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华师大新版九年级上学期《23.1.1 成比例线段》同步练习卷一．选择题（共16小题）1．下列四条线段为成比例线段的是（）A．a=10，b=5，c=4，d=7B．C．a=8，b=5，c=4，d=3D．2．下列各组中的四条线段，为成比例线段的是（）A．3，6，12，18B．2，3，4，5C．，，，5D．1，3，5，6 3．下列各组中的四条线段a，b，c，d成比例的是（）A．a=，b=3，c=2，d=B．a=4，b=6，c=5，d=10C．a=2，b=，c=2，d=D．a=2，b=3，c=4，d=14．下列四条线段成比例得是（）A．4、6、5、10B．12、8、16、20C．1、D．、25．有四条线段，它们成比例，如果它们的长度分别为5，x，3，2，那么x的值是（）A．B．C．D．6．数b是数a和数c的比例中项，若a=2，c=8，则数b的值为（）A．5B．±5C．4D．±47．若，则的值是（）A．1B．2C．3D．48．若，则的值为（）A．B．C．D．9．已知线段a=2，线段b=8，线段c是a和b的比例中项，则c等于（）A．2B．4C．±4D．810．已知2x=3y（y≠0），则下列式子错误的是（）A．B．=C．D．11．若=，则的值是（）A．1B．2C．3D．412．给出下列各组线段，其中成比例线段是（）A．a=2cm，b=4cm，c=6cm，d=8cmB．a=cm，b=cm，c=cm，d=cmC．a=cm，b=cm，c=cm，d=2cmD．a=2cm，b=cm，c=2cm，d=cm13．在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5cm，则它的实际长度约为（）A．0.2km B．2km C．20km D．200km 14．已知2x=3y=6z=﹣2017，则x+y+z+2017是（）A．正数B．零C．负数D．无法确定15．已知===k，则k=（）A．B．2C．﹣1D．2或﹣1 16．若a：b：c=3：5：7，且3a+2b﹣4c=9，则a+b+c的值等于（）A．﹣3B．﹣5C．﹣7D．﹣15二．填空题（共5小题）17．已知有三条长度分别为1cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段．使这四条线段成比例，求所添线段的长度．18．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，则AC的长为．19．如果a=25cm，b=10cm，且b是a和c的比例中项，则c=cm．20．若，则的值为．21．已知a：b：c=3：4：5，则=三．解答题（共19小题）22．已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？（1）a=16cm b=8cm c=5cm d=10cm（2）a=8cm b=5cm c=6cm d=10cm．23．已知四条线段a=4cm，b=5cm，c=2cm，d=10cm，试判断它们是否成比例？24．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足，a+b+c=12，试判断△ABC的形状．25．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．26．已知，求的值．27．已知非零实数a，b，c满足==，且a+b=34，求c的值．28．已知：．求k值．29．已知==，且3a﹣2b+c=9，求2a+4b﹣3c的值．30．若=，且3x+2y﹣z=14，求x，y，z的值．31．已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．32．已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比．（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？33．如图，已知=，AD=6.4cm，DB=4.8cm，EC=4.2cm，求AC的长．34．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AD=9，BD=4，且CD是AD与BD的比例中项，求△ABC的面积．35．如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC=AD：CD，求证：+=．36．如果一个矩形的宽与长的比值为，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．37．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比值，被称为黄金分割数．我国著名数学家华罗庚普及并做出重要贡献的优选法中有一种0.618法也应用了黄金分割数．定义：点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点（如图1）．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．38．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE=BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．39．已知：如图，线段AB=2，BD⊥AB于点B，且BD=AB，在DA上截取DE=DB．在AB上截取AC=AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．40．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）求证：BC2=AC•CD；（2）求∠ABD的度数．华师大新版九年级上学期《23.1.1 成比例线段》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．下列四条线段为成比例线段的是（）A．a=10，b=5，c=4，d=7B．C．a=8，b=5，c=4，d=3D．【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．【解答】解：A、从小到大排列，由于5×7≠4×10，所以不成比例，不符合题意；B、从小到大排列，由于×=1×，所以成比例，符合题意；C、从小到大排列，由于4×5≠3×8，所以不成比例，不符合题意；D、从小到大排列，由于×3≠×9，所以不成比例，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．2．下列各组中的四条线段，为成比例线段的是（）A．3，6，12，18B．2，3，4，5C．，，，5D．1，3，5，6【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．【解答】解：A、∵3×18≠6×12，∴四条线段不能成比例线段，故选项错误；B、∵2×5≠4×5，∴四条线段不能成比例线段，故选项错误；C、∵×5=×，∴四条线段能成比例线段，故选项正确；D、∵1×6≠3×5，∴四条线段不能成比例线段，故选项错误．故选：C．【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．3．下列各组中的四条线段a，b，c，d成比例的是（）A．a=，b=3，c=2，d=B．a=4，b=6，c=5，d=10C．a=2，b=，c=2，d=D．a=2，b=3，c=4，d=1【分析】如果两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，我们就说这四条线段叫做成比例线段．【解答】解：A、×3≠×2，故错误；B、4×10≠5×6，故错误；C、2×=×，故正确；D、2×3≠1×4，故错误．故选：C．【点评】考查了比例线段的概念．注意相乘的时候，让最大的和最小的相乘，剩下的两条再相乘，看它们的积是否相等．4．下列四条线段成比例得是（）A．4、6、5、10B．12、8、16、20C．1、D．、2【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．【解答】解：A、从小到大排列，由于4×10≠5×6，所以不成比例，不符合题意；B、从小到大排列，由于8×20≠12×16，所以不成比例，不符合题意；C、从小到大排列，由于1×≠×，所以不成比例，不符合题意；D、从小到大排列，由于2×=×，成比例，符合题意．故选：D．【点评】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．5．有四条线段，它们成比例，如果它们的长度分别为5，x，3，2，那么x的值是（）A．B．C．D．【分析】根据题意得5：x=3：2，根据比例的基本性质即可求解．【解答】解：根据题意得5：x=3：2，解得x=．故选：C．【点评】本题主要考查比例线段的定义．注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解．6．数b是数a和数c的比例中项，若a=2，c=8，则数b的值为（）A．5B．±5C．4D．±4【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项．【解答】解：∵数b是数a和数c的比例中项，∴b2=ac=16，解得：b=±4，故选：D．【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．7．若，则的值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】先设=k，用k分别表示出x，y，z，进而代入解答即可．【解答】解：设=k，则x=2k，y=7k，z=5k，把x=2k，y=7k，z=5k代入，故选：B．【点评】此题考查比例的性质，关键是设=k解答．8．若，则的值为（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质解答即可．【解答】解：因为，所以b=，把b=代入则=，故选：B．【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质代入解答．9．已知线段a=2，线段b=8，线段c是a和b的比例中项，则c等于（）A．2B．4C．±4D．8【分析】根据比例中项的定义得到c2=ab，然后利用算术平方根的定义求c的值．【解答】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，∴c2=ab=2×8=16，∴c=4．故选：B．【点评】本题考查了比例线段，熟记比例中项的定义是解题的关键，要注意线段的长度是正数．10．已知2x=3y（y≠0），则下列式子错误的是（）A．B．=C．D．【分析】直接利用比例的基本性质分别分析得出答案．【解答】解：A、∵2x=3y，∴=，故此选项正确，不合题意；B、∵2x=3y，∴=，故此选项正确，不合题意；C、∵2x=3y，∴=，故此选项正确，不合题意；D、由2x=3y，无法得到=，故此选项错误，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．11．若=，则的值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】依据=，即可得到x=y，代入进行计算化简即可．【解答】解：∵=，∴x=y，∴===3，故选：C．【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．12．给出下列各组线段，其中成比例线段是（）A．a=2cm，b=4cm，c=6cm，d=8cmB．a=cm，b=cm，c=cm，d=cmC．a=cm，b=cm，c=cm，d=2cmD．a=2cm，b=cm，c=2cm，d=cm【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、2×8≠4×6，故选项错误；B、×≠×，故选项错误；C、×2≠×，故选项错误；D、2×=×2，故选项正确．故选：D．【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．13．在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5cm，则它的实际长度约为（）A．0.2km B．2km C．20km D．200km【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．【解答】解：设这条道路的实际长度为x，则：=，解得x=200000cm=2km．∴这条道路的实际长度为2km．故选：B．【点评】本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换．14．已知2x=3y=6z=﹣2017，则x+y+z+2017是（）A．正数B．零C．负数D．无法确定【分析】根据题意先求得x，y，z的值，再代入即可得出答案．【解答】解：∵2x=3y=6z=﹣2017，∴x=﹣1008，y=﹣672，z=﹣336，∴x+y+z+2017=﹣1008﹣672﹣336+2017=0．故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，有理数的加法，求得x，y，z的值是解题的关键．15．已知===k，则k=（）A．B．2C．﹣1D．2或﹣1【分析】根据题意得出两种情况，当a+b+c≠0时，当a+b+c=0时，分别求出k 即可．【解答】解：===k，b+c=ak，c+a=bk，a+b=ck，即2a+2b+2c=（a+b+c）k，当a+b+c≠0时，k=2，当a+b+c=0时，k===﹣1，故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，能求出符合的两种情况是解此题的关键．16．若a：b：c=3：5：7，且3a+2b﹣4c=9，则a+b+c的值等于（）A．﹣3B．﹣5C．﹣7D．﹣15【分析】根据比例设a=3k，b=5k，c=7k，然后代入等式求出k的值，从而得到a、b、c的值，然后相加计算即可得解．【解答】解：∵a：b：c=3：5：7，∴设a=3k，b=5k，c=7k，代入3a+2b﹣4c=9得，9k+10k﹣28k=9，解得k=﹣1，所以，a=﹣3，b=﹣5，c=﹣7，所以，a+b+c=（﹣3）+（﹣5）+（﹣7）=﹣15．故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．二．填空题（共5小题）17．已知有三条长度分别为1cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段．使这四条线段成比例，求所添线段的长度32cm或2cm或0.5cm．【分析】根据四条线段成比例可得1：4=8：d、4：8=1：d、8：1=4：d，分别求出d即可得．【解答】解：根据题意，得：当1：4=8：d时，解得：d=32；当4：8=1：d时，解得：d=2；当8：1=4：d时，解得：d=0.5；则所添线段的长度为32cm或2cm或0.5cm，故答案为：32cm或2cm或0.5cm．【点评】本题考查比例线段，解题的关键是找出所有成比例得情况分别求解．18．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，则AC的长为或或．【分析】根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC三种情况，分别代入AB=2，BC=3进行计算可得结论．【解答】解：∵△ABC是比例三角形，且AB=2，BC=3，①当AB2=BC•AC时，得：4=3AC，解得：AC=；②当BC2=AB•AC时，得：9=2AC，解得：AC=；③当AC2=AB•BC时，得：AC2=6，解得：AC=（负值已舍去）；∴当AC=或或时，△ABC是比例三角形．故答案为：或或．【点评】本题主要考查比例线段，解题的关键是理解比例三角形的定义．19．如果a=25cm，b=10cm，且b是a和c的比例中项，则c=4cm．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，所以b2=ac，即102=25c，解得c=4．故答案为：4．【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．20．若，则的值为﹣1．【分析】直接利用比例的性质得出x，y之间的关系进而得出答案．【解答】解：∵，∴2y=3x，则y=x，则==﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数代替另一未知数是解题关键．21．已知a：b：c=3：4：5，则=﹣1【分析】直接用同一未知数表示出各数，进而代入原式求出答案．【解答】解：∵a：b：c=3：4：5，∴设a=3x，b=4x，c=5x，故===﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键．三．解答题（共19小题）22．已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？（1）a=16cm b=8cm c=5cm d=10cm（2）a=8cm b=5cm c=6cm d=10cm．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【解答】解：（1）∵8×10=80，16×5=80，∴能够成比例；（2）∵8×6=48，10×5=50，∴不能够成比例．【点评】考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．23．已知四条线段a=4cm，b=5cm，c=2cm，d=10cm，试判断它们是否成比例？【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【解答】解：∵四条线段a=4cm，b=5cm，c=2cm，d=10cm，4×5=20，2×10=20，∴四条线段能够成比例．【点评】考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．24．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足，a+b+c=12，试判断△ABC的形状．【分析】设=k，表示a、b、c的长，代入a+b+c=12中，计算k 的值，可得三边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．【解答】解：△ABC是直角三角形，理由是：设=k，则a=2k﹣2，b=3k﹣4，c=4k﹣9，∵a+b+c=12，∴2k﹣2+3k﹣4+4k﹣9=12，k=3，∴a=4，b=5，c=3，∴a2+c2=42+32=25=b2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了比例的性质、勾股定理的逆定理，设参数表示三边的长是关键，熟练掌握勾股定理的逆定理．25．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．【分析】根据等式的性质，可用x表示a，b，c，根据解方程，可得答案．【解答】解：设=x，得a=4x，b=5x，c=7x．∵a+b+c=48，∴4x+5x+7x=48，解得x=3，∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21．【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出a=4x，b=5x，c=7x是解题关键．26．已知，求的值．【分析】利用已知用同一未知数表示出a，b的值，再代入化简即可．【解答】解：∵，∴设a=2x，b=3x，则原式=﹣=﹣=﹣1+4=3．【点评】此题主要考查了比例的性质以及分式的加减运算，正确把已知代入是解题关键．27．已知非零实数a，b，c满足==，且a+b=34，求c的值．【分析】设比值为k（k≠0），用k表示出a、b、c，然后代入等式求出k的值，再求解即可．【解答】解：设===k（k≠0），则a=5k，b=12k，c=13k，∵a+b=34，∴5k+12k=34，解得k=2，所以，c=13k=13×2=26．【点评】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．28．已知：．求k值．【分析】当a+b+c=0时容易求得；当a+b+c≠0时，依据等比性质即可求解．【解答】解：当a+b+c=0时，a=﹣（b+c），因而k===﹣1；当a+b+c≠0时，k==．故k的值是﹣1或．【点评】本题主要考查了等比性质，在运用等比性质时，条件是：分母的和不等于0．29．已知==，且3a﹣2b+c=9，求2a+4b﹣3c的值．【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k的值，从而得到a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：设===k（k≠0），则a=5k，b=7k，c=8k，代入3a﹣2b+c=9得，15k﹣14k+8k=9，解得k=1，所以，a=5，b=7，c=8，所以，2a+4b﹣3c=2×5+4×7﹣3×8=10+28﹣24=14．【点评】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．30．若=，且3x+2y﹣z=14，求x，y，z的值．【分析】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入等式求出k的值，从而得解．【解答】解：设===k（k≠0），则x=2k，y=3k，z=5k，代入3x+2y﹣z=14得，6k+6k﹣5k=14，解得k=2，所以，x=2×2=4，y=3×2=6，z=5×2=10．【点评】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．31．已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【分析】（1）利用a：b：c=3：2：6，可设a=3k，b=2k，c=6k，则3k+2×2k+6k=26，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；（2）根据比例中项的定义得到x2=ab，即x2=4×6，然后根据算术平方根的定义求解．【解答】解：（1）∵a：b：c=3：2：6，∴设a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；（2）∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，∴x2=4×6，∴x=2或x=﹣2（舍去），即x的值为2．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．32．已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比．（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？【分析】（1）根据a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b的值；（2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得=，再根据c=12dm=120cm，即可得出线段d的长；（3）根据b2=3600，ac=30×120=3600，可得b2=ac，进而得出b是a和c的比例中项．【解答】解：（1）∵a=0.3m=30cm；b=60cm，∴a：b=30：60=1：2；（2）∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴=，∵c=12dm=120cm，∴=，∴d=240cm；（3）是，理由：∵b2=3600，ac=30×120=3600，∴b2=ac，∴b是a和c的比例中项．【点评】本题主要考查了成比例线段，判段四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可；求线段之比时，要先统一线段的长度单位．33．如图，已知=，AD=6.4cm，DB=4.8cm，EC=4.2cm，求AC的长．【分析】根据=，可以先求出AE的长，即可得到AC的长．【解答】解：∵=，∴=，解得：AE=5.6cm．则AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8cm．【点评】本题主要考查了比例的基本性质，在比例式中，已知三个就可求得第四个的量．34．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AD=9，BD=4，且CD是AD与BD的比例中项，求△ABC的面积．【分析】直接利用比例中项的定义得出CD的长，进而利用三角形面积公式得出答案．【解答】解：∵CD⊥AB于D，AD=9，BD=4，且CD是AD与BD的比例中项，∴CD2=AD•BD=36，∴CD=6，∴△ABC的面积为：×6×（9+4）=39．【点评】此题主要考查了比例线段以及三角形的面积，正确得出CD的长是解题关键．35．如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC=AD：CD，求证：+=．【分析】由已知条件得到=，即=，两边同除以AC，即可得到结论．【解答】证明：∵=，∴=，即=，∴﹣1=1﹣，∴+=．【点评】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．36．如果一个矩形的宽与长的比值为，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．【分析】根据黄金分割设出矩形BCFE的长和宽，然后表示出矩形ABCD的宽，再求出宽与长的比值即可得证．【解答】解：原矩形ABCD是为黄金矩形．理由如下：设矩形BCFE的长BC为x，∵四边形BCFE为黄金矩形，∴宽FC为x，∵四边形AEFD是正方形，∴AB=x+x=x，则==，∴原矩形ABCD是为黄金矩形．【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，要熟记黄金分比．37．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比值，被称为黄金分割数．我国著名数学家华罗庚普及并做出重要贡献的优选法中有一种0.618法也应用了黄金分割数．定义：点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点（如图1）．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，则可得到AD=BD=BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2=CD•AC，于是有AD2=CD•AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，由（1）的结论得到x2=1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．【解答】（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD•AC，∴AD2=CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD•AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．38．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE=BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．【分析】连接EC，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理证明△CEB∽△ACB，得到，根据黄金分割的概念证明结论．【解答】解：点E是线段AB的黄金分割点．证明如下：连接EC，∵DE是AC的垂直平分线，∴EA=EC，又∵AE=BC，∴EC=BC，∴∠BEC=∠B，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠BEC=∠ACB，又∠B=∠B，∴△CEB∽△ACB，∴，即BC2=BE•AB，又∵AE=BC，∴AE2=BE•AB，即点E是线段AB的黄金分割点．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．39．已知：如图，线段AB=2，BD⊥AB于点B，且BD=AB，在DA上截取DE=DB．在AB上截取AC=AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．【分析】在直角△ABD中根据勾股定理计算出AD=，则AE=AD﹣DE=﹣1，再利用画法得到AC=AE=﹣1，即AC=AB，然后根据黄金分割的定义得到点C就是线段AB的黄金分割点．【解答】证明：∵AB=2，BD=AB，∴BD=1．∵BD⊥AB于点B，∴AD==，∴AE=AD﹣DE=﹣1，∴AC=AE=﹣1，∴AC=AB，∴点C就是线段AB的黄金分割点．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．40．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）求证：BC2=AC•CD；（2）求∠ABD的度数．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，∴AD=，∵AB=AC=1，∴CD==．∴BC2=（）2==，AC﹒CD==．∴BC2=AC﹒CD．（2）∵BC2=AC﹒CD，∴=．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴==1，∠DBC=∠A．∴BD=BC=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x°，则∠ABD=∠DBC=x°，∠C=∠BDC=2x°．∵∠DBC+∠BDC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180，解得x=36．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．。
23.1.2 平行线分线段成比例知识点 1 平行线分线段成比例1．如图23－1－3，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，根据平行线分线段成比例，可得AB BC ＝()() ，若AB ＝5，BC ＝10，DE ＝4，可得()()＝()()，解得EF ＝________．图23－1－32．如图23－1－4，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD 和BC 上，AB ∥EF ∥DC ，且DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，则FB 的长为( )A.32B.83C ．5D ．6图23－1－43．如图23－1－5，若AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .若AB ＝BC ，则DE 与EF ________(填“相等”或“不相等”)．图23－1－54．如图23－1－6，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上一点，EF ∥BC 交CD 于点F .若AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，则FC ＝________．图23－1－65．如图23－1－7，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .如果AB ＝6，BC ＝10，那么DEDF的值是________．图23－1－76．［教材练习第1题变式］如图23－1－8，直线a ∥b ∥c .(1)若AC ＝6 cm ，EC ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，则线段DF 的长度是多少厘米？ (2)若AE ∶EC ＝5∶2，DB ＝5 cm ，则线段DF 的长度是多少厘米？图23－1－8知识点 2 平行线分线段成比例的推论7．［2016·兰州改编］如图23－1－9，在△ABC 中，因为DE ∥BC ，所以AD BD ＝（ ）（ ）.若AD BD ＝23，则AD BD ＝（ ）（ ）＝________．图23－1－98．如图23－1－10，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C ，直线DF 与l 1，l 2，l 3分别交于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG ＝2，GB ＝1，BC ＝5，则DEEF的值为( )A. 12 B ．2 C. 25 D. 35图23－1－109．如图23－1－11，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于点D，E，则下列比例式不正确的是( )A.ABAD＝ACAEB.ABAC＝ADAEC.ADBD＝AEECD.ABDE＝ACEC图23－1－1110．如图23－1－12，若AB∥DC，AC，BD相交于点E，且AE＝2，EC＝3，BD＝10，则ED ＝________．图23－1－1211．如图23－1－13，在△ABC中，DE∥BC，且DB＝AE.若AB＝5，AC＝10，求AE的长．图23－1－1312．如图23－1－14，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝10，那么BC的长为________．图23－1－1413．如图23－1－15，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝________cm.图23－1－1514. 如图23－1－16，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于点F，则CFAF＝__________．15．如图23－1－17，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，BC＝8，求CF的长．图23－1－1716．如图23－1－18，BE平分∠ABC，DE∥BC交AB于点D，AC＝8，AB＝9，CE＝4，求DE的长．图23－1－1817．对于平行线，我们有这样的结论：如图23－1－19①，AB∥CD，AD，BC交于点O，则AODO＝BOCO.请你利用该结论解答下列问题：如图②，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．图23－1－19教师详答1．DE EF 5 10 4 EF 8 2．B [解析] ∵AB ∥EF ∥DC ，∴DE DA ＝CF CB .∵DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，∴35＝4CB ，∴CB ＝203，∴FB ＝CB －CF ＝203－4＝83.故选B.3．相等 [解析] 因为AD ∥BE ∥CF ，所以AB BC ＝DEEF.因为AB ＝BC ，所以DE ＝EF . 4. 214 [解析] 因为AD ∥EF ∥BC ，所以AE EB ＝DF FC .因为AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，所以26＝7－FC FC ，所以FC ＝214. 5 . 38 [解析] ∵AD ∥BE ∥FC ，∴AB BC ＝DE EF.又∵AB ＝6，BC ＝10，∴DE EF ＝35，∴DE DF ＝38.6．解：(1)∵a ∥b ∥c ，∴BD DF ＝ACEC，即8DF ＝64，解得DF ＝163(cm)． 故线段DF 的长度是163 cm.(2)∵a ∥b ∥c ，∴BF DF ＝AE EC ＝52，即5＋DF DF ＝52，解得DF ＝103(cm)． 故线段DF 的长度是103 cm.7．AE EC AE EC 238．D [解析] ∵AG ＝2，GB ＝1，∴AB ＝AG ＋GB ＝3.∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝35.故选D.9．D 10.611．解：∵DE ∥BC ，∴AB DB ＝ACEC，∴5AE ＝1010－AE ，∴AE ＝103. 12． [解析] ∵AB ∥CD ∥EF ，∴BC BE ＝AD AF ，即BC 10＝35，解得BC ＝6.13． 12 [解析] 如图，过点A 作AE BD 于点D .∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴AB BC ＝AD DE ，即4BC ＝26，∴BC ＝12(cm)．14． 2 [解析] 如图，过点D 作∥，交于点G ， 则AF FG ＝AE ED ，FG GC ＝BDDC.又∵E 为AD 的中点，AD 为△ABC 的中线， ∴AE ＝ED ，BD ＝DC ， ∴AF FG ＝AE ED ＝1，FG GC ＝BD DC＝1， ∴AF ＝FG ，FG ＝GC ， ∴CF ＝2AF ，∴CF AF＝2. 15．解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝46＝23. ∵DF ∥AC ，∴AD AB ＝CF BC ＝23，∴CF 8＝23，∴CF ＝163. 16．解：∵DE ∥BC ， ∴AB DB ＝AC CE， ∴9DB ＝84，∴DB ＝92. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE . ∵DE ∥BC ，∴∠CBE ＝∠DEB ， ∴∠ABE ＝∠DEB ，∴DE ＝DB ＝92.17．解：过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E, 则 BD DC ＝ADDE.又∵BD ＝2DC ，AD ＝2, ∴DE ＝1. ∵CE ∥AB ，∴∠AEC ＝∠BAD ＝75°.又∵∠CAD＝30°，∴∠ACE＝75°，∴AC＝AE＝AD＋DE＝3.。
第23章 图形的相似 23．1 成比例线段 23． 成比例线段1．__形状__一样，__大小__不一定一样的图形叫做相似图形．2．对于给定的四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如a b ＝cd (或a ∶b ＝c ∶d )，那么，这四条线段叫做__成比例线段__，简称比例线段．此时也称这四条线段__成比例__．3．判断四条线段是否为比例线段要注意两点：(1)单位要__统一__；(2)线段长度的大小要__排序__．4．四条线段a ，b ，c ，d ，如果a b ＝cd ，那么__ad ＝bc __；如果ad ＝bc (a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么__a b ＝cd__．知识点1：线段的比1．延长线段AB 到C ，使得BC ＝12AB ，那么AC ∶AB ＝( C )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶32．美是一种感觉，，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l ，为尽可能到达好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( C )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm3．一个矩形的一边长a ＝15 cm ，另一边长b ＝6 dm ，那么a b ＝__14__．知识点2：成比例线段4．以下各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( C )A ．3，5，7，9B ．2，5，6，8C ．3，6，9，18D ．1，3，4，75．线段a ，b ，c ，d 成比例，a ∶b ＝c ∶d ，且a ＝3 cm ，b ＝12 cm ，d ＝18 cm ，那么c ＝__92__cm.知识点3：比例的根本性质6．ad ＝bc ，那么以下比例式不成立的是( C )A.a b ＝c dB.a c ＝b dC.a d ＝c bD.b a ＝d c7．5x ＝4y ，那么以下比例式成立的是( C ) A.x 5＝4y B.x 5＝y 4 C.x 4＝y 5 D.x y ＝548．(1)x y ＝83，那么x －y y ＝__53__，x ＋y y ＝__113__，x －y x ＋y ＝__511__；(2)a b ＝bc，且a ＝4 cm ，c ＝3 cm ，那么b ＝__23_cm __． 9．如图，AD DB ＝AEEC，AD ＝3 cm ，DB ＝5 cm ，EC ＝ cm ，求AC 的长．解：∵AD DB ＝AE EC ，AD ＝3 cm ，DB ＝5 cm ，EC ＝ cm ，∴35＝错误!，∴AE ＝错误!＝(cm )，∴AC ＝AE ＋EC ＝＋＝12(cm )10．以下各式的推论中，不正确的选项是( D ) A.a b ＝c d ⇒ax bx ＝cd (x ≠0) B.a b ＝c d ⇒ac bd ＝a 2b 2 C.a b ＝c d ⇒a ±b b ＝c ±d d D.a b ＝c d ⇒a ±1b ＝c ±1d11．对于线段a ，b ，如果a ∶b ＝2∶3，那么以下四个选项一定正确的选项是( D ) A ．2a ＝3b B ．b －a ＝1 C.a ＋b b ＝52 D.a a －b＝－212．北京到上海的空中距离约为1084公里，在一张比例尺为1∶20 000 000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于( A )A ．一根火柴的长度B ．一根钢笔的长度C ．一支铅笔的长度D ．一根筷子的长度13．如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，点E ，F 分别为AB ，CD 的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，那么a ∶b 等于( A )A.2∶1 B ．1∶ 2 C.3∶1 D ．1∶ 314．判断以下线段是否成比例，假设成，请写出比例式． (1)a ＝2 m ，b ＝6 m ，c ＝ cm ，d ＝ cm ；(2)a ＝7 cm ，b ＝4 cm ，c ＝d ＝27 cm ； (3)a ＝ cm ，b ＝ cm ，c ＝ cm ，d ＝ cm ； (4)a ＝20 mm ，b ＝8 m ，c ＝28 m ，d ＝7 cm.解：(1)成比例，a ∶b ＝c ∶d (2)成比例，a ∶c ＝d ∶b (3)不成比例 (4)成比例，a ∶b ＝d ∶c15．如图，假设点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB ＝10，AP BP ＝AQBQ＝32，求线段PQ 的长．解：设AP ＝3x ，BP ＝2x ，∵AB ＝10，∴AB ＝AP ＋BP ＝3x ＋2x ＝5x ，即5x ＝10，∴x ＝2，∴AP ＝6，BP ＝4，∵AQ BQ ＝32，设BQ ＝y ，那么AQ ＝AB ＋BQ ＝10＋y ，∴10＋y y ＝32，解得y ＝20，∴PQ ＝PB ＋BQ ＝4＋20＝2416．(1)a －b a ＋b ＝15，求式子a b ，a ＋2ba －b 的值；(2)a ＋b ＋c ＝60，且a 3＝b 4＝c5，求a ，b ，c 的值．解：(1)设a －b ＝k ，a ＋b ＝5k (k ≠0)，那么a ＝3k ，b ＝2k ，∴a b ＝3k 2k ＝32，a ＋2b a －b ＝3k ＋4k3k －2k ＝7k k＝7 (2)设a 3＝b 4＝c5＝k ，那么a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，∵a ＋b ＋c ＝60，∴3k ＋4k ＋5k ＝60，∴k ＝5，∴a ＝15，b ＝20，c ＝2517．三个数3，2，6，请你再添上一个数x 使它们能构成一个比例式，请求出x 的值，并写出相应的比例式．解：假设x 是最大数，由3x ＝26，得x ＝22，比例式为32＝622；假设x 是最小数，由6x ＝23，得x ＝2，比例式为22＝36；假设x 不是最大数也不是最小数，由2x ＝3×6，得x ＝322，比例式为2∶3＝6∶322平行线分线段成比例1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__成比例__．(简称“平行线分线段__成比例__〞)2．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段__成比例__．知识点1：平行线分线段成比例1．如图，AB ∥CD ∥EF ，那么以下结论不正确的选项是( C ) A.AC CE ＝BD DF B.AC AE ＝BD BF C.BD CE ＝AC DF D.AE CE ＝BF DF,第1题图),第2题图) ,第3题图)2．如图，AB ∥CD ∥EF ，那么以下结论正确的选项是( A )A.AD DF ＝BC CEB.BC CE ＝DF ADC.CD EF ＝BC BED.CD EF ＝AD AF3．如图，直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，那么BF 等于( B )A ．7B ．C ．8D ．知识点2：平行于三角形一边的直线的性质4．在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，那么以下结论不正确的选项是( D )A.AD DB ＝AE ECB.AB DB ＝AC ECC.AD AB ＝AE ACD.AD DB ＝AC BC5．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC .AE ＝6，AD DB ＝34，那么EC 的长是( B )A ．B ．8C ．D ．14,第5题图) ,第6题图) ,第7题图)6．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，假设AD ∶AB ＝3∶4，AE ＝6，那么AC 等于( D )A ．3B ．4C ．6D ．87．如图，AB ∥CD ，AD ，CB 相交于点O ，且OB ＝12CO ，AD ＝12，那么OA ＝__4__．8．如图，EG ∥BC ，GF ∥DC ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．解：∵EG ∥BC ，∴AE EB ＝AG GC .又∵GF ∥DC ，∴AG GC ＝AF FD .∴AE EB ＝AF FD ，即32＝6FD.∴FD ＝4.∴AD ＝109．在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是三角形的角平分线，DE ∥AB 交AC 于点E .求证：AE ＝EC ＝DE .解：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴BD ＝CD ，∠ADC ＝90°.又DE ∥AB ，∴BD DC ＝AEEC，∴AE ＝EC.∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B.又∵∠B ＝∠C ，∴∠EDC ＝∠C ，∴ED ＝EC ，∴AE ＝EC ＝DE10．(2021·包头)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AD ＝2BD ，那么CFBF的值为( A )A.12B.13C.14D.23,第10题图) ,第11题图)11．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，另两条直线分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C 及点D ，E ，F ，且AB ＝3，DE ＝4，EF ＝2，那么( D )A ．BC ∶DE ＝1∶2B ．BC ∶DE ＝2∶3 C ．BC ·DE ＝8D ．BC ·DE ＝612．如图，AB ∥CD ，直线CA ，DB 相交于点E ，假设EA ＝AC ，那么__EB ＝BD 或EB ＝12E D 或BD ＝12ED __．(填其中一个结论即可) 13．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD ＝2，过点D 作DE ∥BC 交边AC 所在直线于点E ，那么CE 的长为__6或12__．14．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DB ＝AE ，AB ＝5，AC ＝10，求线段AE 的长．解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AEAC ，∵AE ＝BD ，∴AD ＝AB －BD ＝AB －AE.又∵AB ＝5，AC ＝10，∴5－AE 5＝AE 10，∴AE ＝10315．如图，在▱ABCD 中，EF 交AB 的延长线于点E ，交BC 于点M ，交AC 于点P ，交AD 于点N ，交CD 的延长线于点F .求证：PE ·PM ＝PF ·PN .解：在▱ABCD 中，AB ∥CD ，∴AE ∥CF ，∴PE PF ＝PAPC .又∵在▱ABCD 中，BC ∥AD ，∴PN PM ＝PA PC ，∴PE PF ＝PN PM，∴PE ·PM ＝PF·PN16．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点，连接BE ，DF 交AC 于G ，H 点．求证：AG ＝GH ＝HC .解：∵点E ，F 是▱ABCD 对边AD ，BC 的中点，∴DE ∥BF ，且DE ＝BF ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BE ∥DF.在△ADH 中，EG ∥DH ，∴AE ED ＝AGGH .又点E 是AD 的中点，∴AE ＝ED.∴AG ＝GH.同理，在△BCG 中，GH ＝HC.∴AG ＝GH ＝HC17．如图，AC ⊥AB 于点A ，DB ⊥AB 于点B ，OC ＝OD ，连接OA ，OB .求证：OA ＝OB .解：过点O 作OH ⊥AB 于点H ，∵AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴AC ∥OH ∥BD ，∴AH BH ＝OCOD ，∵OC ＝OD ，∴AH ＝BH ，∵OH ⊥AB ，∴OA ＝OB。
23.1 成比例线段1.成比例线段1.下列各组线段:①a=1,b=3,c=4,d=5;②a=1,b=3,c=3,d=9;③b=④其中a,b,c,d是比例线段的有( B )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.若( D )3.如果三角形的三边a,b,c满足且三角形的周长是24 cm,那么a,b,c的长度分别是( B )(A)5 cm,9 cm,10 cm (B)6 cm,8 cm,10 cm(C)8 cm,6 cm,10 cm (D)10 cm,8 cm,6 cm4.如果≠0,y≠±5),则下列各式错误的是( D )(A)5x=3y (B)5.若( C )(A)6 (D)不确定6.已知a∶b∶c=3∶4∶5,则7.(易错题)已知三条线段的长是1,,2,请你再添上一条线段,使这四条线段成比例,8.如图所示是BC的中点,则线段BF的长为 2.88 cm.9.计算:(1)已知:3x-5y=0,求;(2).解:(1)因为3x-5y=0,所以3x=5y,所以所以(2)所以b=5a,则10.(拓展探究题)已知△ABC三边a,b,c满足(a-c)∶(a+b)∶b=-2∶7∶4,且a+b+c=24.(1)求a,b,c的值;(2)判断△ABC的形状.解:(1)设a-c=-2k,a+b=7k,b=4k,把b=4k代入a+b=7k,得a=3k,把a=3k代入a-c=-2k,得c=5k,因为a+b+c=24,所以3k+4k+5k=24,解得k=2,所以a=6,b=8,c=10.(2)因为a2+b2=62+82=100=102=c2,所以△ABC是直角三角形.。
1 成比例线段一、选择题（1）若已知fe d c b a ==，则下列式子中正确的是（ ） A ．f e d b c a == B ．fe d c b a 111+=+=+ C ．f d b e c a f e d c b a ++++=++ D ．f f e d d c b b a +=+=+ （2）AB 两地的实际距离250=AB m ，画在一张图上的距离5=''B A cm ，则图上的距离与实际距离的比是（ ）A ．5∶50B ．50∶5C ．1∶5000D ．5000∶1（3）已知cm 3,cm 2==b a ，则)(b a b a +、、的第四比例项是（ ）A ．5 cmB ．56 cm C ．65 cm D ．215 cm 二、填空题（1）如果35=+a b a ，那么____=ba ． （2）如果cm 4,m 2.0==b a ，则________:=b a ．（3）若2,3,2===c b a ，则c 、b 、a 的第四比例项是_________．（4）若6,3==b a ，请再写出一条线段的长，使它与a 、b 这三条线段中的一条是另外两条的比例中项，则这条线段长为________．（5）如果0,572≠==xyz z y x ，则____3=-++y x z y x ． 三、解答题1．分别用厘米和毫米作为长度单位，量一量数学课本的长和宽，并计算长与宽的比，这两个比值相等吗？2．如果两地相距200 km ，那么在1∶10 000 000的地图上它们之间的距离是多少？3．图纸上一个零件的长是23 mm ，比例尺是1∶20，你能算出这个零件的实际长度吗？4．在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，若︒=∠45A ，求AC BC :和AB BC :．5．任意作一个等边三角形，它的高与边长的比是多少？参考答案一、选择题（1）D （2）C （3）D二、填空题（1）23 （2）5∶1 （3）26 （4）23，23，12 （5）－14 三、解答题1．比值略，两个比值相等．2．2 cm ．3．460 mm ．4．1∶1，2:1．5．2:3．。
第23章 图形的相似23.1.1 成比例线段知识点 1 线段的比1．已知线段a ＝20 cm ，b ＝30 cm ，则a ∶b ＝________，b ∶a ＝________．2．已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA ＝3AB ，则线段CA 与线段CB 的比为( )A ．3∶4B ．2∶3C ．3∶5D ．1∶23．如图23－1－1，C 是线段AB 的中点，点D 在BC 上，AB ＝24 cm ，BD ＝5 cm.(1)AC ∶CB ＝________，AC ∶AB ＝________；(2)BC BD ＝______，CD AB ＝________，AD CD＝______．图23－1－1知识点 2 成比例线段的概念4．线段a ＝8 cm ，b ＝30 cm ，c ＝10 cm ，d ＝24 cm 中，最短两条线段的比a ∶c ＝________，最长两条线段的比d ∶b ＝________，所以这四条线段________成比例线段(填“是”或“不是”)．5．下列各组中的四条线段，是成比例线段的是( )A ．3 cm ，6 cm ，12 cm ，18 cmB ．2 cm ，3 cm ，4 cm ，5 cm C. 2 cm ，10 cm ， 5 cm ，5 cmD ．5 cm ，2 cm ，3 cm ，6 cm6．判断下列线段是不是成比例线段，若是，请写出比例式．(1)a ＝7 cm ，b ＝4 cm ，c ＝d ＝2 7 cm ；(2)a ＝20 mm ，b ＝8 m ，c ＝28 m ，d ＝7 cm.知识点 3 比例的基本性质7．已知a b ＝c d ，若其中a ＝5 cm ，b ＝3 cm ，c ＝2 cm ，则可列比例式（ ）（ ）＝（ ）（ ），根据比例的基本性质，可得________，所以线段d ＝________ cm.8．已知x y ＝79，那么下列等式一定成立的是( ) A ．x ＝97y B ．7y ＝9x C ．7x ＝9y D ．xy ＝639．若2x ＝5y ，则下列式子中错误的是( )A. y x ＝25B. x －y y ＝32C. x ＋y x －y ＝73D. y －x x ＝3510. 画在图纸上的某一零件长3.2 cm ，若比例尺是1∶20，则该零件的实际长度是__________．11．已知c 4＝b 5＝a 6≠0，则b ＋c a的值为________． 12．已知a b ＝43，求a ＋b b 和a －b a的值．13. 等腰直角三角形斜边上的高与腰的长度之比是( ) A.2∶1 B．1∶2C ．2∶ 2D ．1∶ 214．已知三个数2，2，4.若再添加一个数，就得到这四个数成比例，则添加的数是( )A ．2 2B ．2 2或22 C ．2 2，4 2或8 2 D ．2 2，22或4 2 15．若a b ＝c d ，则下列各式一定成立的有( )①a ＋b b ＝c ＋d d ；②a －b b ＝c －d d ； ③a a ＋b ＝c c ＋d ；④a a －b ＝c c －d .A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个16．［教材练习第2题变式］若a 5＝b 3＝c 2，且a －b ＋c ＝8，则a ＝________． 17．已知AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝AC A ′C ′＝2，且△ABC 的周长为18 cm ，求△A ′B ′C ′的周长．18．如图23－1－2，若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB ＝10，AP BP ＝AQ BQ ＝32.求线段PQ 的长．图23－1－219．已知线段a ＝0.3 m ，b ＝60 cm ，c ＝12 dm.(1)求线段a 与线段b 的比；(2)如果a ∶b ＝c ∶d ，求线段d 的长．20．已知x －y x ＋y ＝911，求下列各式的值： (1)x x ＋y ； (2)2x ＋y y －x .21．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足关系式a ＋43＝b ＋32＝c ＋84，且a ＋b ＋c ＝12，则这个三角形的面积是多少？22．阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知x a －b ＝y b －c ＝z c －a (a ，b ，c 互不相等)，求x ＋y ＋z 的值． 解：设x a －b ＝y b －c ＝z c －a＝k(k≠0)，则x ＝k(a －b)，y ＝k(b －c)，z ＝k(c －a)， ∴x ＋y ＋z ＝k(a －b ＋b －c ＋c －a)＝k·0＝0，∴x ＋y ＋z ＝0.依照上述方法解答下面的问题：已知a ，b ，c 为非零实数，且a ＋b ＋c≠0，当a ＋b －c c ＝a －b ＋c b ＝－a ＋b ＋c a 时，求（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc的值．1．2∶3 3∶22. A3．(1)1∶1 1∶2 (2)125 724 1974．4∶5 4∶5 是5．C [解析] 只有C 中210＝55，为成比例线段． 6．[解析] 判断四条线段是不是成比例线段，可根据线段长度的大小关系，从小到大排列，判断较短的两条线段的比是否等于较长的两条线段的比，若比值相等则这四条线段是成比例线段． 解：(1)因为b c ＝42 7＝4×72 7×7＝2 77，d a ＝2 77，所以这四条线段是成比例线段，比例式为b c ＝d a. (2)将线段从小到大排列，得a ＝20 mm ＝0.02 m ，d ＝7 cm ＝0.07 m ，b ＝8 m ，c ＝28 m ．因为a d ＝0.020.07＝27，b c＝828＝27，所以这四条线段是成比例线段，比例式为a d ＝b c. 7．5 3 2 d 5d ＝6 658. B9. D10. 64 cm11. 32 [解析] 设c 4＝b 5＝a 6＝k ，则c ＝4k ，b ＝5k ，a ＝6k ，所以b ＋c a ＝5k ＋4k 6k ＝32. 12．解：由已知可设a ＝4k ，b ＝3k (k ≠0)，∴a ＋b b ＝4k ＋3k 3k ＝7k 3k ＝73， a －b a ＝4k －3k 4k ＝k 4k ＝14. 13． D 14． D [解析] 设这个数是x ，由题意，得 当2∶2＝4∶x 时，则2x ＝4 2，解得x ＝2 2；当2∶4＝x ∶2时，则4x ＝2 2，解得x ＝22； 当2∶2＝x ∶4时，则2x ＝8，解得x ＝4 2. 故选D.15． A16．10 [解析] 由a 5＝b 3＝c 2，得b ＝3a 5，c ＝2a 5，由a －b ＋c ＝8，得a －3a 5＋2a 5＝8， 解得a ＝10.17．解：∵AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝AC A ′C ′＝2， ∴AB ＝2A ′B ′，BC ＝2B ′C ′，AC ＝2A ′C ′.∵AB ＋BC ＋AC ＝18，∴2A ′B ′＋2B ′C ′＋2A ′C ′＝18，∴2(A ′B ′＋B ′C ′＋A ′C ′)＝18，∴A ′B ′＋B ′C ′＋A ′C ′＝9，∴△A ′B ′C ′的周长为9 cm.18．[解析] 根据AP BP ＝AQ BQ ＝32，分别求出BP ，BQ 的长，两者相加即可求出PQ 的长． 解：∵AB ＝10，AP BP ＝AQ BQ ＝32， ∴BP ＝4，BQ ＝20，∴PQ ＝BP ＋BQ ＝24.答：线段PQ 的长为24.19．解：a ＝0.3 m ＝3 dm ，b ＝60 cm ＝6 dm ，c ＝12 dm.(1)a ∶b ＝3∶6＝1∶2.(2)∵a ∶b ＝c ∶d ，∴1∶2＝12∶d ，解得d ＝24(dm)．故线段d 的长是24 dm.20．解：由已知可得9(x ＋y )＝11(x －y )，整理得x ＝10y .(1)xx ＋y ＝10y 10y ＋y ＝10y 11y ＝1011. (2)2x ＋y y －x ＝20y ＋y y －10y ＝21y －9y ＝－73. 21．令a ＋43＝b ＋32＝c ＋84＝k ，则a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8，代入a ＋b ＋c ＝12，可得k ＝3，∴这个三角形的三边长为a ＝5，b ＝3，c ＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴这个三角形为直角三角形，∴S ＝12bc ＝12×3×4＝6. 22．设a ＋b －c c ＝a －b ＋c b ＝－a ＋b ＋c a＝k (k ≠0)， 则a ＋b －c ＝kc ①，a －b ＋c ＝kb ②，－a ＋b ＋c ＝ka ③，由①＋②＋③，得a ＋b ＋c ＝k (a ＋b ＋c )．∵a ＋b ＋c ≠0，∴k ＝1，∴a ＋b ＝2c ，b ＋c ＝2a ，c ＋a ＝2b ，∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc ＝2c ·2a ·2b abc＝8.。
1 成比例线段一、选择题（1）假设已知fe d c b a ==，那么以下式子中正确的选项是（ ） A ．f e d b c a == B ．fe d c b a 111+=+=+ C ．f d b e c a f e d c b a ++++=++ D ．f f e d d c b b a +=+=+ （2）AB 两地的实际距离250=AB m ，画在一张图上的距离5=''B A cm ，那么图上的距离与实际距离的比是（ ）A ．5∶50B ．50∶5C ．1∶5000D ．5000∶1（3）已知cm 3,cm 2==b a ，那么)(b a b a +、、的第四比例项是（ ）A ．5 cmB ．56 cm C ．65 cm D ．215 cm 二、填空题（1）若是35=+a b a ，那么____=ba ． （2）若是cm 4,m 2.0==b a ，那么________:=b a ．（3）假设2,3,2===c b a ，那么c 、b 、a 的第四比例项是_________．（4）假设6,3==b a ，请再写出一条线段的长，使它与a 、b 这三条线段中的一条是另外两条的比例中项，那么这条线段长为________．（5）若是0,572≠==xyz z y x ，那么____3=-++y x z y x ． 三、解答题1．别离用厘米和毫米作为长度单位，量一量数学讲义的长和宽，并计算长与宽的比，这两个比值相等吗？2．若是两地相距200 km ，那么在1∶10 000 000的地图上它们之间的距离是多少？3．图纸上一个零件的长是23 mm ，比例尺是1∶20，你能算出那个零件的实际长度吗？4．在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，假设︒=∠45A ，求AC BC :和AB BC :．5．任意作一个等边三角形，它的高与边长的比是多少？参考答案一、选择题（1）D （2）C （3）D二、填空题（1）23 （2）5∶1 （3）26 （4）23，23，12 （5）－14 三、解答题1．比值略，两个比值相等．2．2 cm ．3．460 mm ．4．1∶1，2:1．5．2:3．。
