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扭转习题课工程力学重点整理及考试题型扭 转1. 一直径为1D 的实心轴，另一内径为d , 外径为D , 内外径之比为22D d =α的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比21A A 有四种答案： (A) 21α-； (B)324)1(α-；(C) 3242)]1)(1[(αα--；(D) 23241)1(αα--。
2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律： 成立 不成立 成立 不成立3. 一内外径之比为D d =α的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应力为τ，则内圆周处的切应力有四种答案：(A) τ ； (B) ατ； (C) τα)1(3-； (D) τα)1(4-。
4. 长为l 、半径为r 、扭转刚度为p GI 的实心圆轴如图所示。
扭转时，表面的纵向线倾斜了γ角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T 及两端截面的相对扭径d ，材料的切变模量Ge M ，有四种答案：(A)a G d 128π34ϕ； (B) (C) a G d 32π34ϕ；8. 一直径为1D9. 圆轴的极限扭矩是指 扭矩。
对于理想弹塑性材料， 等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩的 倍。
10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是 。
1-10题答案：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. B 7. B 8. 0.479. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩；34 10. 横截面翘曲11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R ，扭转加载到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。
证：截面切应力 R Rs ≤≤-=ρτρτρ0 )341( 截面扭矩 ⎰⎰=⋅-==Rs As d RdA T 00π2)341(ρρτρρρτ证毕。
材料力学 扭转6.1 扭转的概念扭转是杆件变形的一种基本形式。
在工程实际中以扭转为主要变形的杆件也是比较多的，例如图6-1所示汽车方向盘的操纵杆，两端分别受到驾驶员作用于方向盘上的外力偶和转向器的反力偶的作用；图6-2所示为水轮机与发电机的连接主轴，两端分别受到由水作用于叶片的主动力偶和发电机的反力偶的作用；图6-3所示为机器中的传动轴，它也同样受主动力偶和反力偶的作用，使轴发生扭转变形。
图6—1 图6—2 图6—3这些实例的共同特点是：在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面与杆件轴线垂直的力偶，使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线的相对转动。
这种形式的变形称为扭转变形（见图6-4）。
以扭转变形为主的直杆件称为轴。
若杆件的截面为圆形的轴称为圆轴。
图6—46.2 扭矩和扭矩图6.2.1 外力偶矩作用在轴上的外力偶矩，可以通过将外力向轴线简化得到，但是，在多数情况下，则是通过轴所传递的功率和轴的转速求得。
它们的关系式为nPM 9550 （6-1） 其中：M ——外力偶矩（N ·m ）; P ——轴所传递的功率（KW ）；n ——轴的转速（r ／min ）。
外力偶的方向可根据下列原则确定：输入的力偶矩若为主动力矩则与轴的转动方向相同；输入的力偶矩若为被动力矩则与轴的转动方向相反。
6.2.2 扭矩圆轴在外力偶的作用下，其横截面上将产生连续分布内力。
根据截面法，这一分布内力应组成一作用在横截面内的合力偶，从而与作用在垂直于轴线平面内的外力偶相平衡。
由分布内力组成的合力偶的力偶矩，称为扭矩，用n M 表示。
扭矩的量纲和外力偶矩的量纲相同，均为N·m 或kN·m。
当作用在轴上的外力偶矩确定之后，应用截面法可以很方便地求得轴上的各横截面内的扭矩。
如图6-5（a ）所示的杆，在其两端有一对大小相等、转向相反，其矩为M 的外力偶作用。
为求杆任一截面m-m 的扭矩，可假想地将杆沿截面m-m 切开分成两段，考察其中任一部分的平衡，例如图6-5（b ）中所示的左端。
剪切和扭转
1一直径mm 40=d 的螺栓受拉力kN 100P =F 。
已知许用剪切应力MPa 60][=τ，求螺栓头
所需的高度h 。
解题思路：
（1）剪切面是直径为d ，高为h 的圆柱面；
（2）应用剪切实用计算的强度条件（8-4）求螺栓头所需的高度h 。
答案：mm 3.13≥h
2在测定材料剪切强度的剪切器内装一圆试件。
试件的直径mm 15=d ，当压力kN
5.31=F 时，试件被剪断。
试求材料的名义剪切强度极限。
若取许用剪切应力MPa 80][=τ，试问安全系数等于多大
解题思路：
（1）材料的名义剪切强度极限是指试件被剪断时剪切面上的平均切应力； （2）圆试件有2个剪切面；
（3）安全系数等于名义剪切强度极限除以许用切应力。
答案：MPa 2.89b =τ，1.1=n
3用两块盖板和铆钉把两块主板对接起来，已知kN 300P =F ，主板厚mm 10=t ，每块盖板
厚度m m 61=t ，材料的许用剪切应力MPa 100][=τ，许用挤压应力MPa 280][bs =σ。
若铆钉的直径mm 17=d ，求每边所需的铆钉数。
解题思路：
（1）每个铆钉受力相等；
（2）每个铆钉都有2个剪切面，由剪切实用计算的强度条件（8-4）求每边所需的铆钉数； （3）分别写出主板和盖板的挤压力和计算挤压面面积，由挤压强度条件（8-6）对主板和盖
板进行挤压强度计算，求每边所需的铆钉数；
（4）综合剪切实用计算和挤压强度的结果，确定每边所需的铆钉数。
答案：7=n
4图示的铆接件中，已知铆钉直径mm 19=d ，钢板宽度mm 127=b ，厚度mm 7.12=δ，
铆钉的许用剪切应力MPa 137][=τ，许用挤压应力MPa 314][bs =σ；钢板的拉伸许用应力MPa 98][=σ，许用挤压应力MPa 196][bs =σ。
假设四个铆钉所受的剪力相等，试求此联接件的许可载荷。
解题思路：
（1）四个铆钉所受的剪力相等；
（2）由剪切实用计算的强度条件（8-4）求许可荷载； （3）由挤压强度条件（8-6）求许可荷载；
（4）分析上板或下板的轴力变化及各横截面面积的情况，确定拉伸可能危险截面，由拉伸
强度条件（7-14）求许可荷载； （5）综合以上的结果，确定许可荷载。
答案：kN 134][P =F
5实心圆轴的直径mm 100=d ，长m 1=l ，两端受扭转外力偶矩m kN 14e ⋅=M 作用，设材
料的切变模量GPa 80=G ，试求：
（1）最大切应力max τ 及两端截面间的扭转角； （2）图示截面上A ，B ，C 三点处切应力的数值及方向； （3）C 点处的切应变。
解题思路：
（1）确定各横截面的扭矩；由式（8-10）和（8-11）求实心圆轴的I P 和W P ；由式（8-8）
求最大切应力max τ；由式（8-17）求两端截面间的扭转角；
（2）由式（8-7）求图示截面上A ，B ，C 三点处切应力的数值；其各点切应力的方向与截面
上扭矩的转向一致；
（3）由式（8-2）求C 点处的切应变。
答案：（1）MPa 3.71max =τ，
02.1=ϕ（2）MPa 3.71==B A ττ，MPa 65.35=C τ
（3）310446.0-⨯=C γ
6图示一直径为mm 80的等截面圆轴作匀速转动，转速r/min 200=n ，轴上装有五个轮子，
主动轮II 输入的功率为kW 60，从动轮I ，III ，IV ，V 依次输出功率kW 18，kW 12，
kW 22和kW 8，切变模量GPa 80=G 。
试：
（1）作轴的扭矩图； （2）求各段内的最大切应力； （3）求轴两端截面间的相对扭转角。
解题思路：
（1）由式（6-1）求作用在各轮上的转矩；分别写出各段的扭矩，作扭矩图； （2）由式（8-11）求实心圆轴的W P ；由式（8-8）求各段内的最大切应力； （3）由式（8-10）求实心圆轴的I P ；由式（8-18b ）求轴两端截面间的相对扭转角。
答案：MPa 05.20)(III II m ax =-τ，
008.1-=ϕ
7图示水轮发电机的功率为15000kW ，水轮机主轴的正常转速n =250r/min ，外径D =55cm ，内径d =30cm ，材料的许用切应力[]=50MPa ，切变模量G =80GPa ，许用单位长度扭转角[
]=1º/ m ，试校核水轮机主轴的强度和刚度。
解题思路：
（1）由式（6-1）求作用在水轮机主轴上的转矩，确定轴横截面上的扭矩大小； （2）由式（8-12）和（8-13）分别计算空心轴的I P 和W P ； （3）由强度条件（8-20）校核水轮机主轴的强度； （4）由刚度条件（8-25）校核水轮机主轴的刚度。
答案：MPa 2.19m ax =τ，m /05.0m ax =θ
8某传动轴设计要求转速 n = 500 r / min ，输入功率P 1=370kW ，输出功率为P 2=150kW 及
P 3=220kW 。
已知材料的许用切应力[]=70MPa ，切变模量G =80GPa ，许用单位长度扭
转角[ ]=1º/ m 。
试确定：
(1) AB 段直径 d 1和 BC 段直径 d 2 ； (2) 若全轴选同一直径，该值应为多少
(3) 主动轮与从动轮如何安排才使传动轴的受力更为合理
解题思路：
（1）由式（6-1）求作用在轴上的转矩，确定轴横截面上的扭矩大小； （2）写出实心轴圆截面极惯性矩和扭转截面系数表达式；
（3）由强度条件（8-20）和刚度条件（8-25）确定AB 段直径 d 1和 BC 段直径 d 2； （4）主动轮与从动轮的安排使传动轴上最大扭矩的数值较小的方案更为合理。
答案：（1）m m 851=d ，m m 752=d （2）略 （3）略
9变截面圆轴受力如图所示。
已知扭转外力偶矩M e1=1765N m ，M e2=1171N m ，材料的切变模
量G =，试：
（1）确定轴内最大切应力，并指出其作用位置； （2）确定轴内最大相对扭转角 max 。
解题思路：
（1）确定轴横截面上的扭矩大小；
（2）由式（8-10）和（8-11）分段计算I P 和W P ； （3）由式（8-8）分段计算最大切应力并作比较； （4）由式（8-18b ）确定轴内最大相对扭转角 max 。
答案：（1）MPa 7.47max =τ（BC 段） （2）rad 1027.22m ax -⨯=ϕ。
