第6章实数全章学案

2021届浙江省高考数学一轮学案：第六章补上一课平面向量中的极化恒等式及有关最值（范围）问题含解析平面向量中的极化恒等式及有关最值（范围)问题知识拓展1。

极化恒等式：a·b＝错误![(a＋b)2－（a－b)2］.几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线"与“差对角线”平方差的错误!.2。

平行四边形PMQN,O是对角线交点.则：(1)错误!·错误!＝错误![PQ2－NM2](平行四边形模式）；（2）错误!·错误!＝PO2－错误!NM2（三角形模式）.3。

平面向量中的最值（范围）问题（1）向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围）;(2)向量表达式中字母参数的最值（或范围）.题型突破题型一极化恒等式的应用【例1】（1）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则错误!·错误!＝________。

(2）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则错误!·错误!的取值范围是________。

解析（1）因为M是BC的中点，由极化恒等式得错误!·错误!＝AM2－错误!BC2＝9－错误!×100＝－16.(2）取AB的中点D，连接CD,因为三角形ABC为正三角形,所以O 为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2,所以CD＝3，AB＝23。

又由极化恒等式得错误!·错误!＝PD2－错误!AB2＝PD2－3,因为P在圆O上，所以当P在点C处时，PD max＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，PD min＝1，所以错误!·错误!∈［－2，6]。

答案(1)－16（2)［－2,6］【训练1】（1)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点,则错误!·错误!的值为________.(2）若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则错误!·错误!的最大值为(）A。

第6章《实数》复习学案（一）什么是实数？例1、把下列各数分别填入相应的集合里：2272π∙-1.9.有理数集合：｛｝；无理数集合：｛｝；正实数集合：｛｝；负实数集合：｛｝；（二）怎么运用实数？1.求根（平方根与立方根）(()00⎧+⎧⎪⎪⎨-⎪⎩⎪⎪→⎨⎪→⎪⎪⎩算术平方根）正数算术平方根的相反数平方根负数没有平方根00→+⎧⎪→⎨⎪→-⎩正数立方根负数例2、①36的平方根是；的算术平方根是；②8的立方根是；＝；2.1a bab-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩作差法：与“”的大小比较两个数的大小作商法：与“”的大小平方（立方）法(目的：去根号）例3、比较下列数的大小.（183（2433.找无理数的整数和小数部分.（逼近法）例4a，小数部分为b，求2a b+.4.已知一个数的平方根，求与此数有关的问题.（平方或立方，找原数）例5、已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的平方根为±4，求a+2b的平方根.例6、若一个数的平方根为3x-2和2x+1，求这个数.25am n⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩绝对值“”.非负数根号平方“（)；开平方时，被开方数不能为负数.例6、当x为何值时，下列各式有意义？233p-+-+⑵12x-例7、已知21(2)0a c++=，求2()a b c++的值.6.求未知数的值.例8.求下列各式中x的值.⑴211802x-=⑵21(1)802x--=⑶2x3=-14⑷3(x-1)3-81=0.0.101001000π⎧⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎭⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数分数实数负分数带有“”无理数含有无限不循环小数如7.规律探索问题.例9……⑴写出满足规律的第4、5个式子；⑵写出满足上述各式规律的一般式子.例10、 1.652 5.225,分别求下式中a 的值：⑴a =⑵a =0.1652 522.58.计算问题：2(0)a a = a例11、实数a 、b例12、计算：⑴-⑵233p -+-+练习：一、选择题（每小题3分，共24分）1.在实数,2π,0.123456…, 0(5)π-中，其中无理数的个数是（ ） A .2 B .3C .4D .52.下列各式中，无意义的是（ ）A B C D3.|x －1|+ ）A .±8B .8C .与x 的值无关D .无法确定4.在Rt △ABC 中，∠C =90°,c 为斜边，a 、b 为直角边，则化简2|c －a －b |的结果为（ ）A .3a +b －cB .－a －3b +3cC .a +3b －3cD .2a）A .B .C .D .6.下列各式中，正确的是（ ）A =±5B C 12 D .6÷23 7.以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ）A 、32B 1C D二、填空题的算术平方根是______. 9.那么(x +3)2=______.______的倒数是______. 11.若xy =x －y 1,则(x +1)(y －1)=______.12.|b +2|是互为相反数，则(a －b )2=______. 13.若3a =4b ,的值是______.14.2002·2003=______. 15.若|124a -|+2(1)b -=0，则a =___.b =____16.若,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，则20032008()()a b cd ++=____ 17.已知y =18. 16的算术平方根是 平方根是 .19.探究与发现： 112=121； 1112=12321； 11112=1234321则111112= ；猜想= ；= ；= ；那么= .三.解答题 20.计算：⑴（12）－1－（－1） ⑵（-2）3+12（2004）0-|-12|21.若x 、y 都是实数，且y+8，求x +3y 的立方根. 22.=0，求实数a , b 的值.23.已知2x -1的平方根为±3，3x +y -1的算术平方根为4，求x +2y 的平方根.24.已知a ，5b ，求：⑴a +b 的值；⑵a －b 的值.25.若实数a满足2007,a a -求22007a -的值. 26.a 、b 满足b，求2a b -+.27.已知2x -1的平方根是±6，2x -y -1的算术平方根是5，求2x -3y +11的平方根．28.已知x=a 表示x 是a +b +2的平方根，y=2a b +表示y 是a +2b 的立方根，求a +3b 与4x +y 的和的平方根．⑴由上表你发现了什么规律？请你用语言叙述这规律．=1.517，，30. 1.432 3.7428.561分别求下式中a 143.2 a - 0.8561a31.求下列各式中的x ：⑴2x 2-18=0； ⑵64（x -1）3=125； ⑶4x 2=81；⑷（x -1）3+27=0） ⑸（x -2）2=36 ⑹（2x -1）3=-125．⑺3（x +2）3-81=0．。

《实数》单元教学设计学生在七年级上学期，已经系统学过有理数，对有理数的概念和运算有了较深刻的认识，特别是知道有理数能用数轴上的点来表示、绝对值、相反数以及乘方运算等知识，这些知识是学习实数的初步知识，为木章的学习奠定了良好的基础，使学生具备了继续学习本章知识的基本技能。

同时，七年级学生思维正处于从以具体形象思维为主向以抽象逻辑思维成分为主的转折期，因此，教学中必需留意具体性，形象性，同时还要有适当的抽象概况要求，从而促进学生的思维向高一阶段发展。

（一）教学目标1 .了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根.2 .了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求干以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。

3 .了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值.4 .能用有理数估计一个无理数的大致范围. （二）教学重点、难点 重点： 算术平方根、平方根的概念和求法以及实数的概念。

难点： 平方根和实数的概念。

（一）单元知识结构框架学情分析 单元目标 单元知识结构框架及课时安排版权声明21世纪教育网（以下简称“本网站”）系属深圳市二一教育科技有限责任公司（以下简称“本公司”）旗下网站，为维护本公司合法权益，现依据相关法律法规作出如下郑重声明：一、本网站上所有原创内容，由本公司依据相关法律法规，安排专项经费，运营规划，组织名校名师创作完成的全部原创作品，著作权归属本公司所有.二、经由网站用户上传至本网站的试卷、教案、课件、学案等内容，由本公司独家享有信息网络传播权，其作品仅代表作者本人观点，本网站不保证其内容的有效性，凡因本作品引发的任何法律纠纷,均由上传用户承担法律责任,本网站仅有义务协助司法机关了解事实情况.三、任何个人、企事业单位（含教育网站）或者其他组织，未经本公司许可，不得使用本网站任何作品及作品的组成部分（包括但不限于复制、发行、表演、广播、信息网络传播、改编、汇编、翻译等方式），一旦发现侵权，本公司将联合司法机关获取相关用户信息并要求侵权者承担相关法律责任.四、一旦发现侵犯本网站作品著作权的行为，欢迎予以举报。

七年级数学下册第六章实数复习导学案班级：_________ 座号：______ 姓名：__________一、【复习目标】1.进一步掌握平方根、立方根的有关概念、表示方法和性质。

2.能熟练地进行开平方和开立方运算。

3.增强用类比的方法分析问题的能力。

二、【知识回顾】（一）数的开方： 算术平方根、平方根、立方根是如何定义的? （二）算术平方根、平方根、立方根的区别与联系算术平方根 平方根 立方根表示方法 aa ±3aa 的取值 性 质正数 0 负数是本身的数巩固练习：牛刀一试 填一填1.81的平方根_______；81的算术平方根______.2.81的平方根______；81的立方根________.3.27的立方根_______；—64的立方根________.4.16=______；254-=_______；100±=________. （三）实数: (a)实数的分类_________⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎧⎨⎬⎪⎩⎪⎭⎩______整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________巩固练习：牛刀二试填空：将下列各数分别填入下列的集合括号中33514197,,2,16,8,,,,,5,07493π---，-无理数集合：｛ … ｝ 有理数集合：｛ … ｝ 整数集合：｛ … ｝ 负实数集合：｛ … ｝(b)实数的性质：实数有哪些性质呢？（相反数、倒数、绝对值） 巩固练习：牛刀三试 填一填 (1)5-的相反数是_____,绝对值是_____;没有倒数的实数是______;(2)32-的相反数是_______;绝对值是_________.三、【课堂练习】 (一)判断题(1) 4的算术平方根是±2 (2) 4的平方根是2 (3) 8的立方是2 (4) 无理数就是带根号的数 (5) 不带根号的数都是有理数 (6) －1的立方根是－1（二）选择题1、2(3)-的算术平方根是（ ）A.无意义B.3±C. —3D.3 2、22| 3 |20, 2 x y x xy y -++=-+已知则的值是（）A.1B.5C.25D.不能确定 3、下列运算正确的是（ ） A.336 6 -=- B. 3.60.6= C.()2-1313=- D.366=±（三）填空题 1、化简下列各式： (1)49=______; 2(2)(7)-=______;2(3)5=______; 3(4)27=_______;33(5)3=______; 33(6)(3)-=________;（四）计算题 33(1)1441618+---- (2)223(32)--2(3)(2)21(21)-+--+四、【课堂小结】1、请同学们谈谈这节课你们收获了什么？2、请同学们谈谈这节课你们有什么疑惑？ 五、【作业布置】1、认真复习本节知识点，并完成提高作业2、完成活页P57-58页期中复习（实数）六、【提高升华】1.观察课堂练习中（三）填空题第3题，并完成下面几个基本公式：（注意字母a 的取值范围）2)(a =______ 2a =_______ 33a =_______33)(a =______ 3a -=_______变式1：2330,a a a <+(1)若求的值. 233()m n m n n m <-+-(2)若，求（）的值.2.已知,a b 为两个连续整数，且11a b <<,则a b +=_______3.1,2,0,x y xy x y ==>+=若且则__________.4.点A 在数轴上表示的数为5-，点B 在数轴上表示的数为35，则A ，B 两点的距 离为_________.5.比较下列各组数的大小：(1)3___2--;(2)4____15;(3)13____32; 3(4)26____ 3 11,a a -+6.已知一个数的平方根是2和求这个数。

鸡西市第十九中学学案班级姓名：学科数学课题实数课型新课时间2013年月日人教版七年级下学习目标1.解实数的不同分类法，并能在具体问题中将实数进行正确分类。

2.握实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，并会求一个实数的相反数、倒数、绝对值。

3.了解实数和数轴上的点的一一对应关系。

重点难点实数的分类。

会表示一个实数的相反数、倒数、绝对值。

学习内容【引入】1、填空：（有理数的两种分类）有理数有理数2、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？3 ，35-，478，911，119，59【归纳】任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。

反过来，任何______小数或____________小数也都是有理数通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的_____根和______根都是____________小数， ____________小数又叫无理数， 3.14159265π= 也是无理数。

结论： _______和_______统称为实数像有理数一样，无理数也有正负之分。

π是____无理数，π-是____无理数。

非0有理数和无理数都有正负之分。

想一想：实数可以怎么分类呢？<i>按定义分类：例1、 把下列各数填入相应的集合内：有理数集合{ }无理数集合{ }整数集合{ }分数集合{ }实数集合{ }例2、把下列各数分别填入相应的集合里： 332278,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378π-----正有理数{ }负有理数{ }正无理数{ }负无理数{ }【当堂检测】一、填空题1． 叫无理数， 统称实数．2．______与数轴上的点一一对应．3．把下列各数填入相应的集合：－1、3、π、－3.14、9、26-、22-、7.0 ． （1）有理数集合｛ ｝；（2）无理数集合｛ ｝；（3）正实数集合｛ ｝；（4）负实数集合｛ ｝．4．2的相反数是________；21-的倒数是________；35-的绝对值是________．5．如果一个数的平方是64，那么它的倒数是________．6．比较大小：（1）;233--________（2）.36________1253-- 二、判断正误7．实数是由正实数和负实数组成．（ ）8．0属于正实数．（ ）9．数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）10．如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是0或1．（ ）11．若,2||=x 则2=x （ ）三、选择题12．下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对D ．2是近似值，无法在数轴上表示准确13．下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数14．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（ ）A ．±1B ．0和1C ．0和－1D ．0和±1四、计算题15．32716949+- 16．2336)48(1÷---五、解答题17．天安门广场的面积大约是440000m 2，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到m ）18．38的平方根是______；－12的立方根是______．19．若,2||=x 则x ＝______．20．｜3.14－π｜＝______；=-|2332|______．21．若,5||=x 则x ＝______；若;12||+=x 则x ＝______．22．当a ______时，｜a －2 |＝a －2．23．若实数a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则式子3cd-＝______．+a+b24．在数轴上与1距离是的点2，表示的实数为______．二、选择题25．估计76的大小应在（）A．7～8之间B．8.0～8.5之间C．8.5～9.0之间D．9～10之间26．－27的立方根与81的算术平方根的和是（）A．0B．6C．6或－12D．0或627．实数76.2、和22的大小关系是（）A．77<<26.2226.2<<B．2C．222<6.2<7<D．726.2<28．一个正方体水晶砖，体积为100cm3，它的棱长大约在（）A．4～5cm之间B．5～6cm之间C．6～7cm之间D．7～8cm之间29．如图，在数轴上表示实数15的点可能是（）A．P点B．Q点C．M点D．N点实数练习题班级姓名：一、填空题1．22-的相反数是____________；32-的绝对值是______．2．大于17-的所有负整数是______．3．一个数的绝对值和算术平方根都等于它本身，那么这个数是______．二、选择题4．下列说法正确的是（）A．正实数和负实数统称实数B．正数、零和负数统称为有理数C．带根号的数和分数统称实数D．无理数和有理数统称为实数5．下列计算错误的是（）A ．2)2(33-=-B ．3)3(2=-C ．2)2(33-=--D ．39=三、用计算器计算（结果保留三位有效数字）6．32+7．2)26(-8．652-9．32π5.0+四、计算题10．233)32(1000216-++ 11．23)451(12726-+-12．32)131)(951()31(--+ 13．已知,0|133|22=--+-y x x 求x ＋y 的值．14．已知n m m n A -+-=3是n －m ＋3的算术平方根，322n m B n m +=++是m ＋2n 的立方根，求A －B 的平方根．综合、运用、诊断一、填空题15．如果｜a｜＝－a，那么实数a的取值范围是______．16．已知｜a｜＝3，,2b且ab＞0，则a－b的值为______．17．已知b＜a＜c，化简｜a－b｜＋｜b－c｜＋｜c－a｜＝______．二、选择题18．下列说法正确的是（）A．数轴上任一点表示唯一的有理数B．数轴上任一点表示唯一的无理数C．两个无理数之和一定是无理数D．数轴上任意两点之间都有无数个点19．已知a、b是实数，下列命题结论正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞｜b｜，则a2＞b2C．若｜a｜＞b，则a2＞b2D．若a3＞b3，则a2＞b2拓展、探究、思考20．若无理数a满足不等式1＜a＜4，请写出两个符合条件的无理数______．21．已知a是10的整数部分，b是它的小数部分，求（－a）3＋（b＋3）2的值．一、选择题（共20小题）1、（2009•济宁）山东省地矿部门经过地面磁测，估算济宁磁异常铁矿的内蕴经济资源量为10 800 000 000吨．这个数据用科学记数法表示为（）A、108×108吨B、10.8×109吨C、1.08×1010吨D、1.08×1011吨2、抽查了某校在六月份里5天的日用电量，结果如下：（单位；度）400 410 395 405 390根据以上数据，估算该校六月份的总用电量是（单位；度）（）A、12400B、12000C、2000D、4003、与方程x3﹣9=16的根最接近的是（）A、2B、3C、4D、54、如图在数轴上有O、A、B、C、D五点，根据图中各点所表示的数，判断在数轴上的位置会落在（）A、线段OA上B、线段AB上C、线段BC上D、线段CD上5、数轴上表示的点A的位置应在（）A、2与3之间B、3与4之间C、4与5之间D、7与8之间6、如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数﹣2，1，2，3，则表示的点P应在线段（）A、线段AB上B、线段BC上C、线段CD上D、线段OB上7、如图，数轴上的点P，表示的实数是（）A、﹣B、﹣C、D、﹣8、（2008•淮安）下列各式中，正确的是（）A、2＜＜3B、3＜＜4C、4＜＜5D、14＜＜169、通过估算，下列不等式成立的是（）A、＞3.85B、＜3.85C、＜3.8D、＜210、大于﹣2.5小于的整数有多少个（）A、4个B、5个C、6个D、7个11、（2011•遵义）若a、b均为正整数，且，则a+b的最小值是（）A、3B、4C、5D、612、（2011•徐州）估计的值（）A、在2到3之间B、在3到4之间C、在4到5之间D、在5到6之间13、（2011•天津）估计的值在（）A、1到2之间B、2到3之间C、3到4之间D、4到5之间14、（2011•台湾）下列哪一选项的值介于0.2与0.3之间？（）A、B、C、D、15、（2011•台湾）如图数在线有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，判断在数在线的位置会落在下列哪一线段上（）A、OAB、ABC、BCD、CD16、（2011•黔南州）估计20的算术平方根的大小在（）A、2与3之间B、3与4之间C、4与5之间D、5与6之间17、（2011•大连）实数的整数部分是（）A、2B、3C、4D、518、（2011•本溪）下列整数中与最接近的数是（）A、2B、4C、15D、1619、（2011•安徽）设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A、1和2B、2和3C、3和4D、4和520、（2010•山西）估算的值（）A、在1和2之间B、在2和3之间C、在3和4之间D、在4和5之间二、填空题（共5小题）21、恰有28个连续自然数的算术平方根的整数部分相同（其小数部分不等于零），那么这个相同的整数是_________．22、给出下列关于的判断：①是无理数；②是实数；③是2的算术平方根；④1＜＜2．其中正确的是_________（请填序号）．23、在下图所示的数轴上，用点A大致表示，则点A在数_________和_________之间．24、在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是_________．25、若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是_________．三、解答题（共5小题）26、已知的整数部分为a，b是25的平方根，求ab的值．27、（1）（2）（3）求下列x的值．①x3﹣27=0②（x﹣1）2=4（4）已知：a是的整数部分，b是的小数部分，求a﹣b的值．28、比较下列两个数的大小：（1）；（2）﹣7．29、已知：在数﹣，﹣1.，π，3.1416，，0，42，（﹣1）2n，﹣1.424224222…中，（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“＜”连接．30、写出所有适合下列条件的数：（1）大于小于的所有整数；（2）绝对值小于的所有整数．答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、（2009•济宁）山东省地矿部门经过地面磁测，估算济宁磁异常铁矿的内蕴经济资源量为10 800 000 000吨．这个数据用科学记数法表示为（）A、108×108吨B、10.8×109吨C、1.08×1010吨D、1.08×1011吨考点：科学记数法—表示较大的数；估算无理数的大小。

第三节等比数列及其前n项和［最新考纲］［考情分析］［核心素养]1.理解等比数列的概念。

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系。

等比数列的基本运算,等比数列的判断与证明,等比数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为5~12分.1.数学运算2.逻辑推理‖知识梳理‖1．等比数列的有关概念(1)定义①文字语言：从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!比都等于错误!同一个常数．②符号语言：错误!错误!＝q（n∈N*，q为非零常数)．（2）等比中项：如果a，G,b成等比数列，那么错误!G叫做a 与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G26ab．2．等比数列的有关公式(1）通项公式：a n＝错误!a1q n－1．（2)前n项和公式3．等比数列的性质（1）通项公式的推广:a n＝a m·q n－m（m，n∈N＊）．（2）对任意的正整数m,n，p，q，若m＋n＝p＋q，则错误!a m·a n ＝错误a p·a q．特别地，若m＋n＝2p,则a m·a n＝a2p.(3）若等比数列前n项和为S n，则S m，S2m－S m,S3m－S2m仍成等比数列，即（S2m－S m)213S m（S3m－S2m）（m∈N＊，公比q≠1）．(4）数列｛a n｝是等比数列，则数列｛pa n}(p≠0，p是常数)也是错误!等比数列．(5)在等比数列{a n｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n，a n＋k,a n＋2k，a n＋3k，…为等比数列,公比为错误!q k．►常用结论1．若｛a n｝，｛b n}（项数相同)是等比数列，则{λa n｝（λ≠0),错误!，{a2，n}，{a n·b n｝,错误!仍是等比数列．2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．3．｛a n｝为等比数列，若a1·a2·…·a n＝T n，则T n，错误!，错误!，…成等比数列．4．当q≠0且q≠1时，S n＝k－k·q n（k≠0）是｛a n}成等比数列的充要条件，这时k＝错误!.5．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）．（1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．（)（2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac。

《实数》期末复习教案二中苏元实验学校 陈颍【教学分析】《实数》一章概念较多，且比较抽象，主要是学生对于无理数的认知还缺乏实际经验的积累，算术平方根和平方根概念混淆。

本节为复习课，学生有一定的知识储备，但是预计因理解不到位容易出错，所以这节课定位在：帮助学生构筑知识体系，通过学生自主学习和合作学习暴露学习中的知识性问题，加强理解，归纳典型问题的方法，领会数学思想在解决问题中的作用。

【复习目标】1. 进一步巩固算术平方根，平方根，立方根和实数的的相关概念及性质2. 熟练用根号表示并求数的平方根，立方根3. 能进行实数的简单四则运算，对实数的大小进行比较4. 掌握估算的方法，加强估算能力的培养5. 领会分类思想、类比迁移、数形结合等数学思想方法的运用【教学重点】平方根、算术平方根、立方根及实数的概念与性质，以及实数的运算，大小比较【教学难点】平方根和实数的概念，对符号的认识【教学准备】学案【教学过程】环节一：引导回顾，构筑知识框架师：在《实数》这一章，我们认识了哪些关于数的新知识？学生回忆，师生共同构筑知识线：()⎩⎨⎧−−−−−→←立方根开立方算术平方根平方根开平方开方乘方互为逆运算________ ⎩⎨⎧无理数有理数实数 （设计意图：本节概念较多，先建立知识框架，后面以题带点覆盖知识点）环节二：强化基础，巩固拓展，完善知识框架题组（一）：基本概念过关先让学生独立思考完成，老师巡视发现问题，然后学生小组讨论交流，找出易错点，消化部分呈现问题，接着先请每个小组派代表展示错点，归纳总结易错点，师生一起归纳和完善知识体系。

1. 16的算术平方根是______________.2. 2)9(-的平方根是x , 64的立方根是y ，则y x +=________.3. 式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________.4. 下列计算中：①2)7(-=－7；②2)2(2=-；③196=±14；④39-=－3；⑤25425=--；⑥2581-=59-；⑦）21)21(33±=，⑧5)5(2±=，正确的是 .（填序号即可） 5. 已知一个正数的平方根分别是13+a 和11+a ，则a 的值是_______.6. 下列实数：4-，3，113，2π，•7.1，38-，0.3737737773…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)，其中属于无理数的是_____________________________________________________.7. 数轴上的点与______一一对应。

6.2.3向量的数乘运算学习目标核心素养1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点)3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点) 1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，再过渡到数乘运算及数乘运算律，养成数学抽象和数学运算的核心素养.2.通过判断向量共线的学习，培养逻辑推理和数据分析的核心素养.1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μ a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .2．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 思考：定理中把“a ≠0”去掉可以吗？[提示] 定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0，则实数λ可以是任意实数；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使得b ＝λa .1．若|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 方向相同，则下列关系式正确的是( ) A ．b ＝2a B ．b ＝－2a C ．a ＝2bD ．a ＝－2bA [因a ，b 方向相同，故b ＝2a .]2．点C 是线段AB 靠近点B 的三等分点，下列正确的是( ) A.AB →＝3BC → B.AC →＝2BC →C.AC →＝12BC →D.AC →＝2CB → D [由题意可知：AB →＝－3BC →；AC →＝－2BC →＝2CB →.故只有D 正确．] 3．化简：2(3a ＋4b )－8a ＝________. －2a ＋8b [原式＝6a ＋8b －8a ＝－2a ＋8b .]4．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.2 [由向量加法的平行四边形法则知AB →＋AD →＝AC →. 又∵O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →， ∴λ＝2.]向量的线性运算【例1】 (2)化简下列各式： ①3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；②12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ；③2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .(1)4b －3a [由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0，所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a .](2)[解] ①原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . ②原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.③原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解—把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．1．(1)化简23⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )；(2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .[解] (1)原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b .(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ①，－4x ＋3y ＝b ②，由①×3＋②×2得，x ＝3a ＋2b ，代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ，所以y ＝4a ＋3b .所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .向量共线定理[探究问题]1．如何证明向量a 与b 共线？[提示] 要证明向量a 与b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)即可，一般地，把a 和b 用相同的两个向量m ，n 表示出来，观察a 与b 具有倍数关系即可．2．如何证明A ，B ，C 三点在同一直线上？[提示] 要证三点A ，B ，C 共线，只需证明AB →与BC →或AB →与AC →共线即可． 【例2】 (1)已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x＋y 的值．[思路探究] (1)表示出AB →与AD →→证明AB →＝λAD →→ A ，B ，D 三点共线(2)A ，B ，P 三点线→AP →＝λAB →→用OA →，OB →表示OP →→观察x ＋y 的值 [解] (1)证明：∵CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2， ∴BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2. 又AB →＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)， ∴AB →＝2BD →，∴AB →∥BD →. ∵AB 与BD 有交点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)， 所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1.1．本例(1)中把条件改为“AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2”，则A ，B ，C ，D 中哪三点共线？[解] ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD →＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．2．本例(1)中条件“AB →＝2e 1－8e 2”改为“AB →＝2e 1＋k e 2”且A ，B ，D 三点共线，如何求k 的值？[解] 因为A ，B ，D 三点共线，则AB →与BD →共线．设AB →＝λBD →(λ∈R )， ∵BD →＝CD →－CB →＝2e 1－e 2－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∴2e 1＋k e 2＝λe 1－4λe 2.由e 1与e 2不共线可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2e 1＝λe 1，k e 2＝－4λe 2，∴λ＝2，k ＝－8. 3．试利用本例(2)中的结论判断下列三点是否共线. ①OP →＝13OA →＋23OB →； ②OP →＝－2OA →＋3OB →； ③OP →＝45OA →－15OB →.[解] ①中∵13＋23＝1，∴P ，A ，B 三点共线；②中∵－2＋3＝1，∴P ，A ，B 三点共线； ③中∵45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝35≠1，∴P ，A ，B 三点不共线．1．证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A ，B ，C 三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB →＝λAC →(或BC →＝λAB →等)即可．(2)利用结论：若A ，B ，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →且x ＋y ＝1.2．利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a ＝λb (b ≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值．用已知向量表示未知向量【例3】 (1)如图，▱ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则DE →＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a ＋12bD ．a －12b(2)如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a ，b 分别表示DE →，CE →，MN →.[思路探究] 先用向量加减法的几何意义设计好总体思路，然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示．(1)D [DE →＝DC →＋CE →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AD →＝AB →－12AD →＝a －12b .](2)由三角形中位线定理，知DE 綊12BC ，故DE →＝12BC →，即DE →＝12a . CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN →＝MD →＋DB →＋BN →＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .1．本例(1)中，设AC 与BD 相交于点O ，F 是线段OD 的中点，AF 的延长线交DC 于点G ，试用a ，b 表示AG →.[解] 因为DG ∥AB ， 所以△DFG ∽△BF A ，又因为DF ＝12OD ＝12×12BD ＝14BD ， 所以DG AB ＝DF BF ＝13，所以AG →＝AD →＋DG →＝AD →＋13AB →＝13a ＋b .2．本例(1)中，若点F 为边AB 的中点，设a ＝DE →，b ＝DF →，用a ，b 表示DB →.[解] 由题意⎩⎨⎧a ＝AB →－12AD →，b＝12AB →－AD →，解得⎩⎨⎧AB →＝43a －23b ，AD →＝23a －43b ，所以DB →＝AB →－AD →＝23a ＋23b.用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法．(2)方程法．当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．2.如图所示，四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a ，b ，c 表示BC →，MN →.[解] BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋c ；MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12c －b ＋12a ＝12a －b －12c .1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2．λa 几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍，向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数λ，使b ＝λa .若λ存在，则共线；λ不存在，则不共线．4．共线向量定理的应用①证明向量共线：对于向量a 与b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线(平行)．②证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A 、B 、C 三点共线． ③求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．特别注意：①证明三点共线问题，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．②若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0. 5．注意记住以下结论并能运用(1)若A ，B ，P 三点共线，则OP →＝xOA →＋yOB →且x ＋y ＝1. (2)在△ABC 中，若D 为BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)． (3)在△ABC 中，若G 为△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.1．判断正误(1)若b ＝λa ，则a 与b 共线．( )(2)若λa ＝0，则a ＝0.( )(3)(－7)·6a ＝－42a .( )(4)若AB →＝λCD →(λ≠0)，则A ，B ，C ，D 四点共线．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．对于向量a ，b 有下列表示：①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④ A [对于①，b ＝－a ，有a ∥b ；对于②，b ＝－2a ，有a ∥b ；对于③，a ＝4b ，有a ∥b ；对于④，a 与b 不共线．]3．设a ，b 是两个不共线的向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________.－4 [因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，所以k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧2＝λk ，k ＝8λ⇒k ＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k ＜0)．] 4．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.[解] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.。