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⾼中数学选修1-1《椭圆的简单⼏何性质》教案课题：椭圆的简单⼏何性质（第⼀课时）⼀、教学⽬标：1、知识与技能（1）探究椭圆的简单⼏何性质，初步学习利⽤⽅程研究曲线性质的⽅法；（2）掌握椭圆的简单⼏何性质，理解椭圆⽅程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利⽤数形结合思想⽅法解决实际问题。
2、过程与⽅法（1）通过椭圆的⽅程研究椭圆的简单⼏何性质，使学⽣经历知识产⽣与形成的过程，培养学⽣观察、分析、逻辑推理，理性思维的能⼒。
（2）通过掌握椭圆的简单⼏何性质及应⽤过程，培养学⽣对研究⽅法的思想渗透及运⽤数形结合思想解决问题的能⼒。
3、情感、态度与价值观通过数与形的辩证统⼀，对学⽣进⾏辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学⽣对美好事物的追求。
⼆、教学重难点：1、教学重点：椭圆的简单⼏何性质及其探究过程2、教学难点：利⽤曲线⽅程研究曲线⼏何性质的基本⽅法和离⼼率定义的给出过程。
三、教学⽅法：本节课以启发式教学为主，综合运⽤演⽰法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学⽅法。
先通过多媒体动画演⽰，创设问题情境；在椭圆简单⼏何性质的教学过程中，通过多媒体演⽰，有指导的发现问题，然后进⾏讨论、探究、总结、运⽤，最后通过练习加以巩固提⾼。
四、教学过程：（⼀）创设情景,揭⽰课题多媒体展⽰：模拟“嫦娥⼀号”升空,进⼊轨道运⾏的动画. 解说：2007年10⽉24⽇，随着中国⾃主研制的第⼀个⽉球探测器——嫦娥⼀号卫星飞向太空，⾃强不息的中国航天⼈，⼜将把中华民族的崭新⾼度镌刻在太空中。
绕⽉探测，中国航天的第三个⾥程碑。
它标志着，在实现⼈造地球卫星飞⾏和载⼈航天之后，中国航天⼜向深空探测迈出了第⼀步。
“嫦娥⼀号”卫星发射后⾸先将被送⼊⼀个椭圆形地球同步轨道，这⼀轨道离地⾯最近距离为200公⾥，最远为5.1万公⾥，,⽽我们地球的半径R=6371km.根据这些条件,我们能否求出其轨迹⽅程呢?要想解决这个问题,我们就⼀起来学习“椭圆的简单⼏何性质”。
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作1.2 椭圆的简单性质课时目标 1.掌握椭圆上点的集合范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的 位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准 方程范围 顶点轴长 短轴长＝______，长轴长＝______焦点焦距对称性 对称轴是__________，对称中心是______ 离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b 2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A .x 236＋y 216＝1 B .x 216＋y 236＝1 C .x 26＋y 24＝1 D .y 26＋x 24＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A . 3B .32C .83D .234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A .－1＋52B ．1－22C .2－1D .225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．06.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点.满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B .⎝⎛⎦⎤0，12C .⎝⎛⎭⎫0，22D .⎣⎡⎭⎫22，1 题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于_________________________________．9．椭圆E ：x 216＋y 24＝1内有一点P(2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为____________． 三、解答题如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2c(c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e.11．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．能力提升 12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A .45 B .35 C .25 D .1313．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．1.2椭圆的简单性质知识梳理1.焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点(±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点 (±c,0) (0，±c)焦距 2c ＝2a 2－b 2对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率e ＝ca，0<e<1 2.一 ＝ 二 > 没有 < 作业设计1．B [先将椭圆方程化为标准形式：x 29＋y 225＝1，其中b ＝3，a ＝5，c ＝4.] 2．A 3.B4．A [由(a ＋c)2＝a 2＋2b 2＋c 2， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，∵e ＝ca ，∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1＋52.]5．B [∵4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4. ∴点P(m ，n)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．]6. C [∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径， 由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部， 设点P 为椭圆上任意一点，则|OP|>c 恒成立， 由椭圆性质知|OP|≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b>c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2， ∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e<1，∴0<e<22.]7.x 245＋y236＝1 解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，将点(－5,4)代入得25a 2＋16b2＝1，又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，解之得a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.8.255解析 由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a ＝255.9．x ＋2y －4＝0解析 设弦的两个端点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k MN ＝－12，由点斜式可得弦所在直线的方程为y ＝－12(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0.10．解 依题意知H ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0，F(c,0)，B(0，b)．设P(x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程，得y P ＝b 2a.∴P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .∵HB ∥OP ，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋a 2c＝b 2ac .∴ab ＝c 2.∴e ＝c a ＝b c ，∴e 2＝a 2－c 2c 2＝e －2－1.∴e 4＋e 2－1＝0.∵0<e<1，∴e ＝5－12. 11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0.解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝15(m 2－1)．设弦长为d ，且y 1－y 2＝(x 1＋m)－(x 2＋m) ＝x 1－x 2，∴d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2. ∴当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x. 12．B [由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2， ∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac.∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．]13．解 (1)∵a ＝2，c ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝1.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P(x 0，y 0)，M(x ，y)，由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12. 又∵x 204＋y 20＝1，∴(2x －1)24＋⎝⎛⎭⎫2y －122＝1 即为中点M 的轨迹方程．。
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
1．2 椭圆的简单性质学习目标：1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响．(难点)椭圆的简单性质哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？[提示] 如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝ca ，记e ＝ca ，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越圆．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为b .( ) (2)椭圆的离心率越接近0，椭圆越扁．( ) (3)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．已知椭圆的方程为y 29＋x 216＝1，则此椭圆的长轴长为( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8D [该椭圆的标准方程为x 216＋y 29＝1，故a ＝4，故长轴长＝2a ＝8.] 3．椭圆x 225＋y 216＝1的离心率是( ) A .34 B .541C .45D .35D [由题意可得a ＝5，b ＝4，c ＝3，故e ＝c a ＝35.]4．设P (m ，n )是椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点，则m 的取值范围是________． [答案] [－5,5]椭圆的简单性质【例1】 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[解] 已知椭圆方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1， 可知，此椭圆的焦点在x 轴上， 于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是F 1(－7，0)和F 2(7，0)，四个顶点坐标分别是A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)和B 2(0,3)．求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a ，b 的数值，进而求出c 及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质.1．已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解] 把椭圆的方程化为标准方程为x 29＋y 24＝1.可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2；又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝5.因此，椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e ＝53.椭圆性质的简单应用【例2】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )A .x 23＋y 22＝1 B .x 23＋y 2＝1 C .x 212＋y 28＝1D .x 212＋y 24＝1(2)已知椭圆在x 轴上的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，且焦距为8，则此椭圆的标准方程为__________．思路探究：(1)由椭圆的定义及离心率的值求出a ，c ，进而得到a 2，b 2，得到椭圆方程．(2)由题意得到等腰直角三角形，求出b ，c 值即可．[解析] (1)根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝3.又因为椭圆的离心率e ＝ca ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．如图，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b .∴b ＝c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32，∴椭圆方程为x 232＋y 216＝1. [答案] (1)A (2)x 232＋y 216＝1利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置.(2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程). (3)根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式为b 2＝a 2－c 2，e ＝ca 等.2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，则椭圆的标准方程为________．[解析] ∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OF A ＝23， ∴点A 不是长轴的端点(是短轴的端点)． ∴|OF |＝c ，|AF |＝a ＝3，∴c 3＝23. ∴c ＝2，b 2＝32－22＝5.∴椭圆的方程是x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. [答案] x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1椭圆的离心率[探究问题]1．已知椭圆的两个焦点F 1、F 2，点A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，求椭圆的离心率．[提示] 设F 1F 2＝2c ，由题意知，△AF 1F 2中，∠A ＝90°，∠AF 2F 1＝60°，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .∵|AF 1|＋|AF 2|＝3c ＋c ＝2a ， 即(3＋1)c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．[提示] ∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2， 即3a 2－2ac －5c 2＝0， ∴(a ＋c )(3a －5c )＝0.∵a ＋c ≠0，∴3a －5c ＝0，∴3a ＝5c ， ∴e ＝c a ＝35.【例3】 已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则该椭圆的离心率为________．思路探究：由AB ⊥F 1F 2且△ABF 2为正三角形可求出|F 1F 2|的长度，再利用椭圆的定义求解．[解析]因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝|AF2|2－|AF1|2＝3x＝2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，所以e＝2c2a＝3x3x＝33.[答案]33求椭圆离心率或其范围的常用方法(1)定义法：若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用公式e＝ca直接求解.(2)转化法：若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的顶点坐标是()A．(－1,0)、(1,0)B．(－6,0)、(6,0)C．(－6，0)、(6，0) D．(0，－6)、(0，6)D[椭圆的标准方程为x2＋y26＝1，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0，±6)．]2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A.32B.34C.22D.23A[椭圆方程可化为x2＋y214＝1，∴a2＝1，b2＝14，∴c2＝34，∴e2＝c2a2＝34，∴e＝3 2.]3．若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m等于________．[解析]∵椭圆焦点在x轴上，∴0＜m＜2，a＝2，c＝2－m，e＝ca＝2－m2＝12.故2－m2＝14，∴m＝32.[答案]324．离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________．[解析]∵椭圆经过(2,0)点，∴(2,0)为椭圆的顶点．若a ＝2，则由e ＝c a ＝32，得c ＝3，b ＝1. ∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.若b ＝2，则由a 2－c 2＝4，且c a ＝32得a 2＝16，∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. [答案] x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝15．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解] 椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)可转化为 x 21m 2＋y 214m 2＝1. ∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2，∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ， 焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ，0，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m .离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.。
学习目标：1.理解椭圆的第二定义,掌握椭圆的准线方程及准线的几何 意义,进一步理解离心率e 的几何意义.2.进一步全面地理解椭圆的几何性质及其简单应用,加深对两种定义的等价性的理解. 一、巩固练习：1、回忆椭圆的简单几何性质：2、求满足下列椭圆的标准方程： （1）32,8==e c ； （2）过点36),0,3(=e二、自学课本112110-P ,记下重点，并积极思考。
三、自我检测： 1、课本103P 7。
2、求下列椭圆的焦点坐标和准线方程：（1）13610022=+y x ； （2）8222=+y x 。
四、提问答疑：五、例题分析：1、椭圆192522=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离等于25，那么P 到右焦点的距离是 。
2、已知椭圆12222=+by a x (a >b >0)上一点P 的横坐标为0x ，两焦点为1F 、2F ，离心率为e ，求||1PF ，||2PF 的长。
六、课外作业：1、椭圆1162522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离等于3，求它到相应准线的距离。
2、点P 与定点)0,2(F 的距离和它到定直线8=x 的距离的比是2:1，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
3、已知地球运行的轨道是长半轴长km a 81050.1⨯=，离心率0192.0=e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最短距离。
4、点P 与椭圆112132222=+y x 的左焦点和右焦点的距离之比为3:2，求点P 的轨迹方程。
5、在椭圆192522=+y x 上有一点P ，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的3倍，则P 的坐标为 。
★6、方程|2|)1()1(222++=-+-y x y x 的曲线是（ ） A.椭圆 B.线段 C.抛物线 D.无法确定★7、设)3,2(-P ，F 为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上运动，当||35||MF PM +取得最小值时，求M 点的坐标。
[A.基础达标]1．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的线段的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73C.⎝⎛⎭⎫－23，13D.⎝⎛⎭⎫－132，－112 解析：选C.设截得线段两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，代入消元整理得3x 2＋4x －2＝0，Δ＝42＋4×6>0，x 1＋x 2＝－43，所以x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13.2．已知直线l 过点(3，－1)，椭圆C 的方程为x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0解析：选C.把点(3，－1)代入x 225＋y 236＝1得3225＋（－1）236<1，所以点(3，－1)在椭圆内部，故直线l 与椭圆有两个公共点．3．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆C ：x 22＋y 2＝1交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59内，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－3，－1]∪[1，3]C ．[－1，1]D ．(－3，－1]∪[1，3)解析：选D.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2＋2y 2＝2得：3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，由Δ>0得m ∈(－3，3)，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23，y 1＋y 2＝x 1＋m ＋x 2＋m ＝2m 3，故AB 中点坐标为(－2m 3，m3)，因为AB 中点不在圆x 2＋y 2＝59内，所以(－2m 3)2＋(m 3)2≥59，即m 2≥1，故m ∈(－3，－1]∪[1，3)．4．直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.32B.3－1C.3－12D ．4－2 3解析：选B.设A 在y 轴左侧，其坐标设为A (x 0，－3x 0)，则B (－x 0，3x 0)，设F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，则c ＝12|AB |＝12（x 0＋x 0）2＋（－3x 0－3x 0）2＝2|x 0|，所以F 2(－2x 0，0)，F 1(2x 0，0)，|AF 2|＝23|x 0|，|AF 1|＝2|x 0|，因为|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，所以a ＝(3＋1)|x 0|，所以e ＝c a ＝2|x 0|（3＋1）|x 0|＝3－1.5．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离为( )A ．3 B.11 C.10 D ．2 2解析：选C.易判断直线x ＋2y －2＝0与椭圆x 216＋y 24＝1相交，令与直线x ＋2y －2＝0平行的直线方程为x ＋2y ＋C ＝0代入x 216＋y24＝1，化简整理得8y 2＋4Cy ＋C 2－16＝0，则Δ＝16C 2－32(C 2－16)＝0，C ＝±4 2.由图(图略)可知C ＝4 2.切线x ＋2y ＋42＝0与直线x ＋2y －2＝0间的距离为42＋25＝10.6．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．解析：设M 的纵坐标为y 0，F 1为其左焦点，则F 1(－3，0)，可得P (3，2y 0)，故3212＋（2y 0）23＝1，解得y 0＝±34.答案：±347．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k 的值为________．解析：由题意知，交点坐标为(b ，kb )，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)得b 2a 2＋k 2b 2b2＝1，所以k 2＝1－b 2a 2＝c 2a2， 所以k ＝±e ＝±22.答案：±228．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2＝________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21a2，所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－139．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解：法一：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得， a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2·|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，所以b ＝23，所以所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（k 2＋1）（x 1－x 2）2 ＝2·4b 2－4（a ＋b ）（b －1）（a ＋b ）2.因为|AB |＝22，所以a ＋b －ab a ＋b＝1. ①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b，因为OC 的斜率为22，所以a b ＝22.代入①，得a ＝13，b ＝23.所以所求椭圆的方程为x 23＋23y 2＝1. 10．已知离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点M (6，1)．(1)求椭圆的方程；(2)已知与圆x 2＋y 2＝83相切的直线l 与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，O 为坐标原点，求OA →·OB →的值．解：(1)因为e ＝22， 又椭圆C 过点M (6，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a 2＝12，6a 2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝±236，则x 1＝x 2＝±236，y 1＝－y 2，所以OA →·OB →＝x 21－y 21＝0. 当直线l 的斜率存在时， 设l ：y ＝kx ＋m ， 由于l 与圆相切得：|m |k 2＋1＝223，所以3m 2－8k 2－8＝0. 将l 的方程代入椭圆方程得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－8k 2－81＋2k 2＝0，综上，OA →·OB →＝0.[B.能力提升]1．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( ) A ．[4－23，4＋23] B ．[4－3，4＋3] C ．[4－22，4＋22] D ．[4－2，4＋2]解析：选A.该椭圆的标准方程为x 23＋y 28＝1，故x ∈[－3，3]，故m ∈[－3，3]，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．2．以F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1B.x 29＋y 28＝1C.x 25＋y 24＝1D.x 23＋y 22＝1解析：选C.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，x －y ＋3＝0，得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋(10a 2－a 4)＝0， 由Δ≥0，得a ≥5，e ＝c a ＝1a ≤55，此时a ＝5， 故椭圆方程为x 25＋y 24＝1.3．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．解析：因为0<x 202＋y 20<1，所以P (x 0，y 0)在椭圆内部． 所以|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|<2a ， 即2≤|PF 1|＋|PF 2|<2 2. 答案：[2，22)4.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．解析：设F (c ，0)，则c 2＝a 2－b 2.由题意，得直线A 1B 2的方程为x－a＋y b ＝1，直线B 1F 的方程为x c ＋y －b ＝1.将两个方程联立，解得T (2ac a －c ，b （a ＋c ）a －c )，则M (ac a －c ，b （a ＋c ）2（a －c ）)．又点M 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，所以c 2（a －c ）2＋（a ＋c ）24（a －c ）2＝1，整理，得c 2＋10ac －3a 2＝0，即e 2＋10e －3＝0，解得e ＝27－5或e ＝－27－5(舍去)．答案：27－55．已知△ABC 的周长为12，顶点A ，B 的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，C 为动点． (1)求动点C 的轨迹E 的方程；(2)过原点作两条关于y 轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E 交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．解：(1)由题意知|CA |＋|CB |＝12－4＝8>|AB |，所以动点C 的轨迹是椭圆的一部分．因为a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12，所以曲线E 的方程为x 216＋y 212＝1(x ≠±4)．(2)设两直线的方程为y ＝kx 与y ＝－kx (k >0)， 记y ＝kx 与曲线E 在第一象限的交点为(x 0，y 0)，y ＝kx 与x 216＋y 212＝1联立得x 20＝483＋4k 2， 所以S ＝4kx 20＝192k 3＋4k 2，因为k >0，所以S ＝1923k ＋4k ≤163，当且仅当3k ＝4k ，即k ＝32时，等号成立．所以k ＝32时四边形面积的最大值为16 3. 6．(选做题)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解：(1)由于C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1(a >b >0)．设直线l ：x ＝t (|t |<a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得 A (t ，a b a 2－t 2)，B (t ，b a a 2－t 2)．当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A 、B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)当t ＝0时的l 不符合题意，当t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当OB 的斜率k OB 与AN 的斜率k AN 相等，即 b a a 2－t 2t ＝aba 2－t 2t －a， 解得t ＝－ab 2a 2－b2＝－1－e 2e 2·a .因为|t |<a ，0<e <1，所以1－e 2e 2<1，解得22<e <1.所以当0<e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22<e <1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .。
