概率真题汇编及答案
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概率真题汇编含答案一、选择题1.在平面直角坐标系中有三个点的坐标:()()0,2,2,01(),3A B C ---,,从、、A B C 三个点中依次取两个点,求两点都落在抛物线2y x x 2=--上的概率是( ) A .13B .16C .12D .23【答案】A 【解析】 【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数,再找出两点都落在抛物线2y x x 2=--上的结果数,然后根据概率公式求解. 【详解】解:在()()0,2,2,01(),3A B C ---,三点中,其中AB 两点在2y x x 2=--上, 根据题意画图如下:共有6种等可能的结果数,其中两点都落在抛物线2y x x 2=--上的结果数为2, 所以两点都落在抛物线2y x x 2=--上的概率是2163=; 故选:A . 【点睛】本题考查了列表法或树状图法和函数图像上点的特征.通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ,再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ,然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率.也考查了二次函数图象上点的坐标特征.2.如图,飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.若某人向游戏板投掷飞镖一次(假设飞镖落在游戏板上),则飞镖落在阴影部分的概率是( )A .12B .13C.49D.59【答案】C【解析】【分析】根据几何概率的求法:飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.【详解】∵总面积为3×3=9,其中阴影部分面积为4×12×1×2=4,∴飞镖落在阴影部分的概率是4 9 .故答案选:C.【点睛】本题考查了几何概率的求法,解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来,一般用阴影区域表示所求事件(A);然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例,这个比例即事件(A)发生的概率.3.一个盒子内装有大小、形状相同的四个球,其中红球1个、绿球1个、白球2个,小明摸出一个球不放回,再摸出一个球,则两次都摸到白球的概率是()A.12B.14C.16D.112【答案】C【解析】【分析】画树状图求出共有12种等可能结果,符合题意得有2种,从而求解.【详解】解:画树状图得:∵共有12种等可能的结果,两次都摸到白球的有2种情况,∴两次都摸到白球的概率是:21 126.故答案为C.【点睛】本题考查画树状图求概率,掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键.4.某小组做“频率具有稳定性”的试验时,绘出某一结果出现的频率折线图如图所示,则符合这一结果的试验可能是()A.抛一枚硬币,出现正面朝上B.掷一个正六面体的骰子,掷出的点数是5C.任意写一个整数,它能被2整除D.从一个装有2个红球和1个白球的袋子中任取一球(这些球除颜色外完全相同),取到的是白球【答案】D【解析】【分析】根据频率折线图可知频率在0.33附近,进而得出答案.【详解】A、抛一枚硬市、出現正面朝上的概率为0.5、不符合这一结果,故此选项错误;B、掷一个正六面体的骰子、掷出的点数是5的可能性为16,故此选项错误;C、任意写一个能被2整除的整数的可能性为12,故此选项错误;D、从一个装有2个红球1个白球的袋子中任取一球,取到白球的概率是13,符合题意,故选:D.【点睛】此题考查频率的折线图,利用频率估计事件的概率,正确理解频率折线图是解题的关键.5.某居委会组织两个检查组,分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查.各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查,则两个组恰好抽到同一个小区的概率是()A.19B.16C.13D.23【答案】C【解析】分析:将三个小区分别记为A、B、C,列举出所有情况即可,看所求的情况占总情况的多少即可.详解:将三个小区分别记为A、B、C,列表如下:A B CA(A,A)(B,A)(C,A)B(A,B)(B,B)(C,B)C(A,C)(B,C)(C,C)由表可知,共有9种等可能结果,其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种,所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为31 = 93.故选:C.点睛:此题主要考查了列表法求概率,列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适用于两步或两步以上完成的事件;解题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.6.如图,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O.将菱形沿EF折叠,使点C与点O重合.若在菱形ABCD内任取一点,则此点取自阴影部分的概率为()A.23B.35C.34D.58【答案】C【解析】【分析】根据菱形的表示出菱形ABCD的面积,由折叠可知EF是△BCD的中位线,从而可表示出菱形CEOF的面积,然后根据概率公式计算即可.【详解】菱形ABCD的面积=12AC BD,∵将菱形沿EF折叠,使点C与点O重合,∴EF是△BCD的中位线,∴EF=12BD ,∴菱形CEOF的面积=1128OC EF AC BD⋅=⋅,∴阴影部分的面积=113288AC BD AC BD AC BD ⋅-⋅=⋅,∴此点取自阴影部分的概率为: 33 814 2AC BDAC BD⋅=⋅.故选C..【点睛】本题考查了几何概率的计算方法:用整个几何图形的面积n表示所有等可能的结果数,用某个事件所占有的面积m表示这个事件发生的结果数,然后利用概率的概念计算出这个事件的概率为:m Pn =.7.用2、3、4三个数字排成一个三位数,则排出的数是偶数的概率为( )A.12B.14C.35D.23【答案】D【解析】【分析】首先利用列举法可得:用2,3,4三个数字排成一个三位数,等可能的结果有:234,243,324,342,423,432;且排出的数是偶数的有:234、324、342、432,然后直接利用概率公式求解即可求得答案【详解】解:∵用2,3,4三个数字排成一个三位数,等可能的结果有:234,243,324,342,423,432;∵排出的数是偶数的有:234、324、342、432;∴排出的数是偶数的概率为:46=23.【点睛】此题考查了列举法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.8.抛掷一枚质地均匀的硬币,前2次都正面朝上,第3次正面朝上的概率()A.大于12B.等于12C.小于12D.无法确定【答案】B【解析】【分析】根据概率的意义解答即可.【详解】∵硬币由正面朝上和朝下两种情况,并且是等可能,∴第3次正面朝上的概率是12.故选:B.【点睛】本题考查了概率的意义,正确理解概率的含义并明确硬币只有正反两个面是解决本题的关键.9.将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动,最终停在黑色方砖上的概率为( )A.59B.49C.12D.13【答案】A【解析】【分析】根据题意,用黑色方砖的面积除以正方形地砖的面积即可.【详解】停在黑色方砖上的概率为:59,故选:A.【点睛】本题主要考查了简单概率的求取,熟练掌握相关方法是解题关键.10.布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球,搅匀后从中摸出一个球,放回搅匀,再摸出第二个球,两次都摸出白球的概率是()A.49B.29C.23D.13【答案】A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果,可求得两次都摸到白球的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.【详解】解:画树状图得:则共有9种等可能的结果,两次都摸到白球的有4种情况,∴两次都摸到白球的概率为49.故选A.【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.11.在一个不透明的口袋中,装有若干个红球和4个黄球,它们除颜色外没有任何区别,摇匀后从中随机摸出一个球,记下颜色后再放回口袋中,通过大量重复摸球实验发现,摸到黄球的概率是0.2,则估计盒子中大约有红球()A.12个B.16个C.20个D.25个【答案】B【解析】【分析】在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,列出方程求解.【详解】解:设盒子中有红球x个,由题意可得:44x+=0.2,解得:x=16,故选:B..【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率,本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系12.下列事件中,属于随机事件的是().A.凸多边形的内角和为500︒B.凸多边形的外角和为360︒C.四边形绕它的对角线交点旋转180︒能与它本身重合D.任何一个三角形的中位线都平行于这个三角形的第三边【答案】C【解析】【分析】随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.根据随机事件的定义即可解答. 【详解】解:A 、凸n 多边形的内角和180(2)n =︒-,故不可能为500︒,所以凸多边形的内角和为500︒是不可能事件;B 、所有凸多边形外角和为360︒,故凸多边形的外角和为360︒是必然事件;C 、四边形中,平行四边形绕它的对角线交点旋转180︒能与它本身重合,故四边形绕它的对角线交点旋转180︒能与它本身重合是随机事件;D 、任何一个三角形的中位线都平行于这个三角形的第三边,即三角形中位线定理,故是必然事件. 故选:C . 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念.解决本题关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.13.在10盒红色的笔芯中混放了若干支黑色的笔芯,每盒20支笔芯,每盒中混放入的黑色笔芯数如下表:下列结论:①黑色笔芯一共有16支;②从中随机取一盒,盒中红色笔芯数不低于14是必然事件; ③从中随机取一盒,盒中黑色笔芯数不超过4的概率为0.7;④将10盒笔芯混在一起,从中随机抽取一支笔芯,恰好是黑色的概率是0.12. 其中正确的结论有() A .1个 B .2个C .3个D .4个【答案】C 【解析】 【分析】根据表格的信息分别验证算出黑色笔芯的数量,由每盒黑色笔芯的数量可以算出每盒红色笔芯的数量,即可验证①②的正确性,再算出盒中黑色笔芯数不超过4的概率,即可判断③,用黑色的数量除以总的笔数,可验证④. 【详解】解:① 根据表格的信息,得到黑色笔芯数=021*********⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 故①错误;② 每盒笔芯的数量为20支, ∵每盒黑色笔芯的数量都≤6, ∴每盒红色笔芯≥14,因此从中任取一盒,盒中红色笔芯数不低于14是必然事件, 故②正确;③ 根据图表信息,得到黑色笔芯不超过4的一共有7盒,因此 从中随机取一盒,盒中黑色笔芯数不超过4的概率为7÷10=0.7 故③正确④ 10盒笔芯一共有10×20=200(支), 由详解①知黑色笔芯共有24支,将10盒笔芯混在一起,从中随机抽取一支笔芯,恰好是黑色的概率是24÷200=0.12, 故④正确;综上有三个正确结论, 故答案为C. 【点睛】本题主要考查了与概率有关的知识点. 在本题中求出黑色笔芯的数量是关键,求某事件的概率时,主要求该事件的数量与总数量的比值;还需要掌握必然事件的概念,即必然事件是一定会发生的事件.14.小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6).记甲立方体朝上一面上的数字为x 、乙立方体朝上一面朝上的数字为y ,这样就确定点P 的一个坐标(x y ,),那么点P 落在双曲线6y=x上的概率为( ) A .118B .112C .19 D .16【答案】C 【解析】 画树状图如下:∵一共有36种等可能结果,点P 落在双曲线6y=x上的有(1,6),(2,3),(3,2),(6,1), ∴点P 落在双曲线6y=x 上的概率为:41=369.故选C .15.下列问题中是必然事件的有( )个(1)太阳从西边落山;(2)经过有信号灯的十字路口,遇见红灯;(3)221a b +=-(其中a 、b 都是实数);(4)水往低处流. A .1 B .2C .3D .4【答案】B 【解析】 【分析】先分析(1)(2)(3)(4)中有那个必然事件,再数出必要事件的个数,即可得到答案. 【详解】(1)太阳从西边落山,东边升起,故为必然事件;(2)经过有信号灯的十字路口,遇见红灯绿灯都有可能,故为随机事件;(3)220a b +≥(其中a 、b 都是实数),故221a b +=-为不可能事件;(4)水往低处流是必然事件; 因此,(1)(4)为必然事件, 故答案为A. 【点睛】本题的主要关键是理解必然事件的概念,再根据必然事件的概念进行判断;需要掌握: 必然事件:事先肯定它一定会发生的事件; 不确定事件:无法确定它会不会发生的事件; 不可能事件:一定不会发生的事件.16.下列事件中,属于确定事件的是( ) A .抛掷一枚质地均匀的骰子,正面向上的点数是6 B .抛掷一枚质地均匀的骰子,正面向上的点数大于6 C .抛掷一枚质地均匀的骰子,正面向上的点数小于6D .抛掷一枚质地均匀的骰子6次,“正面向上的点数是6”至少出现一次 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可. 【详解】A 、抛掷一枚质地均匀的骰子,正面向上的点数是6是随机事件;B 、抛掷一枚质地均匀的骰子,正面向上的点数大于6是不可能事件;C 、抛一枚质地均匀的骰子,正面向上的点数小于6是随机事件;D 、抛掷一枚质地均匀的骰子6次,“正面向上的点数是6”至少出现一次是随机事件; 故选:B . 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.17.下列说法:①“明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨; ②无理数是开方开不尽的数;③若a 为实数,则0a <是不可能事件;④16的平方根是4±4=±; 其中正确的个数有( ) A .1个 B .2个C .3个D .4个【答案】A 【解析】 【分析】①根据概率的定义即可判断;②根据无理数的概念即可判断;③根据不可能事件的概念即可判断;④根据平方根的表示方法即可判断. 【详解】①“明天降雨的概率是50%”表示明天有50%的可能会降雨,而不是半天都在降雨,故错误;②无理数是无限不循环小数,不只包含开方开不尽的数,故错误; ③若根据绝对值的非负性可知0a ≥,所以0a <是不可能事件,故正确; ④16的平方根是4±,用式子表示是4±,故错误; 综上,正确的只有③, 故选:A . 【点睛】本题主要考查概率,无理数的概念,绝对值的非负性,平方根的形式,掌握概率,无理数的概念,绝对值的非负性,平方根的形式是解题的关键.18.如图,ABC ∆是一块绿化带,将阴影部分修建为花圃.已知15AB =,9AC =,12BC =,阴影部分是ABC ∆的内切圆,一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上,则小鸟落在花圃上的概率为( ).A .16B .6π C .8π D .5π 【答案】B 【解析】 【分析】由AB=5,BC=4,AC=3,得到AB 2=BC 2+AC 2,根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形,于是得到△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1,求得直角三角形的面积和圆的面积,即可得到结论. 【详解】解:∵AB=5,BC=4,AC=3, ∴AB 2=BC 2+AC 2, ∴△ABC 为直角三角形, ∴△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1, ∴S △ABC =12AC•BC=12×4×3=6, S 圆=π,∴小鸟落在花圃上的概率=6π , 故选B . 【点睛】本题考查几何概率,直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理,解题关键是熟练掌握公式.19.在一个不透明的布袋中装有标着数字2,3,4,5的4个小球,这4个小球的材质、大小和形状完全相同,现从中随机摸出两个小球,这两个小球上的数字之积大于9的概率为( ) A .23B .13C .14D .16【答案】A 【解析】【分析】列表或树状图得出所有等可能的情况数,找出数字之积大于9的情况数,利用概率公式即可得.【详解】解:根据题意列表得:由表可知所有可能结果共有12种,且每种结果发生的可能性相同,其中摸出的两个小球上的数字之积大于9的有8种,所以两个小球上的数字之积大于9的概率为82 123,故选A.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率,解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.20.下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果:下面有三个推断:①当n为400时,发芽的大豆粒数为382,发芽的频率为0.955,所以大豆发芽的概率是0.955;②随着试验时大豆的粒数的增加,大豆发芽的频率总在0.95附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计大豆发芽的概率是0.95;③若大豆粒数n为4000,估计大豆发芽的粒数大约为3800粒.其中推断合理的是()A.①②③B.①②C.①③D.②③【答案】D【解析】【分析】利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即为概率可解题.【详解】解:①当n为400时,发芽的大豆粒数为382,发芽的频率为0.955,所以大豆发芽的概率是0.955,此推断错误,②随着试验时大豆的粒数的增加,大豆发芽的频率总在0.95附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计大豆发芽的概率是0.95,此结论正确,③若大豆粒数n为4000,估计大豆发芽的粒数大约为3800粒,此结论正确,故选D.【点睛】本题考查了利用频率估计概率, 大量反复试验下频率稳定值即为概率,属于简单题,熟悉概念是解题关键.。
专题概率(50题)一、单选题1(2023·湖南·统考中考真题)从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号,则抽到的学号为男生的概率是()A.25B.35C.23D.34【答案】B【分析】根据概率公式求解即可.【详解】解:总人数为10人,随机抽取一个学号共有10种等可能结果,抽到的学号为男生的可能有6种,则抽到的学号为男生的概率为:610=35,故选:B.【点睛】本题考查了概率公式求概率;解题的关键是熟练掌握概率公式.2(2023·湖北十堰·统考中考真题)任意掷一枚均匀的小正方体色子,朝上点数是偶数的概率为()A.16B.13C.12D.23【答案】C【分析】由题意可知掷一枚均匀的小正方体色子有6种等可能的结果,再找出符合题意的结果数,最后利用概率公式计算即可.【详解】∵任意掷一枚均匀的小正方体色子,共有6种等可能的结果,其中朝上点数是偶数的结果有3种,∴朝上点数是偶数的概率为36=12.故选:C.【点睛】本题考查简单的概率计算.掌握概率公式是解题关键.3(2023·湖北武汉·统考中考真题)某校即将举行田径运动会,“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中,随机选择两项,则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是()A.12B.14C.16D.112【答案】C【分析】设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为A、B、C、D,画出树状图,找到所有情况数和满足要求的情况数,利用概率公式求解即可.【详解】解:设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为A、B、C、D,画树状图如下:由树状图可知共有12种等可能情况,他选择“100米”与“400米”两个项目即选择C 和D 的情况数共有2种,∴选择“100米”与“400米”两个项目的概率为212=16,故选:C .【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率,正确画出树状图或列表,找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题的关键.4(2023·河北·统考中考真题)1有7张扑克牌如图所示,将其打乱顺序后,背面朝上放在桌面上.若从中随机抽取一张,则抽到的花色可能性最大的是()A. B. C. D.【答案】B【分析】根据概率计算公式分别求出四种花色的概率即可得到答案.【详解】解:∵一共有7张扑克牌,每张牌被抽到的概率相同,其中黑桃牌有1张,红桃牌有3张,梅花牌有1张,方片牌有2张,∴抽到的花色是黑桃的概率为17,抽到的花色是红桃的概率为37,抽到的花色是梅花的概率为17,抽到的花色是方片的概率为27,∴抽到的花色可能性最大的是红桃,故选:B .【点睛】本题主要考查了简单的概率计算,正确求出每种花色的概率是解题的关键.5(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图,转盘中四个扇形的面积都相等,任意转动这个转盘1次,当转盘停止转动时,指针落在灰色区域的概率是()A.14B.13C.12D.34【答案】C【分析】根据灰色区域与整个面积的比即可求解.【详解】解:∵转盘中四个扇形的面积都相等,设整个圆的面积为1,∴灰色区域的面积为12,∴当转盘停止转动时,指针落在灰色区域的概率是12,故选:C.【点睛】本题考查了几何概率,熟练掌握概率公式是解题的关键.6(2023·湖南永州·统考中考真题)今年2月,某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练,参加永州市即将举办的“唱响新时代,筑梦新征程”合唱选拔赛,那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是()A.12B.13C.23D.1【答案】B【分析】根据概率公式,即可解答.【详解】解:从三首歌曲中选择两首进行排练,有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式,故选到前两首的概率是1 3,故选:B.【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率,排列出总共可能的情况的数量是解题的关键.7(2023·山东临沂·统考中考真题)在项目化学习中,“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量,需要从四名同学(两名男生,两名女生)中随机抽取两人,组成调查小组进行社会调查,恰好抽到一名男生和一名女生的概率是()A.16B.13C.12D.23【答案】D【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数,再利用概率公式可得出答案.【详解】解:设两名男生分别记为A,B,两名女生分别记为C,D,画树状图如下:共有12种等可能的结果,其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有8种,∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为812=23,故选:D.【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率,解题时要注意是放回试验还是不放回试验;概率等于所求情况数与总情况数之比.用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键.8(2023·浙江温州·统考中考真题)某校计划组织研学活动,现有四个地点可供选择:南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山.若从中随机选择一个地点,则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为()A.14B.13C.12D.23【答案】C【分析】根据概率公式可直接求解.【详解】解:∵有四个地点可供选择:南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山,∴若从中随机选择一个地点,则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为24=12;故选:C .【点睛】本题考查了根据概率公式求简单事件的概率,正确理解题意是关键.9(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球,它们除颜色外都相同,从中任意摸出1个球,则摸出的球为红球的概率是()A.25B.35C.27D.57【答案】C【分析】根据概率的意义直接计算即可.【详解】解:在一个不透明的袋子中装有2个红球和5个白球,它们除颜色外其他均相同,从中任意摸出1个球,共有7种可能,摸到红球的可能为2种,则摸出红球的概率是27,故选:C .【点睛】本题考查了概率的计算,解题关键是熟练运用概率公式.10(2023·四川遂宁·统考中考真题)为增强班级凝聚力,吴老师组织开展了一次主题班会.班会上,他设计了一个如图的飞镖靶盘,靶盘由两个同心圆构成,小圆半径为10cm ,大圆半径为20cm ,每个扇形的圆心角为60度.如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的,那么小全同学任意投掷飞镖1次(击中边界或没有击中靶盘,则重投1次),投中“免一次作业”的概率是()A.16B.18C.110D.112【答案】B【分析】根据扇形面积公式求出免一次作业对应区域的面积,再根据投中“免一次作业”的概率=免一次作业对应区域的面积÷大圆面积进行求解即可.【详解】解:由题意得,大圆面积为π×202=400πcm 2,免一次作业对应区域的面积为60×π×202360-60×π×102360=50πcm 2,∴投中“免一次作业”的概率是50π400π=18,故选B.【点睛】本题主要考查了几何概率,扇形面积,正确求出大圆面积和免一次作业对应区域的面积是解题的关键.11(2023·安徽·统考中考真题)如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1,则称该三位数为“平稳数”.用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数,恰好是“平稳数”的概率为()A.59B.12C.13D.29【答案】C【分析】根据题意列出所有可能,根据新定义,得出2种可能是“平稳数”,根据概率公式即可求解.【详解】解:依题意,用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数,可能结果有,123,132,213,231,312,321共六种可能,只有123,321是“平稳数”∴恰好是“平稳数”的概率为26=13故选:C.【点睛】本题考查了新定义,概率公式求概率,熟练掌握概率公式是解题的关键.12(2023·浙江·统考中考真题)某校准备组织红色研学活动,需要从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学,选中梅岐红色教育基地的概率是()A.12B.14C.13D.34【答案】B【分析】直接根据概率公式求解即可.【详解】解:从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学,总共有4种选择,选中梅岐红色教育基地有1种,则概率为1 4,故选:B【点睛】此题考查了概率的求法,通过所有可能结果得出n,再从中选出符合事件结果的数目m,然后根据概率公式P=mn求出事件概率.13(2023·四川成都·统考中考真题)为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神,某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目,老师提供6张背面完全相同的卡片,其中蔬菜类有4张,正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案;水果类有2张,正面分别印有草莓、西瓜图案,每个图案对应该种植项目.把这6张卡片背面朝上洗匀,小明随机抽取一张,他恰好抽中水果类卡片的概率是()A.12B.13C.14D.16【答案】B【分析】根据概率公式求解即可.【详解】解:由题意,随机抽取一张,共有6种等可能的结果,其中恰好抽中水果类卡片的有2种,∴小明随机抽取一张,他恰好抽中水果类卡片的概率是26=13,故选:B .【点睛】本题考查求简单事件的概率,关键是熟知求概率公式:所求情况数与总情况数之比.14(2023·四川泸州·统考中考真题)从1,2,3,4,5,5六个数中随机选取一个数,这个数恰为该组数据的众数的概率为()A.16B.13C.12D.23【答案】B【分析】由众数的概念可知六个数中众数为5,然后根据简单概率计算公式求解即可.【详解】解:1,2,3,4,5,5六个数中,数字5出现了2次,出现的次数最多,故这组数据的众数为5,所以从六个数中随机选取一个数,这个数恰为该组数据的众数的概率为P =26=13.故选:B .【点睛】本题主要考查了求一组数据的众数以及简单概率计算,正确确定该组数据的众数是解题关键.15(2023·广东·统考中考真题)某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习,每门课程被选中的可能性相等,小明恰好选中“烹饪”的概率为()A.18 B.16C.14D.12【答案】C【分析】根据概率公式可直接进行求解.【详解】解:由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为14;故选C .【点睛】本题主要考查概率,熟练掌握概率公式是解题的关键.二、填空题16(2023·山西·统考中考真题)中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》,它是儒家思想的核心著作,是中国传统文化的重要组成部分,若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本,不放回,再随机抽取另一本),则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是.【答案】16【分析】用树状图把所有情况列出来,即可求出.【详解】总共有12种组合,《论语》和《大学》的概率112=16,故答案为:16.【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率,解题的关键是熟悉树状图或列表法,并掌握概率计算公式.17(2023·湖南郴州·统考中考真题)在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球,它们除颜色外,大小、质地都相同.从袋子中随机取出一个球,是红球的概率是.【答案】710【分析】根据概率公式进行计算即可.【详解】解:由题意,得,随机取出一个球共有10种等可能的结果,其中取出的是红球共有7种等可能的结果,∴P =710;故答案为:710.【点睛】本题考查概率.熟练掌握概率的计算公式,是解题的关键.18(2023·浙江杭州·统考中考真题)一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n 个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为25,则n =.【答案】9【分析】根据概率公式列分式方程,解方程即可.【详解】解:∵从中任意摸出一个球是红球的概率为25,∴66+n =25,去分母,得6×5=26+n ,解得n =9,经检验n =9是所列分式方程的根,∴n =9,故答案为:9.【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程,解题的关键是掌握概率公式.19(2023·天津·统考中考真题)不透明袋子中装有10个球,其中有7个绿球、3个红球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是绿球的概率为.【答案】710【分析】直接利用概率公式求解即可.【详解】解:由题意,从装有10个球的不透明袋子中,随机取出1个球,则它是绿球的概率为710,故答案为:710.【点睛】本题考查求简单事件的概率,理解题意是解答的关键.20(2023·山东滨州·统考中考真题)同时掷两枚质地均匀的骰子,则两枚骰子点数之和等于7的概率是.【答案】16【分析】利用表格或树状图列示出所有可能结果,找出满足条件的结果,根据概率公式计算即可.【详解】所有可能结果如下表,所有结果共有36种,其中,点数之和等于7的结果有6种,概率为636=16故答案为:16.【点睛】本题考查概率的计算,运用列表或树状图列示出所有可能结果是解题的关键.21(2023·新疆·统考中考真题)在平面直角坐标系中有五个点,分别是A 1,2 ,B -3,4 ,C -2,-3 ,D 4,3 ,E 2,-3 ,从中任选一个点恰好在第一象限的概率是.【答案】25【分析】根据第一象限的点的特征,可得共有2个点在第一象限,进而根据概率公式即可求解.【详解】解:在平面直角坐标系中有五个点,分别是A 1,2 ,B -3,4 ,C -2,-3 ,D 4,3 ,E 2,-3 ,其中A 1,2 ,D 4,3 ,在第一象限,共2个点,∴从中任选一个点恰好在第一象限的概率是25,故答案为:25.【点睛】本题考查了概率公式求概率,第一象限点的坐标特征,熟练掌握以上知识是解题的关键.22(2023·浙江台州·统考中考真题)一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球,其中2个红球,3个白球.随机摸出一个小球,摸出红球的概率是.【答案】25【分析】根据概率的公式即可求出答案.【详解】解:由题意得摸出红球的情况有两种,总共有5个球,∴摸出红球的概率:22+3=25.故答案为:25.【点睛】本题考查了概率的求法,解题的关键在于熟练掌握概率的简单计算公式:概率=事件发生的可能情况÷事件总情况.23(2023·上海·统考中考真题)在不透明的盒子中装有一个黑球,两个白球,三个红球,四个绿球,这十个球除颜色外完全相同.那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为.【答案】25【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得.【详解】解:因为在不透明的盒子中,总共有10个球,其中有四个绿球,并且这十个球除颜色外,完全相同,所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为P =410=25,故答案为:25.【点睛】本题考查了求概率,熟练掌握概率公式是解题关键.24(2023·浙江金华·统考中考真题)下表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况(单位:人),在该年级随机抽取一名学生,该生体重“标准”的概率是.“偏瘦”“标准”“超重”“肥胖”803504624【答案】710【分析】根据概率公式计算即可得出结果.【详解】解:该生体重“标准”的概率是350500=710,故答案为:710.【点睛】本题考查了概率公式,熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是本题的关键.25(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片,卡片除正面图案不同外,其余均相同,将三张卡片正面向下洗匀,从中随机抽取一张卡片,则抽出的卡片图案是琮琮的概率是.【答案】13【分析】根据概率公式即可求解.【详解】解:将三张卡片正面向下洗匀,从中随机抽取一张卡片,则抽出的卡片图案是琮琮的概率是13故答案为:13.【点睛】本题考查了概率公式求概率,熟练掌握概率公式是解题的关键.26(2023·四川南充·统考中考真题)不透明袋中有红、白两种颜色的小球,这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6,若袋中有4个白球,则袋中红球有个.【答案】6【分析】设袋中红球有x 个,然后根据概率计算公式列出方程求解即可.【详解】解:设袋中红球有x 个,由题意得:xx +4=0.6,解得x =6,检验,当x =6时,x +4≠0,∴x =6是原方程的解,∴袋中红球有6个,故答案为:6.【点睛】本题主要考查了已知概率求数量,熟知红球的概率=红球数量÷球的总数是解题的关键.27(2023·重庆·统考中考真题)一个口袋中有1个红色球,有1个白色球,有1个蓝色球,这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,摇匀后再从中随机摸出一个球,则两次都摸到红球的概率是.【答案】19【分析】列表得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解即可.【详解】解:根据题意列表如下:红球白球蓝球红球(红球,红球)(白球,红球)(蓝球,红球)白球(红球,白球)(白球,白球)(蓝球,白球)蓝球(红球,蓝球)(白球,蓝球)(蓝球,蓝球)由表知,共有9种等可能结果,其中两次都摸到红球的有1种结果,所以两次摸到球的颜色相同的概率为19,故答案为:19.【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.28(2023·四川自贡·统考中考真题)端午节早上,小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽,3个鲜肉粽,她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶,请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是.【答案】25【分析】画树状图可得,共有20种等可能的结果,其中爷爷奶奶吃到同类粽子有8种等可能的结果,再利用概率公式求解即可.【详解】解:设蛋黄粽为A ,鲜肉粽为B ,画树状图如下:共有20种等可能的结果,其中爷爷奶奶吃到同类粽子有8种等可能的结果,∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是820=25,故答案为:25.【点睛】本题考查用列表法或树状图求概率、概率公式,熟练掌握相关知识是解题的关键.29(2023·辽宁大连·统考中考真题)一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球.从中任意摸出一个球,记下标号后放回并再次摸出一个球,记下标号后放回.则两次标号之和为3的概率为.【答案】12【分析】先画出树状图,从而可得两次摸球的所有等可能的结果,再找出两次标号之和为3的结果,然后利用概率公式求解即可得.【详解】解:由题意,画出树状图如下:由图可知,两次摸球的所有等可能的结果共有4种,其中,两次标号之和为3的结果有2种,则两次标号之和为3的概率为P =24=12,故答案为:12.【点睛】本题考查了利用列举法求概率,熟练掌握列举法是解题关键.30(2023·山东·统考中考真题)用数字0,1,2,3组成个位数字与十位数字不同的两位数,其中是偶数的概率为.【答案】59【分析】先列表得出所有的情况,再找到符合题意的情况,利用概率公式计算即可.【详解】解:0不能在最高位,而且个位数字与十位数字不同,列表如下:1230102030121312123231323一共有可以组成9个数字,偶数有10、12、20、30、32,∴是偶数的概率为59.故答案为:59.【点睛】本题考查了列表法求概率,注意0不能在最高位.三、解答题31(2023·四川内江·统考中考真题)某校为落实国家“双减”政策,丰富课后服务内容,为学生开设五类社团活动(要求每人必须参加且只参加一类活动):A.音乐社团;B.体育社团;C.美术社团;D.文学社团;E.电脑编程社团,该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况,随机抽取部分学生进行了调查统计,并根据调查结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息,解答下列问题:(1)此次调查一共随机抽取了名学生,补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数);(2)扇形统计图中圆心角α=度;(3)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛,请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率.【答案】(1)200,补全条形统计图见解析(2)54(3)恰好选中甲、乙两名同学的概率为16【分析】(1)用B类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数;用总人数减去A、B、D、E 四个类型社团的人数得到C类型社团的人数,即可补全条形统计图;(2)用360°乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中α的度数;(3)先画出树状图得到所有等可能性的结果数,再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数,最后依据概率计算公式求解即可.【详解】(1)解:50÷25%=200(人),C类型社团的人数为200-30-50-70-20=30(人),补全条形统计图如图,故答案为:200;=54°,(2)解:α=360°×30200故答案为:54;(3)解:画树状图如下:∵共有12种等可能的结果,其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种,∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为212=16.【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联,树状图法或列表法求解概率,正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键.32(2023·湖北宜昌·统考中考真题)“阅读新时代,书香满宜昌”.在“全民阅读月”活动中,某校提供了四类适合学生阅读的书籍:A 文学类,B 科幻类,C 漫画类,D 数理类.为了解学生阅读兴趣,学校随机抽取了部分学生进行调查(每位学生仅选一类).根据收集到的数据,整理后得到下列不完整的图表:书籍类别学生人数A 文学类24B 科幻类mC 漫画类16D 数理类8(1)本次抽查的学生人数是,统计表中的m =;(2)在扇形统计图中,“C 漫画类”对应的圆心角的度数是;(3)若该校共有1200名学生,请你估计该校学生选择“D 数理类”书籍的学生人数;(4)学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团.若小文、小明随机选取四个社团中的一个,请利用列表或画树状图的方法,求他们选择同一社团的概率.【答案】(1)80,32(2)72°(3)120(4)14【分析】(1)利用A 文学类的人数除以对应的百分比即可得到本次抽查的学生人数,用抽查总人数乘以B 科幻类的百分比即可得到m 的值;(2)用360°乘以“C 漫画类”对应的百分比即可得到“C 漫画类”对应的圆心角的度数;(3)用该校共有学生数乘以抽查学生中选择“D 数理类”书籍的学生的百分比即可得到该校学生选择“D 数理类”书籍的学生人数;(4)画出树状图,找到等可能情况总数和小文、小明选择同一社团的情况数,利用概率公式求解即可.【详解】(1)解:由题意得,本次抽查的学生人数是24÷30%=80(人),统计表中的m =80×40%=32,故答案为:80,32(2)在扇形统计图中,“C 漫画类”对应的圆心角的度数是:360°×1680×100%=72°,故答案为:72°(3)由题意得,1200×880×100%=120(人),即估计该校学生选择“D 数理类”书籍的学生为120人;(4)树状图如下:从树状图可看出共有16种等可能的情况,小文、小明选择同一社团的情况数共有4种,∴P (小文、小明选择同一社团)=416=14.【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率、样本估计总体、扇形统计图等相关知识,读懂题意,熟练掌握树状图或列表法求概率和准确计算是解题的关键.33(2023·湖北黄冈·统考中考真题)打造书香文化,培养阅读习惯,崇德中学计划在各班建图书角,开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动,学生根据自己的爱好选择一类书籍(A :科技类,B :文学类,C :政史类,D :艺术类,E :其他类).张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查,根据收集到的数据,绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).根据图中信息,请回答下列问题;(1)条形图中的m =,n =,文学类书籍对应扇形圆心角等于度;(2)若该校有2000名学生,请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数;(3)甲同学从A ,B ,C 三类书籍中随机选择一种,乙同学从B ,C ,D 三类书籍中随机选择一种,请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率.【答案】(1)18,6,72°(2)480人(3)29【分析】(1)根据选择“E :其他类”的人数及比例求出总人数,总人数乘以A 占的比例即为m ,总人数减去A ,B ,C ,E 的人数即为n ,360度乘以B 占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角;。
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 概率(精解精析)一,选择题1.(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻地概率为( )A .13B .25C .23D .45【结果】C思路:将4个1和2个0随机排成一行,可利用插空法,4个1产生5个空,若2个0相邻,则有155C =种排法,若2个0不相邻,则有2510C =种排法,所以2个0不相邻地概率为1025103=+.故选:C .2.(2021年高考全国乙卷理科)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于74地概率为( )A .79B .2332C .932D .29【结果】B思路:如图所示:设从区间()()0,1,1,2中随机取出地数分别为,x y ,则实验地所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<,其面积为111SΩ=⨯=.设事件A 表示两数之和大于74,则构成地区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭,即图中地阴影部分,其面积为13323124432A S =-⨯⨯=,所以()2332A S P A S Ω==.故选:B .【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中地面积问题,解题关键是准确求出事件,A Ω对应地区域面积,即可顺利解出.3.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在一组样本数据中,1,2,3,4出现地频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本地标准差最大地一组是( )A .14230.1,0.4p p p p ====B .14230.4,0.1p p p p ====C .14230.2,0.3p p p p ====D .14230.3,0.2p p p p ====【结果】B思路:对于A 选项,该组数据地平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.(87年)若二事件A和B同时出现的概率P(AB)=0,则【】A.A和B不相容(互斥).B.AB是不可能事件.C.AB未必是不可能事件.D.P(A)=0或P(B)=0.正确答案:C解析:由P(AB)=0不能推出AB=的结论,故A、B均排除.而D明显不对,应选C.知识模块:概率论与数理统计2.(89年)以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为:【】A.“甲种产品滞销,乙种产品畅销”.B.“甲、乙两种产品均畅销”.C.“甲种产品滞销”.D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.正确答案:D 涉及知识点:概率论与数理统计3.(90年)议A、B为随机事件,且BA,则下列式子正确的是【】A.P(A+B)=P(A).B.P(AB)=P(A).C.P(B|A)=P(B).D.P(B-A)=P(B)-P(A).正确答案:A解析:∵AB,∴A+B=A,故选A.知识模块:概率论与数理统计4.(91年)设A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件,则下列结论中肯定正确的是:【】A.不相容.B.相容.C.P(AB)=P(A)P(B).D.P(A-B)=P(A).正确答案:D 涉及知识点:概率论与数理统计5.(92年)设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则【】A.P(C)≤P(A)+P(B)-1.B.P(C)≥P(A)+P(B)-1.C.P(C)=P(AB).D.P(C)=P(A∪B).正确答案:B 涉及知识点:概率论与数理统计6.(93年)设两事件A与B满足P(B|A)=1,则【】A.A是必然事件.B.P(B|)=0C.AB.D.AB.正确答案:C 涉及知识点:概率论与数理统计7.(94年)设0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A|B)+P()=1,则事件A和B 【】A.互不相容.B.互相对立.C.不独立.D.独立.正确答案:D 涉及知识点:概率论与数理统计8.(96年)已知0<P(B)<1,且P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B),则下列选项成立的是【】A.P[(A1+A2)|]=P(A1|)+P(A2|)B.P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)C.P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B)D.P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)正确答案:B解析:由已知得,化简得B项正确.知识模块:概率论与数理统计9.(00年)在电炉上安装了4个温控器,其显示温度的误差是随机的.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0,电炉就断电.以E 表示事件“电炉断电”,而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值,则事件E等于【】A.{T(1)≥t0}B.{T(2)≥t0}C.{T(3)≥t0}D.{T(4)≥t0}正确答案:C 涉及知识点:概率论与数理统计填空题10.(88年)设P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,那么(1)若A与B互不相容,则P(B)=_______;(2)若A与B相互独立,则P(B)=_______.正确答案:0.3;0.5.解析:由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) (1)若A、B互不相容,则AB =,∴P(AB)=0,代入上式得0.7=0.4+P(B)-0,故P(B)=0.3 (2)若A、B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B),代入得0.7=0.4+P(B)-0.4×P(B),故P(B)=0.5.知识模块:概率论与数理统计11.(88年)若事件A,B,C满足等式A∪C=B∪C,则A=B.该命题是否正确_______.(填正确或不正确)正确答案:不正确涉及知识点:概率论与数理统计12.(90年)一射手对同一目标独立地进行4次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为_______.正确答案:解析:设该射手的命中率为p,则4次射击(独立重复)中命中k次的概率为C4kpk(1-p)4-k.由题意=P(他至少命中一次)=1-P(他命中0次)=1-C40p0(1-p)4-0=1-(1-p)4 解得p=知识模块:概率论与数理统计13.(92年)将C,C,E,E,I,N,S这七个字母随机地排成一行,则恰好排成SCIENCE的概率为_______.正确答案:解析:这7个字母排一行共有71种排法(第1位置有7种放法,第2位置有6种放法,余类推,用乘法原则),这是总样本点个数.而在有利场合下,第1位置有1种放法(1个S),第2位置有2种放法(2个C中选1个),同理,第3位置有1种放法(1个D,第4位置有2种放法(2个E中选1个),后边都是1种选法(即使是C或E,只剩1个了),故有1×2×1×2×1×1×1=4种放法,这是有利样本点个数.故所求概率为知识模块:概率论与数理统计14.(07年)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于的概率为_______.正确答案:解析:设这两个数分别为χ,y,则二维点(χ,y)可能取的点为图4.3中的正方形内部(面积为1),而符合要求(即题中“两数之差的绝对值<”)的点集合{(χ,y):0<χ<1,0<y<1,|χ-y|<}为图中阴影部分G,而G的面积为1-2×.故所求概率为知识模块:概率论与数理统计15.(12年)设A,B,C是随机事件,A与C互不相容,P(AB)=,P(C)=,则P(AB|)=_______.正确答案:解析:∵AC=,∴A,得P(AB)=P(AB)=,又P()=1-P(C)=,故知识模块:概率论与数理统计16.(16年)设袋中有红、白、黑球各1个,从中有放回地取球,每次取1个,直到三种颜色的球都取到时停止,则取球次数恰好为4的概率为_______.正确答案:解析:用古典概型,4次取球共有34种取法;而“第1次取红球,第2、3次至少取得1白球且未取得黑球,第4次取黑球”共有3种取法:(按顺序)“红红白黑,红白红黑,红白白黑”,故上述事件(引号内的事件)的概率为.而红、白、黑3种颜色排列有31种,故本题所求概率为.知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.对任意两个随机变量X和Y,若E(XY)=E(X).E(Y),则A.D(XY)=D(X).D(Y).B.D(X+Y)=D(X)+D(Y).C.X与Y独立.D.X与Y不独立.正确答案:B解析:∵D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY)-E(X)E(Y)],可见选项B与E(XY)=E(X)E(Y)是等价的.知识模块:概率论与数理统计2.设随机变量X和Y独立同分布,记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V必然A.不独立.B.独立.C.相关系数不为零.D.相关系数为零.正确答案:D解析:∵X与Y同分布,∴DX=DY 得cov(U,V)=cov(X-Y,X+Y)=cov(X,X)+cov(X,Y)~cov(Y.X)-cov(Y,Y) =DX-DY==0 ∴相关系数ρ=0 知识模块:概率论与数理统计3.将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于A.-1B.0C.D.1正确答案:A解析:∵X+Y=n,∴Y=n-X 故DY=D(n-X)=DX,cov(X,Y)=cov(X,n-X)=-cov(X.X)=-DX.∴X和Y的相关系数ρ(X,Y)==-1.知识模块:概率论与数理统计4.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(χ),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在Y=y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(χ|y)为A.fX(χ).B.fY(y).C.fX(χ)fY(y).D.正确答案:A解析:由(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关.故X与Y独立,∴(X,Y)的概率密度f(χ,y)=fX(χ).fY(y),(χ,y)∈R2.得fX|Y(X|Y)==fX(χ) 故选A.知识模块:概率论与数理统计填空题5.设随机变量Xij(i,j=1,2,…,n;n≥2)独立同分布,EXij=2,则行列式的数学期望EY=_______.正确答案:0解析:由n阶行列式的定义知Y=,p1,…,pn为(1,…,n)的排列,τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数.而Xij(i,j=1,2,…,n)独立同分布且EXij=2,故知识模块:概率论与数理统计6.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量则方差DY=_______.正确答案:解析:由题意,X的概率密度为:则P(X>0)=∫0+∞f(χ)dχ=P(X <0)=∫-∞0=,而P(X=0)=0 故EY=1.P(X>0)+0.P(X=0)+(-1)P(x <0)=E(Y2)=12.P(X>0)+02.P(X=0)+(-1)2P(X<0)==1 ∴DY=E(Y)2-(EY)21-知识模块:概率论与数理统计7.设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2,Y2)=_______.正确答案:-0.02解析:E(X2Y2)=02×(-1)2×0.07+02×02×0.18+02×12×0.15+12×(-1)2×0.08+12×02×0.32+12×12×0.20=0.28 而关于X的边缘分布律为:关于Y的边缘分布律为:∴EX2=02×0.4+12×0.6=0.6,EY2=(-1)2×0.15+02×0.5+12×0.35=0.5 故cov(X2,Y2)=E(X2Y2)-EX2.EY2=0.28-0.6×0.5=-0.02.知识模块:概率论与数理统计8.设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为_______.正确答案:0.9解析:因为D(Z)=D(X-0.4)=DX,且cov(Y,Z)=cov(Y,X-0.4)=cov(Y,X)=cov(X,Y) 故ρ(Y,Z)==ρ(X,Y)=0.9.知识模块:概率论与数理统计9.设随机变量X服从参数为λ的指数分布,则P{X>}=_______.正确答案:解析:由题意,DX=,而X的概率密度为故=e-1.知识模块:概率论与数理统计10.设随机变量服从参数为1的泊松分布,则P{X=EX2}=_______.正确答案:解析:由EX2=DX+(EX)2=1+12=2,故P{X=EX2}=P{X=2}=知识模块:概率论与数理统计11.设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(μ,μ;σ2,σ2;0),则E(XY2)=_______.正确答案:μ3+μσ2解析:由题意知X与Y独立同分布,且X~N(μ,σ2),解:由题意知X与Y独立同分布,且X~N(μ,σ2),故EX=μ,E(Y2)=DY+(EY)2=σ2+μ2 ∴E(XY2)=EX.E(Y2)=μ(σ2+μ2)=μ3+μσ2 知识模块:概率论与数理统计12.设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),则E(Xe2X)=_______.正确答案:2e2解析:E(Xe2X)=而-χ2+2χ=-(χ2-4χ+4-4)=-(χ-2)2+2 ∴E(Xe2X)==2e2 知识模块:概率论与数理统计13.设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0),则P{XY-Y<0}=_______.正确答案:解析:由题意可知X~N(1,1),Y~N(0,1),且X与Y独立.可得X-1~N(0,1),于是P(Y>0)=P(Y<0)=,P(X-1>0)=P(X-1<0)=,可得P(XY -Y<0)=P{Y(X-1)<0}=P{Y>0,X-1<0}+P{Y<0,X-1>0} =P(Y >0)P(X-1<0)+P(Y<0)P(X-1>0) =知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(事件与概率)汇编考点01 古典概率一、单选题1.(2024∙全国甲卷∙高考真题)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是()A.14B.13C.12D.232.(2023∙全国乙卷∙高考真题)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为()A.56B.23C.12D.133.(2023∙全国甲卷∙高考真题)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16B.13C.12D.234.(2022∙全国甲卷∙高考真题)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.15B.13C.25D.235.(2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为()A.16B.13C.12D.236.(2021∙全国甲卷∙高考真题)将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为() A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.87.(2019∙全国∙高考真题)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是A.16B.14C.13D.128.(2019∙全国∙高考真题)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为A.23 B.35C.25D.15二、填空题21.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为 .22.(2024∙全国甲卷∙高考真题)有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 之差的绝对值不大于12的概率为 .23.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)在如图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有 种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是 .24.(2023∙天津∙高考真题)把若干个黑球和白球(这些球除颜色外无其它差异)放进三个空箱子中,三个箱子中的球数之比为5:4:6.且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个箱子中各随机摸出一球,则三个球都是黑球的概率为 ;若把所有球放在一起,随机摸出一球,则该球是白球的概率为 . 25.(2022∙浙江∙高考真题)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则(2)P ξ== ,()E ξ= .26.(2022∙全国甲卷∙高考真题)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为 . 27.(2022∙全国乙卷∙高考真题)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为 .28.(2021∙浙江∙高考真题)袋中有4个红球m 个黄球,n 个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m n -= ,()E ξ= .29.(2020∙江苏∙高考真题)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 .30.(2019∙江苏∙高考真题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .考点02 条件概率1.(2024∙天津∙高考真题),,,,A B C D E 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为 ;已知乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为 .2.(2023∙全国甲卷∙高考真题)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为( ) A .0.8B .0.6C .0.5D .0.43.(2022∙天津∙高考真题)52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A 的概率为 ;已知第一次抽到的是A ,则第二次抽取A 的概率为考点03 全概率公式与贝叶斯公式1.(2024∙上海∙高考真题)某校举办科学竞技比赛,有、、A B C 3种题库,A 题库有5000道题,B 题库有4000道题,C 题库有3000道题.小申已完成所有题,他A 题库的正确率是0.92,B 题库的正确率是0.86,C 题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题,正确率是 .2.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率; (2)求第i 次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量i X 服从两点分布,且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅,则11n n i i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑.记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ,求()E Y .考点04 正态分布指定区间的概率1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)(多选)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ,则( )(若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ,()0.8413P Z μσ<+≈)A .(2)0.2P X >>B .(2)0.5P X ><C .(2)0.5P Y >>D .(2)0.8P Y ><2.(2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ,且(2 2.5)0.36P X <≤=,则( 2.5)P X >= .3.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ,下列结论中不正确的是( ) A .σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B .该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C .该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D .该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等参考答案考点01 古典概率一、单选题 1.(2024∙全国甲卷∙高考真题)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是( ) A .14 B .13C .12D .23【答案】B【详细分析】解法一:画出树状图,结合古典概型概率公式即可求解.解法二:分类讨论甲乙的位置,结合得到符合条件的情况,然后根据古典概型计算公式进行求解. 【答案详解】解法一:画出树状图,如图,由树状图可得,甲、乙、丙、丁四人排成一列,共有24种排法, 其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种, 故所求概率81=243P =. 解法二:当甲排在排尾,乙排第一位,丙有2种排法,丁就1种,共2种; 当甲排在排尾,乙排第二位或第三位,丙有1种排法,丁就1种,共2种;于是甲排在排尾共4种方法,同理乙排在排尾共4种方法,于是共8种排法符合题意;基本事件总数显然是44A 24=,根据古典概型的计算公式,丙不在排头,甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选:B2.(2023∙全国乙卷∙高考真题)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( )6323【答案】A【详细分析】对6个主题编号,利用列举列出甲、乙抽取的所有结果,并求出抽到不同主题的结果,再利用古典概率求解作答.【答案详解】用1,2,3,4,5,6表示6个主题,甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表:甲 1234 5 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(1,5) (1,6) 2 (2,1)(2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3)(3,4) (3,5)(3,6) 4 (4,1)(4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3)(5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36个不同结果,它们等可能,其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个, 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个,概率305366P ==. 故选:A3.(2023∙全国甲卷∙高考真题)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( )A .16B .13C .12D .23【答案】D【详细分析】利用古典概率的概率公式,结合组合的知识即可得解.【答案详解】依题意,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,总的基本事件有24C 6=件, 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有1122C C 4=,所以这2名学生来自不同年级的概率为4263=. 故选:D.4.(2022∙全国甲卷∙高考真题)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )5353【答案】C【详细分析】方法一:先列举出所有情况,再从中挑出数字之积是4的倍数的情况,由古典概型求概率即可.【答案详解】[方法一]:【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张,共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况,其中数字之积为4的倍数的有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况,故概率为62155=. [方法二]:有序从6张卡片中无放回抽取2张,共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况,其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况,故概率为122305=. 故选:C.【整体点评】方法一:将抽出的卡片看成一个组合,再利用古典概型的概率公式解出,是该题的最优解; 方法二:将抽出的卡片看成一个排列,再利用古典概型的概率公式解出;5.(2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为( )A .16B .13C .12D .23【答案】D【详细分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【答案详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有27C 21=种不同的取法,若两数不互质,不同的取法有:()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8,共7种, 故所求概率2172213P -==. 故选:D.6.(2021∙全国甲卷∙高考真题)将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( ) A .0.3 B .0.5C .0.6D .0.8【答案】C【详细分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【答案详解】解:将3个1和2个0随机排成一行,可以是:00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,共10种排法,其中2个0不相邻的排列方法为:01011,01101,01110,10101,10110,11010,共6种方法,故2个0不相邻的概率为6=0.610, 故选:C.7.(2019∙全国∙高考真题)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是A .16B .14 C .13D .12【答案】D【解析】男女生人数相同可利用整体发详细分析出两位女生相邻的概率,进而得解.【答案详解】两位男同学和两位女同学排成一列,因为男生和女生人数相等,两位女生相邻与不相邻的排法种数相同,所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12.故选D .【名师点评】本题考查常见背景中的古典概型,渗透了数学建模和数学运算素养.采取等同法,利用等价转化的思想解题.8.(2019∙全国∙高考真题)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 A .23B .35C .25D .15【答案】B【详细分析】本题首先用列举法写出所有基本事件,从中确定符合条件的基本事件数,应用古典概率的计算公式求解.【答案详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ,剩余的2只为,A B ,则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ,{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种.其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种, 所以恰有2只做过测试的概率为63105,选B . 【名师点评】本题主要考查古典概率的求解,题目较易,注重了基础知识、基本计算能力的考查.应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复,将兔子标注字母,利用“树图法”,可最大限度的避免出错.二、填空题 21.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为 . 【答案】12/0.5 【详细分析】将每局的得分分别作为随机变量,然后详细分析其和随机变量即可. 【答案详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ,四轮的总得分为X .对于任意一轮,甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等,其中使得甲获胜的出牌组合有六种,从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯,所以()()31,2,3,48k E X k ==. 从而()()()441234113382k k k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分,则组合方式是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以04411A 24p ==; 如果甲得3分,则组合方式也是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以34411A 24p ==. 而X 的所有可能取值是0,1,2,3,故01231p p p p +++=,()1233232p p p E X ++==. 所以121112p p ++=,1213282p p ++=,两式相减即得211242p +=,故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=. 故答案为:12.【名师点评】关键点名师点评:本题的关键在于将问题转化为随机变量问题,利用期望的可加性得到等量关系,从而避免繁琐的列举.22.(2024∙全国甲卷∙高考真题)有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 之差的绝对值不大于12的概率为 . 【答案】715【详细分析】根据排列可求基本事件的总数,设前两个球的号码为,a b ,第三个球的号码为c ,则323a b c a b +-≤≤++,就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【答案详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次,共有36A 120=种,设前两个球的号码为,a b ,第三个球的号码为c ,则1322a b c a b +++-≤, 故2()3c a b -+≤,故32()3c a b -≤-+≤, 故323a b c a b +-≤≤++,若1c =,则5a b +≤,则(),a b 为:()()2,3,3,2,故有2种, 若2c =,则17a b ≤+≤,则(),a b 为:()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4,()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3,故有10种,当3c =,则39a b ≤+≤,则(),a b 为:()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5, ()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4,故有16种,当4c =,则511a b ≤+≤,同理有16种, 当5c =,则713a b ≤+≤,同理有10种, 当6c =,则915a b ≤+≤,同理有2种, 共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=, 故所求概率为56712015=. 故答案为:71523.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)在如图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有 种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是 .【答案】 24 112【详细分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选;利用列举法写出所有的可能结果,即可求解.【答案详解】由题意知,选4个方格,每行和每列均恰有一个方格被选中, 则第一列有4个方格可选,第二列有3个方格可选,第三列有2个方格可选,第四列有1个方格可选, 所以共有432124⨯⨯⨯=种选法;每种选法可标记为(,,,)a b c d ,ab c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字, 则所有的可能结果为:(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42), (12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40), (13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40), (15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),所以选中的方格中,(15,21,33,43)的4个数之和最大,为152********+++=. 故答案为:24;112【名师点评】关键点名师点评:解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选,利用列举法写出所有的可能结果.24.(2023∙天津∙高考真题)把若干个黑球和白球(这些球除颜色外无其它差异)放进三个空箱子中,三个箱子中的球数之比为5:4:6.且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个箱子中各随机摸出一球,则三个球都是黑球的概率为 ;若把所有球放在一起,随机摸出一球,则该球是白球的概率为 . 【答案】 0.0535/0.6 【详细分析】先根据题意求出各盒中白球,黑球的数量,再根据概率的乘法公式可求出第一空; 根据古典概型的概率公式可求出第二个空.【答案详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6n n n ,所以总数为15n , 所以甲盒中黑球个数为40%52n n ⨯=,白球个数为3n ; 乙盒中黑球个数为25%4n n ⨯=,白球个数为3n ; 丙盒中黑球个数为50%63n n ⨯=,白球个数为3n ;记“从三个盒子中各取一个球,取到的球都是黑球”为事件A ,所以,()0.40.250.50.05P A =⨯⨯=;记“将三个盒子混合后取出一个球,是白球”为事件B , 黑球总共有236n n n n ++=个,白球共有9n 个, 所以,()93155n P B n ==. 故答案为:0.05;35.25.(2022∙浙江∙高考真题)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则(2)P ξ== ,()E ξ= . 【答案】1635,127/517【详细分析】利用古典概型概率公式求(2)P ξ=,由条件求ξ分布列,再由期望公式求其期望.【答案详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有37C 种取法,其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有112424C C C +种,所以11242437C C C 16(2)C 35P ξ+===, 由已知可得ξ的取值有1,2,3,4,2637C 15(1)C 35P ξ===,16(2)35P ξ==,,()()233377C 31134C 35C 35P P ξξ======所以15163112()1234353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=, 故答案为:1635,127. 26.(2022∙全国甲卷∙高考真题)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为 . 【答案】635. 【详细分析】根据古典概型的概率公式即可求出.【答案详解】从正方体的8个顶点中任取4个,有48C 70n ==个结果,这4个点在同一个平面的有6612m =+=个,故所求概率1267035m P n ===. 故答案为:635. 27.(2022∙全国乙卷∙高考真题)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为 . 【答案】310/0.3 【详细分析】根据古典概型计算即可【答案详解】解法一:设这5名同学分别为甲,乙,1,2,3,从5名同学中随机选3名,有:(甲,乙,1),(甲,乙,2),(甲,乙,3),(甲,1,2),(甲,1,3),(甲,2,3),(乙,1,2),(乙,1,3),(乙,2,3),(1,2,3),共10种选法; 其中,甲、乙都入选的选法有3种,故所求概率310P =. 故答案为:310. 解法二:从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10=甲、乙都入选的方法数为13C 3=,所以甲、乙都入选的概率310P =故答案为:31028.(2021∙浙江∙高考真题)袋中有4个红球m 个黄球,n 个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m n -= ,()E ξ= .【答案】 189【详细分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得,m n 的值,再根据随机变量ξ的分布列即可求出()E ξ. 【答案详解】2244224461(2)366m n m n m n C P C CCξ++++++====⇒=,所以49m n ++=, ()P 一红一黄114244133693m m n C C m m m C ++⋅====⇒=, 所以2n =, 则1m n -=.由于11245522991455105(2),(1),(0)63693618C C C P P P C C ξξξ⋅⨯========== 155158()2106918399E ξ∴=⨯+⨯+⨯=+=.故答案为:1;89.29.(2020∙江苏∙高考真题)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 . 【答案】19【详细分析】分别求出基本事件总数,点数和为5的种数,再根据概率公式解答即可. 【答案详解】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个. 点数和为5的基本事件有()1,4,()4,1,()2,3,()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为:19.【名师点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 30.(2019∙江苏∙高考真题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 . 【答案】710. 【详细分析】先求事件的总数,再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数,最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【答案详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务,共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生,有11326C C=种情况,若选出的2名学生都是女生,有221C=种情况,所以所求的概率为617 1010 +=.【名师点评】计数原理是高考考查的重点内容,考查的形式有两种,一是独立考查,二是与古典概型结合考查,由于古典概型概率的计算比较明确,所以,计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中,应注意审清题意,明确“分类”“分步”,根据顺序有无,明确“排列”“组合”.考点02 条件概率1.(2024∙天津∙高考真题),,,,A B C D E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为;已知乙选了A活动,他再选择B活动的概率为.【答案】 3512【详细分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A的概率;采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A活动,他再选择B活动的概率.【答案详解】解法一:列举法从五个活动中选三个的情况有:,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE,共10种情况,其中甲选到A有6种可能性:,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE,则甲选到A得概率为:63105P==;乙选A活动有6种可能性:,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE, 其中再选则B有3种可能性:,,ABC ABD ABE,故乙选了A活动,他再选择B活动的概率为31 = 62.解法二:设甲、乙选到A为事件M,乙选到B为事件N,则甲选到A的概率为()2435C3 C5P M==;乙选了A活动,他再选择B活动的概率为()()()133524351C2CCP MN CP N MP M===故答案为:35;122.(2023∙全国甲卷∙高考真题)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为( ) A .0.8 B .0.6C .0.5D .0.4【答案】A【详细分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【答案详解】同时爱好两项的概率为0.50.60.70.4+-=, 记“该同学爱好滑雪”为事件A ,记“该同学爱好滑冰”为事件B , 则()0.5,()0.4P A P AB ==,所以()0.4()0.8()0.5P AB P B A P A ===∣. 故选:A .3.(2022∙天津∙高考真题)52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A 的概率为 ;已知第一次抽到的是A ,则第二次抽取A 的概率为 【答案】1221 117【详细分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A 的概率,再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A 的条件下,第二次抽到A 的概率.【答案详解】由题意,设第一次抽到A 的事件为B ,第二次抽到A 的事件为C ,则()()()()1431411221,(),|1525122152131713BC P BC P B P C B P B P =⨯======. 故答案为:1221;117.考点03 全概率公式与贝叶斯公式1.(2024∙上海∙高考真题)某校举办科学竞技比赛,有、、A B C 3种题库,A 题库有5000道题,B 题库有4000道题,C 题库有3000道题.小申已完成所有题,他A 题库的正确率是0.92,B 题库的正确率是0.86,C 题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题,正确率是 .【答案】0.85【详细分析】求出各题库所占比,根据全概率公式即可得到答案. 【答案详解】由题意知,,,A B C 题库的比例为:5:4:3, 各占比分别为543,,121212, 则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p =⨯+⨯+⨯=.故答案为:0.85.(附加)2.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率; (2)求第i 次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量i X 服从两点分布,且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅,则11n n i i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑.记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ,求()E Y . 【答案】(1)0.6(2)1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭(3)52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详细分析】(1)根据全概率公式即可求出;(2)设()i i P A p =,由题意可得10.40.2i i p p +=+,根据数列知识,构造等比数列即可解出; (3)先求出两点分布的期望,再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出. 【答案详解】(1)记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ,“第i 次投篮的人是乙”为事件i B , 所以,()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+ ()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.(2)设()i i P A p =,依题可知,()1i i P B p =-,则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+,即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+, 构造等比数列{}i p λ+, 设()125i i p p λλ++=+,解得13λ=-,则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 又11111,236p p =-=,所以13i p ⎧⎫-⎨⎩⎭是首项为16,公比为25的等比数列,即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3)因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,1,2,,i n =⋅⋅⋅,所以当*N n ∈时,()122115251263185315nn n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ,故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【名师点评】本题第一问直接考查全概率公式的应用,后两问的解题关键是根据题意找到递推式,然后根据数列的基本知识求解.考点04 正态分布指定区间的概率1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)(多选)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ,则( )(若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ,()0.8413P Z μσ<+≈)A .(2)0.2P X >>B .(2)0.5P X ><C .(2)0.5P Y >>D .(2)0.8P Y ><【答案】BC【详细分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出. 【答案详解】依题可知,22.1,0.01x s ==,所以()2.1,0.1Y N ,故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>,C 正确,D 错误; 因为()1.8,0.1X N ,所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯,因为()1.80.10.8413P X <+≈,所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<, 而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<,B 正确,A 错误, 故选:BC .2.(2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ,且(2 2.5)0.36P X <≤=,则( 2.5)P X >= .【答案】0.14/750. 【详细分析】根据正态分布曲线的性质即可解出.【答案详解】因为()22,X N σ ,所以()()220.5P X P X <=>=,因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=.故答案为:0.14.3.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ,下列结论中不正确的是( ) A .σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B .该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C .该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D .该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D【详细分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【答案详解】对于A ,2σ为数据的方差,所以σ越小,数据在10μ=附近越集中,所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大,故A 正确;对于B ,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B 正确;对于C ,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C 正确;对于D ,因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同,所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同,故D 错误. 故选:D.。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.(03年)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A1={掷第一次出现正面},A2={掷第二次出现正面},A3={正、反面各出现一次},A4={正面出现两次},则事件【】A.A1,A2,A3相互独立.B.A2,A3,A4相互独立.C.A1,A2,A3两两独立.D.A2,A3,A4两两独立.正确答案:C 涉及知识点:概率论与数理统计2.(07年)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<P<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A.3p(1-p)2.B.6p(1-p)2.C.3p2(1-p)2.D.6p2(1-p)2.正确答案:C解析:P{第4次射击恰好第2次命中目标}=P{前3次射击恰中1枪,第4次射击命中目标} =P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}=C31p(1-p)2.P=3p2(1-p)2 知识模块:概率论与数理统计3.(09年)设事件A与事件B互不相容,则【】A.P()=0.B.P(AB)=P(A)P(B).C.P(A)=1-P(B).D.P()-1.正确答案:D 涉及知识点:概率论与数理统计4.(14年)设随机事件A与B相互独立,且P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P(B-A)=【】A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4正确答案:B解析:∵A与B独立,∴P(AB)=P(A)P(B).故0.3=P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B) =P(A)[1-P(B)]=P(A)(1-0.5)=0.5(P(A) 得P(A)==06,P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=0.5-0.6×0.5=0.2.知识模块:概率论与数理统计5.(15年)若A,B为任意两个随机事件,则【】A.P(AB)≤P(A)P(B).B.P(AB)≥P(A)P(B).C.P(AB)≤.D.P(AB)≥.正确答案:C解析:由ABA,ABB得P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B),两式相加即得:P(AB)≤.知识模块:概率论与数理统计6.(16年)设A,B为两个随机事件,且0<P(A)<1,0<P(B)<1,如果P(A|B)=1,则【】A.P()=1.B.P(A|)=0.C.P(A∪B)=1.D.P(B|A)=1.正确答案:A解析:由1=P(A|B)=,有P(B)=P(AB) 于是知识模块:概率论与数理统计7.(90年)设随机变量X和Y相互独立,其概率分布为则下列式子正确的是:【】A.X-YB.P{X-Y}=0C.P{X-Y}=D.P{X=Y}=1正确答案:C解析:P(X=Y)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1) =P(X=-1)P(Y =-1)+P(X=1)P(Y=1) =知识模块:概率论与数理统计8.(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ),且φ(-χ)-φ(χ),F(χ)为X的分布函数,则对任意实数a,有【】A.F(-a)=1-∫0aφ(χ)dχB.F(-a)=-∫0aφ(χ)dχC.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-1正确答案:B解析:由概率密度的性质和已知,可得故选B.知识模块:概率论与数理统计9.(95年)设随机变量X~N(μ,σ2),则随着σ的增大,概率P(|X-μ|<σ) 【】A.单调增大.B.单调减小.C.保持不变.D.增减不定.正确答案:C解析:由已知X~N(μ,σ),得~N(0,1) 故P{|X-μ|<σ}==(1)Ф-Ф(-1) 故选C.知识模块:概率论与数理统计填空题10.(89年)设随机变量X的分布函数为则A=_______,P{|X|<}=_______.正确答案:1;解析:∵分布函数是右连续的,故得1=Asin ∴A=1 这时,F(χ)在(-∞,+∞)上都连续,于是知识模块:概率论与数理统计11.(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______.正确答案:解析:F(χ)为一阶梯状函数,则X可能取的值为F(χ)的跳跃点:-1,1,3.P(X=-1)=F(-1)-F(-1-0)=0.4 P(X=1)=F(1)-F(1-0)=0.8-0.4=0.4 P(X=3)=F(3)-F(3-0)=1-0.8=0.2 知识模块:概率论与数理统计12.(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y=2}=_______.正确答案:解析:由题意,Y~B(3,p).其中p=故知识模块:概率论与数理统计13.(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}=,则k的取值范围是_______.正确答案:[1,3]解析:∵P(X≥k)=∫k+∞f(χ)dχ.可见:若k≤0,则P(X≥k)=1 若0<k<1,则P(X≥k)=若k>6,则P(X≥k)=0 若3<k≤6,则P(X ≥k)=若1≤k≤3,则P(X≥k)=综上,可知K∈[1,3].知识模块:概率论与数理统计14.(05年)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,…,X中任取一个数,记为Y,则P(Y=2}=_______.正确答案:解析:由题意,X的概率分布为而P(Y=2|X=1)=0,P(Y=2|X=2)=,P(Y=2|X=3)=,P(Y=2|X=4)=,故由全概率公式得知识模块:概率论与数理统计15.(05年)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,则a=_______,b=_______.正确答案:0.4;0.1.解析:由题意知0.4+a+b+0.1=1,∴a+b=0.5 而P{X=0}=0.4+a,P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=a+b=0.5,P{X =0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=a 由P{X=0,X+Y=1)=P{X=0)P{X +Y=1} ∴a=(0.4+a)0.5,得a=0.4,从而b=0.1.知识模块:概率论与数理统计16.(06年)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则P{max(X,Y)≤1}=_______.正确答案:解析:由题意知X与Y的概率密度均为:则P(X≤1}=P{Y≤1}=∫-∞1f(χ)dχ=故P{max(X,Y)≤1}=P{X≤1,y≤1}=P{X≤1}P{y≤1}=知识模块:概率论与数理统计17.(99年)设随机变量Xij(i=1,2,…,n;n≥2)独立同分布,Eij=2,则行列式Y=的数学期望EY=_______.正确答案:0解析:由n阶行列式的定义知Y=,P1,…,Pn为(1,…,n)的排列,τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数.而Xij(i,j=1,2,…,n)独立同分布且EXij=2,故知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于( )A.—1B.0C.D.1正确答案:A解析:掷硬币结果不是正面向上就是反面向上,所以X+Y=n,从而Y=n—X。
由方差的定义:D(X)=E(X2)一[E(X)]2,所以D(Y)=D(n—X)=E(n—X)2一[E(n—X)]2=E(n2—2nX+X2)—[n一E(X)]2=n2—2nE(X) +E(X2)一n2+ 2nE(X) —[E(X)]2=E(X2)一[E(X)]2=D(X)。
由协方差的性质:Cov(X,c)=0(c为常数);Cov(aX,bY)=abCov(X,Y);Cov(X1+X2,Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y),所以Cov(X,Y) = Cov(X,n—X) = Cov(X,n) —Cov(X,X)=0—D(X)=—D(X),由相关系数的定义,得知识模块:概率论与数理统计2.设随机变量X~N(0,1),Y~N(1,4)且相关系数ρXY=1,则( ) A.P{Y=—2X—1}=1B.P{Y=2X—1}=1C.P{Y=一2X+1}=1D.P{Y=2X+1}=1正确答案:D解析:用排除法。
设Y=aX+b。
由ρXY=1,知X、Y正相关,得a>0。
排除A和C。
由X~N(0,1),Y~N(1,4),得E(X)=0,E(Y)=1,E(aX+b)=aE(X)+b,即1=a×0+b,故b=1。
从而排除B。
故应选D。
知识模块:概率论与数理统计3.将长度为1m的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为( ) A.1B.C.D.—1正确答案:D解析:设两段长度分别为X,Y,显然X+Y=1,即y=—X+1,故两者是线性关系,且是负相关,所以相关系数为—1。
(专题精选)初中数学概率真题汇编附解析一、选择题1.下列说法正确的是()A.检测某批次灯泡的使用寿命,适宜用全面调查B.“367人中有2人同月同日生”为必然事件C.可能性是1%的事件在一次试验中一定不会犮生D.数据3,5,4,1,﹣2的中位数是4【答案】B【解析】【分析】根据可能性大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断.【详解】检查某批次灯泡的使用寿命调查具有破坏性,应采用抽样调查,A错;一年有366天所以367个人中必然有2人同月同日生,B对;可能性是1%的事件在一次试验中有可能发生,故C错;3,5,4,1,-2按从小到大排序为-2,1,3,4,5,3在最中间故中位数是3,D错.故选B.【点睛】区分并掌握可能性、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念.2.疫情防控,我们一直在坚守.某居委会组织两个检查组,分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查.若这两个检查组在辖区内的某三个校区中各自随机抽取一个小区进行检查,则他们恰好抽到同一个小区的概率是()A.13B.49C.19D.23【答案】A【解析】【分析】将三个小区分别记为A、B、C,列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数,然后根据概率公式即可得出答案.【详解】将三个小区分别记为A、B、C,根据题意列表如下:由表可知,共有9种等可能结果,其中他们恰好抽到同一个小区的有3种情况,所以他们恰好抽到同一个小区的概率为31 = 93.故选:A.【点睛】此题主要考查了列表法求概率,列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适用于两步或两步以上完成的事件;解题时还要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.3.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的小球共有50个,除颜色外其他完全相同.乐乐通过多次摸球试验后发现,摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在27%和43%,则口袋中白色球的个数很可能是()A.20 B.15 C.10 D.5【答案】B【解析】【分析】由频率得到红色球和黑色球的概率,用总数乘以白色球的概率即可得到个数.【详解】白色球的个数是50(127%43%)?-=15个,故选:B.【点睛】此题考查概率的计算公式,频率与概率的关系,正确理解频率即为概率是解题的关键. 4.从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数,分别记为m、n,那么点(),m n在函数6yx=图象的概率是()A.12B.13C.14D.18【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn=6,列表找出所有mn的值,根据表格中mn=6所占比例即可得出结论.【详解】Q点(),m n在函数6yx=的图象上,列表如下:mn的值为6的概率是41 123=.故选:B.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法,通过列表找出mn=6的概率是解题的关键.5.随机掷一枚质地均匀的硬币两次,落地后至少有一次正面向上的概率是 ()A.34B.23C.12D.14【答案】A【解析】【分析】根据:随机掷一枚质地均匀的硬币两次,可能出现的情况为:正正,正反,反正,反反;可求落地后至多有一次正面朝下的概率.【详解】∵随机掷一枚质地均匀的硬币两次,可能出现的情况为:正正,正反,反正,反反.∴落地后至多有一次正面朝下的概率为34.故选:A【点睛】本题考核知识点:求概率.解题关键点:用列举法求出所有情况.6.一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸出一个小球后不放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为()A.16B.15C.14D.13【答案】A 【解析】画树状图得出所有的情况,根据概率的求法计算概率即可. 【详解】 画树状图得:∵共有12种等可能的结果,两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况, ∴两次摸出的小球标号之和等于6的概率21.126== 故选A . 【点睛】考查概率的计算,明确概率的意义是解题的关键,概率等于所求情况数与总情况数的比.7.正方形ABCD 的边长为2,以各边为直径在正方形内画半圆,得到如图所示阴影部分,若随机向正方形ABCD 内投一粒米,则米粒落在阴影部分的概率为( )A .22π- B .24π- C .28π- D .216π-【答案】A 【解析】 【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率. 【详解】解:如图,连接PA 、PB 、OP , 则S 半圆O =2122ππ⨯=,S △ABP =12×2×1=1, 由题意得:图中阴影部分的面积=4(S 半圆O ﹣S △ABP ) =4(2π﹣1)=2π﹣4, ∴米粒落在阴影部分的概率为24242ππ--=, 故选A .【点睛】本题考查了几何概率的知识,解题的关键是求得阴影部分的面积.8.在2015-2016CBA常规赛季中,易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%,下列说法错误的是()A.易建联罚球投篮2次,一定全部命中B.易建联罚球投篮2次,不一定全部命中C.易建联罚球投篮1次,命中的可能性较大D.易建联罚球投篮1次,不命中的可能性较小【答案】A【解析】【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解:A、易建联罚球投篮2次,不一定全部命中,故本选项错误;B、易建联罚球投篮2次,不一定全部命中,故本选项正确;C、∵易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%,∴易建联罚球投篮1次,命中的可能性较大,故本选项正确;D、易建联罚球投篮1次,不命中的可能性较小,故本选项正确.故选:A.【点睛】本题考查了概率的意义,概率是反映事件发生机会的大小的概念,只是表示发生的机会的大小,机会大也不一定发生.9.在一个不透明的袋中,装有3个红球和1个白球,这些球除颜色外其余都相同. 搅均后从中随机一次模出两个球.......,这两个球都是红球的概率是()A.12B.13C.23D.14【答案】A【解析】【分析】列举出所有情况,看两个球都是红球的情况数占总情况数的多少即可.【详解】画树形图得:一共有12种情况,两个球都是红球的有6种情况,故这两个球都是红球相同的概率是61= 122,故选A.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.10.下列说法:①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;②经过有交通信号灯的路口,遇到红灯是必然事件;③若甲组数据的方差是0.3,乙组数据的方差是0.1,则甲数据比乙组数据稳定;④圆内接正六边形的边长等于这个圆的半径,其中正确说法的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的判定去判断①;根据必然事件的定义去判断②;根据方差的意义去判断③;根据圆内接正多边形的相关角度去计算④.【详解】一组对边平行,另一组对边相等的四边形也有可能是等腰梯形,①错误;必然事件是一定会发生的事件,遇到红灯是随机事件,②错误;方差越大越不稳定,越小越稳定,乙比甲更稳定,③错误;正六边形的边所对的圆心角是60 ,所以构成等边三角形,④结论正确.所以正确1个,答案选A.【点睛】本题涉及的知识点较多,要熟悉平行四边形的常见判定;随机事件、必然事件、不可能事件等的区分;掌握方差的意义;会计算圆内接正多边形相关.11.将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中,这些球除汉字外无其他差别,每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球,不放回;再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是()A.B.C.D.【解析】【分析】根据简单概率的计算公式即可得解.【详解】一共四个小球,随机摸出一球,不放回;再随机摸出一球一共有12中可能,其中能组成孔孟的有2种,所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是.故选B.考点:简单概率计算.12.布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球,搅匀后从中摸出一个球,放回搅匀,再摸出第二个球,两次都摸出白球的概率是()A.49B.29C.23D.13【答案】A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果,可求得两次都摸到白球的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.【详解】解:画树状图得:则共有9种等可能的结果,两次都摸到白球的有4种情况,∴两次都摸到白球的概率为49.故选A.【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.13.下列说法正确的是 ()A.要调查现在人们在数学化时代的生活方式,宜采用普查方式B.一组数据3,4,4,6,8,5的中位数是4C.必然事件的概率是100%,随机事件的概率大于0而小于1D.若甲组数据的方差2s甲=0.128,乙组数据的方差2s乙=0.036,则甲组数据更稳定【解析】【分析】直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案.【详解】A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式,宜采用抽查的方式,故原说法错误;B、一组数据3,4,4,6,8,5的中位数是4.5,故此选项错误;C、必然事件的概率是100%,随机事件的概率大于0而小于1,正确;D、若甲组数据的方差s甲2=0.128,乙组数据的方差s乙2=0.036,则乙组数据更稳定,故原说法错误;故选:C.【点睛】此题考查概率的意义,全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义,正确掌握相关定义是解题关键.14.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人,则选出的恰为一男一女的概率是()A.45B.35C.25D.15【答案】B【解析】试题解析:列表如下:∴共有20种等可能的结果,P(一男一女)=123= 205.故选B.15.由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘,如果一个转盘转出了红色,另一转盘转出了蓝色,游戏者就配成了紫色下列说法正确的是()A.两个转盘转出蓝色的概率一样大B.如果A转盘转出了蓝色,那么B转盘转出蓝色的可能性变小了C.先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘,游戏者配成紫色的概率不同D.游戏者配成紫色的概率为1 6【答案】D 【解析】A、A盘转出蓝色的概率为12、B盘转出蓝色的概率为13,此选项错误;B、如果A转盘转出了蓝色,那么B转盘转出蓝色的可能性不变,此选项错误;C、由于A、B两个转盘是相互独立的,先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘,游戏者配成紫色的概率相同,此选项错误;D、画树状图如下:由于共有6种等可能结果,而出现红色和蓝色的只有1种,所以游戏者配成紫色的概率为16,故选D.16.某市环青云湖竞走活动中,走完全部行程的队员即可获得一次摇奖机会,摇奖机是一个圆形转盘,被等分成16个扇形,摇中红、黄、蓝色区域,分获一、二、三等奖,奖品分别为自行车、雨伞、签字笔.小明走完了全程,可以获得一次摇奖机会,小明能获得签字笔的概率是()A.116B.716C.14D.18【答案】C【解析】【分析】从题目知道,小明需要得到签字笔,必须获得三等奖,即转到蓝色区域,把圆盘中蓝色的小扇形数出来,再除以总分数,即可得到答案.【详解】解:小明要获得签字笔,则必须获得三等奖,即转到蓝色区域,从转盘中找出蓝色区域的扇形有4份,又因为转盘总的等分成了16份,因此,获得签字笔的概率为:41 164=,故答案为C.【点睛】本题主要考查了随机事件的概率,概率是对随机事件发生之可能性的度量;在做转盘题时,能正确找到事件发生占圆盘的比例是做对题目的关键,还需要注意,转盘是不是被等分的,才能避免错误.17.某单位进行内部抽奖,共准备了100张抽奖券,设一等奖10个,二等奖20个,三等奖30个.若每张抽奖券获奖的可能性相同,则1张抽奖券中奖的概率是()A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.6【答案】D【解析】【分析】直接利用概率公式进行求解,即可得到答案.【详解】解:∵共准备了100张抽奖券,设一等奖10个,二等奖20个,三等奖30个.∴1张抽奖券中奖的概率是:102030100++=0.6,故选:D.【点睛】本题考查了概率公式:随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.18.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,现给出以下四个结论:(1)AE=CF;(2)△EPF是等腰直角三角形;(3)S四边形AEPF=12S△ABC;(4)当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时始终有EF=AP.(点E不与A、B重合),上述结论中是正确的结论的概率是()A.1个B.3个C.14D.34【答案】D【解析】【分析】根据题意,容易证明△AEP≌△CFP,然后能推理得到选项A,B,C都是正确的,当EF=AP 始终相等时,可推出222AP PF=,由AP的长为定值,而PF的长为变化值可知选项D不正确.从而求出正确的结论的概率.【详解】解:∵AB=AC,∠BAC=90°,点P是BC的中点,∴1245EAP BAC∠=∠=︒,12AP BC CP==.(1)在△AEP与△CFP中,∵∠EAP=∠C=45°,AP=CP,∠APE=∠CPF=90°﹣∠APF,∴△AEP≌△CFP∴AE=CF.(1)正确;(2)由(1)知,△AEP≌△CFP,∴PE=PF,又∵∠EPF=90°,∴△EPF是等腰直角三角形.(2)正确;(3)∵△AEP≌△CFP,同理可证△APF≌△BPE.∴12AEP APF CPF BPE ABCAEPFS S S S S S=+=+=V V V V V四边形.(3)正确;(4)当EF=AP始终相等时,由勾股定理可得:222EF PF=则有:222AP PF=,∵AP的长为定值,而PF的长为变化值,∴2AP与22PF不可能始终相等,即EF与AP不可能始终相等,(4)错误,综上所述,正确的个数有3个,故正确的结论的概率是34.故选:D.【点睛】用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比;解决本题的关键是利用证明三角形全等的方法来得到正确结论.19.下列说法正确的是().A.“购买1张彩票就中奖”是不可能事件B.“概率为0.0001的事件”是不可能事件C.“任意画一个三角形,它的内角和等于180°”是必然事件D.任意掷一枚质地均匀的硬币10次,正面向上的一定是5次【答案】C【解析】试题解析:A. “购买1张彩票就中奖”是不可能事件,错误;B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件,错误;C. “任意画一个三角形,它的内角和等于180°”是必然事件,正确;D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次,正面向上的一定是5次,错误.故选C.20.如图,管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1小明和小张两人分别站在管的左右两边,各随机选该边的一根绳子,若每边每根绳子被选中的机会相等,则两人选到同根绳子的概率为()A.12B.13C.16D.19【答案】B 【解析】【分析】画出树状图,得出所有结果和两人选到同根绳子的结果,即可得出答案.【详解】如图所示:共有9种等可能的结果数,两人选到同根绳子的结果有3个,∴两人选到同根绳子的概率为19=13,故选B.【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.。
【经典例题】【例1】(2012湖北)如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是A .1-B .-C .D . 2π12 1π 2π 1π【答案】A【解析】令OA=1,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为S 1,围成OC 为S 2,作对称轴OD ,则过C 点.S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积,S 2=()2-××=.在扇形OAD 中为扇π2 12 12 12 12π-28S12形面积减去三角形OAC 面积和,=π×12--=,S 1+S 2=,扇形OAB 面积S22 S12 18 18 S22 π-216 π-24S=,选A . π4【例2】(2013湖北)如图所示,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值E(X)=( )A. B.C.D. 1261256516812575【答案】B【解析】X 的取值为0,1,2,3且P(X =0)=,P(X =1)=,P(X =2)=,P(X =3)=,故E(X)=0×2712554125361258125+1×+2×+3×=,选B.271255412536125812565【例3】(2012四川)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.B.C.D. 14123478【答案】C【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮,第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮,由题意满足条件{0≤x ≤4,0≤y ≤4,)的关系式为-2≤x-y≤2.根据几何概型可知,事件全体的测度(面积)为16平方单位,而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位,故概率为=.121634【例4】(2009江苏)现有5根竹竿,它们的长度(单位:m )分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【答案】0.2【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为0.2【例5】(2013江苏)现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为________.【答案】2063【解析】基本事件共有7×9=63种,m 可以取1,3,5,7,n 可以取1,3,5,7,9.所以m ,n 都取到奇数共有20种,故所求概率为.2063【例6】(2013山东)在区间[-3,3]上随机取一个数x ,使得|x +1|-|x -2|≥1成立的概率为________.【答案】13【解析】当x<-1时,不等式化为-x -1+x -2≥1,此时无解;当-1≤x≤2时,不等式化为x +1+x -2≥1,解之得x≥1;当x>2时,不等式化为x +1-x +2≥1,此时恒成立,∴|x+1|-|x -2|≥1的解集为.在[1,+∞)上使不等式有解的区间为,由几何概型的概率公式得P ==.[-3,3][1,3]3-13-(-3)13【例7】(2013北京)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)【答案】;;3月5日2131213【解析】设Ai 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i =1,2,…,13).根据题意,P(Ai)=,且Ai∩Aj= (i≠j).113(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B =A5∪A8.所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=.213(2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且P(X =1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=,413P(X =2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=,413P(X =0)=1-P(X =1)-P(X =2)=.513所以X 的分布列为X 012P513413413故X 的期望E(X)=0×+1×+2×=.5134134131213(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.【例8】(2013福建)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可23以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖25中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X ,求X≤3的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?【答案】;方案甲.1115【解析】方法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.记“这22325人的累计得分X≤3”的事件为A ,则事件A 的对立事件为“X =5”,因为P(X =5)=×=,所以P(A)=1-P(X =5)=,23254151115即这两人的累计得分X≤3的概率为.1115(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).由已知可得,X1~B,X2~B ,(2,23)(2,25)所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×=,23432545从而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=.83125因为E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.方法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.2325记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A ,则事件A 包含有“X =0”“X =2”“X =3”三个两两互斥的事件,因为P(X =0)=×=,P(X =2)=×=,P(X =3)=×=,(1-23)(1-25)1523(1-25)25(1-23)25215所以P(A)=P(X =0)+P(X =2)+P(X =3)=,1115即这两人的累计得分X≤3的概率为.1115(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1,都选择方案乙所获得的累计得分为X2,则X1,X2的分布列如下:X1024P194949所以E(X1)=0×+2×+4×=,19494983E(X2)=0×+3×+6×=.9251225425125因为E(X1)>E(X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.【例9】(2013浙江)设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a =3,b =2,c =1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=,Dη=,求5359a ∶b ∶c.【答案】3∶2∶1【解析】(1)由题意得,ξ=2,3,4,5,6.P(ξ=2)==,3×36×614P(ξ=3)==,2×3×26×613P(ξ=4)==.2×3×1+2×26×6518P(ξ=5)==,2×2×16×619P(ξ=6)==,1×16×6136所以ξ的分布列为X2036P9251225425ξ23456P141351819136(2)由题意知η的分布列为η123Pa a +b +c ba +b +cc a +b +c所以Eη=++=,a a +b +c 2b a +b +c 3c a +b +c 53Dη=1-2·+2-2·+3-2·=,53a a +b +c 53b a +b +c 53c a +b +c 59化简得解得a =3c ,b =2c ,{2a -b -4c =0,a +4b -11c =0,)故a∶b∶c=3∶2∶1.【例10】(2009北京理)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,遇到红灯时停留的时间都是2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.【答案】;42738【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ,因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A 的概率为()11141133327P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)由题意,可得ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min ).事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”(k =0,1,2,3,4),∴()()441220,1,2,3,433kkk P k C k ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴即ξ的分布列是ξ2468P16813281827881181h bg o∴ξ的期望是163288180246881812781813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【课堂练习】1.(2013广东)已知离散型随机变量X 的分布列为X 123P35310110则X 的数学期望E(X)=( )A. B .2 C. D .332522.(2013陕西)如图,在矩形区域ABCD 的A ,C 两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( )A .1-B .-1 B .2- D .π4π2π2π43.在棱长分别为1,2,3的长方体上随机选取两个相异顶点,若每个顶点被选的概率相同,则选到两个顶点的距离大于3的概率为( )A .B .C .D .4737273144.(2009安徽理)考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于A .175B .275 C .375 D .4755.(2009江西理)为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了3种不同的精美卡片,每袋食品随机装入一张卡片,集齐3种卡片可获奖,现购买该种食品5袋,能获奖的概率为( )A .3181B .3381C .4881D .5081. 6.(2009辽宁文)ABCD 为长方形,AB =2,BC =1,O 为AB 的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为A .4π B .14π-C .8π D .18π-∙A∙∙∙∙∙B CDE F7.(2009上海理)若事件E 与F 相互独立,且()()14P E P F ==,则()P E F I 的值等于A .0 B .116C .14 D .128.(2013广州)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为a ,b ,则方程+=1表示焦点在x 轴上且离心率小x2a2y2b2于的椭圆的概率为( )32A . B . C . D .121532173231329.已知数列{a n }满足a n =a n -1+n -1(n≥2,n ∈N ),一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,将这颗骰子连续抛掷三次,得到的点数分别记为a ,b ,c ,则满足集合{a ,b ,c}={a 1,a 2,a 3}(1≤a i ≤6,i =1,2,3)的概率是( )A .B .C .D .17213612411210.(2009湖北文)甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5,则三人都达标的概率是 ,三人中至少有一人达标的概率是 。
概率与统计(40题)一、单选题1.(2023·上海·统考中考真题)如图所示,为了调查不同时间段的车流量,某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量,下图是各时间段的小车与公车的车流量,则下列说法正确的是()A.小车的车流量与公车的车流量稳定;B.小车的车流量的平均数较大;C.小车与公车车流量在同一时间段达到最小值;D.小车与公车车流量的变化趋势相同.【答案】B【分析】根据折线统计图逐项判断即可得.【详解】解:A、小车的车流量不稳定,公车的车流量较为稳定,则此项错误,不符合题意;B、小车的车流量的平均数较大,则此项正确,符合题意;C、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量,则此项错误,不符合题意;D、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加;大车车流量的变化趋势是先增加、再减小,则此项错误,不符合题意;故选:B.【点睛】本题考查了折线统计图,读懂折线统计图是解题关键.2.(2023·四川遂宁·统考中考真题)为增强班级凝聚力,吴老师组织开展了一次主题班会.班会上,他设计了一个如图的飞镖靶盘,靶盘由两个同心圆构成,小圆半径为10cm,大圆半径为20cm,每个扇形的圆心角为60度.如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的,那么小全同学任意投掷飞镖1次(击中边界或没有击中靶盘,则重投1次),投中“免一次作业”的概率是()【答案】B【分析】根据扇形面积公式求出免一次作业对应区域的面积,再根据投中“免一次作业”的概率=免一次作业对应区域的面积÷大圆面积进行求解即可【详解】解:由题意得,大圆面积为2220400cm ππ⨯=,免一次作业对应区域的面积为2226020601050cm 360360πππ⨯⨯⨯⨯−=,∴投中“免一次作业”的概率是5014008ππ=,故选:B .【点睛】本题主要考查了几何概率,扇形面积,正确求出大圆面积和免一次作业对应区域的面积是解题的关键.A .58B 【答案】B【分析】设小正方形的边长为1,则大正方形的边长为32,根据题意,分别求得阴影部分面积和总面积,根据概率公式即可求解.【详解】解:设小正方形的边长为1,则大正方形的边长为32,∴总面积为2231614169252⎛⎫⨯+⨯=+= ⎪⎝⎭,阴影部分的面积为2239132122222⎛⎫⨯+⨯=+=⎪⎝⎭,∴点P 落在阴影部分的概率为131322550=, 故选:B .【点睛】本题考查了几何概率,分别求得阴影部分的面积是解题的关键.根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应选择( ) A .甲 B .乙 C .丙 D .丁【答案】D【分析】根据10次射击成绩的平均数x 可知淘汰乙;再由10次射击成绩的方差2S 可知1.8 1.20.4>>,也就是丁的射击成绩比较稳定,从而得到答案. 【详解】解:98>,∴由四人的10次射击成绩的平均数x 可知淘汰乙;1.8 1.20.4>>,∴由四人的10次射击成绩的方差2S 可知丁的射击成绩比较稳定;故选:D .【点睛】本题考查通过统计数据做决策,熟记平均数与方差的定义与作用是解决问题的关键.5.(2023·湖南怀化·统考中考真题)某县“三独”比赛独唱项目中,5名同学的得分分别是:9.6,9.2,9.6,9.7,9.4.关于这组数据,下列说法正确的是( )A .众数是9.6B .中位数是9.5C .平均数是9.4D .方差是0.3【答案】A【分析】先把5个数据按从小到大的顺序排列,而后用中位数,众数,平均数和方差的定义及计算方法逐一判断.【详解】解:5个数按从小到大的顺序排列9.2,9.4,9.6,9.6,9.7,A、9.6出现次数最多,众数是9.6,故正确,符合题意;B、中位数是9.6,故不正确,不符合题意;C、平均数是()19.2+9.4+9.62+9.7=9.55⨯,故不正确,不符合题意;D、方差是()()()()222219.29.5+9.49.5+29.69.5+9.79.5=0.0325⎡⎤⨯−−−−⎣⎦,故不正确,不符合题意.故选:A.【点睛】本题考查了中位数,众数,平均数和方差,熟练掌握这些定义及计算方法是解决此类问题的关键.A.该小组共统计了100名数学家的年龄B.统计表中m的值为5C.长寿数学家年龄在9293−岁的人数最多D.《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在9697−岁的人数估计有110人【答案】D【分析】利用年龄范围为9899−的人数为10人,对应的百分比为10%,即可判断A 选项;由A 选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄,根据1005%5m =⨯=即可判断B 选项;由扇形统计图可知,长寿数学家年龄在9293−岁的占的百分比最大,即可判断C 选项;用2200乘以小组共统计了100名数学家的年龄中在9697−岁的百分比,即可判断D 选项.【详解】解:A .年龄范围为9899−的人数为10人,对应的百分比为10%,则可得1010%100÷=(人),即该小组共统计了100名数学家的年龄,故选项正确,不符合题意;B .由A 选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄,则1005%5m =⨯=,故选项正确,不符合题意;C .由扇形统计图可知,长寿数学家年龄在9293−岁的占的百分比最大,即长寿数学家年龄在9293−岁的人数最多,故选项正确,不符合题意;D .《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在9697−岁的人数估计有112200242100⨯=人,故选项错误,符合题意. 故选:D .【点睛】此题考查了扇形统计图和统计表,从扇形统计图和统计表中获取正确信息,进行正确计算是解题的关键.二、填空题这种绿豆发芽的概率的估计值为________(精确到0.01). 【答案】0.93【分析】根据题意,用频率估计概率即可.【详解】解:由图表可知,绿豆发芽的概率的估计值0.93, 故答案为:0.93.【点睛】本题考查了利用频率估计概率.解题的关键在于明确:大量重复试验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.【答案】10【分析】根据概率公式计算即可得出结果. 【详解】解:该生体重“标准”的概率是350750010=, 故答案为:710.【点睛】本题考查了概率公式,熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是本题的关键.【答案】1500吨【分析】由题意易得试点区域的垃圾收集总量为300吨,然后问题可求解. 【详解】解:由扇形统计图可得试点区域的垃圾收集总量为()60150129300÷−−−=%%%(吨),∴全市可收集的干垃圾总量为30050101500⨯⨯=%(吨); 故答案为1500吨.【点睛】本题主要考查扇形统计图,熟练掌握扇形统计图是解题的关键.10.(2023·浙江宁波·统考中考真题)一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球,它们除颜色外其余相同.从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为_____________.【答案】1 4【分析】从袋子里任意摸一个球有12种等可能的结果,其中是绿球的有3种,根据简单概率公式代值求解即可得到答案.【详解】解:由题意可知,从袋子里任意摸一个球有12种等可能的结果,其中是绿球的有3种,P∴(任意摸出一个球为绿球)31 124==,故答案为:1 4.【点睛】本题考查概率问题,弄清总的结果数及符合要求的结果数,熟记简单概率公式求解是解决问题的关键.三、解答题(1)阳阳已经对B,C型号汽车数据统计如表,请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数.(2)为了尽可能避免行程中充电耽误时间,又能经济实惠地用车,请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析,给出合理的用车型号建议.【答案】(1)平均里程:200km ;中位数:200km ,众数:205km ;(2)见解析 【分析】(1)观察统计图,根据平均数、中位数和众数的计算方法求解即可; (2)根据各型号汽车的平均里程、中位数、众数和租金方面进行分析. 【详解】(1)解:由统计图可知: A 型号汽车的平均里程:31904195520062052210200(km)34562A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++,A 型号汽车的里程由小到大排序:最中间的两个数(第10、11个数据)是200、200,故中位数200200200(km)2+==,出现充满电后的里程最多的是205公里,共六次,故众数为205km .(2)选择B 型号汽车.理由:A 型号汽车的平均里程、中位数、众数均低于210km ,且只有10%的车辆能达到行程要求,故不建议选择;B ,C 型号汽车的平均里程、中位数、众数都超过210km ,其中B 型号汽车有90%符合行程要求,很大程度上可以避免行程中充电耽误时间,且B 型号汽车比C 型号汽车更经济实惠,故建议选择B 型号汽车.【点睛】本题考查了统计量的选择,平均数、中位数和众数,熟练掌握平均数、方差、中位数的定义和意义是解题的关键.根据以上信息,解答下列问题:(1)补全频数分布直方图;(2)抽取的40名学生成绩的中位数是___________;(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀,试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人?【答案】(1)见解析;(2)82;(3)估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有440人 【分析】(1)根据总人数减去其他组的人数求得7080x ≤<的人数,即可补全直方图; (2)根据中位数为第20、21个数据的平均数,结合直方图或分布表可得; (3)用样本估计总体即可得.【详解】(1)解:404612108−−−−=(人), 补全的频数分布直方图如下图所示,;(2)解:∵46818++=, ∴第20、21个数为81、83;∴抽取的40名学生成绩的中位数是()18183822+=;故答案为:82; (3)解:由题意可得:121080044040+⨯=(人),答:估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有440人.【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数,用样本估计总体,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.13.(2023·浙江·统考中考真题)为全面提升中小学生体质健康水平,我市开展了儿童青少年“正脊行动”.人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查.根据筛查情况,李老师绘制了两幅不完整的统计图表,请根据图表信息解答下列问题: 抽取的学生脊柱健康情况统计表(1)求所抽取的学生总人数;(2)该校共有学生1600人,请估算脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数;(3)为保护学生脊柱健康,请结合上述统计数据,提出一条合理的建议.【答案】(1)200人;(2)80人;(3)【分析】(1)利用抽取的学生中正常的人数除以对应的百分比即可得到所抽取的学生总人数;(2)用该校学生总数乘以抽取学生中脊柱侧弯程度为中度和重度的百分比即可得到答案;(3)利用图表中的数据提出合理建议即可.【详解】(1)解:17085%200÷=(人).∴所抽取的学生总人数为200人.(2)() 1600185%10%80⨯−−=(人).∴估算该校学生中脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数有80人.(3)该校学生脊柱侧弯人数占比为15%,说明该校学生脊柱侧弯情况较为严重,建议学校要每天组织学生做护脊操等.【点睛】此题考查了统计表和扇形统计图,熟练掌握用部分除以对应的百分比求总数、用样本估计总体是解题的关键.【答案】(1)1,8;(2)23,;(3)优秀率高的年级不是平均成绩也高,理由见解析【分析】(1)根据扇形统计图得出七年级活动成绩为7分的学生数的占比为10%,即可得出七年级活动成绩为7分的学生数,根据扇形统计图结合众数的定义,即可求解;(2)根据中位数的定义,得出第5名学生为8分,第6名学生为9分,进而求得a,b的值,即可求解;(3)分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩,即可求解.−−−【详解】(1)解:根据扇形统计图,七年级活动成绩为7分的学生数的占比为150%20%20%=10%´,∴样本中,七年级活动成绩为7分的学生数是1010%=1根据扇形统计图,七年级活动成绩的众数为8分, 故答案为:1,8.(2)∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分,∴第5名学生为8分,第6名学生为9分,∴5122a =−−=, 1012223b =−−−−=,故答案为:23,. (3)优秀率高的年级不是平均成绩也高,理由如下,七年级优秀率为20%20%=40%+,平均成绩为:710%850%920%1020%=8.5⨯+⨯+⨯+⨯,八年级优秀率为32100%50%10+⨯=40%>,平均成绩为:()167228392108.310⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=8.5<, ∴优秀率高的年级为八年级,但平均成绩七年级更高, ∴优秀率高的年级不是平均成绩也高【点睛】本题考查了扇形统计图,统计表,中位数,众数,求一组数据的平均数,从统计图表获取信息是解题的关键.②若将车辆的外观造型,舒适程度、操控性能,售后服务等四项评分数据按2:3:3:2的比例统计,求A 款新能原汽车四项评分数据的平均数. (2)合理建议:请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例,并结合销售量,以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车?说说你的理由.【答案】(1)①3015辆,②68.3分;(2)选B 款,理由见解析 【分析】(1)①根据中位数的概念求解即可; ②根据加权平均数的计算方法求解即可; (2)根据加权平均数的意义求解即可. 【详解】(1)①由中位数的概念可得,B 款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为3015辆; ②172270367364268.32332x ⨯+⨯+⨯+⨯==+++分.∴A 款新能原汽车四项评分数据的平均数为68.3分; (2)给出1:2:1:2的权重时, 72170267164267.81212A x ⨯+⨯+⨯+⨯=≈+++(分),70171270168269.71212B x ⨯+⨯+⨯+⨯=≈+++(分),75165267161265.71212C x ⨯+⨯+⨯+⨯=≈+++(分),结合2023年3月的销售量, ∴可以选B 款.【点睛】此题考查了中位数和加权平均数,以及利用加权平均数做决策,解题的关键是熟练掌握以上知识点.16.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图,有4张分别印有Q 版西游图案的卡片:A 唐僧、B 孙悟空、C 猪八戒、D 沙悟净.现将这4张卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中,搅匀后从中任意取出1张卡片,记录后放回、搅匀,再从中任意取出1张卡片求下列事件发生的概率: (1)第一次取出的卡片图案为“B 孙悟空”的概率为__________;(2)用画树状图或列表的方法,求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A 唐僧”的概率.【答案】(1)14;(2)716【分析】(1)根据概率公式即可求解;(2)根据题意,画出树状图, 进而根据概率公式即可求解. 【详解】(1)解:共有4张卡片,第一次取出的卡片图案为“B 孙悟空”的概率为14 故答案为:14.(2)树状图如图所示:由图可以看出一共有16种等可能结果,其中至少一张卡片图案为“A 唐僧”的结果有7种. ∴P (至少一张卡片图案为“A 唐僧”)716=.答:两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A 唐僧”的概率为716.【点睛】本题考查了概率公式求概率,画树状图法求概率,熟练掌握求概率的方法是解题的关键.【答案】(1)100人;(2)270人【分析】(1)根据保山市腾冲市的员工人数除以所占百分比即可求出本次被抽样调查的员工人数;(2)用该公司总的员工数乘以样本中保山市腾冲市的员工人数除以所占百分比即可估计出该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数.÷(人),【详解】(1)本次被抽样调查的员工人数为:3030.00%=100所以,本次被抽样调查的员工人数为100人;⨯(人),(2)90030.00%=270答:估计该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数为270人.【点睛】本题考查扇形统计图及相关计算.熟练掌握用样本估计总体是解答本题的关键.18.(2023·新疆·统考中考真题)跳绳是某校体育活动的特色项目.体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况,随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试(单位:次),数据如下:请根据以上信息解答下列问题: (1)填空:=a ______,b =______;(2)学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀,请你估计七年级240名学生中,约有多少名学生能达到优秀? (3)某同学1分钟跳绳152次,请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生?说明理由. 【答案】(1)165,150;(2)84;(3)见解析【分析】(1)根据众数与中位数的定义进行计算即可求解;(2)根据样本估计总体,用跳绳165次及以上人数的占比乘以总人数,即可求解; (3)根据中位数的定义即可求解;【详解】(1)解:这组数据中,165出现了4次,出现次数最多 ∴165a =,这组数据从小到大排列,第1011个数据分别为148,152, ∴1481521502b +==,故答案为:165,150.(2)解:∵跳绳165次及以上人数有7个, ∴估计七年级240名学生中,有72408420⨯=个优秀,(3)解:∵中位数为150,∴某同学1分钟跳绳152次,可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生.【点睛】本题考查了求中位数,众数,样本估计总体,熟练掌握中位数、众数的定义是解题的关键. 19.(2023·甘肃武威·统考中考真题)某校八年级共有200名学生,为了解八年级学生地理学科的学习情况,从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析(两次测试试卷满分均为35分,难度系数相同;成绩用x 表示,分成6个等级:A .10x <;B .10 1.5x ≤<;C .1520x ≤<;D .2025x ≤<;E .2530x ≤<;F .3035x ≤≤).下面给出了部分信息:b .八年级学生上学期期末地理成绩在C .1520x ≤<这一组的成绩是: 15,15,15,15,15,16,16,16,18,18c .八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下:学期 平均数 众数 中位数八年级上学期 17.715 m【答案】(1)16;(2)35;(3)八年级,理由见解析【分析】(1)由中位数的概念,可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩; (2)根据样本估计总体即可求解; (3)根据平均成绩或中位数即可判断.【详解】(1)解:由中位数的概念,可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩,由统计图知A 组4人,B 组10人,C 组10人,则中位数在C 组,第20、21位的成绩分别是16,16, 则中位数是1616162+=;故答案为:16; (2)解:612003540+⨯=(人),这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人,故答案为:35;(3)解:因为抽取的八年级学生的期末地理成绩的平均分(或中位数)下学期的比上学期的高,所以八年级学生下学期期末地理成绩更好.【点睛】本题考查了条形统计图,中位数,众数等知识,熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键. 平均数 众数 中位数七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85n根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:m =________,n =________;(2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为21S 、22S ,请判断21S ___________22S (填“>”“<”或“=”);(3)从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好. 【答案】(1)80,86;(2)>;(3)见解析【分析】(1)找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为m 的值,将八年级的10个数据进行排序,第5和第6个数据的平均数即为n 的值;(2)根据折线统计图得到七年级的数据波动较大,根据方差的意义,进行判断即可; (3)利用平均数和中位数作决策即可.【详解】(1)解:七年级的10个数据中,出现次数最多的是:80,∴80m=;将八年级的10个数据进行排序:76,77,85,85,85,87,87,88,88,97;∴()18587862n=+=;故答案为:80,86;(2)由折线统计图可知:七年级的成绩波动程度较大,∵方差越小,数据越稳定,∴2212S S>;故答案为:>.(3)七年级和八年级的平均成绩相同,但是七年级的中位数比八年级的大,所以七年级参赛学生的成绩较好.【点睛】本题考查数据的分析.熟练掌握众数,中位数的确定方法,利用中位数作决策,是解题的关键.(1)A,B两班的学生人数分别是多少?(2)请选择一种适当的统计量,分析比较A,B两班的后测数据.(3)通过分析前测、后测数据,请对张老师的教学实验效果进行评价.【答案】(1)A ,B 两班的学生人数分别是50人,46人;(2)见解析;(3)见解析 【分析】(1)由统计表中的数据个数之和可得两个班的总人数;(2)先求解两个班成绩的平均数,再判断中位数落在哪个范围,以及15分以上的百分率,再比较即可; (3)先求解前测数据的平均数,判断前测数据两个班的中位数落在哪个组,计算15人数的增长百分率,再从这三个分面比较即可.【详解】(1)解: A 班的人数:28993150++++=(人) B 班的人数:251082146++++=(人) 答:A ,B 两班的学生人数分别是50人,46人. (2)14 2.5167.51212.5617.5222.59.150A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==,6 2.587.51112.51817.5322.512.946B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈, 从平均数看,B 班成绩好于A 班成绩.从中位数看,A 班中位数在510x <≤这一范围,B 班中位数在1015x <≤这一范围,B 班成绩好于A 班成绩. 从百分率看,A 班15分以上的人数占16%,B 班15分以上的人数约占46%,B 班成绩好于A 班成绩. (3)前测结果中: A 28 2.597.5912.5317.5122.56.550x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯'==B6.4x '=≈从平均数看,两班成绩较前测都有上升,但实验班提升得更明显,因此张老师新的教学方法效果较好. 从中位数看,两班前测中位数均在05x <≤这一范围,后测A 班中位数在510x <≤这一范围,B 班中位数在1015x <≤这一范围,两班成绩较前测都有上升,但实验班提升得更明显,因此张老师新的教学方法效果较好.从百分率看,A 班15分以上的人数增加了100%,B 班15分以上的人数增加了600%,两班成绩较前测都有上升,但实验班提升得更明显,因此张老师新的教学方法效果较好.【点睛】本题考查的是从统计表中获取信息,平均数,中位数的含义,增长率的含义,选择合适的统计量作分析,熟练掌握基础的统计知识是解本题的关键.……结合调查信息,回答下列问题:本次调查共抽查了多少名学生?900名初中生中最喜爱篮球项目的人数.假如你是小组成员,请你向该校提一条合理建议.【答案】(1)100;(2)360;(3)见解析【分析】(1)根据乒乓球人数和所占比例,求出抽查的学生数;(2)先求出喜爱篮球学生比例,再乘以总数即可;(3)从图中观察或计算得出,合理即可.÷=,【详解】(1)被抽查学生数:3030%100答:本次调查共抽查了100名学生.⨯=,(2)被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为:1005%5−−−−=,∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为:100301015540∴40900360100⨯=(人).答:估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360.(3)答案不唯一,如:因为喜欢篮球的学生较多,建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等.【点睛】本题考查从条形统计图和扇形统计图获取信息的能力,并用所获取的信息反映实际问题.【答案】(1)8;(2)108︒;(3)5 6【分析】(1)用做饭的人数除以做饭点的百分比25%,得抽取的总人数,再减去“洗衣”、“拖地”、“刷碗”的人数即可求得到m值;(2)用360︒乘以“拖地”人数所占的百分比,即可求解;(3)画树状图或列表分析出所有可能的结果数和有男生的结果数,再用概率公式计算即可.【详解】(1)解:1025%1012108m=÷−−−=,故荅案为:8;(2)解:() 360121025%108︒⨯÷÷=︒,故荅案为:108°;(3)解:方法一:画树状图如下:由图可知所有可能的结果共的12种,有男生的结果有10种,所以所选同学中有男生的概率为105 126=.方法二:列表如下:由表可知所有可能的结果共的12种,有男生的结果有10种,所以所选同学中有男生的概率为105 126=.【点睛】本题考查统计表,扇形统计图,用画树状图或列表的方法求概率.熟练掌握从统计图表中获取有用信息和用画树状图或列表的方法求概率是解题的关键.(1)补全学生课外读书数量条形统计图;(2)请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数;(3)该校有600名学生,请根据抽样调查的结果,估计本学期开学以来课外读书数量不少于【答案】(1)补全学生课外读书数量条形统计图见解析;(2)4,72,103;(3)450人【分析】(1)根据已知条件可知,课外读书数量为2本的有2人,4本的有4人,据此可以补全条形统计图;(2)根据众数,中位数和平均数的定义求解即可;(3)用该校学生总数乘以抽样调查的数据中外读书数量不少于3本的学生人数所占的比例即可.【详解】(1)补全学生课外读书数量条形统计图,如图:(2)∵本次所抽取学生课外读书数量的数据中出现次数最多的是4,∴众数是4.将本次所抽取的12名学生课外读书数量的数据,按照从小到大的顺序排列为:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5.∵中间两位数据是3,4,∴中位数是:347 22+=.平均数为:112233445210123x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.(3)3429 6006004501212++⨯=⨯=,∴该校有600名学生,估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为450人.【点睛】本题主要考查了条形统计图,众数,中位数,平均数,以及用样本所占百分比估计总体的数量,熟练掌握众数,中位数,平均数的定义是解题的关键.25.(2023·四川达州·统考中考真题)在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中,某中学以兴趣小组为载体,加强社团建设,艺术活动学生参与面达100%,通过调查统计,八年级二班参加学校社团的情况(每位同学只能参加其中一项):A.剪纸社团,B.泥塑社团,C.陶笛社团,D.书法社团,E.合唱社团,并绘制了如下两幅不完整的统计图.(1)该班共有学生_________人,并把条形统计图补充完整;(2)扇形统计图中,m =___________,n =___________,参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度;(3)小鹏和小兵参加了书法社团,由于参加书法社团几位同学都非常优秀,老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛,请用“列表法”或“画树状图法”,求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率.【答案】(1)见解析;(2)20,10,144;(3)110【分析】(1)利用C 类人数除以所占百分比可得调查的学生人数;用总人数减去其它四项的人数可得到D 的人数,然后补图即可;(2)根据总数与各项人数比值可求出m ,n 的值,A 项目的人数与总人数比值乘360︒即可得出圆心角的度数;(3)画树状图展示所有20求解.【详解】(1)本次调查的学生总数:510%50÷=(人),D 、书法社团的人数为:5020105105−−−−=(人),如图所示故答案为:50;(2)由图知,105020%5010%2050360144÷=÷=÷⨯︒=︒,5,,。
2022年中考数学真题分类汇编:27 概率一、单选题(共15题;共45分)1.(3分)(2022·贺州)在一个不透明的盒子中,装有质地、大小一样的白色乒乓球2个,黄色乒乓球3个,随机摸出一个球,摸到黄色乒乓球的概率是( ) A .15B .13C .25D .35【答案】D【解析】【解答】解:因为盒子里由黄色乒乓球3个,所以随机摸出一个球,摸到黄色乒乓球的情况有3种, 因为盒子里一共有2+3=5(个)球, ∴一共有5种情况,∴随机摸出一个球,摸到黄色乒乓球的概率为35.故答案为:D.【分析】利用黄色乒乓球的个数除以乒乓球的总数可得对应的概率.2.(3分)(2022·北部湾)下列事件是必然事件的是( )A .三角形内角和是180°B .端午节赛龙舟,红队获得冠军C .掷一枚均匀骰子,点数是6的一面朝上D .打开电视,正在播放神舟十四号载人飞船发射实况【答案】A【解析】【解答】解:A 、三角形内角和是180°是必然事件,故此选项符合题意;B 、端午节赛龙舟,红队获得冠军是随机事件,故此选项不符合题意;C 、掷一枚均匀骰子,点数是6的一面朝上是随机事件,故此选项不符合题意;D 、打开电视,正在播放神舟十四号载人飞船发射实况是随机事件,故此选项不符合题意. 故答案为:A.【分析】必然事件:在一定条件下,一定会发生的事件,叫做必然事件;不可能事件:在一定条件下,一定不可能发生的事件,叫做不可能事件;随机事件:随机事件是在随机试验中,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件,据此一一判断得出答案.3.(3分)(2022·威海)一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球,每个球除颜色外都相同.从中任意摸出1个球,摸到红球的概率是( )A.29B.13C.49D.12【答案】A【解析】【解答】解:∵一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球,∴从中任意摸出1个球,一共有9种可能性,其中摸到红球的可能性有2种,∴从中任意摸出1个球,摸到红球的概率是29,故答案为:A.【分析】利用概率公式求解即可。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设随机变量X和y相互独立,其概率分布为则下列式子正确的是:A.X=YB.P{X-Y}=0C.P{X-Y}=D.P{X=Y}=1正确答案:C解析:P(X=Y)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1) =P(X=-1)P(Y =-1)+P(X=1)P(Y=1) =知识模块:概率论与数理统计2.设随机变量X的密度函数为φ(χ),且φ(-χ)=φ(χ),F(χ)为X的分布函数,则对任意实数a,有A.F(-a)=1-∫0aφ(χ)dχB.F(-a)=-∫0aφ(χ)dχC.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-1正确答案:B解析:由概率密度的性质和已知,可得1-∫-∞+∞φ(χ)dχ=2∫0+∞φ(χ)dχ,∴∫0+∞φ(χ)dχ=而F(-a)=∫-∞-aφ(χ)dχ∫+∞aφ(-t)(-dt)=∫a+∞φ(t)dt =∫0+∞φ(χ)dχ-∫0aφ(χ)dχ=-∫0aφ(χ)dχ故选B.知识模块:概率论与数理统计3.设随机变量X~N(/μ,σ2),则随着σ的增大,概率P(|X-μ|<σ)A.单调增大.B.单调减小.C.保持不变.D.增减不定.正确答案:C解析:由已知X~N(μ,σ2),得~N(0,1) 故P{|X-μ|<σ}==Ф(1)-Ф(-1) 故选C.知识模块:概率论与数理统计4.设两个随机变量X与Y相互独立且同分布。
P(X=-1)=P(Y=-1)=.P(X=1)=P(Y=1)=,则下列各式成立的是A.P(X=Y)=B.P(X=Y)=1C.P(X+Y=0)=D.P(XY=1)=正确答案:A解析:P(X=Y)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1) =P(X=-1)P(Y =-1)+P(X=1)P(Y=1) =知识模块:概率论与数理统计5.设F1(χ)与F2(χ)分别为随机变量X1与X2的分布函数.为使F(χ)=a1F1(χ)-bF2(χ)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取A.B.C.D.正确答案:A解析:∵F1(χ)和F2(χ)均为分布函数,∴F1(+∞)=F2(+∞)=1 要使F(χ)为分布函数,也有F(+∞)=1.对该式令χ→+∞,即得a-b=1,只有A符合.知识模块:概率论与数理统计6.设随机变量Xi~(i=1,2),且满足P{X1X2=0}=1,则P{X1=X2}等于A.0B.C.D.1正确答案:A解析:由P(X1X2=0)=1 可知P(X1=-1,X2=-1)=P(X1=-1,X2=1)=P(X1=1,X2=-1)=P(X1=1,X2=1)=0 由联合、边缘分布列(多维离散型)的性质和关系得(X1,X2)的联合、边缘分布列如下表.得:P(X1=X2)=P(X1=-1,X2=-1)+P(X1=0,X2=0)+P(X1=1,X2=1)=0+0+0=0 故选A.知识模块:概率论与数理统计7.设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的α∈(0,1),数ua满足P{X>ua}=α,若P{|X|<χ}=α,则χ等于A.B.C.D.u1-α正确答案:C解析:设Ф(χ)=P(X≤χ)为服从标准正态分布的X的分布函数,有结果:Ф(χ)+Ф(-χ)=1.χ∈(-∞,+∞) (1) 又由α=P(|X|<χ)=P(-χ<X<χ)=Ф(χ)-Ф(-χ) (显然χ>0) (2) 由(1)、(2)式得2Ф(-χ)=1-α.得=Ф(-χ)=1-Ф(χ)=1-P(X≤χ)=P(X>χ) 与题目中α=P(X>uα)比较,注意Ф(χ)为严格单调增函数(∵Ф(χ)=>0,χ∈R′),这时P(X>χ)=P(X>),故χ=,选C.知识模块:概率论与数理统计8.设随机变量X服从正态分布N(μ1,σ12),随机变量Y服从正态分布N(μ2,σ22),且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1} 则必有A.σ1<σ2.B.σ1>σ2.C.μ1<μ2.D.μ1>μ2.正确答案:A解析:P{|X-μ1|<1}==2Ф()-1.同理:P{|Y-μ2|<1}=2Ф()-1.由已知得:由分布函数的非降性得:.故σ1<σ2.知识模块:概率论与数理统计9.设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(χ),则Z=max{X,Y}的分布函数为A.F2(χ)B.F(χ)F(y)C.1-[1-F(χ)]2D.[1-F(χ)][1-F(y)]正确答案:A解析:Z的分布函数FZ(χ)=P{Z≤χ}=P{max(X,Y)≤χ}=P{X≤X,Y ≤χ}=P{X≤χ}.P{Y≤χ}=F2(χ),故选A.知识模块:概率论与数理统计10.设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N(0,1),Y的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=.记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数,则函数FZ(z)的间断点个数为A.0.B.1.C.2.D.3.正确答案:B解析:FZ(z)=P(Z≤z)=P(XY≤z) =P(XY≤z|Y=0)P{Y=0}+P{XY ≤z|Y=1}P{Y=1} =P{0≤z|Y=0}+P{X≤z|Y=1} 而P{0≤z|Y=0}=P{0≤z}=P{X≤z|Y=1}=P{X≤z}=故FZ(z)=在z<0和z>0上,FZ(z)显然连续;在z=0上,可见FZ(z)只有1个间断点(z=0处,∵),故选B.知识模块:概率论与数理统计11.设随机变量X的分布函数F(χ)=,则P{X=1}=A.0.B..C.-e-1.D.1-e-1.正确答案:C解析:P(X=1)=F(1)-F(1-0)=(1-e-1)-e-1,故选C.知识模块:概率论与数理统计12.设f1(χ)为标准正态分布的概率密度,f2(χ)为[-1,3]上均匀分布的概率密度,若为概率密度,则a,b应满足A.2a+3b=4.B.3a+2b=4.C.a+b=1.D.a+b=2.正确答案:A解析:由题意知:f1(χ)=,-∞<χ<+∞所以2a+3b=4,故选A.知识模块:概率论与数理统计13.设F1(χ)与F2(χ)为两个分布函数,其相应的概率密度f1(χ)与F2(χ)是连续函数,则必为概率密度的是A.f1(χ),f2(χ).B.2f2(χ)F1(χ).C.f1(χ)F2(χ).D.f1(χ)F2(χ)+f2(χ)F1(χ).正确答案:D解析:由题意知′1(χ)=f1(χ),F′2(χ)=f2(χ),且F1(χ)F2(χ)为分布函数,那么[F1(χ)F2(χ)]′=f1(χ)F2(χ)+F1(χ)f2(χ)为概率密度,故选D.知识模块:概率论与数理统计填空题14.连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于6._______(填“是”或“不是”)正确答案:是涉及知识点:概率论与数理统计15.设随机变量X的分布函数为则A=_______,P{|X|<}=_______.正确答案:1;.解析:分布函数是右连续的,故得1=Asin∴A=1 这时,F(χ)在(-∞,+∞)上都连续,于是知识模块:概率论与数理统计16.设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______.正确答案:解析:F(χ)为一阶梯状函数,则X可能取的值为F(χ)的跳跃点:-1,1,3.P(X=-1)=F(-1)-F(-1-0)=0.4 P(X=1)=F(1)-F(1-0)=0.8-0.4=0.4 P(X-3)=F(3)-F(3-0)=1-0.8=0.2 知识模块:概率论与数理统计17.设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数,则P(Y=2}=_______.正确答案:解析:由题意,Y~B(3,p).其中故P{Y=2}=知识模块:概率论与数理统计18.设随机变量X的概率密度为若忌使得P{X≥k}=,则k的取值范围是_______.正确答案:[1,3]解析:P(X≥k)=∫k+∞f(χ)dχ.可见:若0<k<1,则P(X≥k)=若k>6,则P(X≥k)=0 若3<k≤6,则P(X≥k)=∫k6(6-k) 若1≤k≤3,则P≥k)=知识模块:概率论与数理统计19.从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,…,X中任取一个数,记为Y,则P{Y=2}=_______.正确答案:解析:由题意,X的概率分布为而P(=2|X=1)=0,P(Y=2|X=2)=,P(Y=2|X=3)=,P(Y=2|X=4)=,故由全概率公式得P{Y-2}=P{X=i}P{Y=2|X=i}=.知识模块:概率论与数理统计20.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为若随机事件{X=0}与{X+Y =1}相互独立,则a=_______,b=_______.正确答案:a=0.4,b=0.1.解析:由题意知0.4+a+b+0.1=1,∴a+b=0.5 而P{X=0}=0.4+a,P{X+Y=1}=P(X=0,Y=1}+P(X=1,Y=0}=a+b=0.5,P{X =0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=a 由P{X=0,X+Y=1}=P{X=0}P{X +Y=1} ∴a=(0.4+a)0.5,得a=0.4,从而b=0.1.知识模块:概率论与数理统计21.设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则P{max(X,Y)≤1}=_______。
专题30概率(38题)一、单选题1.(2024-广西•中考真题)不透明袋子中装有白球2个,红球1个,这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,取出白球的概率是()A.1B.-C.」D.-323【答案】D【分析】本题考查求概率,直接利用概率公式进行计算即可.【详解】解:从袋子中随机取出1个球,有2+1=3种等可能的结果,其中取出白球的情况有2种,:.p=--,3故选D.2.(2024-广东•中考真题)长江是中华民族的母亲河,长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习,则选中“巴蜀文化”的概率是()A.-B.-C.;D.-4324【答案】A【分析】本题考查了概率公式,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.直接根据概率公式求解即可.【详解】解:根据题意,选中“巴蜀文化”的概率是;,4故选:A.3.(2024-内蒙古呼伦贝尔•中考真题)下列说法正确的是()A.任意画一个三角形,其内角和是360。
是必然事件B.调查某批次汽车的抗撞击能力,适宜全面调查.C.一组数据2,4,6,x,7,4,6,9的众数是4,则这组数据的中位数是4D.在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》,两团女演员的身高平均数相同,方差分别为^=1.5,5|=2.5,则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐【答案】D【分析】本题考查了必然事件,方差的意义,抽样调查与普查,中位数,根据必然事件,中位数,方差的意义,抽样调查与普查逐项分析判断即可.【详解】A.任意画一个三角形,其内角和是360。
是不可能事件,故原说法错误;B.调查某批次汽车的抗撞击能力,适宜抽样调查.故原说法错误;C.一组数据2,4,6,x,7,4,6,9的众数是4,则这组数据的中位数是5,故原说法错误D.在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》,两团女演员的身高平均数相同,方差分别为S言=1.5,S]=2.5,则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐,故正确,故选:D.4.(2024-内蒙古通辽•中考真题)不透明的袋子中装有1个红球,2个白球,这些球除颜色外无其他差别,从中随机摸出一个球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个球,那么两次都摸出白球的概率是()A.-B.-C.-D.-9393【答案】C【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率.根据题意,列出表格,可得一共有9种等可能结果,其中两次都摸出白球的有4种,再由概率公式计算,即可求解.【详解】解:根据题意,列出表格如下:红白1白2红(红,红)(白1,红)(白2,红)白1(红,白1)(白1,白1)(白2,白1)白2(红,白2)(白1,白2)(白2,白2)一共有9种等可能结果,其中两次都摸出白球的有4种,4所以两次都摸出白球的概率是§.故选:C5.(2024-河南•中考真题)豫剧是国家级非物质文化遗产,因其雅俗共赏,深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示,它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,放回洗匀后,再从中随机抽取一张,两次抽取的卡片正面相同的概率为()豫剧•花木兰豫剧•七品芝麻官豫剧•朝阳沟2【答案】D【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率,解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数.根据题意,利用树状图法将所有结果都列举出来,然后根据概率公式计算解决即可.【详解】解:把3张卡片分别记为A、B、C,画树状图如下:共有9种等可能的结果,其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种,31・.・两次抽取的卡片图案相同的概率为-=故选:D.6.(2024-山东•中考真题)某校课外活动期间开展跳绳、踢犍子、韵律操三项活动,甲、乙两位同学各自任选其中一项参加,则他们选择同一项活动的概率是()A.-B.-C.-D.-9933【答案】C【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率.首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果以及甲与乙恰好选择同一项活动的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.【详解】解:设跳绳、踢犍子、韵律操分别为A、B、C,画树状图如下,ABC ABC ABC共有9种等可能的结果,甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况,31故他们选择同一项活动的概率是3=-,故选:C.7.(2024.贵州.中考真题)小星同学通过大量重复的定点投篮练习,用频率估计他投中的概率为0.4,下列说法正确的是()A.小星定点投篮1次,不一定能投中B.小星定点投篮1次,一定可以投中C.小星定点投篮10次,一定投中4次D.小星定点投篮4次,一定投中1次【分析】本题主要考查了概率的意义,概率是反映事件发生机会的大小的概念,只是表示发生的机会的大小,机会大也不一定发生,据此求解即可.【详解】解:小星同学通过大量重复的定点投篮练习,用频率估计他投中的概率为0.4,则由概率的意义可知,小星定点投篮1次,不一定能投中,故选项A正确,选项B错误;小星定点投篮10次,不一定投中4次,故选项C错误;小星定点投篮4次,不一定投中1次,故选项D错误故选;A.8.(2024.湖北武汉•中考真题)小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏,两人同时出相同的手势,这个事件是()A.随机事件B.不可能事件C.必然事件D.确定性事件【答案】A【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.根据事件发生的可能性大小判断即可.【详解】解:两人同时出相同的手势,,这个事件是随机事件,故选:A.9.(2024.湖北武汉•中考真题)经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,这三种可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口,则至少一辆车向右转的概率是()A.-B.-C.-D.-9399【答案】D【分析】本题考查的是运用树状图求概率,运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键.运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数,然后用概率公式解答即可.【详解】解:列树状图如图所示,开始1车左右直行2车左右直行左右直行左右直行共有9种情况,至少一辆车向右转有5种,.••至少一辆车向右转的概率是:,9410.(2024-黑龙江齐齐哈尔•中考真题)六月份,在邛日光大课间”活动中,某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目,且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目,则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是()A.—B.—C.—D.—2346【答案】C【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率,分别用A、B,C、。