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三角形的中位线与中心三角形是初中数学学习的重要内容之一，中位线是三角形的一个重要性质。
本文将介绍三角形的中位线以及与之相关的中心。
一、中位线的概念在三角形ABC中，连接线段AD、BE和CF的三条线段称为三角形ABC的中位线。
其中，D、E和F分别是AB、BC和AC的中点。
二、中位线的性质1. 三角形中位线的长度相等在三角形ABC中，有AD=BE=CF。
这是因为D、E和F分别是AB、BC和AC的中点，所以三角形ADB、BEC和AFC都是等边三角形，因此AD=BE=CF。
2. 三角形的中位线互相平行在三角形ABC中，有AD∥BC，BE∥AC和CF∥AB。
这是因为D、E和F分别是AB、BC和AC的中点，所以由平行线性质可知，AD∥BC，BE∥AC和CF∥AB。
三、三角形的中心三角形的中位线交于一点，这个点称为三角形的中心。
在三角形ABC中，三条中位线AD、BE和CF的交点是三角形的重心G。
四、重心的性质1. 重心到各顶点的距离比例为2:1在三角形ABC中，设重心为G，连接AG、BG和CG，有AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1。
这是由于重心是三角形的中位线交点，根据中位线的性质可知，AD=2DG，BE=2GE，CF=2GF。
2. 重心将三角形分成六个小三角形，且这些小三角形的面积相等以重心G为顶点，将三角形ABC分成了六个小三角形：△BAG、△CBG、△ACG、△AGD、△BGE和△CGF。
这六个小三角形的面积相等。
这是因为重心等分了中位线，并且中位线等分了三角形的面积。
3. 重心是重心轴的对称中心重心轴是连接重心和对边中点的线段，对于三角形ABC，重心轴是DE。
重心是重心轴的对称中心，即以重心G为中心，DE为轴进行对称，对应的点分别为A和C。
五、应用三角形的中位线和重心在数学中有广泛的应用。
例如：1. 在几何证明题中，可以利用重心的性质推导出其他结论。
2. 在力学中，可以利用重心的概念计算物体的重心位置。
9.5《三角形的中位线》教学设计一、教材分析《三角形的中位线》是新课标苏科版八年级（下）第九章《中心对称图形---平行四边形》的第五节的教学内容，教材安排一个学时完成。
本节教材是在学生学完了平行四边形和矩形，菱形，正方形内容之后,作为平行四边形知识的应用和深化所引出的一个重要性质定理，它揭示了线与线之间的位置关系，线段与线段间的数量关系，对进一步学习非常有用，尤其是在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到.二、学情分析本章从内容上讲是《9.3》和《9.4》的继续，初二的学生对于推理证明的基本要求、基本步骤和方法已经初步掌握。
对于本节课三角形中位线定义的理解及完成大部分练习也不是难事，但在本节学习中学生容易出现以下问题：一是如何证明线段的倍分问题；二是应用中位线性质定理时怎样添加辅助线的问题.三、教学目标1.知识与能力：理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；2.过程与方法：进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展探究能力、推理论证的能力；培养数学应用意识3.情感态度价值观在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；在定理的证明和应用过程中体归纳、类比、转化等数学思想方法。
四、教学重难点重点：三角形中位线性质定理证明及应用难点：用添加辅助线的方法来推证三角形中位线定理,了解证明线段倍分关系问题的基本要领.五、教学方法与学法指导对于三角形中位线定义的引入采用类比法，在此基础上，教师引导学生通过探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。
在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，使学生易于理解和接受。
六、教学准备：教师准备多媒体课件，三角板.七、教学过程（一）创设情境，导入新课1.从生活中的事例导入，A、B两地被建筑物隔开,如何测出A、B两地之间的距离？2.引入课题：三角形的中位线（板书课题）（设计意图：从生活的事例出发，激发学生的学习兴趣）（二）展示目标，自主学习认真研读课本86-87页，思考下列问题：1、回顾三角形中线的概念，在练习本上画出一个三角形,并画出它的中线。
初二数学专项三角形的中位线与性质初二数学专项：三角形的中位线与性质在初二数学的学习中，三角形的中位线及其性质是一个重要的知识点。
它不仅在解决几何问题时经常用到，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象能力也具有重要意义。
首先，让我们来了解一下什么是三角形的中位线。
三角形的中位线，是连接三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线。
那么，三角形中位线具有哪些性质呢？性质一：三角形的中位线平行于第三边。
这意味着中位线与第三边没有交点，并且它们的方向相同。
性质二：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半。
为了更好地理解这些性质，我们来看几个具体的例子。
假设我们有一个三角形 ABC，D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么DE 就是三角形 ABC 的一条中位线。
由于中位线 DE 平行于 BC，并且DE 的长度是 BC 长度的一半。
如果我们知道 BC 的长度为 10 厘米，那么根据中位线的性质，DE的长度就是 5 厘米。
再比如，在一个三角形中，如果中位线的长度为 6 厘米，那么与之平行的第三边的长度就是 12 厘米。
那么，这些性质在实际解题中有什么用呢？用途一：证明两直线平行。
当我们需要证明两条直线平行，而又难以直接证明时，如果能够找到连接对应边中点的中位线，利用中位线平行于第三边的性质，就可以轻松得出结论。
用途二：计算线段长度。
已知中位线的长度或者第三边的长度，就可以通过中位线长度等于第三边长度的一半这一性质，求出另一边的长度。
用途三：构造平行四边形。
通过连接三角形两边中点得到中位线，再利用中位线平行且等于第三边一半的性质，可以构造出平行四边形，从而解决相关问题。
接下来，我们通过一些具体的题目来进一步掌握三角形中位线的应用。
例 1：在三角形 ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，若三角形 ABC 的周长为 20 厘米，求三角形 DEF 的周长。
因为 D、E、F 分别是三角形三边的中点，所以 DE、EF、DF 是三角形 ABC 的中位线。
第九章复习（1）——中心对称、平行四边形、三角形的中位线【教学目标】掌握中心对称性质，平行四边形的性质及判定，三角形中位线定理，会熟练利用它们解决问题。
【教学重点】熟练应用中心对称性质，平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理解决问题【教学难点】熟练应用中心对称性质，平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理解决问题【教学指导】知识点1：平行四边形的性质：1．在□ABCD 中，若∠B ＋∠D ＝128°，则∠B ＝＿＿ °，∠C ＝＿＿ °．2.如图，EF 过□ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若AB ＝4，BC ＝5，OE ＝1.5，那么四边形EFCD 的周长是__________知识点2：平行四边形的判定3.如图，AC 、BD 是相交的两条线段，O 分别为它们的中点。
当BD 绕点O 旋转时，连接AB 、BC 、CD 、DA 所得到的四边形ABCD 始终为 形4.如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 是AC 上的两点，当E 、F 满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形( )A ．∠ADE ＝∠CBFB ．∠ABE ＝∠CDFC ．OE ＝OFD ．DE ＝BF第2题知识点3：平行四边形的个数问题及坐标点5．用两块全等的含有30°角的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在平面直角坐标系内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ． 知识点4：三角形的中位线7. 已知△ABC 周长为50㎝，中位线DE ＝8㎝，EF ＝10㎝，则另一条中位线DF 的长是（ ）A. 5㎝B. 7㎝C. 9㎝D. 108．如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是A 、线段EF 的长逐渐增大B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变D 、线段EF 的长与点P 的位置有关9．杨伯家小院子的四棵小树E F G H 、、、刚好在其梯形院子ABCD 各边的中点上，若在四边形EFGH 种上小草，则这块草地的形状是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．正方形D ．菱形A B O 第3题D C 第4题R P DC B A E F 知识点5：平行四边形的面积问题及有关解答题10如图，□ABCD 中，AC.BD 为对角线，BC =6， BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为______ 知识点6：反证法反证法的证题步骤：① 假设。
校区：姓名：科目：初二同步测试题三角形中位线和中心对称图形 A 卷一、选择题1．下列图形中是中心对称图形的是（）．:A．B．C．D．2．把26个英文大写字母看成图案：A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z，则成中心对称图案的字母共有（）．A．4个B．5个C．6个D．7个3．在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是( )．4．下列图形中：①等边三角形；②正五角星形；③正方形；④圆.~属于旋转对称图形的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为20cm，、则四边形EFGH的周长是（）A．80cm B．40cm C．20cm D．10cm》6．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )．A．4 B．8 C．12 D．16(DA C13题图二、填空题1.在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形中，一定是中心对称图形的有____________，一定是轴对称图形的有______________。
2.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝___________．3.△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，BC=12cm，则DE=____________。
4.4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是______________。
5．如图所示，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点，构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为________________。
@三、解答题中，中线BD、CE相交于O，F、G分别为OB、OC的中点。
1．如图所示，ABC求证：四边形DEFG为平行四边形。
1
校区： 姓名： 科目：
初二同步测试题 三角形中位线和中心对称图形 A 卷
一、选择题
1．下列图形中是中心对称图形的是 （ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
2．把26个英文大写字母看成图案：A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z ，则成中心对
称图案的字母共有 （ ）．
A ．
4个
B ．5个
C
．6个
D ．7个
3．在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和
梯形的是( )．
4．下列图形中：①等边三角形；②正五角星形；③正方形；④圆. 属于旋转对称图形的有
（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，任意四边形ABCD 各边中点分别是E 、F 、G 、H ，若对角线AC 、BD 的长都为20cm ， 、
则四边形EFGH 的周长是（ ） A ．80cm B ．40cm C ．20cm D ．10cm
6．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果EF ＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )．
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
二、填空题
1.在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形中，一定是 中心对称图形的有____________，一定是轴对称图形的有______________。
2.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB 边上的中线CD ＝___________．
D
A
C 13题图
23.△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，BC=12cm，则DE=____________。
4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是______________。
5．如图所示，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点，构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为________________。
三、解答题
1．如图所示，ABC
中，中线BD、CE相交于O，F、G分别为OB、OC的中点。
求证：四边形DEFG为平行四边形。
2.已知：如图所示在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
3.已知：如图所示，△ABC中，BD=DC，E是AC上一点，BE、AD交于F，若AE=EF，
求证：BF=AC。
3
G F
E
D
C
B
A 4. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 的中点，直线BE 交AC 于F ，求证： FC AF 2
1 。
5．已知：在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 、G 分别是BD 、AC 、BC 的中点。
求证：⊿EFG 是等腰三角形。
4
初二同步测试题 三角形中位线和中心对称图形 B 卷
一、选择题
1
．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
2．下列情形不属于旋转的是 （ ）．
A ．电风扇的扇叶在不停转动
B ．时钟上的秒针不停地转动
C ．单摆上转动的小球
D ．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
3．已知△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 是中线，则AD 的取值范围是（ ） A ．68AD << B ．17AD << C ．34AD << D ．214AD <<
4． 下列说法中正确的是 （ ）．
A ．旋转对称图形一定是轴对称图形
B ．旋转对称图形一定不是轴对称图形
C ．轴对称图形一定是旋转对称图形
D ．以上说法均不正确
5
．如图，
ABCD 中，点E 、F 分别是
AD 、AB 的中点，EF 交AC 于点G ，那么AG ：GC 的值为（• ）
A ．1：2
B ．1：3
C ．1：4
D ．2：3
6．如图，已知矩形ABCD 中，R 、P 分别是DC 、BC 上的点，E 、F 分别是AP 、PR 的中点， 当点P 在BC 上从B 向C 移动，而R 不动时，下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少
C ．线段EF 的长不改变
D ．线段EF 的长不确定
二、填空题
1．等腰三角形有一腰长为6，其三条中位线长度之和为 11，则其底边长是_________．
2．如图在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，延长DE 到F ，使EF=DE 若AB=8， BC=6，则四边形BCFD 的周长为 ．
5
题图
5
3．如图，在四边形A B C D 中，P 是对角线B D 的中点，E F ，分别是AB C D ，的中点，
18AD BC PEF =∠=
，，则P F E ∠的度数是 ．
4．如图，点P 是边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 上一动点，M 、N 分别为AB 、BC 的中点，则MP ＋NP 的最小值为___________．
5．已知六边形ABCDEF 是中心对称图形，AB =1，BC =2，CD =3，那么EF = ．
6.如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ′、B ′、C ′分别 为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为_________．如果△ABC 、△EFG 、△A
′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么 第n 个三角形的周长是_________．
三、解答题
1. 已知：如图，ABC ∆中，E 是BC 的中点，D 是CA 的延长线上的一点，AC AD 2
1=，DE 交AB 于F .
求证：FE
DF =.
C
F
D
B
E A
P
（第3题）
62．如图，梯形ABCD中，BC
AD//，BCD
∠的平分线CE交AB的中点E.
求证：BC
AD
CD+
=.
3.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，已知BD
AC=，M，N分别是AD，BC 中点，MN与AC，BD分别相交于E，F.
求证：OF
OE=.
4.如图，ABC
∆中，BM，CN平分ABC
∠，ACB
∠的外角，BM
AM⊥于M，CN
AN⊥于 N.E,F是AB,AC的中点求证：)
(
2
1
BC
AC
AB
MN+
+
=.
7
5.如图，四边形ABCD 中，一组对边AB=DC=4，另一组对边AD ≠BC ，对角线BD 与边DC 互 相垂直，M 、N 、H 分别是AD 、BC 、BD 的中点，且∠ABD=30°求：（1）MH 的长（2）MN 的长。
