选修1-1第二章 椭圆

1．2 椭圆的简单性质学习目标：1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响．(难点)椭圆的简单性质哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？[提示] 如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝ca ，记e ＝ca ，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越圆．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为b .( ) (2)椭圆的离心率越接近0，椭圆越扁．( ) (3)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．已知椭圆的方程为y 29＋x 216＝1，则此椭圆的长轴长为( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8D [该椭圆的标准方程为x 216＋y 29＝1，故a ＝4，故长轴长＝2a ＝8.] 3．椭圆x 225＋y 216＝1的离心率是( ) A .34 B .541C .45D .35D [由题意可得a ＝5，b ＝4，c ＝3，故e ＝c a ＝35.]4．设P (m ，n )是椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点，则m 的取值范围是________． [答案] [－5,5]椭圆的简单性质【例1】 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[解] 已知椭圆方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1， 可知，此椭圆的焦点在x 轴上， 于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是F 1(－7，0)和F 2(7，0)，四个顶点坐标分别是A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)和B 2(0,3)．求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a ，b 的数值，进而求出c 及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质.1．已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解] 把椭圆的方程化为标准方程为x 29＋y 24＝1.可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2；又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝5.因此，椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e ＝53.椭圆性质的简单应用【例2】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )A .x 23＋y 22＝1 B .x 23＋y 2＝1 C .x 212＋y 28＝1D .x 212＋y 24＝1(2)已知椭圆在x 轴上的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，且焦距为8，则此椭圆的标准方程为__________．思路探究：(1)由椭圆的定义及离心率的值求出a ，c ，进而得到a 2，b 2，得到椭圆方程．(2)由题意得到等腰直角三角形，求出b ，c 值即可．[解析] (1)根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝3.又因为椭圆的离心率e ＝ca ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．如图，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b .∴b ＝c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32，∴椭圆方程为x 232＋y 216＝1. [答案] (1)A (2)x 232＋y 216＝1利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置.(2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程). (3)根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式为b 2＝a 2－c 2，e ＝ca 等.2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，则椭圆的标准方程为________．[解析] ∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OF A ＝23， ∴点A 不是长轴的端点(是短轴的端点)． ∴|OF |＝c ，|AF |＝a ＝3，∴c 3＝23. ∴c ＝2，b 2＝32－22＝5.∴椭圆的方程是x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. [答案] x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1椭圆的离心率[探究问题]1．已知椭圆的两个焦点F 1、F 2，点A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，求椭圆的离心率．[提示] 设F 1F 2＝2c ，由题意知，△AF 1F 2中，∠A ＝90°，∠AF 2F 1＝60°，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .∵|AF 1|＋|AF 2|＝3c ＋c ＝2a ， 即(3＋1)c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．[提示] ∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2， 即3a 2－2ac －5c 2＝0， ∴(a ＋c )(3a －5c )＝0.∵a ＋c ≠0，∴3a －5c ＝0，∴3a ＝5c ， ∴e ＝c a ＝35.【例3】 已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则该椭圆的离心率为________．思路探究：由AB ⊥F 1F 2且△ABF 2为正三角形可求出|F 1F 2|的长度，再利用椭圆的定义求解．[解析]因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝|AF2|2－|AF1|2＝3x＝2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，所以e＝2c2a＝3x3x＝33.[答案]33求椭圆离心率或其范围的常用方法(1)定义法：若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用公式e＝ca直接求解.(2)转化法：若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的顶点坐标是()A．(－1,0)、(1,0)B．(－6,0)、(6,0)C．(－6，0)、(6，0) D．(0，－6)、(0，6)D[椭圆的标准方程为x2＋y26＝1，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0，±6)．]2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A.32B.34C.22D.23A[椭圆方程可化为x2＋y214＝1，∴a2＝1，b2＝14，∴c2＝34，∴e2＝c2a2＝34，∴e＝3 2.]3．若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m等于________．[解析]∵椭圆焦点在x轴上，∴0＜m＜2，a＝2，c＝2－m，e＝ca＝2－m2＝12.故2－m2＝14，∴m＝32.[答案]324．离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________．[解析]∵椭圆经过(2,0)点，∴(2,0)为椭圆的顶点．若a ＝2，则由e ＝c a ＝32，得c ＝3，b ＝1. ∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.若b ＝2，则由a 2－c 2＝4，且c a ＝32得a 2＝16，∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. [答案] x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝15．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解] 椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)可转化为 x 21m 2＋y 214m 2＝1. ∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2，∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ， 焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ，0，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m .离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.。

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K ABOM=⋅，即0202y a x b K AB =。

高二数学选修1-1第二章《圆锥曲线》精讲笔记姓名 学队考点一：椭圆及其标准方程椭圆的定义： ,其中 ,两个定点叫做椭圆的 ，焦点间的距离叫做 。

注意：2a ˃21F F 表示 ；2a=21F F 表示 ；2a ˂21F F 表示 ； 例2、平面内，若点M 到定点F1(0，－1)、F2(0,1)的距离之和为2，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆B ．直线F1F2C ．线段F1F2D ．直线F1F2的垂直平分线精炼考点2、下列说法中，正确的是( )A ．平面内与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B ．与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹是椭圆C ．方程x 2a 2＋y 2a 2－c 2＝1(a >c >0)表示焦点在x 轴上的椭圆D ．方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)表示焦点在y 轴上的椭圆互改互签例3 已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．3、求椭圆16x2＋9y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．标准方程)0(,12222>>=+b a b y a x )0(,12222>>=+b a b x a y 图形a 、b 、c 关系对称性 顶点坐标 焦点坐标焦距轴长 短轴长___________，长轴长_________________.准线方程离心率 通径互改互签考点三：双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的____________等于常数(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．例3、双曲线x216－y29＝1上一点P到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距离为() A．7B．23 C．5或25 D．7或23互改互签考点四：双曲线的几何性质例4．已知双曲线的渐近线是x+2y=0，并且双曲线过点M(4,3),求双曲线的标准方程。

第2课时椭圆的标准方程(1)教学过程一、问题情境汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的外形像椭圆,把一个圆压扁了,也像椭圆,它们到底是不是椭圆呢?是否是椭圆应当看其是否符合椭圆的基本特征(性质),那么又该如何争辩椭圆的性质呢?回忆解析几何争辩问题的基本方法,争辩椭圆,先建立椭圆的方程.二、数学建构回顾椭圆的概念:一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.特殊地:当MF1+MF2=F1F2时,动点M的轨迹是线段F1F2;当MF1+MF2<F1F2时,动点M的轨迹不存在.构建椭圆方程:设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,它们之间的距离为2c,椭圆上任意一点到F1,F2的距离的和为2a(2a>2c).以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图1),则F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).(图1)设P(x,y)为椭圆上任意一点,依据椭圆的定义知PF1+PF2=2a,即+=2a.[2]将这个方程移项后两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2,即a2-cx=a.两边再平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).由于a2-c2>0,所以可设a2-c2=b2(b>0),于是得b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(a>b>0).由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方程,并且满足上面这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上.这样,上面这个方程就是所求椭圆的方程,它的焦点为F1(-c,0),F2(c,0).(图2)问题1假如将椭圆的焦点建立在y轴上,即焦点为F1(0,-c),F2(0,c)(如图2),你能快速得出椭圆的方程吗?解法一两个椭圆关于直线y=x对称,故只需要将方程+=1(a>b>0)中的x,y 互换即可得到方程+=1(a>b>0).解法二从定义动身,将+=2a 变换为+=2a.可化简得到a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2).设a2-c2=b2(b>0),于是得a2x2+b2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(a>b>0).所以,当焦点在y轴上时,我们可以得到焦点为F1(0,-c),F2(0,c)的椭圆的方程为+=1(a>b>0).以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中b2=a2-c2).问题2如何推断椭圆标准方程中焦点的位置?解看标准方程形式下x2与y2下方(即分母)哪个大,焦点即在对应的坐标轴上.。