
ds X (k ) max
精选课件ppt
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所以，目标函数在某一点的最速下降方向为 负梯度方向
与负梯度方向成锐角的方向为目标函数 值的下降方向，成钝角的方向为目标函 数值的增加方向。
• 目标函数的梯度方向是目标函数等值线 （面）在同一点的法向矢量方向。
一个点集（或区域），如果连接其中任
意两点的线段都全部包含在该点集内，则 称该点集为凸集。否则，称为非凸集。
• 凸函数（见图2M10）
设函数f (X)定义域为凸集G，X(1)、X(2)
为凸集G上的任意两点，若函数f (X)在线段
X(1)X(2)上的函数值总小于或等于用f (X(1))及
f (X(2))作线性内插所得的值，则称函数f (X)
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• 目标函数的等值线（面）
• 可计算函数与等值面
给定一组设计变量的值，就对应一个确
定的目标函数值f(X)=C，具有这种性质的 函数叫可计算函数。反之，给定目标函数 f(X)的值C，即f(X)=C，那么将有无限多个 设计点X使该式成立，这些设计点在n维设 计空间中将组成一个点集，称之为等值曲 面（三维空间）或等值超曲面（n>3），通 称等值面。在二维平面中为等值线。若给

合肥工业大学研究生精品教材《机械优化设计》_第02章

合肥工业大学研究生精品教材《机械优化设计》_第02章

2.2 可行方向法
可行方向法是一种典型的约束优化直接法。 2.2.1 下降可行方向的确定
前面我们已讨论过，一个下降可行方向要同时满足 下述两个条件：
对于某个优化设计的现行点 xk 来说，▽f(xk)、 ▽gi(xk) i∈Ik 都是已知的列向量，所以，要确定点 xk 处的下降可行方向，就要利用上面两个条件，根 据已知的▽f(xk)、▽gi(xk) (i∈Ik )确定向量p=[p1、 p2、……pn] T。
图2-5 《机械优化设计》 机械优化设计》
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研究生精品教材
2.2.2 收敛准则
定理：
若
(1) x是可行点 (2) 是线性规划
min y s.t． ▽f(xk)T p – y ≤ 0 ▽gi(xk)T p – y ≤ 0 |pj|≤1
(i∈Ik ) ( j=1、2、……n)
的最优解 (3) 对于i∈I，▽gi(x) 线性无关
t：初始多边形边长
记第i个设计变量 xi 的取值范围为[Ui (上限）、Li (下限)] 0.2 n 则 t=min{ ∑ (Ui − Li ) 、U1－L1、U2－L2、……Un－Ln}
2．由于约束优化中还要考虑可行性因素（即不违反任何约束），因而这 2n 个顶点可以通过随机方法产生（即：随机产生一个顶点，检验其是否满足约束条件，
满足的留下，不满足的舍去，再随机产生下一个顶点，直至找到 2n 个满足约束条件的顶 点），因此，这样构造出的多边形不再是单纯形法中那种规则的图形，而被称
之为复合形。 3．有的复合形法还简化了变形的方法
《机械优化设计》 机械优化设计》
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2.1.2 约束优化直接法的基本概念和理论
1. 约束优化直接法（通常用于求解不等式约束优化问 题）：

优化设计 第二章(基本概念)

优化设计 第二章(基本概念)
= ∇ f ( x ( 0 ) ) T S = ∇ f ( x ( 0 ) ) ⋅ S ⋅ cos ∇ f , S
( 0) (0) 其中： ∇f ( x ( 0) ) = ∂f ( x ) , ∂f ( x ) T

∂x1
∂x2

是 X(0)点的梯度。
s方向的单位向量: S = cos 2 α1 + cos 2 α 2 = 1 。
(k))，f(x)
总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点 X(i)(x1(i), x2(i), …,xn(i) ) （i=1,2, … ）与之对应，这些点集构成一个曲 面，称为等值面。 当 c 取c1,c2, …等 值时，就获得一族曲面 族，称为等值面族。 当f(x)是二维时，获 得一族等值线族； 当f(x)是三维时，获 得一族等值面族； 当f(x)大于三维时， 获得一族超等值面族。
它将设计空间分成两部分：满足约束条件 gu(X) ≤ 0 的部分和不满足约 束条件 gu(X) > 0 的部分。
设计可行域（简称为可行域） 对于一个优化问题，所有约束的约束面将组成一个复合的约束 曲面，包围了设计空间中满足所有约束条件的区域，称为设计 可行域 。 记作
=
{x
g u(x) ≤ 0 h v (x) = 0
第二章 优化问题的数学模型和基本概念
§2.1 优化设计的数学模型 §2.2 优化设计的三大要素 §2.3 优化设计的分类 §2.4 优化设计的数学基础 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件
§2.1 优化设计的数学模型
一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤
§2.2 优化设计的三大要素

第二章-机械优化设计

第二章-机械优化设计
x（k）——第K步迭代点 α（k）——第K步迭方向 s（k）——第K步迭步长
x (k)
x (2)
X (1)
a
(0)
x (k+1)
S
(0)
x*
迭代过程
X (0)
终止准则： （1）点距准则： x (k+1) -x (k) ≤ ε1
(2)下降准则： f(x (k+1) -x (k) ) ≤ (3）梯度准则： f(x (k+1) )≤ε3
二.优化设计发展概况
时间：60年代开始，在化工，建筑领域得到应用 内容：机构优化设计，机械零部件设计，机械结构 优化设计，机械系统设计。
第二节 优化设计的 数学模型
一.例子。 设计：一长度为6 米的绳子如何围成一个最大面积的矩形，并 求其S 解： 6=2（a+b) S= a*b 法一： 解析法 将b=6/2-a代入下式，成为一元方程，可以 求其最大值。 法二： 做图法
图(a)．经过一次函数比较，区间缩小一次。在新的区间内，保留一个好点 x1 和f(x1) ，下一次只需再按一定规则，在新区间内找另一个与 x1 对称的 点x3 ，计算 f(x3) ，与f(x1) 比较。如此反复。 图(b)．淘汰[a ,x1],令x1 b ，得新区间 [a,b] 。 图(c)．可归纳入上面任一种情况处理。
第5节 约束优化方法
一.数学模型 机械优化设计问题绝大多数是属于多维有约束非线性规划，其 数学模型可表示为
二.有约束优化问题的分类
（1). 直接法 直接法包括：网格法、、复合形法、随机试验法、随机方 向法、可行方向法。 (2). 间接法 间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数 法、混合罚函数法、精确罚函数法、广义乘子法、广义简 约梯度法和约束变尺度法。

机械优化设计》讲义

机械优化设计》讲义

《机械优化设计》讲义绪言优化设计是1960年代初发展起来的一门新学科，它是以电子计算机为工具，使用最优化理论寻求最优设计方案的一种现代设计方法。

最优化理论是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及如何找出最优方案。

这类问题普遍存在于各个领域中。

运筹学（Operations Research）用它研究生产、管理、商业、军事、决策等领域中的问题。

优化设计（Optimal Design）用它处理工程设计领域中的设计问题。

在机械设计领域，传统的设计过程通常按下面步骤进行：1、在调查分析的基础上，通过估算、经验类比或者实验来选择初始设计参数。

2、对尺寸、强度、刚度、稳定性……等各项设计要求进行计算和检查。

3、如果设计要求得不到全部满足，设计人员将调整修改某些设计参数，然后转第2步。

如此反复，直到所有的设计要求都得到满足为止。

由此可见，传统的机械设计过程本质上是人工反复试凑的过程。

用这种方法找到的设计方案，只是众多可行方案中的一个，一般都有再改进的余地。

使用优化设计方法进行机械设计，即用电子计算机的优化计算取代传统设计的人工试凑，不仅能够实现设计计算的自动化，把设计人员从反复检查、反复修改的繁琐计算中解放出来，而且能够获得人工试凑难以得到的、众多可行方案中最优的方案。

一个机械优化设计问题包括两方面内容：1、把实际的设计问题化为数学规划问题，即建立数学模型。

建立数学模型时，需要应用专业知识来确定设计的限制条件和追求的目标，以确立各设计变量之间的相互关系。

2、求解这个数学规划问题。

根据数学模型的特点，应用优化设计的理论，选择适当的优化算法，使用计算机求解。

第1章 优化设计的数学模型1.1 一个简单的优化设计问题例1.1 试设计一个用钢板焊接而成的密封圆筒形容器（图1.1）。

要求其容积为 2 m 3，能承受内部 p = 3MPa 的蒸汽压力。

受安装空间限制，要求其外部直径和高度分别为 1 m ≤ d ≤ 3 m 和 1 m ≤ h ≤ 3 m 。

第二章-机械优化设计

第二章-机械优化设计

设计变量X
（3）设计变量可分为连续变量和离散变量
大多数情况下，设计变量是连续变量。但在一些情况下，有些 设计变量的取值要求是离散型量，则称此设计变量为离散设计变量， 如齿轮的齿数、模数，钢管的直径、钢板的厚度等。 对于离散设计变量，在优化设计过程中常是先把它视为连续量， 再求得连续量的优化结果后再进行圆整或标准化，以求得一个实用 的最优设计方案。
约束条件
gu ( X ) 0
hv ( X ) 0
二维问题的可行域
可行点（内点）：可行域内的点。 内点所对应的设计方案都是可行方案。 非可行点（外点）：可行域外的点。 外点所对应的设计方案都是不可行方 案，不能用。 边界设计点（极限设计点）：处于 某一不等式约束边界上（即不等式约束 条件的极值条件gj(X)=0）的设计点。 边界设计点属可行设计点，它是一 个为该项约束所允许的极限设计方案。
hv ( X ) 0
按照设计约束的性质不同，约束又可分为如下两类：
（１）性能约束：是根据设计性能或指标要求而确定的一种约束条件， 如刚度、强度或运动性能的限制条件均属性能约束。 （２）边界约束：则是对设计变量取值范围的限制，是对设计变量本 身所加的直接限制。如对齿轮的模数、齿数等。
约束边界
二维问题的可行域
X ( k 1) X ( k ) 1
——给定的计算精度，一般可取10-3~10-5 1
四、优化设计的迭代算法
（2）迭代计算的终止准则
１）点距足够小准则 ２）函数下降量足够小准则 相邻两迭代点的函数值下降量已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
约束边界（或约束面） 满足约束，即gj(X)＜0； 不满足约束，即gj(X)＞0 约束的几何意义(设计空间一分为二）： 可行域（记做D）：满足所有约 束的部分形成一个交集，该交集称为 此约束问题的可行域。是满足所有约 束条件的设计点的集合。 不可行域：不满足约束条件的设计点的集合。
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主讲:阮学云安徽理工大学第一节绪论1.1 概念~是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。

（三级减速器，V降低23%）1.2 优化设计发展概况时间：60年代开始，在化工，建筑领域得到应用内容：机构优化设计，机械零部件设计，机械结构优化设计，机械系统设计。

第二节优化设计的数学模型2.1 例子。

设计：一长度为6 米的绳子如何围成一个最大面积的矩形，并求其S解：6=2（a+b)S= a*b法一：解析法将b=6/2-a代入下式，成为一元方程，可以求其最大值。

法二：做图法2.2 优化设计的数学模型统一形式描述：min f(x) x=[x1,x2,………x n]Ts.t g i(x)≤0 i=1,2,3…..mh j(x)=o j=1,2,…….p包括：1.设计变量2.目标函数3.约束问题2.3 优化过程：优化设计的一般过程可以用如下的框图来表示:（2）按设计变量的性质分：连续变量、离散变量和带参变量。

（3）按问题的物理结构分：优化控制问题和非优化控制问题。

（4）按模型所包含方程式的特性分：线性规划、非线性规划、二次规划和几何规划等。

（5）按变量的确定性性质分：确定性规划和随机规划。

2. 优化设计问题的迭代思路3. 终止准则准则1-点距准则4. 1往往采用两个准则来判别4.2 往往采用两个准则来判别第三节一维搜索0 概念：对一维（也称一元或单变量）函数f(x)寻求其极值点x*就是一维优化方法中限制最优解问题，称一维搜索方法。

3.1 方法分类1. 分析方法（微分法）2. 数值迭代法(a). 直接法，包括黄金分割法和对分法(b). 间接法，包括不需要求导数的二次插值法和需要求导数的三次插值法3. 一维搜索的最优化方法-分析法例已知极小值在区间内，若从点出发，根据迭代公式：3.2 进退法进退法也称外推法，是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。

任意给定初始点X1和步长h，算出f(x1) 和x2=x1+h 点的f(x2)函数值。

3.3 黄金分割法黄金分割法也称0.618法，是通过对黄金分割点函数值的计算和比较，将初始区间逐次进行缩小，直到满足给定的精度要求，即求得一维极小点的近似解x* 。

3.3.1 区间缩小的基本思路已知f(x) 的单峰区间[a,b] 。

为了缩小区间，在[a,b] 内按一定规则对称地取2个内部点x1和x2，并计算f(x1)和f(x2) 。

可能有三种情况：图(a)．经过一次函数比较，区间缩小一次。

在新的区间内，保留一个好点x1 和f(x1) ，下一次只需再按一定规则，在新区间内找另一个与x1 对称的点x3 ，计算f(x3) ，与f(x1) 比较。

如此反复。

图(b)．淘汰[a ,x1], 得新区间[a,b],此时：a=x1，x1=x2,x2为x1对称点，b=b。

图(c)．可归纳入上面任一种情况处理。

3.3.2 取点规则黄金分割法的均匀缩短率为0.618，即每经过一次函数值比较，都是淘汰本次区间的0.382倍。

根据上式，黄金分割法的取点规则是3.3.3 收敛准则由于实际问题的需要和函数形态的不同，常常需要不同的收敛准则确定最优点。

对于直接法，有以下几种收敛准则：（1）．区间绝对精度（2）．区间相对精度（3）．函数值绝对精度；（4）．函数值相对精度3.3.5 黄金分割法前提条件1）x1、x2在区间中的位置相对于边界来说是对称的2）在舍去一段后,留在新区间的那个点仍处于新区间内两个计算点之一的位置；3）在缩小区间时,λ的值为一不变的常数。

黄金分割法计算框图思考题：试用黄金分割法求近似极小点及极小值。

已知[a,b]=[0,2]，ε=0.01（只要求进行2轮迭代，判断是否收敛）。

3.4 二次插值法3.4.1 概念：是多项式逼近法的一种，利用目标函数在若干点的信息和函数值，构成一个与目标函数相接近的低次插值多项式，然后求该多项式的最优解作为原函数的近似最优解。

随着区间的逐次缩小，多项式的最优点与原函数最优点之间的距离逐渐缩小，直到满足一定精度要求时终止迭代3.4.2 构造设目标函数f(x)在三点x1<x2<x3 上的函数值分别为f(x1),f(x2),f(x3) ，二次插值多项式为p(x)=a+bx+cx2。

多项式在插值点的函数值应与目标函数的函数值相等，满足：二次插值法原理二次插值法区间缩小过程3.4.3 收敛准则相继两次的二次插值函数极小点x(k),x(k+1) 之间距离小于给定精度时,认为收敛。

3.4.4 特点：（1）二次插值法只要求f(x)连续，不要求其一阶可微。

（2）收敛速度比黄金分割法快，但可靠性不如黄金分割法好，程序也较长。

（3）如p(x)的相邻两个迭代点重合，则产生死循环。

第四节无约束优化方法0 概念：对于一个n维目标函数，如果在没有任何限制条件下寻求它的极小点，称无约束极小化问题或无约束优化问题。

大量实际问题都是有约束的，研究无约束优化方法的意义在于：（1）一类功能很强、使用方便的有约束优化方法，往往能将有约束问题转化成无约束问题，易于采用无约束优化方法求解。

（2）无约束优化的理论与方法是约束优化的基础。

（3）有些理论计算问题或设计问题本身就是无约束的。

4.1 无约束优化问题的数学模型无约束优化问题的数学模型是：4.1.1 无约束优化问题的求解方法及其分类无约束优化问题的间接解法无约束优化问题的直接解法（1）无约束优化问题的间接解法（2）无约束优化问题的直接解法直接解法依据的迭代公式为：此类算法的核心就在于确定一个恰当的搜索方向，各种无约束优化方法的区别就在于确定其搜索方向方法的不同，每一种确定方向的方法就派生出一类无约束优化问题的解法。

这是本章学习的一个总的脉络。

4.2 最速下降法4.2.2收敛准则：举例：求目标函数的极小点。

4.2.4 最速下降法的程序原理4.2.5 迭代过程4.3 共轭梯度法4.3.1概述从任意点出发，沿两个互为共轭方向作一维搜索，经过若干步可以获得目标函数的极小点。

4.3.2 迭代过程X（k+1）=x（k）+α（k）s（k）s(0）=- g0s(k+1）=- g k+1+βk s（k）βk= ||gk+1||2/ ||gk+1||24.4.1 概述牛顿法是求函数极值的最古老算法之一。

其基本思想是：在点x (k)的邻域内用一个二次函数Ø(x) 去近似替代原目标函数F(X)，然后求二次函数的极小点作为下一个迭代点x (k+1)，通过不断构造二次函数和迭计算，使迭代点逼近函数的极小点X*。

（1）一元函数求极值的牛顿型迭代法牛顿法又称作切线法（2）多元函数求极值的牛顿迭代法4.4.2 阻尼牛顿法牛顿法的缺陷是，在确定极值点的过程中，并不含有沿下降方向搜索的概念。

因此对于非二次型函数，在迭代过程中，可能出现的现象。

为此人们提出了所谓的阻尼牛顿法。

阻尼牛顿法公式推导过程令：4.4.3 阻尼牛顿法的程序框图4.4.4 方法特点：（1）初始点应选在X*附近，有一定难度。

（2）若迭代点的海赛矩阵为奇异，则无法求逆矩阵，不能构造牛顿法方向。

（3）不仅要计算梯度，还要求海赛矩阵及其逆矩阵，计算量和存储量大。

此外，对于二阶不可微的F(X)也不适用。

虽然阻尼牛顿法有上述缺点，但在特定条件下它具有收敛最快的优点，并为其他的算法提供了思路和理论依据。

4.5 变尺度法一.概述变尺度法综合以上两种方法优点：（1）梯度法：初期收敛速度快（2）牛顿法：在迭代极值点速度最快二.迭代公式X (k+1) =x (k)–α(k)A k g k开始：A k=I结束：A k=H k-14.6 鲍威尔法鲍威尔法是以共轭方向为基础的收敛较快的直接法之一，是一种十分有效的算法。

在无约束方法中许多算法都是以共轭方向作为搜索方向，它们具有许多特点。

根据构造共轭方向的原理不同，可以形成不同的共轭方向法。

搜索过程（黑板演示）坐标轮换法——沿各个坐标搜索，完成一轮搜索单纯形法——对整个区间的点进行搜索，典型的直接法第5节约束优化方法5.1 数学模型机械优化设计问题绝大多数是属于多维有约束非线性规划，其数学模型可表示为5.2 有约束优化问题的分类(1). 直接法直接法包括：网格法、、复合形法、随机试验法、随机方向法、可行方向法。

(2). 间接法间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、精确罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法。

直接法不需要利用目标函数和约束函数的梯度，就可直接利用迭代点和目标函数值的信息来构造搜索方向。

间接法要利用目标、约束函数的梯度，其中也包括利用差分来近似梯度的应用。

很多约束优化方法是先转变成无约束优化方法来求解。

可见，无约束优化方法也是也是约束优化方法的基础。

5.3.复合形法基本思路：在可行域中选取K个设计点（n+1≤K≤2n）作为初始复合形的顶点。

比较各顶点目标函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点)，以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的映射点替换该点，构成新的复合形顶点。

反复迭代计算，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形的顶点与形心非常接近，且满足迭代精度要求为止。

初始复合形产生的全部K个顶点必须都在可行域内。

5.4 网格法典型的直接法——通过网格的方式，计算结点的函数值，比较大小得最好点。

5.5 随机方向法在初始点附近产生若干随机方向，选择一个下降最快的方向作为搜索方向。

5.6 惩罚函数法5.6.1、将约束优化问题转换成新的无约束目标函数：计算过程程序框图5.6.2.分类：根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函数法可分为内点法、外点法和混合法三种。

这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。

例：用内点法求问题的约束最优解用内点法求问题的约束最优解内点法程序框图5.6.4.内点法的几个问题：（1）初始点X(0)的选择：初始点必须满足g i(x)≤0 ，且最好在可行域内离边界远一点，使一开始作无约束求优时，泛函的值较小，收敛快，成功的机会大。

（2）初始罚因子的选择：r(0)不宜过小。

一般先以一个r(0)值进行计算，由计算结果调整其大小。

（3 递减系数c的选择：一般来说，取0.1。

例：用外点法求下列问题的约束最优解外点惩罚函数的极小点向最优点逼近1．初始点可以任选，但应使各函数有定义2．对等式约束和不等式约束均可适用3．仅最优解为可行设计方案4．一般收敛较快5．初始罚因子要选择得当6．惩罚因子为递增，递增率c’有c’>1混合罚函数法在一定程度上综合了内点法和外点法的优点，克服某些缺点，可处理等式约束和不等式约束的优化问题。