第04讲三角函数的伸缩平移变换（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分【备考策略】1理解并掌握三角函数的图象与性质2会先平移后伸缩或先伸缩后平移来综合解决三角函数的伸缩平移变换【命题预测】本节内容是新高考卷的载体内容，一般会结合三角函数的图象与性质综合考查三角函数的伸缩平移变换，需加强复习备考1.三角函数的伸缩平移变换（1）伸缩变换（A ，ω是伸缩量）hx A y ++=)sin(ϕωA 振幅，决定函数的值域，值域为[]A A ,-；若A ↗，纵坐标伸长；若A ↘，纵坐标缩短；∴A 与纵坐标的伸缩变换成正比ω决定函数的周期，ωπ2=T 若ω↗，T ↘，横坐标缩短；若ω↘，T ↗，横坐标伸长；∴ω与横坐标的伸缩变换成反比（2）平移变换（ϕ，h 是平移量）平移法则：左+右-，上+下-（3）伸缩平移变换①先平移后伸缩x y sin =向左平移3π个单位→)3sin(π+=x y ，横坐标变为原来的21，纵坐标变为原来的3倍→)32sin(3π+=x y ②先伸缩后平移x y sin =横坐标变为原来的21，纵坐标变为原来的3倍→x y 2sin 3=，向左平移6π个单位→)32sin(62sin 3ππ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 2.三角函数图象的变换3.常用结论（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )．若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，可得()sin 2(sin(263g x x x ππ=-=-.故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为ππ2sin 32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin 3y x =的图象．故选：D.【分析】根据三角函数平移和伸缩变换原则依次判断各个选项即可.【详解】记()2sin f x x =，变换后所得函数为()g x ，对于A ，()ππ32sin 366g x f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误；对于B ，()ππ32sin 366g x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，()1ππ2sin 3636x g x f x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 正确；对于D ，()1ππ2sin 3636x g x f x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误.故选：C.【分析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.【详解】将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x－10π);再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是1sin(210y x π=-.故选C.【分析】根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.【详解】sin y x =向左平移3π个单位得：sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标缩短为原来的12得：sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭本题正确选项：C【点睛】本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.【分析】设出向左平移ϕ个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.【详解】πππ5πcos 2sin 2sin 23326y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将函数sin 2y x =向左平移ϕ个长度单位，得到()sin 22y x ϕ=+，故2π65ϕ=，解得125πϕ=，即向左平移5π12个长度单位.故选：A【详解】令，当函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时，函数为，若图象再向左平行移动4π个单位长度，则函数为，于是选A.【分析】由三角函数的诱导公式可得sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的平移变换即可得解.【详解】解：由sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，即为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.【分析】用诱导公式化为同名函数，同时x 的系数不变，然后再由平移变换得结论．【详解】sin cos cos cos 2263x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴只要把cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位即得．故选：A ．【点睛】本题考查三角函数图象变换，解题时应用诱导公式化函数为同名函数（不改变自变量x 的系数），然后再由平移变换求得结论．也可以对各选项进行代入验证．【详解】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos （2x+π6）=sin （2x+2π3）的图象，即曲线C 2，故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又C 关于y 轴对称，则,232k k ωππππ+=+∈Z ，解得12,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，故当0k =时，ω的最小值为13.故选：C.【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】因为1()sin 22f x x =，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，①不正确；令ππ2,22t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，而1sin 2y t =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，所以()f x 在ππ[,44-上单调递增，②正确；因为π2π2,33t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，sin ,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()1,42f x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，③不正确；由于1π1πg()sin(2)sin 22428x x x ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象可由1πg()sin(224x x =+的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确．故选：A ．．．【详解】得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，显然.4πϕ=【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择合适的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦转化为余弦函数是考查的最终目的.【分析】根据三角函数的图象性质、图象变换和三角恒等变换公式，以及诱导公式求解.【详解】函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后，所得函数的解析式为π2sin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为所得函数为奇函数，所以π2sin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有ππ,Z 3k k ϕ+=∈，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 2sin 223f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()π()sin 2cos 2sin 24f x g x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，因为[)0,πx ∈，所以ππ9π2,444x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，所以由()π1()sin 242f x g x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，可得πsin 24x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以ππ3π2223π442αβ+++=⨯=，且πsin 244β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5π4αβ+=，所以5ππcos()cos(2)sin(2)44αβββ-=-=-+故选:B.【分析】化简可得()π2sin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而根据已知求出2ω=，()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.根据图象变换可得()2sin π3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.求出()g x -即可判断A 项；代入检验，结合正弦函数的性质，即可判断B 、C 、D.【详解】因为()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由ππ,3x k k ω-=∈Z 可得，ππ,3kx k ωω=+∈Z .由已知可得，1ππ=2ω，所以2ω=，()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π3个单位，可得πππ2sin 22sin 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以()2sin π3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A 项，因为()()π2sin 3g x x g x ⎛⎫-=-+≠ ⎪⎝⎭，所以函数()g x 不是偶函数，故A 项错误；对于B 项，因为ππ033-+=，所以()g x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 项正确；对于C 项，因为ππ33x -≤≤，所以π2π033x ≤+≤.因为函数sin y x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 项错误；对于D 项，因为ππ66x -≤≤，所以πππ632x ≤+≤.因为函数sin y x =在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1πππsin sin sin 12632x ⎛⎫=≤+≤= ⎪⎝⎭，所以，()π12sin 23g x x ⎛⎫≤=+≤ ⎪⎝⎭，故D 项正确.故选：BD.【分析】由题意，由函数sin(+)y A x ωϕ=的图象变换规律，求得()y g x =的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各选项得出结论.【详解】把函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得到sin 2y x =的图象；再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数()πsin(23y g x x ==+的图象，π5π(,)36x ∈时，π2(π,2π)3x +∈，则()g x 在π7π(,312单调递减，在7π5π(,)126单调递增，故A 错误；令()0g x =，得π2π(Z)3x k k +=∈，即ππ26k x =-，因为[0,π]x ∈，所以ππ0π26k ≤-≤，解得1733k ≤≤，因为Z k ∈，所以1k =或2k =，所以()g x 在[]0,π上有2个零点，故B 正确；因为ππππ()sin(2)sin 1121232g =⨯+==，为()g x 的最大值，所以直线π12x =是()y g x =的图象的一条对称轴，故C 正确；当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,333x ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，()2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故D 错误.故选：BC【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为()sin(3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51(sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.【分析】根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，依题意可得()g x 关于点,12θ⎛⎫⎪⎝⎭对称，即可得到π2π23k θ⨯+=，Z k ∈，即可得解.【详解】将函数()πsin 13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的点横坐标变为原来的12（纵坐标变）得到()πsin 213g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，若存在()0,πθ∈，使得()()2g x g x θ+-=对任意x ∈R 恒成立，所以()g x 关于点,12θ⎛⎫⎪⎝⎭对称，则π2π23k θ⨯+=，Z k ∈，解得ππ3k θ=-+，Z k ∈，因为()0,πθ∈，所以2π3θ=.故选：C【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用三角函数图象变换可得出函数()g x 的解析式，由()0g x k +=可得出2sin 2k x -=，求出函数sin 2y x =在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，即可得出实数k 的不等式，解之即可.【详解】因为π1sin cos sin cos cos 32y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)2211sin cos sin 22cos 122444x x x x x =+-+-11πsin 2cos 2sin 24423x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将函数1πsin 223y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()1ππ1sin 2sin 22632g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2π023x ≤≤，则0sin 21x ≤≤，由()0g x k +=得1sin 202x k +=，可得2sin 2k x -=，所以，021k ≤-≤，解得102k -≤≤，故选：CD.【基础过关】【分析】利用三角函数的平移法则求解即可.【详解】因为()ππsin2sin 2126g x x x ⎡⎤⎛⎫==+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以要得到函数()sin2g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移π12个单位即可，故选：C.【分析】先由图象平移变换得到()g x ，再由正弦函数的性质求出()g x 的单调递增区间.【详解】将()1π3sin 312⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x 的图象向右平移12π个单位长度后，得到()1ππ3sin 31212⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g x x ，即()1π3sin 318⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 的图象，令π1ππ2π2π23182-≤+≤+k x k ，k ∈Z ，解得5π4π6π6π33-≤≤+k x k ，k ∈Z ，所以()g x 的单调递增区间为5π4π6π,6π33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ，k ∈Z .故选：C.【分析】根据三角函数的图像变换及单调性计算即可.【详解】π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭向左平移π2ω，得()ππ5πsin sin 236g x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5π5ππ5π,6626x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，即π5π3π42623ωω+≤⇒≤，故40,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：C【分析】先把()f x 的解析式化成()sin()f x A x b ωϕ=++的形式，然后根据平移求出()g x 解析式，从而根据正弦函数的对称中心求出()g x 的对称中心，进而可得答案.【详解】21π()sin cos =sin 22sin 223f x x x x x x x ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭因为()f x 的图像向右平移5π6个单位长度得函数()g x 的图像，所以()5ππ4π2πsin 2sin 2sin 26333g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为sin y x =的对称中心为()π,0()k k ∈Z ，所以当2π2π3x k +=时，ππ,()23k x g x =-=，即函数()g x 的对称中心为()ππZ 232k k ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，当1k =时，对称中心为π62⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：A.【分析】先利用三角恒等变换得到π()sin 232f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得到平移后的解析式，结合三角函数诱导公式求出6ππk ϕ=--，Z k ∈，得到最小正值.【详解】)21π()sin cos sin 2cos 2sin223f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，故图象向右平移ϕ个单位长度得到π()sin 223f x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭又π2πcos 2sin 26322y x x ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令π2π22π33k ϕ-=+，Z k ∈，解得6ππk ϕ=--，Z k ∈，当1k =-时，ϕ取得最小正值，最小正值为5π6ϕ=.故选：AA ．12B ．【答案】D【分析】先根据函数的图象求出函数()y f x =的解析式，然后再根据平移得到()g x ，最后求出43g ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】由图象可知，()1124T =--=，得2π8T ω==，所以π4ω=，所以，()os π4c x f x A ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为()1,0-在函数()f x 的图象上，所以cos 0π4A ϕ⎛⎫⎝-+=⎪⎭，所以π2π2π4k ϕ+=-+-，Z k ∈，即π2π4k ϕ=-+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，即()4c ππ4os f x x A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.又()0,2在函数()f x 的图象上，所以πcos 24A -⎛⎫=⎪⎝⎭，即2A =，即()ππ2cos 44f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()()()2cos 2πππ114s 4c 4o g x f x x x ⎡⎤=+=+-=⎢⎥⎣⎦，所以4π4π12cos 24cos 333g ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意求出函数()g x 的解析式，然后通过函数()g x 是偶函数求出ϕ的取值范围，最后与3π8ϕ=进行对比，即可得出“3π8ϕ=”与“()g x 为偶函数”之间的关系．【详解】因为函数()f x 的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图像，所以()πsin 224g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为()g x 为偶函数，所以()ππ2πZ 42k k ϕ-+=+∈，即()ππZ 82k k ϕ=--∈，当1k =-时，3π8ϕ=可以推导出函数()g x 为偶函数，而函数()g x 为偶函数不能推导出3π8ϕ=，所以“3π8ϕ=”是“()g x 为偶函数”的充分不必要条件.故选：AA ．π3π()3sin 44f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．ππ()3sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．点(2023,0)是()f x 的一个对称中心D ．函数()f x 的图象向左平移【答案】AC【分析】根据函数图象可得A =42T=，即可求出ω，再根据函数过点()1,0-求出ϕ，即可求出函数解析，再根据正弦函数的性质及三角函数的变换规则判断即可.【详解】由图可知()312T =--，A =8T =，即2π8ω=，解得π4ω=，所以()π4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()π104f ϕ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 4k k ϕ-+=+∈，解得5π2π,Z 4k k ϕ=+∈，又||πϕ<，所以3π4φ=-，所以()π3π44f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确，B 错误；()2023π3π2023505π044f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以点()2023,0是()f x 的一个对称中心，故C 正确；将函数()f x 的图象向左平移π4个单位得到2ππ3πππ3π4444164y x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，显然函数2ππ3π4164y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭不是偶函数，故D 错误；故选：AC【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】211cos 21()cos cos sin 2222x f x x x x x +-+-+1π2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故A 正确；函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故B 正确；由ππ2π()62x k k Z -=+∈，得ππ(Z)32k x k =+∈，故C 错误；由cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度，得ππcos 2cos 2cos 212623ππy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πsin sin π2π2π223sin 33x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝+⎭⎝⎦-⎭⎣，故D 错误.故选：AB【分析】利用三角函数图象变换求出函数()f x 的解析式，可判断A 选项；利用正弦型函数的对称性可判断B 选项；代值计算可判断C 选项；利用正弦型函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，将函数sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数()f x 的图象，则()ππsin 2sin 263f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，A 错；对于B 选项，πsin 006f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，B 对；对于C 选项，()max ππsin 1122f f x ⎛⎫⎛⎫-=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错；对于D 选项，当5ππ4x ≤≤时，5ππ13π2336x ≤-≤，所以，函数()f x 在区间5π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 对.故选：BD.【能力提升】一、单选题1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数()()sin f x A x b ωϕ=++(0,ω>0,0A ϕπ><<),b R ∈的部分图象如图，则（）A ．π6ϕ=B ．π26f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．点5π,018⎛⎫- ⎪⎝⎭为曲线D ．将曲线y f =【答案】D【分析】由函数图象求出42A b =⎧⎨=⎩，将点()0,4的坐标代入()()4sin 2f x x ωϕ=++求出ϕ可判断A ；求出()f x 的解析式，求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令5π3π,6x k k Z +=∈，求出x ，可判断C ；由图象的平移变换可判断D.【详解】由图象知：62A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得42A b =⎧⎨=⎩，将点()0,4的坐标代入()()4sin 2f x x ωϕ=++得1sin 2ϕ=，由图象可知，点()0,4在()y f x =的下降部分上，且0πϕ<<，所以5π6ϕ=，所以A 不正确；将点2π,29⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入()5π4sin 26f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得2π5π3π2π962k ω⋅+=，即3ω=，所以()5π4sin 326f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以ππ5π4sin 322666f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 不正确；令5π3π,6x k k Z +=∈，解得π5π,318k x k Z =-∈，取0k =，则5π18x =-,所以对称中心为5π,218⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以C 不正确；将曲线向右平移π9个单位长度得到曲线()π5π4sin 3296f x x ⎡⎤⎛⎫=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4cos32x =+，所以D 正确；故选：D.【分析】结合选项按照先伸缩，再平移的过程，结合诱导公式，即可判断选项.【详解】曲线1π:sin 2cos22C y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，把1:cos2C y x =上各点的横坐标缩短到原来的23，纵坐标不变，可得cos3y x =的图象；再把得到的曲线向左平移π18个单位长度，可以得到曲线2π5π:cos 3cos 366C y x x ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象.故选：C.【分析】根据函数图象，求解参数A ϕ、，代入()g x 的表达式中，利用正弦型函数的图象及性质，依次判断各项正误.【详解】由题意结合函数图象可得1311A A +=⎧⎨-=⎩，解得2A =，故()()2cos 21f x x ϕ=++，由()02cos 12f ϕ=+=，所以1cos 2ϕ=，又0πϕ<<，所以π3ϕ=，所以()π2cos 213f x x ⎛⎫ +⎪⎝⎭=+，()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，因为πππ2sin 21263g ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()g x 的图象关于直线π12x =对称，故A 正确；对于B ，因为πππ2sin 0633g ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点π,06⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()g x 的图象的对称中心，故B 错误；对于C ，由π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得πππ2,332x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；对于D ，将函数()π12cos 23y f x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度，得()π2cos 2π2cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=-≠+ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC.【分析】依题意可求出a =π()2sin()6f x x =-+，结合函数的图象性质逐一判断即可.【详解】因为函数()sin cos ()f x a x x x =-∈R 的图象关于π3x =对称，所以πππ1()sin cos 3332f a a =--=a =所以π()cos 2sin(6f x x x x =-=-+，其最大值为2，故A 正确；令ππππ()()2sin(2sin()2cos 3362f xg x x x x +==-++=-+=-，()g x 定义域为R ，()2cos()2cos ()g x x x g x -=--=-=，所以()g x 即π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，故B 正确；2,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π,622x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，π2sin(6y x =+在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，π()2sin()6f x x =-+在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，故C 错误；把()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数πππ()2sin[()]2sin()663h x x x =-++=-+的图象，因为3π3ππππ()2sin()2sin(π2sin 04431212h =-+=-+=≠，所以()h x 的图象不关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：AB【分析】根据题意可求出ω的值，从而可得到()f x 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．【详解】依题可知π23T T <<，于是36ω<<，于是πππ0263ππ3ππ632ωω⎧-≤-+<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩，∴45ω<≤，又N ω*∈，∴5ω=，∴()π2sin 53f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由2π2π==5T ω，则()f x 的最小正周期为25π，故A 错误；对于B ，因为ππ4π4π2π2sin 552sin 52π2sin 533333x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得()2π2sin 53g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2π02sin 3g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()g x 不关于原点对称，故B 错误；对于C ，由π7π2sin 166f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 图象的一个对称中心，故C 错误；对于D ，由π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πππ5,323x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选：ABC ．【分析】根据已知条件求出函数()f x 的解析式，然后计算π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值即可判断A 项；利用整体思想及正弦函数的单调性求函数()f x 的单调递减区间即可判断B 项；由三角函数图象的平移变换法求出函数()g x 的解析式即可判断C 项；由x 范围求得π26x +的范围，进而求得()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域即可判断D 项．【详解】由题意知π6ϕ=，所以()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于选项A ，π33f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线π3x =-对称，故A 项正确；对于选项B ，由ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+，Z k ∈，得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈，则当1k =-时，函数()f x 的一个单调递减区间为5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故B 项正确；对于选项C ，()f x 的图象向右平移π12个单位长度得到函数()ππ3sin 23sin2126g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，所以()g x 为奇函数，故C 项错误；对于选项D ，因为ππ64x -≤≤，所以ππ2π2663x -≤+≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以π3sin 23263x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即：()f x 在区间ππ[,]64-上的值域为3[,3]2-，故D 项错误．故选：AB.【分析】根据给定条件，求出ω的值并代入函数式，再结合三角函数的性质逐项分析判断作答.【详解】因函数π()sin()3f x x ω=-的图象关于点4π(,0)9中心对称，则4πππ,Z 93k k ω-=∈，即93,Z 44k k ω=+∈，当0πx <<时，ππππ333x ωω-<-<-，依题意，5ππ7ππ232ω<-≤，解得1723<66ω≤，因此3ω=，π()sin(33f x x =-，对于A ，当ππ99x -<<时，2ππ3033x -<-<，而正弦函数sin y x =在2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，A 不正确；对于B ，当π0x -<<时，10πππ3333x -<-<-，则{}π33π,2π,π3x -∈---时()0f x =，即函数()f x 在区间()π,0-内有3个零点，B 正确；对于C ，因11π11π1811π3πsin 3sin 328f ⎛⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯-==- ⎪⎝⎭，即直线11π18x =是曲线()y f x =的对称轴，C 正确；对于D ，()f x 图象向左平移π3个单位，所得图象对应的函数()ππ2πsin 3sin 3333g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()2π0sin 3g ==()g x 不是奇函数，D 不正确.故选：BC【分析】根据相邻对称轴间的距离为π2，可得π22T =，可求ω，根据点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是其中的一个对称中心及π2ϕ<可求ϕ，从而可得()f x 的解析式，再逐项判断即可.【详解】因为函数()f x 图象相邻对称轴间的距离为π2，则π22T =，即πT =，所以A 正确；因为πT =，则2ω=，即()()2sin 2x x f ϕ=+，且点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是对称中心，当π3x =-时，()π2π3k k ϕ=-+∈Z ，即2ππ3k ϕ=+()k ∈Z ，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，即()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令()ππ2π32x k k -=+∈Z ,解得()5ππ122k x k =+∈Z ，所以函数()f x 的对称轴为()5ππ122k x k =+∈Z ，所以B 错误；令()πππ2π22π232k x k k -+≤-≤+∈Z ,解得()π5πππ1212k x k k -+≤≤+∈Z ，函数()f x 的单调增区间为：()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以C 正确；函数()f x 图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，得到π3sin y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得函数()sin g x x =，所以D 正确.故选:ACD.【分析】由三角函数的平移和伸缩变换可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ；由导数的几何意义可判断D.【详解】()()π2ππππ2sin 22sin 22sin 22cos 233626h x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，()h x 是由()g x 横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长2倍，再把得到的曲线向左平移π12，故A 错误；函数()cos g x x =图象将横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得cos2y x =，再向右平移π6个长度单位，得πcos 26y x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 正确；因为()π2cos 26h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π62x k +=+，Zk ∈则ππ,Z 26k x k =+∈，则()h x 的对称中心坐标是ππ,0,Z 26kk ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为()π2cos 26h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π4sin 26h x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'，由导数的几何意义令()π4sin 246h x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭'，可得：πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ22π,Z 62x k k +=+∈，解得:ππ,6x k =+πππ2cos 2π0666h k k π⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以切点为ππ,06k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而ππ,06k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不在42y x =-+上，故D 错误.故选：BC.【分析】利用三角恒等变换化简函数()f x 的解析式，利用三角函数图象变换可得出()g x 的解析式，代值计算可得出π16g ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()πππππsin 4sin 4sin 4sin 436323f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ7πsin 4cos 4sin 4sin 4333412x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()π7ππ4412124g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，πππ01644g ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：0.【真题感知】【详解】试题分析：记函数(26y sin x f x π+=＝（），则函数(2[2()]3464y sin x sin x f x ππππ-=-+=-＝（∵函数f （x ）图象向右平移4π单位，可得函数4f x π-（的图象∴把函数(2)6y sin x π+＝的图象右平移4π单位，得到函数(23y sin x π-＝的图象,故选B.考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【详解】由题意将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.【解析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可．【详解】因为()f x 为奇函数，∴(0)sin 0=,0,f A k k ϕϕπ==∴=，0ϕ=；又12()sin ,2,122g x A x T πωπω=∴==2ω=，2A =，又()4g π=∴()2sin 2f x x =，3()8f π=故选C ．【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ．【详解】函数tan(0)4y x πωω=+>的图像向右平移6π个单位得tan[(]tan()6464y x x ππωππωω=-+=-+，所以,646k k Zωππππ-+=+∈16,2k k Z ω=-+∈，所以ω得最小值为12．【答案】C【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.【答案】24x =-/24π-【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin[2()3sin(26412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.【答案】【详解】试题分析：由题意())4f x x π=+，将其图象向右平移个单位，得)244x x ππϕϕ-+=-+，要使图象关于y 轴对称，则242k ππϕπ-=+，解得82k ππϕ=--，当1k =-时，取最小正值.考点：1.三角函数的平移；2.三角函数恒等变换与图象性质.【答案】6【详解】因为y ＝cos(2x ＋φ)＝cos(－2x －φ)＝sin ()22x πϕ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦＝sin 22x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，图象向右平移2π个单位后为y ＝sin 22x πϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，与y ＝sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭重合，所以φ－2π＝3π，解得φ＝56π.。
