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法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。
在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。
一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。
设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。
2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。
常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。
对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。
例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。
而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。
二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。
例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。
2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。
曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。
例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。
3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。
而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。
切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。
4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。
对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。
5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。
对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。
直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用1、直线的方向向量： 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．2、直线方向向量的应用： 利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．（1）若有直线l , 点A 是直线l 上一点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB a =，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP t AB =，这样，点A 和向量a 不仅可以确定l 的位置，还可具体表示出l 上的任意点．（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是a 和b ，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x ，y ），使得OP =xa yb +，这样，点O 与方向向量a 、b 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．二、平面的法向量1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．2、在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的．三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u ，则有l 1// l 2⇔1u //2u ，l 1⊥l 2⇔1u ⊥2u ．2、若两平面α、β的法向量分别是1v 、2v ，则有α//β⇔1v //2v ，α⊥β⇔1v ⊥2v ．若直线l 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，则有l //α⇔u ⊥v ，l ⊥α⇔u //v四、平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：1、设出平面的法向量为(,,)n x y z =．2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==3、根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩4、解方程组，取其中一个解，即得法向量五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系（一）用向量方法证明空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．1、线线平行：设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1// l 2，只需证明a //b ，即()a kb k R =∈2、线面平行：（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则要证明//l α，只需证明⊥a n ，即0⋅=a n .（2）根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．3、面面平行（1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．（2）若能求出平面α、β的法向量u 、v ，则要证明α//β，只需证明u // v（二）用向量方法证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．1、线线垂直：设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1⊥ l 2，只需证明a ⊥b ，即0a b ⋅=2、线面垂直：（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证l ⊥α，只需证明a // u（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．3、面面垂直：（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．（2）证明两个平面的法向量互相垂直．六、用向量方法求空间的角（一）两条异面直线所成的角1、定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线////,//a a b b ，则/a 与/b 所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．2、范围：两异面直线所成角θ的取值范围是02πθ<≤3、向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为ϕ，则有cos |cos |a ba b θϕ⋅==⋅4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．（二）直线与平面所成的角1、定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．2、范围：直线和平面所成角θ的取值范围是02πθ≤≤3、向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则有sin |cos |cos sin a u a u θϕθϕ⋅===⋅或 （三）二面角1、二面角的取值范围：[0,]π2、二面角的向量求法（1）若AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角（如图（a ）所示）．（2）设1n 、2n 是二面角l αβ--的两个角α、β的法向量，则向量1n 与2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b ）所示）．七、用向量的方法求空间的距离（一）点面距离的求法如图（a ）所示，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度．若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt △BOA 中，BO BA =cos ∠ABO= cos cos BA BO ABOABO BO ⋅⋅∠∠=。
在高考数学立体几何问题的求解过程中，求解平面的法向量始终是一个绕不开的话题，下面介绍几种快速准确的解出法向量的方法.一．借零构造法1.当空间向量的坐标出现一个零时，如()b a ,0,=，在求平面的法向量时，可设()a x b -=,,，或()a x b ,,-=，此时满足0=⋅n m ，注意根据0的位置调整构造的向量. 已知向量()1,3,2=，()3,0,1-=，设平面ABC 的法向量()1,,3x =,由0=⋅AB m ,得0136=++x ,37-=∴x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴1,37,3,可调整()3,7,9-=. 2.若平面内的两个向量的坐标均没有0出现，如()3,2,1=，()1,3,2=，此时()5,1,02=-b a ，所以可设平面的法向量()1,5,-=x m ，由07=+=⋅x ，所以7-=x ，()1,5,7--=m .3.若平面内的两个向量的坐标均有0,且出现在同一个位置，如()0,2,1=，()0,1,3-=则可以直接得到法向量()1,0,0=.二．行列式法 如()3,2,1=，()6,4,2-=是平面α的两个不共线向量，在求解平面α的法向量时可以用下面的方法.第一步：每个向量(横着)写两遍21- 42 63 21- 4263第二步：掐头去尾留中间42 63 21- 42第三步：交叉相乘再相减42 63 21- 4203462=⨯-⨯=x ()121623-=⨯--⨯=y ()82241=⨯--⨯=z所以平面α的法向量()8,12,0-=.下面简单介绍上述方法的原理 设向量()111,,c b a =，()222,,c b a =是平面ABC 内的两个不共线向量，设平面ABC 的法向量()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n AC 所以⎩⎨⎧=++=++00222111z c y b x a z c y b x a ，不妨设0≠z ， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛00222111c z y b z x a c z y b z x a ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛222111c z y b z x a c z y b z x a 因为向量AB ，AC 不共线，所以01221≠-b a b a ， 令=A |a 1b 1a 2b 2|，=1B |−c 1b 1−c 2b 2|，=2B |a 1−c 1a 2−c 2|， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==--==122112212122112211b a b a a c a c A B zy b a b a c b c b A B z x ，不防令1221b a b a A z -==，则12211c b c b B x -==，12212a c a c B y -==. =|i →j →k →a 1b 1c 1a 2b 2c 2|=|b 1c 1b 2c 2|i →−|a 1c 1a 2c 2|j →+|a 1b 1a 2b 2|k →， 第一步：每个向量(横着)写两遍 21a a 21b b 21c c 21a a 21b b 21c c第二步：掐头去尾留中间 21b b 21c c 21a a 21b b第三步：交叉相乘再相减21b b 21c c 21a a 21b b 1221c b c b x -= 1221a c a c y -= 1221b a b a z -= 完美结束.。
立体几何中平面法向量的求法
高考中理科立体几何解答题的方法大多用空间向量法，其中求平面法向量是常见的量，下面是求平面法向量的一种方法。
为了学生，许多老师在求法向量上下了很大的功夫，并用向量外积的方法给出了比较简单的求法向量的方法，公式如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a,b 不平行，a,b 确定平面法向量n ,则
n =233112233112,,a a a a a a b b b b b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=（a 2b 3-a 3b 2,a 3b 1-a 1b 3,a 1b 2-a 2b 1）。
此公式计算起来简单有效，但是记忆不是太方便，容易让学生记乱。
通过多次实际应用此公式，我发现其实计算过程就是一个很好的记忆公式，现总结如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a ,b 不平行，a ,b 确定平面法向量n =（x,y,z ）,
列表 如图 1231231a a a a b b b b
利用十字相乘作差得到
233231131221x a b a b y a b a b z a b a b =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
由此计算出法向量。
例如：
a=(1,2,3)，b=(1,1,4)。
列表1231
1141
X=2⨯4-3⨯1=5，y=3⨯1-1⨯4=-1，z=1⨯1-2⨯1=-1
所以法向量是（5，-1，-1）。
整理：郭新毅
2013-3-25。
法向量求法及应用方法法向量是指与平面或曲面相切且垂直于切平面或切曲面的向量。
在数学和物理领域中，法向量的求法和应用非常广泛。
本文将介绍法向量的求法以及在几何学、物理学和计算机图形学中的应用方法。
一、法向量的求法1.平面的法向量：给定平面方程Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，可以直接读取得到。
这是最常见也是最简单的求法。
2.曲面的法向量：对于一般的曲面方程F(x,y,z)=0，其中F是曲面方程的函数，可以使用梯度算子求解法向量：-计算曲面方程在其中一点(x0,y0,z0)处的梯度矢量：∇F(x0,y0,z0)=(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)，其中∂F/∂x、∂F/∂y、∂F/∂z是偏导数。
-梯度矢量就是曲面在该点处的法向量。
3.曲线的法向量：对于曲线方程F(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中t是曲线的参数，可以使用导数求解法向量：-对曲线方程求导得到F'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))，其中x'(t)、y'(t)、z'(t)是曲线的导数。
-导数矢量就是曲线在该点处法向量的方向。
二、法向量的应用方法1.几何学中的应用：法向量是几何学中一个重要的概念，它可以用来判断两个平面或曲面的关系，如判断两个平面是否相交、平行或垂直。
在几何图形的旋转、平移和投影中，法向量也起到了重要的作用。
此外，法向量还可以用来计算曲面的面积和曲线的弯曲性等几何属性。
2.物理学中的应用：在物理学中，法向量有广泛的应用。
例如在力学中，力的方向可以通过物体表面的法向量来表示。
在光学中，光线的传播也可以通过曲面上的法向量来描述。
在电磁学中，电场和磁场的变化也可以通过法向量来表示。
法向量还可以用来计算曲面的斜率、曲率和高斯曲率等物理量。
3.计算机图形学中的应用：在计算机图形学中，法向量通常用于表达物体表面的方向，以便进行光照和着色计算。
平面法向量的 求法及其应用四川省华蓥中学 叶超本专题是我编写的一套书中的一篇，更多精彩，请参见我编写的那套书。
1、平面法向量的求法： 先来看看比较笨的方法。
(1)利用待定系数（参数）法，根据“平面的法向量⇔与平面内不共线的两向量均垂直的非零向量”及“两向量垂直⇔两向量的内积为0”确定待定参数。
例：已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝21AB ＝1，M 是PB 的中点。
求面AMC 的一个法向量。
析：建系：以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，则： 标点：A （0，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1） B （0，2，0），M （0，1，1/2）列向量：AC ＝（1，1，0）， AM ＝（0，1，1/2）待定参数法：设面AMC 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）于是n ＝（x ，－x ，2x ）＝x （1，－1，2） 其中，x 决定长度（和方向），可取n ＝（1，－1，2），它是图中的1n 还是2n 呢？ 可用观察法确定：n ＝（1，－1，2）是以原点为起点、（1，－1，2）为终点的向量，是图中的1n 。
说明：这种方法虽能求解，但是：①要根据“两向量垂直⇔两向量的内积为0”列方程组并求解，计算量较大； ②利用观察法确定法向量的具体方向也不太方便。
综上，在高考的宝贵时间里，时间和精力都是很重要的，如果有一种方法可以很简便地求出平面的法向量，不仅可以节约时间，还可以节省精力，甚至提高准确度，那该多好啊！还真的有这种方法！这种方法不是我总结的，但如何用它来简便地求法向量却是我在半年前总结的，请看——A BPM D y ＝－x z ＝2x ⇒021=+=•z y AM n 0=+=•y x AC n(2)利用向量的矢量积求平面的法向量：（请重点看下面第②点中的第2个例题）①向量的矢量积的定义：向量a ＝（x 1，y 1，z 1）和b ＝（x 2，y 2，z 2）的矢量积=⨯b a （2211z y z y ，2211x z x z ，2211y x y x ）=（y 1z 2-z 1y 2，z 1x 2-x 1z 2，x 1y 2-y 1x 2） 说明：2211z y z y 是二阶行列式，其值等于交叉相乘再相减（即：y 1z 2-z 1y 2），其余同理。
(43) 平面法向量的求法及其应用 嵩明县一中 吴学伟引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。
其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。
此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z = ]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。
由n α⊥ ，得0n a ⋅= 且0n b ⋅= ，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。
0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。
其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++czb y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。
:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→⎝⎛=⨯→→21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x⎪⎪⎭⎫21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad db -=；2例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→→b a ，试求（1）：;→→⨯b a （2）：.→→⨯a bKey: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→→a b例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，求平面AEF 的一个法向量n。
二、 平面法向量的应用1、 求空间角(1)、求线面角：如图2-1，设→n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:2,2→→→→->=<-=AB n ππθ图2-1-2:2,πθ=->=<→→AB n (2)、求面面角:设向量→m ，→n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为：||||arccos,→→→→→→⋅⋅>==<n m nm n m θ（图2-2）;||||arccos,→→→→→→⋅⋅->==<n m nm n m πθ(图2-3)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。
约定，在图2-2中，→m 的方向对平面α而言向外，→n 的方向对平面β而言向内；在图2-3中，→m 的方向对平面α而言向内，→n 的方向对平面β而言向内。
我们只要用两个向量的向量积（简称“外图2-3|,cos |><=→→AB n θ)2,2,1(:=⨯=→→→AE AF n key 法向量积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角βα--l 的平面角。
2、 求空间距离 （1）、异面直线之间距离:方法指导：如图2-4,①作直线a 、b 的方向向量→a 、→b ， 求a 、b 的法向量→n ，即此异面直线a 、b②在直线a 、b 上各取一点A 、B ，作向量→AB ；③求向量→AB 在→n 上的射影d ，则异面直线a 、b ||||→→→∙=n n AB d ,其中b B a A b n a n ∈∈⊥⊥→→,,,（2）、点到平面的距离:方法指导：如图2-5,若点B 为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为n ，则点P 到 平面α的距离公式为||||→→→∙=n n AB d（3）、直线与平面间的距离:方法指导：如图2-6,直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅= ，其中a B A ∈∈,α。
n是平面α的法向量（4）、平面与平面间的距离:方法指导：如图2-7,两平行平面,αβ之间的距离：||||→→→∙=n n AB d ，其中,A B αβ∈∈。
n是平面α、β3、 证明（1）、证明线面垂直：在图2-8中,→m 向是平面α的法向量，→a 是直线a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（→→=a m λ）。
（2）、证明线面平行：在图2-9中,→m 向是平面α的法向量，→a 是直线an的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0=∙→→a m ）。
（3）、证明面面垂直：在图2-10中，→m 是平面α的法向量，→n 是平面β的法向量，证明两平面的法向量垂直（0=∙→→n m ）（4）、证明面面平行：在图2-11中, →m 向是平面α的法向量，→n 是平面β的法向量，证明两平面的法向量共线（→→=n m λ）。
三、高考真题新解1、（2005全国I ，18）（本大题满分12分）已知如图3-1,四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小解:以A 点为原点,以分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A-xyz 如图所示.)1,0,0().(=→AP I ，)0,0,1(=→AD ，设平面PAD 的法向量为)0,1,0(-=⨯=→→→AD AP m )0,1,0(=→DC 又，)1,0,1(-=→DP ，设平面PCD 的法向量为)1,0,1(=⨯=→→→DP DC n 0=∙∴→→n m ，→→⊥∴n m ，即平面PAD ⊥平面PCD 。
).(II )0,1,1(=→AC ，)1,2,0(-=→PB ，510arccos ||||arccos ,=⋅∙>=∴<→→→→→→PB AC PB AC PB AC ).(III )21,0,1(-=→CM ，)0,1,1(--=→CA ，设平在AMC 的法向量为)1,21,21(-=⨯=→→→CA CM m .又)0,1,1(-=→CB ,设平面PCD 的法向量为)1,21,21(---=⨯=→→→CB CM n .)32arccos(||||arccos ,-=⋅∙>=∴<→→→→→→n m n m n m .∴面AMC 与面BMC 所成二面角的大小为)32arccos(-.]32arccos [-π或2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 已知AB ＝AA 1＝a ，B C，M 是AD 的中点。
(Ⅰ)求证：AD ∥平面A 1BC ； (Ⅱ)求证：平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1； (Ⅲ)求点A 到平面A 1MC 的距离。
解:以D 点为原点,分别以DA,DC,DD 1为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D-xyz 如图所示. ).(I )0,0,2(a BC -=→ ,),,0(1a a BA -=→,设平面A 1BC 的法向量为)2,2,0(221a a BA BC n =⨯=→→→又)0,0,2(a AD -=→,0=∙∴→→AD n ,→→⊥∴n AD ,即AD//平面A 1BC.).(II ),0,22(a a MC =→,)0,,22(1a a MA -=→,设平面A 1MC 的法向量为:)22,22,(2221a a a MA MC m -=⨯=→→→, 又),,2(1a a a BD --=→,),,0(1a a BA -=→,设平面A 1BD 1的法向量为:)2,2,0(2211a a BA BD n =⨯=→→→,0=∙∴→→n m ,→→⊥∴n m ,即平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1.).(III 设点A 到平面A 1MC 的距离为d,)22,22,(2221a a a MA MC m -=⨯=→→→是平面A 1MC 的法向量, 又)0,0,22(a MA =→,∴A 点到平面A 1MC 的距离为:a m MA m d 21||||=∙=→→→. 四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）图3-2（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形问题）。
