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微分模型课程安排一、微分模型简介二、微分静态模型1、血管分支模型2、最正确存贮模型三、微分动态模型1、水流出的时间2、CO2的吸收3、浓度变化问题4、服药问题5、人口模型四、香烟过滤嘴问题一、微分模型简介微分模型是数学模型中的最主要模型，也是应用最为广泛的数学模型。
通常微分模型可分为两类，静态模型与动态模型。
微分静态模型主要出现在解决一些简单的优化问题中。
此类问题通常可将所要解决的实际问题化简为一个一元或多元的目标函数的最值问题，只要对目标函数求导数或偏导数就可求得驻点，从而讨论问题的最优解决方案。
这种解决实际问题的方法在《高数》书中就有一定的讨论只不过当时不是学习的重点而已。
而微分动态模型，从名称上看我们就知到此方法是用来解决动态变化问题的。
当我们从实际问题中得到的目标量是一个随时间或空间在改变的量时，直接建立此目标量的动态变化方程是很困难的，通常可以先找到此问题的动态变化函数〔一般是一个微分方程或方程组〕，然后通过解方程的方法来求解出我们所需要的目标量所满足的方程。
同样在《高数》书中提到的微元法就是此方法的讨论，它是任何一项研究都必须要首先考虑和掌握的基本方法。
下边举几个例子看一下我们该怎样使用这两种方法.===================================================================== 二、微分静态模型微分静态模型的关键就是建立一个包含各个影响因素在内的目标函数。
具体分析步骤：〔1〕首先明确我们的优化目标；〔2〕明确影响这个目标的各个因素；〔3〕建立目标函数与各指标的代数关系；〔4〕对各指标变量求导数〔或偏导〕找极值点；〔5〕讨论目标的极值。
问题1血液在动物的血管中一刻不停地流动，为了维持血液循环动物的机体要提供能量。
能量的一部分用于供应血管壁以营养。
另一部分用来克服血液流动受到的阻力，消耗的总能量显然与血管系统的几何形状有关。
在长期的生物进化过程中，高级动物血管系统的几何形状应该已经到达消耗能量最小原则下的优化标准了。
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
常见的微分方程模型引言微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述自然界中的各种现象和规律。
微分方程模型是一类特定形式的微分方程，常用于解决实际问题。
本文将介绍几个常见的微分方程模型，并讨论它们在不同领域中的应用。
1. 简单增长模型简单增长模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间变化的规律。
它可以用以下形式表示：dNdt=rN其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示增长率。
这个模型可以应用于人口增长、细菌繁殖等问题。
例如，在人口学中，我们可以使用简单增长模型来预测未来人口数量的变化趋势。
2. 指数衰减模型指数衰减模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间指数衰减的规律。
它可以用以下形式表示：dNdt=−rN其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示衰减率。
这个模型可以应用于放射性元素的衰变、药物的消失等问题。
例如，在医学中，我们可以使用指数衰减模型来预测药物在人体内的浓度随时间的变化。
3. 指数增长模型指数增长模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间指数增长的规律。
它可以用以下形式表示：dN dt =rN(1−NK)其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示增长率，K表示系统的容量。
这个模型可以应用于生态学中研究种群数量随时间变化的问题。
例如，在生态学中，我们可以使用指数增长模型来研究某种生物在特定环境下的种群动态。
4. 鱼类生长模型鱼类生长模型描述了鱼类体重随时间变化的规律。
它可以用以下形式表示：dW dt =rW(1−WK)其中，W表示鱼类的体重，t表示时间，r表示生长速率，K表示饱和重量。
这个模型可以应用于渔业学中研究鱼类养殖和捕捞的问题。
例如，在渔业学中，我们可以使用鱼类生长模型来预测鱼类的生长轨迹和最优捕捞量。
5. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度随时间和空间变化的规律。
它可以用以下形式表示：∂u ∂t =α∂2u∂x2其中，u(x,t)表示物体在位置x处、时间t时的温度，α表示热扩散系数。
微分方程模型一、 一阶常微分方程模型在很多实际问题的研究中，经常要涉及各变量的变化率问题。
这些问题的解决通常要建立相应的微分方程模型。
微分方程模型在自然科学中的应用主要以物理，力学等客观规律为基础建立起来，而在经济学，人口预测等社会科学方面的应用则是在类比，假设等措施下建立起来。
（一）人口模型人口数量以及和次类似的动植物种群 的个体数量都是离散变量，不具有连续可微性。
但由于短时间内改变的是少数个体，与整体数量相比，这种变化是很微小的。
基于此原因，为了成功应用数学工具，我们通常假定大规模种群的个体数量是时间的连续可微函数。
此假设条件在非自然科学的问题中常常用到。
1、指数增长模型（Malthus 人口模型）美国人口学家Malthus(1766-1834)于1798年根据百余年人口统计资料提出了著名的人口指数增长模型。
模型假设：在人口的自然增长过程中，单位时间内人口增量与人口总数成比。
模型建立：设)(t N 为t 时刻的人口述，考察时间区间t t ∆+上的人口变动。
t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(令0→∆t 可以得到微分方程模型⎪⎩⎪⎨⎧=>=00)(0,N r N r rN dt dN 可以解得此方程的解为)(00)(t t r e N t N -=模型分析和应用：(1)当0>r 时，人口将随着时间的增加无限的增长，这是一个不合理的模型，因为一个环境的资源不可能容纳无限增长的人口，从生态环境的角度分析也可以看出其中的不合理性。
一般说来，就一个种群的发展规律看，在种群的发展初期种群数的变化是和指数增长模型大致吻合的（甚至可能出现年增长率递增的现象），但是随着人口数的增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的现象。
再考虑到环境适应程度的制约，想象人口的增长不可能超过某个度。
(2)对于其中常数增长率r 的估计可以使用拟合或者参数估计的方法得到。
(3)在实际情况下，可以使用离散的近似表达式t r N t N )1()(0+=作为人口的预测表达式。
(4)从实际的人口检验情况看，指数增长模型对于时间间隔比较短，并且背景情况改变不大的情况适用。
对于长时间的人口数模型不合适。
2、阻滞增长模型（ Logistic 模型）和指数增长模型相比较，阻滞增长模型考虑到自然资源和环境条件等其他因素对人口的增长的阻滞作用，而且随着人口的增加，这种阻滞作用将越来越大。
模型假设：(1)人口的增长率r 是当前人口数的减函数0)()('<=N r N r r 。
(2)sN r N r -=)(，其中r 是人口的固有增长率，而s 决定了所能容纳的最大人口量m N 。
当m N N =时，人口的增长速度将降为0，从而可以得到m N r s /=。
这样可以得到)/1()(m N N r N r -=模型建立：相同的微元法研究可以得到下面的微分方程00)(,)1(N t N N N N r dt dN m=-= 利用变量分离的方法得到该方程的解为)(00)1(1)(t t r m m e N N N t N ---+= 模型分析和讨论：(1)在微分方程表达式中，rN 体现人口自身的增长趋势，因子)/1(m N N - 反映自然环境尚能容纳的比例，人口的变化是这两个因素共同作用的结果。
可以发现N 越大，两个因素的作用是相反的，并且当N 越大，自然环境和资源的阻滞作用越大。
(2)注意到0>dtdN ，并且从最终的人口方程可以看到，m N t N ≤)(，以及m t N t N =+∞→)(lim ，这说明人口随着时间的增加递增地趋于m N 。
(3)0)/21(22=-=m N N r dtN d 表明当2m N N =时人口的增长速度最快，从而可以得到人口曲线上的一个拐点。
(4)模型中所涉及到的两个参数r ，m N 的估计可以通过mN r s sN r N dt dN =-=,/ 进行线性拟合。
其中t N dt dN ∆∆≈//。
而模型的检验也可以通过这两个参数的估计量与一个实际的人口数量之间进行比较加以检验。
(5)阻滞增长模型不仅能够大体上描述人口及许多物种的变化规律，而且在社会经济领域中有广泛的应用，如耐用消费品的销售量也可以用此模型来描述。
（二）新技术推广模型一项新技术如何在有关企业中推广,是人们最为关心的问题,也就是说,一旦一家企业采用了一项新技术,那么行业中的其他企业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素将影响到技术的推广？下面我们在适当的条件下讨论此问题。
记)(t p 为t 时刻采用该技术的企业数。
并设)(t p 连续可微。
假设未采用该技术者之所以决定采用该技术，是因为其已知有的企业采用了该技术并具有成效。
即是以“眼见为实”作为决策依据的,亦即“示范效应”在起作用。
假设0=t 时，有一项新技术被引进到共有N 个企业的行业中，其中有一个企业采用该技术。
用)()(t p t t p -∆+表示t 到t t ∆+时间内采用该技术的企业数的增加量，假设该增加量与已采用该技术的企业数)(t p 成正比，与还未采用该技术的企业数)(t p N -成正比，则有t t p N t rp t p t t p ∆-=-∆+))()(()()(令0→∆t ，得)(p N rp dtdp -= 于是得模型⎪⎩⎪⎨⎧=-=1)0()(p p N rp dt dp 解得rNt eN N t p --+=)1(1)( 显然，0)(>t p ，且+∞→t 时，N t p →)(，并对任何t ，N t p <)(。
还有，当2N p =时，dtdp 最大。
以上模型的建立，是基于示范效应的。
但随着通讯能力的提高和大众媒介的普及，广告的作用愈来愈明显。
即一个企业采用该技术还可能是因为广告效应的作用，从而在考虑单位时间内使用该技术的企业数的增量时，应把示范效应与广告效应一起考虑。
而广告效应只能对没采用该技术的企业起作用。
假设其引起的增量与)(t p N -成正比。
则有如下模型⎪⎩⎪⎨⎧=>---=0)0(0,),()(11p r r p N r p N rp dt dp 解得t rN r t rN r er rN e Nr t p )(1)(111)1()(＋＋+-= （三）哈罗德-多马经济增长模型计Y ，C ，I ，A 分别为总收入，总消费，引致投资和自发支出（自发消费与自发投资之和），则由总供给等于总需求，得A I C Y ++=设消费函数为10,<<=c cY C引致投资为0,>=υυdtdY I 从而得到模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=dt dYI cYC A I C Y υ即有(1))0()(0⎪⎩⎪⎨⎧=-=Y Y s A Y dt dY ρ 其中υρs=，01>-=c s 当A 为常数时，其解为)2()()(0te s A Y s A t Y ρ-+= 上式由两项组成，其第一项sA 是经济 学中乘数效应的结果（即边际消费c 的作用），而第二项是加速效应υ与c 的共同作用，当sA Y >0时，υ与c 的共同作用导致一个常数增长率出现。
次现象在经济学上称为加速发展原理，是增长经济学的重要内容，但由于此时t e sA Y dt dY t I ρυρυ)()(0-== 亦有常数增长率ρ，所以到一定程度，必须进行经济政策调整，以防经济过热在式)1(中，设)0,(00>=r A e A A rt即自发支出有一个常数增长率r ，则式)2(的解为t t e r A Y e r A t Y ρρυρυρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=)()()(000 由此可见： (1)当r >ρ时，若υρ)(00r A Y ->，则)(t Y 有常数增长率ρ; (2))(t Y 第一项是与A 对应的与其有同样增长率项；(3)当r <ρ，+∞→t 时，-∞→)(t Y 。
即自发支出增长过快，挤掉了生产性投资，使总产量锐减。
所以自发支出不宜增长过快。
(4)当r =ρ时，t e Y A t A t Y ρυυ)()(000--= 当+∞→t 时，-∞→)(t Y ，造成生产萎缩。
二、高阶常微分方程和方程组模型（一）、饿狼追兔问题现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。
假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。
问题是兔子能否安全回到巢穴？yh A(100,0)O解 首先建立坐标系，兔子在O 处，狼在A 处。
由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。
设狼的行走轨迹是)(x f y =，则有1000x y ='= 1000x y ==又因狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。
假设在某一时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有()02x h y f x x h -⎧'=⎪-⎨⎪=⎩⎰整理得到下述模型2()(100)0,(100)0xf x f f ⎧''=⎪⎨'==⎪⎩这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹31221200()10303f x x x =-+ 因200(0)603f =>，所以狼追不上兔子。
某些类型的导弹对目标追击的数学模型与此数学模型相识。
（二）传染病模型尽管现在卫生设施在不断改善，医疗水平也在不断提高，但在世界的某些地区，仍时有传染病流行的情况发生。
长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析得病人数的变化规律等，一直是人们重视的问题。
用数学方法研究传染病，不是从医学的角度具体分析每种传染病的传播，而只是按照一般的传播机制来建立模型。
现将人分为两类，一是传染病患者，一是传染病易感者，设)(t x ，)(t y 分别为t 时刻传染病人数和易感者人数。
假设易感者因与传染者接触而得病，且传染病人数因病死而减少。
进一步假设单位时间传染病人数的增量为xy α，减少人数为x β，则有如下模型⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=>-=00)0(,)0(0,,y y x x xy dx dy x xy dy dx αβαβα 由方程可得ydy dx 11αβ+-= 从而有00ln )(y y y y x y x ρ+-+= 其中0>=αβρ 此模型没有考虑到防疫，治疗，免疫等机制，所以有很大的局限性，也为此模型的进一步完善留有广阔的空间。
三、差分方程模型（一）Leslie 模型上面考虑的是人口群体变化的规律问题，该模型没有考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定。
