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1.简谐运动及其图像课标要求1.知道机械振动是机械运动的一种形式，知道简谐运动的概念．2．知道弹簧振子的位移时间图像的形态，理解图像的物理意义．3．知道振幅、周期和频率的概念，了解初相位和相位差的概念，理解相位的物理意义．4．驾驭简谐运动的表达式中各量的物理意义，能依据简谐运动表达式解决相关问题．思维导图必备学问·自主学习——突出基础性素养夯基一、机械振动1．物体(或物体的某一部分)在某一位置________所做的往复运动，叫作机械振动，通常简称为振动，这个位置称为平衡位置．[举例]钟摆、吊灯的摇摆、树梢的摇摆、声带的振动等都是机械振动．2．简谐运动(1)弹簧振子将弹簧上端固定，下端连接一个小球，小球可在竖直方向上运动．弹簧的质量比小球的质量小得多，可以忽视不计，若不计空气阻力，这样的系统称为弹簧振子，其中小球称为振子．(2)位移时间图像建立坐标系，横轴代表________，纵轴代表小球______________________，它就是小球在平衡位置旁边往复运动的位移时间图像，称为弹簧振子的振动图像．(3)简谐运动假如质点的位移与时间的关系严格遵从________的规律，即它的振动图像是一条________，这样的运动叫作简谐运动．[导学1]简谐运动的位移均为相对平衡位置的位移，即表示位移的有向线段的起点是平衡位置．[导学2]弹簧振子的振动图像不是振子的运动轨迹，弹簧振子的运动轨迹是一段线段．[导学3]简谐运动的表达式既可以用正弦函数也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同而已．二、描述简谐运动的物理量1．振幅(1)定义：振子离开平衡位置的________，用A表示，单位为米(m)等．(2)振动范围：振动物体运动的范围为振幅的两倍．(3)物理意义：振幅是表示振动强弱的物理量．2．全振动：假如振子由B点经O点运动到B′点，又由B′点经O点回到B点，我们就说振子完成了一次全振动．3．周期和频率内容周期频率定义振子完成一次________所须要的时间，用T表示完成________的次数与所用时间之比，用f表示单位________(s)________(Hz)物理含义表示________的物理量关系式T＝4.相位：表示振动步调的物理量．三、简谐运动的表达式简谐运动的表达式为x＝A sin (ωt＋φ0)＝A sin (t＋φ0)＝A sin (2πft＋φ0)．A表示振动的________；T和f分别表示物体振动的周期和频率；2πft＋φ0是简谐运动的________，φ0表示t＝0时的相位，叫作初相位，简称________．关键实力·合作探究——突出综合性素养形成探究点一弹簧振子与简谐运动的运动特征导学探究如图所示，把一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑的杆上，能够自由滑动．小球和弹簧所组成的系统称作弹簧振子．将振子从A点由静止释放，细致视察它们的运动特点．(1)为什么说弹簧振子是一种志向化模型？(2)弹簧振子的位移始点是哪个点？如何表示其位移？归纳总结1.弹簧振子看作志向化模型的条件(1)弹簧的质量比振子的质量小得多，可以认为质量集中于振子．(2)阻力(摩擦力及空气阻力)足够小．(3)振动中，弹簧形变始终处于弹性限度内．2．简谐运动的位移(1)振动位移与运动物体在某一时间内的位移的区分振动位移可用从平衡位置指向振子所在位置的有向线段表示，方向为从平衡位置指向振子所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离；而物体在某一时间内的位移是相对于这段时间内初始位置的位移，其方向由初始位置指向末位置，其大小等于初、末位置间的距离．(2)位移的表示方法以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示．例如，若某一时刻振子在平衡位置正方向一侧，离平衡位置2 cm，则可以表示为x＝2 cm，若x＝－8 cm，则表示振子在平衡位置负方向一侧，距平衡位置8 cm.3．简谐运动的运动特点(1)与一般的机械运动相比，机械振动的突出特点在于机械振动是一种往复运动，且具有肯定的周期性．(2)与一般的机械振动相比，简谐运动的突出特点在于简谐运动的振动位移随时间按正弦规律改变，即简谐运动的振动图像(xt图像)是一条正弦曲线．典例示范例1 (多选)如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，关于振子的运动，下列说法正确的是( )A．振子从A点运动到C点时位移大小为，方向向右B．振子从C点运动到A点时位移大小为，方向向右C．振子从A点运动到C点的过程中，速度在增大，加速度在减小D．振子从A点运动到O点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大归纳总结对弹簧振子的说明(1)弹簧振子有多种表现形式，对于不同的弹簧振子，在平衡位置处，弹簧不肯定处于原长(如竖直放置的弹簧振子)，但运动方向上的合外力肯定为零，速度也肯定最大．(2)弹簧振子位于关于平衡位置对称的两点时，振子的位移大小相等，方向相反；振子的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．(3)振子的位移是指相对平衡位置的位移，即由平衡位置指向振子所在的位置．振子向平衡位置运动，速度渐渐增大；振子远离平衡位置运动，速度渐渐减小．素养训练1 (多选)如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统．用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是( )A．钢球的最低处为平衡位置B．钢球原来静止时的位置为平衡位置C．钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cmD．钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm素养训练2 (多选)如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的是( )A．若位移为负值，则加速度肯定为正值B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大C．振子每次通过平衡位置时，位移相同，速度也肯定相同D．振子每次通过同一位置时，其速度不肯定相同，但位移肯定相同探究点二简谐运动的图像导学探究如图是应用频闪照相法，拍摄得到的小球和弹簧的一系列的像．如何证明弹簧振子运动的xt图像是正弦曲线？归纳总结1.对xt图像的理解xt图像上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标．它反映了振子位移随时间改变的规律，不是振子的运动轨迹．2．图像的应用(1)可干脆读出不同时刻t的位移x值．某时刻振子位置在t轴上方，表示位移为正，位置在t轴下方表示位移为负．如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2.(2)随意时刻质点的振动方向．看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置远，故a点此刻向＋x方向运动．(3)速度的大小和方向，依据图线的斜率推断．图像上某点的斜率的大小表示速度大小，斜率的正负表示运动的方向．在平衡位置，图线的切线斜率最大，质点速度最大；在最大位移处，图线的切线斜率为零，质点速度为0.在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大．3．归纳总结(1)图像的改变：简谐运动的图像随时间的增加而延长．(2)分析图像问题时，要把图像与物体的振动过程联系起来．①图像上的一个点表示振动中的一个状态．②图像上的一段图线对应振动中的一个过程．典例示范例 2 如图甲所示为一弹簧振子的振动图像，规定向右的方向为正方向，试依据图像分析以下问题：(1)如图乙所示，振子振动的起始位置是________，从起始位置起先，振子向________(填“右”或“左”)运动．(2)在图乙中，找出图甲中的O、A、B、C、D各点对应振动过程中的哪个位置？即O对应________，A对应________，B对应________，C对应________，D对应________．(3)在t＝2 s时，振子的速度方向与t＝0时振子的速度的方向________；1～2 s内振子的速度大小的改变状况是________．(4)振子在前4 s内的位移等于________．归纳总结应用图像分析质点运动的两点留意(1)分析图像问题时，要把图像与物体的振动过程联系起来，图像上的一个点表示振动中的一个状态，图像上的一段图线对应振动的一个过程．(2)从图像中可干脆读出质点的最大位移、某时刻质点的位移大小和方向；可推断某时刻质点的速度方向及一段时间内速度大小的改变状况．素养训练3 (多选)如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )A．由P→Q，位移在增大B．由P→Q，速度在增大C．由M→N，位移先减小后增大D．由M→N，位移始终减小素养训练4 如图所示，某质点做简谐运动的图像上有a、b、c、d、e、f六个点，其中：(1)与a位移相同的点有哪些？(2)与a速度相同的点有哪些？(3)质点离平衡位置的最大距离为多大？探究点三描述简谐运动的物理量导学探究如图所示为弹簧振子，O为它的平衡位置，将振子拉到A点由静止释放，视察振子的振动；然后将振子拉到B点释放，再视察振子的振动．(1)两次振动有什么差别？用什么物理量来描述这种差别？(2)用秒表分别记录完成50次往复运动所用的时间，两种状况下是否相同？每完成一次往复运动所用时间是否相同？这个时间有什么物理意义？归纳总结1.对全振动的理解(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经验的过程，叫作一次全振动．(2)全振动的四个特征：①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．②时间特征：历时一个周期．③路程特征：振幅的4倍．④相位特征：增加2π.2．简谐运动中振幅和几个物理量的关系(1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的改变．(2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅．(3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．典例示范例3 如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间是2 s，则( )A．从O→B→O振子做了一次全振动B．振动周期为2 s，振幅是10 cmC．从B起先经过6 s，振子通过的路程是60 cmD．从O起先经过3 s，振子处在平衡位置归纳总结解决简谐运动的两点技巧(1)先确定最大位移处(v＝0)和平衡位置，才能确定振幅大小．(2)求某段时间Δt内的路程时，须先确定这段时间是周期的多少倍，若Δt＝kT(k为整数)，则s＝4kA.素养训练5 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知( )A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cmB．质点经过1 s通过的路程总是2 cmC．0～3 s内，质点通过的路程为6 cmD．t＝3 s时，质点的振幅为零素养训练6 (多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述中正确的是( )A．质点的振动频率为4 HzB．在10 s内质点经过的路程为20 cmC．在5 s末，质点做简谐运动的相位为πD．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm探究点四简谐运动的表达式导学探究(1)如图是弹簧振子做简谐运动的xt图像，它是一条正弦曲线．请依据数学学问用图中符号写出此图像的函数表达式，并说明各量的物理意义．(2)有两个简谐运动：x1＝3a sin (4πbt＋)和x2＝9a sin (8πbt＋)，它们的振幅之比是多少？频率各是多少？归纳总结1.简谐运动的表达式：x＝A sin (ωt＋φ0)．式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间；A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅．2．简谐运动两种描述方法的比较(1)简谐运动图像即xt图像是直观表示质点振动状况的一种手段，表示质点的位移x 随时间t改变的规律．(2)x＝A sin (ωt＋φ0)是用函数表达式的形式反映质点的振动状况．(3)两者对同一个简谐运动的描述是一样的．我们要能够做到两个方面：一是依据振动方程作出振动图像，二是依据振动图像读出振幅、周期、初相，进而写出位移的函数表达式．典例示范例4 (多选)物体A做简谐运动的振动位移x A＝3cos (100t＋)m，物体B做简谐运动的振动位移x B＝5cos (100t＋)m.比较A、B的运动，下列说法正确的是( )A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 mB．周期是标量，A、B周期相等，为100 sC．A振动的频率f A等于B振动的频率f BD．A的相位始终超前B的相位归纳总结用简谐运动的表达式解答振动问题的方法(1)明确表达式中各物理量的意义，可干脆读出振幅、周期和初相．(2)ω＝＝2πf是解题时常涉及的表达式．(3)解题时画出其振动图像，会使解答过程简捷、明白．素养训练7 (多选)某质点做简谐运动，其位移随时间改变的关系式为x＝A sin t，则质点( )A．第1 s末与第3 s末的位移相同B．第1 s末与第3 s末的速度相同C．第3 s末与第5 s末的位移相同D．第3 s末与第5 s末的速度相同素养训练8 某个质点的简谐运动图像如图所示．(1)求振动的振幅和周期；(2)写出简谐运动的表达式．随堂演练·自主检测——突出创新性素养达标1．(多选)下列运动中属于机械振动的是( )A．树枝在风的作用下运动B．竖直向上抛出的物体的运动C．说话时声带的振动D．爆炸声引起窗扇的振动2．(多选)对于做简谐运动的弹簧振子，下述说法正确的是( )A．振子通过平衡位置时，速度最大B．振子在最大位移处时，速度最大C．振子在连续两次通过同一位置时，位移相同D．振子连续两次通过同一位置时，速度相同3．周期为2 s的简谐运动，在半分钟内振子通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为( )A．15次，2 cm B．30次，1 cmC．15次，1 cm D．60次，2 cm4．如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动．以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向．若振子位于N点时起先计时，则其振动图像为( )5．弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，B、C相距20 cm，某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点，求：(1)振子的振幅；(2)振子的周期和频率；(3)振子在5 s内通过的路程．1．简谐运动及其图像必备学问·自主学习一、1．两侧2．(2)时间t相对平衡位置的位移x(3)正弦函数正弦曲线二、1．(1)最大距离3．全振动全振动秒赫兹振动快慢三、振幅相位初相关键实力·合作探究探究点一【导学探究】提示：(1)弹簧振子的运动中不计阻力，而且弹簧的质量与小球相比可以忽视，故是一种志向化模型．(2)位移的起点在平衡位置；振动物体的位移x用从平衡位置指向物体所在位置的有向线段表示．【典例示范】例1 解析：振子从A点运动到C点时的位移是以O点为起点，C点为终点，故大小为，方向向右，A正确；振子从C点运动到A点时位移是以O点为起点，A点为终点，故大小为，方向向右，B错误；振子的合外力为弹簧的弹力，振子从A点运动到C点的过程和从A点运动到O点的过程中，弹力都在减小，故加速度都在减小，速度方向与加速度方向相同，故速度在增大，C正确，D错误．答案：AC素养训练1 解析：振子的平衡位置为振子静止时的位置，故A错误，B正确；振动中的位移为从平衡位置指向某时刻振子所在位置的有向线段，据题意可推断C正确，D错误．答案：BC素养训练2 解析：振子受的力指向平衡位置，振子的位移为负值时，振子的加速度为正值，A正确；当振子通过平衡位置时，位移为零，速度最大，B错误；当振子每次通过平衡位置时，速度大小相同，方向不肯定相同，但位移相同，C错误；当振子每次通过同一位置时，位移相同，速度大小一样，但方向可能相同，也可能不同，D正确．答案：AD探究点二【导学探究】提示：方法一在图中，测量小球在各个位置的横坐标和纵坐标，把测量值输入计算机中作出这条曲线，然后依据计算机提示用一个周期性函数拟合这条曲线，看一看弹簧振子的位移与时间的关系可以用什么函数表示．方法二假定是正弦曲线，可用刻度尺测量它的振幅和周期，写出对应的表达式，然后在曲线中选小球的若干个位置，用刻度尺在图中测量它们的横坐标和纵坐标，代入所写出的正弦函数表达式中进行检验，看一看这条曲线是否真的是一条正弦曲线．【典例示范】例2 解析：(1)由题图x-t图像知，在t＝0时，振子在平衡位置，故起始位置为E；从t＝0时，振子向正的最大位移处运动，即向右运动．(2)由xt图像知：O点、B点、D点对应振动过程中的E点，A点在正的最大位移处，对应G点；C点在负的最大位移处，对应F 点．(3)t＝2 s时，图线斜率为负，即速度方向为负方向；t＝0时，图线斜率为正，即速度方向为正方向，故两时刻速度方向相反，1～2 s内振子的速度渐渐增大．(4)4 s末振子回到平衡位置，故振子在前4 s内的位移为零．答案：(1)E右(2)E G E F E(3)相反渐渐增大(4)0素养训练3 解析：由P→Q，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，A正确，B错误；由M→N，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因而位移先减小后增大，C正确，D错误．答案：AC素养训练4 解析：(1)位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，可知与a位移相同的点有b、e、f.(2)速度也是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a速度相同的点有d、e.(3)质点离平衡位置的最大距离即质点最大位移的大小．由题图知最大距离为2 cm.答案：(1)b、e、f(2)d、e(3)2 cm探究点三【导学探究】提示：(1)其次次振动的幅度比第一次振动的幅度大．用振幅来描述振动幅度的大小．(2)两种状况下所用的时间是相等的．每完成一次往复运动所用的时间是相同的．这个时辰表示振动的快慢．【典例示范】例3 解析：振子从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B振子也只是半个全振动，半个全振动是2 s，所以振动周期是4 s，B错误；6 s＝T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O起先经过3 s，振子处在最大位移处A或B，D错误．答案：C素养训练5 解析：由题图可以干脆看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，A错误；质点在1 s即个周期内通过的路程不肯定等于一个振幅，B错误；因为t＝0时质点在最大位移处，0～3 s为T，质点通过的路程为3A＝6 cm，C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区分，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，D错误．答案：C素养训练6 解析：由题图振动图像可干脆得到周期T＝4 s，频率f＝＝0.25 Hz，A 错误；做简谐运动的质点一个周期内经过的路程是4A＝8 cm.10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，B正确；由图像知位移与时间的关系为x＝0.02sin m．当t＝5 s时，其相位为×5＝π，C错误；在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，x′＝2sin (×1.5)cm＝ cm，D正确．答案：BD探究点四【导学探究】提示：(1)表达式x＝A sin (t＋φ0)，式中A表示振幅，T表示周期，φ0表示初相位．(2)它们的振幅分别为3a和9a，比值为1∶3；频率分别为2b和4b.【典例示范】例4 解析：振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别是3 m、5 m，A错误；A、B的振动周期为T＝＝ s＝6.28×10－2s，B错误；因为T A＝T B，故f A＝f B，C 正确；相位差Δφ＝φA－φB＝，D正确．答案：CD素养训练7 解析：依据x＝A sin t可求得该质点振动周期为T＝ 8 s，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s 末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，C错误，D正确．答案：AD素养训练8 解析：(1)由题图读出振幅A＝10 cm，简谐运动方程x＝A sin ，代入数据得－10＝10sin (×7)，得T＝8 s.(2)x＝A sin ＝10sin cm.答案：(1)10 cm 8 s (2)x＝10sin cm随堂演练·自主检测1．解析：物体在平衡位置旁边所做的往复运动属于机械振动，A、C、D正确；竖直向上抛出的物体到最高点后返回落地，不具有运动的往复性，因此不属于机械振动，B错误．答案：ACD2．解析：振子经过平衡位置时速度最大，A正确；振子在最大位移处时速度最小，B错误；同一位置相对于平衡位置的位移相同，C正确；速度是矢量，振子连续两次通过同一位置时速度大小相等，方向相反，即速度不同，D错误．答案：AC3．解析：振子完成一次全振动经过轨迹上每点的位置均为两次(除最大位移处)，而每次全振动振子通过的路程为4个振幅，B正确．答案：B4．解析：由题意，向右为x轴的正方向，振子位于N点时起先计时，因此t＝0时，振子的位移为正的最大值，振动图像为余弦函数，A正确．答案：A5．解析：(1)振幅设为A，则有2A＝BC＝20 cm，所以A＝10 cm.(2)从B首次到C的时间为周期的一半，因此T＝2t＝1 s，再依据周期和频率的关系可得f＝＝1 Hz.(3)振子一个周期通过的路程为4A＝40 cm，即一个周期运动的路程为40 cm，s＝·4A＝5×40 cm＝200 cm.答案：(1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm。
机械振动概念、知识点总结1、机械振动：物体在平衡位置附近的往复运动。
例1：乒乓球在地面上的来回运动属于往复运动，不属于机械振动。
因为：乒乓球没有在平衡位置附近做往复运动。
（1）平衡位置：①物体所受回复力为零的位置。
②振动方向上，合力为零的位置。
③物体原来静止时的位置。
（2）机械振动的平衡位置不一定是振动范围的中心。
（3）机械振动的位移：以平衡位置为起点，偏离平衡位置的位移。
（4）回复力：沿振动方向，指向平衡位置的合力。
①回复力是某些性质力充当了回复力，所以回复力是效果力，不是性质力。
②回复力与合外力的关系： 直线振动（如弹簧振子）：回复力一定等于振子的合外力，也就是说，振子的合外力全部充当回复力。
曲线振动（如单摆）：回复力不一定等于振子的合外力。
③平衡位置,回复力为零。
例2：判断：机械振动中，振子的平衡位置是合外力（加速度）为零的位置。
答：错误。
正例：弹簧振子的平衡位置是合外力为零的位置。
反例：单摆中，小球的最低点为平衡位置，回复力为零， 但合外力为：2mv F F T mg L==-=合向 最低点时，小球速度最大，0v ≠，所以0F ≠合2、简谐运动（简谐运动是变加速运动，不是匀变速运动） （1）简谐运动定义：①位移随时间做正弦变化②回复力与位移的关系： F 回=-kx ，即：回复力大小与位移大小成正比。
（2）F 回，x ，v 的关系①F 回与x 的大小成正比，方向总是相反。
（F 回总是指向平衡位置，x 总是背离平衡位置） ②v 的大小与F 回，x 反变化，但方向无联系。
振动范围的两端：F 回，x 最大，v=0，最小 平衡位置： F 回=0，x =0最小，v 最大例3：判断：简谐振动加速度大小与位移成正比 答：错误。
正例：弹簧振子的F 合=F 回=-kx ，a=F 合/m=-kx/m ，a 与位移大小成正比反例：单摆中，小球在平衡位置时，位移为零，但0F ≠合，0a ≠，a 与位移大小不成正比。
物理中的机械振动知识点解析及解题技巧机械振动是物理学中的重要分支，研究物体在平衡位置附近做微小振幅周期性运动的规律。
在本文中，我们将对机械振动的知识点进行解析，并介绍一些解题技巧。
一、简谐振动简谐振动是理想化的机械振动模型，它假设振动系统没有能量损耗，且恢复力与位移成正比。
简谐振动的典型例子包括弹簧振子和摆锤等。
解析公式：1. 位移公式：x(t) = A*cos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
2. 速度公式：v(t) = -A*ω*sin(ωt+φ)。
3. 加速度公式：a(t) = -A*ω²*cos(ωt+φ)。
解题技巧：1. 周期与频率的关系：T = 1/f，其中T为周期，f为频率。
2. 角频率与频率的关系：ω = 2πf。
3. 振动的周期和频率与弹簧的劲度系数和质量有关：T = 2π√(m/k)，其中m为质量，k为劲度系数。
二、阻尼振动阻尼振动是指振动系统中存在有能量消耗的情况下的振动现象。
根据阻尼的不同，可以分为无阻尼振动、欠阻尼振动和过阻尼振动。
解析公式：1. 无阻尼振动的位移公式：x(t) = A*cos(ωnt + φ)，其中A为振幅，ωn为自然角频率，t为时间，φ为初相位。
2. 欠阻尼振动的位移公式：x(t) = A*e^(-βt)*cos(ωdt + φ)。
3. 过阻尼振动的位移公式：x(t) = A1*e^((-β1)t) + A2*e^((-β2)t)，其中A1、A2为常数，β1、β2为自然频率。
解题技巧：1. 阻尼比：ζ = β/ωn，其中β为阻尼常数，ωn为自然角频率。
2. 衰减因子：η = e^(-βt)。
三、受迫振动受迫振动是指振动系统在受到外力作用下的振动现象。
当外力频率等于振动系统的固有频率时，会出现共振现象。
解析公式：1. 受迫振动的位移公式：x(t) = X*cos(ωt-δ)，其中X为振幅，ω为外力角频率，t为时间，δ为初相位差。
九、机械振动一、知识网络二、画龙点睛概念1、机械振动(1)平衡位置：物体振动时的中心位置，振动物体未开始振动时相对于参考系静止的位置，或沿振动方向所受合力等于零时所处的位置叫平衡位置。
(2)机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。
(3)振动特点：振动是一种往复运动，具有周期性和重复性2、简谐运动(1)弹簧振子：一个轻质弹簧联接一个质点，弹簧的另一端固定，就构成了一个弹簧振子。
(2)振动形成的原因①回复力：振动物体受到的总能使振动物体回到平衡位置，且始终指向平衡位置的力，叫回复力。
振动物体的平衡位置也可说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。
②形成原因：振子离开平衡位置后，回复力的作用使振了回到平衡位置，振子的惯性使振子离开平衡位置；系统的阻力足够小。
(3)振动过程分析振子的运动A→O O→A′A′→O O→A对O点位移的方向向右向左向左向右(4)简谐运动的力学特征①简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动。
②动力学特征：回复力F与位移x之间的关系为F＝－kx式中F为回复力，x为偏离平衡位置的位移，k是常数。
简谐运动的动力学特征是判断物体是否为简谐运动的依据。
③简谐运动的运动学特征a＝－k m x加速度的大小与振动物体相对平衡位置的位移成正比，方向始终与位移方向相反，总指向平衡位置。
简谐运动加速度的大小和方向都在变化，是一种变加速运动。
简谐运动的运动学特征也可用来判断物体是否为简谐运动。
例题：试证明在竖直方向的弹簧振子做的也是简谐振运动。
证明：设O为振子的平衡位置，向下方向为正方向，此时弹簧形变量为ｘ0，根据胡克定律得ｘ0＝mg/k当振子向下偏离平衡位置ｘ时，回复力为F＝mg－ｋ(ｘ＋ｘ0)则Ｆ＝－kx所以此振动为简谐运动。
3、振幅、周期和频率⑴振幅①物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。
②定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。
1.简谐运动（1）定义：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动。
（2）简谐运动的特征：回复力F=-kx，加速度a=-kx/m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置。
简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。
（3）描述简谐运动的物理量①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量，其最大值等于振幅。
②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱。
③周期T和频率f：表示振动快慢的物理量，二者互为倒数关系，即T=1/f。
（4）简谐运动的图像①意义：表示振动物体位移随时间变化的规律，注意振动图像不是质点的运动轨迹。
②特点：简谐运动的图像是正弦（或余弦）曲线。
③应用：可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x，判定回复力、加速度方向，判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。
2.弹簧振子：周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放置的环境和放置的方式无任何关系。
如某一弹簧振子做简谐运动时的周期为T，不管把它放在地球上、月球上还是卫星中；是水平放置、倾斜放置还是竖直放置；振幅是大还是小，它的周期就都是T。
3.单摆：摆线的质量不计且不可伸长，摆球的直径比摆线的长度小得多，摆球可视为质点。
单摆是一种理想化模型。
（1）单摆的振动可看作简谐运动的条件是：最大摆角α<5°。
（2）单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力。
①在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关。
②单摆的振动周期跟摆球的质量无关，只与摆长L和当地的重力加速度g有关。
③摆长L是指悬点到摆球重心间的距离，在某些变形单摆中，摆长L应理解为等效摆长，重力加速度应理解为等效重力加速度（一般情况下，等效重力加速度g‘等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力与摆球质量的比值）。
知识结构重点难点一、物体(或物体的一部分)在某一中心位置两侧所做的往复运动叫做机械振动。
机械振动的产生条件1．物体受回复力的作用2．阻力足够小二、回复力的概念1．把物体受到的指向平衡位置的力叫回复力，所以回复力是以力的效果而命名的2．回复力可能是某个力；可能是几个力的合力；可能是某个力的分力．三、简谐振动的定义平衡位置：物体停止振动后所在的位置，即物体所受回复力为零的位置．受力情况：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐振动．若用F 表示物体所受的回复力，x 表示物体离开平衡位置的位移，则F 与x 的关系为F=-kx四、描述简谐振动的物理量：振幅、周期（频率）、相位1．振幅：描述振动强弱的物理量，振幅等于物体离开平衡位置的最大距离．2．周期：描述振动快慢的物理量，周期等于物体完成一次全振动所用的时间．频率：描述振动快慢的物理量，频率等于单位时间内完成全振动的次数．周期与频率的关系为 T =3．相位：描述振动状态的物理量，即描述简谐振动在一个全振动中所处的不同阶段．例如，两个振幅和周期完全相同的振动，它们的振动状态不一定相同，甲振动在平衡位置时，乙振动可能在最大位移，即它们不同步，这样它们在各个时刻的加速度、速度、位移都不相同，因而运动状态也不同，两个振动之间的相位之差叫相位差．相位是描述振动的一个重要的物理量．为了描述振动物体所处的状态和为了比较两振动的物体的振动步调，引入物理量相位。
2．相位决定了振动物体的振动状态，两个振动的步调一致称为同相，步调完全相反称为反相．五、简谐振动的三角函数表达式其中A为物体做简谐振动的振幅，ω为振动的圆频率且为振动的相位，φ为振动的初相位．x为振动物体在t时刻的位移，这样我们知道简谐振动位移随时间变化的函数关系x(t )为三角函数，描述简谐振动的几个物理量（A、f、φ）是这一函数表达式中的几个常数，这几个常数决定了振动的情况．六、简谐振动的图象知道简谐振动位移随时间变化的函数关系，就可以画出它的图象（图1）图中实线和虚线分别表示两个简谐振动的图象，纵坐标的最大值是振动的振幅，横坐标轴上方标出时间，下方标出相位，相位的数值就是角度，与三角函数相同．由图可知两个振动的振幅相同，周期相同，但初相位不同．初相位是t=0 时刻的相位，虚线是正弦函数曲线，t=0 时刻的相位为0．实线与虚线在横坐标上相差一段距离，t=0 时刻的相位为-实线所表示的振动比虚线所表示的振动落后T/4，相位上落后图象是可以形象记忆的知识，把物理量、函数表达式和图象有机结合起来可以帮助我们把握规律，并有效记忆知识．七、弹簧振子和单摆的受力情况弹簧振子是理想化的模型，振动的质点称为振子，振子和轻质弹簧的一端连接，弹簧的另一端固定，这样的系统称为弹簧振子。
（一）机械振动物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。
回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。
产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。
b、阻力足够小。
（二）简谐振动1. 定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。
简谐振动是最简单，最基本的振动。
研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。
因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－k x，其中“－”号表示力方向跟位移方向相反。
2. 简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。
3. 简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。
（三）描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。
1. 振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。
2. 周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。
振动的周期T跟频率f之间是倒数关系，即T=1/f。
振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。
（四）单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。
细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。
一. 教学内容：第十一章机械振动本章知识复习归纳二. 重点、难点解析（一）机械振动物体（质点）在某一中心位置两侧所做地往复运动就叫做机械振动,物体能够围绕着平衡位置做往复运动,必然受到使它能够回到平衡位置地力即回复力.回复力是以效果命名地力,它可以是一个力或一个力地分力,也可以是几个力地合力.产生振动地必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用.b、阻力足够小.（二）简谐振动1. 定义：物体在跟位移成正比,并且总是指向平衡位置地回复力作用下地振动叫简谐振动.简谐振动是最简单,最基本地振动.研究简谐振动物体地位置,常常建立以中心位置（平衡位置）为原点地坐标系,把物体地位移定义为物体偏离开坐标原点地位移.因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比,方向跟位移相反地回复力作用下地振动,即F=－k x,其中“－”号表示力方向跟位移方向相反.2. 简谐振动地条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置地位移成正比,方向跟位移方向相反地回复力作用.3. 简谐振动是一种机械运动,有关机械运动地概念和规律都适用,简谐振动地特点在于它是一种周期性运动,它地位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化.（三）描述振动地物理量,简谐振动是一种周期性运动,描述系统地整体地振动情况常引入下面几个物理量.1. 振幅：振幅是振动物体离开平衡位置地最大距离,常用字母“A”表示,它是标量,为正值,振幅是表示振动强弱地物理量,振幅地大小表示了振动系统总机械能地大小,简谐振动在振动过程中,动能和势能相互转化而总机械能守恒.2. 周期和频率,周期是振子完成一次全振动地时间,频率是一秒钟内振子完成全振动地次数.振动地周期T跟频率f 之间是倒数关系,即T=1/f.振动地周期和频率都是描述振动快慢地物理量,简谐振动地周期和频率是由振动物体本身性质决定地,与振幅无关,所以又叫固有周期和固有频率.（四）单摆：摆角小于5°地单摆是典型地简谐振动.细线地一端固定在悬点,另一端拴一个小球,忽略线地伸缩和质量,球地直径远小于悬线长度地装置叫单摆.单摆做简谐振动地条件是：最大摆角小于5°,单摆地回复力F是重力在圆弧切线方向地分力.单摆地周期公式是T=.由公式可知单摆做简谐振动地固有周期与振幅,摆球质量无关,只与L和g有关,其中L是摆长,是悬点到摆球球心地距离.g是单摆所在处地重力加速度,在有加速度地系统中（如悬挂在升降机中地单摆）其g应为等效加速度.（五）振动图象.简谐振动地图象是振子振动地位移随时间变化地函数图象.所建坐标系中横轴表示时间,纵轴表示位移.图象是正弦或余弦函数图象,它直观地反映出简谐振动地位移随时间作周期性变化地规律.要把质点地振动过程和振动图象联系起来,从图象可以得到振子在不同时刻或不同位置时位移、速度、加速度,回复力等地变化情况.（六）阻尼振动、受迫振动、共振.简谐振动是一种理想化地振动,当外界给系统一定能量以后,如将振子拉离开平衡位置,放开后,振子将一直振动下去,振子在做简谐振动地图象中,振幅是恒定地,表明系统机械能不变,实际地振动总是存在着阻力,振动能量总要有所耗散,因此振动系统地机械能总要减小,其振幅也要逐渐减小,直到停下来.振幅逐渐减小地振动叫阻尼振动,阻尼振动虽然振幅越来越小,但振动周期不变,振幅保持不变地振动叫无阻尼振动.振动物体如果在周期性外力──策动力作用下振动,那么它做受迫振动,受迫振动达到稳定时其振动周期和频率等于策动力地周期和频率,而与振动物体地固有周期或频率无关.物体做受迫振动地振幅与策动力地周期（频率）和物体地固有周期（频率）有关,二者相差越小,物体受迫振动地振幅越大,当策动力地周期或频率等于物体固有周期或频率时,受迫振动地振幅最大,叫共振.【典型例题】[例1] 一弹簧振子在一条直线上做简谐运动,第一次先后经过M、N两点时速度v（v≠0）相同,那么,下列说法正确地是（）A. 振子在M、N两点受回复力相同B. 振子在M、N两点对平衡位置地位移相同C. 振子在M、N两点加速度大小相等D. 从M点到N点,振子先做匀加速运动,后做匀减速运动解析：建立弹簧振子模型如图所示,由题意知,振子第一次先后经过M、N两点时速度v相同,那么,可以在振子运动路径上确定M、N两点,M、N两点应关于平衡位置O对称,且由M运动到N,振子是从左侧释放开始运动地（若M 点定在O点右侧,则振子是从右侧释放地）.建立起这样地物理模型,这时问题就明朗化了.因位移、速度、加速度和回复力都是矢量,它们要相同必须大小相等、方向相同.M、N两点关于O点对称,振子回复力应大小相等、方向相反,振子位移也是大小相等,方向相反.由此可知,A、B选项错误.振子在M、N两点地加速度虽然方向相反,但大小相等,故C选项正确.振子由M→O速度越来越大,但加速度越来越小,振子做加速运动,但不是匀加速运动.振子由O→N速度越来越小,但加速度越来越大,振子做减速运动,但不是匀减速运动,故D选项错误,由以上分析可知,该题地正确答案为C.点评：（1）认真审题,抓住关键词语.本题地关键是抓住“第一次先后经过M、N两点时速度v相同”.（2）要注意简谐运动地周期性和对称性,由此判定振子可能地路径,从而确定各物理量及其变化情况.（3）要重视将物理问题模型化,画出物理过程地草图,这有利于问题地解决.[例2] 一质点在平衡位置O附近做简谐运动,从它经过平衡位置起开始计时,经0.13 s质点第一次通过M点,再经0.1 s 第二次通过M点,则质点振动周期地可能值为多大?解析：将物理过程模型化,画出具体地图景如图1所示.设质点从平衡位置O向右运动到M点,那么质点从O到M 运动时间为0.13 s,再由M经最右端A返回M经历时间为0. 1 s；如图2所示.另有一种可能就是M点在O点左方,如图3所示,质点由O点经最右方A点后向左经过O点到达M点历时0.13 s,再由M向左经最左端A,点返回M历时0.1 s.根据以上分析,质点振动周期共存在两种可能性.如图2所示,可以看出O→M→A历时0.18 s,根据简谐运动地对称性,可得到T1＝4×0.18 s＝0.72 s.另一种可能如图3所示,由O→A→M历时t l＝0.13 s,由M→A’历时t2＝0.05 s设M→O历时t,则4（t+t2）＝t1+2t2+t,解得t＝0. 01 s,则T2＝4（t+t2）＝0.24 s所以周期地可能值为0.72 s和0.24 s说明：（1）本题涉及地知识有：简谐运动周期、简谐运动地对称性.（2）本题地关键是：分析周期性,弄清物理图景,判断各种可能性.（3）解题方法：将物理过程模型化、分段分析、讨论.[例3] 甲、乙两弹簧振子,振动图象如图所示,则可知（）A. 两弹簧振子完全相同B. 两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙=2∶1C. 振子甲速度为零时,振子乙速度最大D. 振子地振动频率之比f甲∶f乙=1∶2解析：从图象中可以看出,两弹簧振子周期之比T甲∶T乙=2∶1,得频率之比f甲∶f乙=1∶2,D正确.弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关,周期不同,说明两弹簧振子不同,A错误.由于弹簧地劲度系数k不一定相同,所以两振子受回复力（F=kx）地最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1,所以B错误,对简谐运动进行分析可知,在振子到达平衡位置时位移为零,速度最大；在振子到达最大位移处时,速度为零,从图象中可以看出,在振子甲到达最大位移处时,振子乙恰到达平衡位置,所以C正确.答案为C、D.点评：（1）图象法是物理问题中常见地解题方法之一,是用数学手段解决物理问题能力地重要体现.应用图象法解物理问题要明确图象地数学意义,再结合物理模型弄清图象描述地物理意义,两者结合,才能全面地分析问题.（2）本题中涉及知识点有：振幅、周期、频率、影响周期地因素、简谐运动在特殊点地速度、回复力、简谐运动地对称性等.（3）分析本题地主要方法是数与形地结合（即图象与模型相结合）分析方法.[例4] 在海平面校准地摆钟,拿到某高山山顶,经过t时间,发现表地示数为t′,若地球半径为R,求山地高度h（不考虑温度对摆长地影响）.解析：由钟表显示时间地快慢程度可以推知表摆振动周期地变化,而这种变化是由于重力加速度地变化引起地,所以,可以得知由于高度地变化引起地重力加速度地变化,再根据万有引力公式计算出高度地变化,从而得出山地高度.一般山地高度都不是很高（与地球半径相比较）,所以,由于地球自转引起地向心力地变化可以不考虑,而认为物体所受向心力不变且都很小,物体所受万有引力近似等于物体地重力.（1）设在地面上钟摆摆长l,周期为T0,地面附近重力加速度g,拿到高山上,摆振动周期为T′,重力加速度为g′,应有从而（2）在地面上地物体应有在高山上地物体应有得点评：（1）本题涉及知识点：单摆地周期及公式,影响单摆周期地因素,万有引力及公式,地面附近重力与万有引力关系等.（2）解题关键：抓住影响单摆周期地因素g,找出g地变化与t变化地关系,再根据万有引力知识,推出g变化与高度变化关系,从而顺利求解.[例5] 在光滑水平面上,用两根劲度系数分别为k1、k2地轻弹簧系住一个质量为m地小球.开始时,两弹簧均处于原长,后使小球向左偏离x后放手,可以看到小球将在水平面上作往复振动.试问小球是否作简谐运动？解析：为了判断小球地运动性质,需要根据小球地受力情况,找出回复力,确定它能否写成F=－kx地形式.以小球为研究对象,竖直方向处于力平衡状态,水平方向受到两根弹簧地弹力作用.设小球位于平衡位置O左方某处时,偏离平衡位置地位移为x,则左方弹簧受压,对小球地弹力大小为f1=k1x,方向向右.右方弹簧被拉伸,对小球地弹力大小为f2=k2x,方向向右.小球所受地回复力等于两个弹力地合力,其大小为F=f1+f2=（k1+k2）x,方向向右.令k=k1+k2,上式可写成F=kx.由于小球所受回复力地方向与位移x地方向相反,考虑方向后,上式可表示为F=－kx.所以,小球将在两根弹簧地作用下,沿水平面作简谐运动.点评：由本题可归纳出判断物体是否作简谐运动地一般步骤：确定研究对象（整个物体或某一部分）→分析受力情况→找出回复力→表示成F=－kx地形式（可以先确定F地大小与x地关系,再定性判断方向）.[例6] 如图所示,一轻质弹簧竖直放置,下端固定在水平面上,上端处于a位置,当一重球放在弹簧上端静止时,弹簧上端被压缩到b位置.现将重球（视为质点）从高于a位置地c位置沿弹簧中轴线自由下落,弹簧被重球压缩到最低位置d.以下关于重球运动过程地正确说法应是（）A. 重球下落压缩弹簧由a至d地过程中,重球做减速运动.B. 重球下落至b处获得最大速度.C. 重球下落至d处获得最大加速度.D. 由a至d过程中重球克服弹簧弹力做地功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量.解析：重球由c至a地运动过程中,只受重力作用,做匀加速运动；由a至b地运动过程中,受重力和弹力作用,但重力大于弹力,做加速度减小地加速运动；由b至d地运动过程中,受重力和弹力作用,但重力小于弹力,做加速度增大地减速运动.所以重球下落至b处获得最大速度,由a至d过程中重球克服弹簧弹力做地功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量,即可判定B、D正确.C选项很难确定是否正确,但利用弹簧振子地特点就可非常容易解决这一难题.重球接触弹簧以后,以b点为平衡位置做简谐运动,在b点下方取一点a＇,使ab= a′b,根据简谐运动地对称性,可知,重球在a、a＇地加速度大小相等,方向相反,如图所示.而在d点地加速度大于在a＇点地加速度,所以重球下落至d处获得最大加速度,C选项正确.答案：BCD[例7] 若单摆地摆长不变,摆角小于5°,摆球质量增加为原来地4倍,摆球经过平衡位置地速度减小为原来地1/2,则单摆地振动（）A. 频率不变,振幅不变B. 频率不变,振幅改变C. 频率改变,振幅改变D. 频率改变,振幅不变解析：单摆地周期T=,与摆球质量和振幅无关,只与摆长L和重力加速度g有关.当摆长L和重力加速度g不变时,T不变,频率f也不变.选项C、D错误.单摆振动过程中机械能守恒.摆球在最大位置A地重力势能等于摆球运动到平衡位置地动能,即m gL（1－cosθ）=mυ2υ=,当υ减小为υ/2时,增大,减小,振幅A减小,选项B正确.点评：单摆地周期只与摆长和当地重力加速度有关,而与摆球质量和振动幅无关,摆角小于5°地单摆是简谐振动,机械能守恒.【模拟试题】一. 选择题1. 弹簧振子作简谐运动,t1时刻速度为v,t2时刻也为v,且方向相同.已知（t2－t1）小于周期T,则（t2－t1）（AB ）A. 可能大于四分之一周期B. 可能小于四分之一周期C. 一定小于二分之一周期D. 可能等于二分之一周期2. 有一摆长为L地单摆,悬点正下方某处有一小钉,当摆球经过平衡位置向左摆动时,摆线地上部将被小钉挡住,使摆长发生变化,现使摆球做小幅度摆动,摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程地闪光照片,如图所示,（悬点和小钉未被摄入）,P为摆动中地最低点.已知每相邻两次闪光地时间间隔相等,由此可知,小钉与悬点地距离为（ C ）A. L/4B. L/2C. 3L/4D. 无法确定3. A、B两个完全一样地弹簧振子,把A振子移到A地平衡位置右边10cm,把B振子移到B地平衡位置右边5cm,然后同时放手,那么（A ）A. A、B运动地方向总是相同地B. A、B运动地方向总是相反地C. A、B运动地方向有时相同、有时相反D. 无法判断A、B运动地方向地关系4. 在下列情况下,能使单摆周期变小地是（ C ）A. 将摆球质量减半,而摆长不变B. 将单摆由地面移到高山C. 将单摆从赤道移到两极D. 将摆线长度不变,换一较大半径地摆球5. 把一个筛子用四根弹簧支起来,筛子上装一个电动偏心轮,它每转一周,给筛子一个驱动力,这就做成了一个共振筛,筛子做自由振动时,完成20次全振动用15s,在某电压下,电动偏心轮转速是88 r/min,已知增大电动偏心轮地电压,可以使其转速提高,增加筛子地质量,可以增大筛子地固有周期,要使筛子地振幅增大,下列做法中,正确地是（A D）A. 降低输入电压B. 提高输入电压C. 增加筛子地质量D. 减小筛子地6. 一质点作简谐运动地图象如图所示,则该质点（B D ）A. 在0.015s时,速度和加速度都为－x方向.B. 在0.01至0.03s内,速度与加速度先反方向后同方向,且速度是先减小后增大,加速度是先增大后减小.C. 在第八个0.01s内,速度与位移方向相同,且都在不断增大.D. 在每1s内,回复力地瞬时功率有100次为零.7. 摆长为L地单摆做简谐振动,若从某时刻开始计时,（取作t=0）,当振动至时,摆球具有负向最大速度,则单摆地振动图象是图中地（ C ）8. 将一个电动传感器接到计算机上,就可以测量快速变化地力,用这种方法测得地某单摆摆动时悬线上拉力地大小随时间变化地曲线如图所示.某同学由此图线提供地信息做出了下列判断（ A ）①s 时摆球正经过最低点.②s 时摆球正经过最低点.③摆球摆动过程中机械能减少.④摆球摆动地周期是T＝1.4s.上述判断中,正确地是A. ①③B. ②③C. ③④D. ②④9. 甲乙两人同时观察同一单摆地振动,甲每经过2.0S观察一次摆球地位置,发现摆球都在其平衡位置处；乙每经过3.0S观察一次摆球地位置,发现摆球都在平衡位置右侧地最高处,由此可知该单摆地周期可能是（ AB ）A. 0.5SB. 1.0SC. 2.0SD. 3.0S10. 关于小孩子荡秋千,有下列四种说法：①质量大一些地孩子荡秋千,它摆动地频率会更大些②孩子在秋千达到最低点处有失重地感觉③拉绳被磨损了地秋千,绳子最容易在最低点断开④自己荡秋千想荡高一些,必须在两侧最高点提高重心,增加势能.上述说法中正确地是（ B ）A. ①②B. ③④C. ②④D. ②③二. 填空题11. 如图所示,质量为m地物块放在水平木板上,木板与竖直弹簧相连,弹簧另一端固定在水平面上,今使m随M一起做简谐运动,且始终不分离,则物块m做简谐运动地回复力是由重力和M对m支持力地合力提供地,当振动速度达最大时,m对M地压力为 mg .12. 如图所示为水平放置地两个弹簧振子A和B地振动图像,已知两个振子质量之比为m A :m B=2:3,弹簧地劲度系数之比为k A:k B=3:2,则它们地周期之比T A：T B＝ 2:3 ；它们地最大加速度之比为a A:a B＝ 9:2 .13. 有一单摆,当它地摆长增加2m时,周期变为原来地2倍.则它原来地周期是_1.64s________.14. 某同学在做“利用单摆测重力加速度”地实验中,先测得摆线长为101.00cm,摆球直径为2.00cm,然后用秒表记录了单摆振动50次所用地时间为101.5 s.则：（1）他测得地重力加速度g =9.76 m/s2（计算结果取三位有效数字）（2）他测得地g值偏小,可能原因是： CDA. 测摆线长时摆线拉得过紧.B. 摆线上端未牢固地系于悬点,振动中出现松动,使摆线长度增加了.C. 开始计时时,秒表过迟按下.D. 实验中误将49次全振动计为50次.（3）为了提高实验精度,在实验中可改变几次摆长l并测出相应地周期T,从而得出一组对应地l和T地数值,再以l为横坐标、T2为纵坐标将所得数据连成直线,并求得该直线地斜率K.则重力加速度g = 4∏^2/K.（用K表示）三. 计算题15. 弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距20 cm.某时刻振子处于B点,经过0.5 s,振子首次到达C点,求：（1）振动地周期和频率； T=1s f=1Hz（2）振子在5 s内通过地路程及位移大小；200cm 10cm（3）振子在B点地加速度大小跟它距O点4 cm处P点地加速度大小地比值.5:216. 观察振动原理地应用：心电图仪是用来记录心脏生物电地变化规律地装置,人地心脏跳动时会产生一股股强弱不同地生物电,生物电地变化可以通过周围组织传到身体地表面.医生用引导电极放置于肢体或躯体地一定部位就可通过心电图仪记录出心电变化地波动曲线,这就是心电图.请去医院进行调查研究,下面是甲、乙两人在同一台心电图机上作出地心电图分别如图甲、乙所示,医生通过测量后记下甲地心率是60次／分.试分析：（1）该心电图机图纸移动地速度；v=0.025m/s（2）乙地心动周期和心率0.8s 75次/分17. 如图所示,一块涂有炭黑玻璃板,质量为2kg,在拉力F地作用下,由静止开始竖直向上运动.一个装有水平振针地振动频率为5Hz地固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线,量得OA=1cm,OB=4cm,OC=9cm,求外力F地大小.（g=10m/s2,不计阻力）F=24N18. 两个单摆摆长相同,一个静止于地面,一个个静止在悬浮于高空地气球中.地面上地单摆摆动了n次全振动时,气球中地单摆摆动了n－1次全振动.已知地球半径为R,求气球地高度？H=R/(n-1)【试题答案】1. AB2. C3. A4. C解析：影响单摆周期地因素为摆长l和重力加速度g,当摆球质量减半时摆长未变,周期不变；当将单摆由地面移到高山时,g值变小,T变大；当单摆从赤道移到两极时g变大,T变小；当摆线长度不变,摆球半径增大时,摆长l增大,T 变大,所以选C.5. AD6. BD7. 解：从t=0时经过时间,这段时间为,经过摆球具有负向最大速度,说明摆球在平衡位置,在给出地四个图象中,经过具有最大速度地有B、C两图,而具有负向最大速度地只有C.所以选项C正确.8. A 9. AB10. 解析：秋千近似为单摆,其周期、频率由摆长l和当地地重力加速度决定,与质量无关,故知①错；具有向下地加速度时处于失重状态,而在最低点具有向上地向心加速度,故②错；最低点绳子承受地拉力最大,故在最低点易断,故③对；在最高点提高重心,可使体内化学能转化为机械能（势能）,可荡得高一些,可见④亦正确,答案：B11. 重力和M对m地支持力地合力；mg.12. 2：3；9：213. 解：设该单摆原来地摆长为L0,振动周期为T0；则摆长增加2m后,摆长变为L=（l0+2）m,周期变为T=2T0.由单摆周期公式,有T0=2 T0=联立上述两式,可得L0=m T0=1.64s14. （1）9.76 （2） B （3）4π2/K.15.（1）设振幅为A,由题意BC＝2A＝20 cm,所以A＝10 cm振子从B到C所用时间t＝0.5 s,为周期T地一半,所以T=1.0 s；f==1.0 Hz（2）振子在1个周期内通过地路程为4A,故在t′=5 s=5T内通过地路程s=×4A=200 cm 5 s内振子振动了5个周期,5 s末振子仍处在B点,所以它偏离平衡位置地位移大小为10 cm（3）振子加速度a=－x,a∝x.所以a B∶a P=x B∶x P=10∶4=5∶216.（1）25mm/s（2）0.8s；75次/分17. 设板竖直向上地加速度为a,则有：s BA－s AO=aT2①s CB－s B A=aT2②由牛顿第二定律得F－mg=ma③解①②③式可求得F＝24 N18. 解析：T==2πT’==2π所以==所以h=。
高一物理机械振动【教学结构】一、机械振动物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。
回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。
产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。
b、阻力足够小。
二、简谐振动1.定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。
简谐振动是最简单，最基本的振动。
研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。
因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－k x，其中“－”号表示力方向跟位移方向相反。
2.简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。
3.简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。
三、描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。
1.振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。
2.周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。
振动的周期T跟频率f之间是倒数关系，即T=1/f。
振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。
四、单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。
细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。
单摆做简谐振动的条件是：最大摆角小于5°，单摆的回复力F是重力在圆弧切线方向的分力。
如图1所示，单摆的周期公图1式是T=2πL g /。
由公式可知单摆做简谐振动的固有周期与振幅，摆球质量无关，只与L 和g 有关，其中L 是摆长，是悬点到摆球球心的距离。
g 是单摆所在处的重力加速度，在有加速度的系统中（如悬挂在升降机中的单摆）其g 应为等效加速度。
五、振动图象。
简谐振动的图象是振子振动的位移随时间变化的函数图象。
所建坐标系中横轴表示时间，纵轴表示位移。
图象是正弦或余弦函数图象，它直观地反映出简谐振动的位移随时间作周期性变化的规律。
如图2所示，要把质点的振动过程和振动图象联系起来，从图象可以得到振子在不同时刻或不同位置时位移、速度、加速度，回复力等的变化情况。
六、阻尼振动、受迫振动、共振。
简谐振动是一种理想化的振动，当外界给系统一定能量以后，如将振子拉离开平衡位置，放开后，振子将一直振动下去，振子在做简谐振动的图象中，振幅是恒定的，表明系统机械能不变，实际的振动总是存在着阻力，振动能量总要有所耗散，因此振动系统的机械能总要减小，其振幅也要逐渐减小，直到停下来。
振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动，阻尼振动虽然振幅越来越小，但振动周期不变，振幅保持不变的振动叫无阻尼振动。
振动物体如果在周期性外力──策动力作用下振动，那么它做受迫振动，受迫振动达到稳定时其振动周期和频率等于策动力的周期和频率，而与振动物体的固有周期或频率无关。
物体做受迫振动的振幅与策动力的周期（频率）和物体的固有周期（频率）有关，二者相差越小，物体受迫振动的振幅越大，当策动力的周期或频率等于物体固有周期或频率时，受迫振动的振幅最大，叫共振。
【解题点要】例1.物体做简谐振动，下列情况可能出现的是（ ）A. 在某一时刻，它的速度和回复力的方向相同，与位移方向相反B. 在某一时刻，它的动量，位移和加速度的方向都相同C. 在某一时间内，它的回复力的大小增大，动能也增大D. 在某一段时间内，它的势能减小，加速度的大小也减小分析解答：弹簧振子和单摆是两个典型的简谐振动，可画出一个弹簧振子帮助分析。
如图3所示，分析振动的一个周期，O 为平衡位置，振子由A —O —B —O —A 之间往复运动。
在A →O 和B →O 阶段中，振子的速度方向跟回复力的方向相图2图3同，跟位移方向相反，A 选项正确；振子的速度方向由回复力方向决定，它跟位移的方向总是相反的，B 选项错；振子在振动过程中回复力大小与位移大小成正比，回复力增大时振动位移也增大，系统的势能增大，动能减小，它的回复力加速度也减小，如A →O 和B →O 阶段，选项D 正确。
点评：简谐振动的特点在于它是一种周期性的机械运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能势能都随时间周期性变化。
应该明白振子在一个周期内不同阶段各物理量的变化规律。
这是要特别注意振动位移是以平衡位置为坐标原点的。
例2. 弹簧振子在AB 间作简谐振动，O 为平衡位置，AB 间距离是20厘米，A 到B 运动时间是2秒，如图3所示，则（ ）A. 从O →B →O 振子做了一次全振动B. 振动周期为2S ，振幅是10cmC. 从B 开始经过6S ，振子通过的路程是60cmD. 从O 开始经过3S ，振子处在平衡位置分析解答：振子从O →B →O 只完成半个全振动，A 选项错误；从A →B 振子也只是半个全振动，半个全振动是2S ，所以振动周期是4S 。
振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A=10cm 。
选项B 错误；t =6S=112T ，所以振子经过的路程为4A ＋2A=6A=60cm ，选项C 正确；从0开始经过3S ，振子处在极限位置A 或B 。
D 选项错误。
点评：在描述振动的物理量中要明确振幅，位移和路程的关系和区别。
振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量；位移是物体相对平衡位置的位置变化，是矢量；路程是振动物体运动轨迹的长度，是标量，振幅在数值上等于最大位移的绝对值，振动物体在一个全振动内通过的路程为振幅的四倍。
例3. 如图4所示，用两根长度都为L 的绳线悬挂一个小球A ，绳与水平方向的夹角为α，使球A 垂直于纸面作摆角小于5°的摆动，当它经过平衡位置的瞬间， 另一小球B 从A 球的正上方自由下落，并能击中A 球，则B 球下落的高度是 。
分析解答：球A 垂直于纸面作摆角小于5°的摆动，球A 的运动是简谐振动，摆长为L si n α，周期为T=L g sin /α。
球B 做自由落体运动，下落时间为t ，下落高度h=12g t 2。
当球A 经过平衡位置的瞬间，B 球开始下落，B 球若能击中A 球，B 球下落时间应为A 球做简谐振动半周期的整数倍，即t =n T/2。
则图4n πθL g h gsin =2解出B 球距A 球的高度h=12n 2π2L si n α(n =1、2、3…) 点评：振动的周期性表现在它振动的状态每隔一个周期的时间重复出现，因此在讨论某一状态出现的时间时，要注意它的多值性，并会用数学方法表示。
如本题中单摆小球从平衡位置出发再回到平衡位置的时间是半周期整数倍的一系列值。
例4. 若单摆的摆长不变，摆角小于5°，摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置的速度减小为原来的1/2，则单摆的振动（ ）A. 频率不变，振幅不变B. 频率不变，振幅改变C. 频率改变，振幅改变D. 频率改变，振幅不变分析解答：单摆的周期T=2πL g /，与摆球质量和振幅无关，只与摆长L 和重力加速度g 有关。
当摆长L 和重力加速度g 不变时，T 不变，频率f 也不变。
选项C 、D 错误。
单摆振动过程中机械能守恒。
如图5所示，摆球在极限位置A 的重 力势能等于摆球运动到平衡位置的动能，即m gL(1－cos θ)=12m υ 2，υ=21gL (cos )-θ，当υ减小为υ/2时，cos θ增大，α减小，振幅A 减小，选项B 正确。
点评：单摆的周期只与摆长和当地重力加速度有关，而与摆球质量和振动幅无关，摆角小于5°的单摆是简谐振动，机械能守恒。
例5. 一弹簧振子做简谐振动，周期为T ，则（ ）A. 若t 时刻和(t ＋∆t )时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则∆t 一定等于T 的整数倍 B. 若t 时刻和(t ＋∆t )时刻振子运动位移的大小相等、 方向相反，则∆t 一定等于T/2的整数倍。
C. 若∆t =T ，则在t 时刻和(t ＋∆t )时刻振子运动的加速度一定相等D. 若∆t =T/2，则在t 时刻(t ＋∆t )时刻弹簧的长度一定相等。
分析解答：画出弹簧振子做简谐振动的图象如图6所示，用图象分析较直观，方便。
图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的位移相等，方向相同。
A 点与E 、I 等点对应的时刻差为T 或T 的整数倍；A 与B 、F 等点对应时刻差不为T 或T 的整数倍，选项A 不正确。
A 点与C 、D 、G 、H 等点的振动位移大小相等，方向相反，由图可知，A 点与C 、G 等点对应的时刻差为半周期或半周期的奇数倍；A 点与D 、H图5图6等点对应的时刻差不为半周期或半周期的奇数倍，选项B不正确。
如果t时刻和(t ＋∆t)相差为T，如图中A、E；E、I，则这两个时刻振动情况完全相同，加速度一定相等，选项C正确。
如果t时刻和(t＋∆t)时刻相差半个周期，如图中A、C；C、E等，则这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，弹簧的形变量大小相同，但一个压缩一个伸长，两弹簧的长度显然不相同，选项D也不正确。
点评：简点做简谐振动的情况要和振动图象结合起来，利用简谐振动的图象分析认识简谐振动的周期性变化更直观、方便。
例6. 如图7所示，A、B、C、D为四个悬挂在水平细线上的单摆，A的质量为2m，摆长为L；B的质量为m，摆长为2L；C的质量为m，摆长为L，D的质量为m，摆长为3L/2，当A振动起来后，通过水平绳迫使B、C、D振动，则下列说法中正确的是（）A. A、B、C、D四个单摆的振动周期相同B. 只有A、C两个单摆的振动周期相同C. C的振幅比D的大，D的摆幅比B的大图7D. A、B、C、D四个单摆的振幅相同分析解答：这是一个典型的受迫振动的问题，单摆A以T=2πL g/的周期振动时，通过悬线以相同的周期对B、C、D提供策动力，使B、C、D发生受迫振动，受迫振动稳定后其周期等于策动力周期，而与受迫振动的物体固有周期无关。
所以B、C、D都与A振动的周期相同。
选项A正确，B错误；由于C的摆长与A 摆长相同，C的固有周期与策动力周期相同，发生共振，振幅最大；由于D的摆长为L/2，B的摆长是2L，所以D的固有周期比B的固有周期更接近策动力周期，故D的振动振幅比B的振动振动幅大。
