3D基础-求法向量题解

法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。

在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。

一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。

设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。

2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。

常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。

对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。

例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。

而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。

二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。

例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。

2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。

曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。

例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。

3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。

而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。

切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。

4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。

对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。

5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。

对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。

三维点计算法向量三维点计算法向量是三维几何中一个基本的概念和计算方法。

在三维空间中，每个点都可以用三个坐标值来表示，分别表示点在x、y、z轴上的位置。

根据这些坐标值，我们可以计算出点所在位置的法向量，也就是与该点相关联的一个垂直于该点的向量。

计算三维点的法向量有两种常见的方法：几何法和向量法。

下面将分别介绍这两种方法的原理和计算步骤。

几何法是通过点所在位置的几何特征来计算法向量。

对于一个点而言，其法向量与其周围的点和曲面有关。

常见的计算法向量的方法有三个：点法向量、曲面法向量和平均法向量。

点法向量是通过点周围的其他点来计算的。

对于一个点而言，其周围的点可以构成一个三角形或四面体。

我们可以通过这些构成的图形来计算出点的法向量。

具体的计算方法是使用点周围的点构成的向量，然后通过叉乘运算得到法向量。

曲面法向量是通过点周围的曲面来计算的。

对于一个曲面而言，其法向量垂直于曲面上的点。

我们可以通过计算曲面上的两个向量的叉乘来得到法向量。

平均法向量是通过点周围的多个法向量的平均值来计算的。

对于一个点而言，其周围可能有多个法向量，我们可以将这些法向量的平均值作为点的法向量。

向量法是通过向量的运算来计算法向量。

对于一个点而言，我们可以通过该点与周围的点构成的向量来计算法向量。

具体的计算方法是使用点周围的点构成的向量，然后通过向量的加法和标量乘法来得到法向量。

无论是几何法还是向量法，计算三维点的法向量都需要用到向量的运算。

向量的运算包括向量的加法、减法、标量乘法和向量的点乘、叉乘等。

这些运算可以通过向量的坐标值来进行计算。

在计算三维点的法向量时，我们需要注意一些细节。

首先，点周围的点和曲面的选择要合理，以确保计算得到的法向量准确反映点所在位置的几何特征。

其次，计算过程中要注意向量的顺序和方向，以确保计算得到的法向量的方向正确。

最后，计算得到的法向量要进行归一化处理，以确保法向量的长度为1。

三维点的法向量是三维几何中一个重要的概念和计算方法。

两个向量的平面法向量在 3D 空间中，我们经常需要求解两个向量对应向量积的平面法向量。

这个平面法向量有很多应用，比如说图形学中的纹理映射、计算机视觉中的深度测量等。

下面，我们将分步骤阐述求解两个向量的平面法向量的方法。

步骤一：求两个向量的向量积首先，我们需要求解两个向量的向量积。

向量积的结果是一个新的向量，这个向量垂直于这两个向量所在的平面，并且它的大小等于这两个向量所在平行四边形的面积。

向量积可以用下面的公式表示：A ×B = | A | | B | sinΘ n其中，A 和 B 分别表示两个向量，Θ 表示 A 和 B 之间的夹角，| A | 和 | B | 分别表示 A 和 B 的模长，n 表示垂直于 A 和 B 所在平面的单位向量，它的方向由右手定则确定。

步骤二：求向量积的模长求解向量积之后，我们还需要求解它的模长。

向量积的模长等于这两个向量所在平行四边形的面积。

面积可以通过向量的模长和夹角的正弦值计算得到：Area = | A | | B | sinΘ因为向量积等于面积乘以垂直于平面的单位向量，所以向量积的模长等于面积的大小。

因此，我们可以直接用上面的公式求解向量积的模长。

步骤三：求平面法向量有了向量积，我们就可以很容易地求出平面法向量了。

平面法向量是指垂直于这两个向量所在平面的单位向量。

为了求出单位向量，我们需要将向量积除以它的模长。

具体而言，平面法向量可以用如下公式表示：n = (A × B) / | A × B |其中A × B 是求解向量积得到的向量，| A × B | 是向量积的模长。

我们将向量积除以它的模长，就能够得到平面法向量了。

总结通过上面的步骤，我们可以很容易地求解两个向量的平面法向量。

这个方法在很多应用场景都很有用，比如说图形学中的光照计算、机器人控制中的路径规划等。

平面法向量是 3D 空间中的一个重要概念，学习它的求解方法可以帮助我们更好地理解这个概念，并能够更好地应用到实践中。

三维空间平面方程的法向量嘿，朋友们！今天咱们来聊聊三维空间平面方程的法向量，这就像是在一个超级神秘的三维魔法世界里寻找隐藏的魔法棒一样有趣。

咱先说说平面方程的一般式：Ax + By + Cz + D = 0。

这里面的法向量就像这个平面的超级保镖，向量(A, B, C)就是那个威风凛凛的保镖啦。

你可以把这个平面想象成一个超级大的盾牌，而法向量就是拿着盾牌笔直站立的勇士，不管从哪个方向来的攻击（向量），只要和这个勇士（法向量）垂直的，那就是和这个平面平行的啦。

再看点法式方程：A(x - x₀)+B(y - y₀)+C(z - z₀)=0。

这个时候啊，(x₀, y₀, z₀)是平面上的一个点，就好比是这个盾牌（平面）上的一个标记点。

而(A, B, C)这个法向量呢，就像是从这个标记点伸出来的一根直直的旗杆，周围的向量要是想和这个平面玩得好（平行），那就得乖乖地和这根旗杆（法向量）垂直。

你要是把三维空间想象成一个装满了各种形状气球的大房间，平面就像其中的一块超级大的平板气球。

法向量就像是一根直直的针，这根针要是从这个平板气球中间直直地插过去，那这个针的方向就是法向量的方向。

还有啊，假如把平面看成是一片超级大的薄饼，法向量就是从薄饼中间直直竖起的一根筷子。

这根筷子不管薄饼怎么在三维空间里扭来扭去，它始终都是和薄饼垂直的。

要是把三维空间当成一个巨大的游戏场，平面是游戏场里的一块特殊场地，那法向量就是这块场地的规则守护者。

任何在这个游戏场里的小向量，要是不按照法向量规定的垂直规则来，就会被判定为违规（不平行于平面）。

想象一下，平面是一片宁静的湖面，法向量就是从湖底直直向上的一根魔法水柱。

周围的小水流（向量）要是想在湖面上平静地流淌（平行于平面），就不能和这个魔法水柱（法向量）闹别扭，得乖乖地和它垂直。

把平面当作一个超级大的舞台，法向量就是舞台正中央竖起的一根亮晶晶的魔法棒。

在舞台周围的小光点（向量），只有和魔法棒垂直的，才能在舞台平面上优雅地飞舞（平行于平面）。

顶点法向量（Vertex Normal Vector）通常用于计算机图形学和3D建模中，表示一个多边形顶点处的表面方向。

这个向量垂直于通过该顶点的表面，并且通常用于光照计算、纹理映射等。

顶点法向量通常不是直接计算出来的，而是通过对共享该顶点的面的法向量进行某种平均或插值得到的。

这是因为一个顶点可能属于多个面，而每个面都有自己的法向量。

以下是一个简单的步骤，说明如何计算顶点法向量：1.计算每个面的法向量：对于每个三角形面，可以使用其三个顶点的位置向量来计算法向量。

假设三角形的三个顶点分别是(A, B, C)，则面的法向量(N) 可以通过以下公式计算：[ N = (B - A) \times (C - A) ]其中(\times) 表示向量叉乘。

2.3.平均或插值法向量：对于共享同一个顶点的所有面，计算它们的法向量的平均值或进行某种插值，以得到该顶点的法向量。

这通常涉及到将每个面的法向量加权平均，权重可能基于面的面积或其他因素。

4.5.规范化法向量：最后，将计算得到的顶点法向量规范化（即将其长度变为1），以确保它是一个单位向量。

这可以通过将向量除以其长度来实现：[ N_{\text{normalized}} = \frac{N}{|N|} ]其中(|N|) 是向量(N) 的长度（或模）。

6.请注意，这个过程可能因具体的应用场景和算法而有所不同。

例如，在某些情况下，可能需要对法向量进行平滑处理，以减少由于多边形网格的离散性导致的视觉上的不连续性。

这通常涉及到对相邻面的法向量进行某种形式的平均或混合。

三点求平面法向量在三维空间中，平面是由无数个点组成的。

平面有许多重要的性质，其中之一就是法向量。

法向量是与平面垂直的向量，它是平面的重要特征之一。

本文将从三个不同的角度来讨论如何求平面的法向量。

一、已知三个点求平面法向量如果我们已知平面上的三个不共线的点A、B和C，那么我们可以通过这三个点来求平面的法向量。

我们可以先求出两个向量AB和AC，然后通过向量的叉乘来求得平面的法向量。

具体步骤如下：1. 求向量AB：将点B的坐标减去点A的坐标，得到向量AB。

2. 求向量AC：将点C的坐标减去点A的坐标，得到向量AC。

3. 求法向量：将向量AB和向量AC进行叉乘运算，得到平面的法向量。

二、已知平面上一点和法向量求平面方程如果我们已知平面上的一点P和该平面的法向量n，那么我们可以通过这个点和法向量来求平面的方程。

平面的方程通常使用点法式表示，即`(x-x0)*A + (y-y0)*B + (z-z0)*C = 0`，其中`(x0, y0, z0)`是平面上的一点，`(A, B, C)`是平面的法向量。

具体步骤如下：1. 根据已知的法向量n，得到平面的法向量`(A, B, C)`。

2. 根据已知的点P的坐标`(x0, y0, z0)`，将这些值代入点法式中，得到平面的方程。

三、已知平面上一点和平面的法向量求点到平面的距离如果我们已知平面上的一点P和该平面的法向量n，那么我们可以通过这个点和法向量来求点到平面的距离。

点到平面的距离可以通过将点P到平面上的任意一点Q的向量投影到法向量上来计算。

具体步骤如下：1. 根据已知的法向量n，得到平面的法向量`(A, B, C)`。

2. 根据已知的点P的坐标`(x0, y0, z0)`，将这些值代入平面的方程，得到平面上的一点Q的坐标`(x1, y1, z1)`。

3. 求向量PQ：将点Q的坐标减去点P的坐标，得到向量PQ。

4. 求点P到平面的距离：将向量PQ投影到法向量`(A, B, C)`上，得到向量PQ的法向量分量，即点P到平面的距离。

数学立体几何法向量快速求解在立体几何中，法向量是一个非常重要的概念，它通常用于描述一个平面或超平面的方向。

在三维空间中，一个平面的法向量是一个垂直于该平面的向量。

快速求解法向量，通常涉及以下步骤：1.确定两个非共线向量：首先，在平面上选择两个不共线的向量。

这两个向量可以是由平面上的两个点形成的向量，或者是平面上任意两个不共线的向量。

2.计算这两个向量的叉积：叉积（也称为外积）是向量运算的一种，其结果是一个新的向量，这个向量垂直于原来的两个向量。

在三维空间中，叉积的公式为：(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1))其中，(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)) 和(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)) 是两个三维向量。

3.规范化叉积结果：叉积的结果可能不是单位向量，如果需要单位法向量，可以对叉积的结果进行规范化（即除以它的模长）：(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{a} \times \mathbf{b}}{|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|})其中，(|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|) 是叉积的模长，可以通过计算(\sqrt{(a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1 - a_1b_3)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2}) 得到。

4.检查方向：确保得到的法向量方向符合题目要求。

有时候，根据问题的上下文，可能需要取叉积结果的相反方向作为法向量。

5.应用法向量：一旦得到法向量，就可以用它来进行各种计算，比如计算点到平面的距离、判断点的位置关系等。

立体几何中平面法向量的求法
高考中理科立体几何解答题的方法大多用空间向量法，其中求平面法向量是常见的量，下面是求平面法向量的一种方法。

为了学生，许多老师在求法向量上下了很大的功夫，并用向量外积的方法给出了比较简单的求法向量的方法，公式如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a,b 不平行，a,b 确定平面法向量n ,则
n =233112233112,,a a a a a a b b b b b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=（a 2b 3-a 3b 2,a 3b 1-a 1b 3,a 1b 2-a 2b 1）。

此公式计算起来简单有效，但是记忆不是太方便，容易让学生记乱。

通过多次实际应用此公式，我发现其实计算过程就是一个很好的记忆公式，现总结如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a ,b 不平行，a ,b 确定平面法向量n =（x,y,z ）,
列表 如图 1231231a a a a b b b b
利用十字相乘作差得到
233231131221x a b a b y a b a b z a b a b =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
由此计算出法向量。

例如：
a=(1,2,3)，b=(1,1,4)。

列表1231
1141
X=2⨯4-3⨯1=5，y=3⨯1-1⨯4=-1，z=1⨯1-2⨯1=-1
所以法向量是（5，-1，-1）。

整理：郭新毅
2013-3-25。

模块六 立体几何 大招16 叉乘法快速求法向量如图，直三棱柱的体积为（1）求A到平面1A BC的距离；AA（2）设D为的中点，1的正弦值．【大招指引】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面BC距离为BC距离为所以11111112000020i j k m i ==- 11111110020200i j k n i j ==-+ 则1cos ,m n m n ⋅===(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点ABD 所成的角的正弦值．3．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥3DP =.(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值.4．如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．参考答案：3．(1)证明见解析(2)55⊥于E，CF⊥【分析】（1）作DE AB直的性质可得PD BD⊥，从而可得BD（2）如图，以点D 为原点，3BD =，则()(1,0,0,0,A B 则()(1,0,3,0,AP BP =-=-4．(1)证明见解析(2)1113【分析】（1）连接BO 并延长交OA OB =，再根据直角三角形的性质得到（2）解：过点A 作//Az OP ，如图建立空间直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以OA AP =又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以BD =所以12AC =，所以()23,2,0O ，B。

三维平面的法向量对于一个三维平面，法向量是垂直于该平面的向量。

法向量可以用来描述平面的方向和倾斜程度。

为了计算一个平面的法向量，可以使用平面上的三个非共线点或者使用平面的法向量方程。

方法一：使用平面上的三个非共线点假设平面上有三个非共线点A(x₁, y₁, z₁)，B(x₂, y₂, z₂)，C(x₃, y₃, z₃)。

可以使用向量叉乘来计算法向量。

首先，计算向量AB和向量AC：向量AB = B - A = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)向量AC = C - A = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁)然后，求出向量AB和向量AC的叉乘，得到法向量N：法向量 N = AB × AC = (y₂ - y₁)(z₃ - z₁) - (z₂ - z₁)(y ₃ - y₁), (z₂ - z₁)(x₃ - x₁) - (x₂ - x₁)(z₃ - z₁), (x₂ - x₁)(y ₃ - y₁) - (y₂ - y₁)(x₃ - x₁)方法二：使用法向量方程假设平面的法向量为N = (a, b, c)。

若平面上有一点P(x, y, z)，则平面上的所有点满足以下方程：ax + by + cz + d = 0其中d是平面的常数项。

可以根据平面上的三个点的坐标，构成一个线性方程组来解法向量N的分量a、b、c。

具体而言，将平面上的三个点的坐标代入方程，得到三个方程：a×x₁ + b×y₁ + c×z₁ + d = 0a×x₂ + b×y₂ + c×z₂ + d = 0a×x₃ + b×y₃ + c×z₃ + d = 0然后，解这个线性方程组，得到法向量的分量a、b、c。

无论使用哪种方法，最终得到的法向量N都是垂直于平面的向量，并且其大小并不重要，因为可以将其标准化（即将其长度归一化为1）以获得单位法向量。

法向量简单求法什么是法向量？法向量，又称法线向量，是一种用于表示平面或曲面法线的特殊类型的矢量。

它与给定平面或曲面的点有关。

由于法线矢量反映了空间上特定点的场向量，因此可以用它来指定曲面的方向、法方程、法线等。

在几何上，法向量是定义一个点P0或几何面上所有截面法线的矢量求解算法。

由于这是非常重要的，因此总结出了它的一些简单方法来求法向量。

一、在三维空间中，两个不平行的平面的交线的法向量就是法向量的简单求法，其中A，B，C，D分别表示三维空间中的一堆点，他们构成了两个不平行的平面：A(a1,a2,a3) B(b1,b2,b3)C(c1,c2,c3) D(d1,d2,d3)法向量N = ( (b1 - a1)*(c2 - a2) - (b2 - a2)*(c1 - a1) , (b2 - a2)*(c3 - a3) - (b3 - a3)*(c2 - a2) , (b3 -a3)*(c1 - a1) - (b1 - a1)*(c3 - a3) )二、给定点及它的法向量的求法，固定一点P(x0,y0,z0)，此点在平面上，此时法向量就是法向量的求法：N = ( a1 * (x0 - x1) + a2 * (y0 - y1) + a3 * (z0 - z1) , b1 * (x0 - x1) + b2 * (y0 - y1) + b3 * (z0 - z1) ,c1 * (x0 - x1) + c2 * (y0 - y1) + c3 * (z0 - z1) )其中a1、a2、a3、b1、b2、b3、c1、c2、c3分别表示平面上三个不同点的坐标，x1、y1、z1表示点P的坐标三、另一种求法向量的方法是求变换矩阵中的旋转角，即在求解法向量时使用旋转矩阵的元素，旋转矩阵的元素构成的是一个三行三列的矩阵 M，它的第一行分别表示x、y和z轴的旋转角，即法向量的求法：N = ( M(1,1), M(1,2), M(1,3) )四、最后，还有一种可以求法向量的方法就是利用特征值分解方程，即特征值分解方程Mx = λx 。

立体几何法向量的求法“嘿，同学们，今天咱们来好好讲讲立体几何法向量的求法。

”那什么是法向量呢？简单来说，法向量就是垂直于一个平面的向量。

它在解决很多立体几何问题中都有着非常重要的作用。

那怎么求法向量呢？给大家举个例子啊，比如说有一个平面，已知这个平面上有两个不共线的向量 AB 和 AC。

那我们就可以设这个平面的法向量为 n=(x,y,z)。

然后根据法向量的定义，法向量和平面上的向量都是垂直的，那就有n·AB=0，n·AC=0。

这样就得到了两个方程，然后通过解方程组就可以求出法向量 n 了。

比如说有个三棱锥，底面是个三角形，三个顶点坐标分别是 A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)。

那向量 AB=(-1,2,0)，向量 AC=(-1,0,3)。

设法向量n=(x,y,z)，那根据n·AB=0，就有-x+2y=0；根据n·AC=0，就有-x+3z=0。

通过解这个方程组，就可以求出法向量 n 了。

在实际应用中，法向量可以帮助我们解决很多问题。

比如求二面角，我们可以分别求出两个平面的法向量，然后通过法向量的夹角来求二面角。

再比如求直线和平面的夹角，也可以通过直线的方向向量和平面的法向量来计算。

就拿求二面角来说吧，有个正方体，其中两个面的法向量分别是 n1 和n2，那这两个法向量的夹角就和二面角有关系。

如果二面角是锐角，那二面角就等于法向量夹角；如果二面角是钝角，那二面角就等于 180 度减去法向量夹角。

同学们，法向量的求法是立体几何中很重要的一个知识点，一定要好好掌握。

在解题的时候，要灵活运用法向量，它能让很多复杂的问题变得简单。

多做一些练习题，熟练掌握这种方法，相信你们在解决立体几何问题的时候会更加得心应手的。

加油哦，同学们！。

三维向量计算练习题求向量的模点积叉积三维向量计算练习题——求向量的模、点积、叉积在三维向量的计算中，我们常常需要求得向量的模、点积和叉积。

本文将为大家提供一些练习题，帮助大家熟悉和掌握三维向量的计算方法。

1. 练习题一：求向量的模给定向量A(A₁, A₂, A₃)，其模表示为│A│。

求向量A(3, -4, 5)的模。

解答：根据三维向量的模的定义，可以得出向量A(3, -4, 5)的模为：│A│=√(A₁²+A₂²+A₃²)=√(3² + (-4)² + 5²)=√(9 + 16 + 25)=√50=5√2答：向量A(3, -4, 5)的模为5√2。

2. 练习题二：求向量的点积给定向量A(A₁, A₂, A₃)和向量A(A₁, A₂, A₃)，其点积表示为A·A。

求向量A(2, 3, -1)和向量A(4, -2, 5)的点积。

解答：根据向量的点积的定义，可以得出向量A(2, 3, -1)和向量A(4, -2, 5)的点积为：A·A=A₁A₁ + A₂A₂ + A₃A₃=2×4 + 3×(-2) + (-1)×5=8 - 6 - 5=-3答：向量A(2, 3, -1)和向量A(4, -2, 5)的点积为-3。

3. 练习题三：求向量的叉积给定向量A(A₁, A₂, A₃)和向量A(A₁, A₂, A₃)，其叉积表示为A×A。

求向量A(1, 2, 3)和向量A(-2, 4, -1)的叉积。

解答：根据向量的叉积的定义，可以得出向量A(1, 2, 3)和向量A(-2, 4, -1)的叉积为：A×A= (A₂A₃ - A₃A₂, A₃A₁ - A₁A₃, A₁A₂ - A₂A₁)= (2×(-1) - 3×4, 3×(-2) - 1×(-1), 1×4 - 2×(-2))= (-2 - 12, -6 + 1, 4 + 4)= (-14, -5, 8)答：向量A(1, 2, 3)和向量A(-2, 4, -1)的叉积为(-14, -5, 8)。