离散数学图的矩阵表示

离散图论知识点总结一、基本概念图（Graph）是离散数学中的一个重要概念，它由顶点集合V和边集合E组成。

一般用G （V，E）来表示，其中V={v1,v2,…,vn}是有限非空集合，E是V中元素的无序对的集合。

图分为有向图和无向图。

无向图中的边是无序的，有向图中的边是有序的。

图中存在一些特殊的图，比如完全图、树、路径、回路等。

二、图的表示方法1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示图的关系。

对于一个n 个顶点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵A，其中A[i][j]表示顶点i到顶点j之间是否存在边。

对于无向图，A[i][j]=1表示顶点i与顶点j之间存在边，A[i][j]=0表示不存在。

对于有向图，A[i][j]=1表示i指向j的边存在，A[i][j]=0表示不存在。

2. 邻接表邻接表是另一种常见的图的表示方法。

它将图的信息储存在一个数组中，数组的每个元素与图的一个顶点相对应。

对于每个顶点vi，数组中储存与该顶点邻接的顶点的信息。

邻接表可以用链表或者数组来表示，链表表示的邻接表比较灵活，但是在查找某个边的相邻顶点时需要遍历整个链表。

三、图的性质1. 度图中每个顶点的度是与其相邻的边的数目。

对于无向图，顶点的度等于与其相邻的边的数目；对于有向图，则分为入度和出度。

2. 连通性对于无向图G，若图中任意两个顶点都有路径相连，则称图G是连通的。

对于有向图G，若从任意一个顶点vi到任意一个顶点vj都存在路径，则称G是强连通的。

3. 路径和回路路径是指图中一系列的边，连接图中的两个顶点；回路是指起点与终点相同的路径。

路径的长度是指路径中边的数目。

4. 树和森林一个无向图，如果是连通图且不存在回路，则称为树。

一个无向图，若它不是连通图，则称为森林。

四、图的常见算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法，它从图的某个顶点vi出发，访问它的所有邻接顶点，再对其中未访问的顶点继续深度优先搜索。

离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。

《离散数学》期末复习大纲一、数理逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价?），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论6、谓词、量词、个体词（一阶逻辑3要素）、个体域、变元（约束出现与自由出现）7、命题符号化、谓词公式赋值与解释，谓词公式的类型（永真、永假、可满足）8、谓词公式的等值式（代换实例、消去量词、量词否定和量词辖域收与扩、量词分配）和置换规则（置换规则、换名规则）9、一阶逻辑前束范式（定义、求法）本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理、谓词与量词、命题符号化、谓词公式赋值与解释、求前束范式。

[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。

2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。

3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。

4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。

5、掌握命题逻辑的推理理论。

6、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；掌握命题的符号化。

7、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。

8、掌握求一阶逻辑前束范式的方法。

二、集合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补以及对称差等运算及有穷集的计数（文氏（Venn）图、包含排斥原理）3、集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、矛盾律、德摩根律等）及应用本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明。

离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。

命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。

命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。

给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。

若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。

真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。

将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。

命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。

（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。

（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。

主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。

主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。

命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B 是等值的，记作A<=>B。

约束变元和自由变元：在合式公式xA和 xA中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。

一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。

前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB，称A为前束范式。

集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。

笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。

二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。

离散数学图论矩阵应用实例分析离散数学图论是数学的一个重要分支，它研究的是非连续的结构，其中一个重要的应用领域就是矩阵应用。

本文将对离散数学图论中的矩阵应用进行实例分析，以帮助读者更好地理解和应用相关概念。

一、社交网络中的矩阵应用社交网络是当今社会中非常流行的交流平台，它允许人们在线上建立和维护社交关系。

将社交网络中的用户和关系抽象成图模型，可以用矩阵进行描述和分析。

例如，可以使用邻接矩阵来表示用户之间的关注关系，其中矩阵的行和列代表用户，矩阵的元素代表用户之间的关系强弱。

通过对这个矩阵进行分析，可以了解用户之间的社交网络结构，发现用户群体之间的关联性，进行用户推荐等。

二、交通网络中的矩阵应用交通网络是城市中不可或缺的一部分，它关系到人们的出行和交通组织。

在离散数学图论中，可以使用邻接矩阵来表示交通网络中的道路连接状况。

矩阵的行和列代表交通网络中的节点，通常是城市中的道路，矩阵的元素代表节点之间的连接关系，比如道路的长度或者通行能力。

通过对这个矩阵进行分析，可以计算最短路径、最小生成树等最优化问题，优化交通流动和道路规划。

三、电子电路中的矩阵应用电子电路是离散数学图论中的另一个应用领域，矩阵在描述电路连接和电流传递等方面起到关键作用。

在电路分析中，可以使用节点-支路关系矩阵（Node-Branch Matrix）和支路-节点关系矩阵（Branch-Node Matrix）来描述电路的连接和元件耦合关系。

这两个矩阵的运算可以得到电路的戴维南等效电阻以及电流传递等重要信息，从而分析电路的性能和特性。

四、信息检索中的矩阵应用信息检索是指从大规模的文本数据中提取相关信息的过程。

其中，矩阵常用于描述文本之间的关联和相似性。

例如，可以使用文档-词项矩阵（Document-Term Matrix）来表示文档集合中的词项出现情况。

矩阵的行代表文档，列代表词项，矩阵的元素代表词项在文档中的出现频率。

通过对这个矩阵进行分析，可以进行文本聚类、关键词提取、文档相似度计算等信息检索任务。

离散数学图论基本概念解释离散数学是一个研究离散对象及其关系和操作的数学分支，而图论则是离散数学的一个重要分支，用于研究图结构以及图中各种相关问题。

本文将对离散数学图论的基本概念进行解释。

一、图的定义图是指由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。

图可以用G=(V, E)来表示，其中V表示顶点集合，E表示边的集合。

顶点之间的连接关系用边来表示，边有可能是有向的或无向的。

二、图的分类1. 无向图：图中的边没有方向，表示顶点之间的无序关系。

无向图可以是简单图（没有自环和重复边）或多重图（包含自环和多条重复边）。

2. 有向图：图中的边有方向，表示顶点之间的有序关系。

有向图也可以是简单图或多重图。

3. 加权图：顶点之间的边带有权重，用于表示边的强度或成本。

加权图可以是无向图或有向图。

三、图的常用术语1. 顶点的度：无向图中与某个顶点连接的边的数量称为该顶点的度。

在有向图中，顶点的度分为出度和入度，分别表示从该顶点出发的边的数量和指向该顶点的边的数量。

2. 路径：在图中，路径是指由一系列顶点和它们之间所连接的边组成的序列。

路径的长度是指路径中经过的边的数目。

3. 连通图：如果图中的任意两个顶点都存在一条路径相连，则称该图为连通图。

如果图非连通，则称为非连通图。

4. 完全图：如果一个无向图的任意两个顶点之间都有边相连，则称该图为完全图。

完全图有边n(n-1)/2条，其中n表示顶点的数量。

四、图的表示方法1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一种以二维矩阵的形式来表示图的方法。

矩阵的行和列分别表示顶点，矩阵中的元素表示相应的边。

如果两个顶点之间存在边，就用1表示；否则，用0表示。

2. 邻接表：邻接表是一种以链表的形式来表示图的方法。

每个顶点都对应一个链表，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。

五、图的遍历算法1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，它从一个初始顶点开始，沿着一条路径一直走到底，然后回溯到上一个顶点，再继续沿另一条路径走到底。