概率选择填空

九年级数学概率统计练习题及答案一、选择题1. 下列各项中，属于概率的是：A. 李明抽到红球的可能性是10%B. 今天下雨的可能性是80%C. 买彩票中奖的可能性是1/1000000D. 扔一次骰子掷出的点数是4的可能性是1/62. 某班级有30个学生，其中有18个男生和12个女生。

从班级中随机选取一个学生，男生和女生被选到的概率相等。

那么，被选到的学生是男生的概率是多少？A. 2/3B. 1/3C. 3/5D. 1/23. 一副扑克牌中有52张牌，其中红心牌有13张。

从扑克牌中随机抽一张牌，抽到红心牌的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/52二、填空题1. 从数字1、2、3、4、5中任意抽取一个数，抽到奇数的概率是_________。

2. 一组数据：10、12、14、16、18中，大于15的数的概率是_________。

3. 一枚硬币抛掷，正面向上的概率是_________。

三、计算题1. 某班级有40个学生，其中有18个男生和22个女生。

从班级中随机选取两个学生，分别计算：a) 选出的两个学生都是男生的概率是多少？b) 选出的两个学生一个是男生一个是女生的概率是多少？2. 一副扑克牌中有52张牌，其中黑色牌有26张。

从扑克牌中随机抽取两张牌，并将它们放回，再抽取一张牌。

计算：a) 三次抽取都是黑色牌的概率是多少？b) 三次抽取中至少有一张黑色牌的概率是多少？四、解答题1. 一组数据：5、7、9、11、13，从中随机抽取一个数。

计算抽取奇数的概率。

答案解析：一、选择题1. D2. A3. A二、填空题1. 3/52. 3/53. 1/2三、计算题1.a) 18/40 × 17/39 = 9/20 × 17/39 = 153/780b) 18/40 × 22/39 + 22/40 × 18/39 = 396/780 = 2/5 2.a) 26/52 × 26/52 × 26/52 = 27/64b) 1 - (26/52 × 26/52 × 26/52) = 37/64四、解答题1. 3/5通过以上习题，希望能够帮助同学们加深对数学概率统计的理解和掌握。

练习题练习题1．事件,,A B C 中恰好有一个事件发生的事件是中恰好有一个事件发生的事件是( )( ). 答案A (A)ABC ABC ABC ; (B)ABC ;(C)B A BC C A BC ABC ; (D)A B C .2．事件,,A B C 中恰好有两个事件发生的事件是中恰好有两个事件发生的事件是( ). ( ). ( ). 答案答案C(A)A B C B A BCC A BC ABC ; (B)AB AC BC ; (C)B A BC C A BC ABC ; (D)A B C .4．事件E ={事件,,A B C 至少有两个发生},则E 的表示不正确的是的是( ).( ).( ).答案答案C(A)BC A C B A C AB ABC +++； (B)AB AC BC ；(C)BC A C B A C AB ++； (D)A B B C AC W - .C ..投掷两颗均匀色子,则出现点数之和等于8的概率为的概率为( )( ). (A)111; (B)125; (C)61; (D)365..设,8.0)|(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P 则=)(B A P ( ). (A) 0.5 ; (B) 0.6 ; (C)0.7 ; (D) 0.8. C.一批产品共50件,其中有5件次品,任取2件,无次品的概率为无次品的概率为( )( ). (A)101; (B)109; (C)24599; (D)245198..设,3.0)(,4.0)(==B A P A P 则=)|(A B P ( ). (A) 0.5 ; (B) 0.6 ; (C) 0.7 ; (D) 0.8..设C B A ,,两两独立,()0.2P A =,()0.4P B =,6.0)(=C P ,()0.96P A B C = ,则()P A B C = ( ). C C(A)0.24; (B)1; (C)0.8; (D)0.52.设,8.0)|(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P 则=)(B A P ( ). (A) 0.5 ; (B) 0.6 ; (C)0.7 ; (D) 0.8..某办公室10名员工编号从1到10,任选3人其最大编号为5的概率为的概率为( )( ). (A)112; (B)120; (C)15; (D)14.B.)(x F 是标准正态分布函数,则=££-)(a X a P ( ).(A)21)(-F a ;(B)1)(2-F a ; (C))(a F ; (D))(1a F -..事件,,A B C 中恰好有两个事件发生的事件是中恰好有两个事件发生的事件是( )( ).(A)A B C B A BC C A BC ABC ; (B)AB AC BC ; (C)B A BCC A BC ABC ; (D)BC AC AB .C()P A B C = ( ).(A)0.24; (B)1; (C)0.8; (D)0.52. C C.设P (A )=0.5, P (B |A )=0.8,则P (AB )=( ).(A)0.5 ; (B) 0.6 ; (C)0.8 ; (D)0.4.D.设变量X 密度,},4)3(exp{21)(2R x x x f Î+-=p则变量=Y ( )).1,0(~N(A)23+X ; (B)23+X ; (C)23-X ; (D)23-X. B.设离散变量),(~p n B X ，期望4.2)(=X E ，方差44.1)(=X D ，则参数n ，p 的值为( ). (A)n =4，p =0.6； (B)n =6，p =0.4； (C)n =8，p =0.3； (D)n =12，p =0.2.B .B.设二维变量(,)X Y 的边缘,X Y 不相关,则下列推论不正确的是的是( ). ( ). (A)(A) ,0X Y r =； (B)(B) ,X Y 独立；独立； (C)(C) ov(,)0C X Y =；(D)(D) ()D X Y DX DY +=+ 25.25.设设12,,,n X X X ×××为总体2(2,4)N 的简单样本,X 是样本均值,正确的是正确的是( )( ). (A))1,0(~/42N nX -;(B))1,0(~162N X -;(C))1,0(~22N X -;(D))1,0(~42N X -.．设i X 独立同分布2(,)N m s ,记2211()1ni i SX X n ==--å,22111()nii SX X n==-å, 22211()1n i i S X n m ==--å,22311()nii S X n m ==-å.则服从分布(1)t n -的是的是( )( ).答案B(A)1()n X Sm --; (B)11()n X S m --;(C)2()n X S m -; (D)3()n X S m -.6．已知P(A ∪B)=0.7, P(B)=0.3, P(AB)=0.2, 则P(A)=( ).=( ). (A) 0.2 ; (B) 0.6 ; (C) 0.4 ; (D) 0.5 .．已知P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A ∪B)=0.5, 则P(AB)=( ). (A) 0.1; (B) 0.3; (C) 0.9 ; (D) . 0.2. ．设P (A )=0.4,()P B A =0.3,(|)P B A = ( ). (A) 0.5 ; (B) 0.6 ; (C) 0.7 ; (D) 0.8.．设P (A )=0.5, P (B )=0.6, P (B |A )=0.8, 则P (AB )= ( ). (A) 0.5 ; (B) 0.6 ; (C) 0.8 ; (D) 0.4..设,3.0)(,4.0)(==B A P A P 则=)|(A B P ( ).答案A (A) 0.5 ; (B) 0.6 ; (C) 0.7 ; (D) 0.8.()P A B C = ( ).( ).(A)0.24； (B)1 (B)1；； (C)0.8； (D)0.52.C .C9．从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 则所得三位数为偶数的概率是（则所得三位数为偶数的概率是（ ）.(A) 49; (B) 59; (C) 13; (D) 19.10．已知P(A)=0.5, P(B)=0.8, P(AB)=0.4, 则P(A ︱B)=( ).(A) 0.4 ; (B) 0.5 ; (C) 08 ; (D) 0.6.12．设P (A )=0.5, P (B )=0.6, P (B |A )=0.8, 则P (A ∪B )= ( ). (A) 0.5 ; (B) 0.6 ; (C) 0.7 ; (D) 0.8.14．已知事件A 与B 相互独立，P(B) =0.5, P(AB) =0.1, 则P(A)= ( ).(A)0.5 ; (B) 0.4 ; (C) 0.2 ; (D) 0.1.15．设1()3P A =,1()2P B =，且A 与 B 相互独立, 则P (A ∪B )=( ). (A)13; (B)12; (C)23; (D)56. 17．已知P (A )=0.6，()P AB =0.4，则()P A B -=（ ）。

专题15概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1,2,3，且3>2>1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘甲的概率丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为甲则甲=2(1−2)13+221(1−3)=21(2+3)−4123记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为乙则乙=2(1−1)23+212(1−3)=22(1+3)−4123记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为丙则丙=2(1−1)32+213(1−2)=23(1+2)−4123则甲−乙=21(2+3)−4123−22(1+3)−4123=21−23<0乙−丙=22(1+3)−4123−23(1+2)−4123=22−31<0即甲<乙，乙<丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D2．【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C 72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率=21−721=23.故选：D.3．【2021年甲卷理科】已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B ．132C D 【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.4．【2021年甲卷理科】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】C 【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.5．【2021年乙卷理科】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A ．79B ．2332C ．932D ．29【答案】B 【解析】【分析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为13323124432A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A Ω对应的区域面积，即可顺利解出．6．【2021年新高考1卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙丁，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立7．【2021年新高考2卷】某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D.8．【2020年新课标1卷理科】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x=+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.9．【2020年新课标2卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，9001850=，故至少需要志愿者18名.故选：B 【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.10．【2020年新课标3卷理科】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65As =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85Bs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05Cs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45Ds =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%【答案】C 【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.12．【2019年新课标1卷理科】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．13．【2019年新课标2卷理科】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A 【解析】【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤ ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤ ，中位数仍为5x ，∴A 正确．②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++ ，后来平均数234817x x x x x '=+++ （）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦ 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确．本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.14．【2019年新课标3卷理科】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【答案】C【解析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．15．【2018年新课标1卷理科】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.16．【2018年新课标1卷理科】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 3【答案】A 【解析】【分析】首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，然后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p 1，p 2，p 3的关系，从而求得结果.【详解】设,,AC b AB c BC a ===，则有222b c a +=，从而可以求得ABC ∆的面积为112=S bc ，黑色部分的面积为22221()()[()]2222c b a S bc πππ=⋅+⋅-⋅-2221(4442c b a bc π=+-+22211422c b a bc bc π+-=⋅+=，其余部分的面积为22311122282a a S bc bc ππ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，所以有12S S =，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.17．【2018年新课标2卷理科】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C【解析】【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.18．【2018年新课标3卷理科】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B【解析】【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =- p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．19．【2021年新高考1卷】有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD20．【2021年新高考2卷】下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.21．【2020年新高考1卷（山东卷）】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log n i i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n == ，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C 选项，若()11,2,,i p i n n== ，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m = ）.()2222111log log m m i i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅ .()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅+⋅+++⋅+++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++ 由于()01,2,,2i p i m >= ，所以2111i i m i p p p +->+，所以222111log log i i m i p p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.22．【2020年新高考2卷（海南卷）】我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.23．【2022年全国甲卷】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有=C84=70个结果，这4个点在同一个平面的有= 6+6=12个，故所求概率==1270=635．故答案为：635．24．【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布2,2，且o2<≤2.5)=0.36，则o>2.5)=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为∼2,2，所以<2=>2=0.5，因此>2.5=>2−2<≤2.5=0.5−0.36=0.14．故答案为：0.14．25．【2019年新课标1卷理科】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．26．【2019年新课标2卷理科】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.【答案】0．98.【解析】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．。

[1] 随机事件•样本空间•事件的关系与运算、选择填空题（在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方 括号中）【C 】1.在电炉上安装了四个温控器，其显示温度的误差是随机的.在使用 过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 。

，电炉就断电，以E 表 示“电炉断电”，而T （1）T （2）T （3）T （4）为四个温控器显示的按递增顺序排列的温 度值，则事件E 等于【D 】2.设事件A 表示“甲种产品畅销而乙种产品滞销”，则事件A 表示 （A ） “甲种产品滞销而乙种产品畅销” .（B ） “甲、乙两种产品均畅销”.A(B C).二、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数.设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”.把事件A 及B 分别表示为样本点的集合;事件A, B, A B, AB,厂B 分别表示什么事件并把它们表示为样本点的集合.（1）设Q 表示“出现i 点” （i 1,2,, 6），则样本点为(A){T(1) t o}. (C ){T(3) t o}.(D){T (4) t o }.（C ） “甲种产品滞销”. （D ） “甲种产品滞销或乙种产品畅销”.B 】3.设A, B,C 是某随机试验中的三个事件,D 表示“只有A 发生”,则(A)(B) D ABC .(C)ABC .(D)(A)D 】4.对于任意二事件A 和B ，与关系式AB 不等价的是(B) B A .(C)AB(D)AB(1) 写出试验的样本点及样本空间;【解】W |,◎ , W 3 ,W 4, W 5,叱,1,2,3,4,5, 6}.{ 3,32，34，35}，表示“出现的点数不能被3整除”； B {32 , 33 , 34 , 36}，表示“出现的点数能被2或3整除”；A B {3,3}，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”.三、一盒中有5只外形完全相同的电子元件(分别标有号码1, 2, 3, 4, 5)，一次从 中任取3只，记录所取元件的号码.(1)写出随机试验的样本点及样本空间；(2) 用样本空间的子集表示下列事件： A “最小号码为1 ”； B “号码之 和为10” .【解】(1)设3ijk 表示“出现号码为i , j , k ”(i,j,k 1,2,,5;i j k)，则Q {3123, 3124, 3125, 3134,3135, 3145, 3234, 3235, 3245, 3345}⑵A{ 3123，3124 ，3125 ，3134 ，3135 ， 3145}.145}.四、设A, B,C 为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件:A, B,C 都发生;A,B,C 中至少有两个发生;样本空间为 (2) A {W 2 ,34 ，36} , B{ 33 , 36}；(3) A{ 3,33,35}，表示“出现奇数点”；AB { 3}，表示“出现的点数能被2和3整除”;(1)A 发生,B 与C 都不发生;【解】 ABC ;(或 A(B C))【解】 ABC【解】ABC ABC ABC ABC 或AB BC CAA,B,C中至多有两个发生.ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC或 A B C 或 ABC.[2]概率的古典定义•概率加法定理、填空题（将你认为正确的答案填在题中的横线上）1.电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0,1,2, ,9中的任一个数（但第一个数不能为0）,则电话号码是由完全不同的数字组成的概率为A9^4 0.06048.2.3.将20个球队任意分成两组（每组10个队）进行比赛，则最强的两个队恰好分在不同组内的概率为C20 100.5263.194. 一盒中有20张奖票（其中只有2张有奖），现有两人依次从盒中各抽一张奖票. 第二人抽奖时不知道第一人是否中奖，则第二人中奖的概率为 - 0.1105. 一批产品共有200件，其中有6件次品.任取3件产品恰有1件是次品的C2C1概率为卷严0.0856;任取3件产品没有次品的概率为C940.9122;任取3C2C1件产品中次品不少于2件的概率为1吉C194C2000.0022 .【解】二、一批产品共有20件，其中一等品8件，二等品12件.现从这批产品中任取3 件，求取出的产品中恰有2件等级相同的概率.【要求：使用互不相容情形的加 法定理】【解】设取出的产品中恰有2件等级相同的概率为P(A),则三、在1到100共一百个正整数中任取一个数，求这个数能被 3或7整除的概率. 【解】设这个数能被3或7整除的概率为P(A),则P(A)单单牟0.43C100 C 100 C100A, B,C 中至少有一个发生的概率. 【解】因为P(AB) P(AC) 0,[3] 条件概率•概率乘法定理•全概率公式与贝叶斯公式、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)设 A, B 是随机事件，P(A) 0.7 , P (B)0.6 , P(B| A) 0.4 , 则设 A, B 是随机事件，已知 P(A) 0.6 , P(B) 0.5 , P(A B) 0.8，则P(A)C8 C123C 8C 120.7579c 201设 P(A) P(B) P(C) -, P(AB)31P(AC) 0, P(BC)-,求三事件4所以AB ①,AC ①，从而(AB)C ①,可推出P(ABC) 0,所求为P(AB C)P(A) P(B) P(C) P (AB)P (BC) P(CA) P( ABC)P(AB) 0.48 .2.P(B A) 0.5 .3 .设 A, B 是随机事件，P(A) 0.5 , P(B)0.6 , P(A B) 0.8 ,则P(A B) 0.62 .、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方 括号中)】1•已知事件A 发生必导致事件B 的发生，且0 P(B) 1，则P(A| B)三、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率.【解】设A= “拨通电话” ，B i "第i 次才拨通电话"(i 1,2),AB1B 1B2,四、试卷中的一道选择题共有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的.某 考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案.设该考生会做这道题的概率为 0.8 . (1)求该考生选出此题 正确答案的概率.(2)已知该考生答对了此题，求该考生确实会解此题的概率. 【解】设A:｛该考生选出此题正确答案｝,B:｛该生会做此题｝，则(A)1. (B) 0.5 .(C) 0.25.(D) 0 . 】2.已知P(A) 1-P(B| A) 4 (A)1 .1(B)1.31 1彳 P(A|B) 2，则 P(A1(C)1.4B)1(D)-.513.已知事件A 与B 满足条件P(AB) 0.2 ,且 P(A) 0.6，则 P(B| A)(A) 0.5 .(B) 0.6 .(C) 0.7 .(D) 0.8 .P(B i )1 — — —-,P (B 1B 2) P(B 2|B 1)P(B 1)故 P(A) P(B 1)P(B 1B 2)_9 1 丄 10 9 10，1 1P(B) 0.8, P(A| B) 1,P(A| B)-4(1) P(A) .P (AB) P (AB) P(B) P(A|B) P(B)P (A|B)0.8 1(2) P(AB) P(A)P(B|A) P(B | A)P(AB)-080.9412P(A) 0.85五、盒中放有10个乒乓球，其中有6个是新的.第一次比赛时从盒中任取 2个来 用，比赛结束后仍放回盒中.第二次比赛时再从盒中任取 2个，求第二次比赛时 取出的都是新球的概率.【解】设A:｛第二次比赛时取出的都是新球｝, B i ：｛第一次比赛时取出i 个新球｝，[4]随机事件的独立性•独立试验序列、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1.两射手独立地向同一目标各射击一次， 假设两射手的命中率分别为0.9和 0.8，则目标被击中的概率为0.98 .2.设事件 A 与 B 独立，P (A) 04P(A B) 0.7，则 P (B) 0.5 .至少命中1次的概率为80，则该射手的命中率P 81、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方 括号中)【C 】1.已知A 与B 相互独立，且P(A) 0,P(B) 0，则下面命题不正确 的0.2 - 0.854P(A) .P (AB o )P(AB i ) P (AB 2)P(B o ) P(A|B o ) P(B i ) P(A|B i ) P (B 2) P(A|B 2)2 2C 4 C eC10 C10C 4C6 C2C10 C10 C10Ce C 2苗 o.20743. 一射手对同一目标独立地进行 4次射击,假设每次射击命中率相同，若(A) P(BA) P(B). (B)P(AB) P(A).2.—种零件的加工由两道工序完成，已知第一道工序的废品率为第二道工序的废品率为q ，则该零件加工的成品率为则此人4次射击恰好命中2次的概率为2222(A) 3p(1 p) . (B) 6p(1 p) . (C) 3p (1 p) . (D)三、一个工人看管三台车床，在一小时内车床需要工人照管的概率： 第一台等于0.1，第二台等于0.2，第三台等于0.3 .求在一小时内三台车床中最多有一台需 要工人照管的概率.【解】设A:｛ —小时内第一台车床需要工人照管｝, B:｛ 一小时内第二台车床需 要工人照管｝ C :｛ 一小时内第三台车床需要工人照管｝ , D :｛ 一小时内三台车床中 最多有一台需要工人照管｝，则P(A) 0.1, P(B) 0.2, P(C) 0.3, P(D) P (ABC) P (ABC) P(ABC) P(ABC)P(A) P(B) P(C) P(A) P(B) P(C) P CA) P(B) P(C) P (A) P(B) P(C)0.1 0.8 0.7 0.9 0.2 0.7 0.9 0.8 0.3 0.9 0.8 0.70.902四、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成.设电池a,b,c 损坏的概率分 别是0.3, 0.2, 0.2，求电路发生间断的概率.【解】设A 1：｛电池a 损坏｝，A 2：｛电池b 损坏｝，A 3：｛电池c 损坏｝，B:｛电 路发生间断｝，则P(B) P(A 1 A 2A 3) P(A 1) P(A 2A 3)P(AA 2A 3)P(A 1) P (A 2 )P (A 3) P(A 1)P(A 2)P(A 3)(C) P(A) 1 P(B).(D) P(AB) P(A)P(B).(A)1(B) 1 pq .(C) p q pq(D) 1pq . 3.某人向同一目标独立重复射击，每次命中的概率为P (0 P1),26p (1P)2 .0.3 0.2 0.2 0.3 0.2 0.2 0.328五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7 .现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率.【解】设A:｛任何一人贡献正确意见｝，则P(A) 0.7,于是所求概率为P(m 5) P9(5) P9(6) P,(7)[5]离散随机变量•三个重要的离散分布、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1 .设离散随机变量X的概率分布为5aP(X k)歹，k 1,2,2.某段高速公路每周发生交通事故的次数服从参数为3的泊松分布，则该段高速公路每周发生4次交通事故的概率为0.168075 . (取 e 30.0498 )3.自动生产线在调整以后出现废品的概率为P (0 P 1).生产过程中出现废品时立即进行调整.则在两次调整之间生产的合格品数X的概率分布为:pq2pqnpq二、已知一批产品共20个，其中有4个次品.(1)不放回抽样：抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布. (2)放回抽样：抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布.【解】(1)设随机变量X 为取出的样本中的次品数，则X ~ H (6, 4, 20)，即X 的 概率函数为PX Q 6 xP(X x)(x 0,1,2,3,4)从而X 的概率分布为(2)设随机变量丫为取出的样本中的次品数，则丫 ~B(6,0.2),Y 的概率函数为P(Y yC 6y (0.2)y (1 0.2)6 y (y 0 ,1, 2,3, 4,5,6)从而Y 的概率分布为三、一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取1个.如 果每次取出的废品不再放回去，设 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数, 为在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 可能取值为C ；0求X 的概率分布. 【解】设随机变量P(X 0)P(X2)9 12 2. 34 2 99 P(X 1)—12P(X 3)— 911 2 2 44， 1 9 1四、电话总机为300个电话用户服务.在一小时内每一电话用户使用电话的概率 等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用 泊松分布近似计算）.【解】（1）设随机变量X 为一小时内使用电话的用户数，则 X ~ B （300, 0.01）,P(X 4) c 300(0.01)4(10.01)296⑹ 随机变量的分布函数•连续随机变量的概率密度、选择填空题（在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方 括号中）A 】3.设F 1（x ）与F 2（X ）分别为随机变量X 1与X 2的分布函数，若函数F （x ） aF 1（x ） bF 2（x ）是某随机变量的分布函数，则必有0.168877（2）用泊松分布计算（入 np 3000.01 3)相对误差为P(X 0.168877 344)h0.1680750.16887730.1680755700.C 】1.若函数1F(x) 「I ;是某个连续随机变量X 的分布函数,(A) ( , 1) •(B)(1,(C)( ,0) • (D)(0,).B 】2.若函数1 . f(x) 2sinx,0,1；是某个连续随机变量IX 的概率密度,(B)[0, ] •3 (C)[0,专]-(D)[0,2 ].1,P(X a) P(X a)，则 a二、一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取1个.如 果每次取出的废品不再放回，求在取得合格品之前已取出的废品数 数F (x)，并作出分布函数y F(x)的图形. 为在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 可能取值为故X 的分布函数为x 0 0 x 11 x2 其图形见下:(A) a(C)a【B 】4.3 2 (B) a -,b -.5 5 1 3(D)a -,b -.22 3x 20 x3 b 2-,b - 5 51 b 3 -,b -设随机变量X 的概率密度为f(x)3x ，0 / 0, 其它. (AG -(B)V 2 .(D)V 3 .【解】设随机变量P(X 0)P(X 2)9 12 3 12 342 11 9 10 9 2203 9P(X 1) -------- 12 11 3 2 P(X 3) ---------44，1 9 1 10 9X 的分布函0,3/4, F(x)21/22,2x3x 31,•II4 I【解】(1)由lim F(x) A B (x1解得A — , B2 n) lim F(x) Ax即F(x) -arctanx..nP( 1 X 1) F(1) F( 1)(-的概率密度为1-arcta1 1【2 2 arctan( 1)]f(x) F (x)1(1 x2)四、设随机变量X的概率密度为(1)求系数布函数. 【解】(1)由即有f (x) AeA . (2)求X落在区间(0, 1)内的概率.(3)求随机变量X的分I 1f (x)dx 1，得 Ae * x dx 2A e x dx 2A 1，解得 A -0 2[7]均匀分布•指数分布•随机变量函数的概率分布、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过.乘客到达汽车站的任一时刻是等可 能的.求乘客候车时间不超过3分钟的概率.甲、乙、丙元件能使用1000h 以上.则由加法公式及A 1,A 2, A 3的独立性有 P(A) P(A 1 A 2A 3)⑵ P(0 X 1)⑶ F(x) P(X x 0 时，F(x) x 0 时，F(x)f(x)R x1f (x)dxx)f(x)dx , f(x)dx f(x)dxdxf(x)).1(ex)1 1 2(1 ；)-1 ix .一 e 门 dx 2 1 |X 一 e' dx 2ix 1 2e , 1e x 2 12 2( e x dx 0e x dx xxe dx) 11 x-e 2【解】设随机变量X 表示乘客的候车时间，则 X ~U(0,5)，其密度函数为f(x)1/5,[0,5] [0,5]3于是有 P(0 X 3) 0 f(x)dx0.6.、已知某种电子元件的使用寿命 X (单位:h )服从指数分布，概率密度为f(x)1800--- e 800 0,x 0, x 0.任取3个这种电子元件，求至少有 1个能使用1000 h 以上的概率. 【解】设A “至少有1个电子元件能使用1000h 以上”； A 、A 、A 3分别表示P(A i ) P(A 2) P(A 3) P(X 1000)1800dx1000800exe 800 51000 e°P(A 2)P(A 3)P(A I A 2)P(A 2A 3)P(AA 3)P(A I A 2A 3)5 153e 2 e N 0.638“3个电子元件中至少有1个能使用1000h 以上”，任一元件不能使用1000以上的概率为三.设随机变量X 服从二项分布B(3, 0.4)，求下列随机变量函数的概率分布:【解】X - B(3,0.4),其概率函数为P(X x) C ；(0.4)x (10.4)3 x (x 0,1, 2,3)X 的概率分布为(1) 丫1 1 2X 的概率分布为P(A i ) 53e 4 【另解】设A“3个电子元件中每个都不能使用 lOOOh 以上”， P(X 1000)x10001 一 —e 800dx 800xe 8001000 0故 P(A)1 [P (X 1000)]3 51 (1 訂)3(1) 丫 1 1 2X ；X(3 X) 2⑵丫2宁的概率分布为四、设随机变量X 的概率密度为x_e , x 0; 0, x 0.求随机变量Y e X的概率密度f Y (y) • 【解】对任意实数y , 丫的分布函数、把一颗均匀的骰子随机地掷两次，设随机变量X 表示第一次出现的点数,随机变量丫表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量(X,Y)的联合概率分布 及丫的边缘概率发布.【解】X 的可能取值i 1,2, ,6,Y 的可能取值j 1,2, ,6,f x (x)F Y (y) P(Y 所以随机变量函数Yy) P(e xln X 的概率密度y) P(xIn y) F x (ln y)f Y(y)dy(F X(lny))1f x (ln y)-,y[8]f 丫 (y)十( y ).维随机变量的联合分布与边缘分布二维随机变量（X ，丫）的联合概率分布为丫的边缘概率分布为j 时， P(i, j) P(Xi,Y j) 0 ；1时，P (1,j) P(X1,Yj)1 1 6 6 36,(j1,2, ,6);2时, P( 2,2) P(X2,Y 2) 1 2 6 6 2 36,P(2,j) P(X2,Y j) 1 1 6 6 36,(j3,4,5,6);3时，P (3,3) P(X 3,丫 3) 1 3 6 6 336,P(3, j)P(X3,Yj) 1 1 6 636,(j4,5,6);i xx x6时，p (6,6) P(X6,丫 6)6 3661412 1 1 右 -------(_ arctann (4 X 2) 3(或 f x (x) —(F x (x)))n42_X 2)f Y (y)f (X, y)dx2(4 X 2)(9 y 2)dx122(9 y 2)—dx X 、设二维随机变量（X,Y ）的联合分布函数XyA(B arcta^)(C arctang .求（X,Y ）的联合概率密度.（3）求X, Y 的边缘分布函数密度为（3） X 及Y 的边缘分布函数分别为arcta n ，)3X 及Y 的边缘概率密度分别为F(X, y) (1)求系数 A,B,C . (2) 及边缘概率密度. 【解】（1）由F)1, F(0,0, F( , 0)0，得A(Bn)(CA(B 0)(C n) 1)解得B C - , A21~2冗AC(Bn)(2)因为 F(x,y) Xarcta n —)( —2 2arcta T，所以（X ,Y ）的联合概率f(X, y) F xy (x, y) n 2(4 X 2)(9 y 2) XF x (x) F(x, ) dxf (x,y)dyJ dx(或 F X (X ) F(x,F Y (y) F( ,y) ydy f(x, y)dx n 2( n XX n arctan —)(— 2 2 3 n9k yn n))—arcta n —(或 F Y (y) F(,y) f X （X ）f(x, y)dy2(462)(9 y )^dy 12 1 X 2)3 (9 y 2)(或 f Y (x) —(F Y (X )))dy三、设（X,Y ）的联合概率密度为f( ) Ae (2x3y), X 0,y 0; f(x ,y) 0, 其它.四、设二维随机变量（X,Y ）在抛物线y X 2与直线y X 2所围成的区域R 上服 从均匀分布.（1）求（X,Y ）的联合概率密度.（2）2-.故有【解】（1） 则由 R设（X ，丫）的联合概率密度为C, 0,2 1（xCdXdy Cf(X, y)2 X 21dXx 2dy C(x,y) (x,y) x 2)dxR; R.X 2C(72XX 3解得C2122 (丄 arctan^。

专题25概率统计选择填空题（第二部分）一、单选题1．设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y x y ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ） A ．18B ．16C ．14D ．122．在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（ ）A ．79B ．2332C ．932D ．293．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 34．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 5．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn6．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．347．设复数()()1,z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为 A ．3142π+B ．112π+C ．1142π-D ．112π-8．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<二、填空题9．在[]1,1-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆()2259x y -+=相交”发生的概率为．10．如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2f x x = ，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．三、单选题11．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.412．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3四、填空题13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =．14．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是.15．已知随机变量X 服从二项分布B ～（n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，则P=．五、单选题16．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为 （附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%17．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为附：若2(,)X N μσ~，则，A ．2386B ．2718C ．3413D ．477218．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，19．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =L 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+20．为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为A ．160B ．163C ．166D ．17021．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元22．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（ ）A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大23．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名24．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312六、填空题25．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.26．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是．。

第十一章概率考试内容：随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．（2006年--2000年）1、（2006上海文）在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。

2．（2006上海理）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示）．3. （2005春招上海）某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是(结果用最简分数表示).4．（2005上海文、理）某班有50名学生，其15人选修A课程，另外35人选修B课程从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是____________（结果用分数表示）5.（2005重庆文）．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为.6.(2005天津文)在三角形的每条边上各取三个分点(如图)以这9个分点为顶点可画出若干个三角形若从中任意抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为__________(用数字作答)7. (2004广东)某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是（用分数作答）8.（2004福建理）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）.9.(2004春招安徽文、理)在5名学生(3名男生，2名女生)中安排2名学生值日，其中至少要有1名女生的概率是______________.10．（2001春招上海）在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）11.（2000江西、天津文）从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于________。

概率论选择填空压轴题专练第一题在一次实验中，事件A和事件B都可能发生。

已知事件A发生的概率为P(A)=0.3，事件B发生的概率为P(B)=0.4。

如果事件A 和事件B互不影响，求事件A和事件B至少有一个发生的概率。

A. 0.3B. 0.4C. 0.7D. 0.9第二题某批产品中，有10%的产品有瑕疵。

现从这批产品中随机抽取4个，求恰好有2个瑕疵产品的概率。

A. 0.009B. 0.072C. 0.324D. 0.594第三题某大学的学生每天打篮球的概率为0.4，每天打乒乓球的概率为0.3，每天既打篮球又打乒乓球的概率为0.2。

现从该大学的学生中随机抽取一人，请问这个学生每天至少进行一项运动的概率是多少？A. 0.2B. 0.3C. 0.5D. 0.9第四题甲、乙、丙三个运动员参加跳远比赛，已知甲获得第一名的概率为0.4，乙获得第二名的概率为0.3，丙获得第三名的概率为0.3。

现从中随机抽取一名运动员，请问这名运动员至少获得一项奖牌的概率是多少？A. 0.7B. 0.8C. 0.9D. 1.0第五题某班有男生和女生各若干名。

已知男生人数占班级总人数的比例为0.4，女生人数占班级总人数的比例为0.6。

现从班级中随机抽取一名同学，请问这名同学为男生的概率是多少？A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8第六题某考试有选择题、填空题和解答题三个部分。

已知学生中有75%的人擅长选择题，60%的人擅长填空题，40%的人擅长解答题。

现从考试的学生中随机抽取一人，请问这个学生擅长填空题或解答题的概率是多少？A. 0.15B. 0.25C. 0.35D. 0.65。

一、 填空题：(每题4分，共24分)1．事件A 及B 相互独立，()0.4P A =，()0.7P A B +=，那么概率()P B A 为 。

2．某次考试中有4个单项选择选择题，每题有4个答案，某考生完全不懂，只能在4个选项中随机选择1个答案，那么该考生至少能答对两题的概率为 ，3．假设有 ξ～(0,1)N ，η=21ξ-，那么η～N 〔 ， 〕 4．假设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且DX EX -=4,那么参数λ＝5．设连续型随机变量ξ的概率密度为2(1)01()0x x f x -<<⎧=⎨⎩其他，且2ηξ=，那么η的概率密度为 。

6．设总体2~(,)X N μσ的分布，当μ，12,,n X X X 为来自总体的样本，那么统计量∑=-ni i X 12)(σμ服从 分布。

二、选择题：(每题4分，共20分)1. 设事件,,A B C 是三个事件，作为恒等式，正确的选项是〔 〕 A.()ABC AB C B = B.A B C A B C = C.()A B A B -= D.()()()A B C AC BC =2.n 张奖券有m 张有奖的，k 个人购置，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是〔 〕。

A.11k m n mknC C C -- B. k n m C C. k nkm nC C --1 D.1r nmk r nC C =∑3. 设EX μ=，2DX σ=，那么由切比雪夫不等式知(4)P X μσ-≤≥〔 〕A.1416 B. 1516C. 15D. 16154. 如果随机向量),(ηξ的联合分布表为：那么协方差),cov(ηξ=〔 〕A.-0.2B. –0.1C.0D. 5. 设总体 ξ～2(,)N μσ ，〔12,,n X X X 〕是 ξ 的简单随机样本，那么为使1211ˆ()n i i i C XX θ-+==-∑为2σ的无偏估计，常数C 应为( )A. 1nB. 11n - C. 12(1)n -D.12n - 三、计算题：待用数据〔0.9750.9750.950.95(35) 2.0301,(36) 2.0281,(35) 1.6896,(36) 1.6883t t t t ====，1．三个人同时射击树上的一只鸟，设他们各自射中的概率分别为0.5，0.6，0.7。

概率论考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 某校有100名学生，其中60名男生和40名女生。

随机抽取1名学生，该学生是女生的概率是多少？A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1.0答案：A2. 抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率相等，那么连续抛掷3次硬币，得到至少两次正面朝上的概率是多少？A. 0.5B. 0.75C. 0.875D. 0.625答案：D3. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，那么两个球都是红球的概率是多少？A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/5答案：D4. 如果事件A的概率是0.3，事件B的概率是0.4，且A和B互斥，那么A和B至少有一个发生的概率是多少？A. 0.7B. 0.5C. 0.6D. 0.4答案：A5. 一个骰子被抛掷，那么得到的点数是偶数的概率是多少？A. 0.5B. 0.33C. 0.25D. 0.16答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 概率论中的_______定义了事件发生的可能性大小。

答案：概率7. 如果事件A和事件B是独立的，那么P(A∩B) = _______。

答案：P(A) * P(B)8. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么X的概率质量函数为：P(X=k) = _______。

答案：(λ^k / k!) * e^(-λ)9. 在连续概率分布中，随机变量X的取值范围是无限的，其概率密度函数f(x)满足________。

答案：∫f(x)dx = 110. 两个事件A和B互斥的充分必要条件是P(A∩B) = _______。

答案：0三、解答题（共25分）11. 一个工厂有3台机器生产同一种零件，每台机器在一小时内正常运转的概率分别为1/2、2/3和3/4。

假设这些机器相互独立，求至少有两台机器在一小时内正常运转的概率。

答案：首先，我们可以计算出每台机器不正常运转的概率，然后找出至少两台机器正常运转的组合情况。