08-15江苏高考矩阵和参数方程

⏹掌握NE5000E/80E/40E产品的体系结构⏹掌握NE5000E/80E/40E的单板构成⏹掌握NE5000E/80E/40E换板操作⏹了解NE5000E/80E/40E升级操作08年江苏高考数学考试说明解读江苏08高考数学试卷分为必做题部分与附加题部分。

必做部分(文理均做，命题内容必修1到5,选修Ⅰ系列)：14道填空题70分6道解答题90分，难度比为4:4:2，与大纲试卷相比增加：函数零点、算法初步(流程图)、线性回归方程、几何概型、逻辑量词、统计案例、推理与证明、复数、导数公式等。

减少：反函数、余切、正割、余割、反三角函数、三垂线定理、求二面角、空间距离等；排列组合、二项式定理、随机变量、直线与圆锥曲线的关系、求一般曲线(轨迹)方程等。

解答题一般都是两问，至少有2道是三问题。

于是，分值估计为12、14、14、14、18、18.必考大题：依次是三角(求值与解三角形为重点) 12分、解析几何14分(与直线和圆有关、椭圆)、立体几何(与三视图有关)14分、应用题(三次函数导数，但要看有没有好题了)14分，数列18分，函数18分(考虑lnx型的求导)。

附加题部分：均为解答题(共6道)：选修系列4(4-1几何证明、4-2矩阵与变换、4-4坐标系与参数方程、4-5不等式证明选讲)各命制一道解答题，考生四选二解答。

几何证明一般是圆的内容(包括成比例证明)，矩阵与变换要突出变换，极坐标与参数方程以与直角坐标系互化为主，不等试一个证骨可与数学归纳法结合。

都为容易题。

选修2内容中数学归纳法、复合函数求导、随机变量概率分布、空间向量中命制两道解答题(必考题)，一易一难，估计以随机变量概率分布(与排列组合二项式定理综合)、用空间向量解立体几何题(求距离与二面角)为主。

命题趋势控制计算量:减少概念判断中的计算量，控制推理过程的计算量。

强化代数推理:以函数、数列、平面向量为主体，导数与函数、不等式为结合点。

分化数学应用:应用以小题为主，以三角、不等式、统计为载体，用概率体现与实际背景的联系。

矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算、二阶矩阵的逆矩阵及其求法、矩阵的特征值与特征向量的求法，属B 级要求；(2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程、参数方程与普通方程的互化、极坐标与直角坐标的互化，属B 级要求；(3)含绝对值不等式的解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B 级要求.真 题 感 悟1.(2018·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312.(1)求A 的逆矩阵A －1；(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3，1)，求点P 的坐标. 解 (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312，det(A )＝2×2－1×3＝1≠0， 所以A 可逆，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2.(2)设P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1， 因此， 点P 的坐标为(3，－1).2.(2017·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程.解 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210.(2)设P (x 1，y 1)是曲线C 1上任意一点，变换后对应的点为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y 1，y ＝x 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y ，y 1＝12x .因为P (x 1，y 1)在曲线C 1上，所以x 218＋y 212＝1，从而x 2＋y 2＝8，即为曲线C 2的方程.3.(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长. 解 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C 是圆心为(2，0)，直径为4的圆. 因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点.设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.4.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2消去t .得l 的普通方程为x －2y ＋8＝0，因为点P 在曲线C 上，设点P (2s 2，22s ).则点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝2（s －2）2＋45，∴当s ＝2时，d 有最小值45＝455.5.(2018·江苏卷)若x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋2z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值. 解 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)≥(x ＋2y ＋2z )2. 因为x ＋2y ＋2z ＝6，所以x 2＋y 2＋z 2≥4，当且仅当x 1＝y 2＝z 2时，不等式取等号，此时x ＝23，y ＝43，z ＝43，所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.6.(2017·江苏卷)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明ac ＋bd ≤8. 证明 由柯西不等式可得(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， 即(ac ＋bd )2≤4×16＝64，故ac ＋bd ≤8.考 点 整 合1.矩阵的乘法与逆矩阵、矩阵变换2.二阶矩阵的特征值和特征向量(3)如果λ是二阶矩阵M 的特征值，则λ是M 的特征多项式的一个根，它满足f (λ)＝0，此时将λ代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0)，它即为M 的属于λ的一个特征向量.3.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 4.(1)直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量. (2)圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π).5.含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义、零点分段或图象法求解. 6.柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立.(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.热点一 矩阵与变换【例1】 (1)(2016·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2))，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 1220212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12.∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1. (2)(2017·盐城模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1：x 24＋y 22＝1，求曲线C 的方程.解 设曲线C 上任一点为(x ，y )，经过变换T 变成(x 0，y 0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即x 0＝x ，y 0＝2y .由x 204＋y 202＝1，得曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.探究提高 (1)解决这类问题一般是设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，求出原曲线在T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.(2)由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序. (3)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法.【训练1】 (1)(2018·扬州期末)已知x ，y ∈R ，若点M (1，1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x3 y 对应的变换作用下得到点N (3，5)，求矩阵A 的逆矩阵A －1.(2)(2017·苏、锡、常、镇调研)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4). ①求矩阵M ；②求矩阵M 的另一个特征值.解 (1)因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＝3，3＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤213 2.设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，3a ＋2c ＝0，2b ＋d ＝0，3b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，c ＝－3，d ＝2，所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－3 2. (2)①设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.②令特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝0，解得λ1＝8，λ2＝2，故矩阵M 的另一个特征值为2. 热点二 曲线的极坐标方程[考法1] 极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2－1】 在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径R ＝5，求圆C 的极坐标方程.解 将圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5， 化简得ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0.此即为所求的圆C 的极坐标方程.探究提高 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.[考法2] 曲线的极坐标方程的应用【例2－2】 (2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0，即(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆.由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2， 所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点.综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.探究提高 解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.【训练2】 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2(a ＞0)，C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上.所以a ＝1.热点三 参数方程[考法1] 参数方程与普通方程的互化【例3－1】 (2018·南通、扬州、淮安等七市调研)在平面直角坐标系xOy ，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3t ，y ＝1－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数，r ＞0)，若直线l 被圆C 截得的弦长为4，求r 的值.解 直线l 的普通方程为4x ＋3y －15＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝r 2. 因为圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝|－15|5＝3，又直线l 被圆C 截得的弦长为4，所以r ＝32＋22＝13.探究提高 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围. [考法2] 直线的参数方程【例3－2】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求PA ＋PB . 解 法一 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(－32)2－4×4＝2>0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得PA ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 法二 (1)同法一.(2)因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎨⎧x 2＋（y －5）2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0.解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋5 或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)，又点P 的坐标为(3，5). 故PA ＋PB ＝8＋2＝3 2.探究提高 过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则P 1P 2＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2).【训练3】 (2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 解 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.热点四 绝对值不等式【例4】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. ①当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； ②若f (x )≤1，求a 的取值范围.(2)(2018·镇江期末)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )＞a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围.解 (1)①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}. ②f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2或x ＝－a 时等号成立(最小值能取到). 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2. 所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).(2)因为对任意x ∈R ，不等式f (x )＞a 2－3恒成立，所以f (x )min ＞a 2－3. 又|x －a |＋|x ＋a |≥|x －a －(x ＋a )|＝|2a |，所以|2a |＞a 2－3，① 法一 (将|a |作为整体)即|a |2－2|a |－3＜0，解得－1＜|a |＜3. 所以－3＜a ＜3.∴a ∈(－3，3).法二 (先去绝对值符号)①式等价于2a ＞a 2－3，② 或2a ＜－a 2＋3，③ 由②得－1＜a ＜3， 由③得－3＜a ＜1，所以，－3＜a ＜3.∴a ∈(－3，3).探究提高 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.(3)解答含有绝对值不等式的恒成立、存在性问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值.【训练4】 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围. 解 (1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.由f (x )≥1可得①当x ≤－1时显然不满足题意； ②当－1<x <2时，2x －1≥1， 解得x ≥1，则1≤x <2；③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立，∴x ≥2.综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ， 令g (x )＝f (x )－x 2＋x ，则g (x )≥m 解集非空只需要[g (x )]max ≥m . 由(1)知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －3，x ≤－1，－x 2＋3x －1，－1<x <2，－x 2＋x ＋3，x ≥2.①当x ≤－1时，[g (x )]max ＝g (－1)＝－3－1－1＝－5； ②当－1<x <2时，[g (x )]max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3·32－1＝54；③当x ≥2时，[g (x )]max ＝g (2)＝－22＋2＋3＝1.综上，[g (x )]max ＝54，故m ≤54.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.热点五 不等式的证明、柯西不等式【例5】 (1)(2014·江苏卷)已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . (2)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. ①求实数a ，b 的值； ②求at ＋12＋bt 的最大值.(1)证明 因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0，1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .(2)解 ①由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.②－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1， 即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4，即最大值为4.探究提高 (1)证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.(2)根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明、证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式. 【训练5】 已知实数a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)∵a >0，b >0且a 3＋b 3＝2.由柯西不等式，得(a ＋b )(a 5＋b 5)≥(a ·a 5＋b ·b 5)2＝(a 3＋b 3)2＝4. 当且仅当ab 5＝ba 5，即a ＝b ＝1时等号成立.因此(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4. (2)∵a 3＋b 3＝2，∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2，即(a ＋b )[(a ＋b )2－3ab ]＝2.所以(a ＋b )3－2＝3ab (a ＋b )，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝（a ＋b ）24，∴(a ＋b )3－2≤34(a ＋b )3，则14(a ＋b )3≤2.从而a ＋b ≤2当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.1.矩阵与变换主要掌握二阶矩阵与平面变换、二阶矩阵的逆矩阵及其求法以及特征值与特征向量的应用.2.(1)化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数(代入消去法、加减消去法、恒等式消去法等)；化普通方程为参数方程基本思路是引入一种关系，引入参数；(2)参数方程和极坐标方程的简单应用：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.3.(1)对于绝对值不等式的求解或含参问题的求解一般采用零点分段法，也可利用图象求解； (2)在运用柯西不等式进行求解或证明时，注意对条件进行“形变”，符合柯西不等式的结构，再加以运用.1.(2013·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.2.(2015·江苏卷)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值.解 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.3.(2015·江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.4.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率. 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α， 故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.5.(2016·江苏卷)设a ＞0，||x －1＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .证明 由a ＞0，|x －1|＜a 3可得|2x －2|＜2a 3，又|y －2|＜a3，∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a3＝a .则|2x ＋y －4|＜a 成立.6.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值.解 (1)f (x )＝y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3， 故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上成立， 因此a ＋b 的最小值为5.。

2008～2019年江苏高考数学分类汇编参数方程与极坐标2008-21C 在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点， 求S x y =+的最大值．【解析】因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数） 故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.因此1sin 2(sin )2sin()223S x y πφφφφφ=+=+=+=+ 所以，当6πφ=时，S 取最大值22009-21C 已知曲线C的参数方程为13()x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程。

【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。

解：因为212,x t t=+-所以212,3yx t t +=+=故曲线C 的普通方程为：2360x y -+=.2010-21C 在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值．【解析】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．解：22cos ρρθ=，圆ρ=2cos θ的普通方程为：22222,(1)1x y x x y +=-+=，直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0的普通方程为：340x y a ++=，1,=解得：2a =，或8a =-．2011-21C 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点且与直线423x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程。

【解析】椭圆的普通方程为221,259x y +=右焦点为（4，0）， 直线423x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）的普通方程为22y x -=，斜率为：12；所求直线方程为：1(4),2402y x x y =---=即2012-21C 在极坐标中，已知圆C 经过点()24Pπ，，圆心为直线3sin 32ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线23)3sin(-=-πθρ与极轴的交点，考查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．2013-21C 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t=+⎧⎨=⎩，（t 为参数），曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求它们的公共点的坐标．【解析】2014-21C 在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程2122xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），直线l与抛物线24y x=相交于AB两点，求线段AB的长．2015-21C 已知圆C的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C的半径．2016-21C 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为11,23x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），椭圆C的参数方程为cos,2sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.【解析】试题分析：将参数方程化为普通方程，再根据弦长公式或两点间距离公式求弦长.试题解析：椭圆C的普通方程为2214yx+=，将直线l的参数方程1123x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214yx+=，得223()12(1)124t t ++=，即27160t t +=， 解得10t =，2167t =-. 所以1216||7AB t t =-=.【答案】167【考点】直线与椭圆的参数方程【名师点睛】1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．2017-21C 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为2222x sy s ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P到直线l 的的距离2222|2428|2(2)451(2)s s s d -+-+==+-，最后根据二次函数最值的求法求最值．试题解析：直线的普通方程为280x y -+=，设2(2,22)P s s ，则点P 到直线的的距离22|2428||2(2)4|55s s s d -+-+==， 易知当2s =时， min 455d ==． 【答案】45【考点】参数方程与普通方程的互化 【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．2018-21C 在极坐标系中，直线l 的方程为，曲线C 的方程为，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【分析】先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A （4，0），且OA 为直径.设直线与圆的另一个交点为B ，根据直线倾斜角得∠OAB =．最后根据直角三角形OBA求弦长.【详解】因为曲线C 的极坐标方程为，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为，则直线l 过A （4，0），倾斜角为， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =， 所以．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为．【点睛】本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力. 【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为2019-21B 在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.【分析】(1)由题意，在OAB △中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离. 【详解】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B 2，2π）， 由余弦定理，得AB 223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=（2）因为直线l 方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π． 又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ⨯-=. 【答案】（15 （2）2.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．。

矩阵与变换分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)1．(2009·江苏卷)求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤32 21的逆矩阵．解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎡⎦⎤x z yw ，则⎣⎡⎦⎤32 21 ⎣⎡⎦⎤x z y w ＝⎣⎡⎦⎤10 01， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，z ＝2，w ＝－3.从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－12 2－3.2．(2008·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2001对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．解 设P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)则有⎣⎡⎦⎤x ′0y ′0＝⎣⎡⎦⎤20 01 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝2x 0y ′0＝y 0∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0.又∵点P 在椭圆上，故4x 20＋y 20＝1，从而x ′20＋y ′20＝1. ∴曲线F 的方程是x 2＋y 2＝1.3．已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1b a 1，N ＝⎣⎡⎦⎤c 0 2d ，且MN ＝⎣⎡⎦⎤2－2 00.(1)求实数a 、b 、c 、d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程．解 (1)由题设得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.(2)∵矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)， ∴可取直线y ＝3x 上的两点(0,0)，(1,3)， 由⎣⎡⎦⎤1－1 －11 ⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤1－1 －11 ⎣⎡⎦⎤13＝⎣⎡⎦⎤－22，得点(0,0)，(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(－2,2)． 从而，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y ＝－x .4．(2012·苏北四市调研一)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤cos αsin α －sin αcos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵． 解 由题意，知M ⎣⎡⎦⎤22＝⎣⎡⎦⎤－22，即⎣⎡⎦⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎡⎦⎤－22，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.∴M ＝⎣⎡⎦⎤01－10.由M －1M ＝⎣⎡⎦⎤10 01，解得M －1＝⎣⎡⎦⎤0－1 10. 5．(2013·南通调研)已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求矩阵A .解 由特征值、特征向量定义可知，Aa 1＝λ1a 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321.6．(2012·扬州调研)已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤3－1 －13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解 由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－31 1λ－3＝(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值． 设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1， ∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．分层训练B 级 创新能力提升1．(2013·南京模拟)求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程． 解 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 11－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y )由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y2，y 0＝x ＋y2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y2＝1，即x 2－y 2＝4.所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1. 解 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则由(AB )·(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.故(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 12－1 0. 3．(2011·福建卷)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 003.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 003 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.∴2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1， 即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，∴x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.4．(2012·南通调研)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，求： (1)实数a 的值；(2)矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 解 (1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 21 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0， 所以2－2a ＝－4.所以a ＝3. (2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，则矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧λ－2x －3y ＝0，－2x ＋λ－1y ＝0⇒x ＋y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧λ－2x －3y ＝0，－2x ＋λ－1y ＝0⇒2x －3y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.5．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.因⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.6．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21. (1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.。

（第4题图）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 Ⅰ参考公式：圆柱的体积公式：V 圆柱＝Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高．圆锥的体积公式：V 圆柱＝13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则集合A ∪B 中元素的个数为 ▲ ． 2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ▲ ． 3．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为 ▲ ． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5．袋中有形状､大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球， 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ．6．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值 为 ▲ ．7．不等式2x 2－x＜4的解集为 ▲ ．8．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 ▲ ．9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2､高为8的圆柱各一个．若将 它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新 的底面半径为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．11．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{1a n}的前10项和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 ▲ ．13．已知函数f (x )＝|l n x |，g (x )＝⎩⎨⎧ 0 ，0＜x ≤1，|x 2－4|－2， x ＞1．，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为 ▲ ．14．设向量a k ＝(cos k π6，sin k π6＋cos k π6)(k ＝0，1，2，… ，12)，则∑11k ＝0(a k ·a k ＋1)的值为 ▲ ．（第16题图）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°． （1）求BC 的长； ` （2）求sin2C 的值．16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1．设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E ． 求证：（1）DE //平面AA 1C 1C ； （2）BC 1⊥AB 1．17．(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连 接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ， 计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5 千米和40千米，点N 到l 1，l 2，的距离分别为20千米和2.5千米，以l 1，l 2，所在的直线分别为 x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b (其中a ，b 为常数)模型．（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短?求出最短长度．MNl 2l 1xy O C Pl（第17题图）18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平 分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ， 求直线AB 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．（1）试讨论f (x )的单调性；（2）若b ＝c －a (实数c 是与a 无关常数)，当函数f (x )有三个不同零点时，a 的取值 范围恰好是(－∞，－3)∪(1，32)∪(32，＋∞)，求c 的值．20．(本小题满分16分)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d(d ≠0)的等差数列． （1）证明:2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次成等比数列；（2）是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n ＋k ，a 3n＋2k，a 4n＋3k依次成等比数列?并说明理由．（第18题图）A（第21—A 图）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A ､B ､C ､D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤． A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D ．求证：△ABD ∽△AE B ．B ．[选修4－2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎡⎦⎤ 1 －1是矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤x 1y 0的属性特征值－2的一个特征向量，矩 阵A 以及它的另一个特征值．PA BCDQ (第22题）C ．[选修4－4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin (θ－π4)－4＝0，求圆C 的半径．D ．[选修4－5:不等式选讲] (本小题满分10分)解不等式x ＋|2x ＋3|≥2．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2．P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1．（1）求平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长．23．已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，···，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b ，或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素个数． （1）写出f (6)的值；（2）当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．。

江苏高考数学矩阵知识点在江苏高考数学考试中，矩阵是一个重要的知识点。

矩阵是以矩形排列的数（或变量）为元素所组成的一个矩形阵列。

在数学中，矩阵常常用于表示线性方程组、向量、平面图形的变换等。

1. 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数构成的一个数表，通常记作A=[aij]，其中i 表示行，j表示列，aij表示矩阵中第i行第j列的元素。

2. 矩阵的基本运算矩阵的加法：两个矩阵A和B的加法定义为A+B=C，其中矩阵C 的每个元素等于A和B对应位置元素之和。

矩阵的减法：两个矩阵A和B的减法定义为A-B=C，其中矩阵C 的每个元素等于A和B对应位置元素之差。

矩阵的数乘：矩阵A乘以数k，定义为kA，即矩阵A的每个元素都乘以k。

3. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

如果矩阵A的转置矩阵记作A^T，则对于A的任意元素aij，其在A^T中位置将变为a_ji。

4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行对应相乘，再将结果相加得到新矩阵。

设矩阵A为m行n列，矩阵B为n行p列，则矩阵积AB是一个m行p列的矩阵，记作C=AB，其中矩阵C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素相乘再求和。

5. 矩阵的性质矩阵的加法和乘法满足交换律和结合律，但减法和数乘不满足交换律。

矩阵的转置对应于几何意义上的镜面对称变换。

对于方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。

对于方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=λX，其中λ为常数，则称λ为矩阵A的特征值，X为对应于特征值λ的特征向量。

6. 矩阵的应用矩阵在实际问题中有广泛的应用。

例如，矩阵可以用来描述线性方程组的解集，解决线性方程组的相关问题。

矩阵还可以用来表示向量，进行向量的运算。

此外，矩阵还可以表示平面图形的变换，如旋转、缩放、错切等。

在江苏高考数学考试中，矩阵相关的题目通常涉及矩阵的基本运算、转置、乘法、可逆性和特征值特征向量等内容。

2008～2019年江苏高考数学分类汇编矩阵与变换2008-21B 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．【解析】设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点'''00(,)P x y 则有'0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'00'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以'0'002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y +=所以，曲线F 的方程是 221x y +=2009-21B 求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. 【解析】本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。

解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321,320,20,21,x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩ 解得：1,2,2,3x z y w =-===-，从而A 的逆矩阵为11223A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.2010-21B 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)．设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．【解析】本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力．解：由题设得0010011010k k MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由00220010001022k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可知A 1（0，0）、B 1（0，-2）、C 1（k ，-2）．计算得△ABC 面积的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||k ， 则由题设知：||212k =⨯=．所以k 的值为2或-2．2011-21B 已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得2A αβ=． 【解析】设xy α⎡⎤=⎣⎦，由2A αβ=得：321432x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 32111,43222x y x x y y α+==--⎧⎧⎡⎤∴∴∴=⎨⎨⎢⎥+==⎩⎩⎣⎦2012-21B 矩阵与变换] 已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题．2013-21B 已知矩阵A =10-⎡⎢⎣ 02⎤⎥⎦，B =01⎡⎢⎣ 26⎤⎥⎦，求矩阵1A B -．【解析】2014-21B 已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,x y 是实数，若Aa Ba =，求x y +的值．2015-21B 已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值. 【答案】1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦,另一个特征值为1． 【解析】试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y 的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值试题解析：由已知，得2ααA =-，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则122x y -=-⎧⎨=⎩，即12x y =-⎧⎨=⎩，所以矩阵1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦．从而矩阵A 的特征多项式()()()21fλλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．考点：矩阵运算，特征值与特征向量．2016-21B 已知矩阵12,02⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 矩阵B 的逆矩阵111=202-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ． 【解析】试题分析：先求逆矩阵的逆：114102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，再根据矩阵运算求矩阵AB ． 试题解析：()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 【考点】逆矩阵，矩阵乘法【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：1||||,(||0)||||db a b ad bc cd c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A A A A A A A a b ef ae bgaf bh c d g h ce dgcf dh ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.2017-21B 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B （1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．【解析】（1）AB ==．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=．【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b mp am bn ap bq c d nq cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．2018-21B 已知矩阵．（1）求的逆矩阵；（2）若点P 在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P 的坐标． 【分析】（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P 点坐标. 【详解】（1）因为，，所以A 可逆，从而．（2）设P (x ，y )，则，所以，因此，点P 的坐标为(3，–1)．【点睛】本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力. 【答案】（1）（2）点P 的坐标为(3，–1)2019-21A 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.【分析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可. 【详解】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.【答案】（1）115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）121,4λλ==.【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．。

第32练 矩阵与变换、坐标系与参数方程[明晰考情] 1.命题角度：常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法；极坐标和参数方程的简单综合运用.2.题目难度：中档难度.考点一 线性变换、二阶矩阵及其求法方法技巧 线性变换问题一般是设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，求出原曲线在T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.A ：平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)，求变换矩阵A .解 设所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，依题意，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2，所以所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－12.M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求二阶矩阵X ，使得MX ＝N .解 设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，由题意有⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1， 根据矩阵乘法法那么有⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝4，2y －w ＝－1，－4x ＋3z ＝－3，－4y ＋3w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝－1，z ＝5，w ＝－1.∴X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－1 5 －1. C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 10对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1，求实数m 的值.解 BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0m 10 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2m 1 0，设P (x 0，y 0)是曲线C 1上的任一点，它在矩阵BA 变换作用下变成点P ′(x ′，y ′)那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2m 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2my 0 x 0，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2my 0，y ′＝x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ′，y 0＝12m x ′.又点P 在曲线C 1上，那么y ′2＋x ′24m2＝1，所以m 2＝1，所以m ＝±1.4.(2021·江苏)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.(1)求AB ；(2)假设曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程.解 (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为点P (x ，y )，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线上C 1上，所以x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.考点二 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量 方法技巧M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法.A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2. (1)求A 的逆矩阵A －1；(2)假设点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3,1)，求点P 的坐标.解 (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，又2×2－1×3＝1≠0，所以A 可逆，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2.(2)设P (x ，y )，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1，因此，点P 的坐标为(3，－1).A ＝⎣⎡⎦⎤3 65 2的特征值与属于每个特征值的一个特征向量.解 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －6 －5 λ－2，令f (λ)＝0，得λ2－5λ－24＝0，所以λ1＝8，λ2＝－3为矩阵A 的两个特征值.①当λ1＝8时，解相应线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，可任取一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，得λ＝8的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤65.②当λ2＝－3时，解相应线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0.可任取一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得λ＝－3的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1. 7.(2021·无锡调研)二阶矩阵A 对应的变换将点M (1,1)变换成M ′(3,3)，将点N (－1,2)变换成N ′(3,0).(1)求矩阵A 的逆矩阵A －1；(2)假设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，计算A 3β.解 (1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30⇒⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝3，－c ＋2d ＝0，解得a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1， 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 23 23 －13. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 －2 λ－1＝(λ－1)2－4＝λ2－2λ－3，令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，求得m ＝3，n ＝－2， 所以A 3β＝A 3(3α1－2α2)＝3(A 3α1)－2(A 3α2)＝3(λ31α1)－2(λ32α2)＝3·33⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－2·(－1)3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8379.8.(2021·如皋调研)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b 13属于特征值λ的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1. (1)求实数b ，λ的值；(2)假设曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下，得到的曲线为C ′：x 2＋2y 2＝2，求曲线C 的方程.解 (1)由题意得Aα＝λα，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b 13 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， 解得b ＝0，λ＝2.(2)由(1)知，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 3.设曲线C 上的一点P ()x ，y ，在矩阵A 的作用下得到点P ′(x ′，y ′).⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2x x ＋3y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x ＋3y ，将上式代入方程x ′2＋2y ′2＝2， 得(2x )2＋2(x ＋3y )2＝2， 整理得3x 2＋9y 2＋6xy －1＝0.所以曲线C 的方程为3x 2＋9y 2＋6xy －1＝0. 考点三 曲线的极坐标方程方法技巧 曲线极坐标方程的应用一般有两种思路：一是将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；二是将曲线的极坐标方程联立，根据极坐标的意义求解.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.9.在极坐标系中，设直线θ＝π3与曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0相交于A ，B 两点，求线段AB中点的极坐标.解 方法一 将直线θ＝π3化为直角坐标方程，得y ＝3x ，将曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0化为直角坐标方程，得x 2＋y 2－10x ＋4＝0， 联立⎩⎨⎧y ＝3x ，x 2＋y 2－10x ＋4＝0，并消去y ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝12，x 2＝2，所以AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝54，纵坐标为543， 化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，π3. 方法二 联立直线l 与曲线C 的极坐标方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，ρ2－10ρcos θ＋4＝0，消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，解得ρ1＝1，ρ2＝4， 所以线段AB 中点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ρ1＋ρ22，π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫52，π3.10.(2021·宿迁质检)极坐标系的极点与直角坐标系的原点O 重合，极轴与x 轴的正半轴重合，假设直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t －1(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－3＝0.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)求直线l 被曲线C 截得线段的长.解 (1)直线l 的普通方程为y ＝3x －1，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝4. (2)曲线C 表示以()0，1为圆心，2为半径的圆， 圆心到直线l 的距离d ＝1，故直线l 被曲线C 截得的线段长为222－12＝2 3.xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－22ρsin θ－1＝0. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋62＝0距离最大的点P 的直角坐标.解 (1)因为ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －22y －1＝0，θ∈[0,2π). (2)直线方程为x －3y ＋6＝0，圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， 所以设圆上点P 的坐标为(－1＋2cos θ，2＋2sin θ)，θ∈[0,2π)， 那么d ＝||－1＋2cos θ－3(2＋2sin θ)＋62＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3－12，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－1，即θ＝2π3时距离最大，此时点P 的坐标为(－2，2＋3).12.在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上(O 为极点)，且满足OP ·OM ＝4，记点P 的轨迹为C 2，求曲线C 2上的点到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)的距离的最大值.解 设点P (ρ′，θ′)，M (ρ1，θ′)， 依题意得ρ1sin θ′＝2，ρ′ρ1＝4，消去ρ1，得ρ′＝2sin θ′，故曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ(ρ≠0).化为直角坐标方程，得C 2：x 2＋(y －1)2＝1，是以点(0,1)为圆心，1为半径的圆. 又直线C 3的普通方程为x －y ＝2， 故圆心到直线C 3的距离d ＝322， 故曲线C 2上的点到直线C 3的距离的最大值为1＋322.考点四 参数方程方法技巧 过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是有向线段P 0P 的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，tP 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，那么P 1P 2＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2).13.(2021·苏州调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝a －2t (其中t为参数).在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝4cos θ. (1)分别写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； (2)假设直线l 与圆C 相切，求实数a 的值. 解 (1)直线l 的普通方程是2x ＋y －a －2＝0， 圆C 的直角坐标方程是(x －2)2＋y 2＝4. (2)由(1)知圆心为C (2,0)，半径r ＝2， 设圆心到直线的距离为d ，因为直线与圆相切， 所以d ＝||4－a －25＝||2－a 5＝2，解得a ＝2±2 5.14.(2021·江苏省南京外国语学校质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数，m 为常数).以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.假设直线l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围.解 圆C 的普通方程为(x －m )2＋y 2＝4. 直线l 的极坐标方程化为ρ⎝⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝2，即22x ＋22y ＝2，化简得x ＋y －2＝0. 因为圆C 的圆心为C (m,0)，半径为2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|m －2|2，所以d ＝|m －2|2＜2，解得2－22＜m ＜2＋2 2.xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos φ，y ＝t sin φ(t 为参数)，φ∈[0，π)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)假设直线l 与圆C 相切，求φ的值；(2)直线l 与圆C 交于A ，B 两点，记点A ，B 相应的参数分别为t 1，t 2，当t 1＝2t 2时，求AB 的长.解 (1)圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得(t cos φ－4)2＋(t sin φ)2＝4， 即t 2－8t cos φ＋12＝0， 因为直线l 与圆C 相切， 所以Δ＝(8cos φ)2－4×12＝0， 所以cos φ＝32或cos φ＝－32，φ∈[0，π)， 所以φ＝π6或5π6.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos φ，y ＝t sin φ代入圆C 的直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4，得t 2－8t cos φ＋12＝0，因为t 1,2＝8cos φ±64cos 2φ－482，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝8cos φ，t 1·t 2＝12，又t 1＝2t 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＝8cos φ，2t 22＝12⇒64cos 2φ＝54，所以AB ＝||t 1－t 2＝64cos 2φ－48＝ 6.16.(2021·如皋调研)在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝532＋2cos θ，y ＝72＋2sin θ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3为圆心，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2的圆.(1)求圆M 的普通方程及圆N 的直角坐标方程；(2)求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点之间距离的最小值. 解 (1)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝532＋2cos θ，y ＝72＋2sin θ消去参数θ，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5322＋⎝⎛⎭⎪⎫y －722＝4，所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －5322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －722＝4.点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2的直角坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，()0，2，所以圆N 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32， 半径为r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋⎝⎛⎭⎪⎫32－22＝1，故圆N 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1. (2)由(1)得圆M ，N 的圆心距为MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－5322＋⎝⎛⎭⎪⎫32－722＝4，所以圆M 上任一点P 与圆N 上任一点之间距离的最小值为d min ＝MN －3＝4－3＝1.M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，假设点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0).(1)求实数a 的值；(2)求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量.解 (1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0， 得2－2a ＝－4⇒a ＝3.(2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，那么矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3 －2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧(λ－2)x －3y ＝0，－2x ＋(λ－1)y ＝0⇒x ＋y ＝0，∴矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧(λ－2)x －3y ＝0，－2x ＋(λ－1)y ＝0⇒2x－3y ＝0.∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a (a 为实数).(1)假设矩阵A 存在逆矩阵，求实数a 的取值范围；(2)假设直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l ′：x －y ＋2a ＝0，求实数a 的值；(3)在(2)的条件下，求A 5. 解 (1)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 11a ＝a 2－1≠0， ∴a ≠±1.(2)设l 上任一点()x ，y 在A 的变换作用下变为点()x ′，y ′，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋y x ＋ay ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋y ，y ′＝x ＋ay ，所以x ′－y ′＋2a ＝ax ＋y －x －ay ＋2a ＝()a －1x ＋()1－a y ＋2a ＝0，所以a ＝2. (3)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 44 5， A 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 44 5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 445＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41 4040 41， A 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41 4040 41 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 121121 122.xOy 中，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l (l 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝18t 2，y ＝t (t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 解 直线的普通方程为2x －2y ＋3＝0，曲线的普通方程为y 2＝8x . 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2y ＋3＝0，y 2＝8x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6. 取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，6，得AB ＝4 2. 4.(2021·江苏邗江中学调研)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α＋3，y ＝2sin α＋1(α为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)写出圆C 的极坐标方程及圆心C 的极坐标；(2)直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )与圆C 交于M ，N 两点，求△CMN 的面积. 解 (1)极坐标(ρ，θ)与直角坐标(x ，y )的对应关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以⎩⎨⎧ x ＝2cos α＋3＝ρcos θ，y ＝2sin α＋1＝ρsin θ， 根据sin 2α＋cos 2α＝1，消元得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－1)2＝4，故得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3. 因为圆心C 的直角坐标为(3，1)，所以极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，θ＝π3，得交点极坐标M (0,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫23，π3， 所以MN ＝23，MC ＝2，1 2×23×2sinπ6＝ 3.所以△CMN的面积S＝。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ▲ ． 【解析】2105T ππωω==⇒=2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1，3)、(2，2)、(3，1)共3个，故316612P ==⨯ 3．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ▲ ．【解析】因()21112i i i i ++==-，故a ＝0，b ＝1，因此1a b += 4．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z I 中有 ▲ 个元素【解析】由2(1)37x x -<+得2560x x --<，(1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5A Z =I ，共有6个元素．5．已知向量a r 和b r 的夹角为0120，||1,||3a b ==r r ，则|5|a b -=r r ▲ ． 【解析】22222|5|(5)25||10||251a b a b a a b b -=-=-⋅+=⨯-r r r r r r r r 211013()3492⨯⨯⨯-+=，故|5|7a b -=r r ．6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 ▲【解析】如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P ππ⨯==⨯7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统序号i 分组 （睡眠时间） 组中值（i G ） 频数 （人数） 频率（i F ） 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.510 0.20 3 [6,7) 6.520 0.40 4 [7,8) 7.510 0.20 5 [8,9] 8.54 0.08 开始 S ←0 输入G i ，F ii ←1 S ← S ＋G i ·F ii ≥5 i ← i ＋1NY计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ 【解析】由流程图1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6.42=8．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是 ▲【解析】'1y x =，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，故b ＝ln2－1．9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为1111()()0x y b c p a -+-=，请你完成直线OF 的方程：( ▲ )11()0x y p a+-=． 【解析】画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x yb a+=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得1111()()0x y b c p a -+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．10．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 ▲【解析】前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n-个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．11．设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ▲【解析】由230x y z -+=得32x zy +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xz xz xz +++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过2(0)a P c，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ▲【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，故△OAP 是等腰直角三角形，故22a a c=，解得22c e a ==．13．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x .根据三角形的面积公式， 得S △ABC ＝12·AB ·BC sin B ＝x 1－cos 2B .①根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x .②将②代入①，得 S △ABC ＝x1－⎝⎛⎭⎫4－x 24x 2＝128－x 2－12216.由三角形的三边关系，得⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A.14．f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]，总有f (x )≥0成立，则a ＝【解】若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3．设g (x )＝3x 2－1x3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间(0，12]上单调递增，在区间[12，1]上单调递减，因此g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4．当x ＜0即x ∈[－1，0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，且g (x )在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4．二如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点．已知A ，B 两点的横坐标分别是210，255． ⑴．求tan(α＋β)的值； ⑵．求α＋2β的值．【解】⑴．由已知条件即三角函数的定义可知225cos ,cos αβ==，因α为锐角，故ABC DEF Bsin 0α>，从而sin 10α==，同理可得sin 5β==，故1tan 7,tan 2αβ==．故tan()αβ+=17tan tan 2311tan tan 172αβαβ++==---⨯g ； ⑵．132tan(2)tan[()]111(3)2αβαββ-++=++==---⨯，又0,022ππαβ<<<<，故3022παβ<+<，从而由 tan(2)1αβ+=-得，324παβ+=． 16．如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证： ⑴．直线//EF 面ACD ； ⑵．平面EFC ⊥面BCD ．【标准答案】证明：⑴．因E ，F 分别是AB BD ，的中点．故EF 是△ABD的中位线，故EF ∥AD ，因EF ∥⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，故直线EF ∥面ACD ；⑵．因AD ⊥BD ，EF ∥AD ，故EF ⊥BD ，因CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，故CF ⊥BD ，又EF∩CF=F ，故BD ⊥面EFC ，因BD ⊂面BCD ，故面EFC ⊥面BCD 17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ． ⑴．按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； （ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；⑵．请你选用⑴中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短． 【解】⑴．①．由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad)，则10cos cos AQ OA θθ==， 故10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-，故10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+≤≤；②．若OP=x (km)，则OQ ＝10－x，故OA OB ===数关系式为10)y x x =+≤≤．⑵．选择函数模型①，'2210cos cos (2010)(sin )10(2sin 1)cos cos sin y θθθθθθθ-⋅----==，令'y =0 得sin 12θ=，因04πθ<<，故θ=6π，当(0,)6πθ∈时，'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64ππθ∈时，'0y >，y 是θ的增函数，故当θ=6π时，min 10y =+．这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离ABkm 处． 18．在平面直角坐标系xOy 中，记二次函数2()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C ．⑴．求实数b 的取值范围； ⑵．求圆C 的方程；⑶．问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论．【解】⑴．令0x =，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令2()20f x x x b =++=，由题意b ≠0且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．⑵．设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=，令y ＝0得，20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ．令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1．故圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=． ⑶．圆C 必过定点，证明如下：假设圆C 过定点0000(,)(,)x y x y b 不依赖于，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为22000002(1)0x y x y b y ++-+-=(*)，为使(*)式对所有满足1(0)b b <≠的b 都成立，必须有010y -=，结合(*)式得，2200020x y x y ++-=，解得000002 11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，－，或，，，经 检验知，点(0,1),(2,1)-均在圆C 上，因此圆C 过定点．19．⑴．设12,,,n a a a L 是各项均不为零的等差数列(4n ≥)，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列： ①．当4n =时，求1a d的数值；②．求n 的所有可能值； ⑵．求证：对于一个给定的正整数(4)n n ≥，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b L ，其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列．【解】⑴．①．当4n =时， 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出0d =．若删去2a ，则2314a a a =⋅，即2111(2)(3)a d a a d +=⋅+化简得140a d +=，得14a d=-； 若删去3a ，则2214a a a =⋅，即2111()(3)a d a a d +=⋅+化简得10a d -=，得11a d=； 综上，得14a d =-或11ad=．②．当5n =时，12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去1245,,,a a a a ，否则出现连续三项．若删去3a ，则1524a a a a ⋅=⋅，即1111(4)()(3)a a d a d a d +=+⋅+化简得230d =，因0≠d ，故3a 不能删去；当6n ≥时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列12321,,,,,,n n n a a a a a a --L 中，由于不能删去首项或末项，若删去2a ，则必有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；同样若删去1n a -也有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；若删去32,,n a a -L 中任意一个，则必有121n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾．(或者说：当n ≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，4n =．⑵假设对于某个正整数n ，存在一个公差为d 的n 项等差数列12,,...,n b b b ，其中111,,x y z b b b +++(01x y z n ≤<<≤-)为任意三项成等比数列，则2111yx z b b b +++=⋅，即2111()()()b yd b xd b zd +=+⋅+，化简得221()(2)y xz d x z y b d -=+-(*)，由10b d ≠知，2y xz-与2x z y +-同时为0或同时不为0；当2y xz -与2x z y +-同时为0时，有x y z ==与题设矛盾．故2y xz -与2x z y +-同时不为0，故由(*)得212b y xz d x z y-=+-，因01x y z n ≤<<≤-，且x 、y 、z为整数，故上式右边为有理数，从而1b d 为有理数．于是，对于任意的正整数)4(≥n n ，只要1bd为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．例如n 项数列1，11+……，1(n +-满足要求．20．已知函数11()3x p f x -=，22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若⑴．求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；⑵．设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为2b a-（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -） 【解】⑴．由()f x 的定义可知，1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于12()()f x f x ≤（对所有实数x ）这又等价于12||||323x p x p --≤⋅，即312log 2||||332x p x p ---≤=对所有实数x 均成立．（*）由于121212|||||()()|||()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12||p p -，故（*）等价于12||32p p -≤，即123||log 2p p -≤，这就是所求的充分必要条件⑵．分两种情形讨论（i ）当123||log 2p p -≤时，由⑴知，1()()f x f x =（对所有实数[,]x a b ∈）则由()()f a f b =及1a p b <<易知12a bp +=，再111113,()3,p x x px p f x x p --⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的单调性可知，函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度为22a b b ab +--=（参见示意图1） （ii ）123||log 2p p ->时，不妨设12,p p <，是当1x p ≤时，有1212()33()p xp x f x f x --=<<，从1()()f x f x =；当2x p ≥时，312122122log 212()333333(x p p p x p p p x p x p f x f --+----===>=g g 2当12p x p <<时，11()3x p f x -=，及22()23p xf x -=⋅，由方程12323x p p x --=⋅，解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为12031log 222p p x +=+⑴，显然10221321[()log 2]2p x p p p p <=---<，这表明0x 在1p 与2p 之间．由⑴知，101022(),()(),p x x f x f x x x p f x ≤≤⎧=⎨<≤⎩综上可知，在区间[,]a b 上，0102(),()(),a x x f x f x x x bf x ≤≤⎧=⎨<≤⎩ （参见示意图2），故由函数1()f x 及2()f x 的单调性可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为012()()x p b p -+-，由于()()f a f b =，即12323p a b p --=⋅，得123log 2p p a b +=++⑵，故由⑴、⑵得0121231()()[log 2]22b ax p b p b p p --+-=-+-=综合（i ）（ii ）可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度和为2ab -．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）B ．选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F的方程．解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点，'''00(,)P x y 则有'0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'00'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故'0'002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y +=，故曲线F 的方程是 221x y +=C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值． 解：因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<，故1sin 2(cos sin )2sin()223S x y πφφφφφ=+=+=+=+，故当6πφ=时，S 取最大值222．【必做题】记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．解：由题设可知，以DA u u u r 、DC u u ur 、1DD u u u u r 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则有(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)D ，由1(1,1,1)D B =-u u u u r，得11(,,)D P D B λλλλ==-u u u u r u u u u r ，故11(,,)(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r11(,,)(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r ，显然APC ∠不是平角，故APC ∠为钝角等价于cos cos ,0||||PA PCAPC PA PC PA PC ∠=<>=<⋅u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r ，则等价于0PA PC <u u u r u u u r g ，即2(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<，得113λ<<，故λ的取值范围是1(,1)323．在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则，得(sin 2)24cos (sin )x x x -=-g g ，化简得等式：sin 22cos sin x x x =g ．⑴．利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1)C C C C n n n n n n n x x x x +=++++L （x ∈R ，正整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x --=+-=∑．⑵．对于正整数3n ≥，求证：①．1(1)C 0nkknk k =-=∑； ②．21(1)C 0nkk nk k =-=∑； ③．11121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【解】⑴．在等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++L 两边对x 求导得112121(1)2(1)n n n n n n n nnn x C C x n Cx nC x----+=+++-+L 移项得112[(1)1]nn k k n k n x kC x --=+-=∑（*）⑵．①．在（*）式中，令1x =-，整理得，11(1)0nk knk kC -=-=∑故1(1)0nk kn k kC =-=∑ ②．由⑴知，112121(1)2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥L 两边对x 求导，得2232(1)(1)232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x---+=+++-g L 在上式中，令1x =-23220232(1)(1)(1)n n n nC C n n C -=+-++--g L 即22(1)(1)0nkk nk k k C-=--=∑，亦即22(1)()0nkknk k k C =--=∑（1）又由（i ）知1(1)0nkknk kC =-=∑（2）由（1）+（2）得21(1)C 0nk kn k k =-=∑ ③．将等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++L 两边在[0,1]上对x 积分1101220(1)(C C C C )n n nn n n n x dx x x x dx+=++++⎰⎰L 由微积分基本定理，得11110011(1)()11nn k k n k x C x n k ++=+=++∑，故1012111n nk n k C k n +=-=++∑。

江苏高考选修系列·矩阵与变换·参数方程与极坐标·真题【2008年】1.选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎢⎣⎡02 ⎥⎦⎤10对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．2.选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．【2009年】3.选修4 - 2：矩阵与变换求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.4.选修4 - 4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为13()x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程。

在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)。

设k 为非零实数，矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。

6. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值。

【2011年】7. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2αβ=A ．8. 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点，且与直线423x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程．已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．10. [选修4 - 4：坐标系与参数方程] 在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【2013年】11．［选修4-2：矩阵与变换］ 已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵B A 1-。

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω ▲ 2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ▲3．),(11R b a bi a ii∈+-+表示为的形式，则b a += ▲ 4．{}73)1(2-<-=x x x A ，则集合A Z 中有 ▲ 个元素5．b a ,的夹角为120，1,3a b == ，则5a b -= ▲6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：则输出的S 的值为 ． 8．直线b x y +=21是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ▲9．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。

江苏高考选修系列·矩阵与变换·参数方程与极坐标·真题【2008年】1.选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎢⎣⎡02 ⎥⎦⎤10对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．2.选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．【2009年】3.选修4 - 2：矩阵与变换求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.4.选修4 - 4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为13()x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程。

【2010年】5. 选修4-2：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)。

设k 为非零实数，矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。

6. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值。

【2011年】7. 选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2αβ=A ．8. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点，且与直线423x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程．【2012年】9.[选修4 - 2：矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．10. [选修4 - 4：坐标系与参数方程] 在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【2013年】11．［选修4-2：矩阵与变换］ 已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵B A 1-。

第7讲矩阵与变换[考向导航]考点扫描三年考情考向预测1．矩阵变换B题江苏高考对本讲的命题方向：常见的平面变换与矩阵的乘法运算；二阶矩阵的逆矩阵及其求法；矩阵的特征值与特征向量的求法．试题基础，处于“送分题”位置．2．逆矩阵与矩阵运算B题3．矩阵的特征值与特征向量A题1．矩阵的乘法与逆矩阵(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11a12a21a22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b11b12b21b22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11b11＋a12b21a11b12＋a12b22a21b11＋a22b21a21b12＋a22b22．(2)若二阶矩阵A，B满足AB＝BA＝E(E为二阶单位矩阵)，则称A是可逆矩阵，B为A 的逆矩阵，记为B＝A－1．2．矩阵对应的变换矩阵M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d对应的变换T：(x，y)→(x′，y′)满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax＋bycx＋dy．3．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)设λ是二阶矩阵M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy，则有M⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy．(2)f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a－b－cλ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc为矩阵M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d的特征多项式．(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值，则λ是M的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0，此时将λ代入⎩⎪⎨⎪⎧ax＋by＝λx，cx＋dy＝λy可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0，它即为M的属于λ的一个特征向量．矩阵变换 [典型例题](·姜堰中学期中检测)在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C ：xy ＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ sin θ－sin θ cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ＜π2对应的变换作用下得到曲线F ，且F 的方程为x 2－y 2＝a 2(a ＞0)，求θ和a 的值．【解】 设P (x 0，y 0)是曲线C 上任意一点，P (x 0，y 0)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ sin θ－sin θ cos θ对应的变换下变为：P ′(x ′0，y ′0)；则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ sin θ－sin θ cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝x 0cos θ＋y 0sin θy ′0＝－x 0sin θ＋y 0cos θ，代入到x 2－y 2＝a 2中，有：(x 0cos θ＋y 0sin θ)2－(－x 0sin θ＋y 0cos θ)2＝a 2，且x 0y 0＝1，化简得：(x 20－y 20)(cos 2θ－sin 2θ)＋4x 0y 0sin θcos θ＝a 2即 (x 20－y 20)(cos 2θ－sin 2θ)＋4sin θcos θ＝a 2；所以cos 2θ－sin 2θ＝0且a 2＝4sin θcos θ，而θ∈⎣⎡⎭⎫0，π2，a ＞0；所以θ＝π4，a ＝2．解决这类问题一般是设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，求出原曲线在T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值．[对点训练]1．变换T 1是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101．(1)求点P (2，1)在T 1作用下的点P ′的坐标；(2)求函数y ＝x 2的图象依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程．[解] (1)M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，M 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，所以点P (2，1)在T 1作用下的P ′点的坐标是P ′(－1，2)．(2)M ＝M 2M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 0，设⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，也就是⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝x x 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y y 0＝y －x，所以所求曲线的方程是y －x ＝y 2．逆矩阵与矩阵运算[典型例题](·高考江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312．(1)求A 的逆矩阵A －1；(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3，1)，求点P 的坐标． 【解】 (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2，det(A )＝2×2－1×3＝1≠0， 所以A 可逆，从而A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2． (2)设P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1， 因此，点P 的坐标为(3，－1)．正确进行矩阵变换，注意变换的先后顺序，记住求逆矩阵的过程是解题的关键．[对点训练]2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2．(1) 求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程．[解] (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0． (2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x 2．因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 22＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8．因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8．矩阵的特征值与特征向量[典型例题](·高考江苏卷)已知矩阵 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 12 2．(1)求A 2；(2)求矩阵A 的特征值． 【解】 (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 12 2．所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 12 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 12 2 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3×3＋1×2 3×1＋1×22×3＋2×2 2×1＋2×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 510 6．(2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －1－2 λ－2＝λ2－5λ＋4． 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝4．在求矩阵变换的特征值与特征向量时，要利用定义建立关系．[对点训练]3．(·镇江市高三调研)求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 113的特征值及对应的特征向量．[解] 由题意得矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 11 3的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －1－1 λ－3＝(λ－3)2－1＝λ2－6λ＋8， 由f (λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝4．设α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1为λ1＝2对应的特征向量，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－y 1＝0－x 1－y 1＝0，即x 1＋y 1＝0，故可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1为属于特征值λ1＝2的一个特征向量．同理，设α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为λ2＝4对应的特征向量，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0－x 2＋y 2＝0，即x 2－y 2＝0，故可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝4的一个特征向量．综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 11 3有两个特征值λ1＝2，λ2＝4，属于λ1＝2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于λ2＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11．1．(·南师附中、淮阴、海门、天一开学联考)二阶矩阵A 有特征值λ＝6，其对应的一个特征向量为e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵A 对应的变换将点(1，2)变换成点(8，4)，求矩阵A ．[解] 设所求二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎩⎪⎨⎪⎧Ae ＝6e A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤66⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋2b c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6c ＋d ＝6a ＋2b ＝8c ＋2d ＝4，解方程组得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 28 －2．2．(·南京、盐城模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 02 a ，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 b 1． (1)求a ，b 的值； (2)求A 的特征值．[解] (1)因为AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 02 a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 023＋ab a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1． 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，23＋ab ＝0．解得a ＝1，b ＝－23．(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 02 1，则A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 0－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)． 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3．3．(·南通市高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1，2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1001对应的变换作用下得到点A ′，将点B (3，4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标．[解] 设B ′(x ，y )，依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A ′(1，2)．则A ′B →＝(2，2)，A ′B ′→＝(x －1，y －2)．记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1y －2， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1y －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4．所以点B ′的坐标为(－1，4)． 4．(·江苏四星级学校联考)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，已知矩阵A 的特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求ad －bc 的值． [解] 由特征值、特征向量的定义可知A α1＝λ1α1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1c －d ＝1，①同理可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 8，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝123c ＋2d ＝8，② 由①②解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1， 因此ad －bc ＝2－6＝－4．。