A 级 基础达标演练 (时间:40分钟 满分:60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2012·荆州二检)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( ).
A .1条
B .2条
C .3条
D .4条
解析 结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x =0,过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x =0). 答案 C
2.(2012·银川模拟)过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),若|AB |=7,则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为( ). A.52 B.7
2 C .2 D .3
解析 由题知抛物线的焦点为(1,0),准线方程为x =-1.由抛物线定义知:|AB |=|AF |+|BF |=x 1+p 2+x 2+p
2=x 1+x 2+p ,即x 1+x 2+2=7,得x 1+x 2=5,于是弦AB 的中点M 的横坐标为52,因此M 到抛物线准线的距离为52+1=7
2. 答案 B
3.设双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与抛物线y =x 2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ). A.54 B .5 C.5
2 D. 5
解析 双曲线x 2
a 2-y 2
b 2=1的一条渐近线为y =b a x ,由方程组?????
y =b a x ,y =x 2+1
消去y 得,
x 2
-b a x +1=0有唯一解,所以Δ=? ????b a 2
-4=0,b a =2,e =c a =a 2+b 2a =
1+? ??
??
b a 2
= 5. 答案 D
4.(2011·全国)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线y =2x -4与C 交于A ,
B 两点,则cos ∠AFB =( ). A.45 B.35
C .-35
D .-45
解析 设点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2).由题意得点F (1,0),由???
y 2
=4x
y =2x -4
消去y 得x 2
-5x +4=0,x =1或x =4,因此点A (1,-2)、B (4,4),F A →=(0,-2),F B →=(3,4),cos ∠AFB =F A → ·F B
→|F A →||F B →|
=
0×3+(-2)×42×5
=-4
5,选D.
答案 D
5.(2011·兰州模拟)已知A ,B 为抛物线C :y 2=4x 上的两个不同的点,F 为抛物线C 的焦点,若F A →=-4FB →,则直线AB 的斜率为( ). A .±23 B .±32 C .±34 D .±
43
解析 由题意知焦点F (1,0),直线AB 的斜率必存在,且不为0,故可设直线AB 的方程为y =k (x -1)(k ≠0),代入y 2=4x 中化简得k y 2-4y -4k =0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4k ,①y 1y 2=-4,②又由F A →=-4FB →可得y 1=-4y 2,③ 联立①②③式解得k =±
43. 答案 D
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2011·北京东城检测)已知F 1、F 2为椭圆x 225+y 2
9=1的两个焦点,过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点.若|F 2A |+|F 2B |=12,则|AB |=________.
解析 由题意知(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=|AB |+|AF 2|+|BF 2|=2a +2a ,又由a =5,可得|AB |+(|BF 2|+|AF 2|)=20,即|AB |=8. 答案 8
7.(2012·东北三校联考)已知双曲线方程是x 2
-y 22=1,过定点P (2,1)作直线交双
曲线于P 1,P 2两点,并使P (2,1)为P 1P 2的中点,则此直线方程是________.
解析 设点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则由x 21-y 212=1,x 2
2-y 2
22=1,得k =y 2-y 1x 2-x 1=
2(x 2+x 1)y 2+y 1
=2×4
2=4,从而所求方程为4x -y -7=0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2-56x +51=0,Δ>0,故此直线满足条件. 答案 4x -y -7=0
8.(2011·河南洛阳、安阳统考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点为F (0,-1),直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点.若AB 的中点为(2,-2),则直线l 的方程为________.
解析 由题意知,抛物线的方程为x 2=-4y ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),且x 1≠x 2,
联立方程得???
x 2
1=-4y 1,x 22=-4y 2,
两式相减得x 21-x 2
2=-4(y 1-y 2),
∴y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 2-4
=-1, ∴直线l 的方程为y +2=-(x -2),即y =-x . 答案 x +y =0 三、解答题(共23分)
9.(★)(11分)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2
+y 2
b 2=1(0<b <1)的左,右焦点,过F 1
的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等差数列. (1)求|AB |;
(2)若直线l 的斜率为1,求b 的值.
思路分析 第(1)问由椭圆定义可求;第(2)问将直线l 与椭圆联立方程组,利用弦长公式求解.
解 (1)由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|=4, 又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AB |=4
3. (2)l 的方程为y =x +c , 其中c =1-b 2.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点坐标满足方程组????
?
y =x +c ,x 2+y 2
b 2=1,化简得(1
+b 2)x 2+2cx +1-2b 2=0.
则x 1+x 2=-2c 1+b 2,x 1x 2=1-2b 2
1+b 2.因为直线AB 的斜率为1,
所以|AB |=2|x 2-x 1|,即4
3=2|x 2-x 1|.
则89=(x 1+x 2)2
-4x 1x 2=4(1-b 2)(1+b 2)2-4(1-2b 2)1+b 2=8b 4(1+b 2)2
,解得b =
22. 错误!
10.(12分)(2011·陕西)设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(0,4),离心率为3
5. (1)求C 的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的中点坐标. 解 (1)将(0,4)代入C 的方程得16
b 2=1,∴b =4,
又e =c a =35得a 2-b 2
a 2=925,即1-16a 2=9
25,∴a =5,
∴C 的方程为x 225+y 2
16=1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =4
5(x -3),
设直线与C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 将直线方程y =4
5(x -3)代入C 的方程,得 x 225+(x -3)2
25
=1,即x 2-3x -8=0. ∴x 1+x 2=3,y 1+y 2=45(x 1+x 2-6)=45(3-6)=-125. ∴x 1+x 22=32,y 1+y 22=-65. 即中点为? ??
??32,-65. B 级 综合创新备选 (时间:30分钟 满分:40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(★)直线y =k x +1,当k 变化时,此直线被椭圆x 24+y 2
=1截得的最大弦长是
( ).
A .4 B.43
3 C .2 D .不能确定
解析 (筛选法)直线y =k x +1恒过点(0,1),该点恰巧是椭圆x 24+y 2
=1的上顶点,椭圆的长轴长为4,短轴长为2,而直线不经过椭圆的长轴和短轴,因此排除A 、C ;将直线y =k x +1绕点(0,1)旋转,与椭圆有无数条弦,其中必有最大弦长,因此排除D.故选B. 答案 B
【点评】 本题通过运动的观点,得到直线在各种位置下的情形,从而排除错误选项,得到正确答案,避免了冗长的计算.
2.(2011·四川)在抛物线y =x 2+ax -5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4,x 2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2+5y 2=36相切,则抛物线顶点的坐标为( ). A .(-2,-9) B .(0,-5) C .(2,-9)
D .(1,-6)
解析 由已知得抛物线经过(-4,11-4a )和(2,2a -1)两点,过这两点的割线斜率k =2a -1-(11-4a )2-(-4)
=a -2.
于是,平行于该割线的直线方程为y =(a -2)x +b . 该直线与圆相切,所以b 21+(a -2)2=36
5
.
该直线又与抛物线相切,于是(a -2)x +b =x 2+ax -5有两个相等的根, 即由方程x 2
+2x -5-b =0的Δ=0得b =-6,代入b 21+(a -2)2=36
5
,
注意到a ≠0,得a =4.所以抛物线方程为y =x 2+4x -5=(x +2)2-9,顶点坐标为(-2,-9). 答案 A
二、填空题(每小题4分,共8分)
3.(2012·揭阳模拟)过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ,与y 轴的交点为B ,若|AM |=|MB |,则该椭圆的离心率为
________.
解析 由题意知A 点的坐标为(-a,0),l 的方程为y =x +a ,∴B 点的坐标为(0,a ),故M 点的坐标为? ????
-a 2,a 2,代入椭圆方程得a 2=3b 2,∴c 2=2b 2,∴e =63.
答案 6
3
4.(2012·金华模拟)已知曲线x 2a -y 2
b =1(a ·b ≠0,且a ≠b )与直线x +y -1=0相交于P 、Q 两点,且OP →·OQ
→=0(O 为原点),则1a -1b
的值为________. 解析 将y =1-x 代入x 2a -y 2
b =1,得(b -a )x 2+2ax -(a +ab )=0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=2a a -b ,x 1x 2=a +ab a -b .OP →·OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(1-x 1)(1-x 2)=
2x 1x 2-(x 1+x 2)+1.
所以2a +2ab a -b -2a a -b +1=0,即2a +2ab -2a +a -b =0,
即b -a =2ab ,所以1a -1b =2. 答案 2
三、解答题(共22分)
5.(10分)(2012·株洲模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,△ABC 的三个顶点都在抛物线上,且△ABC 的重心为抛物线的焦点,若BC 所在直线l 的方程为4x +y -20=0. (1)求抛物线C 的方程;
(2)若O 是坐标原点,P ,Q 是抛物线C 上的两动点,且满足PO ⊥OQ ,证明:直线PQ 过定点.
(1)解 设抛物线C 的方程为y 2=2mx , 由???
4x +y -20=0,y 2=2mx ,
得2y 2+my -20m =0, ∵Δ>0,∴m >0或m <-160.
设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则y 1+y 2=-m
2,
∴x 1+x 2=? ?
???5-y 14+? ??
??5-y 24=10+m 8.
再设A (x 3,y 3),由于△ABC 的重心为F ? ????
m 2,0,
则?????
x 1+x 2+x 33=m
2,y 1+y 2+y 33=0,
解得?????
x 3=11m
8-10,y 3=m
2.
∵点A 在抛物线上,∴? ????m 22=2m ? ????
11m 8-10.
∴m =8,抛物线C 的方程为y 2=16x .
(2)证明 当PQ 的斜率存在时,设PQ 的方程为y =k x +b ,显然k ≠0,b ≠0,∵PO ⊥OQ ,∴k PO k OQ =-1,设P (x P ,y P ),Q (x Q ,y Q ),∴x P x Q +y P y Q =0, 将直线y =k x +b 代入抛物线方程,得k y 2-16y +16b =0,
∴y P y Q =16b k .从而x P x Q =y 2P y 2Q 162=b
2
k 2,
∴b 2k 2+16b
k =0,∵k ≠0,b ≠0,∴直线PQ 的方程为y =k x -16k ,PQ 过点(16,0); 当PQ 的斜率不存在时,显然PQ ⊥x 轴,又PO ⊥OQ , ∴△POQ 为等腰三角形,由?
??
y =|x |,y 2=16x ,
得P (16,16),Q (16,-16),此时直线PQ 过点(16,0), ∴直线PQ 恒过定点(16,0).
6.(12分)(2011·福建)已知直线l :y =x +m ,m ∈R ,
(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ,且点P 在y 轴上,求该圆的方程;
(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′,问直线l ′与抛物线C :x 2=4y 是否相切?说明理由.
解 法一 (1)依题意,点P 的坐标为(0,m ). 因为MP ⊥l ,所以
0-m
2-0
×1=-1,
解得m =2,即点P 的坐标为(0,2). 从而圆的半径
r =|MP |=(2-0)2+(0-2)2=22, 故所求圆的方程为 (x -2)2+y 2=8. (2)因为直线l 的方程为y =x +m , 所以直线l ′的方程为y =-x -m , 由???
y =-x -m ,x 2=4y
得 x 2+4x +4m =0. Δ=42-4×4m =16(1-m ).
(1)当m =1,即Δ=0时,直线l ′与抛物线C 相切; (2)当m ≠1,即Δ≠0时,直线l ′与抛物线C 不相切.
综上,当m =1时,直线l ′与抛物线C 相切;当m ≠1时,直线l ′与抛物线C 不相切.
法二 (1)设所求圆的半径为r , 则圆的方程可设为(x -2)2+y 2=r 2
依题意,所求圆与直线l :x -y +m =0相切于点P (0,m ),则???
4+m 2=r 2,
|2-0+m |
2=r ,
解得???
m =2,r =2 2.
所以所求圆的方程为(x -2)2+y 2=8. (2)同法一.