微分方程模型建模实例

微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。

本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。

一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。

以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。

例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。

2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。

常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。

3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。

利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。

三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。

通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。

结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。

在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。

以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。

微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。

本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。

1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。

通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。

将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。

2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。

根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。

对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。

3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。

求解方法包括解析解和数值解两种。

解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。

数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。

4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。

通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。

现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。

1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。

已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。

求解该问题。

解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。

根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。

将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。

然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。

2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。

微分方程建模案例微分方程是数学中的一种重要工具，它被广泛应用于各个领域的建模和问题求解中。

下面将以一个具体的案例来介绍微分方程建模的过程，并通过求解微分方程来解决实际问题。

案例：生物种群的增长模型在生态学中，研究生物种群的增长是一个重要的课题。

种群的增长速度与种群中的个体数量有关。

如果种群中个体数量增加的速度与当前个体数量成正比，可以建立如下的微分方程模型：$$\frac{dN}{dt} = rN$$其中，$N$表示种群的个体数量，$t$表示时间，$r$表示增长的速率。

这个微分方程描述了种群个体数量随时间变化的规律。

解：首先，我们需要求解上述微分方程，得到种群个体数量随时间的函数关系。

这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用分离变量的方法求解。

将微分方程变形为：$$\frac{dN}{N} = rdt$$将方程两边同时积分，得到：$$\int \frac{dN}{N} = \int rdt$$经过积分运算，得到：$$\ln N = rt + C$$其中，$C$为积分常数。

进一步求解，得到：$$N = e^{rt + C}$$根据初始条件，当$t=0$时，$N=N_0$，其中$N_0$为初始种群个体数量。

代入初始条件，解得$C=\ln N_0$，将其代入上述方程，得到最终的解：$$N = N_0e^{rt}$$这个解描述了种群个体数量随时间的增长情况。

接下来，我们来解决一个具体的问题，一个兔子种群的增长情况。

假设初始时刻兔子种群中有100只兔子，增长速率$r=0.02$，那么该种群在未来的10个月内，兔子的数量会如何变化？根据上面的微分方程解，代入初始条件$N_0=100$，$r=0.02$，$t=10$，得到：$$N=100e^{0.02t}$$将$t=10$代入上述方程，可以得到10个月后兔子种群的个体数量：所以，10个月后的兔子种群中大约有122只兔子。

通过这个模型，我们可以预测种群在未来的增长情况，并在实践中应用于生态学、环境保护等领域，为实际问题的决策提供参考。

微分方程预测模型实例引言微分方程是数学中的重要概念，用于描述自然界中的各种变化和现象。

它在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛应用。

在本文中，我们将介绍微分方程预测模型的概念和实例，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。

什么是微分方程预测模型？微分方程预测模型是一种利用已知条件和规律，通过建立微分方程来预测未来变化的方法。

它基于数学原理和统计学方法，通过对已有数据进行拟合和分析，得出一个能够描述系统行为的微分方程，并利用该方程进行未来的预测。

微分方程预测模型的应用微分方程预测模型广泛应用于各个领域，下面我们以经典案例为例介绍其中两个：1. 成长模型成长模型是一类常见的微分方程预测模型。

它通常用于描述人口、生物群体等在时间上的增长情况。

以人口增长为例，我们可以假设人口增长率与当前人口数量成正比，即：dPdt=kP其中，P表示人口数量，k为比例常数。

这是一个一阶线性常微分方程，可以通过求解得到人口数量随时间的变化情况。

通过拟合已有的人口数据，我们可以得到合适的k值，并利用该方程进行未来人口数量的预测。

2. 热传导模型热传导模型是另一个常见的微分方程预测模型。

它通常用于描述物体内部温度随时间和空间的变化情况。

以一维热传导为例，我们可以假设物体内部温度变化率与温度梯度成正比，即：∂T ∂t =α∂2T∂x2其中，T表示温度，α为热扩散系数。

这是一个二阶偏微分方程，可以通过求解得到物体内部温度随时间和空间的变化情况。

通过拟合已有的温度数据和边界条件，我们可以得到合适的α值，并利用该方程进行未来温度分布的预测。

微分方程预测模型实例下面我们以一维热传导模型为例，介绍微分方程预测模型的具体实现步骤。

步骤一：收集数据首先，我们需要收集已有的温度数据。

假设我们有一个金属棒，长度为L，初始时刻t=0时，金属棒上各点的温度分布已知。

步骤二：建立微分方程根据热传导模型的假设，我们可以建立如下的一维热传导方程：∂T ∂t =α∂2T∂x2其中，T(x,t)表示金属棒上某点处的温度，α为热扩散系数。

微分方程模型浙江大学数学建模实践基地§3.1 微分方程的几个简单实例在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。

在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。

例1（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。

从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsin θ，根据牛顿第二定律可得：sin ml mg θθ=- 从而得出两阶微分方程：0sin 0(0)0,(0)g l θθθθθ+==⎪=⎧⎪⎨⎩ （3.1）这是理想单摆应满足的运动方程（3.1）是一个两阶非线性方程，不易求解。

当θ很小时，sin θ≈θ，此时，可考察（3.1）的近似线性方程：00(0)0,(0)g l θθθθθ+==⎧=⎪⎨⎪⎩ （3.2）由此即可得出2g T l π=（3.2）的解为: θ(t )=θ0cosωtg l ω=其中当时,θ(t )=04T t =42g T l π=故有M Q P mgθl 图3-1（3.1）的近似方程例2我方巡逻艇发现敌方潜水艇。

与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。

设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。

这一问题属于对策问题，较为复杂。

讨论以下简单情形：敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。

设巡逻艇在A 处发现位于B 处的潜水艇，取极坐标，以B 为极点，BA 为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r =r (θ)，见图3-2。

B AA1dr ds dθθ图3-2由题意，，故ds =2dr 2ds dr dt dt =图3-2可看出，222()()()ds dr rd θ=+故有:2223()()dr r d θ=即:3rdr d θ=（3.3）解为：3r Ae θ=（3.4）先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。

微分方程模型案例分析-------传染病传播的数学模型张清华由于人体的疾病难以控制和变化莫测，因此医学中的数学模型较为复杂。

医学中的数学模型分为两大类：传染病传播的数学模型和疾病数学模型。

以下仅讨论传染病的传播问题。

人们将传染病的统计数据进行处理和分析，发现在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。

这一现象如何解释呢？关于这个问题，医学工作者试图从医学的不同角度进行解释都得不到令人满意的解释。

最后由于数学工作者的参与，在理论上对上述结论进行了严格的证明。

同时又由于传染病数学模型的建立，分析所得结果与实际过程比较吻合，这个现象才得到了比较满意的解释。

传染病传播所涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等。

如果还要考虑人员的迁入与迁出，潜伏期的长短以及预防疾病的传播等因素的影响，那么传染病的传播就变得非常复杂。

如果一开始就把所有的因素考虑在内，那么将陷入多如乱麻的头绪中不能自拔，倒不如舍去众多的次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。

将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。

下面由简单到复杂将建模的思考过程作一个示范，读者可以从中得到很好的启发。

1 模型一假设(1)，每个病人在单位时间内传染的人数是常数K 0；假设(2)，一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。

记i t ()表示t 时刻病人数，K 0表示每个病人单位时间内传染的人数，i i ()00=，即最初有i 0个传染病人。

则在∆t 时间内增加的病人数为i t t i t K i t t ()()()+-=∆∆0于是得微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==00)0()()(i i t i K dt t di (1)， 其解为 i t i e k t ()=00结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的。

这个结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播快，被传染人数按指数函数增长。

一个数学问题都可以用不同的方法来求解的，不同的方法做出来效果不同，效率也不同。

下面就微分方程模型建模展开建模。

下面给出些微分方程建立模型的实例，供大家参考。

1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。

设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。

5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。

8．1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。

9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，（）10．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。

常微分方程数学建模案例分析常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。

它是数学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物扩散、化学反应等。

本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分析常微分方程在实际问题中的应用。

假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。

现在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。

为此，我们可以建立如下的数学模型：设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，S(t)表示易感者的人口数。

根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可表示为：dS/dt = -βSI其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病的概率。

感染者的人数随时间的变化率可表示为：dI/dt = βSI - γI其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。

总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。

进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。

例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。

反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。

另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。

相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。

通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。

例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。

在实际应用中，常微分方程数学建模方法可以用于预测传染病的传播趋势，评估各种干预措施的效果。

此外，还可以通过引入更多的变量和参数，建立更复杂的模型，以更好地解释实际问题。

总之，常微分方程是数学建模中常用的方法之一，可以用于描述各种实际问题，如传染病的传播、经济增长等。

常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,并设0t t =时刻的人口为0N ,于是|⎪⎩⎪⎨⎧==．，00)(d d N t N rN t N这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为)(00e )(t t r N t N -=,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是)1961(02.09e1006.3)(-⨯=t t N .这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.;例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，，000)(1d d N t N N N N r t N 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,)(00e 11)(t t r m mN N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ；@（2）当m N N <<0时,01d d >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22<tN ,t N d d 单减,即人口增长率t Nd d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,即世界人口总数极限值近100亿. ）值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.二、市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解 假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率tpd d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是()()[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，0)0(,d d p p p g r p f tpα 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数.若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为—⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t pαα ① 其中d c b a ,,,均为正常数,其解为ca db c a d b p t p t c a +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-)(0e)(α. 下面对所得结果进行讨论:（1）设p 为静态均衡价格 ,则其应满足0)(),(=-p g r p f ,即d p c b p a +=+-,于是得ca db p +-=,从而价格函数)(t p 可写为 。