2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年山东，理1，5分】若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ）
（A ）12i + （B ）12i - （C ）12i -+ （D ）12i -- 【答案】B
【解析】设(),,z a bi a b R =+∈，则2()i 23i 32i z z z z z a b a a b +=++=++=+=-，所以1,2a b ==-，故选B ． 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力． （2）【2016年山东，理2，5分】已知集合{}{}22,,10x A y y x R B x x ==∈=-<，则A B =U （ ）
（A ）()1,1- （B ）()0,1 （C ）()1,-+∞ （D ）()0,+∞ 【答案】C
【解析】由题意()0,A =+∞，()1,1B =-，所以()1,A B =-+∞U ，故选C ．
【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题． （3）【2016年山东，理3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小
时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.5,30，样本
数据分组为[)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5，[]27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）140 【答案】D
【解析】由图可知组距为2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=， 所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是()20010.30140⨯-=人，故选D ． 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．
（4）【2016年山东，理4，5分】若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）
（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12 【答案】C
【解析】由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--，
所以()3,1-是最优解，22x y +的最大值是10，故选C ．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题． （5）【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该
几何体的体积为（ ）
（A ）1233
+π （B ）123+π （C ）123+π （D ）21+π
【答案】C
【解析】由三视图可知，半球的体积为2π，四棱锥的体积为13
，所以该几何体的体积为12
3+π，
故选C ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状
是解答的关键．
（6）【2016年山东，理6，5分】已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平
面α和平面β相交”的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由直线a 和直线b 相交，可知平面αβ、有公共点，所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相
交，直线a 和直线b 不一定相交，故选A ．
【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题． （7）【2016年山东，理7，5分】函数(
)(
)
()3sin cos 3cos sin f x x x
x x =
+-的最小正周期是（ ）
（A ）
2π
（B ）π （C ）32π （D ）2π
【答案】B
【解析】由()2sin cos 3cos 22sin 23f x x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，所以，最小正周期是π，故选B ．
【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．
（8）【2016年山东，理8，5分】已知非零向量,m n 满足1
43,cos ,3
m n m n =<>= ，若()n tm n ⊥+则实数t 的值
为（ ）
（A ）4 （B ）4- （C ）94 （D ）9
4
-
【答案】B
【解析】因为21cos ,4nm m n m n n =⋅<>=，由()n tm n ⊥+，有()20n tm n tmn n +=+=，即2104t n ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，4t =-，
故选B ．
【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题． （9）【2016年山东，理9，5分】已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，
()()f x f x -=-；当12x >
时，1122f x f x ⎛⎫⎛
⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则()6f =（ ）
（A ）2- （B ）1- （C ）0 （D ）2 【答案】D
【解析】由1122f x f x ⎛⎫⎛
⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，知当12x >时，()f x 的周期为1，所以()()61f f =．又当11x -≤≤时，
()()f x f x -=-，所以()()11f f =--．于是()()()()3
611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦
，故选D ．
【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题． （10）【2016年山东，理10，5分】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相
垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数具有T 性质的是（ ）
（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）x y e = （D ）3y x = 【答案】A
【解析】因为函数ln y x =，x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切
线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T 性质，故选A ．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 （11）【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出i 的
值为 ． 【答案】3
【解析】i 1=时，执行循环体后1,8a b ==，a b >不成立；i 2=时，执行循环体后3,6a b ==，a b >
不成立；i 3=时，执行循环体后6,3a b ==，a b >成立；所以i 3=，故填 3.
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进
行解答． （12）【2016年山东，理12，5分】若5
2ax x ⎛+ ⎪⎝
⎭的展开式中5
x 的系数是80-，
则实数a = ． 【答案】2-
