2017考研复习线性代数考试重点和常考题型介绍——线性方程组

考研数学线性代数重点题型考研数学中的线性代数部分对于许多考生来说是一个具有挑战性的模块。

掌握重点题型对于提高成绩至关重要。

以下将为大家详细介绍几种常见且重要的线性代数题型。

一、行列式的计算行列式是线性代数中的基础概念，其计算是常见的考点之一。

行列式的计算方法多种多样，包括定义法、化上（下）三角法、按行（列）展开法等。

对于低阶行列式（二阶和三阶），可以直接使用定义进行计算。

但对于高阶行列式，通常需要将其化为上三角或下三角行列式，然后主对角线元素之积即为行列式的值。

例如，通过对行列式进行倍加、倍乘等初等变换，将某一行（列）的元素尽可能化为零，从而实现化为上三角或下三角的目的。

按行（列）展开法则是根据行列式的展开定理，将高阶行列式按照某一行（列）展开，转化为低阶行列式的计算。

二、矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法、乘法、数乘以及求逆等。

矩阵的加法和减法较为简单，只要对应元素相加减即可。

数乘则是将矩阵中的每个元素乘以给定的数。

矩阵乘法是重点也是难点，需要注意的是，一般情况下矩阵乘法不满足交换律。

在计算矩阵乘法时，要严格按照乘法规则，即前行后列对应元素相乘再求和。

求逆矩阵是常考的题型之一。

通常可以使用伴随矩阵法或初等变换法来求逆。

伴随矩阵法相对复杂，需要先求出矩阵的行列式和伴随矩阵；初等变换法则更为简便，通过对矩阵进行初等行变换，将其化为单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的变换，得到的结果即为逆矩阵。

三、线性方程组的求解线性方程组的求解是线性代数的核心内容之一。

分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组。

对于齐次线性方程组，若系数矩阵的秩等于未知数的个数，则方程组只有零解；若系数矩阵的秩小于未知数的个数，则方程组有非零解。

求解齐次线性方程组可以使用高斯消元法将其化为阶梯形矩阵，然后确定基础解系。

非齐次线性方程组的解由特解和通解组成。

可以先求出对应的齐次线性方程组的通解，再求出一个特解，从而得到非齐次线性方程组的解。

线性代数重点总结线性代数是现代数学领域的重要分支，它研究线性方程组、向量空间、线性映射等代数结构和它们之间的关系。

在应用数学、工程学、计算机科学等领域中，线性代数起着举足轻重的作用。

本文将以1500字左右的篇幅，对线性代数的重点内容进行总结，旨在为读者提供一份简明扼要、重点突出的学习指南。

第一部分：线性方程组与矩阵1.1 线性方程组的定义及解的存在唯一性线性方程组由多个线性方程组成，它的解是使得方程组中所有方程都成立的解集。

如果线性方程组有解，且解是唯一的，那么称线性方程组是可解且解唯一的。

1.2 线性方程组的矩阵形式将线性方程组用矩阵和向量表示可以简化计算过程。

线性方程组的系数矩阵A、未知数向量X和常数向量B之间满足AX=B的关系。

1.3 线性方程组的消元法高斯消元法和高斯-约当消元法是求解线性方程组的常用方法。

通过对矩阵进行初等行变换，将线性方程组转化为更简化的形式，从而求出解。

1.4 矩阵的运算矩阵的加法、减法和数乘是常见的矩阵运算。

此外，还有矩阵的乘法、转置和逆矩阵等运算。

1.5 矩阵的特征值与特征向量特征值和特征向量描述了矩阵的特征性质。

特征值是方程Ax=λx 的解，其中A是方阵，λ是特征值，x是非零向量。

特征向量则是对应于特征值的非零向量。

第二部分：向量空间与线性映射2.1 向量空间的定义与性质向量空间是具有线性结构的集合。

它满足加法封闭性、数乘封闭性、零向量存在性、加法逆元存在性等性质。

2.2 线性独立与线性相关向量空间中的向量集合线性相关指存在非零向量使得线性组合等于零向量。

线性独立则是指不存在非零向量使得线性组合等于零向量。

2.3 矩阵的秩与行列式矩阵的秩是指矩阵的极大线性无关行（列）数。

行列式是一个与矩阵相关的数值。

2.4 线性变换和线性映射线性变换是定义在向量空间上的函数，它保持向量空间的线性结构。

线性映射是指保持向量空间的线性结构和运算的函数。

第三部分：特殊的矩阵3.1 对称矩阵与正定矩阵对称矩阵是指矩阵的转置与自身相等。

考研数学线性代数重点知识线性代数是考研数学中非常重要的一部分，对于许多考生来说，掌握好线性代数的重点知识是取得高分的关键。

下面我们就来详细梳理一下线性代数中的重点知识。

一、行列式行列式是线性代数中的基本概念之一，它有着多种计算方法和重要的性质。

计算行列式的方法包括：按行（列）展开法、三角化法、利用行列式的性质化简等。

其中，利用行列式的性质将其化为上三角或下三角行列式是比较常用且有效的方法。

行列式的性质包括：行列式与其转置行列式相等；对换两行（列），行列式变号；某行（列）元素乘以 k，等于用 k 乘以此行列式；若某行（列）元素是两数之和，则行列式可拆分为两个行列式之和等。

行列式在求解线性方程组、判断矩阵可逆性等方面有着重要的应用。

二、矩阵矩阵是线性代数的核心概念，包括矩阵的运算、逆矩阵、矩阵的秩等内容。

矩阵的运算有加、减、乘、数乘。

矩阵乘法需要注意其规则，不满足交换律。

逆矩阵是一个重要概念，如果矩阵 A 可逆，则存在 A 的逆矩阵A⁻¹，使得 AA⁻¹＝ A⁻¹A ＝ E（单位矩阵）。

求逆矩阵的方法有伴随矩阵法和初等变换法。

矩阵的秩反映了矩阵的“有效信息”量，通过初等变换可以求出矩阵的秩。

三、向量向量部分包括向量组的线性相关性、极大线性无关组、向量组的秩等。

判断向量组的线性相关性有定义法、行列式法、矩阵秩法等。

极大线性无关组是向量组中“最核心”的部分，它不唯一，但所含向量个数是确定的。

向量组的秩等于其极大线性无关组所含向量的个数。

四、线性方程组线性方程组是线性代数的重点应用之一。

齐次线性方程组，当系数矩阵的秩等于未知数个数时，只有零解；当系数矩阵的秩小于未知数个数时，有非零解。

非齐次线性方程组，当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩时，有解；当增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时，无解。

求解线性方程组可以使用高斯消元法。

五、特征值与特征向量特征值和特征向量反映了矩阵的某种特性。

求特征值就是求解特征方程｜λE A| ＝ 0 的根，求特征向量则是通过解齐次线性方程组（λE A)X ＝ 0 得到。

2017考研数学：线性代数必考公式与定理()12121211121,,...,2122212,,...,12 (1)..................n nnn i i i ni i ni i i i n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑基本性质性质一：如果一个行列式的某一行全为0，则行列式的值等于0.性质二：如果一个行列式的某两行元素对应成比例，则行列式的值等于0.性质三：将行列式的任意两行互换位置后，行列式改变符号。

性质四：将行列式的某一行乘以一个常数k 后，行列式的值变为原来的k 倍。

性质五：将行列式的一行的k 倍加到另一行上，行列式的值不变。

性质六：如果行列式某一行的所有元素都可以写成两个元素的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行分别为对应两个加数，其余行与原行列式相等。

即111211112111121212222122221222112212121212..........................................................................................n n nn n n i i i i in ini i in i i n n nnn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a b b a a a a a a =++++12..................in n n nnb a a a性质七：将行列式的行和列互换后，行列式的值不变，也即111211121121222122221212..........................................n n nn n n nnnn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =。

考研数学线性代数重点知识点整理与习题解析一、矩阵的运算矩阵的加法、乘法、转置以及数量乘法等是矩阵运算的基本操作。

矩阵的加法和乘法具有结合律、交换律和分配律等基本性质。

1.1 矩阵的加法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A + B，定义为它们对应元素相加所得到的矩阵。

即，如果A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A + B = [a_ij + b_ij]。

1.2 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，它们可以进行乘法运算，记作C = AB。

矩阵C的元素c_ij可以表示为c_ij =∑(a_ik * b_kj)。

其中∑表示求和符号，k表示对应元素的相同下标。

1.3 矩阵的转置对于一个矩阵A，它的转置记作A^T。

即，如果A = [a_ij]，则A^T = [a_ji]。

也就是说，矩阵A的行变为转置后矩阵的列，矩阵A的列变为转置后矩阵的行。

1.4 数量乘法一个数与一个矩阵的乘积称为数量乘法。

对于一个数k和一个矩阵A，它们的乘积记作kA。

即，kA = [ka_ij]。

其中ka_ij表示矩阵A中每个元素乘以k所得到的矩阵。

二、线性方程组线性方程组是线性代数的重要内容之一。

解一个线性方程组就是找到一组使得方程组中所有方程都成立的未知数的值。

通常通过矩阵的方法来解线性方程组，有三种常用的解法：高斯消元法、克拉默法则和逆矩阵法。

2.1 高斯消元法高斯消元法是通过矩阵的初等变换将线性方程组化为最简形式，从而求解方程组。

具体步骤如下：1) 将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵合并成增广矩阵；2) 逐行进行初等变换，使得增广矩阵的主对角线元素为1，其他元素为0；3) 对增广矩阵进行回代，求出方程组的解。

2.2 克拉默法则克拉默法则是通过行列式的性质来解线性方程组。

对于一个n元线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解，且每个未知数的值可以通过求解n个行列式得到。

2.3 逆矩阵法逆矩阵法是通过求解方程AX = B来解线性方程组。

线性代数中的线性方程组的基本解在线性代数中，线性方程组是一个非常重要的概念。

解线性方程组可以帮助我们找到未知数的取值，从而解决实际生活中的问题。

本文将介绍线性代数中线性方程组的基本解，并探讨一些相关的概念和理论。

一、线性方程组的定义与形式线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。

一个线性方程组可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，aᵢₙ表示系数，xₙ表示未知数，bᵢ表示常数项，m表示方程组的行数，n表示方程组的列数。

二、线性方程组的解线性方程组的解指的是使得所有方程都成立的未知数取值。

一个线性方程组可以有三种解的情况：1. 无解的情况：线性方程组不存在可行解的情况称为无解。

2. 唯一解的情况：线性方程组存在唯一的解的情况称为唯一解。

这种情况下，线性方程组的解是一个由实数构成的向量。

3. 无穷多解的情况：线性方程组存在无穷多个解的情况称为无穷多解。

这种情况下，线性方程组的解是一个由自由变量决定的参数化表示。

三、线性方程组的基本解在线性方程组的解中，基本解是其中最基础的解。

基本解可以通过高斯消元法或矩阵运算得到。

具体步骤如下：1. 将线性方程组表示为增广矩阵的形式。

2. 对增广矩阵进行初等行变换，将其转化为行简化阶梯形。

3. 找到基础变量和自由变量。

基础变量是主导方程的未知数，自由变量是非主导方程的未知数。

4. 将自由变量表示为参数的形式，得到基本解。

5. 可以通过改变参数的值，得到线性方程组的无穷多解。

四、线性方程组的应用线性方程组的理论和方法在各个领域都有广泛的应用。

下面举几个例子来说明线性方程组的应用：1. 物理学中的力学问题：通过解线性方程组，可以确定多个物体受力的大小和方向。

2. 经济学中的投资问题：通过解线性方程组，可以确定不同投资项目的收益和投资金额。

考研数学线代 6 大部分重点及常考题型一、行列式行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。

如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现。

所以要熟练掌握行列式常用的计算方法。

1.重点内容:行列式计算(1)降阶法这是计算行列式的主要方法，即用展开定理将行列式降阶。

但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。

(2)特殊的行列式有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三线型行列式、爪型行列式等等，必须熟练掌握相应的计算方法。

2.常见题型(1)数字型行列式的计算(2)抽象行列式的计算(3)含参数的行列式的计算(4)代数余子式的线性组合二、矩阵矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础。

矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。

这部分考点较多。

涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。

有些性质得证明必须能自己推导。

这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。

1.重点内容：(1)矩阵的运算(2)伴随矩阵(3)可逆矩阵(4)初等变换和初等矩阵(5)矩阵的秩2.常见题型：(1)计算方阵的幂(2)与伴随矩阵相关联的命题(3)有关初等变换的命题(4)有关逆矩阵的计算与证明(5)解矩阵方程(2013 年和 2014 年连续出大题，要重视)(6)矩阵秩的计算和证明三、向量向量部分既是重点又是难点，由于n 维向量的抽象性及在逻辑推理上的较高要求，导致考生在学习理解上的困难。

考生至少要梳理清楚知识点之间的关系，最好能独立证明相关结论。

1.重点内容：(1)向量的线性表示线性表示经常和方程组结合考察，特点，表面问一个向量可否由一组向量线性表示，其实本质需要转换成方程组的内容来解决，经常结合出大题。

2017考研数学大纲：线性方程组解的判定
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2017考研数学大纲：线性方程组解的判定
数学考试大纲明确规定（备注2017年考研数学大纲将在2016年9月份公布），无论是哪个卷种，都必须考察线性代数，所占分值为34分，而从下图的线性代数的学科框架中可以看出线性方程组又是整个线性代数中最重要的一个章节!
线性方程组根据考试大纲主要要求三个方面：
1、齐次和非齐次方程组解的判定
2、齐次和非齐次方程组解的性质与结构
3、齐次和非齐次方程组的求解
其中关于解的判定是后面两点的基础，所以今天我们重点讲解一下第一点!
一、齐次线性方程组解的判定
1、数值型(含参数)齐次线性方程组方法分析
(1)用行列式
2、抽象型
利用非齐次方程组的解的性质、解的判定、解的结构建立方程，写出方程组通解表达式。

线性方程组解的判定是每年考研的重点，分值大概是4-6分，希望同学们根据徐老师总结的结论好好学习，获得优异成绩!。

2017考研数学线性代数知识点
来源:文都图书
线性代数作为考研数学中的重要考查科目,在我们复习之初,我们首先要了解清楚线性代数的知识点,可以帮助我们合理安排复习时间和复习方法。

一、行列式与矩阵
第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节,有必要熟练掌握。

列式的核心内容是求行列式,包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算,其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型;主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。

二、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。

相比之下,行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节;后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立,可以看作是对核心内容的扩展。

三、特征值与特征向量
相对于前两章来说,本章不是线性代数这门课的理论重点,但却是一个考试重点。

其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关,“牵一发而动全身”。

四、二次型
本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸,因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵C使得A可以相似对角化”,其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。

对于线性代数的知识点的深入学习,我们还可以看看汤家凤老师的2017《全国硕士研究生入学统一考试线性代数辅导讲义》,对我们掌握好线性代数,很有帮助。